Eles decorrem de sua definição. E então o logaritmo do número b baseado em UMé definido como o expoente ao qual um número deve ser elevado um para obter o número b(logaritmo existe apenas para números positivos).

Desta formulação segue-se que o cálculo x = log a b, é equivalente a resolver a equação uma x =b. Por exemplo, log 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 . A formulação do logaritmo permite justificar que se b=uma c, então o logaritmo do número b baseado em umé igual Com. Também está claro que o tema dos logaritmos está intimamente relacionado ao tema potências de um número.

Com logaritmos, como com qualquer número, você pode fazer operações de adição, subtração e transformar de todas as maneiras possíveis. Mas devido ao fato de que os logaritmos não são números inteiramente comuns, suas próprias regras especiais se aplicam aqui, que são chamadas propriedades principais.

Adição e subtração de logaritmos.

Vamos pegar dois logaritmos com pelos mesmos motivos: registrar um x E registrar um ano. Então é possível realizar operações de adição e subtração:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrar um(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = registrar um x 1 + registrar um x 2 + registrar um x 3 + ... + registrar a x k.

De teorema do quociente logaritmo mais uma propriedade do logaritmo pode ser obtida. É de conhecimento geral que o log um 1= 0, portanto

registro um 1 /b= registro um 1 - registro um b= - registro um b.

Isso significa que existe uma igualdade:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmos de dois números recíprocos pela mesma razão, diferirão entre si apenas pelo sinal. Então:

Registro 3 9= - registro 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.

Expressões logarítmicas, resolução de exemplos. Neste artigo veremos problemas relacionados à resolução de logaritmos. As tarefas colocam a questão de encontrar o significado de uma expressão. Ressalta-se que o conceito de logaritmo é utilizado em muitas tarefas e a compreensão do seu significado é de extrema importância. Já no Exame Estadual Unificado, o logaritmo é utilizado na resolução de equações, em problemas aplicados e também em tarefas relacionadas ao estudo de funções.

Vamos dar exemplos para entender o próprio significado do logaritmo:

Identidade logarítmica básica:

Propriedades dos logaritmos que devem ser sempre lembradas:

*O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

* * *

*O logaritmo de um quociente (fração) é igual à diferença entre os logaritmos dos fatores.

* * *

*O logaritmo de um expoente é igual ao produto do expoente pelo logaritmo de sua base.

* * *

*Transição para uma nova fundação

* * *

Mais propriedades:

* * *

O cálculo dos logaritmos está intimamente relacionado ao uso das propriedades dos expoentes.

Vamos listar alguns deles:

A essência desta propriedade é que quando o numerador é transferido para o denominador e vice-versa, o sinal do expoente muda para o oposto. Por exemplo:

Um corolário desta propriedade:

* * *

Ao elevar uma potência a outra potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados.

* * *

Como você viu, o próprio conceito de logaritmo é simples. O principal é o que é necessário boa prática, o que dá uma certa habilidade. Claro, é necessário conhecimento de fórmulas. Se a habilidade em converter logaritmos elementares não foi desenvolvida, então, ao resolver tarefas simplesÉ fácil cometer um erro.

Pratique, resolva primeiro os exemplos mais simples do curso de matemática e depois passe para os mais complexos. No futuro, com certeza mostrarei como se resolvem logaritmos “feios”; eles não aparecerão no Exame de Estado Unificado, mas são interessantes, não perca!

Isso é tudo! Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Ficaria muito grato se você me falasse sobre o site nas redes sociais.

Definição de logaritmo

O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter b.

Número e em matemática, costuma-se denotar o limite ao qual uma expressão se esforça

Número eé número irracional - um número incomensurável com um, não pode ser expresso com precisão como um número inteiro ou uma fração racional número.

Carta e- primeira letra palavra latina expor- para se exibir, daí o nome em matemática exponencial- função exponencial.

Número e amplamente utilizado em matemática e em todas as ciências que de uma forma ou de outra utilizam cálculos matemáticos para suas necessidades.

Logaritmos. Propriedades dos logaritmos

Definição: Logaritmo número positivo A base b é o expoente c ao qual o número a deve ser elevado para obter o número b.

Identidade logarítmica básica:

7) Fórmula para mudança para uma nova base:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Problemas e testes sobre o tema “Logaritmos. Propriedades dos logaritmos"

• Logaritmos - Tópicos importantes para revisão do Exame Estadual Unificado em matemática

Para concluir com êxito as tarefas neste tópico, você deve conhecer a definição de logaritmo, as propriedades dos logaritmos, a identidade logarítmica básica, as definições de logaritmos decimais e naturais. Os principais tipos de problemas deste tema são problemas que envolvem cálculo e transformação de expressões logarítmicas. Vamos considerar a solução deles usando os exemplos a seguir.

Solução: Usando as propriedades dos logaritmos, obtemos

Solução: Usando as propriedades dos graus, obtemos

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Propriedades de logaritmos, formulações e provas.

Os logaritmos têm várias propriedades características. Neste artigo veremos os principais propriedades dos logaritmos. Aqui daremos suas formulações, anotaremos as propriedades dos logaritmos na forma de fórmulas, mostraremos exemplos de sua aplicação e também forneceremos provas das propriedades dos logaritmos.

Navegação na página.

Propriedades básicas de logaritmos, fórmulas

Para facilitar a lembrança e o uso, vamos imaginar propriedades básicas de logaritmos na forma de uma lista de fórmulas. No próximo parágrafo daremos suas formulações, evidências, exemplos de uso e explicações necessárias.

Propriedade do logaritmo da unidade: log a 1=0 para qualquer a>0, a≠1.

Logaritmo de um número igual à base: log a a=1 para a>0, a≠1.

Propriedade do logaritmo da potência da base: log a a p =p, onde a>0, a≠1 e p – qualquer número real.

Logaritmo do produto de dois números positivos: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
e a propriedade do logaritmo do produto de n números positivos: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .

Propriedade do logaritmo de um quociente: , onde a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritmo da potência de um número: log a b p =p·log a |b| , onde a>0, a≠1, b e p são números tais que o grau b p faz sentido e b p >0.

Conseqüência: , onde a>0, a≠1, n – número natural, maior que um, b>0.

Corolário 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Corolário 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p e q são números reais, q≠0 , em particular para b=a temos .

Formulações e provas de propriedades

Prosseguimos com a formulação e prova das propriedades escritas dos logaritmos. Todas as propriedades dos logaritmos são comprovadas com base na definição do logaritmo e na identidade logarítmica básica que dele segue, bem como nas propriedades do grau.

Vamos começar com propriedades do logaritmo de um. Sua formulação é a seguinte: o logaritmo da unidade é igual a zero, ou seja, registrar um 1=0 para qualquer a>0, a≠1. A prova não é difícil: como a 0 =1 para qualquer a que satisfaça as condições acima a>0 e a≠1, então o log de igualdade a 1=0 a ser provado segue imediatamente da definição do logaritmo.

Vamos dar exemplos de aplicação da propriedade considerada: log 3 1=0, log1=0 e .

Vamos passar para a próxima propriedade: o logaritmo de um número igual à base é igual a um, aquilo é, registrar uma a = 1 para a>0, a≠1. Na verdade, como a 1 =a para qualquer a, então, por definição do logaritmo, log a a=1.

Exemplos de uso desta propriedade de logaritmos são as igualdades log 5 5=1, log 5,6 5,6 e lne=1.

O logaritmo de uma potência de um número igual à base do logaritmo é igual ao expoente. Esta propriedade do logaritmo corresponde a uma fórmula da forma log a a p =p, onde a>0, a≠1 e p – qualquer número real. Esta propriedade decorre diretamente da definição do logaritmo. Observe que permite indicar imediatamente o valor do logaritmo, caso seja possível representar o número sob o sinal do logaritmo como uma potência da base falaremos mais sobre isso no artigo cálculo de logaritmos;

Por exemplo, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 e .

Logaritmo do produto de dois números positivos x e y são iguais ao produto dos logaritmos desses números: log a (x y) = log a x + log a y, uma>0 , uma≠1 . Vamos provar a propriedade do logaritmo de um produto. Devido às propriedades do grau a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, e como pela identidade logarítmica principal um log a x =x e um log a y =y, então um log a x ·a log a y =x·y. Assim, um log a x+log a y =x·y, do qual, pela definição de logaritmo, segue a igualdade que está sendo provada.

Vamos mostrar exemplos de uso da propriedade do logaritmo de um produto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

A propriedade do logaritmo de um produto pode ser generalizada para o produto de um número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Esta igualdade pode ser provada sem problemas usando o método de indução matemática.

Por exemplo, o logaritmo natural do produto pode ser substituído pela soma de três logaritmos naturais dos números 4, e, e.

Logaritmo do quociente de dois números positivos xey é igual à diferença entre os logaritmos desses números. A propriedade do logaritmo do quociente corresponde a uma fórmula da forma , onde a>0, a≠1, x e y são alguns números positivos. A validade desta fórmula é comprovada assim como a fórmula do logaritmo de um produto: já que , então por definição do logaritmo .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade do logaritmo: .

Vamos passar para propriedade do logaritmo da potência. O logaritmo de um grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo do módulo da base deste grau. Vamos escrever esta propriedade do logaritmo de uma potência como uma fórmula: log a b p =p·log a |b|, onde a>0, a≠1, b e p são números tais que o grau b p faz sentido e b p >0.

Primeiro provamos esta propriedade para b positivo. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então b p =(a log a b) p , e a expressão resultante, devido à propriedade de potência, é igual a a p·log a b . Chegamos então à igualdade b p =a p·log a b, da qual, pela definição de logaritmo, concluímos que log a b p =p·log a b.

Resta provar esta propriedade para b negativo. Aqui notamos que a expressão log a b p para b negativo só faz sentido para expoentes pares p (já que o valor do grau b p deve ser maior que zero, caso contrário o logaritmo não fará sentido), e neste caso b p =|b| pág. Então bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , de onde log a b p =p·log a |b| .

Por exemplo, e ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Segue da propriedade anterior propriedade do logaritmo da raiz: o logaritmo da enésima raiz é igual ao produto da fração 1/n pelo logaritmo da expressão radical, ou seja, onde a>0, a≠1, n é um número natural maior que um, b>0 .

A prova é baseada na igualdade (ver definição de expoente com expoente fracionário), que é válida para qualquer b positivo, e na propriedade do logaritmo do expoente: .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade: .

Agora vamos provar fórmula para mudar para uma nova base logarítmica tipo . Para isso, basta provar a validade do log de igualdade c b=log a b·log c a. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então log c b=log c a log a b . Resta usar a propriedade do logaritmo do grau: log c a log a b =log a b·log c a . Isso prova a igualdade log c b=log a b·log c a, o que significa que a fórmula para transição para uma nova base do logaritmo também está provada .

Vamos mostrar alguns exemplos de uso desta propriedade dos logaritmos: e .

A fórmula para passar para uma nova base permite que você passe a trabalhar com logaritmos que possuem uma base “conveniente”. Por exemplo, pode ser usado para alterar logaritmos naturais ou decimais para que você possa calcular o valor de um logaritmo a partir de uma tabela de logaritmos. A fórmula de passagem para uma nova base de logaritmo também permite, em alguns casos, encontrar o valor de um determinado logaritmo quando são conhecidos os valores de alguns logaritmos com outras bases.

Um caso especial da fórmula para transição para uma nova base logarítmica para c=b da forma é frequentemente usado. Isso mostra que log a b e log b a são números mutuamente inversos. Por exemplo, .

A fórmula também é frequentemente usada, o que é conveniente para encontrar os valores dos logaritmos. Para confirmar nossas palavras, mostraremos como ele pode ser usado para calcular o valor de um logaritmo da forma . Nós temos . Para provar a fórmula, basta usar a fórmula de mudança para uma nova base do logaritmo a: .

Resta provar as propriedades de comparação de logaritmos.

Vamos usar o método oposto. Suponha que para a 1 >1, a 2 >1 e a 1 2 e para 0 1, log a 1 b≤log a 2 b seja verdadeiro. Com base nas propriedades dos logaritmos, essas desigualdades podem ser reescritas como E respectivamente, e deles segue que log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Então, de acordo com as propriedades das potências com as mesmas bases, as igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2 devem ser válidas, ou seja, a 1 ≥a 2 . Então chegamos a uma contradição com a condição a 1 2. Isso completa a prova.

Propriedades básicas dos logaritmos

• Materiais para a aula
• Baixe todas as fórmulas

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e transformados de todas as maneiras. Mas como os logaritmos não são exatamente números comuns, existem regras aqui, que são chamadas propriedades principais.

Definitivamente, você precisa conhecer essas regras - sem elas, nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido. Além disso, são poucos - você pode aprender tudo em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: log a x e log a y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos e:

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é igual ao logaritmo do quociente. Atenção: o ponto chave aqui é motivos idênticos. Se os motivos forem diferentes, estas regras não funcionam!

Essas fórmulas ajudarão você a calcular expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são contadas (veja a lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 6 4 + log 6 9.

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos “ruins”, que não são calculados separadamente. Mas após as transformações, são obtidos números completamente normais. Muitos são construídos sobre este fato testes. Sim, expressões semelhantes a testes são oferecidas com toda a seriedade (às vezes praticamente sem alterações) no Exame de Estado Unificado.

Extraindo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se a base ou argumento de um logaritmo for uma potência? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o ODZ do logaritmo for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não só da esquerda para a direita, mas também vice-versa , ou seja Você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

[Legenda da foto]

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nós temos:

[Legenda da foto]

Acho que o último exemplo requer alguns esclarecimentos. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento trabalhamos apenas com o denominador. Apresentamos a base e o argumento do logaritmo ali na forma de potências e retiramos os expoentes - obtivemos uma fração de “três andares”.

Agora vamos dar uma olhada na fração principal. O numerador e o denominador contêm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, e foi isso que foi feito. O resultado foi a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se os motivos forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Deixe ser dado log de logaritmo machado. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

[Legenda da foto]

Em particular, se definirmos c = x, obteremos:

[Legenda da foto]

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

[Legenda da foto]

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

[Legenda da foto]

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

[Legenda da foto]

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

1. n = log a a n

2. No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

   A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: a identidade logarítmica básica.

   Na verdade, o que acontece se o número b for elevado a tal potência que o número b elevado a esta potência dê o número a? Isso mesmo: o resultado é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas ficam presas nele.

   Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

   [Legenda da foto]

   Observe que log 25 64 = log 5 8 - simplesmente pegamos o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Levando em consideração as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

   [Legenda da foto]

   Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado :)

   Unidade logarítmica e zero logarítmico

   Concluindo, darei duas identidades que dificilmente podem ser chamadas de propriedades - antes, são consequências da definição do logaritmo. Eles aparecem constantemente em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos “avançados”.

   1. log a a = 1 é uma unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo de qualquer base a dessa base é igual a um.
   2. log a 1 = 0 é zero logarítmico. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

   Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

   Logaritmo. Propriedades do logaritmo (adição e subtração).

   Propriedades do logaritmo segue de sua definição. E então o logaritmo do número b baseado em UMé definido como o expoente ao qual um número deve ser elevado um para obter o número b(logaritmo existe apenas para números positivos).

   Desta formulação segue-se que o cálculo x = log a b, é equivalente a resolver a equação uma x =b. Por exemplo, log 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 . A formulação do logaritmo permite justificar que se b=uma c, então o logaritmo do número b baseado em umé igual Com. Também está claro que o tema dos logaritmos está intimamente relacionado ao tema das potências.

   Com logaritmos, como com qualquer número, você pode fazer operações de adição, subtração e transformar de todas as maneiras possíveis. Mas devido ao fato de que os logaritmos não são números inteiramente comuns, suas próprias regras especiais se aplicam aqui, que são chamadas propriedades principais.

   Adição e subtração de logaritmos.

   Tomemos dois logaritmos com as mesmas bases: registrar um x E registrar um ano. Então é possível realizar operações de adição e subtração:

   Como vemos, soma dos logaritmosé igual ao logaritmo do produto, e diferença logaritmos- logaritmo do quociente. Além disso, isso é verdade se os números UM, X E no positivo e uma ≠ 1.

   É importante notar que o aspecto principal nestas fórmulas são as mesmas bases. Se os motivos forem diferentes, estas regras não se aplicam!

   As regras para somar e subtrair logaritmos com as mesmas bases são lidas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa. Como resultado, temos os teoremas do logaritmo do produto e do logaritmo do quociente.

   Logaritmo do produto dois números positivos é igual à soma de seus logaritmos ; parafraseando este teorema, obtemos o seguinte se os números UM, x E no positivo e uma ≠ 1, Que:

   Logaritmo do quociente dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor. Dito de outra forma, se os números UM, X E no positivo e uma ≠ 1, Que:

   Vamos aplicar os teoremas acima para resolver exemplos:

   Se os números x E no são negativos, então fórmula do logaritmo do produto torna-se sem sentido. Assim, é proibido escrever:

   já que as expressões log 2 (-8) e log 2 (-4) não estão definidas ( função logarítmica no= registro 2 X definido apenas para valores positivos argumento X).

   Teorema do produto aplicável não apenas para dois, mas também para um número ilimitado de fatores. Isto significa que para cada natural k e quaisquer números positivos x 1 , x 2 , . . . ,x n existe uma identidade:

   De teorema do quociente logaritmo mais uma propriedade do logaritmo pode ser obtida. É de conhecimento geral que o log um 1= 0, portanto

   Isso significa que existe uma igualdade:

   Logaritmos de dois números recíprocos pela mesma razão, diferirão entre si apenas pelo sinal. Então:

   Logaritmo. Propriedades dos logaritmos

   Logaritmo. Propriedades dos logaritmos

   Vamos considerar a igualdade. Deixe-nos saber os valores de e e queremos encontrar o valor de .

   Ou seja, estamos procurando o expoente pelo qual precisamos ajustá-lo para obter .

   Deixar uma variável pode assumir qualquer valor real, então as seguintes restrições são impostas às variáveis: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Se conhecemos os valores de e , e nos deparamos com a tarefa de encontrar a incógnita, então, para isso, é introduzida uma operação matemática, que é chamada logaritmo.

   Para encontrar o valor, tomamos logaritmo de um número Por base :

   O logaritmo de um número à sua base é o expoente ao qual ele deve ser elevado para obter .

   Aquilo é identidade logarítmica básica:

   o» título=»a>o»/> , 1″ título=»a1″/>, 0″ título=»b>0″/>

   é essencialmente uma notação matemática definições de logaritmo.

   A operação matemática do logaritmo é o inverso da operação de exponenciação, então propriedades dos logaritmos estão intimamente relacionados às propriedades do grau.

   Vamos listar os principais propriedades dos logaritmos:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ título=”d1″/>

   4.

   5.

   O seguinte grupo de propriedades permite representar o expoente de uma expressão sob o sinal do logaritmo ou na base do logaritmo como um coeficiente na frente do sinal do logaritmo:

   6.

   7.

   8.

   9.

   O próximo grupo de fórmulas permite passar de um logaritmo com uma determinada base para um logaritmo com uma base arbitrária e é chamado fórmulas para transição para uma nova base:

   10.

   12. (corolário da propriedade 11)

   

   As três propriedades a seguir não são bem conhecidas, mas são frequentemente usadas na resolução de equações logarítmicas ou na simplificação de expressões contendo logaritmos:

   13.

   14.

   15.

   Casos especiais:

   — logaritmo decimal

   — logaritmo natural

   Ao simplificar expressões contendo logaritmos, é usada uma abordagem geral:

   1. Apresentando decimais na forma de comuns.

   2. Representamos os números mistos como frações impróprias.

   3. Decompomos os números na base do logaritmo e sob o sinal do logaritmo em fatores simples.

   4. Tentamos reduzir todos os logaritmos à mesma base.

   5. Aplique as propriedades dos logaritmos.

   Vejamos exemplos de expressões simplificadas contendo logaritmos.

   Exemplo 1.

   Calcular:

   Vamos simplificar todos os expoentes: nossa tarefa é reduzi-los a logaritmos, cuja base é o mesmo número que a base do expoente.

   ==(pela propriedade 7)=(pela propriedade 6) =

   Vamos substituir os indicadores que obtivemos na expressão original. Nós obtemos:

   Resposta: 5,25

   Exemplo 2. Calcule:

   

   Vamos reduzir todos os logaritmos para a base 6 (neste caso, os logaritmos do denominador da fração irão “migrar” para o numerador):

   Vamos decompor os números sob o sinal do logaritmo em fatores simples:

   Vamos aplicar as propriedades 4 e 6:

   Vamos apresentar a substituição

   Nós obtemos:

   Resposta: 1

   Logaritmo . Identidade logarítmica básica.

   Propriedades dos logaritmos. Logaritmo decimal. Logaritmo natural.

   Logaritmo número positivo N para base (b > 0, b 1) é o expoente x ao qual b deve ser elevado para obter N .

   Esta entrada é equivalente ao seguinte: b x = N .

   Exemplos: log 3 81 = 4, já que 3 4 = 81;

   registro 1/3 27 = – 3, já que (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   A definição de logaritmo acima pode ser escrita como uma identidade:

   

   Propriedades básicas dos logaritmos.

   2) log 1 = 0, pois b 0 = 1 .

   3) O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores:

   4) O logaritmo do quociente é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor:

   5) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo de sua base:

   A consequência desta propriedade é a seguinte: logaritmo da raiz igual ao logaritmo número radical dividido pela potência da raiz:

   

   6) Se a base do logaritmo for um grau, então o valor o inverso do expoente pode ser retirado do sinal de rima logarítmica:

   

   Dois últimas propriedades pode ser combinado em um:

   

   7) Fórmula do módulo de transição (ou seja, transição de uma base logarítmica para outra base):

   

   No caso especial quando N = uma nós temos:

   

   Logaritmo decimal chamado logaritmo básico 10. É designado lg, ou seja, registro 10 N= registro N. Logaritmos dos números 10, 100, 1000, . p são 1, 2, 3,…, respectivamente, ou seja, tem tantos pontos positivos

   unidades, quantos zeros existem em um número logarítmico após um. Logaritmos dos números 0,1, 0,01, 0,001, . p são respectivamente –1, –2, –3,…, ou seja, tem tantos números negativos quanto há zeros no número logarítmico antes de um (incluindo zero inteiros). Logaritmos de outros números têm uma parte fracionária chamada mantissa. A parte inteira de um logaritmo é chamada característica. Para uso prático, os logaritmos decimais são mais convenientes.

   Logaritmo natural chamado logaritmo básico e. É denotado por ln, ou seja, registro e N= registro N. Número eé irracional, seu valor aproximado é 2,718281828. É o limite para o qual tende o número (1 + 1 / n) n com aumento ilimitado n(cm. primeiro limite maravilhoso na página "Limites de sequência numérica").
   Por mais estranho que possa parecer, logaritmos naturais acabou sendo muito conveniente ao realizar vários tipos operações relacionadas à análise de função. Calculando logaritmos para base e realizado muito mais rápido do que por qualquer outro motivo.

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