4. uzdevums.

Viena no paralelogrammas diagonālēm, 4√6 gara, veido 60 ° leņķi ar pamatni, bet otrā diagonāle veido 45 ° leņķi ar to pašu pamatni. Atrodiet otro diagonāli.

Risinājums.

1. AO = 2√6.

2. Mēs piemērojam sinusu teorēmu trijstūrim AOD.

AO / grēks D = OD / grēks A.

2√6 / sin 45 о = OD / sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6.

Atbilde: 12.

5. uzdevums.

Paralelogramam ar malām 5√2 un 7√2 ir mazāks leņķis starp diagonālēm, kas vienāds ar paralelograma mazāko leņķi. Atrodiet diagonāļu garumu summu.

Risinājums.

Lai d 1, d 2 ir paralelograma diagonāles, un leņķis starp diagonālēm un paralelograma mazāko leņķi ir vienāds ar φ.

1. Skaitīsim divus dažādus
tās apgabala veidos.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin φ,

S ABCD = 1/2 AС ВD sin AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф.

Mēs iegūstam vienlīdzību 5√2 7√2 sin ф = 1 / 2d 1 d 2 sin ф vai

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Izmantojot paralelograma malu un diagonāļu attiecību, mēs uzrakstām vienādību

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Sastādīsim sistēmu:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Mēs reizinām sistēmas otro vienādojumu ar 2 un pievienojam to pirmajam.

Mēs iegūstam (d 1 + d 2) 2 = 576. Tādējādi Id 1 + d 2 I = 24.

Tā kā d 1, d 2 ir paralelograma diagonāļu garumi, tad d 1 + d 2 = 24.

Atbilde: 24.

6. uzdevums.

Paralelograma malas ir 4 un 6. Akūtais leņķis starp diagonālēm ir 45 grādi. Atrodiet paralelograma laukumu.

Risinājums.

1. No trijstūra AOB, izmantojot kosinusa teorēmu, mēs uzrakstām attiecības starp paralelograma malu un diagonālēm.

AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Līdzīgi mēs pierakstām attiecības trijstūrim AOD.

Ņemsim to vērā<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Mēs iegūstam vienādojumu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Mums ir sistēma
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

No otrā vienādojuma atņemot pirmo, iegūstam 2d 1 d 2 √2 = 80 vai

d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2

4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Piezīme:Šajā un iepriekšējā uzdevumā sistēma nav pilnībā jāatrisina, paredzot, ka šajā uzdevumā, lai aprēķinātu laukumu, mums ir nepieciešams diagonāļu reizinājums.

Atbilde: 10.

7. uzdevums.

Paralelograma laukums ir 96, bet tā malas ir 8 un 15. Atrodiet mazākās diagonāles kvadrātu.

Risinājums.

1.S ABCD = AB · AD · sin BAD. Veiksim aizstāšanu formulā.

Mēs iegūstam 96 = 8 15 sin BAD. Tādējādi grēks ВAD = 4/5.

2. Atrodiet cos BAD. sin 2 BAD + cos 2 BAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25.

Saskaņā ar problēmas paziņojumu mēs atrodam mazākās diagonāles garumu. BD diagonāle būs mazāka, ja BAD leņķis ir ass. Tad cos BAD = 3/5.

3. No trijstūra ABD pēc kosinusa teorēmas atrodam diagonāles BD kvadrātu.

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 · AB · BD · cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145.

Atbilde: 145.

Vai jums joprojām ir jautājumi? Vai neesat pārliecināts, kā atrisināt ģeometrisko problēmu?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība ir bezmaksas!

vietā, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Formulas atvasināšana paralelograma laukumam tiek samazināta līdz taisnstūra konstrukcijai, kas laukā ir vienāda ar doto paralelogramu. Par pamatu ņemsim paralelograma vienu malu, un perpendikulāru, kas novilkts no jebkura pretējās malas punkta uz taisni, kas satur pamatni, sauks par paralelograma augstumu. Tad paralelograma laukums būs vienāds ar tā pamatnes un augstuma reizinājumu.

Teorēma.Paralelograma laukums ir vienāds ar tā pamatnes un augstuma reizinājumu.

Pierādījums... Apsveriet paralelogramu ar laukumu. Paņemsim pamatnes malu un uzzīmēsim augstumus (2.3.1. Attēls). Tas ir jāpierāda.

2.3.1. Attēls

Pirmkārt, pierādīsim, ka arī taisnstūra laukums ir vienāds ar. Trapecveida veido paralelograms un trīsstūris. No otras puses, tas sastāv no HVSC taisnstūra un trīsstūra. Bet taisnleņķa trijstūri hipotenūzā un akūtā leņķī ir vienādi (to hipotenūza ir vienāda kā paralelograma pretējās malas, un leņķi 1 un 2 ir vienādi kā atbilstošie leņķi paralēlo taisnu līniju krustojumā), tāpēc to laukumi ir vienādi. Tāpēc arī paralelograma un taisnstūra laukumi ir vienādi, tas ir, taisnstūra laukums ir vienāds. Pēc teorēmas par taisnstūra laukumu, bet kopš tā laika.

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs 2.3.1.

Rombā ar sānu un asu leņķi ir ierakstīts aplis. Nosakiet četrstūra laukumu, kura virsotnes ir apļa saskares punkti ar romba malām.

Risinājums:

Apļa rādiuss, kas ierakstīts rombā (2.3.2. Attēls), jo četrstūris ir taisnstūris, jo tā stūri ir balstīti uz apļa diametru. Tās apgabals, kur (kāja, pretī stūrim),.

2.3.2. Attēls

Tātad,

Atbilde:

Piemērs 2.3.2.

Dots rombs, kura diagonāles ir 3 cm un 4 cm. No trula leņķa augšdaļas tiek uzzīmēti augstumi un aprēķina četrstūra laukumu

Risinājums:

Romba laukums (2.3.3. Attēls).

Tātad,

Atbilde:

Piemērs 2.3.3.

Četrstūra laukums ir Atrodiet paralelograma laukumu, kura malas ir vienādas un paralēlas četrstūra diagonālēm.

Risinājums:

Kopš un (2.3.4. Attēls), tad - paralelograms un, tātad,.

2.3.4. Attēls

Līdzīgi mēs iegūstam, no kā tas izriet.

Atbilde:.

2.4 Trijstūra laukums

Trīsstūra laukuma aprēķināšanai ir vairākas formulas. Apsveriet tos, kas tiek mācīti skolā.

Pirmā formula izriet no paralelograma laukuma formulas un tiek piedāvāta studentiem teorēmas veidā.

Teorēma.Trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā pamatnes reizinājuma pēc tā augstuma.

Pierādījums.Ļaut būt platība trīsstūris. Paņemiet malu trijstūra pamatnē un uzzīmējiet augstumu. Pierādīsim, ka:

2.4.1. Attēls

Pabeigsim trīsstūri līdz paralelogramam, kā parādīts attēlā. Trīsstūri ir vienādi no trim pusēm (- to kopējā puse un kā paralelograma pretējās malas), tāpēc to laukumi ir vienādi. Līdz ar to trijstūra ABC laukums S ir vienāds ar pusi paralelograma laukuma, t.i.

Teorēma ir pierādīta.

Ir svarīgi pievērst studentu uzmanību divām sekām, kas izriet no šīs teorēmas. Proti:

taisnleņķa trīsstūra laukums ir puse no tā kāju reizinājuma.

ja divu trijstūru augstumi ir vienādi, tad to laukumus sauc par pamatiem.

Šīm divām sekām ir liela nozīme dažādu problēmu risināšanā. Pamatojoties uz to, tiek pierādīta vēl viena teorēma, kas tiek plaši izmantota problēmu risināšanā.

Teorēma. Ja viena trijstūra leņķis ir vienāds ar otra trijstūra leņķi, tad to laukumi ir saistīti kā malu reizinājumi, ietverot vienādus leņķus.

Pierādījums... Ļaut un būt trijstūru laukumiem un kuru leņķi ir vienādi.

Attēls 2.4.2

Pierādīsim, ka: .

Pārklāsim trīsstūri. uz trijstūra tā, lai virsotne sakristu ar virsotni, un malas attiecīgi pārklājas uz stariem.

2.4.3. Attēls

Trīsstūriem un tiem ir kopīgs augstums, tāpēc ,. Trijstūriem ir arī kopīgs augstums -tāpēc ,. Reizinot iegūtās vienādības, iegūstam .

Teorēma ir pierādīta.

Otrā formula.Trīsstūra laukums ir puse no tā divu malu reizinājuma ar leņķa krustojumu starp tiem. Ir vairāki veidi, kā pierādīt šo formulu, un es izmantošu vienu no tiem.

Pierādījums. No ģeometrijas ir zināma teorēma, ka trīsstūra laukums pēc pamatnes krituma ir vienāds ar pusi no pamatnes reizinājuma:

Akūta leņķa trīsstūra gadījumā. Stulba leņķa gadījumā. Ho, un tāpēc ... Tātad abos gadījumos. Aizstājot trīsstūra laukuma ģeometriskās formulas vietā, mēs iegūstam trīsstūra laukuma trigonometrisko formulu:

Teorēma ir pierādīta.

Trešā formula trijstūra laukumam - Herona formula, kas nosaukta pēc senā grieķu zinātnieka Herona Aleksandrijas, kas dzīvoja mūsu ēras pirmajā gadsimtā. Šī formula ļauj atrast trijstūra laukumu, zinot tā malas. Tas ir ērti ar to, ka ļauj neveikt nekādas papildu konstrukcijas un nemērīt leņķus. Tās secinājums ir balstīts uz otro no aplūkotajām formulām trīsstūra laukumam un kosinusa teorēmu: un.

Pirms turpināt šī plāna īstenošanu, mēs atzīmējam, ka

Tādā pašā veidā mums ir:

Tagad mēs izsakām kosinusu un:

Tā kā jebkurš trijstūra leņķis ir lielāks un mazāks, tad. Līdzekļi, .

Tagad mēs katru radikālās izteiksmes faktoru atsevišķi pārveidojam. Mums ir:

Aizstājot šo izteiksmi apgabala formulā, mēs iegūstam:

Tēmai "Trijstūra laukums" ir liela nozīme skolas matemātikas kursā. Trīsstūris ir vienkāršākā ģeometriskā forma. Tas ir skolas ģeometrijas "strukturālais elements". Lielākā daļa ģeometrisko problēmu tiek samazinātas līdz trijstūru risināšanai. Parastā un patvaļīgā n-gona laukuma atrašanas problēma nav izņēmums.

2.4.1. Piemērs.

Kāds ir vienādsānu trīsstūra laukums, ja tā pamatne un mala?

Risinājums:

-vienādsānu,

2.4.4. Attēls

Zīmēsim pēc vienādsānu trijstūra īpašības - mediānas un augstuma. Tad

Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Atrodiet trīsstūra laukumu:

Atbilde:

2.4.2. Piemērs.

Taisnstūra trīsstūrī akūta leņķa bisektrise sadala pretējo kāju 4 un 5 cm garos segmentos.Noteikt trīsstūra laukumu.

Risinājums:

Ļaujiet (2.4.5. Attēls). Tad un (tā kā BD ir bisektrise). Līdz ar to mums ir , tas ir. Līdzekļi,

2.4.5. Attēls

Atbilde:

Piemērs 2.4.3.

Atrodiet vienādsānu trīsstūra laukumu, ja tā pamatne ir vienāda, un līdz pamatnei novilktā augstuma garums ir vienāds ar segmenta garumu, kas savieno pamatnes viduspunktu un malu.

Risinājums:

Pēc nosacījuma ir vidējā līnija (2.4.6. Attēls). Tā kā mums ir:

vai , no kurienes Līdz ar to

Pirms mēs zinām, kā atrast paralelograma laukumu, mums jāatceras, kas ir paralelograms un ko sauc par tā augstumu. Parallelogramma - četrstūris, kura pretējās malas ir pāra paralēlas (atrodas uz paralēlām līnijām). Perpendikulu, kas novilkts no patvaļīga punkta pretējā pusē līdz taisnei, kurā ir šī puse, sauc par paralelograma augstumu.

Kvadrāts, taisnstūris un rombs ir paralelograma īpašie gadījumi.

Paralelograma laukums ir norādīts kā (S).

Formulas paralelograma laukuma atrašanai

S = a * h, kur a ir pamatne, h ir augstums, kas tiek pievilkts pie pamatnes.

S = a * b * sinα, kur a un b ir bāzes un α ir leņķis starp bāzēm a un b.

S = p * r, kur p ir daļēji perimetrs, r ir apļa rādiuss, kas ierakstīts paralelogramā.

Paralelograma laukums, ko veido vektori a un b, ir vienāds ar doto vektoru reizināšanas moduli, proti:

Apsveriet 1. piemēru: ņemot vērā paralelogramu, kura mala ir 7 cm un augstums ir 3 cm.Kā atrast paralelograma laukumu, mums ir nepieciešama risinājuma formula.

Tātad S = 7x3. S = 21. Atbilde: 21 cm 2.

Apsveriet 2. piemēru. Pamatnes ir 6 un 7 cm, un leņķis starp pamatnēm ir 60 grādi. Kā atrast paralelograma laukumu? Formula, ko izmanto, lai atrisinātu:

Tādējādi vispirms atrodam leņķa sinusu. Sinus 60 = 0,5, attiecīgi S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Atbilde: 21 cm 2.

Es ceru, ka šie piemēri palīdzēs jums atrisināt problēmas. Un atcerieties, ka galvenais ir zināšanas par formulām un uzmanīgums.

Parallelogramma ir ģeometriska figūra, kas bieži atrodama ģeometrijas kursa uzdevumos (sekciju planimetrija). Šī četrstūra galvenās iezīmes ir pretēju leņķu vienlīdzība un divu paralēlu pretējo malu pāru klātbūtne. Īpaši paralelograma gadījumi ir rombs, taisnstūris, kvadrāts.

Šāda veida daudzstūra laukuma aprēķinu var veikt vairākos veidos. Apsvērsim katru no tiem.

Atrodiet paralelograma laukumu, ja tā mala un augstums ir zināmi

Lai aprēķinātu paralelograma laukumu, varat izmantot tā malas vērtības, kā arī uz tā nokritušā augstuma garumu. Šajā gadījumā iegūtie dati būs ticami gan attiecībā uz zināmo pusi - figūras pamatni, gan tad, ja jūsu rīcībā ir figūras puse. Šajā gadījumā vēlamo vērtību iegūs pēc formulas:

S = a * h (a) = b * h (b),

• S ir joma, kas jānosaka
• a, b - zināmā (vai aprēķinātā) puse,
• h ir uz tā samazinātais augstums.

Piemērs: paralelograma pamatnes vērtība ir 7 cm, perpendikulāra garums no pretējās virsotnes ir 3 cm.

Risinājums: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Atrodiet paralelograma laukumu, ja ir zināmas 2 malas un leņķis starp tām

Apsveriet gadījumu, kad zināt figūras divu malu vērtības, kā arī leņķa pakāpi, ko tās veido viena ar otru. Sniegtos datus var izmantot arī, lai atrastu paralelograma laukumu. Šajā gadījumā formulas izteiksme izskatīsies šādi:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

• a - sānu puse,
• c - zināma (vai aprēķināta) bāze,
• α, β - leņķi starp malām a un c.

Piemērs: paralelograma pamatne ir 10 cm, tā mala ir par 4 cm mazāka. Attēla trulais leņķis ir 135 °.

Risinājums: nosakiet otrās puses vērtību: 10 - 4 = 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135 ° = 60 * sin (90 ° + 45 °) = 60 * cos45 ° = 60 * √2 / 2 = 30√2.

Atrodiet paralelograma laukumu, ja ir zināmas diagonāles un leņķis starp tām

Zināmā daudzstūra diagonāļu vērtību klātbūtne, kā arī leņķis, ko tās veido krustošanās rezultātā, ļauj noteikt figūras laukuma lielumu.

S = (d1 * d2) / 2 * sinγ,
S = (d1 * d2) / 2 * sinφ,

S ir joma, kas jānosaka,
d1, d2 - zināmas (vai aprēķinātas) diagonāles,
γ, φ ir leņķi starp diagonālēm d1 un d2.

Kas ir paralelograms? Paralelograms ir četrstūris, kurā pretējās malas ir pāra paralēlas.

1. Paralelograma laukumu aprēķina pēc formulas:

\ [\ LARGE S = a \ cdot h_ (a) \]

kur:
a - paralelogramma,
h a - augstums, kas novilkts uz šo pusi.

2. Ja ir zināmi paralelograma divu blakus esošo malu garumi un leņķis starp tiem, tad paralelograma laukumu aprēķina pēc formulas:

\ [\ LARGE S = a \ cdot b \ cdot grēks (\ alfa) \]

3. Ja paralelograma diagonāles ir norādītas un leņķis starp tām ir zināms, tad paralelograma laukumu aprēķina pēc formulas:

\ [\ LARGE S = \ frac (1) (2) \ cdot d_ (1) \ cdot d_ (2) \ cdot grēks (\ alpha) \]

Parallelogrammas īpašības

Paralelogramā pretējās malas ir vienādas: \ (AB = CD \), \ (BC = AD \)

Paralelogramā pretēji leņķi ir: \ (\ leņķis A = \ leņķis C \), \ (\ leņķis B = \ leņķis D \)

Paralelograma diagonāles krustošanās vietā ir uz pusi \ (AO = OC \), \ (BO = OD \)

Paralelograma diagonāle sadala to divos vienādos trijstūros.

Vienai malai blakus esošā paralelograma leņķu summa ir 180 o:

\ (\ leņķis A + \ leņķis B = 180 ^ (o) \), \ (\ leņķis B + \ leņķis C = 180 ^ (o) \)

\ (\ leņķis C + \ leņķis D = 180 ^ (o) \), \ (\ leņķis D + \ leņķis A = 180 ^ (o) \)

Paralelograma diagonāles un malas ir saistītas ar šādu sakarību:

\ (d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 = 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \)

Paralelogramā leņķis starp augstumiem ir vienāds ar tā akūto leņķi: \ (\ leņķis K B H = \ leņķis A \).

Leņķu bisektrises, kas atrodas blakus paralelograma vienai pusei, ir savstarpēji perpendikulāras.

Paralelograma divu pretējo leņķu bisektrises ir paralēlas.

Parallelogrammas zīmes

Četrstūris ir paralelograms, ja:

\ (AB = CD \) un \ (AB || CD \)

\ (AB = CD \) un \ (BC = AD \)

\ (AO = OC \) un \ (BO = OD \)

\ (\ leņķis A = \ leņķis C \) un \ (\ leņķis B = \ leņķis D \)