Šajā rakstā ir apskatīts, kā atrast matemātisko izteiksmju vērtības. Sāksim ar vienkāršām skaitliskām izteiksmēm un pēc tam izskatīsim gadījumus, kad to sarežģītība palielinās. Beigās mēs sniedzam izteiksmi, kas satur burtu apzīmējumus, iekavas, saknes, īpašas matemātiskās zīmes, pakāpes, funkcijas utt. Visa teorija, saskaņā ar tradīciju, tiks nodrošināta ar bagātīgiem un detalizētiem piemēriem.

Kā atrast skaitliskās izteiksmes vērtību?

Ciparu izteiksmes, cita starpā, palīdz aprakstīt problēmas stāvokli matemātiskā valodā. Kopumā matemātiskās izteiksmes var būt vai nu ļoti vienkāršas, kas sastāv no skaitļu pāra un aritmētisko zīmju, vai ļoti sarežģītas, kas satur funkcijas, pakāpes, saknes, iekavas utt. Uzdevuma ietvaros bieži vien ir jāatrod izteiksmes vērtība. Kā to izdarīt, tiks apspriests tālāk.

Vienkāršākie gadījumi

Tie ir gadījumi, kad izteiksmē nav nekas cits kā skaitļi un aritmētika. Lai veiksmīgi atrastu šādu izteiksmju vērtības, jums būs nepieciešamas zināšanas par secību, kādā tiek veiktas aritmētiskās darbības bez iekavām, kā arī spēja veikt darbības ar dažādiem skaitļiem.

Ja izteiksmē ir tikai skaitļi un aritmētiskās zīmes " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tad darbības tiek veiktas no kreisās uz labo šādā secībā: vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana. Sniegsim piemērus.

Piemērs 1. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Lai būtu jāatrod izteiksmes 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 vērtības.

Vispirms veiksim reizināšanu un dalīšanu. Mēs iegūstam:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Tagad mēs atņemam un iegūstam gala rezultātu:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Pirmkārt, mēs veicam daļskaitļu pārvēršanu, dalīšanu un reizināšanu:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Tagad veiksim saskaitīšanu un atņemšanu. Sagrupēsim daļskaitļus un apvienosim tos līdz kopsaucējam:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Ir atrasta vēlamā vērtība.

Izteiksmes ar iekavām

Ja izteiksmē ir iekavas, tās nosaka darbību secību šajā izteiksmē. Pirmkārt, tiek veiktas darbības iekavās, un pēc tam viss pārējais. Parādīsim to ar piemēru.

3. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atrodiet izteiksmes vērtību 0. 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Izteiksme satur iekavas, tāpēc vispirms iekavās veicam atņemšanas darbību un tikai tad reizināšanu.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Pēc tāda paša principa tiek atrasta to izteiksmju vērtība, kas iekavās satur iekavas.

4. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim vērtību 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Darbības veiksim sākot no iekšējiem iekavām, pārejot uz ārējām.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Meklējot izteiksmju vērtības ar iekavām, galvenais ir ievērot darbību secību.

Izteicieni ar saknēm

Matemātiskās izteiksmes, kuru vērtības mums jāatrod, var saturēt saknes zīmes. Turklāt pati izteiksme var būt zem saknes zīmes. Kā tādā gadījumā būt? Vispirms zem saknes ir jāatrod izteiksmes vērtība un pēc tam no iegūtā skaitļa jāizvelk sakne. Ja iespējams, skaitliskās izteiksmēs labāk atbrīvoties no saknēm, aizstājot no ar skaitliskām vērtībām.

5. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim izteiksmes vērtību ar saknēm - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Pirmkārt, mēs aprēķinām radikālas izteiksmes.

2 3–1 + 60 ÷ 4 3 = – 6–1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Tagad mēs varam aprēķināt visas izteiksmes vērtību.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Bieži vien, lai atrastu izteiksmes vērtību ar saknēm, bieži vien vispirms ir jāpārveido sākotnējā izteiksme. Paskaidrosim to ar citu piemēru.

6. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Kas ir 3 + 1 3 - 1 - 1

Kā redzat, mums nav iespējas aizstāt sakni ar precīzu vērtību, kas sarežģī skaitīšanas procesu. Tomēr šajā gadījumā varat izmantot saīsināto reizināšanas formulu.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Pa šo ceļu:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Izteicieni ar pilnvarām

Ja izteiksmē ir jaudas, pirms visu citu darbību veikšanas ir jāaprēķina to vērtības. Gadās, ka pats eksponents vai pakāpes bāze ir izteiksmes. Šajā gadījumā vispirms tiek aprēķināta šo izteiksmju vērtība un pēc tam pakāpes vērtība.

7. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atrodiet izteiksmes vērtību 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Mēs sākam aprēķināt secībā.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Atliek tikai veikt pievienošanas darbību un noskaidrot izteiksmes vērtību:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Bieži vien ir arī ieteicams vienkāršot izteiksmi, izmantojot pakāpes īpašības.

8. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim šādas izteiksmes vērtību: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponenti atkal ir tādi, ka to precīzas skaitliskās vērtības nevar iegūt. Vienkāršojiet sākotnējo izteiksmi, lai atrastu tās vērtību.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Izteiksmes ar daļskaitļiem

Ja izteiksmē ir daļskaitļi, tad, aprēķinot šādu izteiksmi, visas tajā esošās daļas ir jāattēlo kā parastās daļskaitļi un jāaprēķina to vērtības.

Ja frakcijas skaitītājā un saucējā ir izteiksmes, tad vispirms tiek aprēķinātas šo izteiksmju vērtības un tiek reģistrēta pašas daļas galīgā vērtība. Aritmētiskās darbības tiek veiktas standarta secībā. Apskatīsim risinājuma piemēru.

9. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atradīsim izteiksmes vērtību, kas satur daļskaitļus: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Kā redzat, sākotnējā izteiksmē ir trīs daļas. Vispirms aprēķināsim to vērtības.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Pārrakstīsim izteiksmi un aprēķināsim tās vērtību:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Bieži vien, atrodot izteiksmju vērtības, ir ērti samazināt daļskaitļus. Pastāv neizteikts noteikums: pirms atrast tā vērtību, vislabāk ir maksimāli vienkāršot jebkuru izteiksmi, samazinot visus aprēķinus līdz vienkāršākajiem gadījumiem.

10. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim izteiksmi 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Mēs nevaram pilnībā iegūt pieci sakni, bet mēs varam vienkāršot sākotnējo izteiksmi, izmantojot transformācijas.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Sākotnējā izteiksme ir šāda:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Aprēķināsim šīs izteiksmes vērtību:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Izteiksmes ar logaritmiem

Ja izteiksmē ir logaritmi, to vērtība, ja iespējams, tiek aprēķināta no paša sākuma. Piemēram, izteiksmē log 2 4 + 2 4 varat uzreiz ierakstīt šī logaritma vērtību, nevis log 2 4, un pēc tam veikt visas darbības. Mēs iegūstam: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Ciparu izteiksmes var atrast arī zem logaritma zīmes un tās pamatnē. Šajā gadījumā pirmais solis ir atrast viņu vērtības. Ņemsim izteiksmi log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Mums ir:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ja nav iespējams aprēķināt precīzu logaritma vērtību, izteiksmes vienkāršošana palīdz atrast tās vērtību.

11. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atrodiet izteiksmes vērtību log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Saskaņā ar logaritmu īpašībām:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Atkal piemērojot logaritmu īpašības, izteiksmes pēdējai daļai mēs iegūstam:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Tagad varat pāriet uz sākotnējās izteiksmes vērtības aprēķinu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Izteiksmes ar trigonometriskām funkcijām

Gadās, ka izteiksmē ir sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta trigonometriskās funkcijas, kā arī funkcijas, kas tām ir apgrieztas. No vērtības tiek aprēķinātas, pirms tiek veiktas visas pārējās aritmētiskās darbības. Pretējā gadījumā izteiksme ir vienkāršota.

Piemērs 12. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Atrodiet izteiksmes vērtību: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Pirmkārt, mēs aprēķinām izteiksmē iekļauto trigonometrisko funkciju vērtības.

grēks - 5 π 2 \u003d - 1

Aizstājiet vērtības izteiksmē un aprēķiniet tās vērtību:

t g 2 4 π 3 - grēks - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Izteiksmes vērtība ir atrasta.

Bieži vien, lai atrastu izteiksmes vērtību ar trigonometriskām funkcijām, tā vispirms ir jāpārveido. Paskaidrosim ar piemēru.

Piemērs 13. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Jāatrod izteiksmes vērtība cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pārveidošanai izmantosim trigonometriskās formulas dubultleņķa kosinusam un summas kosinusam.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 1 π 1-1 = 0.

Vispārīgs skaitliskās izteiksmes gadījums

Vispārīgā gadījumā trigonometriskā izteiksme var saturēt visus iepriekš aprakstītos elementus: iekavas, pakāpes, saknes, logaritmus, funkcijas. Formulēsim vispārīgu noteikumu šādu izteiksmju vērtību atrašanai.

Kā atrast izteiksmes vērtību

1. Saknes, pakāpes, logaritmi utt. tiek aizstātas ar to vērtībām.
2. Tiek veiktas iekavās norādītās darbības.
3. Atlikušās darbības tiek veiktas secībā no kreisās puses uz labo. Vispirms - reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana.

Ņemsim piemēru.

14. piemērs. Skaitliskās izteiksmes vērtība

Aprēķināsim, kāda ir izteiksmes vērtība - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Izteiciens ir diezgan sarežģīts un apgrūtinošs. Nav nejaušība, ka mēs izvēlējāmies tieši šādu piemēru, cenšoties iekļaut tajā visus iepriekš aprakstītos gadījumus. Kā atrast šādas izteiksmes vērtību?

Ir zināms, ka, aprēķinot sarežģītas daļskaitļu formas vērtību, vispirms atsevišķi tiek atrastas daļas skaitītāja un saucēja vērtības. Mēs secīgi pārveidosim un vienkāršosim šo izteiksmi.

Vispirms mēs aprēķinām radikālas izteiksmes vērtību 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Lai to izdarītu, jums jāatrod sinusa vērtība un izteiksme, kas ir trigonometriskās funkcijas arguments.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Tagad jūs varat uzzināt sinusa vērtību:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Mēs aprēķinām radikālas izteiksmes vērtību:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Ar daļskaitļa saucēju viss ir vienkāršāk:

Tagad mēs varam pierakstīt visas daļas vērtību:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Paturot to prātā, mēs rakstām visu izteiksmi:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Gala rezultāts:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Šajā gadījumā mēs varējām aprēķināt precīzas vērtības saknēm, logaritmiem, sinusiem un tā tālāk. Ja tas nav iespējams, varat mēģināt no tiem atbrīvoties ar matemātiskām transformācijām.

Izteiksmju skaitļošana racionālos veidos

Skaitliskās vērtības jāaprēķina konsekventi un precīzi. Šo procesu var racionalizēt un paātrināt, izmantojot dažādas darbības ar skaitļiem īpašības. Piemēram, ir zināms, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Ņemot vērā šo īpašību, mēs varam uzreiz teikt, ka izteiksme 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 ir vienāda ar nulli. Šajā gadījumā vispār nav nepieciešams veikt darbības iepriekš rakstā aprakstītajā secībā.

Ir arī ērti izmantot vienādu skaitļu atņemšanas īpašību. Neveicot nekādas darbības, var secināt, ka arī izteiksmes 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 vērtība ir vienāda ar nulli.

Vēl viens paņēmiens, kas ļauj paātrināt procesu, ir identisku transformāciju izmantošana, piemēram, terminu un faktoru grupēšana un kopējā faktora izņemšana no iekavām. Racionāla pieeja izteiksmju aprēķināšanai ar daļskaitļiem ir vienādu izteiksmju samazināšana skaitītājā un saucējā.

Piemēram, pieņemsim izteiksmi 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Neveicot darbības iekavās, bet samazinot daļskaitli, varam teikt, ka izteiksmes vērtība ir 1 3 .

Izteicienu vērtību atrašana ar mainīgajiem

Literatūras izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtība tiek atrasta noteiktām burtu un mainīgo vērtībām.

Izteicienu vērtību atrašana ar mainīgajiem

Lai atrastu burtiskās izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtību, jums ir jāaizstāj norādītās burtu un mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē un pēc tam jāaprēķina iegūtās skaitliskās izteiksmes vērtība.

Piemērs 15. Izteiksmes vērtība ar mainīgajiem

Aprēķiniet izteiksmes 0, 5 x-y vērtību, ja x = 2, 4 un y = 5.

Mēs aizstājam mainīgo vērtības izteiksmē un aprēķinām:

0.5 x-y = 0.5 2.4-5 = 1.2-5 =-3.8.

Dažreiz izteiksmi ir iespējams pārveidot tā, lai iegūtu tās vērtību neatkarīgi no tajā iekļauto burtu un mainīgo vērtībām. Lai to izdarītu, izteiksmē ir jāatbrīvojas no burtiem un mainīgajiem, ja iespējams, izmantojot identiskas transformācijas, aritmētisko darbību īpašības un visas iespējamās citas metodes.

Piemēram, izteiksmei x + 3 - x acīmredzami ir vērtība 3, un, lai aprēķinātu šo vērtību, nav jāzina x vērtība. Šīs izteiksmes vērtība ir vienāda ar trīs visām mainīgā x vērtībām no tā derīgo vērtību diapazona.

Vēl viens piemērs. Izteiksmes x x vērtība ir vienāda ar vienu visiem pozitīvajiem x.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

7. klases algebras kursā nodarbojāmies ar veselu skaitļu izteiksmju, tas ir, izteiksmju, kas veidotas no skaitļiem un mainīgajiem, pārveidošanu, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas darbības, kā arī dalīšanu ar skaitli, kas nav nulle. Tādējādi izteiksmes ir veseli skaitļi

Turpretim izteicieni

papildus saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas darbībai tie satur dalīšanu ar izteiksmi ar mainīgajiem. Šādas izteiksmes sauc par daļskaitļa izteiksmēm.

Veselo skaitļu un daļskaitļu izteiksmes sauc par racionālām izteiksmēm.

Vesela skaitļa izteiksme ir jēga jebkurai tajā iekļauto mainīgo vērtību vērtībai, jo, lai atrastu visas izteiksmes vērtību, jums ir jāveic darbības, kas vienmēr ir iespējamas.

Dažu mainīgo vērtību daļēja izteiksme var nebūt jēga. Piemēram, izteiksmei - nav jēgas a = 0. Visām pārējām a vērtībām šī izteiksme ir jēga. Izteiksmei ir jēga tām x un y vērtībām, kad x ≠ y.

Mainīgās vērtības, kurām izteiksmei ir jēga, sauc par derīgām mainīgajām vērtībām.

Formas izteiksmi, kā jūs zināt, sauc par daļskaitli.

Daļskaitli, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi, sauc par racionālu daļu.

Daļskaitļi ir racionālu daļu piemēri.

Racionālā daļā ir pieļaujamas tās mainīgo lielumu vērtības, kurām daļskaitļa saucējs nepazūd.

1. piemērs Atradīsim mainīgā derīgās vērtības frakcijā

Risinājums Lai noskaidrotu, pie kādām a vērtībām daļdaļas saucējs pazūd, jāatrisina vienādojums a (a - 9) \u003d 0. Šim vienādojumam ir divas saknes: 0 un 9. Tāpēc visi skaitļi, izņemot 0 un 9, ir derīgas vērtības mainīgajam a.

2. piemērs Pie kādas x vērtības ir daļskaitļa vērtība vienāds ar nulli?

Risinājums Daļa ir nulle tad un tikai tad, ja a ir 0 un b ≠ 0.

Tātad, ja skaitliskā izteiksme sastāv no skaitļiem un zīmēm +, −, · un:, tad secībā no kreisās uz labo, vispirms jāveic reizināšana un dalīšana, pēc tam saskaitīšana un atņemšana, kas ļaus atrast vajadzīgo. izteiksmes vērtība.

Skaidrības labad apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt izteiksmes vērtību 14−2·15:6−3 .

Risinājums.

Lai atrastu izteiksmes vērtību, ir jāveic visas tajā norādītās darbības saskaņā ar pieņemto šo darbību izpildes secību. Pirmkārt, secībā no kreisās uz labo, mēs veicam reizināšanu un dalīšanu, mēs iegūstam 14-2 15:6-3=14-30:6-3=14-5-3. Tagad secībā no kreisās puses uz labo veicam atlikušās darbības: 14−5−3=9−3=6 . Tātad mēs atradām sākotnējās izteiksmes vērtību, tā ir vienāda ar 6 .

Atbilde:

14−2 15:6−3=6 .

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Šajā piemērā mums vispirms ir jāveic reizināšana 2 (−7) un dalīšana ar reizināšanu izteiksmē. Atceroties kā , mēs atrodam 2 (−7)=−14 . Un vispirms veikt darbības izteiksmē , tad , un izpildiet: .

Iegūtās vērtības aizstājam sākotnējā izteiksmē: .

Bet ko darīt, ja zem saknes zīmes ir skaitliska izteiksme? Lai iegūtu šādas saknes vērtību, vispirms ir jāatrod saknes izteiksmes vērtība, ievērojot pieņemto darbību secību. Piemēram, .

Skaitliskās izteiksmēs saknes ir jāuztver kā daži skaitļi, un ir ieteicams nekavējoties aizstāt saknes ar to vērtībām un pēc tam atrast iegūtās izteiksmes vērtību bez saknēm, veicot darbības pieņemtajā secībā.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar saknēm.

Risinājums.

Pirmkārt, atrodiet saknes vērtību . Lai to izdarītu, vispirms mēs aprēķinām radikālas izteiksmes vērtību −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Un, otrkārt, mēs atrodam saknes vērtību.

Tagad aprēķināsim otrās saknes vērtību no sākotnējās izteiksmes: .

Visbeidzot, mēs varam atrast sākotnējās izteiksmes vērtību, aizstājot saknes ar to vērtībām: .

Atbilde:

Diezgan bieži, lai būtu iespējams atrast izteiksmes vērtību ar saknēm, vispirms tā ir jāpārvērš. Parādīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Kāda ir izteiciena nozīme .

Risinājums.

Mēs nevaram aizstāt trīs sakni ar tās precīzu vērtību, kas neļauj mums aprēķināt šīs izteiksmes vērtību iepriekš aprakstītajā veidā. Tomēr mēs varam aprēķināt šīs izteiksmes vērtību, veicot vienkāršas transformācijas. Piemērojams kvadrātu atšķirības formula: . Ņemot vērā, mēs saņemam . Tātad sākotnējās izteiksmes vērtība ir 1.

Atbilde:

.

Ar grādiem

Ja bāze un eksponents ir skaitļi, tad to vērtību aprēķina pēc pakāpes definīcijas, piemēram, 3 2 =3 3=9 vai 8 −1 =1/8 . Ir arī ieraksti, kad bāze un/vai eksponents ir dažas izteiksmes. Šādos gadījumos ir jāatrod izteiksmes vērtība bāzē, izteiksmes vērtība eksponentā un pēc tam jāaprēķina pašas pakāpes vērtība.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar formas pakāpēm 2 3 4–10 +16 (1–1/2) 3,5–2 1/4.

Risinājums.

Sākotnējai izteiksmei ir divas pakāpes 2 3 4–10 un (1–1/2) 3,5–2 1/4 . To vērtības jāaprēķina pirms pārējo darbību veikšanas.

Sāksim ar jaudu 2 3·4−10 . Tās rādītājs satur skaitlisku izteiksmi, aprēķināsim tās vērtību: 3·4−10=12−10=2 . Tagad jūs varat atrast pašas pakāpes vērtību: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Bāzē un eksponentā (1–1/2) ir izteiksmes 3,5–2 1/4, mēs aprēķinām to vērtības, lai vēlāk atrastu pakāpes vērtību. Mums ir (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Tagad mēs atgriežamies pie sākotnējās izteiksmes, aizstājam tajā esošos grādus ar to vērtībām un atrodam vajadzīgās izteiksmes vērtību: 2 3 4–10 +16 (1–1/2) 3,5–2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Atbilde:

2 3 4–10 +16 (1–1/2) 3,5–2 1/4 =6.

Ir vērts atzīmēt, ka biežāk ir gadījumi, kad ieteicams veikt iepriekšēju pārbaudi izteiksmes vienkāršošana ar pilnvarām uz pamatnes.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību .

Risinājums.

Spriežot pēc eksponentiem šajā izteiksmē, precīzas grādu vērtības nevar iegūt. Mēģināsim vienkāršot sākotnējo izteiksmi, varbūt tas palīdzēs atrast tā vērtību. Mums ir

Atbilde:

.

Izteiksmju pilnvaras bieži iet roku rokā ar logaritmiem, bet mēs runāsim par izteiksmju vērtību atrašanu ar logaritmiem vienā no.

Izteiksmes ar daļskaitļiem vērtības atrašana

Ciparu izteiksmes to ierakstā var saturēt frakcijas. Ja vēlaties atrast šādas izteiksmes vērtību, daļskaitļi, kas nav parastās daļskaitļi, pirms citu darbību veikšanas jāaizstāj ar to vērtībām.

Daļskaitļu skaitītājs un saucējs (kas atšķiras no parastajām daļām) var saturēt gan dažus skaitļus, gan izteiksmes. Lai aprēķinātu šādas daļskaitļa vērtību, jums jāaprēķina izteiksmes vērtība skaitītājā, jāaprēķina izteiksmes vērtība saucējā un pēc tam jāaprēķina pašas daļas vērtība. Šī secība ir izskaidrojama ar to, ka daļa a/b, kur a un b ir dažas izteiksmes, patiesībā ir formas (a):(b) koeficients, jo .

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar daļskaitļiem .

Risinājums.

Sākotnējā skaitliskā izteiksmē trīs daļdaļas un . Lai atrastu sākotnējās izteiksmes vērtību, mums vispirms ir vajadzīgas šīs daļas un jāaizstāj ar to vērtībām. Darīsim to.

Daļas skaitītājs un saucējs ir skaitļi. Lai atrastu šādas daļskaitļa vērtību, mēs aizstājam daļskaitļu joslu ar dalījuma zīmi un veicam šo darbību: .

Daļas skaitītājs satur izteiksmi 7−2 3 , tās vērtību ir viegli atrast: 7−2 3=7−6=1 . Pa šo ceļu, . Varat turpināt atrast trešās daļdaļas vērtību.

Trešā daļa skaitītājā un saucējā satur skaitliskas izteiksmes, tāpēc vispirms ir jāaprēķina to vērtības, un tas ļaus jums atrast pašas daļas vērtību. Mums ir .

Atliek aizstāt atrastās vērtības sākotnējā izteiksmē un veikt atlikušās darbības: .

Atbilde:

.

Bieži vien, atrodot izteiksmju vērtības ar daļskaitļiem, jums ir jāveic daļskaitļu izteiksmju vienkāršošana, pamatojoties uz darbību veikšanu ar daļām un uz daļskaitļu samazināšanu.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību .

Risinājums.

Pieci sakne nav pilnībā iegūta, tāpēc, lai atrastu sākotnējās izteiksmes vērtību, vispirms to vienkāršosim. Priekš šī atbrīvoties no iracionalitātes saucējā pirmā daļa: . Pēc tam sākotnējā izteiksme iegūst formu . Pēc daļskaitļu atņemšanas saknes pazudīs, kas ļaus mums atrast sākotnēji dotās izteiksmes vērtību:.

Atbilde:

.

Ar logaritmiem

Ja skaitliskā izteiksme satur , un ja ir iespējams no tiem atbrīvoties, tad tas tiek darīts pirms citu darbību veikšanas. Piemēram, atrodot izteiksmes log 2 4+2 3 vērtību, log 2 4 logaritms tiek aizstāts ar tā vērtību 2, pēc kā tiek veiktas pārējās darbības parastajā secībā, tas ir, log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Ja zem logaritma zīmes un / vai tās pamatā ir skaitliskās izteiksmes, tad vispirms tiek atrastas to vērtības, pēc kurām tiek aprēķināta logaritma vērtība. Piemēram, apsveriet izteiksmi ar formas logaritmu . Logaritma pamatnē un zem tā zīmes atrodas skaitliskās izteiksmes, mēs atrodam to vērtības: . Tagad mēs atrodam logaritmu, pēc kura pabeidzam aprēķinus: .

Ja logaritmi nav precīzi aprēķināti, tad tā sākotnējā vienkāršošana, izmantojot . Šajā gadījumā jums ir labi jāpārzina raksta materiāls. logaritmisko izteiksmju transformācija.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar logaritmiem .

Risinājums.

Sāksim ar log 2 aprēķinu (log 2 256) . Tā kā 256=2 8, tad log 2 256=8, tātad log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logaritmus log 6 2 un log 6 3 var grupēt. Logaritmu log 6 2+log 6 3 summa ir vienāda ar reizinājuma log 6 (2 3) logaritmu, tātad log 6 2+log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Tagad nodarbosimies ar daļskaitļiem. Sākumā mēs pārrakstīsim logaritma bāzi saucējā kā parastu daļskaitli kā 1/5, pēc tam izmantosim logaritmu īpašības, kas ļaus iegūt daļskaitļa vērtību:
.

Atliek tikai aizstāt iegūtos rezultātus ar sākotnējo izteiksmi un pabeigt tā vērtības atrašanu:

Atbilde:

Kā atrast trigonometriskās izteiksmes vērtību?

Ja skaitliskā izteiksme satur vai utt., tad to vērtības tiek aprēķinātas pirms citu darbību veikšanas. Ja zem trigonometrisko funkciju zīmes ir skaitliskas izteiksmes, tad vispirms tiek aprēķinātas to vērtības, pēc kurām tiek atrastas trigonometrisko funkciju vērtības.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību .

Risinājums.

Pievēršoties rakstam, mēs iegūstam un cosπ=−1 . Mēs aizstājam šīs vērtības sākotnējā izteiksmē, tā iegūst formu . Lai atrastu tā vērtību, vispirms jāveic eksponēšana un pēc tam jāpabeidz aprēķini: .

Atbilde:

.

Jāatzīmē, ka izteiksmju vērtību aprēķināšana ar sinusiem, kosinusiem utt. bieži prasa iepriekšēju trigonometriskās izteiksmes transformācijas.

Piemērs.

Kāda ir trigonometriskās izteiksmes vērtība .

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi, izmantojot , šajā gadījumā mums ir nepieciešama dubultā leņķa kosinusa formula un summas kosinusa formula:

Veiktās transformācijas mums palīdzēja atrast izteiksmes vērtību.

Atbilde:

.

Vispārējs gadījums

Vispārīgā gadījumā skaitliskā izteiksme var saturēt saknes, pakāpes, daļdaļas un jebkuras funkcijas un iekavas. Šādu izteiksmju vērtību atrašana sastāv no šādu darbību veikšanas:

• pirmās saknes, pakāpes, frakcijas utt. tiek aizstātas ar viņu vērtībām,
• turpmākās darbības iekavās,
• un secībā no kreisās puses uz labo tiek veiktas atlikušās darbības - reizināšana un dalīšana, kam seko saskaitīšana un atņemšana.

Iepriekš minētās darbības tiek veiktas, līdz tiek iegūts gala rezultāts.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību .

Risinājums.

Šīs izteiksmes forma ir diezgan sarežģīta. Šajā izteiksmē mēs redzam daļskaitli, saknes, grādus, sinusu un logaritmu. Kā atrast tā nozīmi?

Pārvietojoties pa ierakstu no kreisās puses uz labo, mēs saskaramies ar veidlapas daļu . Mēs zinām, ka, strādājot ar kompleksa tipa daļām, mums atsevišķi jāaprēķina skaitītāja vērtība, atsevišķi - saucējs un, visbeidzot, jāatrod daļas vērtība.

Skaitītājā mums ir formas sakne . Lai noteiktu tā vērtību, vispirms jāaprēķina radikālas izteiksmes vērtība . Šeit ir sinusa. Mēs varam atrast tā vērtību tikai pēc izteiksmes vērtības aprēķināšanas . Tas ir tas, ko mēs varam darīt: . Tad no kurienes un .

Ar saucēju viss ir vienkāršs: .

Pa šo ceļu, .

Pēc šī rezultāta aizstāšanas sākotnējā izteiksmē tam būs forma . Iegūtā izteiksme satur pakāpi. Lai atrastu tā vērtību, vispirms ir jāatrod rādītāja vērtība, kas mums ir .

Tātad,.

Atbilde:

.

Ja nav iespējams aprēķināt precīzas sakņu, grādu utt. vērtības, varat mēģināt no tām atbrīvoties, izmantojot jebkādas transformācijas, un pēc tam atgriezties pie vērtības aprēķināšanas saskaņā ar norādīto shēmu.

Racionāli veidi, kā aprēķināt izteiksmju vērtības

Skaitlisko izteiksmju vērtību aprēķināšanai nepieciešama konsekvence un precizitāte. Jā, ir jāievēro iepriekšējos punktos ierakstītā darbību secība, taču to nevajadzētu darīt akli un mehāniski. Ar to mēs domājam, ka bieži vien ir iespējams racionalizēt izteiksmes vērtības atrašanas procesu. Piemēram, daži darbību rekvizīti ar skaitļiem ļauj ievērojami paātrināt un vienkāršot izteiksmes vērtības atrašanu.

Piemēram, mēs zinām šo reizināšanas īpašību: ja reizinājuma viens no faktoriem ir nulle, tad reizinājuma vērtība ir nulle. Izmantojot šo īpašību, mēs varam uzreiz teikt, ka izteiksmes vērtība 0 (2 3+893–3234:54 65–79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) ir nulle. Ja mēs ievērotu standarta darbību secību, tad vispirms būtu jāaprēķina apgrūtinošo izteiksmju vērtības iekavās, un tas aizņemtu daudz laika, un rezultāts joprojām būtu nulle.

Ir arī ērti izmantot vienādu skaitļu atņemšanas īpašību: ja no skaitļa atņemat vienādu skaitli, rezultāts būs nulle. Šo īpašību var aplūkot plašāk: divu identisku skaitlisko izteiksmju starpība ir vienāda ar nulli. Piemēram, neaprēķinot izteiksmju vērtību iekavās, varat atrast izteiksmes vērtību (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), tas ir vienāds ar nulli, jo sākotnējā izteiksme ir identisku izteiksmju atšķirība.

Izteiksmju vērtību racionālu aprēķinu var atvieglot identiskas pārvērtības. Piemēram, tas ir noderīgi terminu un faktoru grupēšana, ne retāk lietots izņemot kopējo faktoru iekavās. Tātad izteiksmes 53 5+53 7−53 11+5 vērtību ir ļoti viegli atrast, izņemot koeficientu 53 no iekavām: 53 (5+7–11)+5=53 1+5=53+5=58. Tiešais aprēķins aizņemtu daudz vairāk laika.

Noslēdzot šo punktu, pievērsīsim uzmanību racionālai pieejai izteiksmju ar daļskaitļiem vērtību aprēķināšanai - tiek samazināti vieni un tie paši faktori frakcijas skaitītājā un saucējā. Piemēram, to pašu izteiksmju samazināšana daļskaitļa skaitītājā un saucējā ļauj nekavējoties atrast tā vērtību, kas ir 1/2 .

Literālas izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtības atrašana

Literāro un mainīgo izteicienu nozīme tiek atrasts noteiktām burtu un mainīgo vērtībām. Tas ir, mēs runājam par burtiskās izteiksmes vērtības atrašanu dotajām burtu vērtībām vai izteiksmes vērtības atrašanu ar mainīgajiem atlasītajām mainīgo vērtībām.

noteikums Literatūras izteiksmes vai izteiksmes ar mainīgajiem vērtības atrašana dotajām burtu vērtībām vai izvēlētajām mainīgo vērtībām ir šāda: sākotnējā izteiksmē ir jāaizstāj norādītās burtu vai mainīgo vērtības, un aprēķina iegūtās skaitliskās izteiksmes vērtību, tā ir vēlamā vērtība.

Piemērs.

Aprēķiniet izteiksmes 0.5 x−y vērtību, ja x=2.4 un y=5 .

Risinājums.

Lai atrastu vajadzīgo izteiksmes vērtību, vispirms ir jāaizstāj šīs mainīgās vērtības sākotnējā izteiksmē un pēc tam jāveic šādas darbības: 0,5 2,4-5=1,2-5=-3,8.

Atbilde:

−3,8 .

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka dažreiz burtisku izteiksmju un izteiksmju pārveidošana ar mainīgajiem ļauj iegūt to vērtības neatkarīgi no burtu un mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksmi x+3−x var vienkāršot līdz 3. No tā mēs varam secināt, ka izteiksmes x+3−x vērtība ir vienāda ar 3 jebkurām mainīgā x vērtībām no tā pieņemamo vērtību diapazons (ODZ). Vēl viens piemērs: izteiksmes vērtība ir vienāda ar 1 visām pozitīvajām x vērtībām, tāpēc mainīgā x derīgo vērtību diapazons sākotnējā izteiksmē ir pozitīvo skaitļu kopa, un šajā gadījumā notiek vienādība. diapazons.

Bibliogrāfija.

• Matemātika: studijas. 5 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matemātika. 6. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai institūcijas / [N. Ja.Viļenkins un citi]. - 22. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.