Equações quadráticas. Discriminante. Solução, exemplos.

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Tipos de equações quadráticas

O que aconteceu Equação quadrática? Com o que se parece? No termo Equação quadrática a palavra-chave é "quadrado". Isso significa que na equação Necessariamente deve haver um x ao quadrado. Além disso, a equação pode (ou não!) conter apenas X (elevado à primeira potência) e apenas um número (Membro grátis). E não deve haver X elevado a uma potência maior que dois.

Em termos matemáticos, uma equação quadrática é uma equação da forma:

Aqui a, b e c- alguns números. b e c- absolutamente qualquer, mas A– qualquer coisa diferente de zero. Por exemplo:

Aqui A =1; b = 3; c = -4

Aqui A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aqui A =-3; b = 6; c = -18

Bem, você entende...

Nestas equações quadráticas à esquerda há conjunto completo membros. X ao quadrado com um coeficiente A, x elevado à primeira potência com coeficiente b E membro gratuito s.

Essas equações quadráticas são chamadas completo.

E se b= 0, o que obtemos? Nós temos X será perdido elevado à primeira potência. Isso acontece quando multiplicado por zero.) Acontece, por exemplo:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

E assim por diante. E se ambos os coeficientes b E c são iguais a zero, então é ainda mais simples:

2x 2 =0,

-0,3x2 =0

Tais equações onde algo está faltando são chamadas equações quadráticas incompletas. O que é bastante lógico.) Observe que x ao quadrado está presente em todas as equações.

A propósito, por que A não pode ser igual a zero? E você substitui em vez disso A zero.) Nosso X ao quadrado desaparecerá! A equação se tornará linear. E a solução é completamente diferente...

Esses são todos os principais tipos de equações quadráticas. Completo e incompleto.

Resolvendo equações quadráticas.

Resolvendo equações quadráticas completas.

Equações quadráticas são fáceis de resolver. Segundo fórmulas e regras claras e simples. Na primeira etapa, é necessário reduzir a equação dada a modo de exibição padrão, ou seja para o formulário:

Se a equação já foi fornecida neste formato, você não precisa fazer a primeira etapa.) O principal é determinar corretamente todos os coeficientes, A, b E c.

A fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática é assim:

A expressão sob o sinal de raiz é chamada discriminante. Mas mais sobre ele abaixo. Como você pode ver, para encontrar X, usamos apenas a, b e c. Aqueles. coeficientes de uma equação quadrática. Apenas substitua cuidadosamente os valores a, b e c Calculamos nesta fórmula. Vamos substituir com seus próprios sinais! Por exemplo, na equação:

A =1; b = 3; c= -4. Aqui nós anotamos:

O exemplo está quase resolvido:

Esta é a resposta.

Tudo é muito simples. E o quê, você acha que é impossível cometer um erro? Bem, sim, como...

Os erros mais comuns são confusão com valores de sinais a, b e c. Ou melhor, não com seus sinais (onde se confundir?), mas com a substituição de valores negativos na fórmula de cálculo das raízes. O que ajuda aqui é um registro detalhado da fórmula com números específicos. Se houver problemas com cálculos, faça isso!

Suponha que precisemos resolver o seguinte exemplo:

Aqui a = -6; b = -5; c = -1

Digamos que você saiba que raramente obtém respostas na primeira vez.

Bem, não seja preguiçoso. Levará cerca de 30 segundos para escrever uma linha extra e o número de erros. diminuirá drasticamente. Então escrevemos detalhadamente, com todos os colchetes e sinais:

Parece incrivelmente difícil escrever com tanto cuidado. Mas só parece assim. De uma chance. Bem, ou escolha. O que é melhor, rápido ou certo? Além disso, vou te fazer feliz. Depois de um tempo, não haverá necessidade de anotar tudo com tanto cuidado. Vai funcionar sozinho. Especialmente se você usar técnicas práticas descritas abaixo. Este exemplo maligno com um monte de desvantagens pode ser resolvido facilmente e sem erros!

Mas, muitas vezes, as equações quadráticas parecem um pouco diferentes. Por exemplo, assim:

Você o reconheceu?) Sim! Esse equações quadráticas incompletas.

Resolvendo equações quadráticas incompletas.

Eles também podem ser resolvidos usando uma fórmula geral. Você só precisa entender corretamente a que eles são iguais aqui. a, b e c.

Você já descobriu? No primeiro exemplo uma = 1; b = -4; A c? Não está lá de jeito nenhum! Bem, sim, está certo. Em matemática isso significa que c = 0 ! Isso é tudo. Substitua zero na fórmula c, e teremos sucesso. O mesmo com o segundo exemplo. Só que não temos zero aqui Com, A b !

Mas equações quadráticas incompletas podem ser resolvidas de forma muito mais simples. Sem nenhuma fórmula. Vamos considerar o primeiro equação incompleta. O que você pode fazer no lado esquerdo? Você pode tirar X dos colchetes! Vamos tirar isso.

E daí? E o fato de que o produto é igual a zero se e somente se algum dos fatores for igual a zero! Não acredite em mim? Ok, então encontre dois números diferentes de zero que, quando multiplicados, darão zero!
Não funciona? É isso...
Portanto, podemos escrever com segurança: x 1 = 0, x 2 = 4.

Todos. Estas serão as raízes da nossa equação. Ambos são adequados. Ao substituir qualquer um deles na equação original, obtemos a identidade correta 0 = 0. Como você pode ver, a solução é muito mais simples do que usar a fórmula geral. A propósito, deixe-me observar qual X será o primeiro e qual será o segundo - absolutamente indiferente. É conveniente escrever em ordem, x 1- o que é menor e x 2- aquilo que é maior.

A segunda equação também pode ser resolvida de forma simples. Mova 9 para o lado direito. Nós temos:

Só falta extrair a raiz de 9 e pronto. Acontecerá:

Também duas raízes . x1 = -3, x 2 = 3.

É assim que todas as equações quadráticas incompletas são resolvidas. Colocando X entre colchetes ou simplesmente movendo o número para a direita e extraindo a raiz.
É extremamente difícil confundir essas técnicas. Simplesmente porque no primeiro caso você terá que extrair a raiz de X, o que é um tanto incompreensível, e no segundo caso não há o que tirar dos colchetes...

Discriminante. Fórmula discriminante.

mundo magico discriminante ! Raramente um estudante do ensino médio não ouviu essa palavra! A frase “resolvemos através de um discriminante” inspira confiança e segurança. Porque não há necessidade de esperar truques do discriminador! É simples e sem problemas de usar.) Lembro a você o mais Fórmula geral para soluções qualquer equações quadráticas:

A expressão sob o sinal da raiz é chamada de discriminante. Normalmente, o discriminante é denotado pela letra D. Fórmula discriminante:

D = b 2 - 4ac

E o que há de tão notável nessa expressão? Por que merecia um nome especial? O que o significado do discriminante? Afinal -b, ou 2a nesta fórmula eles não chamam nada especificamente... Letras e letras.

Aqui está a coisa. Ao resolver uma equação quadrática usando esta fórmula, é possível apenas três casos.

1. O discriminante é positivo. Isso significa que a raiz pode ser extraída dele. Se a raiz é bem ou mal extraída é outra questão. O que importa é o que é extraído em princípio. Então sua equação quadrática tem duas raízes. Duas soluções diferentes.

2. O discriminante é zero. Então você terá uma solução. Já que somar ou subtrair zero no numerador não muda nada. Estritamente falando, esta não é uma raiz, mas dois idênticos. Mas, de forma simplificada, costuma-se falar de uma solução.

3. O discriminante é negativo. A raiz quadrada de um número negativo não pode ser obtida. Bem, ok. Isso significa que não há soluções.

Falando honestamente, quando solução simples equações quadráticas, o conceito de discriminante não é particularmente necessário. Substituímos os valores dos coeficientes na fórmula e contamos. Tudo acontece ali por si só, duas raízes, uma e nenhuma. Porém, ao resolver tarefas mais complexas, sem conhecimento significado e fórmula do discriminante insuficiente. Principalmente em equações com parâmetros. Essas equações são acrobacias para o Exame Estadual e o Exame Estadual Unificado!)

Então, como resolver equações quadráticas através do discriminante que você lembrou. Ou você aprendeu o que também não é ruim.) Você sabe como determinar corretamente a, b e c. Você sabe como? atentamente substitua-os na fórmula raiz e atentamente conte o resultado. Você entende que a palavra-chave aqui é atentamente?

Agora observe as técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros. Os mesmos que se devem à desatenção... Pelo que depois se torna doloroso e ofensivo...

Primeira consulta . Não seja preguiçoso antes de resolver uma equação quadrática e trazê-la para a forma padrão. O que isto significa?
Digamos que depois de todas as transformações você obtenha a seguinte equação:

Não se apresse em escrever a fórmula raiz! É quase certo que você confundirá as probabilidades a, b e c. Construa o exemplo corretamente. Primeiro, X ao quadrado, depois sem quadrado e depois o termo livre. Assim:

E novamente, não se apresse! Um sinal de menos na frente de um X ao quadrado pode realmente incomodar você. É fácil esquecer... Livre-se do sinal de menos. Como? Sim, conforme ensinado no tópico anterior! Precisamos multiplicar a equação inteira por -1. Nós temos:

Mas agora você pode escrever com segurança a fórmula das raízes, calcular o discriminante e terminar de resolver o exemplo. Decida por si mesmo.

Agora você deve ter raízes 2 e -1. Recepção em segundo lugar. Verifique as raízes! De acordo com o teorema de Vieta. Não se assuste, vou explicar tudo! Verificandoúltima coisa a equação. Aqueles. aquele que usamos para escrever a fórmula raiz. Se (como neste exemplo) o coeficiente uma = 1 , verificar as raízes é fácil. Basta multiplicá-los. O resultado deve ser um membro gratuito, ou seja, no nosso caso -2. Observe, não 2, mas -2! Membro grátis com seu signo

. Se não der certo, significa que eles já erraram em algum lugar. Procure o erro. b Se funcionar, você precisa adicionar as raízes. Última e última verificação. O coeficiente deve ser Com oposto b familiar. No nosso caso -1+2 = +1. Um coeficiente
, que está antes de X, é igual a -1. Então, está tudo correto! É uma pena que isto seja tão simples apenas para exemplos onde x ao quadrado é puro, com um coeficiente uma = 1.

Mas pelo menos verifique essas equações! Haverá cada vez menos erros. Terceira recepção

. Se sua equação tiver coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplique a equação por um denominador comum conforme descrito na lição "Como resolver equações? Transformações de identidade". Ao trabalhar com frações, erros continuam aparecendo por algum motivo...

A propósito, prometi simplificar o exemplo maligno com um monte de desvantagens. Por favor! Aqui está ele.

Para não nos confundirmos com os pontos negativos, multiplicamos a equação por -1. Nós temos:

Isso é tudo! Resolver é um prazer!

Então, vamos resumir o assunto.:

Conselho prático 1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão e construímos.

Certo

3. Se os coeficientes forem fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo fator correspondente.

4. Se x ao quadrado é puro, seu coeficiente é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada usando o teorema de Vieta. Faça isso!

Agora podemos decidir.)

Resolva equações:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Respostas (em desordem):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - qualquer número

x1 = -3
x 2 = 3

sem soluções

x1 = 0,25
x 2 = 0,5

Tudo cabe? Ótimo! Equações quadráticas não são sua praia dor de cabeça. Os três primeiros funcionaram, mas o resto não? Então o problema não é com equações quadráticas. O problema está em transformações idênticas de equações. Dê uma olhada no link, é útil.

Não dá certo? Ou não dá certo? Então a Seção 555 irá ajudá-lo. Todos esses exemplos estão detalhados aqui. Mostrando principal erros na solução. Claro, também falamos sobre o uso de transformações idênticas na resolução de várias equações. Ajuda muito!

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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Neste artigo, veremos como resolver equações quadráticas incompletas.

Mas primeiro, vamos repetir quais equações são chamadas de quadráticas. Uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde x é uma variável e os coeficientes a, b e c são alguns números, e a ≠ 0, é chamada quadrado. Como vemos, o coeficiente para x 2 não é igual a zero e, portanto, os coeficientes para x ou o termo livre podem ser iguais a zero, caso em que obtemos uma equação quadrática incompleta.

Existem três tipos de equações quadráticas incompletas:

1) Se b = 0, c ≠ 0, então ax 2 + c = 0;

2) Se b ≠ 0, c = 0, então ax 2 + bx = 0;

3) Se b = 0, c = 0, então ax 2 = 0.

• Vamos descobrir como resolver equações da forma ax 2 + c = 0.

Para resolver a equação, movemos o termo livre c para o lado direito da equação, obtemos

machado 2 = ‒s. Como a ≠ 0, dividimos ambos os lados da equação por a, então x 2 = ‒c/a.

Se ‒с/а > 0, então a equação tem duas raízes

x = ±√(–c/uma) .

Se ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Vamos tentar entender com exemplos como resolver tais equações.

Exemplo 1. Resolva a equação 2x 2 ‒ 32 = 0.

Resposta: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Exemplo 2. Resolva a equação 2x 2 + 8 = 0.

Resposta: a equação não tem soluções.

• Vamos descobrir como resolver isso equações da forma ax 2 + bx = 0.

Para resolver a equação ax 2 + bx = 0, vamos fatorá-la, ou seja, tirando x dos colchetes, obtemos x(ax + b) = 0. O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual para zero. Então x = 0 ou ax + b = 0. Resolvendo a equação ax + b = 0, obtemos ax = - b, de onde x = - b/a. Uma equação da forma ax 2 + bx = 0 sempre tem duas raízes x 1 = 0 e x 2 = ‒ b/a. Veja como fica a solução para equações desse tipo no diagrama.

Vamos consolidar nosso conhecimento com um exemplo específico.

Exemplo 3. Resolva a equação 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ou 3x – 12 = 0

Resposta: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Equações do terceiro tipo machado 2 = 0 são resolvidos de forma muito simples.

Se ax 2 = 0, então x 2 = 0. A equação tem duas raízes iguais x 1 = 0, x 2 = 0.

Para maior clareza, vejamos o diagrama.

Ao resolver o Exemplo 4, certifiquemo-nos de que equações deste tipo podem ser resolvidas de forma muito simples.

Exemplo 4. Resolva a equação 7x 2 = 0.

Resposta: x 1, 2 = 0.

Nem sempre fica imediatamente claro que tipo de equação quadrática incompleta temos que resolver. Considere o seguinte exemplo.

Exemplo 5. Resolva a equação

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por um denominador comum, ou seja, por 30

Vamos reduzir isso

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Vamos abrir os colchetes

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Vamos dar semelhante

Vamos mover 99 do lado esquerdo da equação para a direita, mudando o sinal para o oposto

Resposta: sem raízes.

Vimos como equações quadráticas incompletas são resolvidas. Espero que agora você não tenha dificuldades com tais tarefas. Tenha cuidado ao determinar o tipo de equação quadrática incompleta, então você terá sucesso.

Se você tiver dúvidas sobre este tema, inscreva-se nas minhas aulas, resolveremos juntos os problemas que surgirem.

site, ao copiar o material total ou parcialmente, é necessário um link para a fonte.

Equação quadráticaé uma equação da forma machado 2 +bx +c = 0, onde x- variável, a,b E c– alguns números, e a ≠ 0.

Exemplo de uma equação quadrática:

3x 2 + 2x – 5 = 0.

Aqui A = 3, b = 2, c = –5.

Números a,b E c– chances Equação quadrática.

Número a chamado primeiro coeficiente, número b – segundo coeficiente, e o número c – Membro grátis.

Equação quadrática reduzida.

Uma equação quadrática em que o primeiro coeficiente é 1 é chamada dada equação quadrática.

Exemplos de uma determinada equação quadrática:

x 2 + 10x – 11 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 – 6X + 5 = 0

aqui está o coeficiente em x 2 é igual a 1 (simplesmente o 1 é omitido em todas as três equações).

Equação quadrática incompleta.

Se em uma equação quadrática machado 2 +bx +c = 0 pelo menos um dos coeficientes b ou cé igual a zero, então tal equação é chamada equação quadrática incompleta.

Exemplos de equações quadráticas incompletas:

2x 2 + 18 = 0

há um coeficiente aqui A, que é igual a -2, é o coeficiente c, igual a 18, e o coeficiente b não – é igual a zero.

x 2 – 5x = 0

Aqui A = 1, b = -5, c= 0 (então o coeficiente c faltando na equação).

Como resolver equações quadráticas.

Para resolver uma equação quadrática, você precisa realizar apenas duas etapas:

1) Encontre o discriminante D usando a fórmula:

D =b 2 – 4 ac.

Se o discriminante for um número negativo, a equação quadrática não terá solução e os cálculos serão interrompidos. Se D ≥ 0, então

2) Encontre as raízes da equação quadrática usando a fórmula:

– b ± √ D
X 1,2 = -----.
2A

Exemplo: Resolva a equação quadrática 3 X 2 – 5X – 2 = 0.

Solução:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes da nossa equação:

A = 3, b = –5, c = –2.

Calculamos o discriminante:

D = b 2 – 4ac= (–5) 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, o que significa que a equação faz sentido, o que significa que podemos continuar.

Encontrando as raízes da equação quadrática:

–b+ √D 5 + 7 12
X 1 = ----- = ---- = -- = 2
2A 6 6

–b– √D 5 – 7 2 1
X 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2A 6 6 3

1
Responder : X 1 = 2, X 2 = – --.

As equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é absolutamente necessária.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos específicos de solução, observe que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Não têm raízes;
2. Tenha exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac.

Você precisa saber esta fórmula de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante você pode determinar quantas raízes uma equação quadrática possui. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, existe exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Atenção: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas acreditam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Vamos escrever os coeficientes da primeira equação e encontrar o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Portanto, o discriminante é positivo, portanto a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação de maneira semelhante:
uma = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação restante é:
uma = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é zero – a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso, mas você não vai confundir as probabilidades e cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você pegar o jeito, depois de um tempo não precisará anotar todos os coeficientes. Você realizará essas operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, não tanto.

Raízes de uma equação quadrática

Agora vamos passar para a solução em si. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

Fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obterá o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ uma = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fim(alinhar)\]

Finalmente, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ uma = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver nos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e sabe contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, ocorrem erros ao substituir coeficientes negativos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: observe a fórmula literalmente, anote cada passo - e muito em breve você se livrará dos erros.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que uma equação quadrática é ligeiramente diferente daquela dada na definição. Por exemplo:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

É fácil notar que falta um dos termos nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem exigem o cálculo do discriminante. Então, vamos apresentar um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja, o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Claro, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b = c = 0. Neste caso, a equação assume a forma ax 2 = 0. Obviamente, tal equação tem uma única raiz: x = 0.

Vamos considerar os casos restantes. Seja b = 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0. Vamos transformá-la um pouco:

Desde aritmética Raiz quadrada existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido para (−c /a) ≥ 0. Conclusão:

1. Se em uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 a desigualdade (−c /a) ≥ 0 for satisfeita, haverá duas raízes. A fórmula é fornecida acima;
2. Se (−c /a)< 0, корней нет.

Como você pode ver, não foi necessário um discriminante – não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c /a) ≥ 0. Basta expressar o valor x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se lá número positivo- haverá duas raízes. Se for negativo, não haverá raízes.

Agora vejamos equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum dos colchetes

O produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. É daí que vêm as raízes. Concluindo, vejamos algumas dessas equações:

Tarefa. Resolva equações quadráticas:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Não há raízes, porque um quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

", isto é, equações de primeiro grau. Nesta lição veremos o que é chamado de equação quadrática e como resolver isso.

O que é uma equação quadrática?

Importante!

O grau de uma equação é determinado pelo grau mais alto em que a incógnita se encontra.

Se a potência máxima na qual a incógnita for “2”, então você tem uma equação quadrática.

Exemplos de equações quadráticas

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Importante! A forma geral de uma equação quadrática é assim:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” e “c” recebem números.

• “a” é o primeiro ou maior coeficiente;
• “b” é o segundo coeficiente;
• “c” é um membro gratuito.

Para encontrar “a”, “b” e “c” você precisa comparar sua equação com a forma geral da equação quadrática “ax 2 + bx + c = 0”.

Vamos praticar a determinação dos coeficientes "a", "b" e "c" em equações quadráticas.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

A equação	Chances
uma = 5 b = −14 c = 17
uma = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• uma = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• uma = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• uma = 1
• b = 0
• c = −8

Como resolver equações quadráticas

Diferente equações lineares para resolver equações quadráticas, um especial fórmula para encontrar raízes.

Lembrar!

Para resolver uma equação quadrática você precisa:

• reduza a equação quadrática para aparência geral"machado 2 + bx + c = 0". Ou seja, apenas “0” deverá permanecer do lado direito;
• use a fórmula para raízes:

Vejamos um exemplo de como usar a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Vamos resolver uma equação quadrática.

X 2 − 3x − 4 = 0

A equação “x 2 − 3x − 4 = 0” já foi reduzida à forma geral “ax 2 + bx + c = 0” e não requer simplificações adicionais. Para resolvê-lo, basta aplicar fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

Vamos determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” para esta equação.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.

Na fórmula “x 1;2 =” a expressão radical é frequentemente substituída
“b 2 - 4ac” para a letra “D” e é chamado de discriminante. O conceito de discriminante é discutido com mais detalhes na lição “O que é um discriminante”.

Vejamos outro exemplo de equação quadrática.

x 2 + 9 + x = 7x

Desta forma, é bastante difícil determinar os coeficientes “a”, “b” e “c”. Vamos primeiro reduzir a equação à forma geral “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Agora você pode usar a fórmula das raízes.

X 1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =

6

2

x = 3
Resposta: x = 3

Há momentos em que as equações quadráticas não têm raízes. Esta situação ocorre quando a fórmula contém um número negativo na raiz.