Considererò la questione della formula per le proiezioni delle facce di un tetraedro rettangolare. Innanzitutto considererò il disegno ortogonale di un segmento giacente nel piano α, evidenziando due casi di posizione di tale segmento rispetto alla retta l=α∩π.
Caso 1. AB∥l(Fig. 8). Il segmento A 1 B 1, che è una proiezione ortogonale del segmento AB, è uguale e parallelo al segmento AB.

Riso. 8

Caso 2. CD⊥l(Fig. 8). Per il teorema delle tre perpendicolari, la linea C 1 D 1, che è la proiezione ortogonale della linea CD, è anche perpendicolare alla linea l. Pertanto, ∠CEC 1 è l'angolo tra il piano α e il piano di proiezione π, ovvero dove C0D=C1D1. Pertanto |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Considererò ora la questione della progettazione ortogonale di un triangolo.
L'area della proiezione ortogonale di un triangolo su un piano è uguale all'area del triangolo proiettato moltiplicata per il coseno dell'angolo compreso tra il piano del triangolo e il piano di proiezione.

Prova. Area di proiezione di un triangolo.
a) Sia uno dei lati, ad esempio AC, del triangolo proiettato ABC sia parallelo alla retta l=α∩π (Fig. 9) oppure giaccia su di essa.

Riso. 9

Allora la sua altezza VN è perpendicolare alla retta l, e la sua area è uguale a, cioè

In base alle proprietà della proiezione ortogonale di un segmento discusse sopra, ho:

Secondo il teorema delle tre perpendicolari, la linea B 1 H 1 - la proiezione ortogonale della linea BH - è perpendicolare alla linea l, quindi il segmento B 1 H 1 è l'altezza del triangolo A 1 B 1 C 1 . Ecco perché . Così, .
b) Nessuno dei lati del triangolo disegnato ABC è parallelo alla retta l (Fig. 10). Traccerò una linea attraverso ciascun vertice del triangolo parallela alla linea l. Una di queste rette si trova tra le altre due (nella figura è la retta m), e, quindi, divide il triangolo ABC nei triangoli ABD e ACD con altezze rispettivamente BH e CE, condotti sul loro lato comune AD (o sulla sua continuazione). , che è parallelo a l. La linea m 1 - la proiezione ortogonale della linea m - divide anche il triangolo A 1 B 1 C 1 - la proiezione ortogonale del triangolo ABC - nei triangoli A 1 B 1 D 1 e A 1 C 1 D 1, dove. Tenendo conto di (9) e (10), ottengo

Capitolo IV. Linee rette e piani nello spazio. Poliedri

§ 55. Area di proiezione di un poligono.

Ricordiamo che l'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra una data linea e la sua proiezione sul piano (Fig. 164).

Teorema. L'area della proiezione ortogonale di un poligono su un piano è uguale all'area del poligono proiettato moltiplicata per il coseno dell'angolo formato dal piano del poligono e dal piano di proiezione.

Ogni poligono può essere diviso in triangoli la cui somma delle aree è uguale all'area del poligono. Pertanto è sufficiente dimostrare il teorema per un triangolo.

Permettere /\ ABC viene proiettato su un piano R. Consideriamo due casi:
a) una delle parti /\ ABC è parallelo al piano R;
b) nessuna delle parti /\ ABC non è parallelo R.

Consideriamo primo caso: sia [AB] || R.

Disegniamo un piano passante per (AB) R 1 || R e progettare ortogonalmente /\ ABC acceso R 1 e successivi R(fig. 165); otteniamo /\ ABC 1 e /\ A"B"C".
Per la proprietà di proiezione che abbiamo /\ ABC1 /\ A"B"C", e quindi

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Disegniamo _|_ e il segmento D 1 C 1 . Allora _|_ , a = φ è il valore dell'angolo tra il piano /\ ABC e aereo R 1. Ecco perché

S /\ ABC1 = 1/2| AB | | C1D1 | = 1/2| AB | | CD 1 | cosφ = S /\ ABC cosφ

e quindi S /\ A"B"C" = S /\ ABC cosφ.

Passiamo alla considerazione secondo caso. Disegniamo un aereo R 1 || R sopra quella cima /\ ABC, la distanza da cui all'aereo R il più piccolo (sia questo il vertice A).
Progettiamo /\ ABC su un aereo R 1 e R(fig. 166); siano rispettivamente le sue proiezioni /\ AB 1 C 1 e /\ A"B"C".

Lascia (sole) P 1 = D. Allora

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cosφ

Compito. Un piano è tracciato attraverso il lato di base di un prisma triangolare regolare che forma un angolo φ = 30° rispetto al piano della sua base. Trova l'area della sezione trasversale risultante se il lato della base del prisma UN= 6cm.

Rappresentiamo la sezione trasversale di questo prisma (Fig. 167). Poiché il prisma è regolare, i suoi bordi laterali sono perpendicolari al piano della base. Significa, /\ ABC è una proiezione /\ ADC, quindi

GEOMETRIA
Programma delle lezioni per la 10a elementare

Lezione 56

Soggetto. Area di proiezione ortogonale di un poligono

Lo scopo della lezione: studiare il teorema sull'area della proiezione ortogonale di un poligono, sviluppare le capacità degli studenti nell'applicare il teorema appreso alla risoluzione dei problemi.

Attrezzatura: set stereometrico, modello cubo.

Avanzamento della lezione

I. Controllo i compiti

1. Due studenti riproducono alla lavagna le soluzioni dei problemi n. 42, 45.

2. Interrogazioni frontali.

1) Definire l'angolo tra due piani che si intersecano.

2) Qual è l'angolo tra:

a) piani paralleli;

b) piani perpendicolari?

3) Entro quali limiti può variare l'angolo tra due piani?

4) È vero che un piano che interseca piani paralleli li interseca con gli stessi angoli?

5) È vero che un piano che interseca piani perpendicolari li interseca ad angoli uguali?

3. Verifica della correttezza della soluzione ai problemi n. 42, 45, che gli studenti hanno ricreato alla lavagna.

II. Percezione e consapevolezza del nuovo materiale

Compito per gli studenti

1. Dimostrare che l'area di proiezione di un triangolo, un lato del quale si trova nel piano di proiezione, è uguale al prodotto della sua area e al coseno dell'angolo tra il piano del poligono e il piano di proiezione.

2. Dimostrare il teorema per il caso in cui un triangolo reticolare è quello in cui un lato è parallelo al piano di proiezione.

3. Dimostrare il teorema per il caso in cui un triangolo reticolare è quello in cui nessuno dei lati è parallelo al piano di proiezione.

4. Dimostrare il teorema per qualsiasi poligono.

Risoluzione dei problemi

1. Trova l'area della proiezione ortogonale di un poligono la cui area è 50 cm2 e l'angolo tra il piano del poligono e la sua proiezione è 60°.

2. Trova l'area del poligono se l'area della proiezione ortogonale di questo poligono è 50 cm2 e l'angolo tra il piano del poligono e la sua proiezione è 45°.

3. L'area del poligono è 64 cm2 e l'area della proiezione ortogonale è 32 cm2. Trova l'angolo tra i piani del poligono e la sua proiezione.

4. O forse l'area della proiezione ortogonale di un poligono è uguale all'area di questo poligono?

5. Il bordo del cubo è uguale ad a. Trova l'area della sezione trasversale del cubo mediante un piano che passa per la parte superiore della base con un angolo di 30° rispetto a questa base e che interseca tutti i bordi laterali. (Risposta. )

6. Problema n. 48 (1, 3) dal libro di testo (p. 58).

7. Problema n. 49 (2) dal libro di testo (p. 58).

8. I lati del rettangolo misurano 20 e 25 cm. La sua proiezione sul piano è simile ad essa. Trova il perimetro della proiezione. (Risposta: 72 cm o 90 cm.)

III. Compiti a casa

§4, paragrafo 34; domanda del test n. 17; problemi n. 48 (2), 49 (1) (p. 58).

IV. Riassumendo la lezione

Domanda per la classe

1) Enunciare un teorema sull'area della proiezione ortogonale di un poligono.

2) L'area della proiezione ortogonale di un poligono può essere maggiore dell'area del poligono?

3) Attraverso l'ipotenusa AB del triangolo rettangolo ABC si traccia un piano α che forma un angolo di 45° rispetto al piano del triangolo e una perpendicolare CO rispetto al piano α. AC = 3 cm, BC = 4 cm Indicare quali delle seguenti affermazioni sono corrette e quali errate:

a) l'angolo compreso tra i piani ABC e α è uguale all'angolo SMO, dove il punto H è la base dell'altezza SM del triangolo ABC;

b) CO = 2,4 cm;

c) il triangolo AOC è una proiezione ortogonale del triangolo ABC sul piano α;

d) l'area del triangolo AOB è 3 cm2.

(Risposta: a) Esatto; b) sbagliato; c) errato; d) corretto.)

Consideriamo un aereo P e la retta che lo interseca . Permettere UN - un punto arbitrario nello spazio. Tracciamo una linea retta attraverso questo punto , parallelo alla linea . Permettere . Punto chiamata proiezione di un punto UN all'aereo P con disegno parallelo lungo una data retta . Aereo P , sul quale vengono proiettati i punti dello spazio è chiamato piano di proiezione.

p - piano di proiezione;

- progettazione diretta; ;

; ; ;

Design ortogonaleè un caso speciale di progettazione parallela. Il disegno ortogonale è un disegno parallelo in cui la linea del disegno è perpendicolare al piano di proiezione. Il disegno ortogonale è ampiamente utilizzato nel disegno tecnico, dove una figura viene proiettata su tre piani: orizzontale e due verticali.

Definizione: Proiezione ortogonale di un punto M all'aereo P chiamata base M1 perpendicolare MILLIMETRO 1, abbandonato dal punto M all'aereo P.

Designazione: , , .

Definizione: Proiezione ortogonale di una figura F all'aereo Pè l'insieme di tutti i punti del piano che sono proiezioni ortogonali dell'insieme dei punti della figura F all'aereo P.

Il disegno ortogonale, come caso speciale di disegno parallelo, ha le stesse proprietà:

p - piano di proiezione;

- progettazione diretta; ;

1) ;

2) , .

1. Le proiezioni di rette parallele sono parallele.

AREA DI PROIEZIONE DI UNA FIGURA PIATTA

Teorema: L'area della proiezione di un poligono piano su un determinato piano è uguale all'area del poligono proiettato moltiplicata per il coseno dell'angolo tra il piano del poligono e il piano di proiezione.

Fase 1: La figura proiettata è un triangolo ABC, il cui lato AC giace nel piano di proiezione a (parallelo al piano di proiezione a).

Dato:

Dimostrare:

Prova:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Per il teorema delle tre perpendicolari;

ВD – altezza; B1D – altezza;

5. – angolo lineare dell'angolo diedro;

6. ; ; ; ;

Fase 2: La figura proiettata è un triangolo ABC, nessuno dei cui lati giace nel piano di proiezione a e non è parallelo ad esso.

Dato:

Dimostrare:

Prova:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(fase 1);

5. ; ; ;

(fase 1);

Fase: la figura progettata è un poligono arbitrario.

Prova:

Il poligono è diviso dalle diagonali tracciate da un vertice in un numero finito di triangoli, per ciascuno dei quali è vero il teorema. Pertanto il teorema sarà vero anche per la somma delle aree di tutti i triangoli i cui piani formano lo stesso angolo con il piano di proiezione.

Commento: Il teorema dimostrato vale per qualunque figura piana delimitata da una curva chiusa.

Esercizi:

1. Trova l'area di un triangolo il cui piano è inclinato di un angolo rispetto al piano di proiezione , se la sua proiezione è un triangolo regolare con lato a.

2. Trova l'area di un triangolo il cui piano è inclinato di un angolo rispetto al piano di proiezione , se la sua proiezione è un triangolo isoscele con un lato di 10 cm e una base di 12 cm.

3. Trova l'area di un triangolo il cui piano è inclinato di un angolo rispetto al piano di proiezione , se la sua proiezione è un triangolo con i lati 9, 10 e 17 cm.

4. Calcola l'area di un trapezio, il cui piano è inclinato di un angolo rispetto al piano di proiezione, se la sua proiezione è un trapezio isoscele, la cui base maggiore è 44 cm, il lato è 17 cm e la diagonale è 39 cm.

5. Calcola l'area di proiezione di un esagono regolare con un lato di 8 cm, il cui piano è inclinato rispetto al piano di proiezione ad angolo.

6. Un rombo con il lato di 12 cm e un angolo acuto forma un angolo con un dato piano. Calcola l'area della proiezione del rombo su questo piano.

7. Un rombo con il lato di 20 cm e la diagonale di 32 cm forma un angolo con un piano dato. Calcola l'area della proiezione del rombo su questo piano.

8. La proiezione di una tettoia su un piano orizzontale è un rettangolo con i lati e . Trova l'area della tettoia se le facce laterali sono rettangoli uguali inclinati rispetto al piano orizzontale e la parte centrale della tettoia è un quadrato parallelo al piano di proiezione.

11. Esercizi sull'argomento "Linee e piani nello spazio":

I lati del triangolo sono pari a 20 cm, 65 cm, 75 cm Dal vertice dell'angolo maggiore del triangolo si traccia una perpendicolare pari a 60 cm. Trova la distanza dagli estremi della perpendicolare a il lato maggiore del triangolo.

2. Da un punto situato a distanza di cm dal piano se ne tracciano due inclinati, formanti con il piano angoli uguali a , e tra loro un angolo retto. Trova la distanza tra i punti di intersezione dei piani inclinati.

3. Il lato di un triangolo regolare è 12 cm Il punto M viene scelto in modo che i segmenti che collegano il punto M con tutti i vertici del triangolo formino angoli con il suo piano. Trova la distanza dal punto M ai vertici e ai lati del triangolo.

4. Un piano viene tracciato attraverso il lato del quadrato ad angolo rispetto alla diagonale del quadrato. Trova gli angoli ai quali due lati del quadrato sono inclinati rispetto al piano.

5. La gamba di un triangolo rettangolo isoscele è inclinata rispetto al piano a passante per l'ipotenusa ad angolo . Dimostrare che l'angolo compreso tra il piano a e il piano del triangolo è uguale a .

6. L'angolo diedro tra i piani dei triangoli ABC e DBC è uguale a . Trova AD se AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Prova domande sull'argomento "Linee e piani nello spazio"

1. Elencare i concetti di base della stereometria. Formulare gli assiomi della stereometria.

2. Dimostrare le conseguenze degli assiomi.

3. Qual è la posizione relativa di due linee nello spazio? Fornire le definizioni di linee intersecanti, parallele e oblique.

4. Dimostrare il segno delle linee oblique.

5. Qual è la posizione relativa della linea e del piano? Fornire le definizioni di rette intersecanti, parallele e di piani.

6. Dimostrare il segno del parallelismo tra una linea e un piano.

7. Qual è la posizione relativa dei due piani?

8. Definire i piani paralleli. Dimostrare un segno che due piani sono paralleli. Teoremi di stato sui piani paralleli.

9. Definire l'angolo tra le linee rette.

10. Dimostrare il segno di perpendicolarità di una linea e di un piano.

11. Definire la base di una perpendicolare, la base di una inclinata, la proiezione di una inclinata su un piano. Formulare le proprietà di una retta perpendicolare e inclinata lasciata cadere su un piano da un punto.

12. Definire l'angolo tra una linea retta e un piano.

13. Dimostrare il teorema sulle tre perpendicolari.

14. Fornire le definizioni di angolo diedro, angolo lineare di angolo diedro.

15. Dimostrare il segno della perpendicolarità di due piani.

16. Definire la distanza tra due punti diversi.

17. Definire la distanza da un punto a una linea.

18. Definire la distanza da un punto a un piano.

19. Definisci la distanza tra una linea retta e un piano ad essa parallelo.

20. Definire la distanza tra piani paralleli.

21. Definire la distanza tra le linee che si intersecano.

22. Definisci la proiezione ortogonale di un punto su un piano.

23. Definisci la proiezione ortogonale di una figura su un piano.

24. Formulare le proprietà delle proiezioni su un piano.

25. Formulare e dimostrare un teorema sull'area di proiezione di un poligono piano.

Ricordiamo che l'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra una data linea e la sua proiezione sul piano (Fig. 164).

Teorema. L'area della proiezione ortogonale di un poligono su un piano è uguale all'area del poligono proiettato moltiplicata per il coseno dell'angolo formato dal piano del poligono e dal piano di proiezione.

Ogni poligono può essere diviso in triangoli la cui somma delle aree è uguale all'area del poligono. Pertanto è sufficiente dimostrare il teorema per un triangolo.

Proiettiamo \(\Delta\)ABC sul piano R. Consideriamo due casi:

a) uno dei lati \(\Delta\)ABC è parallelo al piano R;

b) nessuno dei lati di \(\Delta\)ABC è parallelo R.

Consideriamo primo caso: sia [AB] || R.

Disegniamo un piano passante per (AB) R 1 || R e proiettare ortogonalmente \(\Delta\)ABC su R 1 e successivi R(fig. 165); otteniamo \(\Delta\)ABC 1 e \(\Delta\)ABC.

Per la proprietà di proiezione abbiamo \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC, e quindi

S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC

Disegniamo ⊥ e il segmento D 1 C 1 . Allora ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ è il valore dell'angolo tra il piano \(\Delta\) ABC e il piano R 1. Ecco perché

S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C1D1 | = 1/2 |AB| |CD1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

e, quindi, S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.

Passiamo alla considerazione secondo caso. Disegniamo un aereo R 1 || R attraverso quel vertice \(\Delta\)ABC, la distanza da cui al piano R il più piccolo (sia questo il vertice A).

Progettiamo \(\Delta\)ABC sull'aereo R 1 e R(fig. 166); lasciamo che le sue proiezioni siano rispettivamente \(\Delta\)AB 1 C 1 e \(\Delta\)ABC.

Sia (BC)\(\cap\) P 1 = D. Allora

S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

Compito. Un piano è tracciato attraverso il lato di base di un prisma triangolare regolare che forma un angolo φ = 30° rispetto al piano della sua base. Trova l'area della sezione trasversale risultante se il lato della base del prisma UN= 6cm.

Rappresentiamo la sezione trasversale di questo prisma (Fig. 167). Poiché il prisma è regolare, i suoi bordi laterali sono perpendicolari al piano della base. Ciò significa che \(\Delta\)ABC è una proiezione di \(\Delta\)ADC, quindi
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
O
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$