Nato il 3 marzo 1845 a San Pietroburgo e lì cresciuto fino all'età di 11 anni. Il padre della famiglia era membro della Borsa di San Pietroburgo. Quando si ammalò, la famiglia, sperando in un clima più mite, si trasferì nel 1856 in Germania: prima a Wiesbaden e poi a Francoforte. Nel 1860 Georg si diplomò con lode alla vera scuola di Darmstadt; gli insegnanti notarono le sue eccezionali capacità in matematica, in particolare in trigonometria. Ha continuato la sua formazione presso il Politecnico federale di Zurigo. Un anno dopo, dopo la morte di suo padre, Georg ricevette un'eredità e si trasferì all'Università di Berlino. Lì frequenta le lezioni di Kronecker, Weierstrass e Kummer. Cantor trascorse l'estate del 1866 all'Università di Gottinga, un importante centro di pensiero matematico. Nel 1967 ha conseguito il dottorato a Berlino per il suo lavoro sulla teoria dei numeri “De aequationibus secundi gradus indeterminatis”.

Dopo un breve periodo come insegnante in una scuola femminile di Berlino, Cantor ottenne un posto presso l'Università Martin Luther di Halle, dove avrebbe trascorso tutta la sua carriera. Nel 1872 divenne professore associato e poi, durante le vacanze, strinse amicizia con Richard Dedekind. A 34 anni Kantor divenne professore di matematica. Nel 1879-84 espone sistematicamente la sua dottrina dell'infinito; “ha introdotto i concetti di punto limite, di insieme derivato, ha costruito un esempio di insieme perfetto, ha sviluppato una delle teorie dei numeri irrazionali e ha formulato uno degli assiomi di continuità”. Nonostante una carriera di così successo, sogna una posizione in un'università più prestigiosa, ad esempio Berlino. Tuttavia, i sogni non si realizzano: molti contemporanei, tra cui Kronecker, che oggi è considerato uno dei fondatori della matematica costruttiva, sono ostili alla teoria degli insiemi di Cantor, poiché afferma l'esistenza di insiemi che soddisfano determinate proprietà - senza fornirne di specifiche esempi di insiemi i cui elementi soddisferebbero effettivamente queste proprietà.

Nel 1984, Cantor attraversò un periodo di profonda depressione e abbandonò temporaneamente la matematica, spostando i suoi interessi verso la filosofia. Poi torna al lavoro. Nel 1897 interruppe il lavoro scientifico. Kantor morì ad Halle il 6 gennaio 1918.

Uno dei problemi urgenti del 19° secolo era il problema della divisione infinita dei segmenti e dell'esistenza di un punto che apparteneva a tutti questi segmenti contraenti. Questo problema richiedeva il concetto di numero reale.

La costruzione di Cantor della teoria dei numeri reali fu pubblicata nel 1872, quasi contemporaneamente alla teoria di Weierstrass e Dedekind. Nella sua costruzione Cantor parte dalla presenza dei numeri razionali. Successivamente introduce le successioni fondamentali di Cauchy e assegna loro un limite formale. Successivamente, considera la suddivisione di tutte le sequenze in classi di equivalenza. Le successioni appartengono alla stessa classe se e solo se la loro differenza tende a zero. Inoltre, i limiti formali sono uguali tra loro se hanno due sequenze fondamentali equivalenti tra loro o. La relazione d'ordine è definita come segue.

Pertanto, le classi di equivalenza descrivono alcuni numeri reali. Chiamiamoli numeri reali del primo ordine. Se proviamo a formare un numero reale di ordine superiore costruendo successioni fondamentali di Cauchy, otterremo nuovamente un insieme di numeri reali del primo ordine. In altre parole, l’insieme dei numeri reali è chiuso.

Cantor attira l'attenzione sul fatto che la definizione di numero reale contiene in realtà un insieme infinito di numeri razionali: "... la definizione di qualsiasi numero irrazionale include sempre un certo insieme rigorosamente definito della prima potenza dei numeri razionali."

Si noti che la costruzione di Cantor può essere generalizzata ad altri oggetti, cosa che fu fatta da Cantor e dai suoi seguaci, “lo sviluppo delle teorie del numero reale era un prerequisito abbastanza essenziale per la creazione della teoria degli insiemi”. Ad esempio, basandosi sulla costruzione del numero reale, Cantor sviluppò successivamente la sua teoria dei numeri transfiniti.

Inoltre, Cantor introdusse il concetto di potenza degli insiemi e dimostrò la non equivalenza dei numeri irrazionali e razionali.

La teoria dei numeri transfiniti di Cantor fu inizialmente percepita come così illogica, paradossale e persino scioccante da incontrare aspre critiche da parte dei matematici contemporanei, in particolare Leopold Kronecker e Henri Poincaré; più tardi - Hermann Weyl e Leutzen Brouwer, e Ludwig Wittgenstein espressero obiezioni filosofiche (vedi Controversie sulla teoria di Cantor). Alcuni teologi cristiani (in particolare rappresentanti del neo-tomismo) videro nell'opera di Cantor una sfida all'unicità dell'infinità assoluta della natura di Dio, un tempo equiparando la teoria dei numeri transfiniti e il panteismo. La critica alle sue opere fu talvolta molto aggressiva: ad esempio, Poincaré definì le sue idee una “grave malattia” che colpiva la scienza matematica; e le dichiarazioni pubbliche di Kronecker e gli attacchi personali a Cantor a volte includevano epiteti come “ciarlatano scientifico”, “apostata” e “corruttore della gioventù”. Decenni dopo la morte di Cantor, Wittgenstein notò con amarezza che la matematica era "calpestata avanti e indietro dagli idiomi distruttivi della teoria degli insiemi", che egli liquidò come "buffoneria", "ridicola" ed "erronea". Periodici attacchi di depressione dal 1884 fino alla fine della vita di Cantor furono per qualche tempo attribuiti ai suoi contemporanei per aver assunto una posizione eccessivamente aggressiva, ma ora si ritiene che questi attacchi possano essere stati una manifestazione del disturbo bipolare.

Le dure critiche furono contrastate da fama e consensi in tutto il mondo. Nel 1904, la Royal Society di Londra assegnò a Cantor la Medaglia Silvestro, la più alta onorificenza che potesse conferire. Lo stesso Cantor riteneva che la teoria dei numeri transfiniti gli fosse stata comunicata dall'alto. Un tempo, difendendola dalle critiche, David Gilbert dichiarò coraggiosamente: "Nessuno ci espellerà dal paradiso fondato da Cantor".

Biografia

Primi anni e studi

Kantor nacque nel 1845 nella colonia mercantile occidentale di San Pietroburgo e lì crebbe fino all'età di 11 anni. Georg era il maggiore di sei figli. Suonava magistralmente il violino, ereditando importanti talenti artistici e musicali dai suoi genitori. Il padre della famiglia era membro della Borsa di San Pietroburgo. Quando si ammalò, la famiglia, sperando in un clima più mite, si trasferì nel 1856 in Germania: prima a Wiesbaden e poi a Francoforte. Nel 1860 Georg si diplomò con lode alla vera scuola di Darmstadt; gli insegnanti notarono le sue eccezionali capacità in matematica, in particolare in trigonometria. Nel 1862, il futuro famoso scienziato entrò al Politecnico federale di Zurigo (oggi ETH di Zurigo). Un anno dopo suo padre morì; Dopo aver ricevuto una sostanziale eredità, Georg si trasferì all'Università Humboldt di Berlino, dove iniziò a frequentare le lezioni di scienziati famosi come Leopold Kronecker, Karl Weierstrass ed Ernst Kummer. Trascorse l'estate del 1866 all'Università di Gottinga, allora, e tuttora, un importantissimo centro di pensiero matematico. Nel 1867 l'Università di Berlino gli conferì il titolo di dottore in filosofia per il suo lavoro sulla teoria dei numeri "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

Scienziato e ricercatore

Dopo un breve periodo come insegnante in una scuola femminile di Berlino, Cantor ottenne un posto presso l'Università Martin Luther di Halle, dove avrebbe trascorso tutta la sua carriera. Ha conseguito l'abilitazione necessaria all'insegnamento per la sua tesi sulla teoria dei numeri.

Nel 1874, Cantor sposò Vally Guttmann. Ebbero 6 figli, l'ultimo dei quali nacque nel 1886. Nonostante il suo modesto stipendio accademico, Kantor riuscì a garantire una vita confortevole alla sua famiglia grazie all'eredità ricevuta da suo padre. Continuando la sua luna di miele sui monti Harz, Cantor trascorse molto tempo in conversazioni matematiche con Richard Dedekind, con il quale aveva stretto amicizia due anni prima durante una vacanza in Svizzera.

Cantor ricevette il titolo di Professore Esterno nel 1872, e nel 1879 divenne Professore Ordinario. Ricevere questo titolo all'età di 34 anni fu un grande risultato, ma Kantor sognava una posizione in un'università più prestigiosa, come Berlino, allora la principale università della Germania. Tuttavia, le sue teorie incontrano serie critiche e i suoi sogni non si realizzano. Kronecker, che dirigeva il dipartimento di matematica dell'Università di Berlino, divenne sempre più indifferente alla prospettiva di avere un collega come Cantor, percependolo come un “corruttore della gioventù” che riempiva con le sue idee le teste di una generazione più giovane di matematici. Inoltre, Kronecker, essendo una figura di spicco nella comunità matematica ed ex insegnante di Cantor, era fondamentalmente in disaccordo con il contenuto delle teorie di quest'ultimo. Kronecker, oggi considerato uno dei fondatori della matematica costruttiva, era ostile alla teoria degli insiemi di Cantor perché affermava l'esistenza di insiemi che soddisfacevano determinate proprietà senza fornire esempi concreti di insiemi i cui elementi effettivamente soddisfacevano quelle proprietà. Cantor si rese conto che la posizione di Kronecker non gli avrebbe nemmeno permesso di lasciare l'Università di Galle.

Nel 1881 Eduard Heine, collega di Cantor, morì, lasciando un posto vacante. La direzione dell'università accettò la proposta di Cantor di invitare a questo posto Richard Dedekind, Heinrich Weber o Franz Mertenz (in quest'ordine), ma tutti rifiutarono. Alla fine Friedrich Wangerin assunse l'incarico, ma non fu mai amico di Kantor.

Nel 1882 la corrispondenza scientifica con Dedekind si interruppe, probabilmente a causa del rifiuto di quest’ultimo dal suo incarico ad Halle. Allo stesso tempo, Cantor stabilì un'altra importante corrispondenza con Gösta Mittag-Leffler, che viveva in Svezia, e presto iniziò a pubblicare sulla sua rivista Acta mathematica. Tuttavia, nel 1885, Mittag-Leffler si allarmò per le implicazioni filosofiche e la nuova terminologia in un articolo inviatogli da Cantor per la pubblicazione. Chiese a Kantor di ritirare il suo articolo mentre era ancora in fase di correzione, scrivendo che l'articolo era "circa cento anni in anticipo sui tempi". Kantor fu d'accordo, ma notò nella corrispondenza con un'altra persona:

In seguito, Cantor interruppe bruscamente la sua relazione e la sua corrispondenza con Mittag-Leffler, mostrando la tendenza a prendere le critiche ben intenzionate come un profondo insulto personale.

Cantor sperimentò il suo primo attacco di depressione nel 1884. Le critiche al suo lavoro gli pesavano molto: ognuna delle 52 lettere che scrisse a Mattag-Leffler nel 1884 fu attaccata da Kronecker. Un estratto da una lettera mostra l'entità del danno arrecato al senso di fiducia in se stesso di Cantor:

Questa crisi emotiva lo indusse a spostare il suo interesse dalla matematica alla filosofia e a iniziare a tenere conferenze sull'argomento. Inoltre, Cantor iniziò a studiare intensamente la letteratura inglese dell'era elisabettiana; cercò di dimostrare che le opere attribuite a Shakespeare furono effettivamente scritte da Francis Bacon (vedi Shakespeare's Authorship Question); i risultati di questo lavoro furono infine pubblicati in due prospetti nel 1896 e nel 1897.

Subito dopo, Cantor si riprese e apportò immediatamente diverse importanti aggiunte alla sua teoria, in particolare il famoso argomento e teorema della diagonale. Tuttavia, non sarà mai in grado di raggiungere l'alto livello raggiunto nelle sue opere del 1874-1884. Alla fine si rivolse a Kronecker con una proposta di pace, che accettò favorevolmente. Tuttavia, le differenze filosofiche e le difficoltà che li separavano rimanevano. Per qualche tempo si credette che i periodici attacchi di depressione di Cantor fossero associati al severo rifiuto del suo lavoro da parte di Kronecker. Ma sebbene la sua depressione abbia avuto un impatto notevole sulle ansie matematiche di Cantor e sui suoi problemi con certe persone, è improbabile che questa sia stata tutta la causa. Al contrario, la ragione principale del suo umore imprevedibile è stata stabilita nella sua diagnosi postuma di psicosi maniaco-depressiva.

Nel 1890, Cantor contribuì all'organizzazione della Società matematica tedesca (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) e fu presidente della sua prima riunione ad Halle nel 1891; a quel tempo la sua reputazione era abbastanza forte, anche di fronte all'opposizione di Kronecker, da permettergli di essere scelto come primo presidente di questa società. Chiudendo un occhio sulla sua ostilità nei confronti di Kronecker, Kantor lo invitò a tenere un discorso, ma Kronecker non poté farlo a causa della morte della moglie.

Oggetti che prendono il nome da Cantor

• Un insieme di Cantor è un insieme continuo di misura zero su un segmento;
• Funzione Cantor (scala di Cantor);
• La funzione di numerazione di Cantor è una mappatura del potere cartesiano di un insieme di numeri naturali in se stesso;
• Teorema di Cantor (vedi anche Teorema di Cantor (significati)) secondo cui la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme è strettamente maggiore della cardinalità dell'insieme stesso;
• Il teorema di Cantor-Bernstein sull'equivalenza degli insiemi A e B, a condizione che A sia uguale al sottoinsieme B e B sia uguale al sottoinsieme A;
• Teorema di Cantor-Heine sulla continuità uniforme di una funzione continua su un insieme compatto;
• Teorema di Cantor-Bendixson
• La Medaglia Cantor è un premio matematico assegnato dalla Società Matematica Tedesca;
• così come altri oggetti matematici.

Saggi

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E.Zermelo. B., 1932.

Origine e formazione

Nella filosofia della matematica analizzò il problema dell'infinito. Distinguendo due tipi di infinito matematico: improprio (potenziale) e proprio (attuale, inteso come un tutto completo), Georg Cantor ha insistito sulla legalità di operare in matematica con il concetto di infinito attuale. Sostenitore del platonismo, vedeva nell'attuale infinito matematico una delle forme dell'attuale infinito in generale, che trova la sua massima completezza nell'assoluta esistenza divina. Alcuni teologi cristiani, principalmente rappresentanti del neotomismo, vedevano nelle opere di Cantor una sfida all'unicità dell'infinità assoluta della natura di Dio, un tempo equiparando la teoria dei numeri transfiniti e il panteismo.

Sulla questione dell'esistenza in matematica, ha distinto tra la realtà intrasoggettiva (immanente, cioè coerenza logica interna) e transsoggettiva (transitoria, cioè corrispondenza ai processi del mondo esterno) degli oggetti matematici. In contrasto con Kronecker, che rifiutava tutti i metodi per introdurre nuovi oggetti matematici non legati alla costruzione o al calcolo, Georg Cantor consentiva la costruzione di qualsiasi sistema matematico astratto logicamente coerente.

Obiezioni filosofiche alle idee di Cantor furono espresse da Ludwig Wittgenstein.

L'anno scorso

Nel 1897 il lavoro scientifico di Kantor fu interrotto a causa di una grave malattia. Attacchi di depressione periodicamente ricorrenti dal 1884 fino alla fine dei suoi giorni accusarono per qualche tempo i contemporanei di Cantor di assumere una posizione eccessivamente aggressiva: si ritiene che questi attacchi siano una manifestazione di disturbo bipolare e psicosi maniaco-depressiva;

Era sposato con Valli Gutman, dalla quale ebbe sei figli, l'ultimo dei quali nacque nel 1886. Nonostante il suo modesto stipendio accademico, il matematico riuscì a garantire una vita agiata alla sua famiglia grazie all'eredità ricevuta da suo padre.

Morì il 6 gennaio 1918 a Halle (Saale).

Il suo nome era un cratere da impatto sul lato nascosto della Luna.

(Cantore) Georg Ferdinand Ludwig Philipp - matematico tedesco, creatore della teoria degli insiemi; genere. 03.03.1845, San Pietroburgo, m. 06.01.1918, Halle (Germania).

Il padre di K. era luterano, la madre cattolica; Lo stesso K. ricevette il battesimo nella Chiesa luterana. Ha studiato al Politecnico di Zurigo, alle scuole superiori di Berlino e Gottinga. Dal 1879 al 1913 occupò la cattedra di matematica all'Università di Halle. Nel 1891 fondò l'Unione tedesca. matematici e ne divenne il presidente.

K. introdusse in matematica il concetto di infinito attuale, grazie al quale divenne possibile parlare di insiemi infiniti, come l'insieme di tutti i numeri naturali o l'insieme di tutti i punti su un segmento. Poiché alcuni paradossi sono associati a insiemi infiniti (ad esempio, una parte di un insieme infinito può essere uguale all'intero insieme), plurale. Gli scienziati, a cominciare da Aristotele, si sono rifiutati di riconoscere l'esistenza reale dell'insieme infinito. Secondo loro si può parlare solo di infinito potenziale: quindi l'infinito dei numeri naturali significa solo che a ogni numero si può aggiungere uno, ecc. ottenere quanto segue. Un continuum (ad esempio un segmento) è una suddivisione. un concetto che non può essere ridotto a una raccolta di punti. K. però negò l'essenziale obiezioni all'infinito attuale, e i suoi risultati giocarono un ruolo importante nella definizione logicamente rigorosa dei concetti di continuo e numero reale.

K. e molti altri gli scienziati successivi videro nella teoria degli insiemi uno strumento per costruire e giustificare tutta la matematica, grazie al quale le sue sezioni sono collegate in un unico insieme. Tuttavia, nonostante molti risultati importanti in questa direzione; sono state scoperte contraddizioni nella formulazione originale della teoria degli insiemi di K. (anche da parte dello stesso K.), e la questione di come questa teoria potrebbe essere costruita in modo coerente non è stata ancora risolta. Tuttavia, ha svolto un ruolo importante nello studio logico dei fondamenti della matematica e nella loro filosofia. comprensione.

K. era convinto che le sue idee fossero importanti per la teologia, perché. fornire ulteriori argomenti a favore della fede in Dio, che Egli stesso rappresenta il più alto infinito attuale. K. considerava Agostino uno dei suoi predecessori, il quale sosteneva che Dio conosce l'intero insieme dei numeri nel suo insieme completo. Cercando di trovare argomenti a favore del suo concetto nella teologia precedente. tradizioni, K. studiò le opinioni di Tommaso d'Aquino e Suarez e intrattenne un'intensa corrispondenza con numerosi cattolici. teologi del loro tempo (K. Gutberlet, T. Esser, I. Yayler, T. Pesch, card. I.B. Franzelin), i quali, allo stesso tempo, essendo su posizioni aristotelico-tomiste, rifiutavano la presenza dell'infinito attuale nel creato mondo.

Opere: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E.Zermelo. B., 1932; Funziona sulla teoria degli insiemi. M., 1985.

Letteratura: Purkert V., Ilgauds H.I. Giorgio Cantor. Charkov, 1991; Florenskij P.A. A proposito dei simboli dell'infinito (Saggio sulle idee di G. Cantor) // Sam. Opere in 4 volumi M., 1994–99, vol. 1, pag. 79–128; Katasonov V.N. Combatteto con l'infinito: aspetti filosofici e religiosi della genesi della teoria degli insiemi di G. Cantor. M., 1999; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig, 1967; Dauben J.W. Georg Cantor: la sua matematica e filosofia dell'infinito. Cambridge (Massachusetts)–L., 1979.

• - Georg è il creatore dei fondamenti della teoria degli insiemi, della teoria dei numeri reali e l'autore di molti teoremi meravigliosi e fondamentali dell'analisi matematica: ஐ “Ma hai sempre avuto uno svantaggio: vedi la cosa sbagliata...

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  Dizionario esplicativo di Ushakov

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• - A"...

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Georg Cantor (foto mostrata più avanti nell'articolo) è un matematico tedesco che creò la teoria degli insiemi e introdusse il concetto di numeri transfiniti, infinitamente grandi ma diversi tra loro. Definì anche i numeri ordinali e cardinali e creò la loro aritmetica.

Georg Cantor: breve biografia

Nato a San Pietroburgo il 3 marzo 1845. Suo padre era un protestante danese, Georg-Waldemar Cantor, impegnato nel commercio, anche in borsa. Sua madre Maria Boehm era cattolica e proveniva da una famiglia di importanti musicisti. Quando nel 1856 il padre di Georg si ammalò, la famiglia si trasferì prima a Wiesbaden e poi a Francoforte in cerca di un clima più mite. Il talento matematico del ragazzo emerse ancor prima del suo quindicesimo compleanno mentre studiava in scuole e palestre private a Darmstadt e Wiesbaden. Alla fine Georg Cantor convinse suo padre della sua ferma intenzione di diventare un matematico e non un ingegnere.

Dopo un breve periodo di studio presso l'Università di Zurigo, Cantor si trasferì all'Università di Berlino nel 1863 per studiare fisica, filosofia e matematica. Lì gli fu insegnato:

• Carl Theodor Weierstrass, la cui specializzazione in analisi ebbe probabilmente la maggiore influenza su Georg;
• Ernst Eduard Kummer, che insegnò aritmetica superiore;
• Leopold Kronecker, un teorico dei numeri che in seguito si oppose a Cantor.

Dopo aver trascorso un semestre presso l'Università di Gottinga nel 1866, l'anno successivo Georg scrisse la sua tesi di dottorato dal titolo "In matematica l'arte di porre domande è più preziosa che risolvere problemi", affrontando un problema che Carl Friedrich Gauss lasciò irrisolto nelle sue Disquisitiones Aritmetiche (1801). Dopo aver insegnato brevemente in una scuola femminile di Berlino, Kantor iniziò a lavorare all'Università di Halle, dove rimase fino alla fine della sua vita, prima come insegnante, dal 1872 come assistente professore e dal 1879 come professore.

Ricerca

All'inizio di una serie di 10 articoli dal 1869 al 1873, Georg Cantor esaminò la teoria dei numeri. Il lavoro riflette il fascino per l'argomento, i suoi studi su Gauss e l'influenza di Kronecker. Su suggerimento di Heinrich Eduard Heine, collega di Cantor a Halle, che riconobbe il suo talento matematico, si dedicò alla teoria delle serie trigonometriche, nella quale ampliò il concetto di numeri reali.

Partendo dal lavoro sulla funzione di una variabile complessa del matematico tedesco Bernhard Riemann nel 1854, nel 1870 Cantor dimostrò che tale funzione può essere rappresentata in un solo modo: le serie trigonometriche. La considerazione di un insieme di numeri (punti) che non contraddicesse tale concetto lo portò, prima, nel 1872, a una definizione in termini di numeri razionali (frazioni di numeri interi) e poi all'inizio del lavoro sul lavoro della sua vita, insieme teoria e concetto di numeri transfiniti.

Insiemistica

Georg Cantor, la cui teoria degli insiemi ebbe origine in corrispondenza con Richard Dedekind, matematico dell'Istituto tecnico di Braunschweig, era suo amico fin dall'infanzia. Sono giunti alla conclusione che gli insiemi, finiti o infiniti, sono raccolte di elementi (ad esempio numeri, (0, ±1, ±2...)) che possiedono una certa proprietà pur mantenendo la loro individualità. Ma quando Georg Cantor utilizzò la corrispondenza biunivoca (ad esempio, (A, B, C) con (1, 2, 3)) per studiare le loro caratteristiche, si rese presto conto che differivano nel grado di appartenenza, anche se fossero insiemi infiniti, cioè insiemi, una parte o un sottoinsieme dei quali comprende tanti oggetti quanti esso stesso. Il suo metodo produsse presto risultati sorprendenti.

Nel 1873, Georg Cantor (un matematico) dimostrò che i numeri razionali, sebbene infiniti, sono numerabili perché possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (cioè 1, 2, 3, ecc.). Ha dimostrato che l'insieme dei numeri reali, costituito da numeri irrazionali e razionali, è infinito e non numerabile. Più paradossalmente, Cantor dimostrò che l'insieme di tutti i numeri algebrici contiene tanti elementi quanti sono l'insieme di tutti gli interi, e che i numeri trascendenti non algebrici, che sono un sottoinsieme dei numeri irrazionali, non sono numerabili e quindi sono più numerosi degli interi, e dovrebbe essere considerato infinito.

Avversari e sostenitori

Ma l'articolo di Cantor, in cui per primo presentò questi risultati, non fu pubblicato sulla rivista Krell, poiché uno dei revisori, Kronecker, era categoricamente contrario. Ma dopo l'intervento di Dedekind, fu pubblicato nel 1874 con il titolo "Sulle proprietà caratteristiche di tutti i numeri algebrici reali".

Scienza e vita personale

Nello stesso anno, mentre era in luna di miele con la moglie Valli, Gutman incontrò a Cantor Dedekind, che rispose favorevolmente alla sua nuova teoria. Lo stipendio di George era piccolo, ma con i soldi di suo padre, morto nel 1863, costruì una casa per sua moglie e cinque figli. Molti dei suoi lavori furono pubblicati in Svezia sulla nuova rivista Acta Mathematica, il cui redattore e fondatore fu Gesta Mittag-Leffler, che fu tra i primi a riconoscere il talento del matematico tedesco.

Collegamento con la metafisica

La teoria di Cantor divenne un argomento di ricerca completamente nuovo riguardante la matematica dell'infinito (come le serie 1, 2, 3, ecc., E gli insiemi più complessi), che dipendeva fortemente dalla corrispondenza biunivoca. Lo sviluppo di nuovi metodi da parte di Cantor per porre domande riguardanti la continuità e l'infinito diede alla sua ricerca un carattere controverso.

Quando sostenne che i numeri infiniti esistono realmente, si rivolse alla filosofia antica e medievale riguardo all'infinito attuale e potenziale, nonché alla prima educazione religiosa che i suoi genitori gli avevano impartito. Nel 1883, nel suo libro Fondamenti della teoria generale degli insiemi, Cantor combinò il suo concetto con la metafisica di Platone.

Kronecker, il quale sosteneva che “esistono” solo i numeri interi (“Dio ha creato i numeri interi, il resto è opera dell’uomo”), per molti anni respinse con veemenza il suo ragionamento e impedì la sua nomina all’Università di Berlino.

Numeri transfiniti

Nel 1895-97 Georg Cantor formò pienamente la sua idea di continuità e di infinito, compresi gli infiniti numeri ordinali e cardinali, nella sua opera più famosa, pubblicata come Contributo alla teoria dei numeri transfiniti (1915). Questo saggio contiene il suo concetto, al quale è stato portato dimostrando che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con uno dei suoi sottoinsiemi.

Per numero cardinale transfinito più piccolo egli intendeva la cardinalità di qualunque insieme che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Cantor lo chiamò aleph-zero. Sono indicati grandi insiemi transfiniti, ecc. Sviluppò ulteriormente l'aritmetica dei numeri transfiniti, che era simile all'aritmetica finita. Così ha arricchito il concetto di infinito.

L'opposizione che dovette affrontare e il tempo impiegato perché le sue idee venissero pienamente accettate sono dovute alla difficoltà di rivalutare l'antica questione di cosa sia il numero. Cantor dimostrò che l'insieme dei punti su una linea ha una cardinalità superiore allo zero-aleph. Ciò ha portato al noto problema dell'ipotesi del continuo: non ci sono numeri cardinali tra lo zero aleph e la cardinalità dei punti sulla linea. Questo problema suscitò grande interesse nella prima e nella seconda metà del XX secolo e fu studiato da molti matematici, tra cui Kurt Gödel e Paul Cohen.

Depressione

La biografia di Georg Cantor dal 1884 fu oscurata dall'insorgenza della malattia mentale, ma continuò a lavorare attivamente. Nel 1897 contribuì a organizzare il primo congresso matematico internazionale a Zurigo. In parte perché era osteggiato da Kronecker, spesso simpatizzava con i giovani aspiranti matematici e cercava di trovare un modo per liberarli dalle molestie da parte degli insegnanti che si sentivano minacciati dalle nuove idee.

Confessione

All'inizio del secolo il suo lavoro fu pienamente accettato come base per la teoria, l'analisi e la topologia delle funzioni. Inoltre, i libri di Cantor Georg servirono da impulso per l'ulteriore sviluppo delle scuole intuizioniste e formaliste dei fondamenti logici della matematica. Ciò ha cambiato in modo significativo il sistema di insegnamento ed è spesso associato alla "nuova matematica".

Nel 1911 Cantor fu tra gli invitati a celebrare il 500° anniversario dell'Università di St. Andrews in Scozia. Si recò lì nella speranza di incontrare il matematico tedesco, più volte citato nella sua opera recentemente pubblicata Principia Mathematica, ma ciò non accadde. L'università ha conferito a Cantor una laurea honoris causa, ma la malattia gli ha impedito di ritirare il premio di persona.

Kantor si ritirò nel 1913, visse in povertà e soffrì la fame durante la prima guerra mondiale. Le celebrazioni per il suo settantesimo compleanno nel 1915 furono annullate a causa della guerra, ma si tenne una piccola cerimonia a casa sua. Morì il 6 gennaio 1918 ad Halle, in un ospedale psichiatrico, dove trascorse gli ultimi anni della sua vita.

Georg Cantor: biografia. Famiglia

Il 9 agosto 1874 il matematico tedesco sposò Valli Gutmann. La coppia aveva 4 figli e 2 figlie. L'ultimo figlio nacque nel 1886 in una nuova casa acquistata da Cantor. L'eredità di suo padre lo ha aiutato a sostenere la sua famiglia. La salute di Cantor fu gravemente compromessa dalla morte del figlio più giovane nel 1899: da allora la depressione non lo ha lasciato.