A frase " conjuntos de números"é bastante comum em livros didáticos de matemática. Lá você pode encontrar frases como esta:

“Blá, blá, blá, onde pertence ao conjunto dos números naturais.”

Muitas vezes, em vez do final de uma frase, você pode ver algo assim. Significa o mesmo que o texto um pouco acima - um número pertence ao conjunto dos números naturais. Muitas vezes, muitas pessoas não prestam atenção em qual conjunto esta ou aquela variável está definida. Como resultado, métodos completamente incorretos são usados ​​para resolver um problema ou provar um teorema. Isso acontece porque as propriedades dos números pertencentes a conjuntos diferentes podem ser diferentes.

Não existem tantos conjuntos numéricos. Abaixo você pode ver as definições de vários conjuntos de números.

O conjunto dos números naturais inclui todos os inteiros maiores que zero – inteiros positivos.

Por exemplo: 1, 3, 20, 3057. O conjunto não inclui o número 0.

Este conjunto de números inclui todos os números inteiros maiores que e menos que zero, e também zero.

Por exemplo: -15, 0, 139.

Os números racionais, em geral, são um conjunto de frações que não podem ser cancelados (se uma fração for cancelada, então já será um número inteiro, e para este caso não há necessidade de introduzir outro conjunto numérico).

Um exemplo de números incluídos no conjunto racional: 3/5, 9/7, 1/2.

,

onde é uma sequência finita de dígitos da parte inteira de um número pertencente ao conjunto dos números reais. Essa sequência é finita, ou seja, o número de dígitos da parte inteira de um número real é finito.

– uma sequência infinita de números que estão na parte fracionária de um número real. Acontece que a parte fracionária contém um número infinito de números.

Esses números não podem ser representados como uma fração. Caso contrário, tal número poderia ser classificado como um conjunto de números racionais.

Exemplos de números reais:

Vamos dar uma olhada mais de perto no significado da raiz de dois. A parte inteira contém apenas um dígito - 1, então podemos escrever:

Na parte fracionária (após o ponto), os números 4, 1, 4, 2 e assim por diante aparecem sequencialmente. Portanto, para os primeiros quatro dígitos podemos escrever:

Ouso esperar que agora a definição do conjunto dos números reais tenha ficado mais clara.

Conclusão

Deve-se lembrar que a mesma função pode apresentar propriedades completamente diferentes dependendo do conjunto ao qual a variável pertence. Portanto, lembre-se do básico: eles serão úteis.

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Estado instituição educacional

média educação profissional

Região de Tula

"Faculdade de Engenharia Mecânica Aleksinsky"

Numérico

conjuntos

Projetado por

professor

matemáticos

Khristoforova M.Yu.

Número - conceito básico , usado para características, comparações, e suas partes. Sinais escritos para denotar números são , e também matemático .

O conceito de número surgiu na antiguidade a partir das necessidades práticas das pessoas e desenvolveu-se no processo de desenvolvimento humano. Região atividade humana expandiu-se e, consequentemente, aumentou a necessidade de descrição quantitativa e pesquisa. A princípio, o conceito de número foi determinado pelas necessidades de contagem e medição que surgiram na atividade prática humana, tornando-se cada vez mais complexo. Mais tarde, o número se torna o conceito básico da matemática, e as necessidades desta ciência determinam desenvolvimento adicional este conceito.

Conjuntos cujos elementos são números são chamados de numéricos.

Exemplos de conjuntos de números são:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - conjunto dos números naturais;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - conjunto de inteiros não negativos;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - conjunto de inteiros;

Q = (m/n: m Z,n N) é o conjunto dos números racionais.

Conjunto R de números reais.

Existe uma relação entre esses conjuntos

N Zo Z P R.

Números do formulárioN = (1, 2, 3, ....) são chamadosnatural . Os números naturais surgiram em conexão com a necessidade de contar objetos.

Qualquer , maior que a unidade, pode ser representado como um produto de potências números primos, e a única maneira até a ordem dos fatores. Por exemplo, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

Sem, n, k - números naturais, então quandom - n = k eles dizem issom - minuendo, n - subtraendo, k - diferença; nom: n = k eles dizem issom - dividendo, n - divisor, k - quociente, númeroeu também chamadomúltiplos númerosnão, e o númeron - divisor númerosm, Se o númerom- múltiplo de um númeronão, então existe um número naturalok, tal quem = kn.

A partir de números usando sinais aritméticos e parênteses, eles são compostosexpressões numéricas. Se você realizar as ações indicadas em expressão numérica, observando a ordem aceita, obterá um número denominadoo valor da expressão .

A ordem das operações aritméticas: as ações entre colchetes são executadas primeiro; Dentro de quaisquer parênteses, a multiplicação e a divisão são realizadas primeiro e depois a adição e a subtração.

Se um número naturaleu não divisível por um número naturalnão, aqueles. não existe tal coisanúmero natural k, O quem = kn, então eles consideramdivisão com resto: m = np + r, Ondem - dividendo, n - divisor (m>n), p - quociente, r - restante .

Se um número tiver apenas dois divisores (o próprio número e um), então ele é chamadosimples : se um número tiver mais de dois divisores, então ele é chamadocomposto.

Qualquer número natural composto pode serfatorar , e apenas uma maneira. Ao fatorar números em fatores primos, usesinais de divisibilidade .

um Eb pode ser encontradomáximo divisor comum. É designadoD(a,b). Se os númerosum Eb são tais queD(uma,b) = 1, então os númerosum Eb são chamadosmutuamente simples.

Para quaisquer números naturais dadosum Eb pode ser encontradomínimo múltiplo comum. É designadoK(a,b). Qualquer múltiplo comum de númerosum Eb dividido porK(a,b).

Se os númerosum Eb relativamente primo , ou sejaD(uma,b) = 1, QueK(a,b) = ab .

Números do formulário:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) são chamados inteiros , aqueles. Os inteiros são os números naturais, o oposto dos números naturais e o número 0.

Os números naturais 1, 2, 3, 4, 5.... também são chamados de inteiros positivos. Os números -1, -2, -3, -4, -5, ..., o oposto dos números naturais, são chamados de inteiros negativos.

Números significativos um número são todos os seus dígitos, exceto os zeros à esquerda.

Um grupo de dígitos que se repete sequencialmente após a vírgula decimal na notação decimal de um número é chamadoperíodo, e uma fração decimal infinita tendo tal período em sua notação é chamadaperiódico . Se o período começar imediatamente após a vírgula decimal, a fração será chamadaperiódico puro ; se houver outras casas decimais entre a vírgula e o ponto, então a fração é chamadaperiódico misto .

Números que não são inteiros ou fracionários são chamadosirracional .

Cada número irracional representado como uma fração decimal infinita não periódica.

O conjunto de todos os finitos e infinitos decimais chamadomuitos números reais : racional e irracional.

O conjunto R dos números reais possui as seguintes propriedades.

1. É ordenado: para quaisquer dois números diferentes α e b, uma das duas relações é válida: a

2. O conjunto R é denso: entre quaisquer dois números diferentes aeb contêm um conjunto infinito de números reais x, ou seja, números que satisfazem a desigualdade a<х

Então, se um

(um 2a< UM+bUM+b<2b  2 UM UM<(a+b)/2

Os números reais podem ser representados como pontos em uma reta numérica. Para definir uma reta numérica, você precisa marcar um ponto na reta que corresponderá ao número 0 - a origem e, em seguida, selecionar um segmento unitário e indicar a direção positiva.

Cada ponto da reta coordenada corresponde a um número, que é definido como o comprimento do segmento desde a origem até o ponto em questão, sendo um segmento unitário tomado como unidade de medida. Este número é a coordenada do ponto. Se um ponto for colocado à direita da origem, então sua coordenada é positiva, e se for à esquerda, é negativa. Por exemplo, os pontos O e A possuem coordenadas 0 e 2, respectivamente, que podem ser escritas da seguinte forma: 0(0), A(2).

A análise matemática é o ramo da matemática que trata do estudo de funções com base na ideia de função infinitesimal.

Os conceitos básicos da análise matemática são quantidade, conjunto, função, função infinitesimal, limite, derivada, integral.

Tamanho Qualquer coisa que possa ser medida e expressa por número é chamada.

Muitosé uma coleção de alguns elementos unidos por alguma característica comum. Os elementos de um conjunto podem ser números, figuras, objetos, conceitos, etc.

Os conjuntos são denotados por letras maiúsculas e os elementos do conjunto são denotados por letras minúsculas. Os elementos dos conjuntos são colocados entre chaves.

Se elemento x pertence ao conjunto X, então escreva x∈X (∈ - pertence).
Se o conjunto A faz parte do conjunto B, então escreva UMA ⊂ B (⊂ - contido).

Um conjunto pode ser definido de duas maneiras: por enumeração e usando uma propriedade definidora.

Por exemplo, os seguintes conjuntos são especificados por enumeração:

• UMA=(1,2,3,5,7) - conjunto de números
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — conjunto de alguns elementos x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — conjunto de números naturais
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — conjunto de inteiros

O conjunto (-∞;+∞) é chamado reta numérica, e qualquer número é um ponto nesta reta. Seja a um ponto arbitrário na reta numérica e δ um número positivo. O intervalo (a-δ; a+δ) é chamado δ-vizinhança do ponto a.

Um conjunto X é limitado de cima (de baixo) se existe um número c tal que para qualquer x ∈ X a desigualdade x≤с (x≥c) é válida. O número c neste caso é chamado borda superior (inferior) conjunto X. Um conjunto limitado acima e abaixo é chamado limitado. A menor (maior) das faces superiores (inferiores) de um conjunto é chamada borda superior (inferior) exata desta multidão.

Conjuntos de números básicos

N	(1,2,3,...,n) Conjunto de todos
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Definir inteiros. O conjunto dos inteiros inclui o conjunto dos números naturais.
P	Muitos números racionais. Além dos números inteiros, também existem frações. Uma fração é uma expressão da forma onde p- inteiro, q- naturais. As frações decimais também podem ser escritas como. Por exemplo: 0,25 = 25/100 = 1/4. Os números inteiros também podem ser escritos como . Por exemplo, na forma de uma fração com denominador “um”: 2 = 2/1. Assim, qualquer número racional pode ser escrito como uma fração decimal - finita ou infinitamente periódica.
R	Muitos de todos números reais. Os números irracionais são frações não periódicas infinitas. Estes incluem: Juntos, dois conjuntos (números racionais e irracionais) formam o conjunto dos números reais (ou reais).

Se um conjunto não contém um único elemento, então ele é chamado conjunto vazio e está gravado Ø .

Elementos de simbolismo lógico

Notação ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantificador

Quantificadores são frequentemente usados ​​ao escrever expressões matemáticas.

Quantificadoré chamado de símbolo lógico que caracteriza os elementos que o seguem em termos quantitativos.

• ∀- quantificador geral, é usado em vez das palavras “para todos”, “para qualquer um”.
• ∃- quantificador de existência, é usado em vez das palavras “existe”, “está disponível”. A combinação de símbolos ∃ também é usada, que é lida como se houvesse apenas um.

Definir operações

Dois conjuntos A e B são iguais(A=B) se consistirem nos mesmos elementos.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) então A=B.

Por união (soma) os conjuntos A e B são um conjunto A ∪ B cujos elementos pertencem a pelo menos um desses conjuntos.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), então A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Por intersecção (produto) os conjuntos A e B são chamados de conjunto A ∩ B, cujos elementos pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), então A ∩ B = (2,4)

Por diferença Os conjuntos A e B são chamados de conjunto AB, cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), então AB = (1,2)

Diferença simétrica os conjuntos A e B é denominado conjunto A Δ B, que é a união das diferenças dos conjuntos AB e BA, ou seja, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), então A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Propriedades de operações definidas

Propriedades de comutabilidade

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Propriedade correspondente

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Conjuntos contáveis ​​e incontáveis

Para comparar quaisquer dois conjuntos A e B, é estabelecida uma correspondência entre seus elementos.

Se esta correspondência for bijetiva, então os conjuntos são chamados equivalentes ou igualmente poderosos, A B ou B A.

Exemplo 1

O conjunto de pontos na perna BC e na hipotenusa AC do triângulo ABC são de igual potência.

O conjunto dos números naturais é composto pelos números 1, 2, 3, 4, ..., utilizados para contar objetos. O conjunto de todos os números naturais é geralmente denotado pela letra N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Leis de adição de números naturais

1. Para quaisquer números naturais um E b igualdade é verdade um + b = b + um . Essa propriedade é chamada de lei comutativa da adição.

2. Para quaisquer números naturais um, b, c igualdade é verdade (um + b) + c = um + (b + c) . Esta propriedade é chamada de lei combinada (associativa) da adição.

Leis de multiplicação de números naturais

3. Para quaisquer números naturais um E b igualdade é verdade ab = ba. Esta propriedade é chamada lei comutativa da multiplicação.

4. Para quaisquer números naturais um, b, c igualdade é verdade (umb)c = um(bc) . Esta propriedade é chamada de lei combinada (associativa) da multiplicação.

5. Para quaisquer valores um, b, c igualdade é verdade (um + b)c = ac + a.C. . Esta propriedade é chamada de lei distributiva da multiplicação (em relação à adição).

6. Para quaisquer valores um igualdade é verdade um*1 = um. Esta propriedade é chamada de lei da multiplicação por um.

O resultado da adição ou multiplicação de dois números naturais é sempre um número natural. Ou, dito de outra forma, essas operações podem ser realizadas permanecendo no conjunto dos números naturais. O mesmo não se pode dizer da subtração e da divisão: assim, do número 3 é impossível, permanecendo no conjunto dos números naturais, subtrair o número 7; O número 15 não pode ser dividido completamente por 4.

Sinais de divisibilidade de números naturais

Divisibilidade de uma soma. Se cada termo for divisível por um número, então a soma será divisível por esse número.

Divisibilidade de um produto. Se em um produto pelo menos um dos fatores for divisível por um determinado número, então o produto também será divisível por esse número.

Estas condições, tanto para a soma como para o produto, são suficientes mas não necessárias. Por exemplo, o produto 12*18 é divisível por 36, embora nem 12 nem 18 sejam divisíveis por 36.

Teste a divisibilidade por 2. Para que um número natural seja divisível por 2 é necessário e suficiente que seu último algarismo seja par.

Teste a divisibilidade por 5. Para que um número natural seja divisível por 5 é necessário e suficiente que seu último algarismo seja 0 ou 5.

Teste a divisibilidade por 10. Para que um número natural seja divisível por 10 é necessário e suficiente que o algarismo das unidades seja 0.

Teste a divisibilidade por 4. Para que um número natural contendo pelo menos três algarismos seja divisível por 4, é necessário e suficiente que os últimos algarismos sejam 00, 04, 08 ou que o número de dois algarismos formado pelos dois últimos algarismos deste número seja divisível por 4.

Teste a divisibilidade por 2 (por 9). Para que um número natural seja divisível por 3 (por 9), é necessário e suficiente que a soma dos seus algarismos seja divisível por 3 (por 9).

Conjunto de inteiros

Considere uma reta numérica com origem no ponto Ó. A coordenada do número zero será um ponto Ó. Os números localizados na reta numérica em uma determinada direção são chamados de números positivos. Deixe um ponto ser dado na reta numérica UM com coordenada 3. Corresponde ao número positivo 3. Agora vamos traçar o segmento unitário do ponto três vezes Ó, na direção oposta à dada. Então entendemos o ponto UM", simétrico ao ponto UM em relação à origem Ó. Coordenada de ponto UM" haverá um número - 3. Este número é o oposto do número 3. Os números localizados na reta numérica na direção oposta àquela dada são chamados de números negativos.

Números opostos aos números naturais formam um conjunto de números N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Se combinarmos os conjuntos N , N" e conjunto singleton {0} , então obtemos um conjunto Z todos os números inteiros:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Para números inteiros, todas as leis de adição e multiplicação acima são verdadeiras, o que é verdadeiro para números naturais. Além disso, são adicionadas as seguintes leis de subtração:

um - b = um + (- b) ;

um + (- um) = 0 .

Conjunto de números racionais

Para tornar viável a operação de divisão de inteiros por qualquer número diferente de zero, são introduzidas frações:

Onde um E b- inteiros e b não é igual a zero.

Se somarmos o conjunto de todas as frações positivas e negativas ao conjunto dos inteiros, obteremos o conjunto dos números racionais P :

.

Além disso, cada número inteiro também é um número racional, pois, por exemplo, o número 5 pode ser representado na forma , onde o numerador e o denominador são inteiros. Isto é importante ao realizar operações com números racionais, um dos quais pode ser um número inteiro.

Leis das operações aritméticas em números racionais

A propriedade principal de uma fração. Se o numerador e o denominador de uma determinada fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, você obterá uma fração igual ao dado:

Esta propriedade é usada ao reduzir frações.

Adicionando frações. A adição de frações ordinárias é definida da seguinte forma:

.

Ou seja, para somar frações com denominadores diferentes, as frações são reduzidas a um denominador comum. Na prática, ao somar (subtrair) frações com denominadores diferentes, as frações são reduzidas ao menor denominador comum. Por exemplo, assim:

Para somar frações com numeradores iguais, basta somar os numeradores e deixar o denominador igual.

Multiplicando frações. A multiplicação de frações ordinárias é definida da seguinte forma:

Ou seja, para multiplicar uma fração por uma fração, é necessário multiplicar o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e escrever o produto no numerador da nova fração, e multiplicar o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e escreva o produto no denominador da nova fração.

Dividindo frações. A divisão de frações ordinárias é definida da seguinte forma:

Ou seja, para dividir uma fração por uma fração, é necessário multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e escrever o produto no numerador da nova fração, e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e escreva o produto no denominador da nova fração.

Elevando uma fração a uma potência com um expoente natural. Esta operação é definida da seguinte forma:

Ou seja, para elevar uma fração a uma potência, o numerador é elevado a essa potência e o denominador é elevado a essa potência.

Decimais periódicos

Teorema. Qualquer número racional pode ser representado como uma fração periódica finita ou infinita.

Por exemplo,

.

Um grupo de dígitos que se repete sequencialmente após o ponto decimal na notação decimal de um número é chamado de ponto, e uma fração decimal finita ou infinita que tem esse ponto em sua notação é chamada de periódica.

Neste caso, qualquer fração decimal finita é considerada uma fração periódica infinita com zero no período, por exemplo:

O resultado da adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero) de dois números racionais também é um número racional.

Conjunto de números reais

Na reta numérica, que consideramos em conexão com o conjunto dos inteiros, podem existir pontos que não possuem coordenadas na forma de um número racional. Assim, não existe um número racional cujo quadrado seja 2. Portanto, o número não é um número racional. Também não existem números racionais cujos quadrados sejam 5, 7, 9. Portanto, os números , , são irracionais. O número também é irracional.

Nenhum número irracional pode ser representado como uma fração periódica. Eles são representados como frações não periódicas.

A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais R .

Números naturais

Os números usados ​​na contagem são chamados de números naturais. Por exemplo, $1,2,3$, etc. Os números naturais formam o conjunto dos números naturais, que é denotado por $N$. Esta designação vem da palavra latina. naturalis- natural.

Números opostos

Definição 1

Se dois números diferem apenas em sinais, eles são chamados em matemática números opostos.

Por exemplo, os números $5$ e $-5$ são números opostos, porque Eles diferem apenas em sinais.

Nota 1

Para qualquer número existe um número oposto e apenas um.

Nota 2

O número zero é o oposto de si mesmo.

Inteiros

Definição 2

Todo os números são os números naturais, seus opostos e zero.

O conjunto dos inteiros inclui o conjunto dos números naturais e seus opostos.

Denote inteiros $Z.$

Números fracionários

Números na forma $\frac(m)(n)$ são chamados de frações ou números fracionários. Os números fracionários também podem ser escritos na forma decimal, ou seja, na forma de frações decimais.

Por exemplo: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ etc.

Assim como os números inteiros, os números fracionários podem ser positivos ou negativos.

Números racionais

Definição 3

Números racionaisé um conjunto de números contendo um conjunto de inteiros e frações.

Qualquer número racional, tanto inteiro quanto fracionário, pode ser representado como uma fração $\frac(a)(b)$, onde $a$ é um número inteiro e $b$ é um número natural.

Assim, o mesmo número racional pode ser escrito de diferentes maneiras.

Por exemplo,

Isso mostra que qualquer número racional pode ser representado como uma fração decimal finita ou uma fração periódica decimal infinita.

O conjunto dos números racionais é denotado por $Q$.

Como resultado da realização de qualquer operação aritmética com números racionais, a resposta resultante será um número racional. Isso é fácil de provar, pois ao somar, subtrair, multiplicar e dividir frações ordinárias, obtém-se uma fração ordinária

Números irracionais

Ao estudar um curso de matemática, muitas vezes você terá que lidar com números que não são racionais.

Por exemplo, para verificar a existência de um conjunto de números diferentes dos racionais, vamos resolver a equação $x^2=6$. As raízes desta equação serão os números $\surd 6$ e -$\surd 6$. . Esses números não serão racionais.

Além disso, ao encontrar a diagonal de um quadrado com lado $3$, aplicamos o teorema de Pitágoras e descobrimos que a diagonal será igual a $\surd 18$. Este número também não é racional.

Esses números são chamados irracional.

Portanto, um número irracional é uma fração decimal infinita não periódica.

Um dos números irracionais frequentemente encontrados é o número $\pi $

Ao realizar operações aritméticas com números irracionais, o resultado resultante pode ser um número racional ou irracional.

Vamos provar isso usando o exemplo de como encontrar o produto de números irracionais. Vamos encontrar:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Por decisão

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot\sqrt(3)=\sqrt(6)$

Este exemplo mostra que o resultado pode ser um número racional ou irracional.

Se números racionais e irracionais estiverem envolvidos em operações aritméticas ao mesmo tempo, então o resultado será um número irracional (exceto, é claro, a multiplicação por $0$).

Números reais

O conjunto dos números reais é um conjunto que contém o conjunto dos números racionais e irracionais.

O conjunto dos números reais é denotado por $R$. Simbolicamente, o conjunto dos números reais pode ser denotado por $(-?;+?).$

Dissemos anteriormente que um número irracional é uma fração decimal infinita não periódica, e qualquer número racional pode ser representado como uma fração decimal finita ou uma fração periódica decimal infinita, portanto, qualquer fração decimal finita e infinita será um número real.

Ao realizar operações algébricas, as seguintes regras serão seguidas

1. Ao multiplicar e dividir números positivos, o número resultante será positivo
2. Ao multiplicar e dividir números negativos, o número resultante será positivo
3. Ao multiplicar e dividir números negativos e positivos, o número resultante será negativo

Os números reais também podem ser comparados entre si.