Подробности Категория: Механика Опубликовано 21.04.2014 14:29 Просмотров: 53533

В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .

Импульс тела

Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .

С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».

Любое тело, которое движется, обладает импульсом.

Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.

Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.

Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.

Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.

Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек

То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.

Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).

Импульс силы

В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .

Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона

Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.

Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .

Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.

Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.

Импульс силы – это также векторная величина.

Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.

Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.

Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.

Импульс силы для первого тела равен

Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно, для второго тела импульс силы равен

Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:

где m 1 и m 2 – массы тел,

v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,

v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.

p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;

p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;

p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;

p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;

То есть

p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "

В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.

При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.

Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .

Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.

Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.

Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.

Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.

Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .

Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.

Реактивное движение

Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.

Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.

Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.

Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.

На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.

Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.

До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.

где - масса ракеты

Скорость истечени газа

Изменение скорости ракеты

∆ m f - расход массы топлива

Предположим, ракета работала в течение времени t .

Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение

По второму закону Ньютона реактивная сила равна

Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.

Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.

Изменяются, так как на каждое из тел действуют силы взаимодействия, однако сумма импульсов остается постоянной. Это и называется законом сохранения импульса .

Второй закон Ньютона выражается формулой . Ее можно записать иным способом, если вспомнить, что ускорение равно быстроте изменения скорости тела. Для равноускоренного движения формула будет иметь вид:

Если подставить это выражение в формулу, получим:

,

Эту формулу можно переписать в виде:

В правой части этого равенства записано изменение произведения массы тела на его скорость. Произведение массы тела на скорость является физической величиной, которая называется импульсом тела или количеством движения тела .

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость. Это векторная величина. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Другими словами, тело массой m , движущееся со скоростью обладает импульсом . За единицу импульса в СИ принят импульс тела массой 1 кг , движущегося со скоростью 1 м/с (кг·м/с). При взаимодействии друг с другом двух тел если первое действует на второе тело силой , то, согласному третьему закону Ньютона , второе действует на первое силой . Обозначим массы этих двух тел через m 1 и m 2 , а их скорости относительно какой-либо системы отсчета через и . Через некоторое время t в результате взаимодействия тел их скорости изменятся и станут равными и . Подставив эти значения в формулу, получим:

,

,

Следовательно,

Изменим знаки обеих частей равенства на противоположные и запишем в виде

В левой части равенства - сумма начальных импульсов двух тел, в правой части - сумма импульсов тех же тел через время t . Суммы равны между собой. Таким образом, несмотря на то. что импульс каждого тела при взаимодействии изменяется, полный импульс (сумма импульсов обоих тел) остается неизменным.

Действителен и тогда, когда взаимодействуют несколько тел. Однако, важно, чтобы эти тела взаимодействовали только друг с другом и на них не действовали силы со стороны других тел, не входящих в систему (либо чтоб внешние силы уравновешивались). Группа тел, не взаимодействущая с другими телами, называется замкнутой системой справедлив только для замкнутых систем.

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона ) следует:

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения ). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с) .

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы . Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:

И зменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы .

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY ). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ 0 под действием силы тяжести; время падения равно t . Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести F т = mg за время t равен mgt . Этот импульс равен изменению импульса тела

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения . В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t . Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы F ср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Выберем на оси времени малый интервал Δt , в течение которого сила F (t ) остается практически неизменной. Импульс силы F (t ) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δt i , а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δt i , то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δt i → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t ) и осью t . Этот метод определения импульса силы по графику F (t ) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t ) на интервале .

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t 1 = 0 с до t 2 = 10 с равен:

В этом простом примере

В некоторых случаях среднюю силу F ср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10 –3 с.

Импульс p , приобретенный мячом в результате удара есть:

Следовательно, средняя сила F ср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов , на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX ) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью ,после отскока мяч будет иметь скорость . Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно

В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δp x = –2m υx . Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δp x > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2m υ.

Изучив законы Ньютона, мы видим, что с их помощью можно решить основные задачи механики, если нам известны все силы, действующие на тело. Есть ситуации, в которых определить эти величины затруднительно или вообще невозможно. Рассмотрим несколько таких ситуаций. При столкновении двух биллиардных шаров или автомобилей мы можем утверждать о действующих силах, что это их природа, здесь действуют силы упругости. Однако ни их модулей, ни их направлений мы точно установить не сможем, тем более что эти силы имеют крайне малое время действия. При движении ракет и реактивных самолетов мы также мало что можем сказать о силах, приводящих указанные тела в движение. В таких случаях применяются методы, позволяющие уйти от решения уравнений движения, а сразу воспользоваться следствиями этих уравнений. При этом вводятся новые физические величины. Рассмотрим одну из этих величин, называемую импульсом тела

Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.

Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.

Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:

1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.

2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.

Согласно второму закону Ньютона, можем записать:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.

Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.

Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:

то попытка такого решения привела бы к ошибке.

Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.

Несмотря на то что второй закон Ньютона в виде «равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение» позволяет решить довольно широкий класс задач, существуют случаи движения тел, которые не могут быть полностью описаны этим уравнением. В таких случаях необходимо применять другую формулировку второго закона, связывающую изменение импульса тела с импульсом равнодействующей силы. Кроме того, существует ряд задач, в которых решение уравнений движения является математически крайне затруднительным либо вообще невозможным. В таких случаях нам полезно использовать понятие импульса.

С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела мы можем вывести второй и третий закон Ньютона.

Второй закон Ньютона выводится из соотношения импульса силы и импульса тела.

Импульс силы равен изменению импульса тела:

Произведя соответствующие переносы, мы получим зависимость силы от ускорения, ведь ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

Подставив значения в нашу формулу, получим формулу второго закона Ньютона:

Для выведения третьего закона Ньютона нам понадобится закон сохранения импульса.

Векторы подчеркивают векторность скорости, то есть то, что скорость может изменяться по направлению. После преобразований получим:

Так как промежуток времени в замкнутой системе был величиной постоянной для обоих тел, мы можем записать:

Мы получили третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Векторы этих сил направлены навстречу друг к другу, соответственно, модули этих сил равны по своему значению.

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Просвещение, 1990.

Домашнее задание

1. Дать определение импульсу тела, импульсу силы.
2. Как связаны импульс тела с импульсом силы?
3. Какие выводы можно сделать по формулам импульса тела и импульса силы?

1. Интернет-портал Questions-physics.ru ().
2. Интернет-портал Frutmrut.ru ().
3. Интернет-портал Fizmat.by ().

Произведение массы тела на его скорость называют импульсом или мерой движения тела. Он относится к векторным величинам. Его направление сонаправлено вектору скорости тела.

Единица измерения в СИ:

Вспомним второй закон механики:

Для ускорения верно соотношение:

,
Где v0 и v - скорости тела в начале и конце некоторого временного отрезка Δt.
Перепишем второй закон следующим образом:

Можно увидеть, что - импульс тела в начале некоторого отрезка времени, а - импульс тела в конечный момент времени.
- альтернативная математическая запись второго закона Ньютона.
Выполним преобразование:

Величину называют импульсом силы.
А формула, которую получили, показывает, что изменение импульса тела равно по величине импульсу действующей на него силы.
Эта формула особенно интересна тем, что ей можно воспользоваться в случае, когда масса движущегося под действием силы F тела меняется в процессе движения. Примером может служить реактивное движение.

Закон сохранения импульса

В физике часто встречаются ситуации, в которых одновременно рассматривается движение взаимодействующих между собой тел, называемых системой тел.
Системой тел можно назвать солнечную систему, соударяющиеся шары, молекулы тела или система «ружьё и пуля». Те тела, которые не участвуют во взаимодействии с телами системы, называются внешними по отношению к этой системе, а силы, с которыми они действуют на систему - внешними силами.

Изолированная система тел

Если на систему не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, то её называют изолированной или замкнутой.
Если рассматривать движения тел в замкнутой системе, то следует учитывать силы, с которыми эти тела взаимодействуют между собой.
Если рассмотреть простейшую изолированную систему, состоящую из двух тел, массы которых m1 и m2. Тела движутся по одной прямой и их скорости совпадают по направлению, причём v1 > v2. Когда первое тело догонит второе, они начнут взаимодействовать посредством сил упругости, их скорости будут меняться, и тела начнут двигаться со скоростями. Запишем их взаимодействие с помощью третьего закона Ньютона и получим следующее соотношение:

или
.

Векторные суммы импульсов двух тел до и после удара равны между собой.
Полезной аналогией для понимания закона сохранения импульса является денежная сделка между двумя людьми. Предположим, что у двух людей до сделки была определённая сумма. У Ивана было 1000 рублей и Петр тоже обладал 1000 рублей. Общая сумма в их карманах составляет 2000 рублей. Во время сделки Иван платит Петру 500 рублей, осуществляется передача денег. У Петра в кармане теперь 1500 руб., а у Ивана - 500. Но общая сумма в их карманах не изменилась и также составляет 2000 рублей.
Полученное выражение справедливо для любого количества тел, принадлежащих изолированной системе, и является математической формулировкой закона сохранения импульса.
Суммарный импульс N-ного количества тел, образующих изолированную систему, не меняется с течением времени.
Когда система тел подвергается воздействию нескомпенсированных внешних сил (система незамкнутая), то суммарный импульс тел этой системы изменяется с течением времени. Но справедливым остаётся закон сохранения для суммы проекций импульсов этих тел на любое направление, перпендикулярное направлению результирующей внешней силы.

Движение ракеты

Движение, которое возникает при отделении от тела его части определённой массы с некоторой скоростью, называют реактивным.
Примером реактивного движения может служить движение ракеты, находящейся на значительном удалении от Солнца и планет. В этом случае ракета не испытывает гравитационного воздействия и может считаться изолированной системой.
Ракета состоит из оболочки и топлива. Они и являются взаимодействующими телами изолированной системы. В начальный момент времени скорость ракеты равна нулю. В этот момент равен нулю и импульс системы, и оболочки, и топлива. Если включить двигатель, то топливо ракеты сгорает и превращается в высокотемпературный газ, покидающий двигатель под высоким давлением и с большой скоростью.
Обозначим массу образующегося газа mг. Будем считать, что он вылетает из сопла ракеты моментально со скоростью vг. Массу и скорость оболочки обозначим соответственно mоб и vоб.
Закон сохранения импульса даёт право записать соотношение:

.Из этого равенства можем получить скорость движения оболочки:

Знак «минус» указывает на то, что скорость оболочки направлена в противоположную сторону от выбрасываемого газа.
Скорость оболочки пропорциональна скорости выброса газа и массе газа. И обратно пропорциональна массе оболочки.
Принцип реактивного движения позволяет рассчитывать перемещение ракет, самолётов и других тел в условиях, когда на них действуют внешние сила тяжести или сила сопротивления атмосферы. Конечно, в этом случае уравнение даёт завышенное значение скорости оболочки vоб. В реальных условиях и газ вытекает из ракеты не мгновенно, что влияет на итоговое значение vоб.
Действующие формулы, описывающее движение тела с реактивным двигателем получены русскими учёными И.В. Мещерским и К.Э. Циолковским.