Os valores médios são amplamente utilizados em estatísticas. Os valores médios caracterizam os indicadores qualitativos da atividade comercial: custos de distribuição, lucro, rentabilidade, etc.

Média - Esta é uma das técnicas comuns de generalização. Uma correta compreensão da essência da média determina o seu significado especial numa economia de mercado, quando a média, através do individual e do aleatório, permite identificar o geral e o necessário, para identificar a tendência dos padrões de desenvolvimento económico.

Valor médio - estes são indicadores gerais nos quais as ações são expressas condições gerais, padrões do fenômeno em estudo.

As médias estatísticas são calculadas com base em dados de massa provenientes de observação de massa corretamente organizada estatisticamente (contínua e seletiva). No entanto, a média estatística será objectiva e típica se for calculada a partir de dados de massa para uma população qualitativamente homogénea (fenómenos de massa). Por exemplo, se você calcular o salário médio nas cooperativas e empresas estatais, e estender o resultado para toda a população, então a média é fictícia, pois é calculada para uma população heterogênea, e tal média perde todo o sentido.

Com a ajuda da média, as diferenças no valor de uma característica que surgem por um motivo ou outro em unidades individuais de observação são suavizadas.

Por exemplo, a produtividade média de um vendedor depende de vários motivos: qualificação, tempo de serviço, idade, forma de serviço, saúde, etc.

A produção média reflete a propriedade geral de toda a população.

O valor médio é um reflexo dos valores da característica em estudo, portanto, é medido na mesma dimensão desta característica.

Cada valor médio caracteriza a população em estudo de acordo com qualquer característica. Para obter uma compreensão completa e abrangente da população estudada de acordo com uma série de características essenciais, em geral é necessário ter um sistema de valores médios que possa descrever o fenômeno sob diferentes ângulos.

Existem diferentes médias:

média aritmética;

média geométrica;

média harmônica;

quadrado médio;

cronológico médio.

Vejamos alguns tipos de médias que são mais frequentemente usadas em estatísticas.

Média aritmética

A média aritmética simples (não ponderada) é igual à soma dos valores individuais do atributo dividida pelo número desses valores.

Os valores individuais de uma característica são chamados de variantes e são denotados por x(); o número de unidades populacionais é denotado por n, o valor médio da característica é denotado por . Portanto, a média aritmética simples é igual a:

De acordo com os dados da série de distribuição discreta, fica claro que os mesmos valores característicos (variantes) são repetidos várias vezes. Assim, a opção x ocorre 2 vezes no total, e a opção x 16 vezes, etc.

O número de valores idênticos de uma característica nas linhas de distribuição é denominado frequência ou peso e é denotado pelo símbolo n.

Vamos calcular o salário médio de um trabalhador em esfregar.:

Fundo remunerações para cada grupo de trabalhadores é igual ao produto das opções e da frequência, e a soma destes produtos dá o fundo salarial total para todos os trabalhadores.

De acordo com isso, os cálculos podem ser apresentados de forma geral:

A fórmula resultante é chamada de média aritmética ponderada.

Como resultado do processamento, o material estatístico pode ser apresentado não apenas na forma de séries de distribuição discreta, mas também na forma de séries de variação intervalar com intervalos fechados ou abertos.

A média para dados agrupados é calculada usando a fórmula da média aritmética ponderada:

Na prática das estatísticas económicas, por vezes é necessário calcular a média utilizando médias de grupo ou médias de partes individuais da população (médias parciais). Nesses casos, as médias do grupo ou privadas são consideradas como opções (x), com base nas quais a média global é calculada como uma média aritmética ponderada ordinária.

Propriedades básicas da média aritmética .

A média aritmética tem uma série de propriedades:

1. O valor da média aritmética não mudará ao diminuir ou aumentar a frequência de cada valor do atributo x em n vezes.

Se todas as frequências forem divididas ou multiplicadas por qualquer número, o valor médio não mudará.

2. O multiplicador comum dos valores individuais de uma característica pode ser levado além do sinal da média:

3. A média da soma (diferença) de duas ou mais quantidades é igual à soma (diferença) de suas médias:

4. Se x = c, onde c é um valor constante, então
.

5. A soma dos desvios dos valores do atributo X da média aritmética x é igual a zero:

Média harmônica.

Junto com a média aritmética, a estatística utiliza a média harmônica, o inverso da média aritmética dos valores inversos do atributo. Assim como a média aritmética, pode ser simples e ponderada.

As características das séries de variação, juntamente com as médias, são moda e mediana.

Moda - este é o valor de uma característica (variante) que mais se repete na população em estudo. Para séries de distribuição discretas, a moda será o valor da variante com maior frequência.

Para séries de distribuição intervalar com intervalos iguais, a moda é determinada pela fórmula:

Onde
- valor inicial do intervalo que contém a moda;

- o valor do intervalo modal;

- frequência do intervalo modal;

- frequência do intervalo anterior ao modal;

- frequência do intervalo seguinte ao modal.

Mediana - esta é uma opção localizada no meio da série de variações. Se a série de distribuição for discreta e tiver um número ímpar de membros, então a mediana será a opção localizada no meio da série ordenada (uma série ordenada é a disposição das unidades populacionais em ordem crescente ou decrescente).

Valor médio- este é um indicador geral que caracteriza uma população qualitativamente homogênea de acordo com uma determinada característica quantitativa. Por exemplo, meia-idade pessoas condenadas por roubo.

Nas estatísticas judiciais, valores médios são utilizados para caracterizar:

Tempo médio para apreciação dos casos desta categoria;

Tamanho médio do sinistro;

Número médio de arguidos por processo;

Dano médio;

Carga média de trabalho dos juízes, etc.

A média é sempre um valor nomeado e tem a mesma dimensão que a característica de uma unidade individual da população. Cada valor médio caracteriza a população em estudo de acordo com uma qualquer característica variável, portanto, atrás de cada valor médio está uma série de distribuição de unidades desta população de acordo com a característica em estudo. A escolha do tipo de média é determinada pelo conteúdo do indicador e pelos dados iniciais para cálculo do valor médio.

Todos os tipos de médias utilizadas na pesquisa estatística são divididas em duas categorias:

1) médias de potência;

2) médias estruturais.

A primeira categoria de médias inclui: média aritmética, média harmônica, média geométrica E raiz quadrada média . A segunda categoria é moda E mediana. Além disso, cada um dos tipos listados de médias de potência pode ter duas formas: simples E ponderado . Formulário simples O valor médio é utilizado para obter o valor médio da característica em estudo, quando o cálculo é realizado a partir de dados estatísticos desagrupados, ou quando cada opção do agregado ocorre apenas uma vez. Médias ponderadas são valores que levam em consideração que variantes de valores de atributos podem ter números diferentes e, portanto, cada variante deve ser multiplicada pela frequência correspondente. Em outras palavras, cada opção é “ponderada” pela sua frequência. A frequência é chamada de peso estatístico.

Média aritmética simples- o tipo de média mais comum. É igual à soma dos valores individuais da característica dividida por número total estes valores:

Onde x 1 ,x 2 , … ,x N são os valores individuais da característica variável (variantes) e N é o número de unidades na população.

Média aritmética ponderada usado nos casos em que os dados são apresentados na forma de séries de distribuição ou agrupamentos. É calculado como a soma dos produtos das opções e suas frequências correspondentes, dividida pela soma das frequências de todas as opções:

Onde x eu- significado eu as variantes da característica; e eu- frequência eu as opções.

Assim, cada valor variante é ponderado pela sua frequência, razão pela qual as frequências são por vezes chamadas de pesos estatísticos.

Comentário. Quando se trata de média valor aritmético sem especificar seu tipo, a média aritmética é simples.

Tabela 12.

Solução. Para calcular, usamos a fórmula da média aritmética ponderada:

Assim, em média há dois réus por processo criminal.

Se o cálculo do valor médio for realizado usando dados agrupados na forma de séries de distribuição de intervalo, primeiro você precisa determinar os valores médios de cada intervalo x"i, e então calcular o valor médio usando a média aritmética ponderada fórmula, na qual x"i é substituído em vez de xi.

Exemplo. Os dados sobre a idade dos criminosos condenados por furto são apresentados na tabela:

Tabela 13.

Determine a idade média dos criminosos condenados por roubo.

Solução. Para determinar a idade média dos criminosos com base em uma série de variação de intervalo, é necessário primeiro encontrar os valores médios dos intervalos. Como é dada uma série de intervalos com o primeiro e o último intervalo aberto, os valores desses intervalos são considerados iguais aos valores dos intervalos fechados adjacentes. No nosso caso, os valores do primeiro e do último intervalo são iguais a 10.

Agora encontramos a idade média dos criminosos usando a fórmula da média aritmética ponderada:

Assim, a idade média dos criminosos condenados por furto é de aproximadamente 27 anos.

Média harmônica simples representa o recíproco da média aritmética dos valores recíprocos do atributo:

onde 1/ x eu são os valores inversos das opções e N é o número de unidades na população.

Exemplo. Para determinar a carga de trabalho média anual dos juízes tribunal distrital Ao considerar os processos criminais, realizamos um levantamento da carga de trabalho de 5 juízes deste tribunal. O tempo médio gasto em um caso criminal para cada um dos juízes entrevistados acabou sendo igual (em dias): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Encontre os custos médios em um processo penal e a carga de trabalho média anual dos juízes de um determinado tribunal distrital quando consideram processos penais.

Solução. Para determinar o tempo médio gasto em um caso criminal, usamos a fórmula da média harmônica:

Para simplificar os cálculos, no exemplo tomamos o número de dias de um ano como 365, incluindo finais de semana (isso não afeta a metodologia de cálculo, e ao calcular um indicador semelhante na prática é necessário substituir o número de trabalhadores dias em um determinado ano em vez de 365 dias). Então, a carga de trabalho média anual dos juízes de um determinado tribunal distrital ao considerar casos criminais será: 365 (dias): 5,56 ≈ 65,6 (casos).

Se usássemos a fórmula da média aritmética simples para determinar o tempo médio gasto em um caso criminal, obteríamos:

365 (dias): 5,64 ≈ 64,7 (casos), ou seja, a carga média de trabalho dos juízes acabou sendo menor.

Vamos verificar a validade desta abordagem. Para isso, utilizaremos dados sobre o tempo gasto em um processo criminal para cada juiz e calcularemos o número de processos criminais considerados por cada um deles por ano.

Nós chegamos em conformidade:

365 (dias): 6 ≈ 61 (casos), 365 (dias): 5,6 ≈ 65,2 (casos), 365 (dias): 6,3 ≈ 58 (casos),

365 (dias): 4,9 ≈ 74,5 (casos), 365 (dias): 5,4 ≈ 68 (casos).

Agora vamos calcular a carga de trabalho média anual dos juízes de um determinado tribunal distrital ao considerar casos criminais:

Aqueles. a carga média anual é a mesma da média harmônica.

Assim, usando a média aritmética em nesse caso ilegal.

Nos casos em que as variantes de uma característica e seus valores volumétricos (produto das variantes e frequência) são conhecidas, mas as próprias frequências são desconhecidas, utiliza-se a fórmula da média harmônica ponderada:

,

Onde x eu são os valores das opções do atributo, e w i são os valores volumétricos das opções ( w eu = x eu f eu).

Exemplo. Dados sobre o preço de uma unidade do mesmo tipo de produto produzido várias instituições sistema penal, e o volume de sua implementação são apresentados na Tabela 14.

Tabela 14

Encontre o preço médio de venda do produto.

Solução. No cálculo do preço médio, devemos utilizar a relação entre o valor das vendas e o número de unidades vendidas. Não sabemos a quantidade de unidades vendidas, mas sabemos o valor das vendas da mercadoria. Portanto, para encontrar o preço médio dos produtos vendidos, utilizaremos a fórmula da média harmônica ponderada. Nós conseguimos

Se você usar a fórmula da média aritmética aqui, poderá obter um preço médio que será irreal:

Média geométricaé calculado extraindo a raiz do grau N do produto de todos os valores das variantes do atributo:

,

Onde x 1 ,x 2 , … ,x N- valores individuais da característica variável (variantes), e

N- o número de unidades da população.

Este tipo de média é usado para calcular as taxas médias de crescimento das séries temporais.

Quadrado médio usado para calcular a média desvio quadrado, que é um indicador de variação, e será discutido a seguir.

Para determinar a estrutura da população, são utilizados indicadores médios especiais, que incluem mediana E moda , ou as chamadas médias estruturais. Se a média aritmética for calculada com base no uso de todas as variantes de valores de atributos, então a mediana e a moda caracterizam o valor da variante que ocupa uma determinada posição média na série classificada (ordenada). As unidades de uma população estatística podem ser ordenadas em ordem crescente ou decrescente de variantes da característica em estudo.

Mediano (eu)- este é o valor que corresponde à opção situada no meio da série ranqueada. Assim, a mediana é aquela versão da série classificada, em ambos os lados da qual nesta série deveria haver número igual unidades da população.

Para encontrar a mediana, primeiro você precisa determiná-la número de série em uma série classificada de acordo com a fórmula:

onde N é o volume da série (o número de unidades da população).

Se a série consistir em um número ímpar de termos, a mediana será igual à opção com número N Me. Se a série consistir em um número par de termos, a mediana será definida como a média aritmética de duas opções adjacentes localizadas no meio.

Exemplo. Dada uma série classificada 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. O volume da série é N = 9, o que significa N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Portanto, Me = 6, ou seja, . quinta opção. Se a linha 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 for dada, ou seja, série com número par de termos (N = 8), então N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Isso significa que a mediana é igual à metade da soma da quarta e da quinta opções, ou seja, Eu = (9 + 11) / 2 = 10.

Numa série de variação discreta, a mediana é determinada pelas frequências acumuladas. As frequências da opção, a partir da primeira, são somadas até que o número mediano seja ultrapassado. O valor das últimas opções somadas será a mediana.

Exemplo. Encontre o número mediano de arguidos por processo criminal utilizando os dados da Tabela 12.

Solução. Neste caso, o volume da série de variação é N = 154, portanto, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Somando as frequências da primeira e segunda opções, obtemos: 75 + 43 = 118, ou seja, ultrapassamos o número mediano. Então eu = 2.

Em uma série de variação intervalar, a distribuição indica primeiro o intervalo em que a mediana estará localizada. Eles o chamam mediana . Este é o primeiro intervalo cuja frequência acumulada ultrapassa a metade do volume da série de variação intervalar. Então valor numérico A mediana é determinada pela fórmula:

Onde x Eu- limite inferior do intervalo mediano; i é o valor do intervalo mediano; S Me-1- frequência acumulada do intervalo que antecede a mediana; eu- frequência do intervalo mediano.

Exemplo. Encontre a idade média dos infratores condenados por roubo com base nas estatísticas apresentadas na Tabela 13.

Solução. Os dados estatísticos são apresentados por uma série de variação de intervalo, o que significa que primeiro determinamos o intervalo mediano. O volume da população é N = 162, portanto, o intervalo mediano é o intervalo 18-28, pois este é o primeiro intervalo cuja frequência acumulada (15 + 90 = 105) excede metade do volume (162: 2 = 81) da série de variação intervalar. Agora determinamos o valor numérico da mediana usando a fórmula acima:

Assim, metade dos condenados por furto tem menos de 25 anos.

Moda (Mo) Eles chamam o valor de uma característica que é mais frequentemente encontrada em unidades da população. A moda é usada para identificar o valor de uma característica mais difundida. Para uma série discreta, o modo será a opção com maior frequência. Por exemplo, para as séries discretas apresentadas na Tabela 3 Mo= 1, pois este valor corresponde à frequência mais alta - 75. Para determinar a moda da série de intervalos, primeiro determine modal intervalo (o intervalo com a frequência mais alta). Então, dentro desse intervalo, é encontrado o valor do recurso, que pode ser uma moda.

Seu valor é encontrado pela fórmula:

Onde x Mo- limite inferior do intervalo modal; i é o valor do intervalo modal; f Mo- frequência do intervalo modal; fMo-1- frequência do intervalo anterior ao modal; fMo+1- frequência do intervalo seguinte ao modal.

Exemplo. Encontre a idade dos criminosos condenados por furto, cujos dados são apresentados na Tabela 13.

Solução. A frequência mais alta corresponde ao intervalo 18-28, portanto o modo deve estar neste intervalo. Seu valor é determinado pela fórmula acima:

Por isso, maior número Os infratores condenados por roubo têm 24 anos.

O valor médio fornece uma característica geral da totalidade do fenômeno em estudo. Porém, duas populações que possuem os mesmos valores médios podem diferir significativamente entre si no grau de flutuação (variação) no valor da característica em estudo. Por exemplo, num tribunal foram impostas as seguintes penas de prisão: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 anos, e noutro - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 anos. Em ambos os casos, a média aritmética é de 6,7 anos. No entanto, estas populações diferem significativamente entre si na dispersão dos valores individuais da pena de reclusão atribuída em relação ao valor médio.

E para o primeiro tribunal, onde esse spread é bastante grande, o valor médio da pena de reclusão não reflete toda a população. Assim, se os valores individuais de uma característica diferem pouco entre si, então a média aritmética será uma característica bastante indicativa das propriedades de uma determinada população. Caso contrário, a média aritmética será uma característica pouco confiável desta população e seu uso na prática será ineficaz. Portanto, é necessário levar em consideração a variação nos valores da característica em estudo.

Variação- estas são diferenças nos valores de qualquer característica unidades diferentes determinada população no mesmo período ou ponto no tempo. O termo “variação” tem Origem latina- variatio, que significa diferença, mudança, flutuação. Surge como resultado do fato de que os valores individuais de uma característica são formados sob a influência combinada de vários fatores (condições), que são combinados de forma diferente em cada caso individual. Para medir a variação de uma característica, são utilizados vários indicadores absolutos e relativos.

Os principais indicadores de variação incluem o seguinte:

1) escopo de variação;

2) desvio linear médio;

3) dispersão;

4) desvio padrão;

5) coeficiente de variação.

Vejamos brevemente cada um deles.

Faixa de variação R é o indicador absoluto mais acessível em termos de facilidade de cálculo, que é definido como a diferença entre o maior e o menor valor de uma característica para unidades de uma determinada população:

Faixa de variação (faixa de flutuações) - indicador importante a variabilidade do sinal, mas permite ver apenas desvios extremos, o que limita o âmbito da sua aplicação. Para mais características precisas variações de uma característica tendo em conta a sua variabilidade, são utilizados outros indicadores.

Desvio linear médio representa a média aritmética dos valores absolutos dos desvios dos valores individuais de uma característica em relação à média e é determinada pelas fórmulas:

1) Para dados desagrupados

2) Para série de variação

No entanto, a medida de variação mais amplamente utilizada é dispersão . Caracteriza a medida de dispersão dos valores da característica em estudo em relação ao seu valor médio. A dispersão é definida como a média dos desvios ao quadrado.

Variância simples para dados desagrupados:

.

Variação ponderada para a série de variação:

Comentário. Na prática, é melhor usar as seguintes fórmulas para calcular a variância:

Para variação simples

.

Para variação ponderada

Desvio padrãoé a raiz quadrada da variância:

O desvio padrão é uma medida da confiabilidade da média. Quanto menor o desvio padrão, mais homogênea é a população e melhor a média aritmética reflete toda a população.

As medidas de dispersão discutidas acima (faixa de variação, dispersão, desvio padrão) são indicadores absolutos, pelos quais nem sempre é possível julgar o grau de variabilidade de uma característica. Em alguns problemas é necessário utilizar índices de espalhamento relativo, um dos quais é coeficiente de variação.

Coeficiente de variação- a razão entre o desvio padrão e a média aritmética, expressa em percentagem:

O coeficiente de variação é usado não apenas para uma avaliação comparativa da variação sinais diferentes ou a mesma característica em populações diferentes, mas também para caracterizar a homogeneidade da população. Uma população estatística é considerada quantitativamente homogênea se o coeficiente de variação não ultrapassar 33% (para distribuições próximas da distribuição normal).

Exemplo. Estão disponíveis os seguintes dados sobre as penas de prisão de 50 condenados entregues para cumprimento de pena imposta pelo tribunal em instituição correcional do sistema penal: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Construa uma série de distribuições por penas de prisão.

2. Encontre a média, a variância e o desvio padrão.

3. Calcule o coeficiente de variação e tire uma conclusão sobre a homogeneidade ou heterogeneidade da população em estudo.

Solução. Para construir uma série de distribuição discreta, é necessário determinar opções e frequências. A opção neste problema é a pena de prisão e a frequência é o número de opções individuais. Calculadas as frequências, obtemos as seguintes séries de distribuição discreta:

Vamos encontrar a média e a variância. Como os dados estatísticos são representados por uma série de variações discretas, utilizaremos as fórmulas de média aritmética ponderada e dispersão para calculá-los. Nós obtemos:

= = 4,1;

= 5,21.

Agora calculamos o desvio padrão:

Encontrando o coeficiente de variação:

Consequentemente, a população estatística é quantitativamente heterogênea.

A média aritmética é um indicador estatístico que demonstra o valor médio de uma determinada matriz de dados. Este indicador é calculado como uma fração, cujo numerador é a soma de todos os valores da matriz e o denominador é o seu número. A média aritmética é um coeficiente importante usado nos cálculos diários.

O significado do coeficiente

A média aritmética é um indicador elementar para comparar dados e calcular um valor aceitável. Por exemplo, diferentes lojas vendem uma lata de cerveja de um fabricante específico. Mas em uma loja custa 67 rublos, em outra - 70 rublos, em uma terceira - 65 rublos e na última - 62 rublos. A gama de preços é bastante ampla, por isso o comprador estará interessado no custo médio da lata para que na hora de adquirir um produto possa comparar seus custos. O preço médio de uma lata de cerveja na cidade é:

Preço médio = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rublos.

Conhecendo o preço médio, é fácil determinar onde é lucrativo comprar um produto e onde você terá que pagar a mais.

A média aritmética é constantemente utilizada em cálculos estatísticos nos casos em que se analisa um conjunto homogêneo de dados. No exemplo acima, esse é o preço de uma lata de cerveja da mesma marca. No entanto, não podemos comparar o preço da cerveja fabricantes diferentes ou os preços da cerveja e da limonada, pois neste caso a dispersão dos valores será maior, o preço médio será confuso e pouco confiável, e o próprio sentido dos cálculos será distorcido ao ponto da caricatura “ temperatura média ao redor do hospital." Para calcular conjuntos de dados heterogêneos, utiliza-se uma média aritmética ponderada, quando cada valor recebe seu próprio coeficiente de ponderação.

Calculando a média aritmética

A fórmula de cálculo é extremamente simples:

P = (a1 + a2 +…an) /n,

onde an é o valor da quantidade, n é quantidade total valores.

Para que esse indicador pode ser usado? O primeiro e óbvio uso disso é nas estatísticas. Quase todos os estudos estatísticos usam a média aritmética. Esta poderia ser a idade média de casamento na Rússia, a nota média em uma matéria para um aluno ou o gasto médio diário com mantimentos. Conforme mencionado acima, sem levar em conta os pesos, o cálculo das médias pode produzir valores estranhos ou absurdos.

Por exemplo, o presidente Federação Russa declarou que, segundo as estatísticas, o salário médio de um russo é de 27.000 rublos. Para a maioria dos residentes da Rússia, este nível de salário parecia absurdo. Não é de admirar que você leve em consideração a renda de oligarcas e executivos ao calcular empresas industriais, os grandes banqueiros, por um lado, e os salários dos professores, faxineiros e vendedores, por outro. Mesmo os salários médios em uma especialidade, por exemplo, contador, terão sérias diferenças em Moscou, Kostroma e Yekaterinburg.

Como calcular médias para dados heterogêneos

Nas situações de folha de pagamento, é importante considerar o peso de cada valor. Isso significa que os salários dos oligarcas e banqueiros receberiam um peso de, por exemplo, 0,00001, e os salários dos vendedores - 0,12. Estes são números inesperados, mas ilustram aproximadamente a prevalência de oligarcas e vendedores na sociedade russa.

Assim, para calcular a média das médias ou valores médios em um conjunto de dados heterogêneo, é necessário utilizar a média aritmética ponderada. Caso contrário, você receberá um salário médio na Rússia de 27.000 rublos. Se você deseja saber sua nota média em matemática ou o número médio de gols marcados por um jogador de hóquei selecionado, a calculadora de média aritmética é adequada para você.

Nosso programa é uma calculadora simples e conveniente para calcular a média aritmética. Para realizar os cálculos, basta inserir os valores dos parâmetros.

Vejamos alguns exemplos

Cálculo da pontuação média

Muitos professores usam o método da média aritmética para determinar a nota anual de uma disciplina. Vamos imaginar que a criança recebeu as seguintes notas trimestrais em matemática: 3, 3, 5, 4. Que nota anual o professor lhe dará? Vamos usar uma calculadora e calcular a média aritmética. Para começar, selecione o número apropriado de campos e insira os valores de classificação nas células que aparecem:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

O professor arredondará o valor a favor do aluno, e o aluno receberá um B sólido no ano.

Cálculo de doces consumidos

Vamos ilustrar um pouco do absurdo da média aritmética. Vamos imaginar que Masha e Vova tivessem 10 doces. Masha comeu 8 doces e Vova apenas 2. Quantos doces cada criança comeu em média? Usando uma calculadora, é fácil calcular que em média as crianças comeram 5 doces, o que é totalmente inconsistente com a realidade e o bom senso. Este exemplo mostra que a média aritmética é importante para conjuntos de dados significativos.

Conclusão

O cálculo da média aritmética é amplamente utilizado em muitos campos científicos. Este indicador é popular não apenas em cálculos estatísticos, mas também em física, mecânica, economia, medicina ou finanças. Utilize nossas calculadoras como auxiliares para resolver problemas que envolvem o cálculo da média aritmética.

No processo de estudo da matemática, os alunos se familiarizam com o conceito de média aritmética. No futuro, na estatística e em algumas outras ciências, os alunos se depararão com o cálculo dos outros. O que podem ser e como diferem uns dos outros?

significado e diferenças

Indicadores precisos nem sempre permitem uma compreensão da situação. Para avaliar uma situação particular, por vezes é necessário analisar um grande número de números. E então as médias vêm em socorro. Eles nos permitem avaliar a situação como um todo.

Desde os tempos escolares, muitos adultos se lembram da existência da média aritmética. É muito simples calcular - a soma de uma sequência de n termos é dividida por n. Ou seja, se você precisa calcular a média aritmética na sequência de valores 27, 22, 34 e 37, então você precisa resolver a expressão (27+22+34+37)/4, já que 4 valores são usados ​​nos cálculos. Neste caso, o valor requerido será 30.

A média geométrica é frequentemente estudada como parte de um curso escolar. Cálculo dado valor baseia-se na extração da enésima raiz do produto de n termos. Se pegarmos os mesmos números: 27, 22, 34 e 37, o resultado dos cálculos será igual a 29,4.

Média harmônica em Ensino Médio geralmente não é objeto de estudo. No entanto, é usado com bastante frequência. Este valor é o inverso da média aritmética e é calculado como o quociente de n - o número de valores e a soma 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. Se tomarmos o mesmo novamente para cálculo, o harmônico será 29,6.

Média ponderada: características

No entanto, todos os valores acima não podem ser usados ​​em todos os lugares. Por exemplo, nas estatísticas, ao calcular alguns, o “peso” de cada número utilizado nos cálculos desempenha um papel importante. Os resultados são mais indicativos e corretos porque levam em conta mais informações. Este grupo de quantidades é geralmente chamado de “média ponderada”. Eles não são ensinados na escola, por isso vale a pena examiná-los com mais detalhes.

Em primeiro lugar, vale a pena dizer o que se entende por “peso” de um determinado valor. A maneira mais fácil de explicar isso é exemplo específico. Duas vezes por dia no hospital é medida a temperatura corporal de cada paciente. De cada 100 pacientes em diferentes departamentos do hospital, 44 terão temperatura normal- 36,6 graus. Outros 30 terão um valor aumentado - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, e os dois restantes - 40. E se tomarmos a média aritmética, então esse valor em geral para o hospital será superior a 38 graus! Mas quase metade dos pacientes tem absolutamente. E aqui seria mais correto usar um valor médio ponderado, e o “peso” de cada valor será o número de pessoas. Neste caso, o resultado do cálculo será de 37,25 graus. A diferença é óbvia.

No caso de cálculos de média ponderada, o “peso” pode ser tomado como a quantidade de remessas, a quantidade de pessoas trabalhando em um determinado dia, em geral, qualquer coisa que possa ser medida e influenciar no resultado final.

Variedades

A média ponderada está relacionada à média aritmética discutida no início do artigo. Porém, o primeiro valor, como já mencionado, também leva em consideração o peso de cada número utilizado nos cálculos. Além disso, também existem médias ponderadas geométricas e harmônicas.

Há outra variação interessante usada em séries numéricas. Esta é uma média móvel ponderada. É nesta base que as tendências são calculadas. Além dos próprios valores e de seu peso, ali também é utilizada a periodicidade. E no cálculo do valor médio em algum momento, também são levados em consideração os valores de períodos anteriores.

Calcular todos esses valores não é tão difícil, mas na prática normalmente apenas a média ponderada comum é usada.

Métodos de cálculo

Na era da informatização generalizada, não há necessidade de calcular manualmente a média ponderada. Porém, seria útil conhecer a fórmula de cálculo para poder verificar e, se necessário, ajustar os resultados obtidos.

A maneira mais fácil é considerar o cálculo usando um exemplo específico.

É necessário saber qual é o salário médio desta empresa, tendo em conta o número de trabalhadores que recebem um determinado salário.

Portanto, a média ponderada é calculada usando a seguinte fórmula:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Por exemplo, o cálculo seria assim:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Obviamente, não há dificuldade particular em calcular manualmente a média ponderada. A fórmula para calcular esse valor em um dos aplicativos de fórmulas mais populares - Excel - se parece com a função SUMPRODUCT (série de números; série de pesos) / SUM (série de pesos).

Ao começar a falar sobre médias, na maioria das vezes as pessoas se lembram de como se formaram na escola e ingressaram na faculdade. instituição educacional. Em seguida, a pontuação média foi calculada com base no certificado: todas as notas (boas e não tão boas) foram somadas, o valor resultante foi dividido pelo seu número. É assim que se calcula o tipo mais simples de média, chamada média aritmética simples. Na prática, as estatísticas são usadas vários tipos médias: médias aritméticas, harmônicas, geométricas, quadráticas, estruturais. Um ou outro tipo é utilizado dependendo da natureza dos dados e dos objetivos do estudo.

Valor médioé o indicador estatístico mais comum, com o qual se dá uma característica geral de um conjunto de fenômenos semelhantes de acordo com uma das características variáveis. Mostra o nível de uma característica por unidade de população. Com a ajuda de valores médios, várias populações são comparadas de acordo com características diversas e são estudados os padrões de desenvolvimento dos fenômenos e processos da vida social.

Nas estatísticas, são utilizadas duas classes de médias: potência (analítica) e estrutural. Estas últimas são utilizadas para caracterizar a estrutura das séries de variação e serão discutidas mais adiante no Capítulo. 8.

O grupo de médias de potência inclui as médias aritméticas, harmônicas, geométricas e quadráticas. As fórmulas individuais para o seu cálculo podem ser reduzidas a uma forma comum a todas as médias de potência, nomeadamente

onde m é o expoente da média potência: para m = 1 obtemos a fórmula de cálculo da média aritmética, para m = 0 - a média geométrica, m = -1 - a média harmônica, para m = 2 - a média quadrática ;

x i - opções (valores que o atributo assume);

f eu - frequências.

A principal condição sob a qual as médias de poder podem ser utilizadas na análise estatística é a homogeneidade da população, que não deve conter dados iniciais que difiram acentuadamente em seu valor quantitativo (na literatura são chamadas de observações anômalas).

Vamos demonstrar a importância desta condição com o exemplo a seguir.

Exemplo 6.1. Vamos calcular o salário médio dos funcionários de uma pequena empresa.

Tabela 6.1.

Salários dos funcionários	Não.	Salários dos funcionários	Não.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Salário, esfregue.

Para calcular o salário médio, é necessário somar os salários acumulados a todos os empregados da empresa (ou seja, encontrar o fundo salarial) e dividir pelo número de empregados:

Agora vamos adicionar ao nosso total apenas uma pessoa (o diretor desta empresa), mas com um salário de 50.000 rublos. Neste caso, a média calculada será completamente diferente:

Como podemos ver, ultrapassa 7.000 rublos, etc. é maior que todos os valores de atributos, com exceção de uma única observação.

Para garantir que tais casos não ocorram na prática e que a média não perca o seu significado (no exemplo 6.1 já não desempenha o papel de característica generalizadora da população que deveria ser), no cálculo da média, anômala, acentuadamente observações destacadas devem ser excluídas da análise e os tópicos tornam a população homogênea, ou dividem a população em grupos homogêneos e calculam os valores médios de cada grupo e analisam não a média geral, mas os valores médios do grupo.

6.1. Média aritmética e suas propriedades

A média aritmética é calculada como um valor simples ou ponderado.

Ao calcular o salário médio de acordo com os dados da tabela exemplo 6.1, somamos todos os valores do atributo e dividimos pelo seu número. Escreveremos o progresso de nossos cálculos na forma da fórmula da média aritmética simples

onde x i - opções (valores individuais da característica);

Exemplo 6.2. Agora vamos agrupar nossos dados da tabela do exemplo 6.1, etc. Vamos construir uma série de variação discreta da distribuição dos trabalhadores por nível salarial. Os resultados do agrupamento são apresentados na tabela.

Vamos escrever a expressão para cálculo do nível salarial médio de uma forma mais compacta:

No exemplo 6.2, a fórmula da média aritmética ponderada foi aplicada

onde f i são frequências que mostram quantas vezes o valor do atributo x i y ocorre em unidades da população.

É conveniente calcular a média aritmética ponderada em uma tabela, conforme mostrado abaixo (Tabela 6.3):

Tabela 6.3.

Cálculo da média aritmética em uma série discreta	Dados iniciais
Indicador estimado	salário, esfregue.	número de funcionários, pessoas
x eu	e eu	fundo salarial, esfregue.
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
x eu f eu	20	132 080

Total

Ressalta-se que a média aritmética simples é utilizada nos casos em que os dados não estão agrupados ou agrupados, mas todas as frequências são iguais.

Freqüentemente, os resultados das observações são apresentados na forma de uma série de distribuição de intervalo (ver tabela no exemplo 6.4). Então, ao calcular a média, os pontos médios dos intervalos são tomados como x i. Se o primeiro e o último intervalo forem abertos (não possuem um dos limites), então eles são condicionalmente “fechados”, tomando o valor do intervalo adjacente como o valor deste intervalo, etc. o primeiro é fechado pelo valor do segundo, e o último - pelo valor do penúltimo.

Exemplo 6.3. Com base nos resultados de uma pesquisa amostral de um dos grupos populacionais, calcularemos o valor da renda monetária per capita média.

Na tabela acima, o meio do primeiro intervalo é 500. Na verdade, o valor do segundo intervalo é 1000 (2000-1000); então o limite inferior do primeiro é 0 (1000-1000) e o do meio é 500. Fazemos o mesmo com o último intervalo. Tomamos 25.000 como meio: o valor do penúltimo intervalo é 10.000 (20.000-10.000), então seu limite superior é 30.000 (20.000 + 10.000) e o meio, respectivamente, é 25.000.

Tabela 6.4.	Cálculo da média aritmética em uma série intervalar	Renda média per capita em dinheiro, esfregue. por mês	fundo salarial, esfregue.
População total, % f i	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
Pontos médios dos intervalos x i	10,4	25 000	260 000
x eu f eu	100,0	-	892 850

Até 1.000