Nato il 3 marzo 1845 a San Pietroburgo e lì cresciuto fino all'età di 11 anni. Il padre della famiglia era un membro della Borsa di San Pietroburgo. Quando si ammalò, la famiglia, contando su un clima più mite, si trasferì in Germania nel 1856: prima a Wiesbaden, e poi a Francoforte. Nel 1860 Georg si diplomò con lode alla scuola reale di Darmstadt; gli insegnanti notarono la sua eccezionale abilità per la matematica, in particolare per la trigonometria. Ha continuato la sua formazione presso il Politecnico federale di Zurigo. Un anno dopo, dopo la morte di suo padre, Georg ricevette un'eredità e si trasferì all'Università di Berlino. Lì frequenta le lezioni di Kronecker, Weierstrass, Kummer. Cantor trascorse l'estate del 1866 all'Università di Göttingen, un importante centro del pensiero matematico. Nel 1967 a Berlino ha conseguito il dottorato per il suo lavoro sulla teoria dei numeri "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

Dopo un breve periodo come insegnante alla Berlin Girls' School, Kantor ha preso posto all'Università Martin Luther della Gallia, dove avrebbe trascorso tutta la sua carriera. Nel 1872 divenne professore a contratto, allo stesso tempo, mentre era in vacanza, fece amicizia con Richard Dedekind. A 34 anni Kantor divenne professore di matematica. Nel 1879-84 espose sistematicamente la sua dottrina dell'infinito; "Introdotto il concetto di punto limite, insieme derivato, costruito un esempio di insieme perfetto, sviluppato una delle teorie dei numeri irrazionali, formulato uno degli assiomi di continuità". Nonostante una carriera di tale successo, sogna una posizione in un'università più prestigiosa, ad esempio Berlino. Tuttavia, i sogni non si avverano: molti contemporanei, tra cui Kronecker, che oggi è considerato uno dei fondatori della matematica costruttiva, non amano la teoria degli insiemi di Cantor, poiché afferma l'esistenza di insiemi che soddisfano determinate proprietà - senza fornire esempi specifici di insiemi la cui elementi soddisferebbero realmente queste proprietà.

Nel 1984, Kantor sperimentò un attacco di profonda depressione e si allontanò temporaneamente dalla matematica, spostando i suoi interessi verso la filosofia. Poi torna al lavoro. Nel 1897 interruppe il lavoro scientifico. Cantor morì ad Halle il 6 gennaio 1918.

Uno dei problemi urgenti del XIX secolo era il problema della divisione infinita dei segmenti e dell'esistenza di un punto appartenente a tutti questi segmenti in contrazione. Questo compito richiedeva il concetto di numero reale.

La costruzione di Cantor della teoria del numero reale fu pubblicata nel 1872, quasi contemporaneamente alla teoria di Weierstrass e Dedekind. Nella sua costruzione, Cantor procede dalla presenza dei numeri razionali. Quindi introduce le sequenze fondamentali di Cauchy e assegna loro un limite formale. Inoltre, considera la suddivisione di tutte le sequenze in classi di equivalenza. Le sequenze appartengono alla stessa classe se e solo se la loro differenza tende a zero, cioè. Inoltre, i limiti formali sono uguali tra loro se hanno due di tali sequenze fondamentali che sono equivalenti tra loro o. La relazione d'ordine è definita come segue.

Pertanto, le classi di equivalenza descrivono alcuni numeri reali. Chiamiamoli numeri reali del primo ordine. Se proviamo a formare un numero reale di ordine superiore, componendo le fondamentali sequenze di Cauchy, otteniamo nuovamente un insieme di numeri reali di primo ordine. In altre parole, l'insieme dei numeri reali è chiuso.

Cantor richiama l'attenzione sul fatto che nella definizione di un numero reale vi è in realtà un insieme infinito di numeri razionali: "... alla definizione di qualche numero irrazionale appartiene sempre un certo insieme rigorosamente definito della prima cardinalità dei numeri razionali ."

Si noti che la costruzione di Cantor può essere generalizzata ad altri oggetti, cosa che è stata fatta da Cantor e dai suoi seguaci, "lo sviluppo di teorie del numero reale era un prerequisito abbastanza essenziale per la creazione della teoria degli insiemi". Ad esempio, sulla base della sua costruzione del numero reale, Cantor in seguito la sua teoria dei numeri transfiniti.

Inoltre, Cantor ha introdotto il concetto di cardinalità e ha dimostrato l'inequivalenza dei numeri irrazionali e razionali.

La teoria dei numeri transfiniti di Cantor fu inizialmente percepita come così illogica, paradossale e persino scioccante che incontrò aspre critiche da parte dei matematici contemporanei, in particolare Leopold Kronecker e Henri Poincaré; più tardi - Hermann Weil e Leutzen Brouwer e Ludwig Wittgenstein espressero obiezioni filosofiche (vedi Controversie sulla teoria di Cantor). Alcuni teologi cristiani (soprattutto rappresentanti del neotomismo) hanno visto nell'opera di Cantor una sfida all'unicità dell'assoluta infinità della natura di Dio, un tempo equiparando la teoria dei numeri transfiniti e il panteismo. La critica delle sue opere è stata a volte molto aggressiva: per esempio, Poincaré ha definito le sue idee una "grave malattia" che colpisce la scienza matematica; e nelle dichiarazioni pubbliche e negli attacchi personali di Kronecker contro Cantor, a volte balenavano epiteti come "ciarlatano scientifico", "apostata" e "corruttore della giovinezza". Decenni dopo la morte di Cantor, Wittgenstein notò con amarezza che la matematica era "calpestata dagli idiomi distruttivi della teoria degli insiemi", che liquidava come "buffoneria", "ridicola" ed "errata". Gli episodi di depressione che si ripresentarono periodicamente dal 1884 fino alla fine dei giorni di Cantor furono per qualche tempo accusati dei suoi contemporanei di assumere un atteggiamento eccessivamente aggressivo, ma oggi si ritiene che questi attacchi possano essere stati una manifestazione del disturbo bipolare.

La dura critica è stata contrastata da fama e consensi in tutto il mondo. Nel 1904, la Royal Society di Londra assegnò a Cantor la Medaglia Silvestro, la più alta onorificenza che potesse mai ricevere. Lo stesso Cantor credeva che la teoria dei numeri transfiniti gli fosse stata comunicata dall'alto. Un tempo, difendendolo dalle critiche, David Hilbert dichiarò audacemente: "Nessuno ci scaccerà dal paradiso che Kantor ha fondato".

Biografia

Primi anni e studi

Kantor è nato nel 1845 nella colonia occidentale di mercanti a San Pietroburgo e vi è cresciuto fino all'età di 11 anni. Georg era il maggiore di sei figli. Suonava magistralmente il violino, ereditando dai genitori importanti doti artistiche e musicali. Il padre della famiglia era un membro della Borsa di San Pietroburgo. Quando si ammalò, la famiglia, contando su un clima più mite, si trasferì in Germania nel 1856: prima a Wiesbaden, e poi a Francoforte. Nel 1860 Georg si diplomò con lode alla scuola reale di Darmstadt; gli insegnanti notarono la sua eccezionale abilità per la matematica, in particolare per la trigonometria. Nel 1862, il futuro famoso scienziato entrò nel Politecnico federale di Zurigo (ora Scuola tecnica superiore svizzera di Zurigo). Un anno dopo, suo padre morì; avendo ricevuto una sostanziale eredità, Georg si trasferì all'Università Humboldt di Berlino, dove iniziò a frequentare le lezioni di famosi scienziati come Leopold Kronecker, Karl Weierstrass ed Ernst Kummer. Trascorse l'estate del 1866 presso l'Università di Göttingen, allora e ora, un centro molto importante del pensiero matematico. Nel 1867, l'Università di Berlino gli conferì un dottorato di ricerca per il suo lavoro sulla teoria dei numeri "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

Scienziato e ricercatore

Dopo un breve periodo come insegnante alla Berlin Girls' School, Kantor ha preso posto all'Università Martin Luther della Gallia, dove avrebbe trascorso tutta la sua carriera. Ha ricevuto l'abilitazione necessaria per l'insegnamento nella sua tesi di teoria dei numeri.

Nel 1874 Kantor sposò Vally Guttmann. Ebbero 6 figli, l'ultimo dei quali nacque nel 1886. Nonostante un modesto stipendio accademico, Kantor è stato in grado di fornire alla sua famiglia una vita confortevole grazie all'eredità che ha ricevuto da suo padre. Durante la sua luna di miele sulle montagne dell'Harz, Kantor trascorse molto tempo in conversazioni matematiche con Richard Dedekind, con il quale aveva stretto amicizia due anni prima mentre era in vacanza in Svizzera.

Kantor fu promosso a Visiting Professor nel 1872 e divenne professore ordinario nel 1879. Ricevere questo titolo a 34 anni è stato un grande risultato, ma Kantor sognava una posizione in un'università più prestigiosa, ad esempio Berlino, allora la principale università in Germania. Tuttavia, le sue teorie incontrano serie critiche e i sogni non si avverano. Kronecker, che dirigeva il dipartimento di matematica dell'Università di Berlino, era sempre più scontento della prospettiva di ottenere un collega come Kantor, vedendolo come un "pervertitore di giovinezza" che riempiva le teste delle giovani generazioni di matematici con i suoi idee. Inoltre, Kronecker, essendo una figura di spicco nella comunità matematica ed ex insegnante di Cantor, era fondamentalmente in disaccordo con il contenuto delle teorie di quest'ultimo. Kronecker, che ora è considerato uno dei fondatori della matematica costruttiva, non amava la teoria degli insiemi di Cantor perché sosteneva l'esistenza di insiemi che soddisfano determinate proprietà senza fornire esempi concreti di insiemi i cui elementi avrebbero effettivamente soddisfatto queste proprietà. Kantor si rese conto che la posizione di Kronecker non gli avrebbe nemmeno permesso di lasciare l'Università della Gallia.

Nel 1881, Eduard Heine, un collega di Cantor, morì, lasciando un posto vacante. L'amministrazione universitaria accettò l'offerta di Kantor di invitare Richard Dedekind, Heinrich Weber o Franz Mertenz (in quest'ordine) a questo posto, ma tutti rifiutarono. Di conseguenza, Friedrich Wangerin ha assunto, ma non è mai stato amico di Cantor.

Nel 1882 la corrispondenza scientifica con Dedekind si interruppe, probabilmente a seguito delle dimissioni di quest'ultimo dal suo incarico ad Halle. Allo stesso tempo, Kantor stabilì un'altra importante corrispondenza con Gösta Mittag-Leffler, che viveva in Svezia, e presto iniziò a pubblicare sulla sua rivista Acta mathematica. Tuttavia, nel 1885, Mittag-Leffler si allarmò per le implicazioni filosofiche e la nuova terminologia in un articolo inviatogli da Cantor per la pubblicazione. Ha chiesto a Kantor di ritirare il suo articolo mentre era ancora in fase di correzione di bozze, scrivendo che questo articolo era "circa cento anni in anticipo sui tempi". Kantor era d'accordo, ma allo stesso tempo annotava nella sua corrispondenza con un'altra persona:

In seguito a ciò, Kantor interruppe bruscamente i rapporti e la corrispondenza con Mittag-Leffler, mostrando la tendenza a percepire le critiche ben intenzionate come un profondo insulto personale.

Il primo attacco conosciuto di depressione, Kantor sperimentò nel 1884. Le critiche al suo lavoro pesavano molto sulla sua mente: ognuna delle 52 lettere che scrisse a Mattag-Leffler nel 1884 fu attaccata da Kronecker. Un estratto da una lettera mostra l'entità del danno arrecato al senso di fiducia in se stesso di Cantor:

Questa crisi emotiva lo portò a spostare il suo interesse dalla matematica alla filosofia e iniziò a tenere conferenze su di essa. Inoltre, Cantor iniziò a studiare intensamente la letteratura inglese dell'era Elisabetta; cercò di dimostrare che le commedie attribuite a Shakespeare erano in realtà scritte da Francis Bacon (vedi Question of Shakespeare's Authorship); i risultati di questo lavoro furono infine pubblicati in due prospetti, 1896 e 1897.

Poco dopo, Cantor si riprese e apportò immediatamente diverse importanti aggiunte alla sua teoria, in particolare il suo famoso argomento e teorema diagonale. Tuttavia, non sarà mai in grado di raggiungere l'alto livello che era nelle sue opere del 1874-1884. Alla fine, si rivolse a Kronecker con una proposta di pace, che accettò favorevolmente. Tuttavia, le differenze filosofiche e le difficoltà che li separavano rimasero. Per qualche tempo si è creduto che i periodici attacchi di depressione di Cantor fossero associati a un forte rifiuto del suo lavoro da parte di Kronecker. Ma mentre la sua depressione ha avuto un grande impatto sulle preoccupazioni matematiche di Cantor e sui suoi problemi con alcune persone, è improbabile che questa sia stata la causa. Al contrario, la sua diagnosi postuma di psicosi maniaco-depressiva è stata confermata come la ragione principale del suo umore imprevedibile.

Nel 1890, Kantor aiutò ad organizzare la Società Matematica Tedesca (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) e fu presidente della sua prima riunione ad Halle nel 1891; all'epoca, la sua reputazione era abbastanza forte, nonostante l'opposizione di Kronecker, da essere eletto primo presidente di questa società. Chiudendo gli occhi alla sua antipatia per Kronecker, Kantor lo invitò a fare una presentazione, ma Kronecker non poté farlo a causa della morte di sua moglie.

Oggetti che prendono il nome da Cantor

• L'insieme di Cantor è un insieme continuo di misura zero su un intervallo;
• Funzione di Cantor (scala di Cantor);
• La funzione di numerazione di Cantor è una mappatura del grado cartesiano dell'insieme dei numeri naturali in se stesso;
• Teorema di Cantor (vedi anche Teorema di Cantor (valori)) che la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme è strettamente maggiore della cardinalità dell'insieme stesso;
• Il teorema di Cantor - Bernstein sull'uguale cardinalità degli insiemi A e B purché A sia uguale al sottoinsieme B e B sia uguale al sottoinsieme A;
• Il teorema di Cantor - Heine sulla continuità uniforme di una funzione continua su un insieme compatto;
• Teorema di Cantor - Bendixson
• La Cantor Medal, un premio matematico assegnato dalla Società Matematica Tedesca;
• così come altri oggetti matematici.

Saggi

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Origine e formazione

In filosofia, la matematica ha analizzato il problema dell'infinito. Distinguendo tra due tipi di infinito matematico - improprio (potenziale) e proprio (effettivo, inteso come un tutto completo), Georg Cantor ha insistito sulla legittimità di operare in matematica con il concetto di effettivamente infinito. Seguace del platonismo, vide nell'attuale infinito matematico una delle forme dell'attuale infinito in generale, acquisendo la più alta completezza nell'essere divino assoluto. Alcuni teologi cristiani, principalmente rappresentanti del neotomismo, videro negli scritti di Cantor una sfida all'unicità dell'assoluta infinità della natura di Dio, un tempo equiparando la teoria dei numeri transfiniti e il panteismo.

Nella questione dell'esistenza in matematica, ha distinto tra intrasoggettiva (immanente, cioè consistenza logica interna) e trans-soggettiva (transitoria, cioè corrispondenza ai processi del mondo esterno), realtà degli oggetti matematici. Contrariamente a Kronecker, che rifiutava tutti i metodi per introdurre nuovi oggetti matematici non legati alla costruzione o al calcolo, Georg Cantor consentiva la costruzione di qualsiasi sistema matematico astratto logicamente coerente.

Le obiezioni filosofiche alle idee di Cantor furono espresse da Ludwig Wittgenstein.

L'anno scorso

Nel 1897, il lavoro scientifico di Kantor fu interrotto a causa di una grave malattia. Gli episodi di depressione, che si ripetono periodicamente dal 1884 alla fine dei suoi giorni, per qualche tempo incolparono i contemporanei di Kantor di assumere una posizione troppo aggressiva; si ritiene che questi attacchi siano una manifestazione di disturbo bipolare e psicosi maniaco-depressiva.

Era sposato con Wally Gutman, dal quale ebbe sei figli, l'ultimo dei quali nacque nel 1886. Nonostante un modesto stipendio accademico, il matematico riuscì a garantire una vita confortevole alla famiglia grazie all'eredità ricevuta dal padre.

Morì il 6 gennaio 1918 a Halle (Saale).

Il suo nome era un cratere da impatto sul lato opposto della luna.

(Cantor) Georg Ferdinand Ludwig Philipp - matematico tedesco, creatore della teoria degli insiemi; genere. 03.03.1845, San Pietroburgo, d. 01/06/1918, Halle (Germania).

Il padre di K. era luterano, la madre cattolica; K. stesso fu battezzato nella Chiesa luterana. Ha studiato al Politecnico di Zurigo, stivali di pelliccia alta a Berlino e Gottinga. Nel 1879-1913 occupò il dipartimento di matematica presso l'un-quelle di Halle. Nel 1891 fondò l'Unione tedesca. matematici e ne divenne presidente.

K. introdusse in matematica il concetto di infinito attuale, grazie al quale divenne possibile parlare di insiemi infiniti, come la totalità di tutti i numeri naturali o la totalità di tutti i punti di un segmento. Poiché certi paradossi sono associati a insiemi infiniti (per esempio, una parte di un insieme infinito può essere uguale a un insieme intero), pl. gli scienziati, a cominciare da Aristotele, si rifiutarono di riconoscere l'insieme infinito come reale esistente. Secondo loro, si può parlare solo di infinito potenziale: quindi, l'infinito dei numeri naturali significa solo che a ogni numero può essere aggiunto uno, e così via. ottenere quanto segue. Il continuum (ad esempio un segmento) è una divisione. un concetto che non è riducibile a un insieme di punti. K., tuttavia, ha confutato il DOS. obiezioni all'infinito attuale, e i suoi risultati giocarono un ruolo importante nella definizione logicamente rigorosa dei concetti di continuo e numero reale.

K. e molti altri. studiosi successivi hanno visto nella teoria degli insiemi uno strumento per costruire e sostanziare tutta la matematica, grazie al quale le sue sezioni sono collegate in un unico insieme. Tuttavia, nonostante i tanti. importanti risultati in questa direzione, nella formulazione originale della teoria degli insiemi K. sono state scoperte contraddizioni (anche dallo stesso K.), e la questione di come questa teoria potrebbe essere costruita in modo coerente non è stata ancora risolta. Tuttavia, ha svolto un ruolo importante nello studio logico dei fondamenti della matematica e nella loro filosofia. comprensione.

K. era convinto che le sue idee fossero importanti per la teologia, tk. fornire ulteriori argomenti a favore della fede in Dio, che rappresenta la più alta infinità attuale. Uno dei suoi predecessori K. considerava Agostino, il quale sosteneva che Dio conosce l'intero insieme di numeri come un tutto completo. Nel tentativo di trovare argomenti a favore del suo concetto nel precedente divino. tradizione, K. ha studiato le opinioni di Tommaso d'Aquino e Suarez, ha condotto un'intensa corrispondenza con un certo numero di cattolici. teologi del loro tempo (K. Gutberlet, T. Esser, I. Yayler, T. Pesch, Card. IB Franzelin), i quali, allo stesso tempo, essendo di posizione aristotelico-tomista, rifiutavano la presenza dell'infinito attuale nella mondo creato.

Cit.: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932; Transazioni sulla teoria degli insiemi. M., 1985.

Lett.: Purkert V., Ilgauds H.I. Giorgio Cantore. Kharkov, 1991; Florensky P.A. Sui simboli dell'infinito (Saggio sulle idee di G. Cantor) // He. Opere in 4 volumi M., 1994–99, vol.1, p. 79-128; V. N. Katasonov Combattere l'infinito: aspetti filosofici e religiosi della genesi della teoria degli insiemi di G. Cantor. M., 1999; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig, 1967; Dauben J.W. Georg Cantor: la sua matematica e filosofia dell'infinito. Cambridge (Mass.) - L., 1979.

• - Georg è il creatore dei fondamenti della teoria degli insiemi, la teoria dei numeri reali e l'autore di molti meravigliosi e fondamentali teoremi dell'analisi matematica: ஐ "Ma hai sempre avuto uno svantaggio: non vedi cosa ...

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Georg Cantor: una breve biografia

Nato a San Pietroburgo il 03.03.1845. Suo padre era una religione protestante danese Georg-Waldemar Kantor, che era coinvolto nel commercio, anche in borsa. Sua madre, Maria Boehm, era cattolica e proveniva da una famiglia di illustri musicisti. Quando il padre di Georg si ammalò nel 1856, la famiglia, in cerca di un clima più mite, si trasferì prima a Wiesbaden e poi a Francoforte. Il talento matematico del ragazzo si è manifestato anche prima del suo 15° compleanno mentre studiava in scuole private e ginnasi a Darmstadt e Wiesbaden. Alla fine, Georg Cantor convinse suo padre della sua ferma intenzione di diventare un matematico, non un ingegnere.

Dopo un breve studio all'Università di Zurigo nel 1863, Kantor si trasferì all'Università di Berlino per studiare fisica, filosofia e matematica. Lì gli è stato insegnato:

• Karl Theodor Weierstrass, la cui specializzazione in analisi fu probabilmente la più influente su Georg;
• Ernst Eduard Kummer, che insegnava aritmetica superiore;
• Leopold Kronecker, un teorico dei numeri che in seguito si oppose a Cantor.

Dopo aver trascorso un semestre all'Università di Göttingen nel 1866, l'anno successivo Georg scrisse la sua tesi di dottorato intitolata "In Mathematics, the Art of Asking Questions is More Valuable than Problem Solving", su un problema che Karl Friedrich Gauss lasciò irrisolto nelle sue Disquisitiones Aritmetica (1801) ... Dopo aver brevemente insegnato alla Berlin Girls' School, Kantor iniziò a lavorare all'Università di Halle, dove rimase fino alla fine della sua vita, prima come insegnante, dal 1872 come assistente professore e dal 1879 come professore.

Ricerca

All'inizio di una serie di 10 articoli dal 1869 al 1873, Georg Cantor prese in considerazione la teoria dei numeri. Il lavoro rifletteva la sua passione per la materia, i suoi studi su Gauss e l'influenza di Kronecker. Su suggerimento di Heinrich Eduard Heine, collega di Cantor a Halle, che ne riconobbe il talento matematico, si rivolse alla teoria delle serie trigonometriche, nella quale espanse il concetto di numeri reali.

Partendo dal lavoro sulla funzione di una variabile complessa del matematico tedesco Bernhard Riemann nel 1854, nel 1870 Cantor dimostrò che tale funzione può essere rappresentata solo in un modo: le serie trigonometriche. La considerazione di un insieme di numeri (punti) che non contraddicesse tale visione lo portò, dapprima, nel 1872 alla definizione in termini di numeri razionali (frazioni di interi) e poi all'inizio del lavoro sull'opera di tutta la sua vita , teoria degli insiemi e concetto di numeri transfiniti.

Insiemistica

Georg Cantor, la cui teoria degli insiemi è nata in corrispondenza con il matematico dell'Istituto tecnico di Braunschweig, Richard Dedekind, è amico di lui fin dall'infanzia. Sono giunti alla conclusione che gli insiemi, finiti o infiniti, sono un insieme di elementi (ad esempio numeri, (0, ± 1, ± 2...)) che hanno una certa proprietà, pur mantenendo la loro individualità. Ma quando Georg Cantor ha usato una corrispondenza biunivoca per studiare le loro caratteristiche (ad esempio, da (A, B, C) a (1, 2, 3)), si è reso conto rapidamente che differiscono nel grado di appartenenza, anche se fossero insiemi infiniti, cioè insiemi, di cui una parte o un sottoinsieme include tanti oggetti quanti ne contiene. Il suo metodo diede presto risultati sorprendenti.

Nel 1873, Georg Cantor (matematico) mostrò che i numeri razionali, sebbene infiniti, sono numerabili perché possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (cioè 1, 2, 3, ecc.). Dimostrò che l'insieme dei numeri reali, costituito da irrazionale e razionale, è infinito e non numerabile. Più paradossalmente, Cantor dimostrò che l'insieme di tutti i numeri algebrici contiene tanti elementi quanti sono gli interi, e che i numeri trascendenti non algebrici, che sono un sottoinsieme dei numeri irrazionali, non sono numerabili e, quindi, il loro numero è maggiore di interi. , e dovrebbe essere considerato come infinito.

Avversari e sostenitori

Ma il lavoro di Cantor, in cui ha presentato per la prima volta questi risultati, non è stato pubblicato sulla rivista Krell, poiché uno dei revisori, Kronecker, è stato opposto con veemenza. Ma dopo l'intervento di Dedekind, fu pubblicato nel 1874 con il titolo Sulle proprietà caratteristiche di tutti i numeri algebrici reali.

Scienza e vita personale

Nello stesso anno, mentre era in luna di miele con sua moglie Wally, Gutman incontrò Dedekind a Kantor, che parlò favorevolmente della sua nuova teoria. Lo stipendio di George era esiguo, ma con i soldi del padre, morto nel 1863, costruì una casa per la moglie ei cinque figli. Molti dei suoi lavori sono stati pubblicati in Svezia sulla nuova rivista Acta Mathematica, edita e fondata da Gesta Mittag-Leffler, che fu tra i primi a riconoscere il talento del matematico tedesco.

Connessione con la metafisica

La teoria di Cantor divenne un argomento di ricerca completamente nuovo riguardante la matematica dell'infinito (ad esempio, serie 1, 2, 3, ecc. e insiemi più complessi), che dipendeva in gran parte dalla corrispondenza biunivoca. Lo sviluppo di Cantor di nuovi metodi per porre questioni riguardanti la continuità e l'infinito ha conferito alla sua ricerca un carattere ambiguo.

Quando sostenne che i numeri infiniti esistono realmente, si rivolse alla filosofia antica e medievale in relazione all'infinito attuale e potenziale, nonché alla prima educazione religiosa che gli diedero i suoi genitori. Nel 1883, nel suo libro Fundamentals of General Set Theory, Cantor combinò il suo concetto con la metafisica di Platone.

Kronecker, che sosteneva che solo i numeri interi "esistono" ("Dio ha creato i numeri interi, il resto è opera dell'uomo"), per molti anni ha respinto con fervore il suo ragionamento e ha ostacolato la sua nomina all'Università di Berlino.

Numeri transfiniti

Nel 1895-97. Georg Cantor formò pienamente il suo concetto di continuità e infinito, inclusi i numeri ordinali e cardinali infiniti, nella sua opera più famosa, pubblicata con il titolo "Contributo alla creazione della teoria dei numeri transfiniti" (1915). Questo saggio contiene il suo concetto, al quale è stato condotto dalla dimostrazione che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con uno dei suoi sottoinsiemi.

Per numero cardinale transfinito più piccolo intendeva la cardinalità di qualsiasi insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Cantor l'ha chiamato aleph-zero. I grandi insiemi transfiniti sono indicati, ecc. Inoltre, sviluppò l'aritmetica dei numeri transfiniti, che era analoga all'aritmetica finita. Così, ha arricchito il concetto di infinito.

L'opposizione che ha dovuto affrontare e il tempo impiegato perché le sue idee fossero pienamente accettate sono dovuti alla difficoltà di rivalutare l'antica questione di cosa sia un numero. Cantor dimostrò che un insieme di punti su una linea ha un potere maggiore di aleph-zero. Ciò ha portato al noto problema dell'ipotesi del continuo: non ci sono cardinali tra l'aleph zero e la cardinalità dei punti sulla retta. Questo problema ha suscitato grande interesse nella prima e nella seconda metà del XX secolo ed è stato studiato da molti matematici, tra cui Kurt Gödel e Paul Cohen.

Depressione

Dal 1884, la biografia di Georg Cantor fu oscurata dall'inizio della sua malattia mentale, ma continuò a lavorare attivamente. Nel 1897 contribuì a tenere il primo congresso internazionale di matematica a Zurigo. In parte perché era osteggiato da Kronecker, spesso simpatizzava con giovani aspiranti matematici e cercava di trovare un modo per liberarli dall'oppressione degli insegnanti che si sentivano minacciati da nuove idee.

Confessione

All'inizio del secolo, il suo lavoro fu pienamente riconosciuto come il fondamento della teoria delle funzioni, dell'analisi e della topologia. Inoltre, i libri di Cantor Georg servirono da impulso per l'ulteriore sviluppo delle scuole intuizionistiche e formaliste dei fondamenti logici della matematica. Questo ha cambiato significativamente il sistema di insegnamento ed è spesso associato alla "nuova matematica".

Nel 1911, Cantor fu tra gli invitati a celebrare il 500° anniversario dell'Università di St Andrews in Scozia. Vi si recava sperando di incontrare il quale, nella sua opera di recente pubblicazione Principia Mathematica, faceva più volte riferimento al matematico tedesco, ma ciò non avvenne. L'università ha conferito a Kantor una laurea honoris causa, ma a causa di una malattia non è stato in grado di accettare il premio di persona.

Kantor si ritirò nel 1913, visse in povertà e soffriva la fame durante la prima guerra mondiale. I festeggiamenti per il suo 70° compleanno furono annullati nel 1915 a causa della guerra, ma a casa sua ebbe luogo una piccola cerimonia. Morì il 06.01.1918 ad Halle, in un ospedale psichiatrico, dove trascorse gli ultimi anni della sua vita.

Georg Cantor: biografia. Una famiglia

Il 9 agosto 1874, il matematico tedesco sposò Wally Gutmann. La coppia aveva 4 figli e 2 figlie. L'ultimo figlio nacque nel 1886 in una nuova casa acquistata da Kantor. L'eredità di suo padre lo ha aiutato a mantenere la famiglia. Le condizioni di salute di Kantor sono state fortemente colpite dalla morte del figlio più giovane nel 1899 - da allora non ha lasciato la depressione.