Vektorok és műveletek vektorokon. Vektorok a bábokhoz

Végül a kezembe került egy hatalmas és régóta várt téma analitikus geometria... Először is, egy kicsit a felsőbb matematika e szakaszáról… Bizonyára most eszébe jut egy iskolai geometria kurzus számtalan tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók nagy része számára nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Az analitikus geometria, furcsa módon, érdekesebbnek és hozzáférhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az analitikus melléknév? Rögtön két bélyeges matematikai fordulat jut eszembe: „grafikus megoldási módszer” és „analitikus megoldási módszer”. Grafikus módszer, természetesen grafikonok, rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző ugyanaz módszer problémák megoldásával jár túlnyomórészt algebrai cselekvéseken keresztül. Ebben a tekintetben az analitikai geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek gondos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen rajzok nélkül egyáltalán nem megy, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében a szükségen túl igyekszem azokat idézni.

A megnyílt geometria órasor nem igényli az elméleti teljességet, gyakorlati feladatok megoldására koncentrál. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha teljesebb segítségre van szüksége valamelyik alfejezethez, ajánlom a következő, könnyen elérhető szakirodalmat:

1) Egy dolog, amit nem vicc, több generáció ismer: Iskolai geometria tankönyv, szerzők - L.S. Atanasyan and Company... Az iskolai öltözőnek ez a fogasa már 20 (!) utánnyomást kibírt, ami persze nem a határ.

2) Geometria 2 kötetben... Szerzői L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.... Ez középiskolai irodalom, szüksége lesz rá első kötet... Ritka feladatok eshetnek ki a szemem elől, és ez az oktatóanyag felbecsülhetetlen segítség lesz.

Mindkét könyv ingyenesen letölthető az internetről. Ezen kívül kész megoldásokkal használhatod az archívumomat, mely az oldalon található Példák letöltése a felsőbb matematikából.

Az eszköztárból ismét a saját fejlesztésemet javaslom - Szoftver csomag az analitikus geometrián, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapvető geometriai fogalmakat és alakzatokat: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelepipedon, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, üdv az ismétlőknek)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektor koordinátáit. Tovább olvasásra javaslom döntő cikk Vektorok pontszorzataés még Vektor és vektorok vegyes szorzata... A helyi feladat - Szegmens felosztása ebből a szempontból sem lesz felesleges. A fenti információk alapján elsajátíthatja egyenlet egy síkon Val vel a megoldások legegyszerűbb példái amely lehetővé teszi megtanulják megoldani a geometriai feladatokat... A következő cikkek is hasznosak: Egyenlet egy sík térben, Egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok az egyenesen és a síkon, az analitikus geometria egyéb szakaszai. Természetesen az út során figyelembe veszik a tipikus feladatokat.

Vektor koncepció. Ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje pont, a szakasz vége pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha átrendezed a nyilat a szegmens másik végére, akkor kapsz egy vektort, és ez már teljesen más vektor... Kényelmes, hogy a vektor fogalmát a fizikai test mozgásával azonosítjuk: egyet kell érteni, az intézet ajtaján való belépés vagy az intézet ajtajának elhagyása teljesen más dolog.

Kényelmes a sík egyes pontjait, a teret ún nulla vektor... Egy ilyen vektornak ugyanaz a vége és a kezdete.

!!! Jegyzet: A továbbiakban feltételezhetjük, hogy a vektorok egy síkban helyezkednek el, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege a síkra és a térre egyaránt igaz.

Legenda: Sokan azonnal észrevettek egy pálcát, amelynél nincs nyíl a megjelölésben, és azt mondták, van egy nyíl is a tetején! Igaz, lehet írni nyíllal:, de azt is bejegyzés, amit a jövőben is használni fogok... Miért? Nyilván gyakorlati megfontolásokból alakult ki ez a szokás, a lövészeim túl tarkanak, bozontosnak bizonyultak az iskolában és az egyetemen. Az oktatási irodalomban néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki a betűket:, ezzel azt sugallva, hogy ez egy vektor.

Ez volt a stílus, de most a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Sőt, az első betű szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
Különösen a rövidség kedvéért vektorunkat egy kis latin betűvel át lehet jelölni.

Hossz vagy modult egy nem nulla vektor a szakasz hossza. A nulla vektor hossza nulla. Ez logikus.

A vektor hosszát a modulus jele jelzi:,

Kicsit később megtanuljuk (vagy megismételjük, kinek hogyan) hogyan találjuk meg a vektor hosszát.

Ezek alapvető információk voltak a vektorról, amelyeket minden iskolás ismer. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Ha nagyon egyszerű... vektor bármely pontról elhalasztható:

Az ilyen vektorokat korábban egyenlőnek neveztük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban közöljük), de pusztán matematikai szempontból EGY ÉS UGYANAZON VEKTOR ill. ingyenes vektor... Miért ingyenes? Ugyanis a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELYIK pontjához "csatolhatja" ezt vagy azt az "iskola" vektort. Ez egy nagyon klassz ingatlan! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú irányított szegmenst - végtelen sokszor és a tér bármely pontján "klónozható", sőt, MINDENHOL létezik. Van egy diák azt mondja: Minden előadó f ** k a vektor. Hiszen nem csak egy szellemes rím, szinte minden rendben van - oda is lehet irányítani egy szegmenst. De ne rohanjon örülni, maguk a diákok gyakrabban szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- azt Egy csomó azonos irányított vonalszakaszok. A vektor iskolai meghatározása a bekezdés elején: "A vektort irányított szegmensnek nevezzük ..." különleges egy adott halmazból vett irányított szakasz, amely egy sík vagy tér meghatározott pontjához van kötve.

Meg kell jegyezni, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma általában téves, és az alkalmazás szempontja számít. Valóban, egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon elegendő ahhoz, hogy hülye példámat kifejtsem, és más következményekkel jár. Azonban, nem ingyenes vektorok a gimnáziumban is megtalálhatók (oda ne menj :)).

Műveletek vektorokkal. Kollineáris vektorok

Az iskolai geometria tanfolyamon számos vektoros műveletet és szabályt figyelembe vesznek: összeadás a háromszögszabály szerint, összeadás a paralelogramma szabály szerint, a vektorkülönbség szabálya, vektor szorzása számmal, vektorok pontszorzata stb. A vetőmag esetében megismételünk két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikai geometria problémáinak megoldásához.

A vektorok összeadásának szabálya a háromszögek szabálya szerint

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Mivel minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort félretesszük vége vektorok:

A vektorok összege egy vektor. A szabály jobb megértése érdekében célszerű fizikai jelentést tenni bele: hagyjon valamilyen testet egy vektor mentén, majd egy vektor mentén haladni. Ekkor a vektorok összege az eredményül kapott útvonal vektora úgy, hogy az eleje a kiindulási pontban, a vége pedig az érkezési pontban van. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. A mondás szerint a test a cikk-cakk mentén, esetleg robotpilóta mellett, erősen képes haladni – a kapott összegvektor szerint.

Egyébként, ha a vektort elhalasztják Rajt vektor, megkapja az egyenértékűt paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából véve párhuzamos vektorokról beszélünk. De velük kapcsolatban mindig a "kollineáris" jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat hívjuk társrendező... Ha a nyilak különböző irányokba mutatnak, akkor a vektorok lesznek ellenkező irányba.

Legenda: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági jellel van írva:, míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányítottak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

Termék szerint egy számmal jelölt nullától eltérő vektor olyan vektor, amelynek hossza egyenlő, és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető az ábra segítségével:

Értsük meg részletesebben:

1 irány. Ha a tényező negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a tényező vagy belül van, akkor a vektor hossza csökken... Tehát a vektor hossza fele a vektor hosszának. Ha a modulus nagyobb egynél, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektort például egy másikkal fejezzük ki. Ennek fordítva is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikkal, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. Ilyen módon: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok egyirányúak. A és vektorok szintén koirányúak. Az első csoport bármely vektora ellentétes irányú a második csoport bármely vektorához képest.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és azonos hosszúságúak... Ne feledje, hogy az együttirányú irányítás kollineáris vektorokat jelent. A meghatározás pontatlan (redundáns) lesz, ha azt mondjuk: "Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, egyirányúak és azonos hosszúságúak."

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok egy és ugyanazt a vektort jelentik, amiről az előző bekezdésben már volt szó.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat egy síkban. A derékszögű derékszögű koordinátarendszert ábrázoljuk, és félretesszük a koordináták origóját egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális... Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill. kollinearitásés ortogonalitás.

Kijelölés: A vektorok merőlegességét a szokásos merőlegességi szimbólummal írjuk, például:.

A vizsgált vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts... Ezek a vektorok kialakulnak alapon a felszínen. Hogy mi az alap, az szerintem sokak számára intuitív módon világos, részletesebb információk a cikkben találhatók A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja Egyszerűen fogalmazva, a koordináták alapja és eredete meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet javában zajlik.

Néha a konstruált bázist ún ortonormális a sík alapja: "orto" - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a "normalizált" jelző egységet jelent, azaz. a bázis vektorainak hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például:. Koordinátavektorok ez tiltottátrendezni.

Bármi vektor sík egyedi módon kifejezve:
, ahol - a számok amelyeket úgy hívnak vektor koordináták ezen az alapon. És maga a kifejezés hívott a vektor dekompozíciójaalapján .

A vacsora tálalva:

Kezdjük az ábécé első betűjével:. A rajzon jól látható, hogy a vektor bázis szempontjából történő bővítésekor az imént figyelembe vetteket használjuk:
1) a vektor számmal való szorzásának szabálya: és;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint:.

Most mentálisan tedd félre a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy hanyatlása „kérlelhetetlenül követni fogja őt”. Itt van, a vektor szabadsága – a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alap (szabad) vektorokat nem kell az origóból halogatni, az egyiket pl balra lent, a másikat meg jobbra fent lehet rajzolni, és ettől nem fog változni semmi! Igaz, ezt nem kell megtennie, mert a tanár is eredetiséget mutat, és "jóváírt" egy váratlan helyen.

A vektorok pontosan szemléltetik azt a szabályt, hogy egy vektort meg kell szorozni egy számmal, a vektor egyirányú az alapvektorral, a vektor ellentétes az alapvektorral. Ezeknek a vektoroknak az egyik koordinátája nulla, ez a következőképpen írható fel aprólékosan:

Az alapvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül:,. Egyébként mi az a vektorkivonás, és miért nem beszéltem a kivonás szabályáról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem hol, megjegyeztem, hogy a kivonás az összeadás speciális esete. Tehát a "de" és az "e" vektorok kiterjesztését nyugodtan összegként írjuk fel:, ... Kövesse a rajzot, hogyan működik a vektorok jó öreg háromszög-összeadása ezekben a helyzetekben.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak nevezik a rendszerben ort(vagyis az egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. A gyakorlati feladatokban mindhárom rögzítési lehetőséget használjuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis azt mondom: vektorok koordinátái nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyenírja le az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Kiszámoltuk a koordinátákat a gépen. Most nézzük a vektorokat a háromdimenziós térben, itt minden szinte ugyanaz! Csak egy további koordináta kerül hozzáadásra. Nehéz a háromdimenziós rajzokat elkészíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért elhalasztok az eredettől:

Bármi vektor a háromdimenziós tér lehet az egyetlen módja ortonormális alapon bővíteni:
, ahol a vektor (szám) koordinátái az adott bázisban.

Példa a képről: ... Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorszabályok. Először megszorozzuk a vektort egy számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (bíbor nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására:. Az összegvektor a kiindulási ponttól (vektor kezdete) kezdődik és a végső érkezési ponton (vektor végén) nyugszik.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan elhalasztani a vektort bármely más ponttól, és meg fogja érteni, hogy a felbomlása "vele marad".

Hasonló a lapos tokhoz, írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár.

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor azokat nullákra cseréljük. Példák:
vektor (precízen ) - írd le;
vektor (alaposan) - írja le;
vektor (precízen ) - leírjuk.

Az alapvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Talán itt van az összes minimális elméleti tudás, amely az analitikus geometria problémáinak megoldásához szükséges. Talán túl sok a kifejezés és a meghatározás, ezért javaslom a bábáknak, hogy olvassák el újra és értsék meg ezt az információt. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként hivatkozik az alapleckére az anyag jobb asszimilációja érdekében. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektordekompozíció – ezeket és más fogalmakat gyakran használjuk a következőkben. Megjegyzem, hogy az oldalon található anyagok nem elegendőek egy elméleti teszt, geometriai kollokvium sikeres letételéhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (a bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz a megértéshez. a tárgyról. A részletes elméleti háttérért kérjük, kövesse az Atanasyan professzor előtti meghajlást.

És áttérünk a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

Nagyon kívánatos a teljesen automatikusnak tekintett feladatok és a képletek megoldásának megtanulása memorizálni, nem is konkrétan megjegyzik, magukra emlékeznek =) Ez nagyon fontos, mivel az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz több időt tölteni a gyalogevéssel. Az ing felső gombjait nem kell rögzíteni, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamosan zajlik majd - síkban és térben egyaránt. Azért, mert az összes képletet... meglátod magad.

Hogyan keressünk vektort két pont alapján?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a és a tér két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

vagyis a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat a vektor eleje.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket! Képletek az óra végén.

1. példa

A sík és két pontja adott. Keresse meg a vektor koordinátáit

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő bejegyzés használható:

Az esztéták így döntenek:

Én személy szerint a felvétel első verzióját szoktam meg.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai feladatokra), de azért, hogy néhány pontot elmagyarázzam a báboknak, nem leszek lusta:

Feltétlenül meg kell érteni pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái A téglalap alakú koordinátarendszer szokásos koordinátái. Szerintem 5-6. osztálytól mindenki tudja, hogyan kell pontokat rakni a koordinátasíkon. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatod őket sehova.

Ugyanannak a vektornak a koordinátái A bővítése az alap szempontjából, ebben az esetben. Bármely vektor szabad, ezért ha akarjuk vagy szükséges, könnyen elhalaszthatjuk a sík más pontjáról. Érdekesség, hogy vektorokhoz egyáltalán nem lehet tengelyeket építeni, derékszögű koordinátarendszert, csak egy bázis kell, jelen esetben a sík ortonormális bázisa.

A pontok koordinátái és a vektorok koordinátái hasonlónak tűnnek:, és koordináták jelentése teljesen különbözőés tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is igaz.

Hölgyeim és uraim!

2. példa

a) Pontokat és kapnak. Keressen vektorokat és.
b) Pontokat adunk és . Keressen vektorokat és.
c) Pontokat és kapnak. Keressen vektorokat és.
d) Pontokat adnak. Keressen vektorokat .

Talán ennyi is elég. Ezek példák egy önálló megoldásra, próbáld meg nem hanyagolni, kifizetődik ;-). Nincs szükség rajzok készítésére. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos az analitikus geometriai feladatok megoldásánál? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOS legyen, hogy elkerülje a „kettő plusz kettő egyenlő nulla” műhelyhibát. Azonnal elnézést kérek, ha valahol hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modul jele jelzi.

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Ha a és két térpont adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat átrendezzük: és, de az első lehetőség szabványosabb.

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

szakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányos rajzot készít: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz egy közönséges vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van még néhány fontos szempont, amit szeretnék tisztázni:

Először a válaszban adjuk meg a dimenziót: "egységek". A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” - rövidítve „egység”.

Másodszor, megismételjük az iskolai anyagot, amely nemcsak a vizsgált probléma szempontjából hasznos:

figyelni fontos technika – tényezőt kiszedve a gyökér alól... A számítások eredményeként megkaptuk az eredményt, és a jó matematikai stílushoz hozzátartozik, hogy a faktort a gyökér alól kivesszük (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: ... Természetesen a válasz űrlapon hagyása nem hiba - de hiba, az biztos, és nyomós érv a tanári nyaggatás mellett.

Egyéb gyakori esetek a következők:

Gyakran meglehetősen nagy számot kapunk például a gyökér alatt. Mi a teendő ilyen esetekben? A számológépen ellenőrizze, hogy a szám osztható-e 4-gyel:. Igen, teljesen felosztották, így: ... Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? ... Ilyen módon: ... A szám utolsó számjegye páratlan, így harmadszorra egyértelműen nem lehet osztani 4-gyel. Megpróbáljuk kilenccel osztani:. Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt nem kivonható számot kapunk, akkor megpróbáljuk a faktort kivenni a gyökér alól - a számológépen megnézzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb. .

A különféle problémák megoldása során gyakran találkoznak a gyökerekkel, mindig a gyökér alól igyekezzenek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a felesleges problémákat a tanári megjegyzés szerint a megoldások kiegészítésével.

Ismételjük meg a négyzetre emelést és a többi hatványt egyszerre:

A diplomák általános kezelésének szabályait egy iskolai algebrai tankönyvben találjuk, de úgy gondolom, hogy a felhozott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.

Megoldás és válasz a lecke végén.

Hogyan találhatom meg egy vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott a térvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki .

Egységvektor- azt vektor, amelynek abszolút értéke (modulusa) egyenlő eggyel. Az egységvektor jelölésére az e alsó indexet használjuk, tehát ha adott egy vektor a, akkor egységvektora lesz a vektor a e) Ez az egységvektor ugyanabba az irányba van irányítva, mint maga a vektor a, és a modulusa egyenlő eggyel, azaz a e = 1.

Nyilvánvalóan, a= a a e (a - vektor modul a)... Ez abból a szabályból következik, amely szerint a skalárt vektorral megszorozzuk.

Egységvektorok gyakran a koordinátarendszer koordinátatengelyeihez kapcsolódnak (különösen a derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez). Ezek irányai vektorok egybeesnek a megfelelő tengelyek irányaival, és origójuk gyakran egybeesik a koordinátarendszer origójával.

Hadd emlékeztesselek erre Derékszögű koordinátarendszer térben hagyományosan az origónak nevezett pontban metsző, egymásra merőleges tengelyek hármasának nevezik. A koordinátatengelyeket általában X, Y, Z betűkkel jelölik, és abszcisszának, ordinátának és applikátnak nevezik. Maga Descartes csak egy tengelyt használt, amelyen az abszcisszákat ábrázolták. Használat érdeme rendszerek tengelye a tanítványaié. Ezért a kifejezés derékszögű koordinátarendszer történelmileg rossz. Inkább beszélni négyszögletes koordináta-rendszer vagy ortogonális koordinátarendszer... Ennek ellenére nem változtatunk a hagyományokon, és a jövőben feltételezzük, hogy a derékszögű és a derékszögű (ortogonális) koordinátarendszer egy és ugyanaz.

Egységvektor az X tengely mentén irányult én, egységvektor az Y tengely mentén van jelölve j, a egységvektor a Z tengely mentén irányult k... Vektorok én, j, k hívják orts(12. ábra balra) egyetlen modullal rendelkeznek, azaz
i = 1, j = 1, k = 1.

A tengelyek és orts derékszögű koordinátarendszer esetenként eltérő nevük és jelölésük van. Tehát az X abszcissza tengelyt érintő tengelynek nevezhetjük, és egységvektorát jelöljük τ (görög kisbetű tau), az ordináta a normáltengely, mértékegységét jelöljük n, az alkalmazási tengely a binormális tengely, egységvektorát jelöljük b... Miért változtatjuk meg a neveket, ha a lényeg ugyanaz marad?

A helyzet az, hogy például a mechanikában a testek mozgásának tanulmányozásakor nagyon gyakran használnak téglalap alakú koordináta-rendszert. Tehát, ha maga a koordinátarendszer stacionárius, és egy mozgó objektum koordinátáinak változását követjük ebben az álló rendszerben, akkor általában a tengelyek X, Y, Z, és orts illetőleg én, j, k.

De gyakran, amikor egy objektum valamilyen görbe vonalú pálya mentén mozog (például egy kör mentén), kényelmesebb figyelembe venni a mechanikai folyamatokat egy koordinátarendszerben, amely ezzel az objektummal együtt mozog. Egy ilyen mozgó koordináta-rendszerhez a tengelyek más nevei és mértékegységvektoraik is használatosak. Egyszerűen elfogadott. Ebben az esetben az X tengely érintőlegesen a pályára irányul azon a ponton, ahol ez az objektum éppen található. És akkor ezt a tengelyt már nem X-tengelynek, hanem érintőtengelynek hívják, és az egységét már nem jelölik én, a τ ... Az Y tengely a pálya görbületi sugara mentén irányul (kör mentén történő mozgás esetén a kör közepére). És mivel a sugár merőleges az érintőre, a tengelyt normál tengelynek nevezzük (a merőleges és a normál egy és ugyanaz). Ennek a tengelynek az egységvektorát már nem jelöljük j, a n... A harmadik tengely (korábban Z) merőleges az előző kettőre. Ez egy binormális ort-val b(12. ábra, jobb oldalon). Egyébként jelen esetben ilyen derékszögű koordinátarendszer gyakran "természetesnek" vagy természetesnek nevezik.

A geometriában egy vektort irányított szakasznak vagy rendezett pontpárnak nevezünk az euklideszi térben. Orthom vektor egy normalizált vektortér egységvektora vagy egy olyan vektor, amelynek normája (hossza) egyenlő eggyel.

Szükséged lesz

Geometria ismerete.

Utasítás

Először ki kell számítania a hosszát vektor... Mint tudod, a hossz (modulus) vektor egyenlő a koordináták négyzetösszegének négyzetgyökével. Legyen adott egy vektor koordinátákkal: a (3, 4). Ekkor a hossza |a | = (9 + 16) ^ 1/2 vagy | a | = 5.

Ort megtalálni vektor a, mindegyiket el kell osztani a hosszával. Az eredmény egy egységvektornak vagy egységvektornak nevezett vektor lesz. Mert vektorés (3, 4) az egységvektor a (3/5, 4/5) lesz. Az a` vektor egysége lesz vektor a.

Az egységvektor helyes megtalálásának ellenőrzéséhez a következőket teheti: keresse meg a kapott egység hosszát, akkor mindent helyesen talál, ha nem, akkor hiba csúszott a számításokba. Ellenőrizzük, hogy az a` egységvektort helyesen találtuk-e. Hossz vektor a` egyenlő: a` = (9/25 + 16/25) ^ 1/2 = (25/25) ^ 1/2 = 1. Tehát a hossz vektor a` egyenlő eggyel, így az egységvektor helyesen található.

Lesznek majd önálló megoldási feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.

Vektor koncepció

Mielőtt mindent megtudna a vektorokról és a rajtuk végzett műveletekről, hangolódjon rá egy egyszerű probléma megoldására. Van egy vektora a vállalkozásodnak és egy vektora az innovációs képességeidnek. A vállalkozói szellem vektora az 1. célhoz, az innovációs képességek vektora pedig a 2. célhoz vezet. A játékszabályok olyanok, hogy nem lehet egyszerre e két vektor irányába mozogni és egyszerre két célt elérni. A vektorok kölcsönhatásba lépnek egymással, vagy matematikai értelemben valamilyen műveletet hajtanak végre vektorokon. Ennek a műveletnek az eredménye az „Eredmény” vektor, amely a 3. célhoz vezet.

Most mondja meg: milyen művelet eredménye a „Vállalkozás” és „Innovatív képességek” vektorokon az „Eredmény” vektor? Ha nem tudja azonnal megmondani, ne csüggedjen. Ahogy haladsz ezen a leckén, képes leszel válaszolni erre a kérdésre.

Amint fentebb már láttuk, a vektor szükségszerűen egy pontból indul ki A egyenes vonalban egy bizonyos pontig B... Ezért minden vektornak nemcsak számértéke - hossza, hanem fizikai és geometriai - irányossága is van. Ez a vektor első és legegyszerűbb definíciójához vezet. Tehát a vektor egy pontból induló irányított szakasz A lényegre törő B... Megnevezése a következő:.

És másképp kezdeni vektoros műveletek , meg kell ismerkednünk még egy vektordefinícióval.

A vektor egyfajta reprezentációja annak a pontnak, ahová valamilyen kiindulási pontból el akarunk jutni. Például egy háromdimenziós vektort általában úgy írnak le (x, y, z) . Egyszerűen ezek a számok azt mutatják, hogy mekkora utat kell megtenni három különböző irányban, hogy elérjünk egy pontot.

Legyen adott egy vektor. Ahol x = 3 (jobb kéz jobbra mutat) y = 1 (bal kéz előre mutat) z = 5 (a pont alatt lépcső vezet fel). Ezen adatok szerint a jobb kéz által jelzett irányba 3 métert, majd a bal kézzel 1 métert sétálva találsz egy pontot, majd egy lépcső vár rád és 5 métert felmászva végül találja magát a végső ponton.

Az összes többi kifejezés a fenti magyarázat finomítása, amely a vektorokon végzett különféle műveletekhez, azaz gyakorlati problémák megoldásához szükséges. Nézzük át ezeket a szigorúbb definíciókat, és a tipikus vektorproblémáknál tartunk.

Fizikai példák vektormennyiségek lehetnek egy térben mozgó anyagi pont elmozdulása, ennek a pontnak a sebessége és gyorsulása, valamint a rá ható erő.

Geometriai vektor formában kétdimenziós és háromdimenziós térben bemutatva irányszakasz... Ez egy szegmens, amely különbséget tesz a kezdet és a vége között.

Ha A a vektor kezdete, és B- vége, akkor a vektort egy szimbólum vagy egy kisbetű jelöli. Az ábrán a vektor végét nyíl jelzi (1. ábra)

Hossz(vagy modult) egy geometriai vektorból az azt generáló szakasz hossza

A két vektort ún egyenlő , ha párhuzamos átvitellel egymáshoz igazíthatók (ha az irányok egybeesnek), pl. ha párhuzamosak, akkor ugyanabba az irányba mutatnak, és egyenlő hosszúak.

A fizikában gyakran úgy tartják lehorgonyzott vektorok az alkalmazás helye, hossza és iránya adja meg. Ha a vektor alkalmazási pontja nem számít, akkor átvihető, megtartva a hosszt és az irányt a tér bármely pontjára. Ebben az esetben a vektort ún ingyenes... Egyetértünk abban, hogy csak megfontoljuk szabad vektorok.

Lineáris műveletek geometriai vektorokon

Egy vektor szorzata egy számmal

A vektor szorzata szám szerint vektorból időnkénti nyújtással (at) vagy tömörítéssel (at) nyert vektornak nevezzük, és a vektor iránya megmarad, ha, és az ellenkezőjére változik, ha. (2. ábra)

A definícióból következik, hogy a vektorok és az = mindig egy vagy párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún kollineáris... (Mondhatjuk úgy is, hogy ezek a vektorok párhuzamosak, de a vektoralgebrában "kollineárisnak" szokás mondani.) Ez fordítva is igaz: ha a és a vektorok kollineárisak, akkor a reláció kapcsolja össze őket.

Ezért az (1) egyenlőség két vektor kollinearitási feltételét fejezi ki.

Vektorok összeadása és kivonása

A vektorok összeadásakor ezt tudnia kell összeg vektorokat, és vektornak nevezik, amelynek eleje egybeesik a vektor kezdetével, a vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy a vektor eleje a vektor végéhez kapcsolódik. (3. ábra)

Ez a meghatározás tetszőleges véges számú vektor között elosztható. Legyen hely adott n szabad vektorok. Több vektor összeadásakor a záró vektort veszik összegüknek, amelynek eleje egybeesik az első vektor kezdetével, a vége pedig az utolsó vektor végével. Vagyis ha a vektor elejét a vektor végéhez, a vektor elejét pedig a vektor végéhez csatolja stb. és végül a vektor végéig - a vektor elejéig, akkor ezeknek a vektoroknak az összege a záró vektor amelynek kezdete egybeesik az első vektor kezdetével, és a vége - az utolsó vektor végével. (4. ábra)

A kifejezéseket a vektor komponenseinek nevezzük, a megfogalmazott szabályt pedig az sokszög szabály... Ez a sokszög nem lehet sík.

Ha megszorozunk egy vektort -1-gyel, akkor az ellenkező vektort kapjuk. A és vektorok azonos hosszúságúak és ellentétes irányúak. Az összegük adja nulla vektor amelynek hossza nulla. A nulla vektor iránya meghatározatlan.

A vektoralgebrában nem kell külön figyelembe venni a kivonás műveletét: a vektorból egy vektor kivonása azt jelenti, hogy a vektorhoz hozzáadjuk az ellentétes vektort, azaz.

1. példa A kifejezés egyszerűsítése:

vagyis a vektorok a polinomokhoz hasonlóan összeadhatók és számokkal szorozhatók (különösen a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos feladatok). Általában a vektorok szorzatának kiszámítása előtt felmerül a lineárisan hasonló kifejezések vektorokkal történő egyszerűsítése.

2. példa A és vektorok az ABCD paralelogramma átlóiként szolgálnak (4a. ábra). Fejezd ki mindkét vektorral, és amelyek ennek a paralelogrammának az oldalai.

Megoldás. A paralelogramma átlóinak metszéspontja minden átlót kettéoszt. A problémafelvetésben megkívánt vektorok hosszát vagy a kívánt vektorokkal háromszöget alkotó vektorok összegének feleként, vagy a különbségek feleként (az átlóként szolgáló vektor irányától függően), vagy utóbbi esetben a mínusz előjellel felvett összeg fele. Az eredmény a problémafelvetésben szükséges vektorok:

Minden okunk megvan azt hinni, hogy most helyesen válaszolta meg a Vállalkozási és Innovatív Képesség vektorokkal kapcsolatos kérdést a lecke elején. Helyes válasz: ezeken a vektorokon összeadási műveletet hajtanak végre.

Oldja meg a vektorproblémákat saját maga, majd tekintse meg a megoldásokat

Hogyan találjuk meg a vektorok összegének hosszát?

Ez a feladat különleges helyet foglal el a vektorműveletekben, mivel trigonometrikus tulajdonságok felhasználásával jár. Tegyük fel, hogy a következőhöz hasonló feladattal találkozik:

Adott a vektorok hossza és ezen vektorok összegének hossza. Határozza meg ezen vektorok közötti különbség hosszát!

Megoldások erre és más hasonló problémákra és magyarázatok a megoldásukra - a leckében " Vektorösszeadás: vektorösszeg hossz és koszinusztétel ".

És ellenőrizheti az ilyen problémák megoldását Online számológép "A háromszög ismeretlen oldala (vektorösszeadás és koszinusztétel)" .

Hol vannak a vektorok szorzatai?

A vektoronkénti szorzatok nem lineáris műveletek, és külön kell figyelembe venni. És vannak vektorok pontterméke, vektorok és vektorok vegyes terméke oktatóanyagok.

Vektor vetítése egy tengelyre

A vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

Mint tudod, a pont vetülete A egyenesen (síkon) az ebből a pontból egyenesen (síkon) leejtett merőleges alapja.

Legyen tetszőleges vektor (5. ábra), és kezdőpontjának vetületei (pontok A) és vége (pontok B) tengelyenként l... (Egy pont vetületének elkészítéséhez A) a ponton átmenő egyenesen A egyenesre merőleges sík. Az egyenes és a sík metszéspontja határozza meg a kívánt vetületet.

Vektor komponens az l-tengelyen ezen a tengelyen fekvő vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a kezdet vetületével, a vége pedig a vektor végének vetületével.

A vektor vetülete a tengelyre l hívta a számot

egyenlő a komponensvektor hosszával ezen a tengelyen, plusz előjellel, ha az összetevők iránya egybeesik a tengely irányával l, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek.

A tengelyre vetített vektorvetítések alapvető tulajdonságai:

1. Ugyanazon tengelyen egyenlő vektorok vetületei egyenlők egymással.

2. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a vetülete megszorozódik ugyanazzal a számmal.

3. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok összegének vetületeinek összegével.

4. A vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

Megoldás. Vektorokat vetítenek egy tengelyre l a fenti elméleti háttérben meghatározottak szerint. Az 5a. ábrán látható, hogy a vektorok összegének vetülete egyenlő a vektorok vetületeinek összegével. A következő előrejelzéseket számítjuk ki:

Keresse meg a vektorok összegének végső vetületét:

Egy vektor kapcsolata derékszögű derékszögű koordinátarendszerrel a térben

Ismerkedés vele a megfelelő leckében egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer térben zajlott, kívánatos új ablakban megnyitni.

Rendezett koordinátarendszerben 0xyz tengely Ökör hívott abszcissza, tengely 0y – y tengely, és a tengely 0z – tengelyt alkalmazni.

Tetszőleges ponttal M térhez vektort társítunk

hívott sugár vektor pontokat Més vetítse ki az egyes koordinátatengelyekre. Jelöljük a megfelelő vetületek értékeit:

Számok x, y, z hívják M pont koordinátái, ill abszcissza, ordinátaés alkalmazni, és a számok rendezett pontjaként íródnak: M (x; y; z)(6. ábra).

Egy egységnyi hosszúságú vektort nevezünk, amelynek iránya egybeesik a tengely irányával egységvektor(vagy orthom) tengely. Jelöljük azzal

Ennek megfelelően a koordinátatengelyek egységvektorai Ökör, Oy, Oz

Tétel. Bármely vektor kiterjeszthető a koordinátatengelyek egységvektorai mentén:

(2)

A (2) egyenlőséget a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztésének nevezzük. Ennek a bővítésnek az együtthatói a vektor vetületei a koordináta tengelyekre. Így a vektor koordinátatengelyek mentén történő tágulási együtthatói (2) a vektor koordinátái.

Egy adott térbeli koordinátarendszer kiválasztása után a vektor és a koordinátáinak hármasa egyértelműen meghatározza egymást, így a vektor a következő alakba írható

A vektor (2) és (3) formájú ábrázolása megegyezik.

Kollinearitási feltétel a koordinátákban lévő vektorokhoz

Amint már említettük, a vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha a reláció összefügg

Legyen vektorok ... Ezek a vektorok kollineárisak, ha a vektorok koordinátáit a reláció összefügg

vagyis a vektorok koordinátái arányosak.

6. példa Adott vektorok ... Ezek a vektorok kollineárisak?

Megoldás. Nézzük meg ezeknek a vektoroknak a koordinátáinak arányát:

A vektorok koordinátái arányosak, ezért a vektorok kollineárisak, vagy ami megegyezik, párhuzamosak.

Vektor hossza és irány koszinuszai

A koordinátatengelyek egymásra merőlegessége miatt a vektor hossza

egyenlő a vektorokra épített téglalap alakú paralelepipedon átlójának hosszával

és az egyenlőség fejezi ki

(4)

A vektort teljesen definiáljuk két pont (kezdet és vég) megadásával, így a vektor koordinátái ezeknek a pontoknak a koordinátáival fejezhetők ki.

Legyen egy adott koordinátarendszerben a vektor origója a pontban

és a vége a ponton van

Az egyenlőségtől

Ezt követi

vagy koordináta formában

Ennélfogva, a vektor koordinátái megegyeznek a vektor végének és kezdetének azonos nevű koordinátáinak különbségével ... A (4) képlet ebben az esetben a formát veszi fel

A vektor irányát a irány koszinuszokat ... Ezek azoknak a szögeknek a koszinuszai, amelyeket a vektor a tengelyekkel alkot Ökör, Oyés Oz... Jelöljük rendre ezeket a szögeket α , β és γ ... Ekkor ezeknek a szögeknek a koszinuszai a képletekkel megkereshetők

Egy vektor iránykoszinuszai egyben ennek a vektornak az egységvektorának és így a vektorvektorának a koordinátái is.