Үйл явдлын магадлал, харьцангуй давтамж, тогтвортой байдлын сонгодог тодорхойлолт.
Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал
Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, А үйл явдлын харьцангуй давтамжийг дараах байдлаар тодорхойлно.
Энд m нь үйл явдлын тохиолдлын тоо, n нь туршилтын нийт тоо юм.
Магадлалыг тодорхойлох нь туршилтыг бодит байдалд хийх шаардлагагүй; харьцангуй давтамжийн тодорхойлолт нь туршилтыг бодитоор хийсэн гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, магадлалыг туршлагаас өмнө, харьцангуй давтамжийг туршлагын дараа тооцдог.
Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо хангалттай их байвал харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанарыг харуулдаг. Энэ өмч нь тэр юм янз бүрийн туршлагахарьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгддөг (бага байх тусмаа илүү олон туршилт хийх), тодорхой тогтмол тооны орчим хэлбэлздэг. Энэ тогтмол тоо нь үйл явдал болох магадлал болох нь тогтоогдсон.
Хэрэв харьцангуй давтамж нь туршилтаар тогтоогдсон бол үр дүнгийн тоог магадлалын ойролцоо утга болгон авч болно.
Жишээ 1. Зоос шидэх давтан туршилтуудыг хийж, ''Сүлд'' тохиолдсон тоог тоолсон. Хэд хэдэн туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.
Харьцангуй давтамж нь ач холбогдол багатай. 0.5 тооноос хазайж, түүнээс бага илүү тоотуршилтууд.
Хэрэв бид зоос шидэх үед ʼʼГʼʼ гарч ирэх магадлал = 0.5 гэдгийг харгалзан үзвэл энэ нь хамааралтай гэдэгт бид дахин итгэлтэй байна. Давтамж нь вер-ty орчимд хэлбэлздэг.
Ихэнх сул талсонгодог Ver-ty-ийн тодорхойлолт нь туршилтын үр дүнг энгийн үйл явдлуудын хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байдаг. Элемент.об-I-ийг адил магадлалтай гэж үзэх үндэслэлийг заах нь бүр ч хэцүү. Энэ шалтгааны улмаас сонгодогтой хамт ver-ty гэх мэт тодорхойлолтыг ашигладаг.
ref.rf дээр байршуулсан
def.ver. Ялангуяа, статистик:Хамаатан садан нь үйл явдлын статистик үзүүлэлт гэж тооцогддог. давтамж эсвэл түүнтэй ойролцоо тоо.
Үүний зэрэгцээ статистикийн вер-ty-ийн тодорхойлолт нь өөрийн гэсэн ʼʼ-ʼʼ утгатай. Жишээлбэл, статистикийн хоёрдмол утгатай ver-ty. Тиймээс авч үзсэн жишээнд зөвхөн 0.5 биш, 0.5069, 0.5016 гэх мэтийг ver-ty үйл явдал болгон авч болно.
Үзэл баримтлал ʼʼ геометрийн хувилбарʼʼ комп. дараах:
G бүсэд хүрэх замыг цэгээр санамсаргүй байдлаар шиддэг. ʼʼСанамсаргүй шидсэнʼʼ илэрхийлэл нь шидсэн цэг нь G бүсийн аль ч цэгийг онож болно гэсэн утгаар түгээмэл ойлгогддог. G талбайн хэсэг нь энэ хэсгийн хэмжигдэхүүнтэй (урт, талбай, эзэлхүүн) пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй.
Тэр. хэрэв g нь G бүсийн нэг хэсэг бол g мужийг цохих магадлал = P (g) = g хэмжилт / G хэмжилт. Энд бүх энгийн үр дүнгийн нийлүүлэлтийн Ω нь G бүсийн бүх цэгүүдийн давхцал бөгөөд тиймээс ʼʼгеомын тухай ойлголт нь хязгааргүй олон тооны энгийн үзэгдэлээс бүрддэг болохыг анхаарна уу. Ver-tʼʼ нь ʼʼсонгодог үзэл баримтлалын ерөнхий ойлголт гэж үзэж болно. Хязгааргүй олон тооны үр дүн бүхий туршилтуудын хувьд Ver-tʼʼ.
хурлын даалгавар. Шийдэх: А ба В хүмүүсийн ирэх цагийг x ба y-ээр тэмдэглэ. Хэрэв |x-y|≤10 бол уулзалт болно.
Хэрэв x ба y-г квадрат дээр декарт координатаар дүрсэлсэн бол бүх боломжит үр дүнг 60 талтай квадратын цэгээр илэрхийлнэ.
10≤y-x≤10
Буффоны асуудал. Resh-e: тэмдэглэгээг танилцуулъя: x нь зүүний дундаас хамгийн ойрын параллель хүртэлх зай;
φ нь энэ параллель зүүгээр хийсэн өнцөг юм.
Зүүгийн байрлалыг x ба φ-ийн өгөгдсөн тодорхой утгуудаар бүрэн тодорхойлно. Түүнчлэн, x Є (0; a), φЄ (0; π). Өөрөөр хэлбэл зүүний дунд хэсэг нь a ба π талтай тэгш өнцөгтийн аль ч цэгийг онож болно.
Тэр. Энэ тэгш өнцөгтийг G дүрс гэж үзэж болох бөгөөд тэдгээрийн цэгүүд нь зүүний дундах бүх боломжит байрлалууд юм. Мэдээжийн хэрэг, зургийн энэ хэсэг нь πа юм.
Цэг бүр нь бидний сонирхсон үйл явдлыг илүүд үздэг g дүрсийг олцгооё, ᴛ.ᴇ. Зургийн цэг бүр нь зүүний дунд хэсэг болж, параллель гаталж болно.
Зүү нь дараах нөхцөлд хамгийн ойр параллель гатлана: x≤l sinφ
Тэдгээр. хэрэв зүүний дунд хэсэг нь Зураг (2) дээр сүүдэрлэсэн зургийн аль нэг цэгт унасан бол. Тэр. сүүдэрлэсэн дүрсийг g гэж харж болно. Түүний талбайг олцгооё:
Хариулт: 2л/аπ
Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал - ойлголт ба төрлүүд. "Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.
Магадлалын онолын сэдэв. Шүүх хурал. Үйл явдлын ангилал.
Магадлалын онол нь массын нэгэн төрлийн тест (MOT) -д тохиолддог зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар юм.
Туршилт бол аливаа нөхцөл байдал, үйл ажиллагааны цогц юм.
MY - эдгээр нь онолын хувьд тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлэх боломжтой тестүүд юм (судалгаа, санал асуулга, зоос шидэх).
Туршилтын үр дүн нь шинжилгээний боломжит үр дүн юм.
Үйл явдал нь туршилтын үр дүнгийн хийсвэрлэл юм (MY-д үзэгдэл болсон эсэх).
Жишээлбэл, зоос шидэх нь сорилт, харин "бүргэд" гарч ирэх нь үйл явдал юм.
Үйл явдлыг ихэвчлэн том латаар тэмдэглэдэг. A, B, C үсэг.
ҮЙЛ ЯВДАЛЫН ТӨРӨЛ:
1. Тодорхой үйл явдлыг туршилтын аливаа үр дүнд бий болох үйл явдал гэнэ.
2. Боломжгүй - туршилтын үр дүнд тохиолдохгүй.
3. Санамсаргүй - туршилтын үр дүнд тохиолдож болно, үгүй ч байж болно.
Жишээлбэл, шоо шидсэн.
А үйл явдал - онооны тоо 6-аас ихгүй байна: чухал.
Үйл явдал В - оноо > 6: боломжгүй.
Үйл явдал C - 1-ээс 6 хүртэл: Санамсаргүй.
Санамсаргүй үйл явдлууд
1. Эквивалент - сорилтын үр дүнгийн хувь тэнцүү байх ёстой.
Жишээлбэл, хөзрийн тавцангаас хаан, хөзрийн тамга, хатан хаан, үүрийг гаргаж авах.
2. Цорын ганц боломжит зүйл бол эдгээрийн ядаж нэг нь шалгалтанд гарах нь гарцаагүй.
Жишээлбэл, нэг гэр бүлд 2 хүүхэд байдаг: А - 2 хүү, Б - 2 охин, С - 1 м, 1 г.
Комбинаторик. Комбинаторикийн үндсэн томъёо.
Комбинаторик бол нэгдлүүдийн шинжлэх ухаан юм. Холболтыг тодорхой олонлогийн элементүүдийн аль ч багц гэж ойлгодог.
Жишээлбэл, олон оюутнууд үзэгчдийн дунд сууж байна.
Бүх нэгдлүүдийг 3 бүлэгт хуваадаг.
1) Орон байр. n el-t дээр m ()-аас R-mi-г el-t-ийн найрлагаар эсвэл эл-т-ийн холболтын дарааллаар эсвэл хоёуланг нь өөр хоорондоо ялгаатай ийм нэгдлүүд гэж нэрлэдэг.
Anm = n!/(n-m)!
Даалгавар. Цифрүүдийн багцаас (1; 2; 3; 4) хичнээн өөр 2 оронтой тоо гаргаж болох вэ, тэгвэл тухайн тооны цифрүүд өөр байх болно.
Мөн 4-өөс 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12
2) хослолууд. n элементийн m-ийн хослолууд нь бие биенээсээ зөвхөн элементүүдийн найрлагаараа ялгаатай ийм нэгдлүүд юм (дараалал чухал биш)
n-ээс m = n!/m!*(n-m) хүртэл!
Даалгавар. Уссури сувилал руу 30 хүнтэй бүлэг хэд хэдэн аргаар ваучер тараах вэ.
30-ын 3-ын C = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.
3) Пермутаци (Pn). Бүх n элементийг багтаасан, зөвхөн холболтын дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай ийм нэгдлүүдийг n элементийн сэлгэлт гэнэ.
Даалгавар. Парадын талбайд 6 курсантыг хэдэн янзаар жагсаах вэ?
НИЙТЛЭЛИЙН ДҮРЭМ - хэрэв олонлогоос a объектыг s өөр аргаар, b объектыг r өөр аргаар сонгох боломжтой бол a эсвэл баар элементийн аль нэгийг сонгохдоо өөр өөр r + s аргаар хийж болно.
БҮТЭЭГДЭХҮҮНИЙ ДҮРЭМ - хэрэв a объектыг өөр өөр аргаар сонгож болох ба ийм сонголт бүрийн дараа b объектыг r өөр аргаар сонгох боломжтой бол хос элементийн сонголтыг өөр өөр r*s аргаар (a ба b) хийж болно. = r*s).
Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. Магадлалын шинж чанарууд.
А үйл явдлын магадлал нь энэ үйл явдалд таатай үр дагаврын тоог бүрэн бүлэг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжтой үл нийцэх энгийн үр дагаврын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм (P(A)=m/n).
IN-TI дахь өмч:
1) V-t тодорхой үйл явдал = 1.
Учир нь D нь тодорхой үйл явдал, дараа нь туршилтын боломжит үр дүн бүр үйл явдлыг илүүд үздэг, өөрөөр хэлбэл. m=n.
P(D) = m/n = n/n = 1/
2) Боломжгүй үйл явдлын утга тэг байна. Учир нь N үйл явдал боломжгүй бол энгийн үр дүнгийн аль нь ч үйл явдлыг дэмжихгүй, өөрөөр хэлбэл. m=0.
P(D) = m/n = 0/n = 0/
3) Санамсаргүй үйл явдал байдаг эерэг тоо 0-ээс 1-ийн хооронд. Санамсаргүй үйл явдал S нь зөвхөн-аас илүүд үздэг нийт тообүрэлдэхүүн. туршилтын үр дүн, жишээлбэл. 0 0 Тиймээс аливаа үйл явдлын 1-р хэсэг нь давхар тэгш бус байдлыг хангадаг: 0<=P(A)<=1. Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал. Магадлалын статистик тодорхойлолт. Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. W(A)=m/n, энд m нь үйл явдлын тохиолдлын тоо, n нь туршилтын нийт тоо юм. V-Th санал болгож байгаа бөгөөд харьцангуй давтамжийг засдаг. V-Th үйл явдлуудыг зохион байгуулсан байхыг шаарддаггүй, харьцангуй давтамж нь - шаарддаг. Өөрөөр хэлбэл, туршилтын өмнөх үйл явдлуудыг тооцоолж, rel. дараа давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал. Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо хангалттай их байвал харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанарыг харуулдаг. Энэ шинж чанар нь янз бүрийн туршилтуудад харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгдөж, тодорхой тогтмол тоо орчимд хэлбэлздэгт оршино. Энэ тогтмол тоо нь W(A) = P(A) үйл явдал болох нь тогтоогдсон. Үйл явдлын СТАТИСТИК хэсэг нь энэ үзэгдлийн харьцангуй давтамжийг тойрон бүлэглэсэн тоо бөгөөд тогтмол нөхцөлд, туршилтын тоо хязгааргүй нэмэгдэхэд харьцангуй давтамж нь энэ тооноос бага зэрэг ялгаатай байдаг. Тодорхойлолт. Оруул n
давтан туршилт (туршилт) зарим үйл явдал ГЭХДЭЭ
ирсэн н А
нэг удаа. Тоо н А
үйл явдлын давтамж гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ
, болон харьцаа үйл явдлын харьцангуй давтамж (эсвэл давтамж) гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ
Энэ цуврал туршилтанд. Харьцангуй давтамжийн шинж чанарууд Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь дараах шинж чанартай байдаг. 1.
Аливаа үйл явдлын давтамж нь тэгээс нэг хүртэлх мужид, өөрөөр хэлбэл. 2.
Боломжгүй үйл явдлын давтамж нь тэг, өөрөөр хэлбэл. 3.
Тодорхой үйл явдлын давтамж нь 1, i.e. 4.
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн давтамж нь эдгээр үйл явдлын давтамжийн (давтамж) нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. хэрэв =Ø бол дараа нь Давтамж байна өмч
, өмч гэж нэрлэдэг статистикийн тогтвортой байдал
: туршилтын тоо нэмэгдэхэд (жишээ нь n
) үйл явдлын давтамж нь энэ үйл явдлын магадлалтай ойролцоо утгыг авдаг Р
. Тодорхойлолт. А үйл явдлын статистик магадлалэргэн тойронд нь үйл явдлын харьцангуй давтамж хэлбэлздэг тоог нэрлэдэг ГЭХДЭЭ
хангалттай олон тооны туршилт (туршилт) бүхий n
. Үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭ
тэмдгээр тэмдэглэнэ Р
(ГЭХДЭЭ
) эсвэл Р
(ГЭХДЭЭ
). Үсгийн дүр төрх нь "магадлал" гэсэн ойлголтын бэлгэдэл юм. Р
англи үгэнд эхний ээлжинд байгаагаар тодорхойлогддог магадлал
- магадлал. Энэ тодорхойлолтын дагуу Статистикийн магадлалын шинж чанарууд 1.
Аливаа үйл явдлын статистик магадлал ГЭХДЭЭтэгээс нэгийн хооронд байна, өөрөөр хэлбэл. 2.
Боломжгүй үйл явдлын статистик магадлал ( ГЭХДЭЭ= Ø) нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. 3.
Тодорхой үйл явдлын статистик магадлал ( ГЭХДЭЭ= Ω) нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, 4.
Статистик магадлалын нийлбэр нийцэхгүй
үйл явдлууд нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. хэрэв А Б= Ø, тэгвэл Магадлалын сонгодог тодорхойлолт -ээр туршилт явуулъя n
үл нийцэх, адил магадлалтай үйл явдлын бүлэг болгон төлөөлж болох үр дүн. Үйл явдал үүсэхэд хүргэсэн тохиолдол ГЭХДЭЭ
, таатай эсвэл таатай гэж нэрлэдэг, i.e. болж байна w
үйл явдал үүсгэдэг ГЭХДЭЭ
, w А
. Тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭ
тооны харьцаа гэж нэрлэдэг м
энэ үйл явдалд таатай тохиолдлууд, нийт тоо n
тохиолдлууд, өөрөөр хэлбэл. "Сонгодог" магадлалын шинж чанарууд 1.
Аксиом сөрөг бус байдал
: аливаа үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭсөрөг биш, i.e. Р(ГЭХДЭЭ) ≥ 0. 2.
Аксиом хэвийн болгох
: тодорхой үйл явдлын магадлал ( ГЭХДЭЭ= Ω) нь нэгтэй тэнцүү байна: 3.
Аксиом нэмэлт чанар
: нийлбэрийн магадлал нийцэхгүй
үйл явдлууд (эсвэл хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал) нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. хэрэв А Б=Ø, тэгвэл Үйл явдлын магадлал: Р() = 1 – Р(ГЭХДЭЭ). нийлбэр болох үйл явдлын магадлалын хувьд ямар ч
хоёр үйл явдал ГЭХДЭЭболон AT,зөв томъёо нь: Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнэгэн зэрэг нэг туршилтын үр дүнд үүсэх боломжгүй, i.e. өөрөөр хэлбэл, хэрэв А Б- боломжгүй үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй
эсвэл нийцэхгүй
, Тэгээд Р(А Б) =
0 ба үйл явдлын нийлбэрийн магадлалын томъёо нь маш энгийн хэлбэртэй байна. Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнэг сорилтын үр дүнд үүсч болно, тэдгээрийг гэж нэрлэдэг нийцтэй
. Ашигтай алгоритм Магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан магадлалыг олохдоо дараах алгоритмыг баримтална. 1. Туршилт гэж юу болохыг тодорхой ойлгох шаардлагатай. 2. Үйл явдал юу болохыг тодорхой хэл ГЭХДЭЭ, магадлал нь олдох болно. 3. Хэлэлцэж буй асуудлын үндсэн үйл явдал юу болохыг тодорхой томъёол. Энгийн үйл явдлыг томъёолж, тодорхойлсоны дараа та үр дүнгийн багцаар хангагдсан байх ёстой гурван нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй, жишээлбэл. Ω. 6. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу тодорхойлно уу Асуудлыг шийдвэрлэх үед хамгийн нийтлэг алдаа
юуг анхан шатны үйл явдал гэж хүлээж авах талаар бүдэг бадаг ойлголт юм w
, иж бүрдлийг зөв хийсэн байдал, үйл явдлын магадлалын тооцооны зөв эсэх нь үүнээс хамаарна. Ихэвчлэн практикт хамгийн энгийн үр дүнг энгийн үйл явдал гэж үздэг бөгөөд үүнийг энгийн зүйл болгон "хуваах" боломжгүй юм. Туршилтын улмаас санамсаргүй үйл явдал тохиолдож болно, эсвэл болохгүй гэдгийг мэддэг. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн нэг шалгалтанд өөр өөр үйл явдал тохиолдох боломжууд өөр өөр байдаг. Нэг жишээг авч үзье. Хэрэв саванд сайтар холилдсон зуун ижил бөмбөг байгаа бөгөөд тэдгээрийн арав нь хар, үлдсэн нь цагаан өнгөтэй байвал нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурахад цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал өндөр байна. Өгөгдсөн тестийн үйл явдал тохиолдох магадлал нь тоон хэмжигдэхүүнтэй байдаг бөгөөд үүнийг энэ үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг бөгөөд магадлалын онолын дагуу хар эсвэл цагаан бөмбөгийг харах боломж ямар байхыг тооцоолж болно. Тодорхой туршилтын үед $n$ энгийн адил магадлалтай үйл явдал тохиолдож болно гэж бодъё. Энэ тооноос $m$ гэдэг нь тодорхой $A$ үйл явдал тохиолдохыг дэмжсэн анхан шатны үйл явдлуудын тоо юм. Тэгвэл $A$ үйл явдлын магадлал нь $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $ харьцаа юм. Жишээ №1. Нэг саванд 3 цагаан, 5 хар бөмбөлөг байдаг бөгөөд тэдгээр нь зөвхөн өнгөөрөө ялгаатай. Туршилт нь савнаас санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг зурах явдал юм. $A$ үйл явдлыг "цагаан бөмбөгний харагдах байдал" гэж үздэг. $A$ үйл явдлын магадлалыг тооцоол. Туршилтын явцад найман бөмбөгний аль нэгийг нь авч болно. Эдгээр бүх үйл явдал нь анхан шатны шинж чанартай байдаг, учир нь тэдгээр нь хоорондоо нийцэхгүй бөгөөд бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Энэ бүх үйл явдал адилхан боломжтой гэдэг нь бас тодорхой. Тиймээс $P\left(A\right)$ магадлалыг тооцоолохын тулд бид түүний сонгодог тодорхойлолтыг ашиглаж болно. Шийдлийн хувьд бидэнд: $n=8$, $m=3$ байгаа бөгөөд бөмбөгнөөс яг цагаан өнгийг гаргаж авах магадлал $P\left(A\right)=\frac(3)(8)-тай тэнцүү байх болно. ) $. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирдэг. Тиймээс ерөнхий тохиолдолд аливаа үйл явдлын магадлал $0\le P\left(A\right)\le 1$ тэгш бус байдлыг хангадаг. Тодорхойлолт 1 Нэлээд олон тооны туршилт хийгдэж байна гэж бодъё, тэдгээр нь тус бүр нь тодорхой үйл явдал тохиолдож болох эсвэл болохгүй байж магадгүй $A$. Ийм туршилтыг цуврал туршилт гэж нэрлэдэг. $A$ үйл явдал $m$ удаа тохиолдох $n$ цуврал туршилтуудыг явууллаа гэж бодъё. Энд $m$ тоог $A$ үйл явдлын үнэмлэхүй давтамж, $\frac(m)(n) $ харьцааг $A$ үйл явдлын харьцангуй давтамж гэнэ. Тухайлбал, гал түймрийн үед ашигласан $n=20$ гал унтраагчаас $m=3$ гал унтраагч ажиллахгүй байсан (үйлдэл $A$). Энд $m=3$ нь $A$ үйл явдлын үнэмлэхүй давтамж, $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ нь харьцангуй давтамж юм. Практик туршлага, нийтлэг ойлголтоос харахад жижиг $ n$-ийн хувьд харьцангуй давтамжийн утгууд тогтвортой байж чадахгүй, гэхдээ туршилтын тоо нэмэгдвэл харьцангуй давтамжийн утгууд тогтворжих ёстой. Жишээ №2. Багийн бүрэлдэхүүнд оролцохын тулд дасгалжуулагч арван хүүгээс таван хүүг сонгодог. Багийн ноён нурууг бүрдүүлдэг тодорхой хоёр хөвгүүн багт байх ёстой бол тэр хэдэн янзаар багийг бүрдүүлж чадах вэ? Асуудлын нөхцөлийн дагуу хоёр хүү шууд багт орно. Тиймээс найман хүүгээс гурван хүүг сонгох л үлдлээ. Энэ тохиолдолд багийн бүх гишүүдийн үүрэг ялгаатай байдаггүй тул зөвхөн бүрэлдэхүүн чухал байдаг. Энэ нь бид хослолуудтай харьцаж байна гэсэн үг юм. $n$ элементүүдийн $m$-ын хослолууд нь $m$ элементүүдээс бүрдэх ба элементүүдийн дарааллаар бус, дор хаяж нэг элементээр өөр хоорондоо ялгаатай хослолууд юм. Хослолын тоог $C_(n)^(m) =\frac(n) томъёогоор тооцоолно{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!} Тиймээс, найман хөвгөөс сонгон гурван хүүтэй баг бүрдүүлэх янз бүрийн арга замуудын тоо нь 3-ын 8 элементийн хослолын тоо юм. $C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!} Жишээ №3 Оффисын тавиур дээр санамсаргүй байдлаар 15 ном тавьсны 5 нь алгебрийн ном байна. Багш санамсаргүй байдлаар гурван ном авдаг. Авсан номнуудаас ядаж нэг нь алгебрийн байх магадлалыг ол. $A$ (авсан гурван номын дор хаяж нэг нь алгебрийн ном) болон $\bar(A)$ (авсан гурван номын аль нь ч алгебрийн ном биш) үйл явдлууд эсрэг утгатай тул P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Тиймээс P(A) = 1-P($\bar(A)$). Тиймээс шаардлагатай магадлал P(A) = 1 - $C_(10)^(3) \, /C_(15)^(3) \, $= 1 - 24/91 = 67/91. Жишээ №4 Хориод хувьцаат компанийн дөрөв нь гадаадынх. Нэг иргэн зургаан хувьцаат компанийн нэг хувьцааг худалдаж авсан. Худалдан авсан хувьцааны хоёр нь гадаадын хувьцаат компанийн хувьцаа байх магадлал хэд вэ? Хувьцаат компанийн сонгон шалгаруулах нэгдлийн нийт тоо нь 20-6 хүртэлх хослолын тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Тааламжтай үр дүнгийн тоог $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(-ийн үржвэрээр тодорхойлно. (\rm 4) ) $, энд эхний хүчин зүйл нь дөрвөөс гадаадын хувьцаат компаниудын сонголтын хослолын тоог заана. Гэхдээ ийм нэгдэл бүрээр гадаад биш хувьцаат компаниуд уулзаж болно. Ийм хувьцаат компаниудын нэгдлийн тоо $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $ байна. Тиймээс хүссэн магадлалыг $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\) гэж бичнэ. rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$. Жишээ №5 18 хэсгээс бүрдсэн багцад стандартын бус 4 хэсэг байдаг. 5 ширхэгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Эдгээр 5 хэсгийн хоёр нь стандарт бус байх магадлалыг ол. Бүх адил боломжтой нийцэхгүй үр дүнгийн тоо $n$ нь 18-аас 5 хүртэлх хослолын тоотой тэнцүү байна, i.e. $n=C_(18)^(5) =8568$. А үйл явдлыг дэмжсэн $m$ үр дүнгийн тоог тоолъё. Санамсаргүй байдлаар авсан 5 дэлгэрэнгүй мэдээлэл дунд 3 стандарт, 2 стандарт бус байх ёстой. Боломжтой 4 стандарт бус хэсгээс хоёр стандарт бус хэсгийг сонгох аргын тоо нь 4-өөс 2 хүртэлх хослолын тоотой тэнцүү байна: $C_(4)^(2) =6$. Боломжтой 14 стандарт хэсгээс гурван стандарт хэсгийг сонгох аргын тоо нь $C_(14)^(3) =364$ байна. Стандарт хэсгүүдийн аль ч бүлэг нь стандарт бус хэсгүүдийн аль ч бүлэгтэй нэгтгэгдэж болох тул нийт хослолын тоо $m$ нь $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 байна. \cdot 364=2184$. А үйл явдлын хүссэн магадлал нь тухайн үйл явдлыг дэмжсэн $m$ үр дүнгийн тэнцүү боломжтой ба үл нийцэх бүх үйл явдлын $n$ тоотой харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна $P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$ Жишээ №6. Нэг саванд 5 хар, 6 цагаан бөмбөлөг байдаг. 4 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Тэдний дунд дор хаяж нэг цагаан бөмбөг байх магадлалыг ол. $$ үйл явдлыг зурсан бөмбөгнүүдийн дунд ядаж нэг цагаан өнгөтэй байг. $\bar()$-ийн эсрэг үйл явдлыг авч үзье - зурсан бөмбөгнүүдийн дунд цагаан бөмбөг байхгүй байна. Тиймээс зурсан 4 бөмбөг бүгд хар өнгөтэй байна. Бид комбинаторик томъёог ашигладаг. Арван нэгэн бөмбөгөөс дөрвөн бөмбөг гаргах аргын тоо: $n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!} Арван нэгэн бөмбөгнөөс дөрвөн хар бөмбөг гаргах аргын тоо: $m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!} Бид дараахыг авна: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $. Хариулт: Сугалсан дөрвөн бөмбөгний дунд цагаан бөмбөг байхгүй байх магадлал $\frac(65)(66) $-тай тэнцүү байна. Сонгодог тодорхойлолтод үйл явдлын магадлалыг Р(А)=m/n тэгшитгэлээр тодорхойлно, энд m нь А үзэгдлийн харагдах байдлыг дэмжсэн анхан шатны шалгалтын үр дүнгийн тоо; n нь анхан шатны шалгалтын боломжит үр дүнгийн нийт тоо юм. Анхан шатны үр дүн нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд ижил магадлалтай гэж үздэг. А үйл явдлын харьцангуй давтамж: W(A)=m/n, энд m нь А үйл явдал болсон туршилтын тоо; n нь гүйцэтгэсэн туршилтын нийт тоо юм. Статистикийн тодорхойлолтод үйл явдлын харьцангуй давтамжийг тухайн үйл явдлын магадлал гэж авдаг. Жишээ нь: хоёр шоо шидсэн. Унасан нүүрэн дээрх онооны нийлбэр тэгш байх ба ядаж нэг шооны нүүрэн дээр зургаа гарч ирэх магадлалыг ол. Шийдвэр: нэг оноо, ..., зургаан оноо "эхний" шооны унасан нүүрэн дээр гарч ирж болно. "Хоёр дахь" үхлийг шидэх үед ижил төстэй зургаан үндсэн үр дүн гарах боломжтой. "Эхний" шидэлтийн үр дүн бүрийг "хоёр дахь" шидэлтийн үр дүн бүртэй нэгтгэж болно. туршилтын үндсэн үр дүнгийн нийт тоо нь 6 * 6 = 36. Эдгээр үр дүн нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд ясны тэгш хэмийн улмаас адилхан боломжтой байдаг. Тааламжтай үйл явдлууд нь 5 нүүдэл: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6; Хүссэн магадлал: P(A)=5/36 Та мөн Otvety.Online шинжлэх ухааны хайлтын системээс сонирхсон мэдээллийг олж авах боломжтой. Хайлтын маягтыг ашиглана уу:
Магадлалын сонгодог тодорхойлолт
Харьцангуй давтамж ба түүний тогтвортой байдал
Сэдвийн талаар дэлгэрэнгүй 3. Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал. Магадлалын статистик тодорхойлолт.: