Ao resolver muitos problemas matemáticos, especialmente aquelas que ocorrem antes da 10ª série, a ordem das ações realizadas que levarão ao objetivo está claramente definida. Tais problemas incluem, por exemplo, problemas lineares e equações quadráticas, desigualdades lineares e quadráticas, equações fracionárias e equações que se reduzem a quadráticas. O princípio para resolver com sucesso cada um dos problemas mencionados é o seguinte: é necessário estabelecer que tipo de problema está sendo resolvido, lembrar a sequência necessária de ações que levarão a o resultado desejado, ou seja responda e siga estes passos.

É óbvio que o sucesso ou o fracasso na resolução de um determinado problema depende principalmente de quão corretamente é determinado o tipo de equação a ser resolvida, de quão corretamente é reproduzida a sequência de todas as etapas de sua solução. Claro, neste caso é necessário ter habilidades para realizar transformações e cálculos idênticos.

A situação é diferente com equações trigonométricas. Não é nada difícil estabelecer o fato de que a equação é trigonométrica. Surgem dificuldades na determinação da sequência de ações que levaria à resposta correta.

Por aparência equação, às vezes é difícil determinar seu tipo. E sem conhecer o tipo de equação, é quase impossível escolher a correta entre várias dezenas de fórmulas trigonométricas.

Resolver equação trigonométrica, você tem que tentar:

1. trazer todas as funções incluídas na equação para “os mesmos ângulos”;
2. trazer a equação para “funções idênticas”;
3. fatorar o lado esquerdo da equação, etc.

Vamos considerar métodos básicos para resolver equações trigonométricas.

I. Redução às equações trigonométricas mais simples

Diagrama de solução

Passo 1. Expressar função trigonométrica através de componentes conhecidos.

Passo 2. Encontre o argumento da função usando as fórmulas:

cos x = uma; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = uma; x = (-1) n arco seno a + πn, n Є Z.

tan x = uma; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcoctg a + πn, n Є Z.

Etapa 3. Encontre a variável desconhecida.

Exemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solução.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Resposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituição de variável

Diagrama de solução

Passo 1. Reduza a equação à forma algébrica em relação a uma das funções trigonométricas.

Passo 2. Denote a função resultante pela variável t (se necessário, introduza restrições em t).

Etapa 3. Escreva e resolva a equação algébrica resultante.

Passo 4. Faça uma substituição reversa.

Etapa 5. Resolva a equação trigonométrica mais simples.

Exemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solução.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5 sen (x/2) – 5 = 0;

2pecado 2 (x/2) + 5pecado (x/2) + 3 = 0.

2) Seja sin (x/2) = t, onde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ou e = -3/2, não satisfaz a condição |t| ≤ 1.

4) pecado (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Resposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de redução de ordem de equação

Diagrama de solução

Passo 1. Substitua esta equação por uma linear, usando a fórmula para reduzir o grau:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2. Resolva a equação resultante usando os métodos I e II.

Exemplo.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solução.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Resposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

4. Equações homogêneas

Diagrama de solução

Passo 1. Reduza esta equação para a forma

a) a sen x + b cos x = 0 (equação homogênea de primeiro grau)

ou para a vista

b) a sen 2 x + b sen x · cos x + c cos 2 x = 0 (equação homogênea de segundo grau).

Passo 2. Divida ambos os lados da equação por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e obtenha a equação para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Etapa 3. Resolva a equação usando métodos conhecidos.

Exemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4 = 0.

Solução.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Seja tg x = t, então

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ou t = -4, o que significa

tg x = 1 ou tg x = -4.

Da primeira equação x = π/4 + πn, n Є Z; da segunda equação x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Resposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformação de uma equação usando fórmulas trigonométricas

Diagrama de solução

Passo 1. Usando todos os tipos de fórmulas trigonométricas, reduza esta equação a uma equação resolvida pelos métodos I, II, III, IV.

Passo 2. Resolva a equação resultante usando métodos conhecidos.

Exemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solução.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sen 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0;

Da primeira equação 2x = π/2 + πn, n Є Z; da segunda equação cos x = -1/2.

Temos x = π/4 + πn/2, n Є Z; da segunda equação x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Resposta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A habilidade e habilidade para resolver equações trigonométricas é muito importante, o seu desenvolvimento exige um esforço significativo, tanto por parte do aluno como por parte do professor.

Muitos problemas de estereometria, física, etc. estão associados à solução de equações trigonométricas. O processo de resolução de tais problemas incorpora muitos dos conhecimentos e habilidades que são adquiridos pelo estudo dos elementos da trigonometria.

Equações trigonométricas levam Lugar importante no processo de ensino de matemática e desenvolvimento da personalidade em geral.

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Aula e apresentação sobre o tema: “Resolvendo equações trigonométricas simples”

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O que estudaremos:
1. O que são equações trigonométricas?

3. Dois métodos principais para resolver equações trigonométricas.
4. Equações trigonométricas homogêneas.
5. Exemplos.

O que são equações trigonométricas?

Pessoal, já estudamos arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente. Agora vamos dar uma olhada nas equações trigonométricas em geral.

Equações trigonométricas são equações nas quais uma variável está contida sob o sinal de uma função trigonométrica.

Vamos repetir a forma de resolver as equações trigonométricas mais simples:

1)Se |a|≤ 1, então a equação cos(x) = a tem solução:

X= ± arcos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, então a equação sin(x) = a tem solução:

3) Se |a| > 1, então a equação sin(x) = a e cos(x) = a não têm soluções 4) A equação tg(x)=a tem solução: x=arctg(a)+ πk

5) A equação ctg(x)=a tem solução: x=arcctg(a)+ πk

Para todas as fórmulas k é um número inteiro

As equações trigonométricas mais simples têm a forma: T(kx+m)=a, T é alguma função trigonométrica.

Exemplo.

Resolva as equações: a) sin(3x)= √3/2

Solução:

A) Vamos denotar 3x=t, então reescreveremos nossa equação na forma:

A solução para esta equação será: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Da tabela de valores obtemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vamos voltar à nossa variável: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Então x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Resposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, onde n é um número inteiro. (-1)^n – menos um elevado à potência de n.

Mais exemplos de equações trigonométricas.

Resolva as equações: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solução:

A) Desta vez, vamos passar diretamente para o cálculo das raízes da equação:

X/5= ± arcos(1) + 2πk. Então x/5= πk => x=5πk

Resposta: x=5πk, onde k é um número inteiro.

B) Escrevemos na forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Resposta: x=2π/9 + πk/3, onde k é um número inteiro.

Resolva as equações: cos(4x)= √2/2. E encontre todas as raízes do segmento.

Solução:

Nós decidiremos em visão geral nossa equação: 4x= ± arcos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Agora vamos ver quais raízes estão em nosso segmento. Em k Em k=0, x= π/16, estamos no segmento determinado.
Com k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, acertamos novamente.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, mas aqui não acertamos, o que significa que para k grande obviamente também não acertaremos.

Resposta: x= π/16, x= 9π/16

Dois métodos principais de solução.

Vimos as equações trigonométricas mais simples, mas também existem outras mais complexas. Para resolvê-los, utiliza-se o método de introdução de uma nova variável e o método de fatoração. Vejamos exemplos.

Vamos resolver a equação:

Solução:
Para resolver nossa equação, usaremos o método de introdução de uma nova variável, denotando: t=tg(x).

Como resultado da substituição obtemos: t 2 + 2t -1 = 0

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática: t=-1 e t=1/3

Então tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, obtemos a equação trigonométrica mais simples, vamos encontrar suas raízes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Resposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Um exemplo de resolução de uma equação

Resolva equações: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solução:

Vamos usar a identidade: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nossa equação terá a forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vamos apresentar a substituição t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

A solução para nossa equação quadrática são as raízes: t=2 e t=-1/2

Então cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Porque cosseno não pode assumir valores maiores que um, então cos(x)=2 não tem raízes.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Resposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equações trigonométricas homogêneas.

Definição: Equações da forma a sin(x)+b cos(x) são chamadas de equações trigonométricas homogêneas de primeiro grau.

Equações da forma

equações trigonométricas homogêneas de segundo grau.

Para resolver uma equação trigonométrica homogênea de primeiro grau, divida-a por cos(x): Você não pode dividir pelo cosseno se for igual a zero, vamos ter certeza de que não é esse o caso:
Seja cos(x)=0, então asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mas seno e cosseno não são iguais a zero ao mesmo tempo, obtemos uma contradição, então podemos dividir com segurança por zero.

Resolva a equação:
Exemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solução:

Vamos retirar o fator comum: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Então precisamos resolver duas equações:

Cos(x)=0 e cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 em x= π/2 + πk;

Considere a equação cos(x)+sin(x)=0 Divida nossa equação por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Resposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Como resolver equações trigonométricas homogêneas de segundo grau?
Pessoal, sigam sempre essas regras!

1. Veja a que é igual o coeficiente a, se a=0 então nossa equação terá a forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), cujo exemplo está no slide anterior

2. Se a≠0, então você precisa dividir ambos os lados da equação pelo cosseno ao quadrado, obtemos:

Mudamos a variável t=tg(x) e obtemos a equação:

Resolva o exemplo nº:3

Resolva a equação:
Solução:

Vamos dividir ambos os lados da equação pelo quadrado do cosseno:

Mudamos a variável t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática: t=-3 e t=1

Então: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Resposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Resolva o exemplo nº:4

Resolva a equação:

Solução:
Vamos transformar nossa expressão:

Podemos resolver tais equações: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Resposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Resolva o exemplo nº: 5

Resolva a equação:

Solução:
Vamos transformar nossa expressão:

Vamos apresentar a substituição tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

A solução para nossa equação quadrática serão as raízes: t=-2 e t=1/2

Então obtemos: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arcog(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Resposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemas para solução independente.

1) Resolva a equação

A) sen(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Resolva as equações: sin(3x)= √3/2. E encontre todas as raízes no segmento [π/2; π].

3) Resolva a equação: berço 2 (x) + 2 berço (x) + 1 =0

4) Resolva a equação: 3 sen 2 (x) + √3 sen (x) cos(x) = 0

5) Resolva a equação: 3sen 2 (3x) + 10 sen(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Resolva a equação: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Resolvendo equações trigonométricas simples.

Resolver equações trigonométricas de qualquer nível de complexidade se resume, em última análise, a resolver as equações trigonométricas mais simples. E neste melhor ajudante novamente, é um círculo trigonométrico.

Vamos relembrar as definições de cosseno e seno.

O cosseno de um ângulo é a abcissa (isto é, a coordenada ao longo do eixo) de um ponto no círculo unitário correspondente a uma rotação através de um determinado ângulo.

O seno de um ângulo é a ordenada (ou seja, a coordenada ao longo do eixo) de um ponto no círculo unitário correspondente a uma rotação através de um determinado ângulo.

A direção positiva do movimento no círculo trigonométrico é no sentido anti-horário. Uma rotação de 0 graus (ou 0 radianos) corresponde a um ponto com coordenadas (1;0)

Usamos essas definições para resolver equações trigonométricas simples.

1. Resolva a equação

Esta equação é satisfeita por todos os valores do ângulo de rotação que correspondem a pontos do círculo cuja ordenada é igual a .

Vamos marcar um ponto com ordenadas no eixo das ordenadas:

Desenhe uma linha horizontal paralela ao eixo x até cruzar com o círculo. Obtemos dois pontos situados no círculo e com uma ordenada. Esses pontos correspondem a ângulos de rotação em radianos:

Se, saindo do ponto correspondente ao ângulo de rotação por radiano, fizermos uma volta completa, chegaremos a um ponto correspondente ao ângulo de rotação por radiano e com a mesma ordenada. Ou seja, este ângulo de rotação também satisfaz a nossa equação. Podemos fazer quantas revoluções “ociosas” quisermos, retornando ao mesmo ponto, e todos esses valores de ângulos satisfarão nossa equação. O número de revoluções “ociosas” será indicado pela letra (ou). Como podemos fazer essas revoluções nas direções positiva e negativa, (ou) podemos assumir quaisquer valores inteiros.

Ou seja, a primeira série de soluções da equação original tem a forma:

, , - conjunto de inteiros (1)

Da mesma forma, a segunda série de soluções tem a forma:

, Onde , . (2)

Como você deve ter adivinhado, esta série de soluções é baseada no ponto do círculo correspondente ao ângulo de rotação de .

Estas duas séries de soluções podem ser combinadas em uma entrada:

Se considerarmos (isto é, par) esta entrada, obteremos a primeira série de soluções.

Se considerarmos (isto é, ímpar) esta entrada, obteremos a segunda série de soluções.

2. Agora vamos resolver a equação

Como esta é a abcissa de um ponto no círculo unitário obtido pela rotação de um ângulo, marcamos o ponto com a abcissa no eixo:

Desenhe uma linha vertical paralela ao eixo até cruzar com o círculo. Teremos dois pontos situados no círculo e tendo uma abcissa. Esses pontos correspondem a ângulos de rotação em radianos. Lembre-se de que ao mover no sentido horário obtemos um ângulo de rotação negativo:

Vamos escrever duas séries de soluções:

,

,

(Isto é, chegamos ao ponto desejado partindo do círculo completo principal.

Vamos combinar essas duas séries em uma entrada:

3. Resolva a equação

A reta tangente passa pelo ponto com coordenadas (1,0) do círculo unitário paralelo ao eixo OY

Vamos marcar nele um ponto com ordenada igual a 1 (procuramos a tangente cujos ângulos são iguais a 1):

Vamos conectar este ponto à origem das coordenadas com uma linha reta e marcar os pontos de intersecção da linha com o círculo unitário. Os pontos de intersecção da linha reta e do círculo correspondem aos ângulos de rotação em e :

Como os pontos correspondentes aos ângulos de rotação que satisfazem a nossa equação estão a uma distância de radianos um do outro, podemos escrever a solução desta forma:

4. Resolva a equação

A linha de cotangentes passa pelo ponto com as coordenadas do círculo unitário paralelas ao eixo.

Vamos marcar um ponto com abcissa -1 na linha de cotangentes:

Vamos conectar este ponto à origem da linha reta e continuar até cruzar com o círculo. Esta linha reta cruzará o círculo em pontos correspondentes aos ângulos de rotação em radianos:

Como esses pontos estão separados entre si por uma distância igual a , então decisão comum Podemos escrever esta equação assim:

Nos exemplos dados que ilustram a solução das equações trigonométricas mais simples, foram utilizados valores tabulares de funções trigonométricas.

No entanto, se o lado direito da equação contiver um valor não tabular, substituímos o valor na solução geral da equação:

SOLUÇÕES ESPECIAIS:

Vamos marcar os pontos do círculo cuja ordenada é 0:

Marquemos um único ponto no círculo cuja ordenada é 1:

Marquemos um único ponto no círculo cuja ordenada é igual a -1:

Como é costume indicar valores mais próximos de zero, escrevemos a solução da seguinte forma:

Marquemos os pontos do círculo cuja abcissa é igual a 0:

5.
Marquemos um único ponto no círculo cuja abcissa é igual a 1:

Marquemos um único ponto no círculo cuja abcissa é igual a -1:

E exemplos um pouco mais complexos:

1.

O seno é igual a um se o argumento for igual a

O argumento do nosso seno é igual, então obtemos:

Vamos dividir ambos os lados da igualdade por 3:

Responder:

2.

O cosseno é zero se o argumento do cosseno for

O argumento do nosso cosseno é igual a, então obtemos:

Vamos expressar, para fazer isso primeiro nos movemos para a direita com o sinal oposto:

Vamos simplificar o lado direito:

Divida ambos os lados por -2:

Observe que o sinal na frente do termo não muda, pois k pode assumir qualquer valor inteiro.

Responder:

E por fim, assista à videoaula “Selecionando raízes em uma equação trigonométrica usando um círculo trigonométrico”

Isso conclui nossa conversa sobre como resolver equações trigonométricas simples. Da próxima vez falaremos sobre como decidir.

Ao resolver muitos problemas matemáticos, especialmente aquelas que ocorrem antes da 10ª série, a ordem das ações realizadas que levarão ao objetivo está claramente definida. Tais problemas incluem, por exemplo, equações lineares e quadráticas, desigualdades lineares e quadráticas, equações fracionárias e equações que se reduzem a quadráticas. O princípio para resolver com sucesso cada um dos problemas mencionados é o seguinte: você precisa estabelecer que tipo de problema você está resolvendo, lembrar a sequência necessária de ações que levarão ao resultado desejado, ou seja, responda e siga estes passos.

É óbvio que o sucesso ou o fracasso na resolução de um determinado problema depende principalmente de quão corretamente é determinado o tipo de equação a ser resolvida, de quão corretamente é reproduzida a sequência de todas as etapas de sua solução. Claro, neste caso é necessário ter habilidades para realizar transformações e cálculos idênticos.

A situação é diferente com equações trigonométricas. Não é nada difícil estabelecer o fato de que a equação é trigonométrica. Surgem dificuldades na determinação da sequência de ações que levaria à resposta correta.

Às vezes é difícil determinar seu tipo com base na aparência de uma equação. E sem conhecer o tipo de equação, é quase impossível escolher a correta entre várias dezenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver uma equação trigonométrica, você precisa tentar:

1. trazer todas as funções incluídas na equação para “os mesmos ângulos”;
2. trazer a equação para “funções idênticas”;
3. fatorar o lado esquerdo da equação, etc.

Vamos considerar métodos básicos para resolver equações trigonométricas.

I. Redução às equações trigonométricas mais simples

Diagrama de solução

Passo 1. Expresse uma função trigonométrica em termos de componentes conhecidos.

Passo 2. Encontre o argumento da função usando as fórmulas:

cos x = uma; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

pecado x = uma; x = (-1) n arco seno a + πn, n Є Z.

tan x = uma; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcoctg a + πn, n Є Z.

Etapa 3. Encontre a variável desconhecida.

Exemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solução.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Resposta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituição de variável

Diagrama de solução

Passo 1. Reduza a equação à forma algébrica em relação a uma das funções trigonométricas.

Passo 2. Denote a função resultante pela variável t (se necessário, introduza restrições em t).

Etapa 3. Escreva e resolva a equação algébrica resultante.

Passo 4. Faça uma substituição reversa.

Etapa 5. Resolva a equação trigonométrica mais simples.

Exemplo.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solução.

1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5 sen (x/2) – 5 = 0;

2pecado 2 (x/2) + 5pecado (x/2) + 3 = 0.

2) Seja sin (x/2) = t, onde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ou e = -3/2, não satisfaz a condição |t| ≤ 1.

4) pecado (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Resposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Método de redução de ordem de equação

Diagrama de solução

Passo 1. Substitua esta equação por uma linear, usando a fórmula para reduzir o grau:

sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2. Resolva a equação resultante usando os métodos I e II.

Exemplo.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solução.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Resposta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

4. Equações homogêneas

Diagrama de solução

Passo 1. Reduza esta equação para a forma

a) a sen x + b cos x = 0 (equação homogênea de primeiro grau)

ou para a vista

b) a sen 2 x + b sen x · cos x + c cos 2 x = 0 (equação homogênea de segundo grau).

Passo 2. Divida ambos os lados da equação por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

e obtenha a equação para tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Etapa 3. Resolva a equação usando métodos conhecidos.

Exemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4 = 0.

Solução.

1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Seja tg x = t, então

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ou t = -4, o que significa

tg x = 1 ou tg x = -4.

Da primeira equação x = π/4 + πn, n Є Z; da segunda equação x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Resposta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformação de uma equação usando fórmulas trigonométricas

Diagrama de solução

Passo 1. Usando todas as fórmulas trigonométricas possíveis, reduza esta equação a uma equação resolvida pelos métodos I, II, III, IV.

Passo 2. Resolva a equação resultante usando métodos conhecidos.

Exemplo.

sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Solução.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sen 2x (2cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0;

Da primeira equação 2x = π/2 + πn, n Є Z; da segunda equação cos x = -1/2.

Temos x = π/4 + πn/2, n Є Z; da segunda equação x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Resposta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A habilidade e habilidade para resolver equações trigonométricas é muito importante, o seu desenvolvimento exige um esforço significativo, tanto por parte do aluno como por parte do professor.

Muitos problemas de estereometria, física, etc. estão associados à solução de equações trigonométricas. O processo de resolução de tais problemas incorpora muitos dos conhecimentos e habilidades que são adquiridos pelo estudo dos elementos da trigonometria.

As equações trigonométricas ocupam um lugar importante no processo de aprendizagem da matemática e no desenvolvimento pessoal em geral.

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