Este é o último e mais lição principal, necessário para resolver os problemas B11. Já sabemos como converter ângulos de uma medida de radianos para uma medida de graus (veja a lição “Medida de radianos e graus de um ângulo”), e também sabemos como determinar o sinal de uma função trigonométrica, focando nos quartos de coordenadas ( veja a lição “Sinais de funções trigonométricas”).

A única coisa que resta a fazer é calcular o valor da própria função - o mesmo número que está escrito na resposta. É aqui que a identidade trigonométrica básica vem em socorro.

Identidade trigonométrica básica. Para qualquer ângulo α a seguinte afirmação é verdadeira:

sen 2 α + cos 2 α = 1.

Esta fórmula relaciona o seno e o cosseno de um ângulo. Agora, conhecendo o seno, podemos facilmente encontrar o cosseno – e vice-versa. Basta tirar a raiz quadrada:

Observe o sinal “±” na frente das raízes. O fato é que a partir da identidade trigonométrica básica não fica claro quais eram o seno e o cosseno originais: positivo ou negativo. Afinal, a quadratura é uma função par que “queima” todos os pontos negativos (se houver).

É por isso que em todos os problemas B11, que se encontram no Exame Estadual Unificado de matemática, deve haver condições adicionais, que ajudam a livrar-se da incerteza com sinais. Normalmente esta é uma indicação do quarto coordenado, pelo qual o sinal pode ser determinado.

Um leitor atento provavelmente perguntará: “E a tangente e a cotangente?” É impossível calcular diretamente essas funções a partir das fórmulas acima. No entanto, existem consequências importantes da identidade trigonométrica básica, que já contém tangentes e cotangentes. Nomeadamente:

Um corolário importante: para qualquer ângulo α, a identidade trigonométrica básica pode ser reescrita da seguinte forma:

Essas equações são facilmente derivadas da identidade principal - basta dividir ambos os lados por cos 2 α (para obter a tangente) ou por sin 2 α (para obter a cotangente).

Vejamos tudo isso em exemplos específicos. Abaixo estão os problemas reais do B11, retirados dos simulados Opções do Exame Estadual Unificado em matemática 2012.

Conhecemos o cosseno, mas não conhecemos o seno. A identidade trigonométrica principal (em sua forma “pura”) conecta apenas essas funções, então trabalharemos com ela. Nós temos:

sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sen 2 α = 1/100 ⇒ sen α = ±1/10 = ±0,1.

Para resolver o problema, resta encontrar o sinal do seno. Como o ângulo α ∈ (π /2; π ), então em medida de graus é escrito da seguinte forma: α ∈ (90°; 180°).

Conseqüentemente, o ângulo α está no quarto da coordenada II - todos os senos ali são positivos. Portanto sen α = 0,1.

Então, conhecemos o seno, mas precisamos de determinar o cosseno. Ambas as funções estão na identidade trigonométrica básica. Vamos substituir:

sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Resta lidar com o sinal antes da fração. O que escolher: mais ou menos? Por condição, o ângulo α pertence ao intervalo (π 3π /2). Vamos converter os ângulos das medidas em radianos para graus - obtemos: α ∈ (180°; 270°).

Obviamente, este é o quarto de coordenadas III, onde todos os cossenos são negativos. Portanto cos α = −0,5.

Tarefa. Encontre tan α se o seguinte for conhecido:

Tangente e cosseno estão relacionados pela equação seguinte da identidade trigonométrica básica:

Obtemos: tan α = ±3. O sinal da tangente é determinado pelo ângulo α. Sabe-se que α ∈ (3π /2; 2π ). Vamos converter os ângulos das medidas em radianos para graus - obtemos α ∈ (270°; 360°).

Obviamente, este é o quarto da coordenada IV, onde todas as tangentes são negativas. Portanto tan α = −3.

Tarefa. Encontre cos α se o seguinte for conhecido:

Novamente o seno é conhecido e o cosseno é desconhecido. Vamos anotar a principal identidade trigonométrica:

sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

O sinal é determinado pelo ângulo. Temos: α ∈ (3π /2; 2π ). Vamos converter os ângulos de graus para radianos: α ∈ (270°; 360°) é o quarto da coordenada IV, os cossenos ali são positivos. Portanto, cos α = 0,6.

Tarefa. Encontre sin α se o seguinte for conhecido:

Vamos escrever uma fórmula que segue a identidade trigonométrica básica e conecta diretamente o seno e a cotangente:

A partir daqui obtemos que sen 2 α = 1/25, ou seja, sen α = ±1/5 = ±0,2. Sabe-se que o ângulo α ∈ (0; π /2). Em medida de grau, isso é escrito da seguinte forma: α ∈ (0°; 90°) - I quarto de coordenadas.

Portanto, o ângulo está no quadrante de coordenadas I - todas as funções trigonométricas são positivas, então sen α = 0,2.

Dados de referência para tangente (tg x) e cotangente (ctg x). Definição geométrica, propriedades, gráficos, fórmulas. Tabela de tangentes e cotangentes, derivadas, integrais, expansões em série. Expressões através de variáveis ​​complexas. Conexão com funções hiperbólicas.

Definição geométrica

|BD| - comprimento do arco de círculo com centro no ponto A.
α é o ângulo expresso em radianos.

Tangente ( bronzeado α) é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto oposto |BC| ao comprimento da perna adjacente |AB| .

Cotangente ( ctgα) é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente |AB| ao comprimento da perna oposta |BC| .

Tangente

Onde n- todo.

Na literatura ocidental, a tangente é denotada da seguinte forma:
.
;
;
.

Gráfico da função tangente, y = tan x

Co-tangente

Onde n- todo.

Na literatura ocidental, a cotangente é denotada da seguinte forma:
.
As seguintes notações também são aceitas:
;
;
.

Gráfico da função cotangente, y = ctg x

Propriedades de tangente e cotangente

Periodicidade

Funções y = tg x e y = ctg x são periódicos com período π.

Paridade

As funções tangente e cotangente são ímpares.

Áreas de definição e valores, aumentando, diminuindo

As funções tangente e cotangente são contínuas em seu domínio de definição (ver prova de continuidade). As principais propriedades da tangente e cotangente são apresentadas na tabela ( n- todo).

	e = tg x	e = ctg x
Escopo e continuidade
Faixa de valores	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Aumentando		-
descendente	-
Extremos	-	-
Zeros, y = 0
Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 0	e = 0	-

Fórmulas

Expressões usando seno e cosseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente e cotangente de soma e diferença

As restantes fórmulas são fáceis de obter, por exemplo

Produto de tangentes

Fórmula para a soma e diferença de tangentes

Esta tabela apresenta os valores de tangentes e cotangentes para determinados valores do argumento.

Expressões usando números complexos

Expressões através de funções hiperbólicas

;
;

Derivados

; .

.
Derivada de enésima ordem em relação à variável x da função:
.
Derivando fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrais

Expansões de série

Para obter a expansão da tangente em potências de x, é necessário considerar vários termos da expansão em uma série de potências para as funções pecado x E porque x e divida esses polinômios entre si,. Isso produz as seguintes fórmulas.

No .

no .
Onde Bn- Números de Bernoulli. Eles são determinados a partir da relação de recorrência:
;
;
Onde .
Ou de acordo com a fórmula de Laplace:

Funções inversas

Funções inversas para tangente e cotangente são arcotangente e arcotangente, respectivamente.

Arctangente, arcg

, Onde n- todo.

Arcotangente, arcoctg

, Onde n- todo.

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de Matemática para Cientistas e Engenheiros, 2012.

Identidades trigonométricas- são igualdades que estabelecem uma relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo, o que permite encontrar qualquer uma destas funções, desde que qualquer outra seja conhecida.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1

Esta identidade diz que a soma do quadrado do seno de um ângulo e do quadrado do cosseno de um ângulo é igual a um, o que na prática permite calcular o seno de um ângulo quando seu cosseno é conhecido e vice-versa .

Na conversão de expressões trigonométricas, esta identidade é muito utilizada, o que permite substituir a soma dos quadrados do cosseno e do seno de um ângulo por um e também realizar a operação de substituição na ordem inversa.

Encontrando tangente e cotangente usando seno e cosseno

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Essas identidades são formadas a partir das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Afinal, se você olhar para isso, então, por definição, a ordenada y é um seno e a abscissa x é um cosseno. Então a tangente será igual à razão \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), e a proporção \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- será uma cotangente.

Acrescentemos que apenas para os ângulos \alpha nos quais as funções trigonométricas incluídas neles fazem sentido, as identidades serão válidas, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Por exemplo: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)é válido para ângulos \alpha que são diferentes de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para um ângulo \alpha diferente de \pi z, z é um número inteiro.

Relação entre tangente e cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Esta identidade é válida apenas para ângulos \alpha diferentes de \frac(\pi)(2) z. Caso contrário, a cotangente ou a tangente não serão determinadas.

Com base nos pontos acima, obtemos que tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alfa=\frac(x)(y). Segue que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Assim, a tangente e a cotangente do mesmo ângulo em que fazem sentido são números mutuamente inversos.

Relações entre tangente e cosseno, cotangente e seno

tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- a soma do quadrado da tangente do ângulo \alpha e 1 é igual ao inverso do quadrado do cosseno deste ângulo. Esta identidade é válida para todos os \alpha exceto \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alfa=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- a soma de 1 e o quadrado da cotangente do ângulo \alpha é igual ao inverso do quadrado do seno do ângulo dado. Esta identidade é válida para qualquer \alpha diferente de \pi z.

Exemplos com soluções para problemas usando identidades trigonométricas

Exemplo 1

Encontre \sin \alpha e tg \alpha se \cos \alpha=-\frac12 E \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Mostrar solução

Solução

As funções \sin \alpha e \cos \alpha estão relacionadas pela fórmula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Substituindo nesta fórmula \cos \alfa = -\frac12, Nós temos:

\sin^(2)\alfa + \esquerda (-\frac12 \direita)^2 = 1

Esta equação tem 2 soluções:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre o seno é positivo, então \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).

Para encontrar tan \alpha, usamos a fórmula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplo 2

Encontre \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Mostrar solução

Solução

Substituindo na fórmula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 determinado número \sin\alfa=\frac(\sqrt3)(2), Nós temos \esquerda (\frac(\sqrt3)(2)\direita)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Esta equação tem duas soluções \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre o cosseno é negativo, então \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Para encontrar ctg \alpha, usamos a fórmula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conhecemos os valores correspondentes.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

No início deste artigo, examinamos o conceito de funções trigonométricas. Seu principal objetivo é estudar os fundamentos da trigonometria e estudar processos periódicos. E não foi em vão que desenhamos o círculo trigonométrico, porque na maioria dos casos as funções trigonométricas são definidas como a razão entre os lados de um triângulo ou seus determinados segmentos em um círculo unitário. Também mencionei a importância inegavelmente enorme da trigonometria na vida moderna. Mas a ciência não fica parada, como resultado podemos expandir significativamente o escopo da trigonometria e transferir suas disposições para o real, e às vezes para números complexos.

Fórmulas trigonométricas Existem vários tipos. Vamos examiná-los em ordem.

1. Razões de funções trigonométricas do mesmo ângulo

Aqui chegamos a considerar um conceito como identidades trigonométricas básicas.

Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que consiste em relações trigonométricas e que é satisfeita para todos os valores dos ângulos nela incluídos.

Vejamos as identidades trigonométricas mais importantes e suas provas:

A primeira identidade decorre da própria definição de tangente.

Vamos levar triângulo retângulo, em que existe um ângulo agudo x no vértice A.



Para provar as identidades, você precisa usar o teorema de Pitágoras:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Agora dividimos ambos os lados da igualdade por (AB) 2 e lembrando as definições do ângulo sen e cos, obtemos a segunda identidade:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sen x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sen 2 x + cos 2 x = 1

Para provar a terceira e quarta identidades, utilizamos a prova anterior.

Para fazer isso, divida ambos os lados da segunda identidade por cos 2 x:

sen 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sen 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Com base na primeira identidade tg x = sin x /cos x obtemos a terceira:

1 + bronzeado 2 x = 1/cos 2 x

Agora vamos dividir a segunda identidade por sen 2 x:

sen 2 x/ sen 2 x + cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x

1+ cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x

cos 2 x/ sen 2 x nada mais é do que 1/tg 2 x, então obtemos a quarta identidade:

1 + 1/tg 2 x = 1/sen 2 x

É hora de lembrar o teorema da soma cantos internos triângulo, que afirma que a soma dos ângulos de um triângulo = 180 0. Acontece que no vértice B do triângulo existe um ângulo cujo valor é 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Vamos relembrar novamente as definições de sen e cos e obter a quinta e a sexta identidades:

sen x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sen x

Agora vamos fazer o seguinte:

cos x = (AC)/(AB)

sen(90 0 – x) = (AC)/(AB)

pecado(90 0 – x) = cos x

Como você pode ver, tudo é elementar aqui.

Existem outras identidades que são usadas na resolução de identidades matemáticas, vou fornecê-las simplesmente na forma informação de referência, porque todos eles decorrem do acima.



2. Expressando funções trigonométricas entre si

   (a escolha do sinal na frente da raiz é determinada por qual dos quartos do círculo o canto está localizado?)







3. A seguir estão as fórmulas para adicionar e subtrair ângulos:



4. Fórmulas para ângulos duplos, triplos e meios.

   Noto que todos eles derivam das fórmulas anteriores.

sen 2x =2sen x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sen3x =3 sen x - 4 sen 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Fórmulas para converter expressões trigonométricas: