Vektorok és műveletek vektorokon. Vektorok bábokhoz

Végül a kezembe került ez a kiterjedt és régóta várt téma. analitikus geometria. Először is egy kicsit a felsőbb matematikának erről a részéről... Bizonyára emlékszel most egy iskolai geometria tanfolyamra, számos tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók jelentős részének nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Furcsa módon az analitikus geometria érdekesebbnek és elérhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az „analitikus” jelző? Két sablonos matematikai kifejezés jut azonnal eszembe: „grafikus megoldási módszer” és „analitikus megoldási módszer”. Grafikus módszer, természetesen grafikonok és rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző vagy módszer problémák megoldásával jár főként algebrai műveletekkel. Ebben a tekintetben az analitikus geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek gondos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen ezt egyáltalán nem fogjuk tudni megtenni rajzok nélkül, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében a szükségen túl igyekszem azokat idézni.

Az újonnan megnyílt geometria tantárgy elméletileg nem teljes, hanem a gyakorlati feladatok megoldására koncentrál. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha teljesebb segítségre van szüksége valamelyik alfejezethez, ajánlom a következő, könnyen hozzáférhető irodalmat:

1) Egy dolog, amit nem vicc, több generáció ismer: Iskolai tankönyv a geometriáról, szerzők - L.S. Atanasyan and Company. Ez az iskolai öltözői fogas már 20 (!) utánnyomáson esett át, ami persze nem a határ.

2) Geometria 2 kötetben. Szerzői L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ez középiskolai irodalom, szüksége lesz rá első kötet. A ritkán előforduló feladatok kieshetnek a szemem elől, és az oktatóanyag felbecsülhetetlen segítség lesz.

Mindkét könyv ingyenesen letölthető online. Ezen kívül kész megoldásokkal használhatod az archívumomat, mely az oldalon található Példák letöltése a felsőbb matematikából.

Az eszközök között ismét saját fejlesztést javaslok - Szoftver csomag analitikus geometriában, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapvető geometriai fogalmakat és ábrákat: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelepipedon, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, üdv az ismétlőknek)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektorkoordinátákat. Javaslom a további olvasást a legfontosabb cikk Vektorok pontszorzata, és még Vektor és vektorok vegyes szorzata. Egy helyi feladat - ebből a szempontból egy szegmens felosztása - szintén nem lesz felesleges. A fenti információk alapján elsajátíthatja síkban lévő egyenes egyenlete Val vel a megoldások legegyszerűbb példái, ami lehetővé teszi megtanulják megoldani a geometriai feladatokat. A következő cikkek is hasznosak: Egyenlet egy sík térben, Egy egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok egyenesen és síkon, az analitikus geometria egyéb szakaszai. Természetesen a szokásos feladatokat is figyelembe veszik az út során.

Vektor koncepció. Ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont, a szakasz vége a pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha a nyilat a szegmens másik végére mozgatjuk, akkor kapunk egy vektort, és ez már meg is van teljesen más vektor. Kényelmes a vektor fogalmát a fizikai test mozgásával azonosítani: egyet kell érteni, egy intézet ajtaján belépni vagy egy intézet ajtaján elhagyni teljesen más dolog.

Célszerű egy sík vagy tér egyes pontjait ún nulla vektor. Egy ilyen vektornál a vége és a kezdet egybeesik.

!!! Jegyzet: Itt és a továbbiakban is feltételezhetjük, hogy a vektorok ugyanabban a síkban fekszenek, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege síkra és térre egyaránt érvényes.

Megnevezések: Sokan azonnal észrevették a botot, amelynél nincs nyíl a jelölésben, és azt mondták: van egy nyíl is a tetején! Igaz, nyíllal is írhatod: , de az is lehetséges a bejegyzés, amelyet a jövőben használni fogok. Miért? Nyilvánvalóan gyakorlati okokból alakult ki ez a szokásom az iskolában és az egyetemen túlságosan eltérő méretűnek és bozontosnak bizonyultak. Az ismeretterjesztő irodalomban néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki: , ezzel utalva arra, hogy ez egy vektor.

Ez a stilisztika volt, most pedig a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Ebben az esetben az első betű Szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
Konkrétan vektorunkat a rövidség kedvéért egy kis latin betűvel át lehet jelölni.

Hossz vagy modult a nullától eltérő vektort a szakasz hosszának nevezzük. A nulla vektor hossza nulla. Logikus.

A vektor hosszát a modulusjel jelzi: ,

Kicsit később megtanuljuk, hogyan találjuk meg egy vektor hosszát (vagy megismételjük, attól függően, hogy ki).

Ez alapvető információ volt a vektorokról, amelyeket minden iskolás ismer. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Egyszerűen szólva - a vektor bármely pontból ábrázolható:

Megszoktuk, hogy az ilyen vektorokat egyenlőnek nevezzük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban közöljük), de pusztán matematikai szempontból UGYANAZ A VEKTOR ill. ingyenes vektor. Miért ingyenes? Mert a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELY pontjához „rákapcsolhatja” ezt vagy azt az „iskola” vektort. Ez egy nagyon klassz funkció! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú irányított szegmenst - végtelen számú alkalommal és a tér bármely pontján „klónozható”, valójában MINDENHOL létezik. Van egy ilyen hallgatói mondás: Minden oktató aggodalommal tölti el a vektort. Végtére is, ez nem csak egy szellemes rím, szinte minden rendben van - egy irányított szegmens is hozzáadható. De ne rohanjon örülni, gyakran maguk a diákok szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- Ezt Egy csomó azonos irányított szegmensek. A vektor iskolai definíciója, amelyet a bekezdés elején adunk meg: „Az irányított szakaszt vektornak nevezzük...” különleges egy adott halmazból vett irányított szakasz, amely a sík vagy tér egy meghatározott pontjához van kötve.

Megjegyzendő, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma általában téves, és az alkalmazás szempontja számít. Valójában egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon, ami elég ahhoz, hogy továbbfejlessze a hülye példámat, más következményekkel jár. Azonban, szabadon vektorok is megtalálhatók a vyshmat során (oda ne menj :)).

Műveletek vektorokkal. A vektorok kollinearitása

Az iskolai geometria tanfolyam számos vektoros műveletet és szabályt tartalmaz: összeadás a háromszög szabály szerint, összeadás a paralelogramma szabály szerint, vektorkülönbség szabály, vektor szorzása számmal, vektorok skaláris szorzata stb. Kiindulásként ismételjünk meg két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikus geometria problémáinak megoldására.

A vektorok hozzáadásának szabálya a háromszögszabály segítségével

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Tekintettel arra, hogy minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort félretesszük vége vektor:

A vektorok összege a vektor. A szabály jobb megértése érdekében célszerű fizikai jelentést adni bele: hadd mozogjon valamilyen test a vektoron, majd a vektoron. Ekkor a vektorok összege a kapott útvonal vektora, melynek kezdete a kiindulási pontban van, a vége pedig az érkezési pontban van. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. Ahogy mondani szokták, a test nagyon dőlve is haladhat cikkcakk mentén, vagy esetleg robotpilóta segítségével - a kapott összegvektor mentén.

Egyébként, ha a vektort elhalasztják elindult vektor, akkor megkapjuk az ekvivalenst paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris, ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából véve párhuzamos vektorokról beszélünk. De velük kapcsolatban mindig a „kollineáris” jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat hívjuk társrendező. Ha a nyilak különböző irányokba mutatnak, akkor a vektorok lesznek ellentétes irányokba.

Megnevezések: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági jellel írható: , míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányítottak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

A munka egy nem nulla vektor egy számon olyan vektor, amelynek hossza egyenlő , és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető kép segítségével:

Nézzük meg részletesebben:

1 irány. Ha a szorzó negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a szorzót vagy belül tartalmazza, akkor a vektor hossza csökken. Tehát a vektor hossza fele a vektor hosszának. Ha a szorzó modulusa nagyobb egynél, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektor egy másikon keresztül fejeződik ki, például . Ennek a fordítottja is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikon keresztül, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. És így: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok közös irányításúak. Vektorok és szintén társrendezők. Az első csoport bármely vektora ellentétes irányú a második csoport bármely vektorához képest.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha azonos irányúak és azonos hosszúságúak. Megjegyzendő, hogy az együttirányú irányúság a vektorok kollinearitását jelenti. A meghatározás pontatlan (redundáns) lenne, ha azt mondanánk: „Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, egyirányúak és azonos hosszúságúak.”

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok ugyanazok a vektorok, amint azt az előző bekezdésben tárgyaltuk.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat a síkon. Ábrázoljunk egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert, és ábrázoljuk a koordináták origójából egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális. Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill. kollinearitásÉs ortogonalitás.

Kijelölés: A vektorok ortogonalitását a szokásos merőlegességi szimbólummal írjuk, például: .

A vizsgált vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts. Ezek a vektorok kialakulnak alapon a felszínen. Hogy mi az alap, az sokak számára intuitív módon világos, a cikkben részletesebb információk találhatók A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja Egyszerű szavakkal, a koordináták alapja és eredete meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet forr.

Néha a konstruált bázist ún ortonormális a sík alapja: „orto” - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a „normalizált” jelző egységet jelent, pl. a bázisvektorok hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például: . Koordinátavektorok ez tiltottátrendezni.

Bármi sík vektor az egyetlen módja kifejezve:
, Ahol - számok amelyeket úgy hívnak vektor koordináták ezen az alapon. És maga a kifejezés hívott vektorbontásalapján .

Felszolgált vacsora:

Kezdjük az ábécé első betűjével: . A rajzon jól látható, hogy egy vektor bázisra bontásakor az imént tárgyaltak kerülnek felhasználásra:
1) a vektor számmal való szorzásának szabálya: és ;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint: .

Most mentálisan ábrázolja a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy hanyatlása „kérlelhetetlenül követni fogja őt”. Itt van, a vektor szabadsága - a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alapvektorokat (szabad) nem kell az origóból kirajzolni, pl. az egyiket a bal alsóba, a másikat a jobb felsőbe lehet rajzolni, és semmi sem fog változni! Igaz, ezt nem kell megtennie, mivel a tanár eredetiséget is mutat, és egy váratlan helyen „kreditet” von le.

A vektorok pontosan szemléltetik a vektor számmal való szorzásának szabályát, a vektor az alapvektorral együtt, a vektor az alapvektorral ellentétes irányban irányul. Ezeknél a vektoroknál az egyik koordináta egyenlő nullával, pontosan így írhatja le:

A bázisvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül: , . Egyébként mi a vektoros kivonás, és miért nem beszéltem a kivonás szabályáról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem, hol, megjegyeztem, hogy a kivonás az összeadás speciális esete. Így a „de” és „e” vektorok kiterjesztése egyszerűen összegként írható fel: , . Kövesse a rajzot, hogy megtudja, mennyire tisztán működik ezekben a helyzetekben a vektorok háromszögszabály szerinti jó öreg összeadása.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak nevezik az ort rendszerben(azaz egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. Gyakorlati feladatokban mindhárom jelölési lehetőséget alkalmazzuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis elmondom: a vektorkoordináták nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Kitaláltuk a koordinátákat a gépen. Most nézzük a vektorokat a háromdimenziós térben, itt szinte minden a régi! Csak még egy koordinátát ad hozzá. Nehéz háromdimenziós rajzokat készíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért félreteszek az origótól:

Bármi 3D tér vektor az egyetlen módja bontsa ki ortonormális alapon:
, hol vannak a vektor (szám) koordinátái ebben a bázisban.

Példa a képről: . Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorszabályok. Először megszorozzuk a vektort egy számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (málna nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására: . Az összegvektor a kezdeti kiindulási pontnál (a vektor kezdetén) kezdődik és a végső érkezési pontnál (a vektor végén) ér véget.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan félretenni a vektort bármely más pontból, és megérti, hogy a felbomlása „vele marad”.

Hasonló a lapos tokhoz, írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár .

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor a helyükre nullákat teszünk. Példák:
vektor (alaposan ) - írjunk ;
vektor (alaposan) – írja le;
vektor (alaposan ) - írjunk .

A bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Talán ez az összes minimális elméleti tudás, amely az analitikus geometria problémáinak megoldásához szükséges. Sok kifejezés és meghatározás lehet, ezért azt javaslom, hogy a teáskannák olvassák el újra és értsék meg ezt az információt. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként az alapleckére hivatkozik, hogy jobban elsajátítsa az anyagot. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektorbontás – ezeket és más fogalmakat a jövőben gyakran használni fogják. Megjegyzem, hogy az oldalon található anyagok nem elegendőek az elméleti teszt vagy a geometriai kollokvium sikeres teljesítéséhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (és bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz a megértéshez. a téma. Ha részletes elméleti információkat szeretne kapni, kérjük, hajoljon meg Atanasyan professzor előtt.

És áttérünk a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

Nagyon tanácsos megtanulni a teljesen automatikusan figyelembe veendő feladatok megoldását és a képleteket memorizálni, nem is kell szándékosan emlékezni rá, ők maguk is emlékezni fognak rá =) Ez nagyon fontos, mivel az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz további időt tölteni a gyalogevéssel. . Nem kell rögzíteni a felső gombokat az ingen, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamos menetet fog követni - mind a sík, mind a tér szempontjából. Azért, mert az összes képletet... majd meglátod.

Hogyan keressünk vektort két pontból?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a térben két pont és és adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

vagyis a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat a vektor eleje.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket. Képletek az óra végén.

1. példa

Adott a sík két pontja és . Keresse meg a vektor koordinátáit

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő bejegyzés használható:

Az esztéták ezt fogják eldönteni:

Én személy szerint a felvétel első verzióját szoktam meg.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai problémákra), de azért, hogy néhány pontot tisztázzunk a próbabábukra, nem leszek lusta:

Mindenképpen meg kell értened pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái– ezek közönséges koordináták egy téglalap alakú koordinátarendszerben. A pontok koordinátasíkon való ábrázolását szerintem mindenki 5-6. osztálytól tudja. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatók sehova.

A vektor koordinátái– ez a bázis szerinti bővítése, jelen esetben. Bármely vektor szabad, így ha kívánjuk vagy szükséges, könnyen el tudjuk távolítani a sík másik pontjáról. Érdekes, hogy a vektorokhoz egyáltalán nem kell tengelyeket vagy téglalap alakú koordinátarendszert építeni, csak egy bázisra, jelen esetben a sík ortonormális bázisára van szükség.

A pontok koordinátái és a vektorok koordinátái hasonlónak tűnnek: , és koordináták jelentése teljesen különböző, és tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is vonatkozik.

Hölgyeim és uraim, töltsük meg a kezünket:

2. példa

a) Pontokat és kapnak. Keresse meg a vektorokat és .
b) Pontokat adunk És . Keresse meg a vektorokat és .
c) Pontokat és kapnak. Keresse meg a vektorokat és .
d) Pontokat adnak. Keressen vektorokat .

Talán ennyi is elég. Ezek a példák, hogy döntsd el magad, próbáld meg nem hanyagolni, kifizetődik ;-). Nincs szükség rajzok készítésére. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos analitikus geometriai feladatok megoldásánál? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOSAN legyünk, hogy elkerüljük a mesteri „kettő plusz kettő egyenlő nulla” hibát. Azonnal elnézést kérek, ha valahol hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modulusjel jelzi.

Ha a sík két pontja és , akkor a szakasz hosszát a képlet segítségével számíthatjuk ki

Ha a térben két pont és és adott, akkor a szakasz hossza a képlet segítségével számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat felcseréljük: és , de az első lehetőség szabványosabb

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

Vonalszakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányosan rajzol: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz szabályos vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van benne még egy-két fontos pont, amit szeretnék tisztázni:

Először is, a válaszban a dimenziót helyezzük el: „egységek”. A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” – rövidítve „egységek”.

Másodszor, ismételjük meg az iskolai anyagot, amely nemcsak a vizsgált feladathoz hasznos:

figyelni fontos technika – a szorzó eltávolítása a gyökér alól. A számítások eredményeként eredményt kapunk, és a jó matematikai stílus magában foglalja a faktor eltávolítását a gyökér alól (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: . Természetesen nem lenne hiba, ha a választ úgy hagynánk, de ez mindenképpen hiányosság és nyomós érv lenne a tanári civakodás mellett.

Íme más gyakori esetek:

A gyökér gyakran meglehetősen nagy számot produkál, például . Mi a teendő ilyen esetekben? A számológép segítségével ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e 4-gyel: . Igen, teljesen felosztották, így: . Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? . És így: . A szám utolsó számjegye páratlan, így a harmadszori 4-gyel való osztás nyilvánvalóan nem működik. Próbáljunk meg osztani kilenccel: . Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt olyan számot kapunk, amely egészében nem kinyerhető, akkor megpróbáljuk eltávolítani a faktort a gyökér alól - számológéppel ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb.

A különböző problémák megoldása során a gyökerek mindig a gyökér alól igyekeznek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a szükségtelen problémákat a tanári megjegyzések alapján történő véglegesítés során.

Ismételjük meg a négyzetgyököket és más hatványokat is:

A hatványokkal való operáció szabályai általános formában megtalálhatók egy iskolai algebrai tankönyvben, de azt hiszem, a felhozott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.

A megoldás és a válasz a lecke végén található.

Hogyan találjuk meg a vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott egy térvektor, akkor a hosszát a képlet alapján számítjuk ki .

Egységvektor- Ezt vektor, amelynek abszolút értéke (modulusa) egyenlő az egységgel. Egy egységvektor jelölésére az e alsó indexet fogjuk használni. Tehát, ha adott egy vektor A, akkor egységvektora lesz a vektor A e. Ez az egységvektor ugyanabba az irányba van irányítva, mint maga a vektor A, és a modulja egyenlő eggyel, azaz a e = 1.

Magától értetődően, A= a A e (a - vektor modul A). Ez abból a szabályból következik, amely szerint a skalárt vektorral megszorozzuk.

Egységvektorok gyakran kapcsolódnak egy koordináta-rendszer koordinátatengelyeihez (különösen egy derékszögű koordináta-rendszer tengelyeihez). Ezek irányai vektorok egybeesnek a megfelelő tengelyek irányaival, és origójukat gyakran kombinálják a koordinátarendszer origójával.

Hadd emlékeztesselek erre Derékszögű koordinátarendszer térben hagyományosan a koordináták origójának nevezett pontban metsző, egymásra merőleges tengelyek hármasát nevezik. A koordinátatengelyeket általában X, Y, Z betűkkel jelöljük, és abszcissza tengelynek, ordináta tengelynek és alkalmazási tengelynek nevezzük. Maga Descartes csak egy tengelyt használt, amelyen az abszcisszákat ábrázolták. Használat érdeme rendszerek tengelye a tanítványaié. Ezért a kifejezés Derékszögű koordinátarendszer történelmileg rossz. Inkább beszélni négyszögletes koordináta-rendszer vagy ortogonális koordinátarendszer. A hagyományokon azonban nem változtatunk, és a jövőben azt feltételezzük, hogy a derékszögű és a derékszögű (ortogonális) koordinátarendszer egy és ugyanaz.

Egységvektor, az X tengely mentén irányított, jelöli én, egységvektor, amely az Y tengely mentén van irányítva j, A egységvektor, amely a Z tengely mentén van irányítva k. Vektorok én, j, k hívják orts(12. ábra balra), ezek egymodulosak, azaz
i = 1, j = 1, k = 1.

A tengelyek és egységvektorok derékszögű koordinátarendszer esetenként eltérő nevük és jelölésük van. Így az X abszcissza tengelyt érintő tengelynek nevezhetjük, és egységvektorát jelöljük τ (görög kisbetű tau), az ordináta tengely a normál tengely, egységvektorát jelöljük n, az alkalmazási tengely a binormális tengely, egységvektorát jelöljük b. Miért változtassunk nevet, ha a lényeg ugyanaz marad?

Az a tény, hogy például a mechanikában a testek mozgásának tanulmányozásakor a téglalap alakú koordináta-rendszert nagyon gyakran használják. Tehát, ha maga a koordinátarendszer stacionárius, és egy mozgó objektum koordinátáinak változását követjük ebben az álló rendszerben, akkor általában a tengelyeket X, Y, Z, és egységvektorok illetőleg én, j, k.

De gyakran, amikor egy objektum valamilyen görbe vonal mentén mozog (például körben), kényelmesebb figyelembe venni a koordinátarendszerben az objektummal együtt mozgó mechanikai folyamatokat. Egy ilyen mozgó koordináta-rendszerhez más tengelyneveket és azok egységvektorait használjuk. Egyszerűen így van. Ebben az esetben az X tengely érintőlegesen a pályára irányul azon a ponton, ahol ez az objektum éppen található. És akkor ezt a tengelyt már nem X tengelynek hívják, hanem érintő tengelynek, és az egységvektorát már nem jelölik én, A τ . Az Y tengely a pálya görbületi sugara mentén irányul (körben történő mozgás esetén a kör közepére). És mivel a sugár merőleges az érintőre, a tengelyt normál tengelynek nevezzük (a merőleges és a normál ugyanaz). Ennek a tengelynek az egységvektorát már nem jelöljük j, A n. A harmadik tengely (korábban Z) merőleges az előző kettőre. Ez egy binormális orthával b(12. ábra, jobbra). Egyébként jelen esetben ilyen derékszögű koordinátarendszer gyakran "természetesnek" vagy természetesnek nevezik.

A geometriában a vektor egy irányított szakasz vagy egy rendezett pontpár az euklideszi térben. Ortom vektor egy normalizált vektortér egységvektora vagy egy olyan vektor, amelynek normája (hossza) eggyel egyenlő.

Szükséged lesz

Geometria ismerete.

Utasítás

Először ki kell számítania a hosszát vektor. Mint ismeretes, hossz (modulus) vektor egyenlő a koordináták négyzetösszegének négyzetgyökével. Legyen adott egy vektor koordinátákkal: a(3, 4). Ekkor a hossza |a| = (9 + 16)^1/2 vagy |a|=5.

Megtalálni az ort vektor a, mindegyiket el kell osztani a hosszával. Az eredmény egy orth-nak vagy egységvektornak nevezett vektor lesz. Mert vektor a(3, 4) ort az a(3/5, 4/5) vektor lesz. Az a` vektor egysége lesz vektor A.

Annak ellenőrzésére, hogy az ort helyesen található-e, a következőket teheti: keresse meg a kapott ort hosszát, ha egy, akkor mindent helyesen talált, ha nem, akkor hiba csúszott a számításokba; Ellenőrizzük, hogy az ort a` helyesen található-e. Hossz vektor a` egyenlő: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Tehát a hossz vektor a` egyenlő eggyel, ami azt jelenti, hogy az egységvektort helyesen találták meg.

Lesznek önálló megoldandó problémák is, amelyekre láthatod a válaszokat.

Vektor koncepció

Mielőtt mindent megtudna a vektorokról és a rajtuk végzett műveletekről, készüljön fel egy egyszerű probléma megoldására. Van egy vektora a vállalkozásodnak és egy vektora az innovációs képességeidnek. A vállalkozói szellem vektora az 1. célhoz, az innovatív képességek vektora pedig a 2. célhoz vezet. A játékszabályok olyanok, hogy nem lehet egyszerre haladni e két vektor irányában, és egyszerre két célt elérni. A vektorok kölcsönhatásba lépnek egymással, vagy matematikai nyelven szólva valamilyen műveletet végrehajtanak a vektorokon. Ennek a műveletnek az eredménye az „Eredmény” vektor, amely a 3. célhoz vezet.

Most mondd meg: melyik „Vállalkozás” és „Innovatív képességek” vektorokon végzett művelet eredménye az „Eredmény” vektor? Ha nem tudja azonnal megmondani, ne csüggedjen. Ahogy haladsz ezen a leckén, képes leszel válaszolni erre a kérdésre.

Mint fentebb láttuk, a vektor szükségszerűen egy bizonyos pontból származik A egyenes vonalban egy bizonyos pontig B. Ebből következően minden vektornak nemcsak számértéke - hossza, hanem fizikai és geometriai értéke is van - iránya. Ebből adódik a vektor első, legegyszerűbb meghatározása. Tehát a vektor egy pontból érkező irányított szakasz A lényegre törő B. Jelölése a következő: .

És kezdeni különféle műveletek vektorokkal , meg kell ismerkednünk a vektor egy további definíciójával.

A vektor egy olyan pont reprezentációja, amelyet valamilyen kiindulási pontból kell elérni. Például egy háromdimenziós vektort általában úgy írnak le (x, y, z) . Nagyon leegyszerűsítve ezek a számok azt jelentik, hogy mennyit kell gyalogolnia három különböző irányba, hogy eljuss egy ponthoz.

Legyen adott egy vektor. Ahol x = 3 (jobb kéz jobbra mutat), y = 1 (bal kéz előre mutat) z = 5 (a pont alatt lépcső vezet fel). Ezen adatok felhasználásával 3 métert a jobb kezével jelzett irányba sétálva talál egy pontot, majd 1 métert a bal kezével jelzett irányba, majd egy létra várja Önt és 5 métert emelkedve végre megtalálja. magát a végponton.

Az összes többi kifejezés a fent bemutatott magyarázat pontosítása, amely a vektorokon végzett különféle műveletekhez, azaz gyakorlati problémák megoldásához szükséges. Nézzük át ezeket a szigorúbb definíciókat, a tipikus vektorproblémákra összpontosítva.

Fizikai példák vektormennyiségek lehetnek egy térben mozgó anyagi pont elmozdulása, ennek a pontnak a sebessége és gyorsulása, valamint a rá ható erő.

Geometriai vektor formában kétdimenziós és háromdimenziós térben bemutatva irányszakasz. Ez egy olyan szegmens, amelynek van eleje és vége.

Ha A- a vektor eleje, és B- vége, akkor a vektort a szimbólum vagy egy kisbetű jelöli. Az ábrán a vektor végét nyíl jelzi (1. ábra)

Hossz(vagy modult) egy geometriai vektorból az azt generáló szakasz hossza

A két vektort ún egyenlő , ha kombinálhatók (ha az irányok egybeesnek) párhuzamos transzferrel, pl. ha párhuzamosak, azonos irányba irányítottak és egyenlő hosszúak.

A fizikában gyakran úgy tartják rögzített vektorok, amelyet az alkalmazás helye, hossza és iránya határoz meg. Ha a vektor alkalmazási pontja nem számít, akkor a hosszát és irányát megtartva a tér bármely pontjára átvihető. Ebben az esetben a vektort ún ingyenes. Egyetértünk abban, hogy csak megfontoljuk szabad vektorok.

Lineáris műveletek geometriai vektorokon

Egy vektor szorzata egy számmal

Egy vektor szorzata számonként olyan vektor, amelyet egy vektorból úgy kapunk, hogy egy tényezővel megnyújtjuk (at ) vagy összenyomjuk (at ), és a vektor iránya ugyanaz marad, ha , és az ellenkezőjére változik, ha . (2. ábra)

A definícióból az következik, hogy a vektorok és az = mindig egy vagy párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún kollineáris. (Mondhatjuk úgy is, hogy ezek a vektorok párhuzamosak, de a vektoralgebrában "kollineárisnak" szokás mondani.) Ez fordítva is igaz: ha a vektorok kollineárisak, akkor a reláció összefügg egymással.

Következésképpen az (1) egyenlőség két vektor kollinearitási feltételét fejezi ki.

Vektorok összeadása és kivonása

Ha vektorokat ad hozzá, ezt tudnia kell összeg vektorokat, és vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a vektor kezdetével, a vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy a vektor eleje a vektor végéhez kapcsolódik. (3. ábra)

Ez a meghatározás tetszőleges véges számú vektor között elosztható. Adják meg őket a térben n szabad vektorok. Több vektor összeadásakor ezek összegét a záró vektornak tekintjük, amelynek eleje egybeesik az első vektor elejével, a vége pedig az utolsó vektor végével. Vagyis ha a vektor elejét a vektor végéhez, a vektor elejét pedig a vektor végéhez csatolja stb. és végül a vektor végéig - a vektor elejéig, akkor ezeknek a vektoroknak az összege a záró vektor , amelynek eleje egybeesik az első vektor kezdetével, és a vége - az utolsó vektor végével. (4. ábra)

A kifejezéseket a vektor komponenseinek nevezzük, a megfogalmazott szabályt pedig az sokszög szabály. Ez a sokszög nem lehet sík.

Ha egy vektort megszorozunk a -1 számmal, akkor az ellenkező vektort kapjuk. A és vektorok azonos hosszúságúak és ellentétes irányúak. Az összegük adja nulla vektor, melynek hossza nulla. A nulla vektor iránya nincs meghatározva.

A vektoralgebrában nem kell külön figyelembe venni a kivonási műveletet: a vektorból egy vektor kivonása azt jelenti, hogy a vektorhoz hozzáadjuk az ellentétes vektort, azaz.

1. példa Egyszerűsítse a kifejezést:

vagyis a vektorok ugyanúgy összeadhatók és szorozhatók számokkal, mint a polinomok (különösen a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák). Jellemzően a vektorok szorzatainak kiszámítása előtt felmerül az igény a lineárisan hasonló kifejezések vektorokkal történő egyszerűsítésére.

2. példa Vektorok és az ABCD paralelogramma átlóiként szolgálnak (4a. ábra). Fejezzük ki a és a , , és , vektorokat, amelyek ennek a paralelogrammának az oldalai.

Megoldás. A paralelogramma átlóinak metszéspontja minden átlót felez. A problémafelvetésben szükséges vektorok hosszát vagy a szükségesekkel háromszöget alkotó vektorok összegének feleként, vagy a különbségek feleként (az átlóként szolgáló vektor irányától függően), vagy mint az utóbbi esetben, a mínusz előjellel felvett összeg fele. Az eredmény a problémafelvetésben szükséges vektorok:

Minden okunk megvan azt hinni, hogy most helyesen válaszolt a „Vállalkozási képesség” és az „Innovatív képességek” vektorokkal kapcsolatos kérdésre a lecke elején. Helyes válasz: ezeken a vektorokon összeadási műveletet hajtanak végre.

Oldja meg a vektorproblémákat saját maga, majd nézze meg a megoldásokat

Hogyan találjuk meg a vektorok összegének hosszát?

Ez a probléma különleges helyet foglal el a vektorokkal végzett műveletekben, mivel trigonometrikus tulajdonságokat használ. Tegyük fel, hogy a következőhöz hasonló feladattal találkozik:

A vektorhosszok adottak és ezen vektorok összegének hossza. Határozzuk meg ezen vektorok közötti különbség hosszát!

Megoldások erre és más hasonló problémákra és magyarázatok a megoldásukra a leckében Vektorösszeadás: a vektorok összegének hossza és a koszinusztétel ".

És megtekintheti az ilyen problémák megoldását a címen Online számológép "A háromszög ismeretlen oldala (vektorösszeadás és koszinusz tétel)" .

Hol vannak a vektorok szorzatai?

A vektor-vektor szorzatok nem lineáris műveletek, és külön kell figyelembe venni. És vannak leckék: "Vektorok skaláris szorzata" és "Vektorok vektoros és vegyes szorzata".

Vektor vetítése egy tengelyre

A vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

Mint ismeretes, egy pont vetülete A az egyenesen (síkon) az ebből a pontból az egyenesre (síkra) ejtett merőleges alapja.

Legyen tetszőleges vektor (5. ábra), és origójának vetületei (pontok A) és vége (pontok B) tengelyenként l. (Egy pont vetületének elkészítéséhez A) húzzon egy egyenest a ponton keresztül A egyenesre merőleges sík. Az egyenes és a sík metszéspontja határozza meg a szükséges vetületet.

Vektor komponens az l tengelyen Olyan ezen a tengelyen fekvő vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a kezdet vetületével, a vége pedig a vektor végének vetületével.

A vektor vetítése a tengelyre l hívott szám

egyenlő a komponensvektor hosszával ezen a tengelyen, pluszjellel véve, ha az összetevők iránya egybeesik a tengely irányával l, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek.

A tengelyre történő vektorvetítések alapvető tulajdonságai:

1. Egyenlő vektorok vetületei ugyanarra a tengelyre egyenlők egymással.

2. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a vetülete megszorozódik ugyanazzal a számmal.

3. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik a vektorok összegének ugyanazon tengelyre vetített vetületeinek összegével.

4. A vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

Megoldás. Vetítsünk vektorokat a tengelyre l a fenti elméleti háttérben meghatározottak szerint. Az 5a. ábrán látható, hogy a vektorok összegének vetülete egyenlő a vektorok vetületeinek összegével. A következő előrejelzéseket számítjuk ki:

Megtaláljuk a vektorok összegének végső vetületét:

Egy vektor és egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer kapcsolata a térben

Megismerni derékszögű derékszögű koordinátarendszer térben került sor a megfelelő leckében, célszerű új ablakban megnyitni.

A koordinátatengelyek rendezett rendszerében 0xyz tengely Ökör hívott x tengely, tengely 0y – y tengely, és tengely 0z – tengelyt alkalmazni.

Tetszőleges ponttal M tér kapcsolódni vektor

hívott sugárvektor pontokat Més vetítse ki az egyes koordinátatengelyekre. Jelöljük a megfelelő vetületek nagyságait:

Számok x, y, z hívják M pont koordinátái, ill abszcissza, ordinátaÉs alkalmazni, és a számok rendezett pontjaként vannak írva: M(x;y;z)(6. ábra).

Olyan egységnyi hosszúságú vektort nevezünk, amelynek iránya egybeesik a tengely irányával egységvektor(vagy ortom) tengelyek. Jelöljük azzal

Ennek megfelelően a koordinátatengelyek egységvektorai Ökör, Oy, Oz

Tétel. Bármely vektor kiterjeszthető koordinátatengelyek egységvektoraira:

(2)

A (2) egyenlőséget a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztésének nevezzük. Ennek a bővítésnek az együtthatói a vektor vetületei a koordináta tengelyekre. Így a vektor koordinátatengelyek mentén történő tágulási együtthatói (2) a vektor koordinátái.

Egy adott térbeli koordinátarendszer kiválasztása után a vektor és a koordinátáinak hármasa egyértelműen meghatározza egymást, így a vektor a következő alakba írható

A vektor (2) és (3) formájú ábrázolása megegyezik.

A vektorok kollinearitása koordinátákban

Amint már említettük, a vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha a reláció összefügg

Legyenek adottak a vektorok . Ezek a vektorok kollineárisak, ha a vektorok koordinátáit a reláció összefügg

vagyis a vektorok koordinátái arányosak.

6. példa. Vektorok adottak . Ezek a vektorok kollineárisak?

Megoldás. Nézzük meg az összefüggést ezen vektorok koordinátái között:

A vektorok koordinátái arányosak, ezért a vektorok kollineárisak, vagy ami ugyanaz, párhuzamosak.

Vektor hossza és irány koszinuszai

A koordinátatengelyek kölcsönös merőlegessége miatt a vektor hossza

egyenlő a vektorokra épített téglalap alakú paralelepipedon átlójának hosszával

és az egyenlőség fejezi ki

(4)

Egy vektort teljesen definiálunk két pont (kezdet és vég) megadásával, így a vektor koordinátái ezeknek a pontoknak a koordinátáival fejezhetők ki.

Legyen egy adott koordinátarendszerben a vektor origója a pontban

és a vége a ponton van

Az egyenlőségtől

Ezt követi

vagy koordináta formában

Ennélfogva, A vektor koordinátái megegyeznek a vektor végének és kezdetének ugyanazon koordinátái közötti különbségekkel . A (4) képlet ebben az esetben a következőt veszi fel

A vektor iránya meghatározásra kerül irány koszinuszokat . Ezek azoknak a szögeknek a koszinuszai, amelyeket a vektor a tengelyekkel alkot Ökör, OyÉs Oz. Jelöljük ezeket a szögeket ennek megfelelően α , β És γ . Ezután ezeknek a szögeknek a koszinuszai a képletekkel megkereshetők

Egy vektor iránykoszinuszai egyben az adott vektor vektorának koordinátái is és így a vektor vektora is