Mewakili bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri online. Menyelesaikan masalah dengan bilangan kompleks
Bilangan kompleks
Imajiner Dan bilangan kompleks. Absis dan ordinat
bilangan kompleks. Konjugasi bilangan kompleks.
Operasi dengan bilangan kompleks. Geometris
representasi bilangan kompleks. Pesawat yang kompleks.
Modulus dan argumen bilangan kompleks. Trigonometri
bentuk bilangan kompleks. Operasi dengan kompleks
bilangan dalam bentuk trigonometri. rumus Moivre.
Informasi dasar tentang imajiner Dan bilangan kompleks diberikan di bagian “Bilangan imajiner dan kompleks”. Kebutuhan akan bilangan-bilangan tipe baru ini muncul ketika menyelesaikan persamaan kuadrat untuk kasus tersebut
D< 0 (здесь D– diskriminan persamaan kuadrat). Untuk waktu yang lama, angka-angka ini tidak menemukan penerapan fisik, itulah sebabnya mereka disebut angka “imajiner”. Namun kini mereka sangat banyak digunakan di berbagai bidang fisika.dan teknologi: teknik elektro, hidro dan aerodinamika, teori elastisitas, dll.
Bilangan kompleks ditulis dalam bentuk:a+bi. Di Sini A Dan B – bilangan real , A Saya – satuan imajiner, yaitu e. Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon absis, A b – ordinatbilangan kompleksa+bi.Dua bilangan kompleksa+bi Dan a–bi disebut mengkonjugasikan bilangan kompleks.
Perjanjian utama:
1. Bilangan riil
Abisa juga ditulis dalam bentukbilangan kompleks:sebuah+ 0 Saya atau A - 0 Saya. Misalnya, catatan 5 + 0Saya dan 5 – 0 Sayaberarti angka yang sama 5 .2. Bilangan kompleks 0 + duaditelepon murni khayalan nomor. Catatanduaartinya sama dengan 0 + dua.
3. Dua bilangan kompleksa+bi Danc + didianggap sama jikaa = c Dan b = d. Jika tidak bilangan kompleks tidak sama.
Tambahan. Jumlah bilangan kompleksa+bi Dan c + didisebut bilangan kompleks (a+c ) + (b+d ) Saya.Dengan demikian, saat menambahkan bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dijumlahkan secara terpisah.
Definisi ini sesuai dengan aturan operasi dengan polinomial biasa.
Pengurangan. Selisih dua bilangan kompleksa+bi(berkurang) dan c + di(pengurangan) disebut bilangan kompleks (a–c ) + (b–d ) Saya.
Dengan demikian, Saat mengurangkan dua bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dikurangi secara terpisah.
Perkalian. Produk bilangan kompleksa+bi Dan c + di disebut bilangan kompleks:
(ac–bd ) + (iklan+bc ) Saya.Definisi ini mengikuti dua persyaratan:
1) angka a+bi Dan c + diharus dikalikan seperti aljabar binomial,
2) nomor Sayamemiliki properti utama:Saya 2 = – 1.
CONTOH ( a+ dua )(a–bi) = sebuah 2 +b 2 . Karena itu, bekerja
dua bilangan kompleks konjugasi sama dengan bilangan real
angka positif.
Divisi. Bagilah bilangan kompleksa+bi (dapat dibagi) oleh orang lainc + di(pembagi) - berarti mencari angka ketigae + f saya(obrolan), yang bila dikalikan dengan pembagic + di, menghasilkan dividena+bi.
Jika pembaginya bukan nol, pembagian selalu mungkin dilakukan.
CONTOH Temukan (8 +Saya ) : (2 – 3 Saya) .
Solusi. Mari kita tulis ulang rasio ini sebagai pecahan:
Mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2 + 3Saya
DAN Setelah melakukan semua transformasi, kita mendapatkan:
Representasi geometris bilangan kompleks. Bilangan real dilambangkan dengan titik-titik pada garis bilangan:
Inilah intinya Aartinya angka –3, titikB– nomor 2, dan HAI- nol. Sebaliknya, bilangan kompleks direpresentasikan dengan titik-titik pada bidang koordinat. Untuk tujuan ini, kita memilih koordinat persegi panjang (Kartesius) dengan skala yang sama pada kedua sumbu. Kemudian bilangan kompleksa+bi akan diwakili oleh sebuah titik P dengan absis a dan ordinat b (Lihat gambar). Sistem koordinat ini disebut bidang kompleks .
Modul bilangan kompleks adalah panjang vektorop, mewakili bilangan kompleks pada koordinat ( luas) pesawat. Modulus bilangan kompleksa+bi dilambangkan | a+bi| atau surat R
Menggunakan kalkulator
Untuk mengevaluasi suatu ekspresi, Anda harus memasukkan string yang akan dievaluasi. Saat memasukkan angka, pemisah antara bagian bilangan bulat dan pecahan adalah sebuah titik. Anda dapat menggunakan tanda kurung. Operasi bilangan kompleks adalah perkalian (*), pembagian (/), penjumlahan (+), pengurangan (-), eksponensial (^) dan lain-lain. Anda dapat menggunakan bentuk eksponensial dan aljabar untuk menulis bilangan kompleks. Masukkan unit imajiner Saya dapat dilakukan tanpa tanda perkalian; dalam hal lain diperlukan tanda perkalian, misalnya antara tanda kurung atau antara bilangan dan konstanta. Konstanta juga dapat digunakan: bilangan π dimasukkan sebagai pi, eksponen e, ekspresi apa pun dalam indikator harus diapit tanda kurung.
Contoh baris untuk perhitungan: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), yang sesuai dengan ekspresi \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]
Kalkulator dapat menggunakan konstanta, fungsi matematika, operasi tambahan, dan ekspresi yang lebih kompleks; Anda dapat membiasakan diri dengan fitur-fitur ini di halaman aturan umum penggunaan kalkulator di situs ini.
Situs ini sedang dibangun, beberapa halaman mungkin tidak tersedia.
Berita
07.07.2016
Menambahkan kalkulator untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar nonlinier: .
30.06.2016
Situs ini memiliki desain responsif, halaman ditampilkan secara memadai baik di monitor besar maupun di perangkat seluler.
Sponsor
RGROnline.ru – solusi instan untuk pekerjaan teknik elektro online.
Mari kita mengingat kembali informasi yang diperlukan tentang bilangan kompleks.
Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk A + dua, Di mana A, B adalah bilangan real, dan Saya- yang disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya sama dengan –1, yaitu Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon bagian nyata, dan nomornya B - bagian imajiner bilangan kompleks z = A + dua. Jika B= 0, maka sebaliknya A + 0Saya mereka menulis dengan sederhana A. Dapat dilihat bahwa bilangan real merupakan kasus khusus dari bilangan kompleks.
Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan bilangan real: dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Penjumlahan dan pengurangan terjadi menurut aturan ( A + dua) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Saya, dan perkalian mengikuti aturan ( A + dua) · ( C + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)Saya(di sini digunakan itu Saya 2 = –1). Nomor = A – dua ditelepon konjugat kompleks Ke z = A + dua. Persamaan z · = A 2 + B Gambar 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya (yang bukan nol):
(Misalnya, 
.)
Bilangan kompleks memiliki representasi geometris yang mudah digunakan dan visual: bilangan z = A + dua dapat direpresentasikan dengan vektor dengan koordinat ( A; B) pada bidang Kartesius (atau, yang hampir sama, sebuah titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat dicari dengan menggunakan aturan jajaran genjang). Menurut teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( A; B) adalah sama dengan . Besaran ini disebut modul bilangan kompleks z = A + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumennya tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya sampai penjumlahan kelipatan 2 π
radian (atau 360°, jika dihitung dalam derajat) - lagipula, jelas bahwa rotasi sebesar sudut di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjangnya R membentuk sudut φ
dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya sama dengan ( R karena φ
; R dosa φ
). Dari sini ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| · (karena(Arg z) + Saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri sangat sederhana: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (karena(Arg z 1 + Arg z 2) + Saya dosa (Arg z 1 + Arg z 2)) (saat mengalikan dua bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti rumus Moivre: z n = |z|N· (karena( N· (Arg z)) + Saya dosa( N· (Arg z))). Dengan menggunakan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar-akar derajat apa pun dari bilangan kompleks. akar ke-n dari z- ini adalah bilangan kompleks w, Apa tidak = z. Sudah jelas itu 
, Dan dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., N- 1). Artinya selalu ada yang tepat N akar N derajat suatu bilangan kompleks (pada bidang terletak pada titik-titik beraturan N-gon).
Kelas 12 . Bilangan kompleks.
12.1. Definisi bilangan kompleks dalam bentuk aljabar. Perbandingan dan representasi bilangan kompleks pada bidang kompleks. Pasangan yang rumit. Penjumlahan, perkalian, pembagian bilangan kompleks.
12.2. Modulus, argumen bilangan kompleks.
12.3. Bentuk penulisan bilangan kompleks trigonometri dan eksponensial.
12.4. Menaikkan ke pangkat bilangan bulat dan mengekstrak akar bilangan kompleks.
Definisi bilangan kompleks dalam bentuk aljabar. Perbandingan dan representasi bilangan kompleks pada bidang kompleks. Pasangan yang rumit. Penjumlahan, perkalian, pembagian bilangan kompleks.
Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar adalah bilangan
Di mana 
ditelepon satuan imajiner Dan 
- bilangan real: 
ditelepon bagian nyata (nyata).;
- bagian imajiner bilangan kompleks 
. Bentuk bilangan kompleks 
disebut bilangan imajiner murni. Himpunan semua bilangan kompleks dilambangkan dengan huruf 
.
A-priori,
Himpunan semua bilangan real 
adalah bagian dari himpunan 
: . Di sisi lain, ada bilangan kompleks yang tidak termasuk dalam himpunan 
. Misalnya, 
Dan 
, Karena 
.
Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar muncul secara alami ketika menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya 
.
Larutan. ,
Oleh karena itu, persamaan kuadrat yang diberikan memiliki akar-akar kompleks
,
.
Contoh 2. Temukan bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks
,
,
.
Dengan demikian, bagian nyata dan imajiner dari bilangan tersebut 
,
Bilangan kompleks apa pun 
diwakili oleh vektor pada bidang kompleks 
, mewakili bidang dengan sistem koordinat Cartesian 
. Awal mula vektor terletak pada suatu titik 
, dan ujungnya berada pada titik dengan koordinat 
(Gambar 1.) Sumbu 
disebut sumbu nyata, dan sumbu 
- sumbu imajiner bidang kompleks 
.
Bilangan kompleks dibandingkan satu sama lain hanya dengan tanda 
. . Jika setidaknya salah satu persamaan: 
dilanggar, kalau begitu 
.
Catatan tipe 
tidak masuk akal.
Secara definisi, kompleks nomor 
disebut konjugasi kompleks suatu bilangan 
. Dalam hal ini mereka menulis 
. Jelas sekali 
. Di mana pun di bawah, garis atas di atas bilangan kompleks berarti konjugasi kompleks.
Misalnya, .
Anda dapat melakukan operasi pada bilangan kompleks seperti penjumlahan (pengurangan), perkalian, dan pembagian.
1. Penjumlahan bilangan kompleks dilakukan seperti ini:
Sifat-sifat operasi penjumlahan:
- properti komutatifitas;
- properti asosiatif.
Sangat mudah untuk melihat bahwa secara geometris penjumlahan bilangan kompleks 
berarti penambahan yang sesuai dengannya di pesawat 
vektor menurut aturan jajaran genjang.
Operasi pengurangan angka 
dari nomor tersebut 
dilakukan seperti ini:
2. Perkalian bilangan kompleks dilakukan seperti ini:
Sifat-sifat operasi perkalian:
- properti komutatifitas;
- properti asosiatif;
- hukum distribusi.
3. Pembagian bilangan kompleks 
hanya mungkin dilakukan dengan 
dan dilakukan seperti ini:
.
Contoh 3. Menemukan 
, Jika .
Contoh 4. Menghitung 
, Jika .
z, karena 
.
.(Aduh!)
Tidak sulit untuk memeriksa (disarankan agar Anda melakukannya sendiri) validitas pernyataan berikut: 
Modulus, argumen bilangan kompleks.
Modulus bilangan kompleks 
(modul 
dilambangkan dengan 
) adalah bilangan non-negatif 
, yaitu
.
Arti geometris 
- panjang vektor yang mewakili bilangan tersebut 
pada bidang kompleks 
. Persamaannya 
mendefinisikan himpunan semua bilangan 
(vektor per 
), yang ujung-ujungnya terletak pada lingkaran satuan 
.
Argumen Bilangan Kompleks 
(argumen 
dilambangkan dengan 
) ini adalah sudut 
dalam radian antara sumbu nyata 
dan nomor 
pada bidang kompleks 
, Dan
positif jika dihitung dari 
sebelum 
berlawanan arah jarum jam, dan 
negatif jika 
diukur dari sumbu 
sebelum 
searah jarum jam.
Jadi argumen nomornya 
ditentukan secara ambigu, sampai suatu jangka waktu 
, Di mana 
. Jelas merupakan argumen angka 
ditentukan dalam satu putaran lingkaran satuan 
di permukaan 
.
Biasanya Anda perlu menemukannya 
dalam interval tersebut 
,nilai ini disebut nilai utama dari argumen bilangan 
dan ditunjuk 
.
Dan 
angka 
dapat dicari dari persamaan tersebut 
, di mana Perlu perlu diperhitungkan, di bagian mana dari pesawat 
terletak di ujung vektor 
- dot 
:
Jika 
(kuartal pertama pesawat 
), Itu ;
Jika 
(kuartal ke-2 pesawat 
), Itu;
Jika 
(kuartal ketiga pesawat 
), Itu ;
Jika 
(kuartal ke-4 pesawat 
), Itu .
Faktanya, modulus dan argumen bilangan
, ini adalah koordinat kutub 
poin 
- akhir vektor 
di permukaan 
.
Contoh 5. Temukan modulus dan nilai pokok argumen angka:
.
Argumen angka yang terletak pada sumbu 
, memisahkan bagian 1,2,3,4 dari bidang kompleks 
, dapat langsung ditemukan dari representasi grafis dari angka-angka ini di pesawat 
.
Bentuk penulisan bilangan kompleks trigonometri dan eksponensial. Perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam notasi trigonometri dan eksponensial.
Notasi trigonometri bilangan kompleks 
memiliki bentuk:
,
(2)
Di mana 
- modul, 
- argumen bilangan kompleks 
. Representasi bilangan kompleks ini mengikuti persamaan.
Indikatif(eksponensial) bentuk penulisan bilangan kompleks 
memiliki bentuk:
,
(3)
Di mana 
- modul, 
- argumen angka 
. Kemungkinan merepresentasikan bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial (3) mengikuti bentuk trigonometri (2) dan rumus Euler:
.
(4)
Rumus ini dibuktikan pada mata kuliah TFKP (Teori Fungsi Variabel Kompleks).
Contoh 6. Temukan bentuk trigonometri dan eksponensial untuk bilangan kompleks: dari contoh 5.
Larutan. Mari kita gunakan hasil Contoh 5, yang berisi modul dan argumen dari semua bilangan yang ditentukan.
,
.
- bentuk trigonometri penulisan suatu bilangan 
,
- bentuk penulisan angka secara eksponensial 
.
3)
- bentuk trigonometri penulisan suatu bilangan 
,
- bentuk penulisan angka secara eksponensial 
.
Bentuk trigonometri penulisan suatu bilangan 
,
- bentuk penulisan angka secara eksponensial 
.
5)
- bentuk trigonometri penulisan suatu bilangan 
,
- bentuk penulisan angka secara eksponensial 
.
Bentuk trigonometri suatu bilangan 
,
.
7)
- bentuk trigonometri penulisan suatu bilangan 
,
- bentuk eksponensial suatu bilangan 
.
- bentuk trigonometri penulisan suatu bilangan 
,
- bentuk penulisan angka secara eksponensial 
.
Bentuk penulisan bilangan kompleks yang eksponensial mengarah pada interpretasi geometris berikut tentang operasi perkalian dan pembagian bilangan kompleks. Membiarkan 
- bentuk bilangan eksponensial 
.
1. Saat mengalikan bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan.
2.
Saat membagi bilangan kompleks 
per nomor 
ternyata bilangan kompleks 
, modul 
yang sama dengan rasio modul 
, dan argumennya 
- perbedaan 
argumen angka 
.
Menaikkan ke pangkat bilangan bulat dan mengekstrak akar bilangan kompleks.
A-priori,
Saat dinaikkan menjadi kekuatan penuh 
bilangan kompleks 
, Anda harus melanjutkan seperti ini: pertama temukan modulnya 
dan argumen 
nomor ini; memperkenalkan 
dalam bentuk demonstratif 
; menemukan 
dengan melakukan urutan tindakan berikut
Di mana . (5)
Komentar. Argumen 
angka 
mungkin tidak termasuk dalam interval tersebut 
. Dalam hal ini sesuai dengan nilai yang didapat 
menemukan arti utamanya 
argumen
angka 
, menambahkan (atau mengurangi) suatu angka 
dengan arti ini 
, ke 
termasuk dalam interval 
. Setelah ini, Anda perlu mengganti rumus (5) 
pada 
.
Contoh 7. Menemukan 
Dan 
, Jika 
.
1)
=
(lihat nomor 
dari contoh 6).
2)
, Di mana 
.
.
.
Karena itu, 
dapat diganti dengan dan, yang artinya
Di mana 
.
3)
, Di mana 
.
.
Kami akan menggantinya 
pada . Karena itu,
Ekstraksi akar 
gelar ke-th 
dari bilangan kompleks 
dilakukan menurut rumus Moivre-Laplace
§ 1. Bilangan kompleks: definisi, interpretasi geometri, tindakan dalam bentuk aljabar, trigonometri, dan eksponensial
Definisi bilangan kompleks
Persamaan yang kompleks
Representasi geometris bilangan kompleks
Modulus dan argumen bilangan kompleks
Bentuk aljabar dan trigonometri bilangan kompleks
Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks
rumus Euler
§ 2. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat dasarnya. Menyelesaikan persamaan aljabar pada himpunan bilangan kompleks
Definisi persamaan aljabar derajat ke-th
Sifat dasar polinomial
Contoh penyelesaian persamaan aljabar pada himpunan bilangan kompleks
Pertanyaan tes mandiri
Glosarium
§ 1. Bilangan kompleks: definisi, interpretasi geometri, tindakan dalam bentuk aljabar, trigonometri, dan eksponensial
Definisi bilangan kompleks ( Sebutkan definisi bilangan kompleks)
Bilangan kompleks z merupakan ekspresi dalam bentuk berikut:
Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar,(1)
Dimana x, kamu Î;
- bilangan konjugasi kompleks nomor z ;
- nomor berlawanan nomor z ;
- nol kompleks ;
– ini adalah bagaimana himpunan bilangan kompleks dilambangkan.
1)z = 1 + SayaÞ Ulang z= 1, saya z = 1, = 1 – Saya, = –1 – Saya ;
2)z = –1 + SayaÞ Ulang z= –1, saya z = , = –1 – Saya, = –1 –Saya ;
3)z = 5 + 0Saya= 5 Þ Ulang z= 5, saya z = 0, = 5 – 0Saya = 5, = –5 – 0Saya = –5
Þ jika saya z= 0, maka z = X- bilangan real;
4)z = 0 + 3Saya = 3SayaÞ Ulang z= 0, saya z = 3, = 0 – 3Saya = –3Saya , = –0 – 3Saya = – 3Saya
jika Re z= 0, maka z = iy - bilangan imajiner murni.
Persamaan yang kompleks (Merumuskan pengertian persamaan kompleks)
1) 
;
2)
.
Satu persamaan kompleks setara dengan sistem dua persamaan nyata. Persamaan nyata ini diperoleh dari persamaan kompleks dengan memisahkan bagian nyata dan bagian imajiner.
1) 
;
2) 
.
Representasi geometris bilangan kompleks ( Apa representasi geometris dari bilangan kompleks?)
Bilangan kompleks z diwakili oleh titik ( X , kamu) pada bidang kompleks atau vektor jari-jari titik ini.
Tanda z pada kuarter kedua berarti sistem koordinat kartesius akan digunakan sebagai bidang kompleks.
Modulus dan argumen bilangan kompleks ( Apa modulus dan argumen bilangan kompleks?)
Modulus bilangan kompleks adalah bilangan real non-negatif
.(2)
Secara geometris, modulus suatu bilangan kompleks adalah panjang vektor yang mewakili bilangan tersebut z, atau jari-jari kutub suatu titik ( X , kamu).
Gambarlah bilangan-bilangan berikut pada bidang kompleks dan tuliskan dalam bentuk trigonometri.
1)z = 1 + Saya Þ
,
Þ 
Þ 
;
,
Þ 
Þ 
;
,
5)
,
yaitu, untuk z = 0 maka akan terjadi
, J tidak terbatas.
Operasi aritmatika pada bilangan kompleks (Berikan definisi dan daftar sifat-sifat utama operasi aritmatika pada bilangan kompleks.)
Penjumlahan (pengurangan) bilangan kompleks
z 1 ± z 2 = (X 1 + iy 1) ± ( X 2 + iy 2) = (X 1 ± X 2) + Saya (kamu 1 ± kamu 2),(5)
yaitu, ketika menjumlahkan (mengurangi) bilangan kompleks, bagian real dan imajinernya dijumlahkan (dikurangi).
1)(1 + Saya) + (2 – 3Saya) = 1 + Saya + 2 –3Saya = 3 – 2Saya ;
2)(1 + 2Saya) – (2 – 5Saya) = 1 + 2Saya – 2 + 5Saya = –1 + 7Saya .
Sifat dasar penjumlahan
1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;
2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);
3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);
4)z + (–z) = 0;
Mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar
z 1∙z 2 = (X 1 + iy 1)∙(X 2 + iy 2) = X 1X 2 + X 1iy 2 + iy 1X 2 + Saya 2kamu 1kamu 2 = (6)
= (X 1X 2 – kamu 1kamu 2) + Saya (X 1kamu 2 + kamu 1X 2),
Artinya, perkalian bilangan kompleks dalam bentuk aljabar dilakukan menurut aturan perkalian aljabar suatu binomial dengan binomial, dilanjutkan dengan penggantian dan pengurangan bilangan sejenis secara riil dan imajiner.
1)(1 + Saya)∙(2 – 3Saya) = 2 – 3Saya + 2Saya – 3Saya 2 = 2 – 3Saya + 2Saya + 3 = 5 – Saya ;
2)(1 + 4Saya)∙(1 – 4Saya) = 1 – 42 Saya 2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + Saya)2 = 22 + 4Saya + Saya 2 = 3 + 4Saya .
Mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri
z 1∙z 2 = R 1(kos J 1 + Saya dosa J 1)× R 2(kos J 2 + Saya dosa J 2) =
= R 1R 2(kos J 1ko J 2 + Saya karena J 1dosa J 2 + Saya dosa J 1ko J 2 + Saya 2 dosa J 1dosa J 2) =
= R 1R 2((kos J 1ko J 2 – dosa J 1dosa J 2) + Saya(kos J 1dosa J 2 + dosa J 1ko J 2))
Hasil kali bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, yaitu ketika mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan.
Sifat dasar perkalian
1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - komutatifitas;
2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asosiatif;
3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - distribusivitas terhadap penjumlahan;
4)z×0 = 0; z×1 = z ;
Pembagian bilangan kompleks
Pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian, jadi
Jika z × z 2 = z 1 dan z 2 ¹ 0, lalu .
Saat melakukan pembagian dalam bentuk aljabar, pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan konjugat kompleks penyebutnya:
Pembagian bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.(7)
Saat melakukan pembagian dalam bentuk trigonometri, modul dibagi dan argumen dikurangi:
Pembagian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri.(8)
2)
.
Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat alami
Lebih mudah untuk melakukan eksponensial dalam bentuk trigonometri:
Rumus Moivre, (9)
yaitu, ketika bilangan kompleks dipangkatkan, modulusnya dipangkatkan, dan argumennya dikalikan dengan eksponen.
Hitung (1 + Saya)10.
Catatan
1. Saat melakukan operasi perkalian dan menaikkan pangkat alami dalam bentuk trigonometri, dapat diperoleh nilai sudut melebihi satu putaran penuh. Namun putaran tersebut selalu dapat direduksi menjadi sudut atau dengan menghilangkan bilangan bulat putaran penuh menggunakan sifat periodisitas fungsi dan .
2. Arti 
disebut nilai pokok argumen bilangan kompleks;
dalam hal ini, nilai semua sudut yang mungkin dilambangkan dengan ;
sudah jelas bahwa, .
Mengekstraksi akar derajat alami dari bilangan kompleks
Rumus Euler(16)
yang fungsi trigonometri dan variabel realnya dinyatakan melalui fungsi eksponensial (eksponen) dengan eksponen imajiner murni.
§ 2. Keseluruhan fungsi (polinomial) dan sifat dasarnya. Menyelesaikan persamaan aljabar pada himpunan bilangan kompleks
Dua polinomial dengan derajat yang sama N sama satu sama lain jika dan hanya jika koefisiennya sama untuk pangkat variabel yang sama X, itu adalah
Bukti
w Identitas (3) berlaku untuk "xО (atau "xО)
Þ berlaku untuk ; menggantikannya, kita dapatkan sebuah = bn .
Mari kita saling membatalkan syarat pada (3) sebuah Dan bn dan bagi kedua bagiannya X :
Identitas ini juga berlaku untuk " X, termasuk kapan X = 0
Þ dengan asumsi X= 0, kita dapatkan sebuah – 1 = bn – 1.
Mari kita saling membatalkan ketentuan dalam (3") sebuah– 1 dan A N– 1 dan bagi kedua ruasnya dengan X, sebagai hasilnya kita dapatkan
Melanjutkan alasan yang sama, kita memperolehnya sebuah – 2 = bn –2, …, A 0 = B 0.
Dengan demikian, telah dibuktikan bahwa persamaan identik polinomial 2-x menyiratkan kebetulan koefisien-koefisiennya pada derajat yang sama. X .
Pernyataan sebaliknya sudah jelas, yaitu. jika dua polinomial mempunyai koefisien yang sama, maka keduanya merupakan fungsi yang identik, oleh karena itu, nilainya sama untuk semua nilai argumen, yang berarti keduanya sama persis. Properti 1 telah terbukti sepenuhnya. ay
Saat membagi polinomial hal (X) dengan perbedaan ( X – X 0) sisanya sama dengan hal (X 0), yaitu
Teorema Bezout,(4)
Di mana Qn – 1(X) - bagian bilangan bulat dari pembagian, adalah polinomial derajat ( N – 1).
Bukti
w Mari kita tuliskan rumus pembagian dengan sisa:
hal (X) = (X – X 0)∙Qn – 1(X) + A ,
Di mana Qn – 1(X) - polinomial derajat ( N – 1),
A- sisanya, yang merupakan bilangan karena algoritma terkenal untuk membagi polinomial dengan binomial “dalam kolom”.
Kesetaraan ini berlaku untuk " X, termasuk kapan X = X 0 Þ
hal (X 0) = (X 0 – X 0)× Qn – 1(X 0) + A Þ
A = hal (X 0), dll. ay
Akibat wajar dari teorema Bezout. Tentang membagi polinomial dengan binomial tanpa sisa
Jika nomornya X 0 adalah nol dari polinomial tersebut, maka polinomial tersebut dibagi dengan selisihnya ( X – X 0) tanpa sisa, yaitu
Þ 
.(5)
1) , sejak P 3(1) º 0
2) karena P 4(–2) º 0
3) karena P 2(–1/2) º 0
Membagi polinomial menjadi binomial “dalam satu kolom”:
| _ |  |
_ | ||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| _ | ||||||||||||||
Setiap polinomial berderajat n ³ 1 mempunyai paling sedikit satu angka nol, nyata atau kompleks
Bukti teorema ini berada di luar cakupan kursus kami. Oleh karena itu, kami menerima teorema tersebut tanpa bukti.
Mari kita kerjakan teorema ini dan teorema Bezout dengan polinomial hal (X).
Setelah N-beberapa penerapan teorema ini kita peroleh itu
Di mana A 0 adalah koefisien di X N V hal (X).
Akibat wajar dari teorema dasar aljabar. Tentang penguraian polinomial menjadi faktor linier
Polinomial apa pun yang berderajat pada himpunan bilangan kompleks dapat diuraikan menjadi N faktor linier, yaitu
Perluasan polinomial menjadi faktor linier, (6)
dimana x1, x2, ... xn adalah nol dari polinomial.
Apalagi jika k nomor dari himpunan X 1, X 2, … xn bertepatan satu sama lain dan dengan bilangan a, maka pada hasil kali (6) pengali ( X- A) k. Lalu nomornya X= a dipanggil k kali lipat nol dari polinomial hal ( X) . Jika k= 1, maka nol disebut nol sederhana dari polinomial hal ( X) .
1)P 4(X) = (X – 2)(X– 4)3Þ X 1 = 2 - nol sederhana, X 2 = 4 - tiga kali lipat nol;
2)P 4(X) = (X – Saya)4Þ X = Saya- multiplisitas nol 4.
Properti 4 (tentang jumlah akar persamaan aljabar)
Persamaan aljabar apa pun Pn(x) = 0 berderajat n mempunyai tepat n akar pada himpunan bilangan kompleks, jika kita menghitung setiap akar sebanyak multiplisitasnya.
1)X 2 – 4X+ 5 = 0 - persamaan aljabar derajat kedua
Þ X 1,2 = 2 ± = 2 ± Saya- dua akar;
2)X 3 + 1 = 0 - persamaan aljabar derajat ketiga
Þ X
1,2,3 = 
- tiga akar;
3)P 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0Þ X 1 = 1, karena P 3(1) = 0.
Bagilah polinomialnya P 3(X) pada ( X – 1):
| X 3 | + | X 2 | – | X | – | 1 | X – 1 |
| X 3 | – | X 2 | X 2 + 2X +1 | ||||
| 2X 2 | – | X | |||||
| 2X 2 | – | 2X | |||||
| X | – | 1 | |||||
| X | – | 1 | |||||
| 0 |
Persamaan asli
P 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0Û( X – 1)(X 2 + 2X+ 1) = 0 Û( X – 1)(X + 1)2 = 0
Þ X 1 = 1 - akar sederhana, X 2 = –1 - akar ganda.
1) – akar konjugat kompleks berpasangan;
Setiap polinomial dengan koefisien real didekomposisi menjadi produk fungsi linier dan kuadrat dengan koefisien real.
Bukti
w Biarkan X 0 = A + dua- nol dari polinomial hal (X). Jika semua koefisien polinomial ini adalah bilangan real, maka polinomial tersebut juga nol (berdasarkan sifat 5).
Mari kita hitung hasil kali binomial 
:
persamaan polinomial bilangan kompleks
Telah mendapatkan ( X – A)2 + B 2 - trinomial persegi dengan koefisien nyata.
Jadi, setiap pasangan binomial dengan akar konjugasi kompleks dalam rumus (6) menghasilkan trinomial kuadrat dengan koefisien nyata. ay
1)P 3(X) = X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X + 1);
2)P 4(X) = X 4 – X 3 + 4X 2 – 4X = X (X –1)(X 2 + 4).
Contoh penyelesaian persamaan aljabar pada himpunan bilangan kompleks ( Berikan contoh penyelesaian persamaan aljabar pada himpunan bilangan kompleks)
1. Persamaan aljabar derajat pertama:
, adalah satu-satunya root sederhana.
2. Persamaan kuadrat:
, 
– selalu memiliki dua akar (berbeda atau sama).
1) 
.
3. Persamaan derajat binomial:
, – selalu mempunyai akar yang berbeda-beda.
,
Menjawab: , 
.
4. Selesaikan persamaan kubik.
Persamaan derajat ketiga memiliki tiga akar (nyata atau kompleks), dan Anda perlu menghitung setiap akar sebanyak multiplisitasnya. Karena semua koefisien persamaan ini adalah bilangan real, akar-akar kompleks dari persamaan tersebut, jika ada, akan berupa konjugat kompleks berpasangan.
Melalui seleksi kita menemukan akar persamaan yang pertama, karena .
Akibat wajar dari teorema Bezout. Kami menghitung pembagian ini "dalam kolom":
| _ |  |
||||
| _ |  |
||||
| _ | |||||
Sekarang mewakili polinomial sebagai produk dari faktor linier dan kuadrat, kita mendapatkan:
.
Kami menemukan akar lain sebagai akar persamaan kuadrat: 
Menjawab: , 
.
5. Buatlah persamaan aljabar derajat terkecil dengan koefisien real, jika diketahui bilangan tersebut X 1 = 3 dan X 2 = 1 + Saya adalah akarnya, dan X 1 adalah akar ganda, dan X 2 - sederhana.
Bilangan tersebut juga merupakan akar persamaan, karena koefisien persamaannya harus nyata.
Secara total, persamaan yang diperlukan memiliki 4 akar: X 1, X 1,X 2, . Oleh karena itu, derajatnya adalah 4. Kami membuat polinomial derajat ke-4 dengan nol X
11. Apa yang dimaksud dengan nol kompleks?
13. Merumuskan pengertian persamaan kompleks.
15. Apa modulus dan argumen bilangan kompleks?
17. Apa argumen bilangan kompleks?
18. Apa nama dan arti rumusnya?
19. Jelaskan pengertian notasi pada rumus ini:
27. Berikan definisi dan daftar sifat-sifat utama operasi aritmatika pada bilangan kompleks.
28. Apa nama dan arti rumusnya?
29. Jelaskan pengertian notasi pada rumus ini:
31. Apa nama dan arti rumusnya?
32. Jelaskan pengertian notasi pada rumus ini:
34. Apa nama dan arti rumusnya?
35. Jelaskan pengertian notasi pada rumus ini:
61. Sebutkan sifat-sifat utama polinomial.
63. Nyatakan sifat pembagian polinomial dengan selisih (x – x0).
65. Apa nama dan arti rumusnya?
66. Jelaskan pengertian notasi pada rumus ini:
67. ⌂ 
.
69. Nyatakan teorema: teorema dasar aljabar.
70. Apa nama dan arti rumusnya?
71. Jelaskan pengertian notasi pada rumus ini:
75. Nyatakan sifat-sifat jumlah akar suatu persamaan aljabar.
78. Nyatakan sifat penguraian polinomial dengan koefisien riil menjadi faktor linier dan kuadrat.
Glosarium
K-fold zero dari suatu polinomial adalah... (hal. 18)
polinomial aljabar disebut... (hal. 14)
persamaan aljabar derajat ke-n disebut... (hal. 14)
bentuk aljabar suatu bilangan kompleks disebut... (hal. 5)
argumen bilangan kompleks adalah... (halaman 4)
bagian real bilangan kompleks z adalah... (halaman 2)
bilangan konjugasi kompleks adalah... (halaman 2)
nol kompleks adalah... (halaman 2)
bilangan kompleks disebut... (halaman 2)
akar derajat n suatu bilangan kompleks disebut... (hal. 10)
akar persamaannya adalah... (hal. 14)
koefisien polinomialnya adalah... (hal. 14)
satuan imajinernya adalah... (halaman 2)
bagian imajiner bilangan kompleks z adalah... (halaman 2)
modulus bilangan kompleks disebut... (hal. 4)
nol suatu fungsi disebut... (hal. 14)
bentuk eksponensial suatu bilangan kompleks disebut... (hal. 11)
polinomial disebut... (hal. 14)
nol sederhana dari suatu polinomial disebut... (hal. 18)
bilangan sebaliknya adalah... (halaman 2)
derajat suatu polinomial adalah... (hlm. 14)
bentuk trigonometri suatu bilangan kompleks disebut... (hal. 5)
Rumus Moivre adalah... (hal. 9)
Rumus Euler adalah... (halaman 13)
seluruh fungsi disebut... (hal. 14)
bilangan imajiner murni adalah... (hlm. 2)