Rappresenta numeri complessi in forma trigonometrica online. Risoluzione di problemi con numeri complessi

Numeri complessi

Immaginario e numeri complessi. Ascissa e ordinata

numero complesso. Coniugare numeri complessi.

Operazioni con numeri complessi. Geometrico

rappresentazione di numeri complessi. piano complesso.

Modulo e argomento di un numero complesso. trigonometrico

forma numerica complessa. Operazioni con complesso

numeri in forma trigonometrica. Formula Moivre.

Informazioni di base su immaginario e numeri complessi sono riportati nella sezione "Numeri immaginari e complessi". La necessità di questi numeri di un nuovo tipo è apparsa durante la risoluzione di equazioni quadratiche per il casoD< 0 (здесь Dè il discriminante dell'equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato utilità fisica, motivo per cui sono stati chiamati numeri "immaginari". Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica.

e tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

Numeri complessi si scrivono come:a+bi. Qui un e b – numeri reali , un io – unità immaginaria. e. io 2 = –1. Numero un chiamato ascissa, un b - ordinatanumero complessoa+b.Due numeri complessia+bi e a-bi chiamato coniugare numeri complessi.

Accordi principali:

1. Numero realeunpuò anche essere scritto nella formanumero complesso:un + 0 io o un - 0 io. Ad esempio, voci 5 + 0io e 5 - 0 iosignifica lo stesso numero 5 .

2. Numero complesso 0 + bichiamato puramente immaginario numero. Registrazionebisignifica uguale a 0 + bi.

3. Due numeri complessia+bi ec + disono considerati uguali sea = c e b = d. Altrimenti i numeri complessi non sono uguali.

Aggiunta. La somma dei numeri complessia+bi e c + diè detto numero complesso (a+c ) + (b+d ) io .In questo modo, quando aggiunto numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.

Questa definizione segue le regole per trattare i polinomi ordinari.

Sottrazione. La differenza tra due numeri complessia+bi(ridotto) e c + di(sottratto) è chiamato un numero complesso (corrente alternata ) + (b-d ) io .

In questo modo, quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Il prodotto di numeri complessia+bi e c + di è detto numero complesso.

(ac-bd ) + (ad+bc ) io .Questa definizione nasce da due esigenze:

1) numeri a+bi e c + didovrebbe moltiplicarsi come algebrico binomi,

2) numero ioha la proprietà principale:io 2 = – 1.

ESEMPIO ( a+bi )(a-bi) = un 2 + b 2 . Di conseguenza, opera

due numeri complessi coniugati è uguale al reale

numero positivo.

Divisione. Dividere un numero complessoa+bi (divisibile) ad un altroc + di(divisore) - significa trovare il terzo numeroe + fi(chat), che, moltiplicato per un divisorec + di, che si traduce nel dividendoa+b.

Se il divisore non è zero, la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8+io ) : (2 – 3 io) .

Soluzione Riscriviamo questo rapporto come frazione:

Moltiplicando il suo numeratore e denominatore per 2 + 3io

E dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:

Ecco il punto UNsignifica numero -3, puntoBè il numero 2, e O- zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. Per questo, scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Poi il numero complessoa+bi sarà rappresentato da un punto P con ascissa a e ordinata b (vedi fig.). Questo sistema di coordinate è chiamato piano complesso .

modulo numero complesso si dice lunghezza del vettoreOPERAZIONE, raffigurante un numero complesso sulla coordinata ( integrato) aereo. Modulo dei numeri complessia+bi indicato con | a+bi| o lettera r

Usando la calcolatrice

Per valutare un'espressione, è necessario immettere una stringa da valutare. Quando si immettono numeri, il separatore decimale è un punto. È possibile utilizzare le parentesi. Le operazioni sui numeri complessi sono la moltiplicazione (*), la divisione (/), l'addizione (+), la sottrazione (-), l'elevazione a potenza (^) e altre. Come record di numeri complessi, puoi usare la forma esponenziale e algebrica. Inserisci un'unità immaginaria io possibile senza segno di moltiplicazione, in altri casi il segno di moltiplicazione è richiesto, ad esempio, tra parentesi o tra un numero e una costante. Si possono usare anche le costanti: il numero π viene inserito come pi, l'esponente e, qualsiasi espressione nell'esponente deve essere racchiusa tra parentesi.

Esempio di stringa da calcolare: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi greco), che corrisponde all'espressione \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

La calcolatrice può utilizzare costanti, funzioni matematiche, operazioni aggiuntive ed espressioni più complesse, puoi familiarizzare con queste funzionalità nella pagina delle regole generali per l'utilizzo delle calcolatrici su questo sito.

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Notizia

07.07.2016
Aggiunta una calcolatrice per risolvere sistemi di equazioni algebriche non lineari: .

30.06.2016
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Richiama le informazioni necessarie sui numeri complessi.

Numero complessoè un'espressione della forma un + bi, dove un, b sono numeri reali e io- cosiddetto unità immaginaria, il simbolo il cui quadrato è -1, cioè io 2 = -1. Numero un chiamato parte reale, e il numero b - parte immaginaria numero complesso z.z = un + bi. Se una b= 0, quindi invece di un + 0io scrivi semplicemente un. Si può vedere che i numeri reali sono un caso speciale di numeri complessi.

Le operazioni aritmetiche sui numeri complessi sono le stesse di quelle reali: possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise tra loro. L'addizione e la sottrazione procedono secondo la regola ( un + bi) ± ( c + di) = (un ± c) + (b ± d)io e moltiplicazione - secondo la regola ( un + bi) · ( c + di) = (corrente alternata – bd) + (anno Domini + avanti Cristo)io(qui si usa proprio quello io 2 = -1). Numero = un – bi chiamato complesso coniugato a z.z = un + bi. Uguaglianza z.z · = un 2 + b 2 ti permette di capire come dividere un numero complesso per un altro numero complesso (diverso da zero):

(Per esempio, .)

I numeri complessi hanno una rappresentazione geometrica comoda e visiva: il numero z.z = un + bi può essere rappresentato come un vettore con coordinate ( un; b) sul piano cartesiano (o, che è quasi lo stesso, un punto - l'estremità del vettore con queste coordinate). In questo caso, la somma di due numeri complessi è rappresentata come la somma dei vettori corrispondenti (che possono essere trovati dalla regola del parallelogramma). Per il teorema di Pitagora, la lunghezza del vettore con coordinate ( un; b) è uguale a . Questo valore è chiamato modulo numero complesso z.z = un + bi ed è denotato da | z.z|. Viene chiamato l'angolo che questo vettore forma con la direzione positiva dell'asse x (contato in senso antiorario). discussione numero complesso z.z e indicato con Arg z.z. L'argomento non è definito univocamente, ma solo fino alla somma di un multiplo di 2 π radianti (o 360°, se conti in gradi) - dopo tutto, è chiaro che girare di un tale angolo attorno all'origine non cambierà il vettore. Ma se il vettore di length r forma un angolo φ con la direzione positiva dell'asse x, allora le sue coordinate sono uguali a ( r cos φ ; r peccato φ ). Quindi risulta notazione trigonometrica numero complesso: z.z = |z.z| (cos(Arg z.z) + io peccato (arg z.z)). Spesso è conveniente scrivere numeri complessi in questa forma, perché semplifica notevolmente i calcoli. La moltiplicazione di numeri complessi in forma trigonometrica sembra molto semplice: z.z uno · z.z 2 = |z.z 1 | · | z.z 2 | (cos(Arg z.z 1+arg z.z 2) + io peccato (arg z.z 1+arg z.z 2)) (quando si moltiplicano due numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti). Da qui segui Formule di De Moivre: z n = |z.z|n(così( n(arg z.z)) + io peccato( n(arg z.z))). Con l'aiuto di queste formule, è facile imparare come estrarre radici di qualsiasi grado da numeri complessi. ennesima radice di zè un numero così complesso w, che cosa w n = z.z. È chiaro che , E dove K può assumere qualsiasi valore dall'insieme (0, 1, ..., n- uno). Ciò significa che c'è sempre esattamente n radici n° grado da un numero complesso (sul piano si trovano ai vertici di un numero regolare n-gon).

Occupazione 12 . Numeri complessi.

12.1. Definizione di numeri complessi in forma algebrica. Confronto e rappresentazione di numeri complessi sul piano complesso. Coniugazione complessa. Addizione, moltiplicazione, divisione di numeri complessi.

12.2. Modulo, argomento di un numero complesso.

12.3. Forme trigonometriche ed esponenziali di scrittura di un numero complesso.

12.4. Elevare a potenza intera ed estrarre una radice da un numero complesso.

Definizione di numeri complessi in forma algebrica. Confronto e rappresentazione di numeri complessi sul piano complesso. Coniugazione complessa. Addizione, moltiplicazione, divisione di numeri complessi.

Un numero complesso in forma algebrica è un numero

dove
chiamato unità immaginaria e
- numeri reali:
chiamato parte reale (reale).;
- parte immaginaria numero complesso . Numeri complessi della forma
chiamato numeri puramente immaginari. L'insieme di tutti i numeri complessi è indicato dalla lettera .

Per definizione,

L'insieme di tutti i numeri reali fa parte dell'insieme
: . D'altra parte, ci sono numeri complessi che non appartengono all'insieme . Per esempio,
e
, perché
.

I numeri complessi in forma algebrica sorgono naturalmente quando si risolvono equazioni quadratiche con un discriminante negativo.

Esempio 1. risolvere l'equazione
.

Soluzione. ,

Pertanto, l'equazione quadratica data ha radici complesse

,
.

Esempio 2. Trova parti reali e immaginarie di numeri complessi

,

,
.

Di conseguenza, le parti reali e immaginarie del numero ,

Qualsiasi numero complesso
rappresentato da un vettore sul piano complesso , che rappresenta un piano con un sistema di coordinate cartesiane
. L'inizio del vettore si trova nel punto , e la fine è nel punto con le coordinate
(Figura 1.) Asse
è chiamato l'asse reale e l'asse
- l'asse immaginario del piano complesso .

I numeri complessi vengono confrontati tra loro solo tramite segni.
. . Se almeno una delle uguaglianze:
violato, quindi
. Voci di tipo
non ha senso.

Complesso per definizione numero
è chiamato complesso coniugato del numero
. In questo caso, scrivi
. È ovvio che
. Ovunque sotto, una barra sopra un numero complesso significherà coniugazione complessa.

Per esempio, .

Operazioni come addizione (sottrazione), moltiplicazione e divisione possono essere eseguite su numeri complessi.

1. Addizione di numeri complessi si fa così:

Proprietà dell'operazione di addizione:

- proprietà di commutatività;

- Proprietà associativa.

È facile vedere quell'addizione geometrica di numeri complessi
significa l'aggiunta del corrispondente a loro sul piano vettori secondo la regola del parallelogramma.

Operazione di sottrazione di numeri dal numero si fa così:

2. Moltiplicazione di numeri complessi si fa così:

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione:

- proprietà di commutatività;

- proprietà dell'associatività;

- la legge della distribuzione.

3. Divisione di numeri complessi fattibile solo quando
e si fa così:

Esempio 3. Trova
, Se .

Esempio 4. Calcolare
, Se .

z, perché
.

.(Ahia!)

È facile verificare (si propone di farlo da soli) la validità delle seguenti affermazioni:

Modulo, argomento di un numero complesso.

Modulo dei numeri complessi
(modulo denotato ) è un numero non negativo
, cioè.
.

senso geometrico - la lunghezza del vettore che rappresenta il numero sul piano complesso . L'equazione
definisce l'insieme di tutti i numeri (vettori per ) le cui estremità giacciono sulla circonferenza unitaria
.

Argomento numero complesso
(discussione denotato
) è l'angolo in radianti tra l'asse reale
e numero sul piano complesso , e è positivo se viene contato da
prima in senso antiorario e negativo se misurato dall'asse
prima senso orario.

Quindi l'argomento del numero è definito in modo ambiguo, fino al termine
, dove
. Sicuramente un argomento numerico definito all'interno di una traversata del cerchio unitario
in superficie . Di solito devi trovare
all'interno dell'intervallo
,tale valore è chiamato il valore principale dell'argomento numero e denotato
.

e
numeri può essere trovato dall'equazione
, in cui necessariamente deve essere preso in considerazione in quale quarto dell'aereo si trova la fine del vettore - punto
:

Se
(1° quarto del piano ), poi ;

Se
(2° quarto del piano ), poi;

Se
(3° quarto del piano ), poi ;

Se
(4° quarto del piano ), poi .

Infatti, il modulo e l'argomento del numero
, queste sono coordinate polari
punti
- la fine del vettore in superficie .

Esempio 5. Trova il modulo e il valore principale dell'argomento dei numeri:

Argomenti di numeri che giacciono assi
quarti di separazione 1,2,3,4 del piano complesso , si trovano immediatamente dalle rappresentazioni grafiche di questi numeri sul piano .

Forme trigonometriche ed esponenziali di scrittura di un numero complesso. Moltiplicazione e divisione di numeri complessi in notazione trigonometrica ed esponenziale.

Notazione trigonometrica numero complesso
sembra:

, (2)

dove - modulo, - argomento numero complesso . Una tale rappresentazione dei numeri complessi segue dalle uguaglianze .

Dimostrazione(esponenziale) forma di notazione di un numero complesso
sembra:

, (3)

dove - modulo, - argomento numero . La possibilità di rappresentare numeri complessi in forma esponenziale (3) deriva dalla forma trigonometrica (2) e dalla formula di Eulero:

. (4)

Questa formula è dimostrata nel corso TFKP (Teoria delle funzioni di una variabile complessa).

Esempio 6. Trova forme trigonometriche ed esponenziali di numeri complessi: dall'esempio 5.

Soluzione. Usiamo i risultati dell'Esempio 5, in cui si trovano i moduli e gli argomenti di tutti i numeri specificati.

- forma trigonometrica di scrivere un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di scrittura di un numero .

- forma trigonometrica di scrivere un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di scrittura di un numero .

Forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di scrittura di un numero .

- forma trigonometrica di scrivere un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di scrittura di un numero .

Forma trigonometrica di un numero ,

- forma trigonometrica di scrivere un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di un numero .

- forma trigonometrica di scrivere un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di scrittura di un numero .

La forma esponenziale di scrittura di numeri complessi porta alla seguente interpretazione geometrica delle operazioni di moltiplicazione e divisione di numeri complessi. Permettere
- forme esponenziali dei numeri
.

1. Quando si moltiplicano numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti.

2. Quando si divide un numero complesso per numero ottenere un numero complesso , modulo che è uguale al rapporto dei moduli , e l'argomentazione - differenze
argomenti numerici
.

Elevare a potenza intera ed estrarre una radice da un numero complesso.

Per definizione,

Quando elevato a una potenza intera numero complesso
, dovresti procedere come segue: prima trova il modulo e argomento questo numero; introdurre in forma dimostrativa
; trova
eseguendo i seguenti passaggi

Dove . (5)

Commento. Discussione
numeri
potrebbe non appartenere all'intervallo
. In questo caso, in base al valore ottenuto trovare il valore principale discussione

numeri
, aggiungendo (o sottraendo) il numero
con questo significato
, a

apparteneva all'intervallo
. Successivamente, è necessario sostituire nelle formule (5) sul .

Esempio 7. Trova e
, Se
.

1)
=
(vedi n dall'esempio 6).

2)
, dove
.
.
.

Di conseguenza, può essere sostituito da e, quindi

Dove
.

3)
, dove
.
.

Sostituiamo sul . Di conseguenza,

estrazione della radice IV grado
da un numero complesso
eseguita secondo la formula di Moivre-Laplace

§ 1. Numeri complessi: definizioni, interpretazione geometrica, operazioni in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale

Definizione di numero complesso

Uguaglianze complesse

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

Modulo e argomento di un numero complesso

Forme algebriche e trigonometriche di un numero complesso

La forma esponenziale di un numero complesso

Formule di Eulero

§ 2. Funzioni intere (polinomi) e loro proprietà fondamentali. Soluzione di equazioni algebriche sull'insieme dei numeri complessi

Definizione di un'equazione algebrica di I° grado

Proprietà fondamentali dei polinomi

Esempi di risoluzione di equazioni algebriche sull'insieme dei numeri complessi

Domande per l'autoesame

Glossario

§ 1. Numeri complessi: definizioni, interpretazione geometrica, operazioni in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale

Definizione di un numero complesso ( Formulare la definizione di numero complesso)

Un numero complesso z è un'espressione della seguente forma:

Numero complesso in forma algebrica,(1)

dove x, si Î;

- complesso coniugato numero z ;

- numero opposto numero z ;

- complesso zero ;

- questo è l'insieme dei numeri complessi.

1)z.z = 1 + ioÞ Re z.z= 1, Im z.z = 1, = 1 – io, = –1 – io ;

2)z.z = –1 + ioÞ Re z.z= –1, Im z.z = , = –1 – io, = –1 –io ;

3)z.z = 5 + 0io= 5 Þ Ri z.z= 5, Im z.z = 0, = 5 – 0io = 5, = –5 – 0io = –5

Þ se sono z.z= 0, quindi z.z = X- numero reale;

4)z.z = 0 + 3io = 3ioÞ Re z.z= 0, Im z.z = 3, = 0 – 3io = –3io , = –0 – 3io = – 3io

Þ se Ri z.z= 0, quindi z.z = io - numero immaginario puro.

Uguaglianze complesse (Formulare il significato di uguaglianza complessa)

1) ;

2) .

Un'uguaglianza complessa equivale a un sistema di due uguaglianze reali. Queste uguaglianze reali si ottengono dall'uguaglianza complessa separando le parti reale e immaginaria.

1) ;

2) .

Rappresentazione geometrica di numeri complessi ( Qual è la rappresentazione geometrica dei numeri complessi?)

Numero complesso z.z rappresentato da un punto ( X , si) sul piano complesso o sul raggio vettore di questo punto.

Cartello z.z nel secondo quadrante significa che il sistema di coordinate cartesiane verrà utilizzato come piano complesso.

Modulo e argomento di un numero complesso ( Qual è il modulo e l'argomento di un numero complesso?)

Il modulo di un numero complesso è un numero reale non negativo

.(2)

Geometricamente, il modulo di un numero complesso è la lunghezza del vettore che rappresenta il numero z.z, o il raggio polare di un punto ( X , si).

Disegna i seguenti numeri sul piano complesso e scrivili in forma trigonometrica.

1)z.z = 1 + io Þ

Þ ;

5),

cioè, per z = 0 lo sarà

, j non determinato.

Operazioni aritmetiche sui numeri complessi (Dare definizioni ed elencare le principali proprietà delle operazioni aritmetiche sui numeri complessi.)

Addizione (sottrazione) di numeri complessi

z.z 1± z.z 2 = (X 1 + io 1)±( X 2 + io 2) = (X 1± X 2) + io (si 1± si 2),(5)

cioè, quando si aggiungono (sottraggono) numeri complessi, le loro parti reali e immaginarie vengono aggiunte (sottratte).

1)(1 + io) + (2 – 3io) = 1 + io + 2 –3io = 3 – 2io ;

2)(1 + 2io) – (2 – 5io) = 1 + 2io – 2 + 5io = –1 + 7io .

Proprietà fondamentali dell'addizione

1)z.z 1 + z.z 2 = z.z 2 + z.z 1;

2)z.z 1 + z.z 2 + z.z 3 = (z.z 1 + z.z 2) + z.z 3 = z.z 1 + (z.z 2 + z.z 3);

3)z.z 1 – z.z 2 = z.z 1 + (– z.z 2);

4)z.z + (–z.z) = 0;

Moltiplicazione di numeri complessi in forma algebrica

z.z 1∙z.z 2 = (X 1 + io 1)∙(X 2 + io 2) = X 1X 2 + X 1io 2 + io 1X 2 + io 2si 1si 2 = (6)

= (X 1X 2 – si 1si 2) + io (X 1si 2 + si 1X 2),

cioè la moltiplicazione di numeri complessi in forma algebrica viene eseguita secondo la regola della moltiplicazione algebrica di un binomio per un binomio, seguita dalla sostituzione e riduzione di quelli simili in termini reali e immaginari.

1)(1 + io)∙(2 – 3io) = 2 – 3io + 2io – 3io 2 = 2 – 3io + 2io + 3 = 5 – io ;

2)(1 + 4io)∙(1 – 4io) = 1 – 42 io 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + io)2 = 22 + 4io + io 2 = 3 + 4io .

Moltiplicazione di numeri complessi forma trigonometrica

z.z 1∙z.z 2 = r 1(cos j 1 + io peccato j 1)× r 2(cos j 2 + io peccato j 2) =

= r 1r 2(cos j 1cos j 2 + io cos j 1peccato j 2 + io peccato j 1cos j 2 + io 2 peccato j 1peccato j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2-peccato j 1peccato j 2) + io(cos j 1peccato j 2+ peccato j 1cos j 2))

Il prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica, cioè quando si moltiplicano numeri complessi in forma trigonometrica, si moltiplicano i loro moduli e si sommano gli argomenti.

Proprietà fondamentali della moltiplicazione

1)z.z 1× z.z 2 = z.z 2× z.z 1 - commutatività;

2)z.z 1× z.z 2× z.z 3 = (z.z 1× z.z 2)× z.z 3 = z.z 1×( z.z 2× z.z 3) - associatività;

3)z.z 1×( z.z 2 + z.z 3) = z.z 1× z.z 2 + z.z 1× z.z 3 - distributività rispetto all'addizione;

4)z.z×0 = 0; z.z×1 = z.z ;

Divisione di numeri complessi

La divisione è l'inverso della moltiplicazione, quindi

Se z.z × z.z 2 = z.z 1 e z.z 2 ¹ 0, quindi .

Quando si esegue la divisione in forma algebrica, il numeratore e il denominatore della frazione vengono moltiplicati per il complesso coniugato del denominatore:

Divisione di numeri complessi in forma algebrica.(7)

Quando si esegue la divisione in forma trigonometrica, i moduli vengono divisi e gli argomenti vengono sottratti:

Divisione di numeri complessi in forma trigonometrica.(8)

2)
.

Elevare un numero complesso a potenza naturale

L'elevazione a una potenza naturale è più conveniente da eseguire in forma trigonometrica:

Formula Moivre,(9)

cioè, quando un numero complesso viene elevato a una potenza naturale, il suo modulo viene elevato a tale potenza e l'argomento viene moltiplicato per l'esponente.

Calcola (1 + io)10.

Osservazioni

1. Quando si eseguono operazioni di moltiplicazione e di elevazione a una potenza naturale in forma trigonometrica, è possibile ottenere valori angolari al di fuori di un giro completo. Ma possono sempre essere ridotti ad angoli o facendo cadere un numero intero di giri completi secondo le proprietà di periodicità delle funzioni e .

2. Significato è chiamato il valore principale dell'argomento di un numero complesso;

in questo caso, i valori di tutti gli angoli possibili denotano ;

è ovvio che , .

Estrarre la radice di un grado naturale da un numero complesso

Formule di Eulero(16)

in cui le funzioni trigonometriche e una variabile reale sono espresse in termini di una funzione esponenziale (esponente) con un esponente puramente immaginario.

§ 2. Funzioni intere (polinomi) e loro proprietà fondamentali. Soluzione di equazioni algebriche sull'insieme dei numeri complessi

Due polinomi dello stesso grado n sono identicamente uguali tra loro se e solo se i loro coefficienti coincidono alle stesse potenze della variabile X, questo è

Prova

w L'identità (3) vale per "xí (o "xí)

Þ è valido per ; sostituendo , otteniamo un = bn .

Annichiliamo reciprocamente i termini in (3) un e bn e dividi entrambe le parti per X :

Questa identità vale anche per " X, compreso quando X = 0

Þ supponendo X= 0, otteniamo un – 1 = bn – 1.

Mutuamente annichilirsi in (3") termini un– 1 e un n– 1 e dividi entrambe le parti per X, come risultato otteniamo

Continuando l'argomento in modo simile, lo otteniamo un – 2 = bn –2, …, un 0 = b 0.

Pertanto, è dimostrato che dall'identica uguaglianza dei polinomi 2-x segue la coincidenza dei loro coefficienti agli stessi gradi X .

L'affermazione contraria è giustamente ovvia, cioè se due polinomi hanno tutti gli stessi coefficienti, allora sono le stesse funzioni, quindi i loro valori sono gli stessi per tutti i valori dell'argomento, il che significa la loro identica uguaglianza. La proprietà 1 è dimostrata completamente. v

Quando si divide un polinomio PN (X) alla differenza ( X – X 0) il resto è uguale a PN (X 0), cioè

Teorema di Bezout,(4)

dove Dn – 1(X) - la parte intera della divisione, è un polinomio di grado ( n – 1).

Prova

w Scriviamo la formula di divisione con resto:

PN (X) = (X – X 0)∙Dn – 1(X) + UN ,

dove Dn – 1(X) - grado polinomiale ( n – 1),

UN- il resto, che è un numero dovuto al noto algoritmo per dividere un polinomio in un binomio "in colonna".

Questa uguaglianza è vera per " X, compreso quando X = X 0 Þ

PN (X 0) = (X 0 – X 0)× Dn – 1(X 0) + UN Þ

UN = PN (X 0), h.t.d. v

Corollario del teorema di Bezout. Sulla divisione di un polinomio per un binomio senza resto

Se numero X 0 è lo zero del polinomio, quindi questo polinomio è divisibile per la differenza ( X – X 0) senza resto, cioè

Þ .(5)

1), perché P 3(1)º 0

2), perché P 4(–2)º 0

3) perché P 2(–1/2)º 0

Divisione di polinomi in binomi "in una colonna":

Ogni polinomio di grado n ³ 1 ha almeno uno zero, reale o complesso

La dimostrazione di questo teorema va oltre lo scopo del nostro corso. Accettiamo quindi il teorema senza dimostrazione.

Lavoriamo su questo teorema e sul teorema di Bezout con un polinomio PN (X).

Dopo n-fold applicazione di questi teoremi, otteniamo che

dove un 0 è il coefficiente a X n in PN (X).

Corollario dal teorema fondamentale dell'algebra. Sulla scomposizione di un polinomio in fattori lineari

Qualsiasi polinomio di grado sull'insieme dei numeri complessi si decompone in n fattori lineari, cioè

Scomposizione di un polinomio in fattori lineari, (6)

dove x1, x2, ... xn sono gli zeri del polinomio.

Allo stesso tempo, se K numeri dall'insieme X 1, X 2, … xn coincidono tra loro e con il numero a, quindi nel prodotto (6) il fattore ( X- un) K. Poi il numero X= si chiama a polinomio k volte zero PN ( X) . Se una K= 1, allora viene chiamato zero polinomio nullo semplice PN ( X) .

1)P 4(X) = (X – 2)(X– 4)3Þ X 1 = 2 - zero semplice, X 2 = 4 - triplo zero;

2)P 4(X) = (X – io)4 X = io- molteplicità nulla 4.

Proprietà 4 (sul numero di radici di un'equazione algebrica)

Ogni equazione algebrica Pn(x) = 0 di grado n ha esattamente n radici sull'insieme dei numeri complessi, se ogni radice viene contata tante volte quanto la sua molteplicità.

1)X 2 – 4X+ 5 = 0 - equazione algebrica di secondo grado

Þ X 1,2 = 2 ± = 2 ± io- due radici;

2)X 3 + 1 = 0 - equazione algebrica di terzo grado

Þ X 1,2,3 = - tre radici;

3)P 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0 X 1 = 1, perché P 3(1) = 0.

Dividi il polinomio P 3(X) sul ( X – 1):

X 3	+	X 2	–	X	–	1	X – 1
X 3	–	X 2	X 2 + 2X +1
2X 2	–	X
2X 2	–	2X
X	–	1
X	–	1
0

Equazione iniziale

P 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0Û( X – 1)(X 2 + 2X+ 1) = 0 w( X – 1)(X + 1)2 = 0

Þ X 1 = 1 - radice semplice, X 2 \u003d -1 - doppia radice.

1) sono radici coniugate complesse accoppiate;

Qualsiasi polinomio con coefficienti reali si decompone in un prodotto di funzioni lineari e quadratiche con coefficienti reali.

Prova

w Let X 0 = un + bi- polinomio zero PN (X). Se tutti i coefficienti di questo polinomio sono numeri reali, allora è anche il suo zero (per proprietà 5).

Calcoliamo il prodotto di binomi :

equazione polinomiale di numeri complessi

Avuto ( X – un)2 + b 2 - trinomio quadrato con coefficienti reali.

Pertanto, qualsiasi coppia di binomi con radici coniugate complesse nella formula (6) porta a un trinomio quadrato con coefficienti reali. v

1)P 3(X) = X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X + 1);

2)P 4(X) = X 4 – X 3 + 4X 2 – 4X = X (X –1)(X 2 + 4).

Esempi di risoluzione di equazioni algebriche sull'insieme di numeri complessi ( Fornisci esempi di risoluzione di equazioni algebriche sull'insieme dei numeri complessi)

1. Equazioni algebriche di primo grado:

, è l'unica radice semplice.

2. Equazioni quadratiche:

, - ha sempre due radici (diverse o uguali).

1) .

3. Equazioni di grado a due termini:

, - ha sempre radici diverse.

Risposta: , .

4. Risolvere l'equazione cubica.

Un'equazione di terzo grado ha tre radici (reali o complesse), e ogni radice deve essere contata tante volte quanto la sua molteplicità. Poiché tutti i coefficienti di questa equazione sono numeri reali, le radici complesse dell'equazione, se presenti, saranno coniugate complesse a coppie.

Per selezione troviamo la prima radice dell'equazione , poiché .

Per un corollario del teorema di Bezout. Calcoliamo questa divisione "in una colonna":

_

_

_

Rappresentando il polinomio come prodotto di un fattore lineare e quadrato, otteniamo:

Troviamo altre radici come le radici dell'equazione quadratica:

Risposta: , .

5. Componi un'equazione algebrica di grado minimo con coefficienti reali, se è noto che i numeri X 1 = 3 e X 2 = 1 + io sono le sue radici, e X 1 è una doppia radice, e X 2 - semplice.

Il numero è anche la radice dell'equazione, perché i coefficienti dell'equazione devono essere reali.

In totale, l'equazione desiderata ha 4 radici: X 1, X 1,X 2, . Pertanto, il suo grado è 4. Componiamo un polinomio di 4° grado con zeri X

11. Cos'è il complesso zero?

13. Formulare il significato di uguaglianza complessa.

15. Qual è il modulo e l'argomento di un numero complesso?

17. Qual è l'argomento di un numero complesso?

18. Qual è il nome o il significato della formula?

19. Spiega il significato della notazione in questa formula:

27. Fornire definizioni ed elencare le principali proprietà delle operazioni aritmetiche su numeri complessi.

28. Qual è il nome o il significato della formula?

29. Spiega il significato della notazione in questa formula:

31. Qual è il nome o il significato della formula?

32. Spiega il significato della notazione in questa formula:

34. Qual è il nome o il significato della formula?

35. Spiega il significato della notazione in questa formula:

61. Elencare le principali proprietà dei polinomi.

63. Formulare una proprietà sulla divisione di un polinomio per una differenza (x - x0).

65. Qual è il nome o il significato della formula?

66. Spiega il significato della notazione in questa formula:

67. ⌂ .

69. Formulare il teorema il teorema dell'algebra è fondamentale.

70. Qual è il nome o il significato della formula?

71. Spiega il significato della notazione in questa formula:

75. Formulare una proprietà sul numero di radici di un'equazione algebrica.

78. Formulare una proprietà sulla scomposizione di un polinomio a coefficienti reali in fattori lineari e quadratici.

Glossario

Il k-fold zero di un polinomio si chiama... (p. 18)

un polinomio algebrico si chiama... (p. 14)

un'equazione algebrica dell'ennesimo grado si chiama... (p. 14)

la forma algebrica di un numero complesso si chiama... (p. 5)

l'argomento di un numero complesso è... (p. 4)

la parte reale del numero complesso z è... (pagina 2)

il complesso coniugato è... (pagina 2)

lo zero complesso è... (pagina 2)

un numero complesso si chiama... (p. 2)

si chiama la radice n-esima di un numero complesso... (p. 10)

la radice dell'equazione si chiama ... (p. 14)

i coefficienti polinomiali sono... (p. 14)

l'unità immaginaria è... (pagina 2)

la parte immaginaria di un numero complesso z è... (pagina 2)

si chiama il modulo di un numero complesso... (p. 4)

si chiama lo zero di una funzione... (p. 14)

la forma esponenziale di un numero complesso si chiama... (p. 11)

un polinomio si chiama... (p. 14)

il semplice zero di un polinomio si chiama... (p. 18)

il numero opposto è... (pagina 2)

il grado di un polinomio è... (p. 14)

la forma trigonometrica di un numero complesso si chiama... (p. 5)

La formula di De Moivre è... (p. 9)

Le formule di Eulero sono... (p. 13)

viene chiamata un'intera funzione... (p. 14)

un numero puramente immaginario è... (p. 2)