1.3.1.ТООНЫ СИСТЕМИЙН ОЙЛГОЛТ.

Компьютерийн технологийн (CT) бүх гайхалтай боломжууд нь "нэг" ба "тэг" гэж нэрлэхээр тохиролцсон өндөр ба доод түвшний дохионы янз бүрийн хослолыг бий болгосноор хэрэгждэг.

Тэмдэглэгээ (SS) нь тодорхой тооны багцыг ашиглан тоо бичих систем юм.CC гэж нэрлэдэг байр суурьтай, хэрэв ижил цифр нь тоон доторх байраар тодорхойлогддог өөр утгатай бол. Аравтын SS нь байрлалтай: 999. Ромын SS нь албан тушаалын бус. XXI тоон дахь X тооны утга нь тоон дахь байрлалын өөрчлөлтөөр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.Байрлалын SS-д ашигласан өөр өөр цифрүүдийн тоог гэнэ. SS-ийн үндэс суурь.

өргөтгөсөн хэлбэртоо гэдэг нь тухайн тооны цифрүүдийн үржвэрийн нийлбэр ба байрлалуудын утгын нийлбэр бүхий бичлэг юм.

Жишээлбэл: 8527=8*10 3 +5*10 2 +2*10 1 +7*10 0

Дурын тооны системийн тоог бичих өргөтгөсөн хэлбэр нь ийм хэлбэртэй байдаг

X - тоо;
a - тооцооны системийн үндэс;
i - индекс;
m - бутархай хэсгийн тооны цифрүүдийн тоо;
n нь бүхэл хэсгийн тооны цифрүүдийн тоо юм.

Жишээлбэл: 327.46 n=3, m=2, q=10

Хэрэв ашигласан SS-ийн суурь нь араваас их байвал тоонуудын хувьд дээд талд нь хаалт эсвэл үсгийн тэмдэглэгээ бүхий тэмдэгтийг оруулна.

Жишээлбэл: хэрэв 10 \u003d A, 11 \u003d B бол 7A.5B 12 тоог дараах байдлаар будаж болно.

7A.5B 12 \u003d B 12 -2 + 5 2 -1 + A 12 0 + 7 12 1.

AT арван зургаатын тоо SS үндэс нь 0,1,2,3,4, харгалзах тэмдэг бүхий 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 тоонууд юм. 5 ,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Тооны жишээ: 17D.ECH, F12AH.

BinarySS- Энэ нь тоо бичихдээ 0 ба 1 гэсэн хоёр оронтой систем юм.Хоёртын тооллын системийн суурь нь 2 тоо юм.

хоёртын кодтоонууд - энэ тооны хоёртын систем дэх бичлэг. Жишээлбэл,

0=0 2
1=1 2
2=10 2
3=11 2 …
7=111 2
120=1111000 2 .

VT-д байрлалын SS-ийг аравтын бус суурьтай ашигладаг: хоёртын, наймтын, арван зургаатын тоо. Ашигласан SS-ийг зааж өгөхийн тулд тоо нь SS-ийн суурийг бичсэн дээд эсвэл доод тэмдэгтээр хангагдсан болно. Өөр нэг арга бол тоог бичсэний дараа латин үсгийг ашиглах явдал юм.

D - аравтын бутархай SS
B - хоёртын SS
O - наймт SS
H - арван зургаан тоот SS.

10-р SS өргөн тархсан хэдий ч дижитал компьютерууд нь хоёртын элементүүд дээр бүтээгдсэн байдаг. 10 ялгаатай төлөвтэй элементүүдийг хэрэгжүүлэхэд хэцүү байдаг. КТ-ийн түүхэн хөгжил нь компьютерууд нь хоёртын тоон төхөөрөмжүүдийн үндсэн дээр бүтээгдсэн байдаг: флип-флоп, регистр, тоолуур, логик элементүүд гэх мэт.

Арван арван ба 8-ар SS нь хоёртын кодыг богино, илүү тохиромжтой бичихэд зориулагдсан программуудыг машины кодын хэлээр эмхэтгэхдээ команд, өгөгдөл, хаяг, операндуудыг ашигладаг.

Нэг CC-ээс нөгөө рүү орчуулах ажил нь програмчлалд, ялангуяа Ассемблей хэлэнд ихэвчлэн тулгардаг. Жишээлбэл, санах ойн эсийн хаягийг тодорхойлоход. Pascal, BASIC, C, HTML програмчлалын хэлнүүдийн тусдаа стандарт процедур нь арван зургаатын SS-д параметрүүдийг тохируулахыг шаарддаг. Хатуу дискэнд бичигдсэн өгөгдлийг шууд засварлахын тулд танд арван зургаатын тоонуудтай ажиллах чадвар хэрэгтэй. Хоёртын SS-ийг ойлгохгүйгээр компьютерийн эвдрэлийг олох боломжгүй юм.

Хүснэгтэнд янз бүрийн SS-д үзүүлсэн зарим тоонуудыг харуулав.

Хоёртын тоо	Найм тоо	Аравтын тоо тоо	Арван аравтын тоо тоо

1.3.2. ТООНЫ ДУУРХАЙ SS-ээс АРАВ, БУЦААР ОРЧУУЛГА.

Тоонуудыг дурын системээс аравтын бутархай руу хөрвүүлэх.Дурын байрлалын SS-ээс аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд шаардлагатай бол үсгийн тэмдэглэгээг харгалзах тоогоор сольж, өргөтгөсөн тооны хэлбэрийг ашиглах шаардлагатай. Жишээлбэл:

1101 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =13 10

17D.ECH=12 16 -2 + 14 16 -1 +13 16 0 + 7 16 1 + 1 16 2 =381.921875

Аравтын бутархай SS-ээс өгөгдсөн тоо руу хөрвүүлэх.

1) Хөрвүүлэх зориулалттай бүхэл тооАравтын тооллын системийг дурын тооны системийн тоонд SS-ийн суурьт бүхэл тоонд хуваах нь тэг болох хүртэл дарааллаар гүйцэтгэнэ. SS-ийн суурьт хуваахад үлдсэн тоонууд нь сонгосон SS дахь тооны цифрүүдийн хамгийн бага чухал цифрээс хамгийн чухал хүртэлх тоонуудын дараалсан бүртгэл юм. Тиймээс тоог өөрөө бичихийн тулд хуваагдлын үлдэгдлийг урвуу дарааллаар бичнэ.

Жишээлбэл:

Үлдсэн хэсгийг доороос дээш хуваахдаа уншвал 111011011 болно.

Шалгалт:

1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = 1+2+8+16+64+128+256=475 10 .

2) Хөрвүүлэх зориулалттай аравтын бутархайАливаа SS-ийн аравтын SS-ийг үржвэрийн бутархай хэсэг тэгтэй тэнцэх хүртэл тооллын системийн суурь дээр дараалан үржүүлнэ. Олж авсан бүхэл хэсгүүд нь шинэ систем дэх тоонуудын цифрүүд бөгөөд тэдгээр нь энэхүү шинэ тооллын системийн цифрүүдээр илэрхийлэгдэх ёстой. Дараа нь бүхэл бүтэн хэсгүүдийг устгана.

Жишээлбэл: 0.375 10 тоог хоёртын ss руу хөрвүүлнэ.

Үр дүн нь 0.011 2 .

Шинэ тооллын системд тоо бүрийг яг нарийн илэрхийлэх боломжгүй тул заримдаа зөвхөн шаардлагатай тооны бутархай цифрийг тооцоолж, сүүлийн цифрийг дугуйруулдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

1.3.3. 2-Р АНГИЙГ АГУУЛСАН ҮНДЭСЛЭЛИЙН ХООРОНДЫН ОРЧУУЛГА.

Гарахын тулд наймттооллын систем нь тоог хувиргадаг хоёртынкод, энэ тооны цифр бүрийг хоёртын тэмдэгтийн гурвалсан тэмдэгтээр төлөөлөх ёстой. Өндөр эрэмбийн битийн нэмэлт тэгүүдийг хасна.

Жишээлбэл:

1234.777 8 = 001 010 011 100.111 111 111 2 = 1 010 011 100.111 111 111 2

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 1 010 011 100 101 110 111 2

Урвуу орчуулга: хоёртын оронтой гурвалсан тоо бүрийг наймны оронтой тоогоор сольж, шаардлагатай бол бүхэл хэсгийн өмнө эсвэл бутархай хэсгийн ард тэг нэмэх замаар тоог зэрэгцүүлнэ.

Жишээлбэл:

1100111 2 = 001 100 111 2 = 147 8

11.1001 2 = 011.100 100 2 = 3.44 8

110.0111 2 = 110.011 100 2 = 6.34 8

хооронд шилжүүлэх үед хоёртынболон арван зургаатын тоо SS нь дөрвөн оронтой тоо ашигладаг. Шаардлагатай бол дөрвийн үржвэртэй хоёртын тооны урттай зэрэгцүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ.

Жишээлбэл:

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2

0.1234AA 16 = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010 2

1100111 2 = 0110 0111 2 = 67 16

11.1001 2 = 0011.1001 2 = 3.9 16

110.0111001 2 = 0110.0111 0010 2 = 65.72 16

-аас шилжих үед наймтүхсэн тооцоо арван зургаатын тооТооцоолох ба эсрэгээр тооны туслах хоёртын кодыг ашигладаг.

Жишээлбэл:

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 0101 0011 1001 0111 0111 2 = 53977 16

0.12034 8 = 0.001 010 000 011 100 2 = 0.0010 1000 0011 1000 2 = 0.2838 16

120.34 8 = 001 010 000. 011 100 2 = 0101 0000.0111 0000 2 = 50.7 16

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =

001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100 2 = 11064.526734 8

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2 = 110 011 100 100 010 101 100 111 2 = 63442547 8

0.1234AA 16 =0.0001 0010 0011 0100 1010 1010 2 =0.000 100 100 011 010 010 101 010 2 =0.04432252 8

Бичсэн тэмдэгтүүдийг ашиглан тоонуудыг төлөөлөх.

Тэмдэглэгээ:

• тооны багцын дүрслэлийг өгдөг (бүхэл тоо ба/эсвэл бодит тоо);
• тоо бүрийг өвөрмөц дүрслэл (эсвэл наад зах нь стандарт дүрслэл) өгдөг;
• тоонуудын алгебр, арифметик бүтцийг тусгадаг.

Тооны системийг дараахь байдлаар хуваадаг байр суурьтай, албан тушаалын бусболон холимог.

Байршлын тооллын систем

Байршлын тооллын системд тооны бичилт дэх ижил тооны тэмдэг (цифр) нь байгаа газраас (цифр) хамаарч өөр өөр утгатай байдаг. Цифрүүдийн орон нутгийн утгад үндэслэсэн байрлалын дугаарыг зохион бүтээсэн нь Шумер, Вавилончуудтай холбоотой юм; ийм дугаарлалт нь Хиндучууд боловсруулсан бөгөөд хүн төрөлхтний соёл иргэншлийн түүхэнд үнэлж баршгүй үр дагаварт хүргэсэн. Эдгээр системүүд нь орчин үеийн аравтын тооллын системийг багтаасан бөгөөд энэ нь хуруугаараа тоолохтой холбоотой юм. Дундад зууны Европт энэ нь Италийн худалдаачдаар дамжин гарч ирсэн бөгөөд тэд үүнийг мусульманчуудаас зээлж авчээ.

Байршлын тооллын системийг ихэвчлэн бүхэл тоогоор тодорхойлдог -ary тооллын систем гэж ойлгодог. суурьтооллын системүүд. -ary тооллын систем дэх тэмдэггүй бүхэл тоо нь тооны зэрэглэлийн хязгаарлагдмал шугаман хослолоор илэрхийлэгдэнэ.

, бүхэл тоог хаана гэж нэрлэдэг вэ тоо, тэгш бус байдлыг хангах.

Ийм бичлэгийн зэрэг бүрийг ангиллын жингийн хүчин зүйл гэж нэрлэдэг. Цифрүүд ба тэдгээрийн харгалзах цифрүүдийн ахмад настыг индикаторын (оронтой тоо) утгаар тодорхойлно. Ихэвчлэн тэгээс өөр тоонд зүүн тэгийг орхигдуулдаг.

Хэрэв зөрүү байхгүй бол (жишээлбэл, бүх цифрүүд нь өвөрмөц бичигдсэн тэмдэгт хэлбэрээр илэрхийлэгдэх үед) энэ тоог зүүнээс баруун тийш цифрүүдийн дарааллаар жагсаасан цагаан толгойн цифрүүдийн дарааллаар бичнэ.

Жишээлбэл, тоо нэг зуун гураваравтын тэмдэглэгээнд дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг байрлалын системүүд нь:

Байршлын системд системийн суурь том байх тусам тоо бичихэд цөөн тооны бит (өөрөөр хэлбэл бичих цифрүүд) шаардагдана.

Холимог тооллын систем

Холимог тооллын системнь -ary тооллын системийн ерөнхий ойлголт бөгөөд мөн ихэвчлэн байрлалын тооллын системийг хэлдэг. Холимог тооллын системийн үндэс нь өсөн нэмэгдэж буй тоон дараалал бөгөөд түүний доторх тоо бүрийг шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлнэ.

, коэффициентүүдийг өмнөх шигээ дууддаг тоо, зарим хязгаарлалт үйлчилнэ.

Холимог тооллын системд тоог тэмдэглэнэ гэдэг нь эхний 0 бишээс эхлэн тоонуудыг индексийн бууралтын дарааллаар тоолох явдал юм.

Холимог тооллын систем нь төрлөөс хамааран хүч, экспоненциал гэх мэт байж болно. Зарим хүмүүсийн хувьд холимог тооллын систем нь экспоненциал -ари тооллын системтэй давхцдаг.

Холимог тооллын системийн хамгийн алдартай жишээ бол цагийг өдөр, цаг, минут, секундын тоогоор дүрслэх явдал юм. Энэ тохиолдолд "өдөр, цаг, минут, секунд" гэсэн утга нь секундын утгатай тохирч байна.

Факториал тооллын систем

AT хүчин зүйлийн тооллын системсуурь нь факториалуудын дараалал бөгөөд натурал тоо бүрийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

, хаана.

Факторын тооллын системийг хэзээ ашигладаг хувиргалтуудын жагсаалтаар солих кодыг тайлах: орлуулах дугаартай бол та үүнийг өөрөө дараах байдлаар хуулбарлаж болно: тооноос нэгээр бага тоог (тоолол нь тэгээс эхэлдэг) хүчин зүйлийн тооллын системд бичигдсэн бол i тооны коэффициент! сэлгэлт хийгдсэн олонлог дахь i + 1 элементийн урвуу тоог (i + 1-ээс бага, гэхдээ түүний баруун талд хүссэн сэлгэн залгах элементүүдийн тоог) заана.

Жишээ нь: 5 элементийн сэлгэцийн багцыг авч үзье, нийт 5 элемент байна! = 120 (0 - (1,2,3,4,5) сэлгэцийн дугаараас 119 - (5,4,3,2,1) хүртэл), 101 дэх солилтыг ол: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; i!-ийн тоонд ti - коэффициентийг тавья, дараа нь t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, дараа нь: 5-аас бага элементийн тоо, гэхдээ баруун талд зогсож байгаа нь 4; элементийн тоо 4-өөс бага боловч баруун талд нь 0; элементийн тоо 3-аас бага боловч баруун талд нь 2; элементүүдийн тоо 2-оос бага, гэхдээ баруун талд нь 0 байна (сүүлчийн элемент нь үлдсэн цорын ганц газарт "тавигдсан") - иймээс 101-р солих нь дараах байдлаар харагдах болно: (5,3,1,2, 4) Энэ аргыг шалгахдаа орлуулах элемент бүрийн урвуу өөрчлөлтийг шууд тоолох замаар хийж болно.

Фибоначчийн тооны системФибоначчийн тоон дээр үндэслэсэн. Түүний доторх натурал тоо бүрийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

, Фибоначчийн тоо хаана байна, , коэффициентүүд нь хязгаарлагдмал тооны нэгжтэй бөгөөд дараалсан хоёр нэгж байхгүй.

Байршлын бус тооллын системүүд

Байршлын бус тооллын системд цифрийг илэрхийлэх утга нь тухайн тооны байрлалаас хамаардаггүй. Энэ тохиолдолд систем нь тоонуудын байрлалд хязгаарлалт тавьж болно, жишээлбэл, тэдгээрийг буурах дарааллаар байрлуулна.

Бином тооллын систем

Бином коэффициент ашиглан дүрслэх

, хаана.

Үлдэгдэл ангиллын систем (SOC)

Үлдэгдэл ангиллын систем дэх тоог дүрслэх нь үлдэгдэл гэсэн ойлголт болон Хятадын үлдэгдлийн теорем дээр суурилдаг. RNS нь олон тооны coprime-ээр тодорхойлогддог модулиудсегментийн бүхэл тоо бүр үлдэгдлийн багцтай холбоотой байхаар бүтээгдэхүүнтэй, хаана

…

Үүний зэрэгцээ Хятадын үлдэгдэл теорем нь интервалаас авсан тоонуудын төлөөллийн өвөрмөц байдлыг баталгаажуулдаг.

RNS-д арифметик үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах) үр дүн нь бүхэл тоо болох нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд мөн -д оршдог бол бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр гүйцэтгэдэг.

RNS-ийн сул тал нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны тоог илэрхийлэх чадвар, түүнчлэн RNS-д дүрслэгдсэн тоонуудыг харьцуулах үр дүнтэй алгоритм дутагдалтай байдаг. Харьцуулалт нь ихэвчлэн аргументуудыг RNS-ээс холимог тооллын систем рүү хөрвүүлэх замаар хийгддэг.

Стерн-Брокот тооллын системЭнэ нь Штерн-Брокко мод дээр үндэслэн эерэг рационал тоо бичих арга юм.

Янз бүрийн үндэстний тоон систем

Нэгж тооллын систем

Он цагийн дарааллаар, данс эзэмшсэн хүн бүрийн анхны тооллын систем бололтой. Натурал тоог ижил тэмдгийг (зураас эсвэл цэг) давтах замаар дүрсэлдэг. Жишээлбэл, 26 дугаарыг дүрслэхийн тулд та 26 шугам зурах хэрэгтэй (эсвэл яс, чулуу гэх мэт 26 ховил хийх). Дараа нь олон тооны ойлголтыг хялбар болгохын тулд эдгээр тэмдгүүдийг гурав, таваар бүлэглэв. Дараа нь ижил эзэлхүүнтэй тэмдгүүдийн бүлгүүдийг зарим шинэ тэмдгээр сольж эхэлдэг - ирээдүйн тоонуудын прототипүүд ингэж гарч ирдэг.

Эртний Египетийн тооны систем

Вавилоны тооллын систем

Цагаан толгойн үсгийн тооллын систем

Эртний Армянчууд, Гүржүүд, Грекчүүд (Ионы тооллын систем), Арабууд (Абжадия), Еврейчүүд (Гематриа үзнэ үү) болон Ойрхи Дорнодын бусад ард түмэн цагаан толгойн тооллын системийг ашигладаг байв. Славян шашны номнуудад Грек цагаан толгойн системийг кирилл үсгээр орчуулсан байдаг.

Еврей тооны систем

Грекийн тооны систем

Ромын тооны систем

Бараг байрлалгүй тооны системийн каноник жишээ бол латин үсгийг цифр болгон ашигладаг Ромын систем юм.
Би 1 гэсэн үг,
V - 5,
X - 10,
L-50
С-100
D-500
М-1000

Жишээлбэл, II = 1 + 1 = 2
энд I тэмдэг нь тоон доторх байрнаас үл хамааран 1-ийг илэрхийлдэг.

Үнэн хэрэгтээ Ромын систем нь бүрэн байрлалгүй биш юм, учир нь томоос өмнөх жижиг цифрийг түүнээс хасдаг, жишээлбэл:

IV = 4 байхад:
VI = 6

Майягийн тооны систем

бас үзнэ үү

Тэмдэглэл

Холбоосууд

• Гашков С.Б.Тооны систем ба тэдгээрийн хэрэглээ. - М .: MTsNMO, 2004. - ("Математикийн боловсрол" номын сан).
• Фомин С.В.Тооны систем. - М .: Наука, 1987. - 48 х. - (Математикийн алдартай лекцүүд).
• Яглом И.Тооны систем // Квант. - 1970. - No 6. - S. 2-10.
• Тоонууд ба тооны системүүд. Дэлхий даяарх онлайн нэвтэрхий толь бичиг.
• Стахов А.Компьютерийн түүхэн дэх тоон системийн үүрэг.
• Микушин А.В. Тооны систем. "Дижитал төхөөрөмж ба микропроцессор" лекцийн курс
• Батлер Ж.Т., Сасао Т. Нэмэлт олон утгатай тоон систем Энэ нийтлэлд нэгээс их тоо ашигладаг, тоог илэрхийлэхэд илүүдлийг зөвшөөрдөг тооллын системийн тухай өгүүлдэг.

Викимедиа сан. 2010 он.

Тооны систем нь маш нарийн төвөгтэй ойлголт юм.

Тооны систем -энэ нь тоонуудыг илэрхийлэх арга бөгөөд тоон дээр ажиллах холбогдох дүрэм юм. Тооны систем -Энэ бол тоо гэж нэрлэгддэг тодорхой цагаан толгойн тэмдэгтүүдийг ашиглан тоонуудыг тодорхой дүрмийн дагуу бичдэг дохионы систем юм.

Тоонуудыг илэрхийлэх олон арга бий. Ямар ч тохиолдолд тоо нь ямар нэг цагаан толгойн тэмдэгт эсвэл бүлэг тэмдэг (үг) -ээр илэрхийлэгддэг. Бид ийм тэмдэгтүүдийг тоо гэж нэрлэх болно. тоог илэрхийлэхэд ашигладаг албан тушаалын бусболон байр суурьтайтооллын системүүд.

AT албан тушаалын буссистемүүдийн хувьд цифр бүр өөрийн гэсэн жинтэй бөгөөд түүний утга нь тоон дахь байрлалаас хамаардаггүй. Үүний жишээ бол Ромын систем юм. Энэ систем дэх 76 тоо дараах байдалтай байна гэж бодъё.

LXXVI, энд L=50, X=10, V=5, I=1.

Таны харж байгаагаар энд байгаа тоонууд нь латин үсэг юм.

AT байр суурьтайсистемүүдийн хувьд цифрүүдийн утга нь тоон дахь байрлалаас (байрлалаас) хамаарна.

Жишээлбэл, хүн аравтын бутархайн байрлалын системийг ашиглаж дассан байдаг - тоог 10 оронтой тоогоор бичдэг. Хамгийн баруун талын цифр нь нэгж, зүүн талд - арав, түүнээс дээш зүүн талд - зуу гэх мэт.

Аливаа байрлалын системд тоог олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Аравтын бутархай тоог олон гишүүнт хэлбэрээр хэрхэн төлөөлдөгийг харуулъя.

Тооны систем нь маш нарийн төвөгтэй ойлголт юм. Үүнд тоо бичих, унших, мөн тэдгээрт үйлдлүүдийг гүйцэтгэх бүх хууль багтсан болно.

Тооны системийн талаар мэдэх ёстой хамгийн чухал зүйл бол түүний төрөл юм. нэмэлтэсвэл үржүүлэх. Эхний төрөлд цифр бүр өөрийн гэсэн утгатай бөгөөд дугаарыг уншихын тулд ашигласан цифрүүдийн бүх утгыг нэмэх шаардлагатай.

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Хоёр дахь төрөлд цифр бүр нь тоон доторх байршлаас хамааран өөр өөр утгатай байж болно.

(иероглифийн дарааллаар: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Энд "2" тэмдэгтийг хоёр удаа ашигладаг бөгөөд тохиолдол бүрт "2000", "20" гэсэн өөр өөр утгыг авсан.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Нэмэлт ("нэмэлт") системийн хувьд та бүх цифрүүдийн утгыг (тэдгээрийн 4-5 арав хүртэл байдаг), бичлэг хийх дарааллыг мэдэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, латин тэмдэглэгээнд том тооноос өмнө жижиг тоог бичсэн бол хасах, дараа нь нэмэх (IV \u003d (5-1) \u003d 4; VI \u003d (5 + 1)) \u003d 6).

Үржүүлэх системийн хувьд та тоонуудын дүр төрх, тэдгээрийн утгыг мэдэх хэрэгтэй цацраг.

Системийн үндэсТооцоолол гэдэг нь тоог илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг цифр, тэмдгийн тоо юм. Жишээ нь p=10.

Суурийг тодорхойлох нь маш хялбар бөгөөд та систем дэх чухал цифрүүдийн тоог дахин тооцоолох хэрэгтэй. Энгийнээр хэлэхэд энэ нь тухайн тооны хоёр дахь оронтой тоо эхэлдэг тоо юм. Жишээлбэл, бид 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн тоонуудыг ашигладаг. Тэд яг 10 байгаа тул манай тооны системийн суурь нь мөн 10, тооллын систем нь гэж нэрлэдэг аравтын". Дээрх жишээнд 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 тоонуудыг ашигласан (туслах 10, 100, 1000, 10000 гэх мэтийг тооцохгүй). Мөн үндсэн 10 оронтой, тооллын систем нь аравтын бутархай.

Системийн суурьтоо бичихэд хэрэглэгддэг цифрүүдийн дараалал юм. Ямар ч системд системийн суурьтай тэнцэх цифр байдаггүй.

Таны таамаглаж байгаагаар хэдэн тоо байгаа бол тооны системийн олон суурь байж болно. Гэхдээ зөвхөн тооны системийн хамгийн тохиромжтой суурийг ашигладаг. Хүний хамгийн түгээмэл тооллын системийн суурь нь яагаад 10 гэж та бодож байна вэ? Тийм ээ, яг бидний гарт 10 хуруу байдаг учраас. "Гэхдээ нэг гарт ердөө таван хуруу байдаг" гэж зарим нь зөв хэлэх болно. Хүн төрөлхтний түүх таван дахин тооллын системийн жишээг мэддэг. "Хөлтэй - хорин хуруу" гэж бусад хүмүүс хэлэх болно, тэд ч бас зөв байх болно. Маяачууд ингэж бодож байсан. Та үүнийг тэдний тооноос ч харж болно.

Тооны систем. Тооны системийн тухай ойлголт. Тооны системийн төрөл ба бүлгүүд

Тооны систем (SS) нь өгөгдсөн тусгай тэмдэгтүүдийн багцыг ашиглан тоо бичих дүрэм юм. Тоо бичих хэд хэдэн бүлэг байдаг: Unary. Энэ бол тоо бичихэд нэг тэмдэг - (зөөгч) ашиглагддаг SS юм. Дараагийн дугаарыг өмнөх тооноос шинийг нэмэх замаар олж авна - нэг, тэдгээрийн тоо нь өөрөө тоотой тэнцүү байна. Нэгдмэл системд тоог бичихийн тулд Z1 тэмдэглэгээг ашиглана. Байршилгүй SS (хамгийн түгээмэл нь Ром). Үүнд зарим үндсэн тоог том латин үсгээр бичсэн болно: 1-I 5-V, ​​10-X, 50-L, 100-C, 500-D, 1000-M. Хэрэв бага утгатай цифр байвал том цифрийн баруун талд, дараа нь тэдгээрийн утгыг нэгтгэн гаргавал зүүн талд нь томоос жижиг утгыг хасна. I, X, C, M тоонуудыг гурваас илүүгүй удаа дараалан дагаж болно. V, L, D цифрийг нэгээс илүүгүй тооны тэмдэглэгээнд ашиглаж болно. Байрлалын SS - SS, тоон дээрх цифр бүрийн утгыг түүний бусад оронтой тоон дахь байрлал (байрлал) -аар тодорхойлдог. Нэгдмэл болон Ромын SS-ийн хувьд нийтлэг зүйл бол тэдгээрийн доторх тооны утгыг тухайн тоон доторх байрлалаас үл хамааран тухайн тоо бүрдэх үндсэн цифрүүдийг нэмэх, хасах үйлдлээр тодорхойлдог явдал юм. Ийм системийг нэмэлт гэж нэрлэдэг. Тэднээс ялгаатай нь байрлалын SS-ийг нэмэлт-үржүүлэх хүчин зүйл гэж үздэг тул тооны утгыг үржүүлэх, нэмэх үйлдлээр тодорхойлно.

Бүхэл болон бутархай тоог нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэх

Нэг дугаарыг өөр өөр SS-д бичиж болох тул дугаарыг нэг системээс нөгөөд шилжүүлэх боломжтой. Учир нь Хамгийн түгээмэл SS нь аравтын бутархай байдаг тул аравтын бутархай системээс нөгөө рүү болон эсрэгээр хөрвүүлэх алгоритмуудыг авч үзэх шаардлагатай. Аравтын бутархай SS-ээс нөгөө рүү хөрвүүлэх алгоритм. нэг). Бүхэл тоо нь анхны Z(10) тоог шинэ системийн суурь (p)-д хувааж, тусгаарлах үлдэгдлийг ол - энэ нь Z тооны 0-р оронтой цифр байх болно. 2). Үлдэгдэл хуваарилалтаар хуваах хэсгийг дахин P-д хуваана, коэффициент P-ээс бага болтол процедурыг үргэлжлүүлнэ. 3). Хүлээн авсан урвуу дарааллаар тавигдсан хуваагдлын үлдэгдэл нь Z (p) -ийг илэрхийлнэ. Z(p)-г Z(10) болгон хувиргах алгоритм. Энэ хувиргалтанд (1) томъёог ашиглана: З х =а к-1 *pk-1 +a к-2 *p k-2 + … +a 1 *p 1 +a 0 *p0; (нэг)Энд p нь SS-ийн суурь бол k нь тухайн тооны нийт цифрүүдийн тоо юм. Жишээ нь: 443 (5)=4*5 2 + 4*5 1 + 3*5 0 = 100+20+3 = 123. Аравтын бутархай SS-ээс бутархай тоог өөр систем рүү хөрвүүлэх алгоритм. 10-р систем дэх анхны бутархайг үндсэн P-ээр үржүүлж, бүхэл хэсгийг сонго - энэ нь шинэ бутархайн эхний цифр байх болно, бүхэл хэсгийг хая. Үлдсэн бутархай хэсгийн хувьд бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг сонгох замаар үржүүлэх үйлдлийг бутархай хэсэг 0 хүртэл эсвэл эцсийн тооны хүссэн нарийвчлалд хүрэх хүртэл давтана. Бутархайг зааглагдсан талбарын ард гарч ирэх дарааллаар нь цифрүүдийн дарааллаар бичнэ. Жишээ нь: 0.375 (10)-аас 0, Y(2). 0.375*2 = |0.|750 0.75*2 = |1.|50 0.5*2 = |1.|0 0.375 10 = 0.011 2 (1) томъёоны утгыг тооцоолоход. Жишээ: 0.011 2 = 0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3 = 0.25+0.125 = 0.375 10 .

Тоонуудыг илэрхийлэх олон арга бий. Ямар ч тохиолдолд тоо нь ямар нэг цагаан толгойн тэмдэгт эсвэл бүлэг тэмдэг (үг) -ээр илэрхийлэгддэг. Ийм тэмдэгтүүдийг тоо гэж нэрлэдэг.

Тооны систем

Тоонуудыг илэрхийлэхийн тулд байрлалын бус болон байрлалын тооллын системийг ашигладаг.

Байршлын бус тооллын системүүд

Хүмүүс тоолж эхэлмэгц тоо бичих хэрэгцээ гарч ирэв. Археологичдын анхдагч хүмүүсийн дурсгалт газруудаас олдсон олдворууд нь анх объектын тоог ямар ч тэмдэг (шошго) -оор ижил тооны ховил, зураас, цэгээр харуулсан болохыг харуулж байна. Хожим нь тоолоход хялбар болгох үүднээс эдгээр дүрсүүдийг гурваар эсвэл таваар бүлэглэсэн. Энэ тэмдэглэгээний системийг гэж нэрлэдэг ганц бие (нэг), учир нь доторх дурын тоо нь нэгжийг бэлгэддэг нэг тэмдгийг давтах замаар үүсдэг. Нэгж тооллын системийн цуурай өнөөдөр олддог. Тиймээс цэргийн сургуулийн курсант аль курст суралцаж байгааг мэдэхийн тулд түүний ханцуйндаа хэдэн судлууд оёж байгааг тоолох хэрэгтэй. Хүүхдүүд өөрсдөө ч мэдэлгүй нэгж тооллын систем хэрэглэж, насыг нь хуруугаараа харуулж, 1-р ангийн сурагчдад тоолохыг заахдаа тоолох саваа хэрэглэдэг. Өөр өөр тооны системийг авч үзье.

Нэгж систем нь тоо бичих хамгийн тохиромжтой арга биш юм. Ийм маягаар олон тооны бичлэг хийх нь уйтгартай бөгөөд бичлэгүүд нь өөрөө маш урт байдаг. Цаг хугацаа өнгөрөхөд бусад илүү тохиромжтой тооны системүүд гарч ирэв.

Эртний Египетийн аравтын бус байрлалын тооллын систем. МЭӨ 3-р мянганы орчимд эртний египетчүүд 1, 10, 100 гэх мэт үндсэн тоог тодорхойлох өөрсдийн гэсэн тооны системийг бий болгосон. тусгай дүрс ашигласан - иероглиф. Бусад бүх тоог эдгээр гол тоонуудаас нэмэх үйлдлийг ашиглан эмхэтгэсэн. Эртний Египетийн тооллын систем нь аравтын тооллын систем боловч байрлалын бус. Байршлын бус тооллын системд цифр бүрийн тоон эквивалент нь түүний тоон бичилт дэх байрлалаас (байр, байрлал) хамаардаггүй. Жишээлбэл, 3252-ыг дүрслэхийн тулд гурван бадамлянхуа цэцэг (гурван мянга), далдуу модны хоёр атираат навч (хоёр зуу), таван нум (таван арав), хоёр шон (хоёр нэгж) зурсан. Тооны утга нь түүнийг бүрдүүлэгч тэмдэгтүүдийн байршлаас хамаарахгүй: тэдгээрийг дээрээс доош, баруунаас зүүн тийш бичиж эсвэл огтлолцуулж болно.

Ромын тооны систем. Өнөөдрийг хүртэл хадгалагдан үлдсэн байрлалын бус системийн жишээ бол эртний Ромд хоёр мянга хагас мянга гаруй жилийн өмнө хэрэглэгдэж байсан тооллын систем юм. Ромын тооны системийн үндэс нь 1-ийн тоог I (нэг хуруу), 5-ын тоог V (нээлттэй алга), 10-ын хувьд X (хоёр нугалсан алга) тэмдэгтүүд байсан бөгөөд холбогдох латин үгсийн эхний үсгүүд гарч ирэв. 100, 500, 1000 (Centum - зуун, Demimille - хагас мянга, Mille - мянга) тоог тэмдэглэхэд хэрэглэнэ. Тоо бичихийн тулд Ромчууд үүнийг мянга, хагас мянга, зуу, хагас зуу, арав, өсгий, нэгжийн нийлбэр болгон задалсан. Жишээлбэл, аравтын бутархай 28-ыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (хоёр арав, тав, гурав нэг).

Завсрын тоог бичихийн тулд Ромчууд зөвхөн нэмэх төдийгүй хасах үйлдлийг ашигладаг байв. Энэ тохиолдолд дараах дүрмийг баримталсан: том тэмдэгтийн баруун талд байрлуулсан жижиг тэмдэг бүрийг түүний утгад нэмж, том тэмдгийн зүүн талд байрлуулсан жижиг тэмдэг бүрийг хасна. Жишээлбэл, IX нь 9, XI нь 11 гэсэн утгатай.

Аравтын бутархай 99 нь дараах дүрслэлийг агуулна.

XCIХ \u003d -10 + 100 - 1 + 10.

Ром тоог маш удаан хугацаанд хэрэглэж ирсэн. 200 жилийн өмнө ч гэсэн бизнесийн баримт бичигт тоог Ром тоогоор тэмдэглэх ёстой байсан (энгийн араб тоонуудыг хуурамчаар гаргахад хялбар гэж үздэг байсан). Ром тооллын системийг өнөөдөр голчлон номын он сар өдөр, боть, хэсэг, бүлгийг нэрлэхэд ашигладаг.

Цагаан толгойн үсгийн тооллын систем. Илүү дэвшилтэт байрлалын бус тооны систем нь цагаан толгойн системүүд байв. Эдгээр тоон системд Грек, Слав, Финик болон бусад тоонууд багтсан. Тэдгээрийн дотор 1-ээс 9 хүртэлх тоо, аравтын бүхэл тоо (10-аас 90 хүртэл), зуутын бүхэл тоо (100-аас 900 хүртэл) цагаан толгойн үсгээр тэмдэглэгдсэн байв. Эртний Грекийн цагаан толгойн тооллын системд 1, 2, ..., 9 гэсэн тоонуудыг Грек цагаан толгойн эхний есөн үсгээр тэмдэглэдэг байв. Дараах 9 үсгээр 10, 20, ..., 90, сүүлийн 9 үсгээр 100, 200, ..., 900 гэсэн тоонуудыг тэмдэглэв.

Славян ард түмний дунд үсгүүдийн тоон утгыг славян цагаан толгойн дарааллаар тогтоосон бөгөөд энэ нь эхлээд глаголит цагаан толгой, дараа нь кирилл үсгийг ашигласан.

Орос улсад славян дугаарлалт 17-р зууны эцэс хүртэл хадгалагдан үлджээ. Петр I-ийн үед араб дугаарлалт гэж нэрлэгддэг байсан бөгөөд бид өнөөг хүртэл ашигладаг. Славян дугаарлалт нь зөвхөн литургийн номонд хадгалагдан үлджээ.

Байршлын бус тооны систем нь хэд хэдэн чухал сул талуудтай:

• Их тоо бичихийн тулд шинэ тэмдэгтүүдийг нэвтрүүлэх шаардлага байнга гардаг.

• Бутархай болон сөрөг тоог илэрхийлэх боломжгүй.

• Арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх алгоритм байхгүй тул тэдгээрийг гүйцэтгэхэд хэцүү байдаг.

Байршлын тооллын систем

Байрлалын тооллын системд - цифр бүрийн тоон эквивалент нь тухайн тооны код (бичлэг) дэх байрлалаас (байрлалаас) хамаарна. Өнөө үед бид аравтын бутархайн байрлалын системийг хэрэглэж заншсан - тоог 10 оронтой тоогоор бичдэг. Хамгийн баруун талын цифр нь нэгж, зүүн талд - арав, түүнээс дээш зүүн талд - зуу гэх мэт.

Жишээ нь: 1) Sexagesimal (Эртний Вавилон) - анхны байрлалын тооллын систем. Одоогоор 60-р суурь (1мин = 60с, 1цаг = 60мин)-ийг ашиглан цагийг хэмжсэн; 2) арван хоёр арван тооллын систем (19-р зуунд 12 - "арван" тоо өргөн тархсан: өдөрт хоёр арван цаг байдаг). Тоолох нь хуруугаараа биш, харин хурууны үе дээр байдаг. Эрхий хуруунаас бусад гарны хуруу бүр дээр 3 үе байдаг - нийт 12; 3) одоогийн байдлаар хамгийн түгээмэл байрлалын тооллын системүүд нь аравтын, хоёртын, наймтын болон арван зургаатын тооллын системүүд юм (доод түвшний програмчлал, ерөнхийдөө компьютерийн баримт бичигт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь орчин үеийн компьютеруудад санах ойн хамгийн бага нэгж нь 8 битийн байт байдаг. утгууд нь хоёр арван арван оронтой тоогоор бичигдсэн байдаг).

Аливаа байрлалын системд тоог олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Аравтын бутархай тоог олон гишүүнт байдлаар хэрхэн илэрхийлдгийг харцгаая.

Тооны системийн төрлүүд

Тооны системийн талаар мэдэх ёстой хамгийн чухал зүйл бол түүний төрөл юм. нэмэлт эсвэл үржүүлэх. Эхний төрөлд цифр бүр өөрийн гэсэн утгатай бөгөөд дугаарыг уншихын тулд ашигласан цифрүүдийн бүх утгыг нэмэх шаардлагатай.

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Хоёр дахь төрөлд цифр бүр нь тоон доторх байршлаас хамааран өөр өөр утгатай байж болно.

(иероглифийн дарааллаар: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Энд "2" тэмдэгтийг хоёр удаа ашигладаг бөгөөд тохиолдол бүрт "2000", "20" гэсэн өөр өөр утгыг авсан.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Нэмэлт ("нэмэлт") системийн хувьд та бүх цифрүүдийн утгыг (тэдгээрийн 4-5 арав хүртэл байдаг), бичлэг хийх дарааллыг мэдэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, латин тэмдэглэгээнд том тооноос өмнө жижиг тоог бичсэн бол хасах, дараа нь нэмэх (IV \u003d (5-1) \u003d 4; VI \u003d (5 + 1)) \u003d 6).

Үржүүлэх системийн хувьд та тоонуудын дүрс, тэдгээрийн утгыг, мөн тооны системийн суурийг мэдэх хэрэгтэй. Суурийг тодорхойлох нь маш хялбар бөгөөд та систем дэх чухал цифрүүдийн тоог дахин тооцоолох хэрэгтэй. Энгийнээр хэлэхэд энэ нь тухайн тооны хоёр дахь оронтой тоо эхэлдэг тоо юм. Жишээлбэл, бид 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн тоонуудыг ашигладаг. Тэд яг 10 байгаа тул манай тооны системийн суурь нь мөн 10, тооллын систем нь "аравтын" гэж нэрлэдэг. Дээрх жишээнд 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 тоонуудыг ашигласан (туслах 10, 100, 1000, 10000 гэх мэтийг тооцохгүй). Мөн үндсэн 10 оронтой, тооллын систем нь аравтын бутархай.

Таны таамаглаж байгаагаар хэдэн тоо байгаа бол тооны системийн олон суурь байж болно. Гэхдээ зөвхөн тооны системийн хамгийн тохиромжтой суурийг ашигладаг. Хүний хамгийн түгээмэл тооллын системийн суурь нь яагаад 10 гэж та бодож байна вэ? Тийм ээ, яг бидний гарт 10 хуруу байдаг учраас. "Гэхдээ нэг гарт ердөө таван хуруу байдаг" гэж зарим нь зөв хэлэх болно. Хүн төрөлхтний түүх таван дахин тооллын системийн жишээг мэддэг. "Хөлтэй - хорин хуруу" гэж бусад хүмүүс хэлэх болно, тэд ч бас зөв байх болно. Маяачууд ингэж бодож байсан. Та үүнийг тэдний тооноос ч харж болно.

"Арваад" гэсэн ойлголт нь маш сонирхолтой юм. Энэ бол 12 гэдгийг хүн бүр мэддэг ч ийм тоо хаанаас гарсныг цөөхөн хүн мэддэг. Гараа, эс тэгвээс нэг талаас нь хар. Эрхий хурууг тооцохгүйгээр нэг гарны бүх хуруунд хэдэн фаланга байдаг вэ? Энэ нь зөв, арван хоёр. Мөн эрхий хуруу нь тоолсон фалангуудыг тэмдэглэхэд зориулагдсан.

Хэрэв нөгөө талаас бид бүхэл бүтэн арван тоог хуруугаараа хойшлуулах юм бол бид сайн мэдэх Вавилоны секси системтэй болно.

Өөр өөр соёл иргэншилд тэд өөр өөрөөр тоолдог байсан ч одоо ч гэсэн эдгээр хүмүүсийн хэрэглэж байсан огт өөр тооны системийн үлдэгдлийг тоонуудын нэр, дүрсээс олох боломжтой болсон.

Франц хэлэнд 80 гэдэг нь "дөрвийг хорь" гэдэг шиг сонсогддог тул францчууд нэг удаа тооллын системтэй байсан.

Ромчууд эсвэл тэдний өмнөх хүмүүс нэг удаа таван давхар системийг ашигладаг байсан, учир нь V нь эрхий хуруугаа хойш тавьсан далдуу модны дүрсээс өөр зүйл биш бөгөөд X нь ижил хоёр гар юм.