Fórmula de diferença de progressão aritmética. Como encontrar a soma de uma progressão aritmética: fórmulas e um exemplo de seu uso

Muitas pessoas já ouviram falar de progressão aritmética, mas nem todos têm uma boa ideia do que seja. Neste artigo daremos a definição correspondente e também consideraremos a questão de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética e daremos vários exemplos.

Definição matemática

Então, se estamos falando de uma progressão aritmética ou algébrica (esses conceitos definem a mesma coisa), isso significa que existe uma certa série numérica que satisfaz a seguinte lei: cada dois números adjacentes na série diferem pelo mesmo valor. Matematicamente está escrito assim:

Aqui n significa o número do elemento a n na sequência, e o número d é a diferença da progressão (seu nome segue da fórmula apresentada).

O que significa saber a diferença d? Sobre o quão “distantes” os números vizinhos estão um do outro. No entanto, o conhecimento de d é uma condição necessária, mas não suficiente, para determinar (restaurar) toda a progressão. É necessário conhecer mais um número, que pode ser absolutamente qualquer elemento da série em questão, por exemplo, 4, a10, mas, via de regra, utilizam o primeiro número, ou seja, 1.

Fórmulas para determinar elementos de progressão

Em geral, as informações acima já são suficientes para avançar na resolução de problemas específicos. No entanto, antes de ser dada a progressão aritmética, e será necessário encontrar a sua diferença, apresentamos alguns fórmulas úteis, facilitando assim o processo subsequente de resolução de problemas.

É fácil mostrar que qualquer elemento da sequência com número n pode ser encontrado da seguinte forma:

uma n = uma 1 + (n - 1) * d

Na verdade, qualquer pessoa pode verificar esta fórmula por meio de uma pesquisa simples: se você substituir n = 1, obterá o primeiro elemento, se substituir n = 2, a expressão fornecerá a soma do primeiro número e a diferença, e assim por diante.

As condições de muitos problemas são compostas de tal forma que, dado um par conhecido de números, cujos números também são dados na sequência, é necessário reconstruir toda a série numérica (encontrar a diferença e o primeiro elemento). Agora vamos resolver este problema de forma geral.

Então, sejam dados dois elementos com números n e m. Usando a fórmula obtida acima, você pode criar um sistema de duas equações:

uma n = uma 1 + (n - 1) * d;
uma m = uma 1 + (m - 1) * d

Para encontrar quantidades desconhecidas, usamos o conhecido truque simples soluções para tal sistema: subtraia os lados esquerdo e direito aos pares, a igualdade permanecerá válida. Nós temos:

uma n = uma 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Assim, excluímos uma incógnita (a 1). Agora podemos escrever a expressão final para determinar d:

d = (a n - a m) / (n - m), onde n > m

Ficamos muito fórmula simples: para calcular a diferença d de acordo com as condições do problema, basta tomar a razão das diferenças entre os próprios elementos e seus números de série. Deve prestar atenção a um ponto importante atenção: as diferenças são tomadas entre os membros “mais alto” e “mais baixo”, ou seja, n > m (o “mais alto” significa aquele localizado mais longe do início da sequência, seu valor absoluto pode ser maior ou menor que o elemento “júnior”).

A expressão para a diferença d progressão deve ser substituída em qualquer uma das equações no início da resolução do problema para obter o valor do primeiro termo.

Em nossa era de desenvolvimento tecnologia informática Muitos alunos tentam encontrar soluções para suas tarefas na Internet, por isso muitas vezes surgem questões desse tipo: encontre a diferença de uma progressão aritmética online. Para tal solicitação, o mecanismo de busca retornará uma série de páginas da web, nas quais você precisará inserir os dados conhecidos da condição (podem ser dois termos da progressão ou a soma de um certo número deles ) e receba instantaneamente uma resposta. No entanto, esta abordagem para a resolução do problema é improdutiva em termos de desenvolvimento do aluno e compreensão da essência da tarefa que lhe é atribuída.

Solução sem usar fórmulas

Vamos resolver o primeiro problema sem usar nenhuma das fórmulas fornecidas. Sejam dados os elementos da série: a6 = 3, a9 = 18. Encontre a diferença da progressão aritmética.

Os elementos conhecidos ficam próximos uns dos outros em uma fileira. Quantas vezes a diferença d deve ser somada ao menor para obter o maior? Três vezes (a primeira vez adicionando d, obtemos o 7º elemento, a segunda vez - o oitavo e, finalmente, a terceira vez - o nono). Qual número deve ser adicionado a três três vezes para obter 18? Este é o número cinco. Realmente:

Assim, a diferença desconhecida d = 5.

É claro que a solução poderia ter sido realizada usando a fórmula apropriada, mas isso não foi feito intencionalmente. Explicação detalhada resolver o problema deve se tornar um exemplo claro e vívido do que é uma progressão aritmética.

Uma tarefa semelhante à anterior

Agora vamos resolver um problema semelhante, mas alterando os dados de entrada. Então, você deve descobrir se a3 = 2, a9 = 19.

Claro, você pode recorrer novamente ao método de solução “frontal”. Mas como são dados elementos da série que estão relativamente distantes uns dos outros, esse método não será totalmente conveniente. Mas usar a fórmula resultante nos levará rapidamente à resposta:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2,83

Aqui arredondamos o número final. A medida em que este arredondamento conduziu a um erro pode ser avaliada verificando o resultado obtido:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Este resultado difere em apenas 0,1% do valor fornecido na condição. Portanto, o arredondamento utilizado para os centésimos mais próximos pode ser considerado uma escolha acertada.

Problemas envolvendo a aplicação da fórmula para o termo an

Vamos considerar um exemplo clássico de problema para determinar a incógnita d: encontre a diferença de uma progressão aritmética se a1 = 12, a5 = 40.

Quando dados dois números de uma incógnita sequência algébrica, e um deles é o elemento a 1, então você não precisa pensar muito, mas deve aplicar imediatamente a fórmula para o membro a n. EM nesse caso nós temos:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Recebemos o número exato na divisão, portanto não adianta verificar a exatidão do resultado calculado, como foi feito no parágrafo anterior.

Vamos resolver outro problema semelhante: precisamos encontrar a diferença de uma progressão aritmética se a1 = 16, a8 = 37.

Usamos uma abordagem semelhante à anterior e obtemos:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

O que mais você deve saber sobre progressão aritmética?

Além dos problemas de encontrar uma diferença desconhecida ou elementos individuais, muitas vezes é necessário resolver problemas de soma dos primeiros termos de uma sequência. A consideração dessas tarefas está além do escopo do artigo, no entanto, para completar as informações, apresentamos fórmula geral para a soma de n números em uma série:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Sequência numérica

Então, vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, existem). Não importa quantos números escrevemos, sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo e assim sucessivamente até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica:

Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número na sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o décimo número) é sempre o mesmo.
O número com número é chamado de décimo termo da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio no século VI e foi entendido num sentido mais amplo como uma sequência numérica infinita. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, que foi estudada pelos antigos gregos.

Esta é uma sequência numérica, cada membro da qual é igual ao anterior adicionado ao mesmo número. Este número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é designado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

um)
b)
c)
e)

Entendi? Vamos comparar nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
Não é progressão aritmética - a, d.

Vamos voltar à progressão dada () e tentar encontrar o valor de seu décimo termo. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos adicionar o número da progressão ao valor anterior até atingirmos o décimo termo da progressão. É bom que não tenhamos muito o que resumir – apenas três valores:

Assim, o décimo termo da progressão aritmética descrita é igual a.

2. Método

E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? O somatório levaria mais de uma hora, e não é fato que não cometeríamos erros na soma dos números.
É claro que os matemáticos descobriram uma forma em que não é necessário adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Dê uma olhada na imagem desenhada... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver em que consiste o valor do décimo termo desta progressão aritmética:

Em outras palavras:

Tente encontrar você mesmo o valor de um membro de uma determinada progressão aritmética dessa maneira.

Você calculou? Compare suas anotações com a resposta:

Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando adicionamos sequencialmente os termos da progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula- vamos trazê-la para visão geral e obtemos:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas podem ser crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

Descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos verificar isso na prática.
Recebemos uma progressão aritmética que consiste nos seguintes números: Vamos verificar qual será o décimo número desta progressão aritmética se usarmos nossa fórmula para calculá-la:

Desde então:

Assim, estamos convencidos de que a fórmula opera tanto na progressão aritmética decrescente quanto na crescente.
Tente encontrar você mesmo o décimo e o quinto termos dessa progressão aritmética.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar o problema - derivaremos a propriedade da progressão aritmética.
Digamos que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
Calma, você diz e começa a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Vamos, ah, então:

Absolutamente verdade. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que procuramos. Se a progressão for representada por valores pequenos, então não há nada de complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense se é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e é isso que tentaremos trazer agora.

Vamos denotar o termo requerido da progressão aritmética como, a fórmula para encontrá-lo é conhecida por nós - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, Então:

o termo anterior da progressão é:
o próximo termo da progressão é:

Vamos resumir os termos anteriores e subsequentes da progressão:

Acontece que a soma dos termos anteriores e subsequentes da progressão é o dobro do valor do termo da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um termo de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário adicioná-los e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos garantir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, não é nada difícil.

Bom trabalho! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula, que, segundo a lenda, é uma das maiores matemáticos de todos os tempos, o “rei dos matemáticos” - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, um professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, fez o seguinte problema em aula: “Calcule a soma de todos números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive.” Imagine a surpresa do professor quando um de seus alunos (era Karl Gauss) um minuto depois deu a resposta correta à tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário, após longos cálculos, obtiveram o resultado errado...

O jovem Carl Gauss notou um certo padrão que você também pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética que consiste em -ésimos termos: Precisamos encontrar a soma desses termos da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se a tarefa exigir encontrar a soma dos seus termos, como Gauss estava procurando?

Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.

Você já experimentou? O que você percebeu? Certo! Suas somas são iguais

Agora diga-me, quantos pares existem no total na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual e os pares semelhantes são iguais, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas não conhecemos o termo, mas sabemos a diferença da progressão. Tente substituir a fórmula do décimo termo na fórmula da soma.
O que você conseguiu?

Bom trabalho! Agora voltemos ao problema que foi proposto a Carl Gauss: calcule você mesmo a que é igual a soma dos números a partir do th e a soma dos números a partir do th.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi isso que você decidiu?

Na verdade, a fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, ao longo desse tempo, pessoas espirituosas fizeram pleno uso das propriedades de uma progressão aritmética.
Por exemplo, imagine o Egito Antigo e o maior projeto de construção da época - a construção de uma pirâmide... A imagem mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Observe com atenção e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada linha da parede da pirâmide.

Por que não uma progressão aritmética? Calcule quantos blocos são necessários para construir uma parede se a base for blocos de tijolos. Espero que você não conte enquanto move o dedo pelo monitor. Lembra-se da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?

Neste caso, a progressão fica assim: .
Diferença de progressão aritmética.
O número de termos de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (calcular o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você pode calcular no monitor: compare os valores obtidos com a quantidade de blocos que estão em nossa pirâmide. Entendi? Muito bem, você dominou a soma dos enésimos termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide com blocos na base, mas com? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com esta condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treinamento

Tarefas:

Masha está ficando em forma para o verão. Todos os dias ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha fará agachamentos em uma semana se ela fez agachamentos no primeiro treino?
Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
Ao armazenar logs, os registradores os empilham de forma que cada camada superior contém um log a menos que o anterior. Quantas toras tem uma alvenaria, se a base da alvenaria são toras?

Respostas:

Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
(semanas = dias).
Responder: Em duas semanas, Masha deverá fazer agachamentos uma vez por dia.
Primeiro número ímpar, último número.
Diferença de progressão aritmética.
O número de números ímpares é a metade, porém, vamos verificar esse fato usando a fórmula para encontrar o décimo termo de uma progressão aritmética:
Os números contêm números ímpares.
Vamos substituir os dados disponíveis na fórmula:
Responder: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual.
Vamos lembrar o problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, então no total há um monte de camadas, isto é.
Vamos substituir os dados na fórmula:
Responder: Existem toras na alvenaria.

Vamos resumir

- uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Pode ser crescente ou decrescente.
Fórmula de descoberta O décimo termo de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde está o número de números em progressão.
A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:

, onde está o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

Sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser. Mas sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica.

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.

Em outras palavras, cada número pode estar associado a um determinado número natural e a um único. E não atribuiremos este número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com número é chamado de décimo membro da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

É muito conveniente que o décimo termo da sequência possa ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença é). Ou (, diferença).

fórmula do enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o décimo termo, é necessário conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o décimo termo da progressão utilizando esta fórmula, teremos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:

Bem, está claro agora qual é a fórmula?

Em cada linha adicionamos, multiplicado por algum número. Qual deles? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais conveniente agora, certo? Nós verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro termo é igual. Qual é a diferença? Aqui está o que:

(É por isso que se chama diferença porque é igual à diferença dos termos sucessivos da progressão).

Então, a fórmula:

Então o centésimo termo é igual a:

Qual é a soma de todos os números naturais de até?

Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, aos 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele notou que a soma do primeiro e última dataé igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do terceiro a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem no total? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.

Solução:

O primeiro desses números é este. Cada número subsequente é obtido somando-se ao número anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

Fórmula do décimo termo para esta progressão:

Quantos termos existem na progressão se todos tiverem que ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responder: .

Agora decida por si mesmo:

Todos os dias o atleta corre mais metros que no dia anterior. Quantos quilômetros no total ele correrá em uma semana, se no primeiro dia ele correu km m?
Um ciclista percorre mais quilômetros todos os dias do que no dia anterior. No primeiro dia ele percorreu km. Quantos dias ele precisa viajar para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia de viagem?
O preço de uma geladeira em uma loja diminui na mesma proporção a cada ano. Determine quanto o preço de uma geladeira diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.

Respostas:

O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
.
Responder:
Aqui é dado: , deve ser encontrado.
Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
.
Substitua os valores:
A raiz obviamente não cabe, então a resposta é.
Vamos calcular o caminho percorrido no último dia usando a fórmula do décimo termo:
(km).
Responder:
Dado: . Encontrar: .
Não poderia ser mais simples:
(esfregar).
Responder:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.

Progressão aritmética pode ser crescente () e decrescente ().

Por exemplo:

Fórmula para encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética

é escrito pela fórmula, onde é o número de números em progressão.

Propriedade dos membros de uma progressão aritmética

Ele permite que você encontre facilmente o termo de uma progressão se seus termos vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Existem duas maneiras de encontrar o valor:

Onde está o número de valores.

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que a grande maioria de seus colegas.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Para sucesso passando no Exame Estadual Unificado, para admissão na faculdade com orçamento limitado e, O MAIS IMPORTANTE, para o resto da vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isto são estatísticas.

Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque muito mais oportunidades se abram diante deles e a vida se torne mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

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Progressões aritméticas e geométricas

Informação teórica

Informação teórica

	Progressão aritmética	Progressão geométrica
Definição	Progressão aritmética umé uma sequência em que cada membro, a partir do segundo, é igual ao membro anterior somado ao mesmo número d (d- diferença de progressão)	Progressão geométrica b né uma sequência de números diferentes de zero, cada termo dos quais, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número q (q- denominador de progressão)
Fórmula de recorrência	Para qualquer natureza n uma n + 1 = uma n + d	Para qualquer natureza n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Fórmula enésimo termo	uma n = uma 1 + d (n-1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Propriedade característica
Soma dos primeiros n termos

Exemplos de tarefas com comentários

Tarefa 1

Na progressão aritmética ( um) um 1 = -6, um 2

De acordo com a fórmula do enésimo termo:

um 22 = um 1+ d (22 - 1) = um 1+ 21 dias

De acordo com a condição:

um 1= -6, então um 22= -6 + 21d .

É necessário encontrar a diferença de progressões:

d = um 2 – um 1 = -8 – (-6) = -2

um 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Responder : um 22 = -48.

Tarefa 2

Encontre o quinto termo da progressão geométrica: -3; 6;....

1º método (usando a fórmula de n termos)

De acordo com a fórmula do enésimo termo de uma progressão geométrica:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Porque b1 = -3,

2º método (usando fórmula recorrente)

Como o denominador da progressão é -2 (q = -2), então:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Responder : b5 = -48.

Tarefa 3

Na progressão aritmética ( uma) uma 74 = 34; um 76= 156. Encontre o septuagésimo quinto termo desta progressão.

Para uma progressão aritmética, a propriedade característica tem a forma .

Disto segue:

Vamos substituir os dados na fórmula:

Resposta: 95.

Tarefa 4

Na progressão aritmética ( um) um= 3n - 4. Encontre a soma dos primeiros dezessete termos.

Para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética, duas fórmulas são usadas:

Qual deles é mais conveniente de usar neste caso?

Por condição, a fórmula para o enésimo termo da progressão original é conhecida ( um) um= 3n - 4. Você pode encontrar imediatamente e um 1, E um 16 sem encontrar d. Portanto, usaremos a primeira fórmula.

Resposta: 368.

Tarefa 5

Na progressão aritmética ( um) um 1 = -6; um 2= -8. Encontre o vigésimo segundo termo da progressão.

De acordo com a fórmula do enésimo termo:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = um 1+ 21d.

Por condição, se um 1= -6, então um 22= -6 + 21d. É necessário encontrar a diferença de progressões:

d = um 2 – um 1 = -8 – (-6) = -2

um 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Responder : um 22 = -48.

Tarefa 6

Vários termos consecutivos da progressão geométrica são escritos:

Encontre o termo da progressão rotulada como x.

Ao resolver, usaremos a fórmula para o enésimo termo b n = b 1 ∙ q n - 1 para progressões geométricas. O primeiro termo da progressão. Para encontrar o denominador da progressão q, você precisa pegar qualquer um dos termos dados da progressão e dividir pelo anterior. No nosso exemplo, podemos pegar e dividir por. Obtemos que q = 3. Em vez de n, substituímos 3 na fórmula, pois é necessário encontrar o terceiro termo de uma determinada progressão geométrica.

Substituindo os valores encontrados na fórmula, obtemos:

Responder : .

Tarefa 7

Das progressões aritméticas dadas pela fórmula do enésimo termo, selecione aquela para a qual a condição é satisfeita um 27 > 9:

Porque dada condição deve ser cumprida para o 27º termo da progressão, substituímos 27 em vez de n em cada uma das quatro progressões. Na 4ª progressão obtemos:

Resposta: 4.

Tarefa 8

Em progressão aritmética um 1= 3, d = -1,5. Especificar valor mais alto n para o qual a desigualdade é válida um > -6.

Problemas de progressão aritmética já existiam na antiguidade. Eles apareceram e exigiram uma solução porque tinham uma necessidade prática.

Então, em um dos papiros Antigo Egito", que tem conteúdo matemático - o papiro Rhind (século XIX aC) - contém a seguinte tarefa: dividir dez medidas de pão entre dez pessoas, desde que a diferença entre cada uma delas seja um oitavo da medida."

E nos trabalhos matemáticos dos antigos gregos existem teoremas elegantes relacionados à progressão aritmética. Assim, Hipscles de Alexandria (século II, que compilou muitos problemas interessantes e acrescentou o décimo quarto livro aos Elementos de Euclides), formulou a ideia: “Numa progressão aritmética que possui um número par de termos, a soma dos termos da 2ª metade é maior que a soma dos termos do primeiro no quadrado 1/2 número de membros."

A sequência é denotada por um. Os números de uma sequência são chamados de seus membros e geralmente são denotados por letras com índices que indicam número de série este membro (a1, a2, a3... lê-se: “um 1º”, “um 2º”, “um 3º” e assim por diante).

A sequência pode ser infinita ou finita.

O que é uma progressão aritmética? Com isso entendemos aquele obtido pela soma do termo anterior (n) com o mesmo número d, que é a diferença da progressão.

Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, então tal progressão é considerada crescente.

Uma progressão aritmética é chamada finita se apenas seus primeiros termos forem levados em consideração. Muito grandes quantidades membros já é uma progressão sem fim.

Qualquer progressão aritmética é definida pela seguinte fórmula:

an =kn+b, enquanto b e k são alguns números.

A afirmação oposta é absolutamente verdadeira: se uma sequência é dada por uma fórmula semelhante, então é exatamente uma progressão aritmética que possui as propriedades:

Cada termo da progressão é a média aritmética do termo anterior e do subsequente.
Inverso: se, a partir do 2º, cada termo for a média aritmética do termo anterior e do subsequente, ou seja, se a condição for atendida, então esta sequência é uma progressão aritmética. Essa igualdade também é um sinal de progressão, por isso costuma ser chamada de propriedade característica da progressão.
Da mesma forma, o teorema que reflete esta propriedade é verdadeiro: uma sequência é uma progressão aritmética somente se esta igualdade for verdadeira para qualquer um dos termos da sequência, começando pelo 2º.

A propriedade característica para quaisquer quatro números de uma progressão aritmética pode ser expressa pela fórmula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k são números de progressão).

Em uma progressão aritmética, qualquer (enésimo) termo necessário pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:

Por exemplo: o primeiro termo (a1) em uma progressão aritmética é dado e igual a três, e a diferença (d) é igual a quatro. Você precisa encontrar o quadragésimo quinto termo dessa progressão. a45 = 1+4(45-1)=177

A fórmula an = ak + d(n - k) nos permite determinar enésimo termo uma progressão aritmética através de qualquer um de seus k-ésimos termos, desde que seja conhecido.

A soma dos termos de uma progressão aritmética (ou seja, os primeiros n termos de uma progressão finita) é calculada da seguinte forma:

Sn = (a1+an)n/2.

Se o primeiro termo também for conhecido, outra fórmula será conveniente para cálculo:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

A soma de uma progressão aritmética que contém n termos é calculada da seguinte forma:

A escolha das fórmulas de cálculo depende das condições dos problemas e dos dados iniciais.

Série natural de quaisquer números, como 1,2,3,...,n,...- exemplo mais simples progressão aritmética.

Além da progressão aritmética, existe também uma progressão geométrica, que possui propriedades e características próprias.

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Progressão aritmética

A progressão aritmética é tipo especial subsequência. Portanto, antes de definir a progressão aritmética (e depois a geométrica), precisamos discutir brevemente o importante conceito de sequência numérica.

Subsequência

Imagine um dispositivo em cuja tela certos números são exibidos um após o outro. Digamos 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Este conjunto de números é justamente um exemplo de sequência.

Definição. Uma sequência numérica é um conjunto de números em que a cada número pode ser atribuído um número único (ou seja, associado a um único número natural)1. O número com número n é chamado enésimo termo sequências.

Assim, no exemplo acima, o primeiro número é 2, este é o primeiro membro da sequência, que pode ser denotado por a1; o número cinco tem o número 6 como o quinto termo da sequência, que pode ser denotado por a5. Em geral, o enésimo termo de uma sequência é denotado por an (ou bn, cn, etc.).

Uma situação muito conveniente é quando o enésimo termo da sequência pode ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula an = 2n 3 especifica a sequência: 1; 1; 3; 5; 7; : : : A fórmula an = (1)n especifica a sequência: 1; 1; 1; 1; : : :

Nem todo conjunto de números é uma sequência. Assim, um segmento não é uma sequência; contém “muitos” números para serem renumerados. O conjunto R de todos números reais também não é uma sequência. Esses fatos são comprovados no decorrer da análise matemática.

Progressão aritmética: definições básicas

Agora estamos prontos para definir uma progressão aritmética.

Definição. Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é igual à soma do termo anterior e algum número fixo (chamado de diferença da progressão aritmética).

Por exemplo, sequência 2; 5; 8; 11; : : : é uma progressão aritmética com primeiro termo 2 e diferença 3. Sequência 7; 2; 3; 8; : : : é uma progressão aritmética com primeiro termo 7 e diferença 5. Sequência 3; 3; 3; : : : é uma progressão aritmética com diferença igual a zero.

Definição equivalente: a sequência an é chamada de progressão aritmética se a diferença an+1 an for um valor constante (independente de n).

Uma progressão aritmética é chamada crescente se sua diferença for positiva e decrescente se sua diferença for negativa.

1 Mas aqui está uma definição mais concisa: uma sequência é uma função definida no conjunto dos números naturais. Por exemplo, uma sequência de números reais é uma função f: N ! R.

Por padrão, as sequências são consideradas infinitas, ou seja, contendo uma quantidade infinita de números. Mas ninguém nos incomoda em considerar sequências finitas; na verdade, qualquer conjunto finito de números pode ser chamado de sequência finita. Por exemplo, a sequência final é 1; 2; 3; 4; 5 consiste em cinco números.

Fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética

É fácil entender que uma progressão aritmética é totalmente determinada por dois números: o primeiro termo e a diferença. Portanto, surge a questão: como, conhecendo o primeiro termo e a diferença, encontrar um termo arbitrário de uma progressão aritmética?

Não é difícil obter a fórmula necessária para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Deixe um

progressão aritmética com diferença d. Nós temos:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Em particular, escrevemos:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
e agora fica claro que a fórmula para an é:
uma = a1 + (n 1)d:

Problema 1. Na progressão aritmética 2; 5; 8; 11; : : : encontre a fórmula para o enésimo termo e calcule o centésimo termo.

Solução. De acordo com a fórmula (1) temos:

uma = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Propriedade e sinal de progressão aritmética

Propriedade da progressão aritmética. Na progressão aritmética an para qualquer

Em outras palavras, cada membro de uma progressão aritmética (a partir do segundo) é a média aritmética dos membros vizinhos.

	Prova. Nós temos:
	uma n 1+ uma n+1		(um d) + (um + d)

que era o que era necessário.

Mais de uma maneira geral, a progressão aritmética an satisfaz a igualdade

a n = a n k+ a n+k

para qualquer n > 2 e qualquer k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Acontece que a fórmula (2) serve não apenas como condição necessária, mas também como condição suficiente para que a sequência seja uma progressão aritmética.

Sinal de progressão aritmética. Se a igualdade (2) vale para todo n > 2, então a sequência an é uma progressão aritmética.

Prova. Vamos reescrever a fórmula (2) da seguinte forma:

uma na n 1= uma n+1uma n:

Disto podemos ver que a diferença an+1 an não depende de n, e isso significa precisamente que a sequência an é uma progressão aritmética.

A propriedade e o sinal de uma progressão aritmética podem ser formulados na forma de uma afirmação; Por conveniência, faremos isso para três números(esta é a situação que ocorre frequentemente nos problemas).

Caracterização de uma progressão aritmética. Três números a, b, c formam uma progressão aritmética se e somente se 2b = a + c.

Problema 2. (MSU, Faculdade de Economia, 2007) Três números 8x, 3 x2 e 4 na ordem indicada formam uma progressão aritmética decrescente. Encontre x e indique a diferença dessa progressão.

Solução. Pela propriedade da progressão aritmética temos:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Se x = 1, então obtemos uma progressão decrescente de 8, 2, 4 com uma diferença de 6. Se x = 5, então obtemos uma progressão crescente de 40, 22, 4; este caso não é adequado.

Resposta: x = 1, a diferença é 6.

Soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética

Reza a lenda que um dia a professora disse às crianças para descobrirem a soma dos números de 1 a 100 e sentou-se calmamente para ler o jornal. Contudo, em poucos minutos, um menino disse que havia resolvido o problema. Este era Carl Friedrich Gauss, de 9 anos, mais tarde um dos maiores matemáticos da história.

A ideia do pequeno Gauss foi a seguinte. Deixar

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Vamos escrever esse valor na ordem inversa:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

e adicione estas duas fórmulas:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Cada termo entre parênteses é igual a 101 e, portanto, existem 100 desses termos no total.

2S = 101 100 = 10100;

Usamos essa ideia para derivar a fórmula da soma

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Uma modificação útil da fórmula (3) é obtida se substituirmos a fórmula do enésimo termo an = a1 + (n 1)d nela:

		2a1 + (n 1)d

Problema 3. Encontre a soma de todos os números positivos de três dígitos divisíveis por 13.

Solução. Os números de três dígitos múltiplos de 13 formam uma progressão aritmética com o primeiro termo sendo 104 e a diferença sendo 13; O enésimo termo desta progressão tem a forma:

uma = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Vamos descobrir quantos termos nossa progressão contém. Para fazer isso, resolvemos a desigualdade:

um 6.999; 91+13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; número 6 69:

Portanto, existem 69 membros em nossa progressão. Usando a fórmula (4) encontramos a quantidade necessária:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2