Kā attēlot funkcijas y=sin x grafiku? Vispirms apskatīsim intervāla sinusa grafiku.

Mēs piezīmjdatorā ņemam vienu segmentu 2 šūnu garumā. Uz Oy ass atzīmējam vienu.

Ērtības labad mēs noapaļojam skaitli π/2 līdz 1,5 (un nevis līdz 1,6, kā to nosaka noapaļošanas noteikumi). Šajā gadījumā segments ar garumu π/2 atbilst 3 šūnām.

Uz Vērša ass mēs atzīmējam nevis atsevišķus segmentus, bet segmentus ar garumu π/2 (ik pēc 3 šūnām). Attiecīgi segments ar garumu π atbilst 6 šūnām, un segments ar garumu π/6 atbilst 1 šūnai.

Ar šo vienības segmenta izvēli grafiks, kas attēlots uz piezīmju grāmatiņas lapas lodziņā, pēc iespējas vairāk atbilst funkcijas y=sin x grafikam.

Izveidosim intervāla sinusa vērtību tabulu:

Iegūtos punktus atzīmējam koordinātu plaknē:

Tā kā y=sin x ir nepāra funkcija, sinusa grafiks ir simetrisks attiecībā pret sākuma punktu - punktu O(0;0). Ņemot vērā šo faktu, turpināsim diagrammas zīmēšanu pa kreisi, pēc tam punktus -π:

Funkcija y=sin x ir periodiska ar periodu T=2π. Tāpēc funkcijas grafiks, kas uzņemts intervālā [-π;π], tiek atkārtots bezgalīgi daudz reižu pa labi un pa kreisi.

Šajā nodarbībā detalizēti aplūkosim funkciju y = sin x, tās pamatīpašības un grafiku. Nodarbības sākumā dosim trigonometriskās funkcijas y = sin t definīciju uz koordinātu apļa un aplūkosim funkcijas grafiku uz apļa un taisnes. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās pamatīpašības un grafiks

Apsverot funkciju, ir svarīgi katru argumenta vērtību saistīt ar vienu funkcijas vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.

Definēsim korespondences likumu priekš .

Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa. Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).

Katra argumenta vērtība ir saistīta ar vienu funkcijas vērtību.

Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.

Attēlā redzams, ka jo ir vienības riņķa punkta ordināta.

Apsveriet funkcijas grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Gar asi mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi - atbilstošās funkcijas vērtības.

Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)

Mēs esam ieguvuši funkcijas grafiku apgabalā. Bet, zinot sinusa periodu, varam attēlot funkcijas grafiku visā definīcijas jomā (3. att.).

Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.

Apsveriet funkcijas īpašības:

1) Definīcijas darbības joma:

2) Vērtību diapazons:

3) nepāra funkcija:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) Grafika un abscisu asi krustošanās punktu koordinātas:

6) Grafika un ordinātu asi krustošanās punkta koordinātas:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Samazinoši intervāli:

11) Minimālais punktu skaits:

12) Minimālās funkcijas:

13) Maksimālais punktu skaits:

14) Maksimālās funkcijas:

Mēs apskatījām funkcijas īpašības un tās grafiku. Rekvizīti tiks izmantoti atkārtoti, risinot problēmas.

Bibliogrāfija

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.

5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz augstskolām (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karps A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājasdarbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red.

A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Dzelzs rūsē, neatrodot pielietojumu,
stāvošs ūdens aukstumā pūst vai sasalst,
un cilvēka prāts, neatrodot sev pielietojumu, nīkuļo.
Leonardo da Vinči

Izmantotās tehnoloģijas: problēmmācība, kritiskā domāšana, komunikatīvā komunikācija.

Mērķi:

• Kognitīvās intereses par mācīšanos attīstība.
• Funkcijas y = sin x īpašību izpēte.
• Praktisko iemaņu veidošana funkcijas y = sin x grafika konstruēšanā, pamatojoties uz pētīto teorētisko materiālu.

Uzdevumi:

1. Izmantot esošo zināšanu potenciālu par funkcijas y = sin x īpašībām konkrētās situācijās.

2. Pielietot apzinātu savienojumu izveidošanu starp funkcijas y = sin x analītiskajiem un ģeometriskajiem modeļiem.

Attīstīt iniciatīvu, zināmu vēlmi un interesi rast risinājumu; spēja pieņemt lēmumus, neapstāties pie tā un aizstāvēt savu viedokli.

Veicināt skolēnos izziņas darbību, atbildības sajūtu, cieņu vienam pret otru, savstarpēju sapratni, savstarpēju atbalstu un pašapziņu; komunikācijas kultūra.

Nodarbību laikā

1. posms. Pamatzināšanu atjaunošana, motivēšana apgūt jaunu materiālu

"Ieeju stundā."

Uz tāfeles ir uzrakstīti 3 apgalvojumi:

1. Trigonometriskajam vienādojumam sin t = a vienmēr ir risinājumi.
2. Nepāra funkcijas grafiku var izveidot, izmantojot simetrijas transformāciju ap Oy asi.
3. Trigonometrisko funkciju var attēlot, izmantojot vienu galveno pusviļņu.

Skolēni pāros pārrunā: vai apgalvojumi ir patiesi? (1 minūte). Sākotnējās diskusijas rezultāti (jā, nē) tiek ievadīti tabulā ailē "Pirms".

Skolotājs nosaka stundas mērķus un uzdevumus.

2. Zināšanu papildināšana (frontāli uz trigonometriskā apļa modeļa).

Mēs jau esam iepazinušies ar funkciju s = sin t.

1) Kādas vērtības var iegūt mainīgais t. Kāda ir šīs funkcijas darbības joma?

2) Kādā intervālā atrodas izteiksmes sin t vērtības? Atrodiet funkcijas s = sin t lielāko un mazāko vērtību.

3) Atrisiniet vienādojumu sin t = 0.

4) Kas notiek ar punkta ordinātu, kad tas pārvietojas pa pirmo ceturtdaļu? (ordinātas palielinās). Kas notiek ar punkta ordinātu, kad tā pārvietojas otrajā ceturtdaļā? (ordinātas pakāpeniski samazinās). Kā tas ir saistīts ar funkcijas monotonitāti? (funkcija s = sin t segmentā palielinās un segmentā samazinās).

5) Rakstīsim funkciju s = sin t mums pazīstamā formā y = sin x (konstruēsim parastajā xOy koordinātu sistēmā) un sastādīsim šīs funkcijas vērtību tabulu.

X	0
plkst	0			1			0

2. posms. Uztvere, izpratne, primārā nostiprināšanās, piespiedu iegaumēšana

4. posms. Primārā zināšanu un darbības metožu sistematizēšana, to pārnese un pielietošana jaunās situācijās

6. Nr. 10.18 (b, c)

5. posms. Noslēguma kontrole, korekcija, novērtēšana un pašvērtējums

7. Atgriežamies pie apgalvojumiem (nodarbības sākums), pārrunājam, izmantojot trigonometriskās funkcijas y = sin x īpašības, un tabulā aizpildām aili “Pēc”.

8. D/z: 10. punkts, 10.7. a), 10.8. a(b), 10.11. apakšpunkts, 10.16. a)

FUNKCIJAS GRAFIKA

Sinusa funkcija

- ķekars R visi reālie skaitļi.

Vairākas funkciju vērtības— segments [-1; 1], t.i. sinusa funkcija - ierobežots.

Nepāra funkcija: sin(−x)=−sin x visiem x ∈ R.

Funkcija ir periodiska

sin(x+2π k) = sin x, kur k ∈ Z visiem x ∈ R.

grēks x = 0 ja x = π k , k ∈ Z.

grēks x > 0(pozitīvs) visiem x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

grēks x< 0 (negatīvs) visiem x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Kosinusa funkcija

Funkciju domēns- ķekars R visi reālie skaitļi.

Vairākas funkciju vērtības— segments [-1; 1], t.i. kosinusa funkcija - ierobežots.

Vienmērīga funkcija: cos(−x)=cos x visiem x ∈ R.

Funkcija ir periodiska ar mazāko pozitīvo periodu 2π:

cos(x+2π k) = cos x, kur k ∈ Z visiem x ∈ R.

cos x = 0 plkst
cos x > 0 visiem
cos x< 0 visiem
Funkcija palielinās no -1 līdz 1 ar intervālu:
Funkcija samazinās no -1 līdz 1 ar intervālu:
Funkcijas sin x = 1 lielākā vērtība punktos:
Funkcijas sin x = −1 mazākā vērtība punktos:

Pieskares funkcija

Vairākas funkciju vērtības— visa skaitļu līnija, t.i. tangenss - funkcija neierobežots.

Nepāra funkcija: tg(-x)=-tg x
Funkcijas grafiks ir simetrisks pret OY asi.

Funkcija ir periodiska ar mazāko pozitīvo periodu π, t.i. tg(x+π k) = iedegums x, k ∈ Z visiem x no definīcijas domēna.

Kotangentes funkcija

Vairākas funkciju vērtības— visa skaitļu līnija, t.i. kotangenss - funkcija neierobežots.

Nepāra funkcija: ctg(-x)=-ctg x visiem x no definīcijas domēna.
Funkcijas grafiks ir simetrisks pret OY asi.

Funkcija ir periodiska ar mazāko pozitīvo periodu π, t.i. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z visiem x no definīcijas domēna.

Arcsīna funkcija

Funkciju domēns— segments [-1; 1]

Vairākas funkciju vērtības- segments -π /2 arcsin x π /2, t.i. arcsine - funkcija ierobežots.

Nepāra funkcija: arcsin(−x)=−arcsin x visiem x ∈ R.
Funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Visā definīcijas apgabalā.

Loka kosinusa funkcija

Funkciju domēns— segments [-1; 1]

Vairākas funkciju vērtības— segments 0 arccos x π, t.i. arkosīns - funkcija ierobežots.

Funkcija palielinās visā definīcijas apgabalā.

Arktangenta funkcija

Funkciju domēns- ķekars R visi reālie skaitļi.

Vairākas funkciju vērtības— segments 0 π, t.i. arctangent - funkcija ierobežots.

Nepāra funkcija: arctg(−x)=−arctg x visiem x ∈ R.
Funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Funkcija palielinās visā definīcijas apgabalā.

Loka pieskares funkcija

Funkciju domēns- ķekars R visi reālie skaitļi.

Vairākas funkciju vērtības— segments 0 π, t.i. arccotangent - funkcija ierobežots.

Funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
Funkcijas grafiks nav asimetrisks ne attiecībā pret izcelsmi, ne pret Oy asi.

Funkcija samazinās visā definīcijas apgabalā.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Funkcija y=sin(x). Definīcijas un īpašības"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā Integral 10 klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvie būvniecības uzdevumi 7.-10.klasei
Programmatūras vide "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:

• Funkcijas Y=sin(X) īpašības.
• Funkciju grafiks.
• Kā izveidot grafiku un tā mērogu.
• Piemēri.

Sinusa īpašības. Y=sin(X)

Puiši, mēs jau esam iepazinušies ar skaitliskā argumenta trigonometriskajām funkcijām. Vai jūs tos atceraties?

Sīkāk apskatīsim funkciju Y=sin(X)

Pierakstīsim dažas šīs funkcijas īpašības:
1) Definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa.
2) Funkcija ir nepāra. Atcerēsimies nepāra funkcijas definīciju. Funkciju sauc par nepāra, ja vienādība ir spēkā: y(-x)=-y(x). Kā mēs atceramies no spoku formulām: sin(-x)=-sin(x). Definīcija ir izpildīta, kas nozīmē, ka Y=sin(X) ir nepāra funkcija.
3) Funkcija Y=sin(X) segmentā palielinās un segmentā samazinās [π/2; π]. Kad mēs virzāmies pa pirmo ceturksni (pretēji pulksteņrādītāja virzienam), ordinātas palielinās, un, pārvietojoties pa otro ceturksni, tā samazinās.

4) Funkcija Y=sin(X) ir ierobežota no apakšas un no augšas. Šis īpašums izriet no tā, ka
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funkcijas mazākā vērtība ir -1 (pie x = - π/2+ πk). Funkcijas lielākā vērtība ir 1 (pie x = π/2+ πk).

Izmantosim īpašības 1-5, lai attēlotu funkciju Y=sin(X). Mēs veidosim savu grafiku secīgi, izmantojot mūsu īpašības. Sāksim veidot segmenta grafiku.

Īpaša uzmanība jāpievērš mērogam. Uz ordinātu ass ir ērtāk ņemt vienības segmentu, kas vienāds ar 2 šūnām, un uz abscisu ass ir ērtāk ņemt vienības segmentu (divas šūnas), kas vienāds ar π/3 (sk. attēlu).

Sinusa funkcijas x attēlošana, y=sin(x)

Aprēķināsim mūsu segmenta funkcijas vērtības:

Izveidosim grafiku, izmantojot mūsu punktus, ņemot vērā trešo īpašību.

Spoku formulu konvertēšanas tabula

Izmantosim otro īpašību, kas saka, ka mūsu funkcija ir nepāra, kas nozīmē, ka to var atspoguļot simetriski attiecībā pret izcelsmi:

Mēs zinām, ka grēks(x+ 2π) = grēks(x). Tas nozīmē, ka intervālā [- π; π] grafiks izskatās tāpat kā segmentā [π; 3π] vai vai [-3π; - π] un tā tālāk. Viss, kas mums jādara, ir rūpīgi pārzīmēt grafiku iepriekšējā attēlā pa visu x asi.

Funkcijas Y=sin(X) grafiku sauc par sinusoīdu.

Uzrakstīsim vēl dažus rekvizītus saskaņā ar izveidoto grafiku:
6) Funkcija Y=sin(X) palielinās jebkurā formas segmentā: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k ir vesels skaitlis un samazinās jebkurā formas segmentā: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – vesels skaitlis.
7) Funkcija Y=sin(X) ir nepārtraukta funkcija. Apskatīsim funkcijas grafiku un pārliecināsimies, ka mūsu funkcijai nav pārtraukumu, tas nozīmē nepārtrauktību.
8) Vērtību diapazons: segments [- 1; 1]. Tas ir skaidri redzams arī no funkcijas grafika.
9) Funkcija Y=sin(X) - periodiska funkcija. Apskatīsim grafiku vēlreiz un redzēsim, ka funkcija noteiktos intervālos ņem tās pašas vērtības.

Problēmu piemēri ar sinusu

1. Atrisiniet vienādojumu sin(x)= x-π

Risinājums: izveidosim 2 funkcijas grafikus: y=sin(x) un y=x-π (skat. attēlu).
Mūsu grafiki krustojas vienā punktā A(π;0), šī ir atbilde: x = π

2. Grafiksējiet funkciju y=sin(π/6+x)-1

Risinājums: Vēlamais grafiks tiks iegūts, pārvietojot funkcijas y=sin(x) grafiku π/6 vienības pa kreisi un 1 vienību uz leju.

Risinājums: izveidosim funkcijas grafiku un apskatīsim mūsu segmentu [π/2; 5π/4].
Funkcijas grafiks parāda, ka lielākās un mazākās vērtības tiek sasniegtas segmenta galos, attiecīgi punktos π/2 un 5π/4.
Atbilde: sin(π/2) = 1 – lielākā vērtība, sin(5π/4) = mazākā vērtība.

Sinusa uzdevumi neatkarīgam risinājumam

• Atrisiniet vienādojumu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Grafiksējiet funkciju y=sin(π/3+x)-2
• Grafiksējiet funkciju y=sin(-2π/3+x)+1
• Atrodiet segmentā funkcijas y=sin(x) lielāko un mazāko vērtību
• Atrast funkcijas y=sin(x) lielāko un mazāko vērtību intervālā [- π/3; 5π/6]