Komplex számok

Képzeletbeli És komplex számok. Abszcissza és ordináta

összetett szám. Komplex számok konjugálása.

Műveletek komplex számokkal. Geometriai

komplex számok ábrázolása. Komplex sík.

Komplex szám modulusa és argumentuma. Trigonometrikus

komplex szám alakja. Műveletek komplexussal

számok trigonometrikus formában. Moivre képlete.

Alapvető információk a képzeletbeli És komplex számok az „Imagináris és komplex számok” részben találhatók. Ezeknek az új típusú számoknak az igénye az esetre vonatkozó másodfokú egyenletek megoldása során merült felD< 0 (здесь D– másodfokú egyenlet diszkriminánsa). Ezek a számok sokáig nem találtak fizikai alkalmazást, ezért is nevezték „képzetes” számoknak. Most azonban nagyon széles körben használják a fizika különböző területein.

és technológia: elektrotechnika, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.

Komplex számok a következő formában vannak írva:a+bi. Itt aÉs b – valós számok , A én – képzeletbeli egység, azaz. e. én 2 = –1. Szám a hívott abszcissza, a b – ordinátaösszetett száma + bi .Két komplex száma+biÉs a–bi hívják konjugált komplex számok.

Főbb megállapodások:

1. Valós számAformában is írhatóösszetett szám:a+ 0 én vagy a – 0 én. Például 5 + 0 rekordokénés 5-0 énugyanazt a számot jelenti 5 .

2. Komplex szám 0 + kettőshívott pusztán képzeletbeli szám. Rekordkettősugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.

3. Két komplex száma+bi Ésc + diegyenlőnek tekintendők, haa = cÉs b = d. Másképp a komplex számok nem egyenlőek.

Kiegészítés. Komplex számok összegea+biÉs c + dikomplex számnak nevezzük (a+c ) + (b+d ) én.És így, hozzáadáskor a komplex számokat, azok abszcisszáját és ordinátáit külön-külön hozzáadjuk.

Ez a definíció megfelel a közönséges polinomokkal végzett műveletekre vonatkozó szabályoknak.

Kivonás. Két komplex szám különbségea+bi(csökkent) és c + di(részrész) komplex számnak (a–c ) + (b–d ) én.

És így, Két komplex szám kivonásakor az abszcisszáikat és az ordinátáikat külön-külön vonjuk ki.

Szorzás. Komplex számok szorzataa+biÉs c + di komplex számnak nevezzük:

(ac–bd ) + (ad+bc ) én.Ez a meghatározás két követelményből következik:

1) számok a+biÉs c + diúgy kell szorozni, mint az algebrai binomiálisok,

2) szám énfő tulajdonsága van:én 2 = – 1.

PÉLDA ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Ennélfogva, munka

két konjugált komplex szám egyenlő a valós számmal

pozitív szám.

Osztály. Ossz el egy komplex számota+bi (osztható) mássalc + di(osztó) - a harmadik szám megtalálását jelentie + f i(csevegés), amelyet osztóval megszorozvac + di, osztalékot eredményeza + bi .

Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.

PÉLDA Find (8+én ) : (2 – 3 én) .

Megoldás Írjuk át ezt az arányt törtté:

A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-malén

ÉS Az összes átalakítást követően a következőket kapjuk:

Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:

Itt van a lényeg Ajelentése –3, pontB– 2. szám, és O- nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Erre a célra téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex száma+bi ponttal lesz jelölve P abszcissza a és b ordináta (Lásd a képen). Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .

Modul komplex szám a vektor hosszaOP, komplex számot képvisel a koordinátán ( átfogó) repülőgép. Komplex szám modulusaa+bi jelölve | a+bi| vagy levelet r

A számológép használata

Egy kifejezés kiértékeléséhez meg kell adnia egy kiértékelendő karakterláncot. Számok beírásakor az egész és a tört részek közötti elválasztójel egy pont. Használhat zárójelet. A komplex számokkal végzett műveletek a szorzás (*), az osztás (/), az összeadás (+), a kivonás (-), a hatványozás (^) és mások. Komplex számok írásához exponenciális és algebrai formákat használhat. Írja be a képzeletbeli mértékegységet én más esetekben a szorzójel nélkül is lehetséges, például a zárójelek között vagy egy szám és egy konstans között. Konstansok is használhatók: a π számot piként, kitevőként kell megadni e, az indikátorban szereplő kifejezéseket zárójelek közé kell tenni.

Példasor a számításhoz: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), amely megfelel a \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

A számológép konstansokat, matematikai függvényeket, kiegészítő műveleteket és összetettebb kifejezéseket használhat, ezeket a funkciókat a számológépek használatára vonatkozó általános szabályok oldalon ismerheti meg ezen az oldalon.

Az oldal fejlesztés alatt áll, előfordulhat, hogy egyes oldalak nem érhetők el.

hírek

07.07.2016
Hozzáadott egy számológép nemlineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásához: .

30.06.2016
Az oldal reszponzív kialakítású, az oldalak megfelelően jelennek meg nagy monitorokon és mobileszközökön egyaránt.

Szponzor

RGROnline.ru – azonnali megoldás az online elektrotechnikai munkákhoz.

1. § Komplex számok: definíciók, geometriai értelmezések, műveletek algebrai, trigonometrikus és exponenciális formában

Komplex szám definíciója

Komplex egyenlőségek

Komplex számok geometriai ábrázolása

Komplex szám modulusa és argumentuma

Egy komplex szám algebrai és trigonometrikus alakja

Komplex szám exponenciális alakja

Euler-képletek

2. § Teljes függvények (polinomok) és alapvető tulajdonságaik. Algebrai egyenletek megoldása komplex számok halmazán

fokú algebrai egyenlet definíciója

A polinomok alapvető tulajdonságai

Példák algebrai egyenletek megoldására komplex számok halmazán

Önellenőrző kérdések

Szójegyzék

1. § Komplex számok: definíciók, geometriai értelmezések, műveletek algebrai, trigonometrikus és exponenciális formában

Egy komplex szám definíciója ( Adja meg a komplex szám definícióját!)

A z komplex szám a következő formájú kifejezés:

Komplex szám algebrai formában, (1)

ahol x, y Î;

- komplex konjugált szám z szám ;

- ellentétes szám z szám ;

- komplex nulla ;

– így jelöljük a komplex számok halmazát.

1)z = 1 + énÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – én, = –1 – én ;

2)z = –1 + énÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – én, = –1 –én ;

3)z = 5 + 0én= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0én = 5, = –5 – 0én = –5

Þ ha Im z= 0, akkor z = x- valós szám;

4)z = 0 + 3én = 3énÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3én = –3én , = –0 – 3én = – 3én

Þ ha Re z= 0, akkor z = iy - tisztán képzeletbeli szám.

Komplex egyenlőségek (Fogalmazd meg a komplex egyenlőség jelentését!)

1) ;

2) .

Egy komplex egyenlőség egyenértékű két valódi egyenlőség rendszerével. Ezeket a valós egyenlőségeket a valós és a képzeletbeli rész elválasztásával a komplex egyenlőségből kapjuk.

1) ;

2) .

Komplex számok geometriai ábrázolása ( Mi a komplex számok geometriai ábrázolása?)

Összetett szám z ponttal ábrázolva ( x , y) ennek a pontnak a komplex síkján vagy sugárvektorán.

Jel z a második negyedévben azt jelenti, hogy a derékszögű koordinátarendszert komplex síkként fogják használni.

Egy komplex szám modulja és argumentuma ( Mi egy komplex szám modulusa és argumentuma?)

A komplex szám modulusa egy nem negatív valós szám

.(2)

Geometriailag a komplex szám modulusa a számot reprezentáló vektor hossza z, vagy egy pont poláris sugara ( x , y).

Rajzolja fel a következő számokat a komplex síkra, és írja be trigonometrikus alakban!

1)z = 1 + én Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

vagyis z = 0 esetén az lesz

, j meghatározatlan.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal (Adjon definíciókat és sorolja fel a komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek főbb tulajdonságait!)

Komplex számok összeadása (kivonása).

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + én (y 1 ± y 2),(5)

vagyis a komplex számok összeadásánál (kivonásánál) ezek valós és képzetes részei összeadódnak (kivonódnak).

1)(1 + én) + (2 – 3én) = 1 + én + 2 –3én = 3 – 2én ;

2)(1 + 2én) – (2 – 5én) = 1 + 2én – 2 + 5én = –1 + 7én .

Az összeadás alapvető tulajdonságai

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Komplex számok szorzása algebrai formában

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + én 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + én (x 1y 2 + y 1x 2),

azaz a komplex számok algebrai formában történő szorzása a binomiális binomiális algebrai szorzás szabálya szerint történik, majd a hasonló számok valós és imaginárius cseréje és redukálása következik.

1)(1 + én)∙(2 – 3én) = 2 – 3én + 2én – 3én 2 = 2 – 3én + 2én + 3 = 5 – én ;

2)(1 + 4én)∙(1 – 4én) = 1 – 42 én 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + én)2 = 22 + 4én + én 2 = 3 + 4én .

Komplex számok szorzása trigonometrikus formában

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + én bűn j 1)× r 2 (cos j 2 + én bűn j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + én kötözősaláta j 1sin j 2 + én bűn j 1cos j 2 + én 2 bűn j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – bűn j 1sin j 2) + én(kötözősaláta j 1sin j 2 + bűn j 1cos j 2))

A trigonometrikus formájú komplex számok szorzata, vagyis a komplex számok trigonometrikus formájú szorzásakor moduljaikat megszorozzuk és argumentumaikat összeadjuk.

A szorzás alapvető tulajdonságai

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - kommutativitás;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asszociativitás;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - eloszlás az összeadás tekintetében;

4)z× 0 = 0; z×1 = z ;

Komplex számok osztása

Az osztás a szorzás fordított művelete, tehát

Ha z × z 2 = z 1 és z 2 ¹ 0, akkor .

Ha algebrai osztást hajtunk végre, a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a nevező összetett konjugátumával:

Komplex számok osztása algebrai formában.(7)

A trigonometrikus osztás végrehajtásakor a modulok felosztásra kerülnek, és az argumentumokat kivonják:

Komplex számok osztása trigonometrikus formában.(8)

2)
.

Komplex szám felemelése természetes hatványra

Kényelmesebb a hatványozást trigonometrikus formában végrehajtani:

Moivre képlete, (9)

vagyis ha egy komplex számot természetes hatványra emelünk, akkor a modulusát erre a hatványra emeljük, és az argumentumot megszorozzuk a kitevővel.

Számítsa ki (1 + én)10.

Megjegyzések

1. A szorzás és a természetes hatványra emelés műveletei trigonometrikus formában egy teljes fordulaton túli szögértékek nyerhetők. De ezek mindig lecsökkenthetők szögekre, vagy egész számú teljes fordulattal, a és a függvények periodicitási tulajdonságaival.

2. Jelentés egy komplex szám argumentumának főértéke;

ebben az esetben az összes lehetséges szög értékét jelöli;

nyilvánvaló, hogy , .

Természetes fok gyökének kinyerése komplex számból

Euler-képletek (16)

amelyre a trigonometrikus függvényeket és egy valós változót egy pusztán imaginárius kitevővel rendelkező exponenciális függvényen (kitevőn) keresztül fejezzük ki.

2. § Teljes függvények (polinomok) és alapvető tulajdonságaik. Algebrai egyenletek megoldása komplex számok halmazán

Két azonos fokú polinom n akkor és csak akkor azonosak egymással, ha együtthatóik egybeesnek a változó azonos hatványaira x, vagyis

Bizonyíték

w Az azonosító (3) az "xО (vagy az "xО) esetén érvényes"

Þ -ra érvényes; helyettesítve , kapunk an = bn .

Szüntessük meg kölcsönösen a (3) pont feltételeit! anÉs bnés mindkét részt elosztjuk azzal x :

Ez az azonosság a " x, beleértve azt is, hogy mikor x = 0

Þ feltételezve x= 0, kapjuk an – 1 = bn – 1.

Szüntessük meg kölcsönösen a feltételeket a (3"-ban) an– 1 és a n– 1, és mindkét oldalát elosztjuk x, ennek eredményeként kapunk

Az érvelést hasonlóan folytatva azt kapjuk, hogy an – 2 = bn –2, …, A 0 = b 0.

Így bebizonyosodott, hogy a 2-szeres polinomok azonos egyenlősége magában foglalja az együtthatóik azonos fokozatú egybeesését. x .

A fordított állítás joggal nyilvánvaló, i.e. ha két polinomnak ugyanaz az együtthatója, akkor ezek azonos függvények, ezért értékük egybeesik az argumentum összes értékére, ami azt jelenti, hogy azonosak. Az 1. tulajdonság teljes mértékben bevált. v

Polinom felosztásánál Pn (x) a különbséggel ( x – x 0) a maradék egyenlő Pn (x 0), vagyis

Bezout tétele, (4)

Ahol Qn – 1(x) - az osztás egész része, fokszámú polinom ( n – 1).

Bizonyíték

w Írjuk fel az osztási képletet maradékkal:

Pn (x) = (x – x 0)∙Qn – 1(x) + A ,

Ahol Qn – 1(x) - fokszámú polinom ( n – 1),

A- a maradék, ami a jól ismert algoritmusból adódóan egy polinom binomimmal osztva „egy oszlopban”.

Ez az egyenlőség a " x, beleértve azt is, hogy mikor x = x 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (x 0), stb. v

Következmény Bezout tételéhez. Egy polinom elosztásáról egy binomimmal maradék nélkül

Ha a szám x 0 a polinom nulla, akkor ezt a polinomot elosztjuk a ( x – x 0) maradék nélkül, azaz

Þ .(5)

1) , mivel P 3. (1) º 0

2) mert P 4(–2) º 0

3) mert P 2(–1/2) º 0

Polinomok felosztása binomiálisokra „egy oszlopban”:

_

_

_

_

_

Minden n ³ 1 fokú polinomnak van legalább egy nullája, valós vagy komplex

Ennek a tételnek a bizonyítása meghaladja kurzusunk kereteit. Ezért bizonyítás nélkül elfogadjuk a tételt.

Dolgozzuk át ezt a tételt és Bezout tételét a polinommal Pn (x).

Után n-e tételek többszöri alkalmazása azt kapjuk, hogy

Ahol a 0 az együttható at x n V Pn (x).

Következmény az algebra alaptételéhez. Egy polinom lineáris tényezőkre való felbontásáról

A komplex számok halmazának bármely fokszámú polinomja felbontható n lineáris tényezők, azaz

Polinom kiterjesztése lineáris tényezőkre, (6)

ahol x1, x2, ... xn a polinom nullai.

Sőt, ha k számok a készletből x 1, x 2, … xn egybeesnek egymással és az a számmal, akkor a (6) szorzatban a szorzó ( x– a) k. Aztán a szám x= a hívott a polinom k-szoros nullája Pn ( x) . Ha k= 1, akkor nullát hívunk a polinom egyszerű nullája Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - egyszerű nulla, x 2 = 4 - hármas nulla;

2)P 4(x) = (x – én)4 Þ x = én- nulla többszörösség 4.

4. tulajdonság (egy algebrai egyenlet gyökeinek számáról)

Bármely n fokú Pn(x) = 0 algebrai egyenletnek pontosan n gyöke van a komplex számok halmazán, ha minden gyöket annyiszor számolunk, ahányszor a többszöröse.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - másodfokú algebrai egyenlet

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± én- két gyökér;

2)x 3 + 1 = 0 - harmadfokú algebrai egyenlet

Þ x 1,2,3 = - három gyökér;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, mert P 3(1) = 0.

Oszd fel a polinomot P 3(x) tovább ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Eredeti egyenlet

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - egyszerű gyök, x 2 = –1 - kettős gyök.

1) – párosított komplex konjugált gyökök;

Minden valós együtthatóval rendelkező polinomot lineáris és másodfokú függvények valós együtthatós szorzatára bontunk.

Bizonyíték

w Legyen x 0 = a + kettős- polinom nullája Pn (x). Ha ennek a polinomnak az összes együtthatója valós szám, akkor az is nulla (5. tulajdonság szerint).

Számítsuk ki a binomiálisok szorzatát! :

komplex szám polinomiális egyenlete

Megvan ( x – a)2 + b 2 - négyzetes trinom valós együtthatókkal.

Így a (6) képletben bármely összetett konjugált gyökű binomiális pár valós együtthatójú másodfokú trinomiálishoz vezet. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Példák algebrai egyenletek megoldására komplex számok halmazán ( Mondjon példákat algebrai egyenletek megoldására komplex számok halmazán!)

1. Elsőfokú algebrai egyenletek:

, az egyetlen egyszerű gyök.

2. Másodfokú egyenletek:

, – mindig két gyökere van (különböző vagy egyenlő).

1) .

3. Binomiális fokozategyenletek:

, – mindig más gyökerei vannak.

,

Válasz: , .

4. Oldja meg a köbegyenletet!

A harmadik fokú egyenletnek három gyöke van (valós vagy összetett), és mindegyik gyöket annyiszor kell megszámolni, amennyi a többszöröse. Mivel ennek az egyenletnek az összes együtthatója valós szám, az egyenlet komplex gyökei, ha vannak, páros komplex konjugátumok lesznek.

Kiválasztással megtaláljuk az egyenlet első gyökét, hiszen .

Bezout tételének következményeként. Ezt a felosztást „egy oszlopban” számítjuk ki:

_
_
_

Ha a polinomot egy lineáris és egy négyzetes tényező szorzataként ábrázoljuk, a következőt kapjuk:

.

Más gyököket másodfokú egyenlet gyökeként találunk:

Válasz: , .

5. Szerkesszen meg egy legkisebb fokú, valós együtthatós algebrai egyenletet, ha ismert, hogy a számok x 1 = 3 és x 2 = 1 + én a gyökerei, és x 1 egy kettős gyök, és x 2 - egyszerű.

A szám egyben az egyenlet gyöke is, mert az egyenlet együtthatóinak valósnak kell lenniük.

Összességében a szükséges egyenletnek 4 gyöke van: x 1, x 1,x 2, . Ezért a foka 4. Összeállítunk egy 4. fokú polinomot nullákkal x

11. Mi az a komplex nulla?

13. Fogalmazza meg a komplex egyenlőség jelentését!

15. Mi egy komplex szám modulusa és argumentuma?

17. Mi a komplex szám argumentuma?

18. Mi a képlet neve vagy jelentése?

19. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

27. Adjon definíciókat és sorolja fel a komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek főbb tulajdonságait!

28. Mi a képlet neve vagy jelentése?

29. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

31. Mi a képlet neve vagy jelentése?

32. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

34. Mi a képlet neve vagy jelentése?

35. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

61. Sorolja fel a polinomok főbb tulajdonságait!

63. Adja meg a polinomnak az (x – x0) különbséggel való osztásának tulajdonságát!

65. Mi a képlet neve vagy jelentése?

66. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

67. ⌂ .

69. Fogalmazza meg a tételt: az algebra alaptételét!

70. Mi a képlet neve vagy jelentése?

71. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

75. Adja meg az algebrai egyenlet gyökeinek számának tulajdonságát!

78. Adja meg a valós együtthatós polinom lineáris és másodfokú tényezõkre való felosztásának tulajdonságát!

Szójegyzék

Egy polinom k-szoros nullája... (18. o.)

egy algebrai polinomot... (14. o.)

n-edik fokú algebrai egyenletet... (14. old.)

a komplex szám algebrai alakját... (5. old.)

egy komplex szám argumentuma... (4. oldal)

a z komplex szám valós része... (2. oldal)

egy komplex konjugált szám a... (2. oldal)

a komplex nulla... (2. oldal)

komplex számot hívnak... (2. oldal)

egy komplex szám n fokú gyökét nevezzük... (10. o.)

az egyenlet gyöke... (14. o.)

a polinom együtthatói... (14. o.)

a képzeletbeli egység... (2. oldal)

a z komplex szám képzeletbeli része... (2. oldal)

egy komplex szám modulusát úgy hívjuk... (4. o.)

függvény nulláját nevezzük... (14. o.)

a komplex szám exponenciális alakját... (11. o.)

egy polinomot... (14. o.)

egy polinom egyszerű nulláját nevezzük... (18. o.)

az ellenkező szám a... (2. oldal)

a polinom mértéke... (14. o.)

a komplex szám trigonometrikus alakját... (5. old.)

Moivre képlete... (9. o.)

Az Euler-képletek... (13. oldal)

az egész függvény neve... (14. o.)

egy tisztán képzeletbeli szám... (2. o.)

Idézzük fel a szükséges információkat a komplex számokról.

Összetett szám a forma kifejezése a + kettős, Ahol a, b valós számok, és én- ún képzeletbeli egység, egy szimbólum, amelynek négyzete egyenlő –1, azaz én 2 = –1. Szám a hívott valódi rész, és a szám b - képzeletbeli részösszetett szám z = a + kettős. Ha b= 0, akkor helyette a + 0én egyszerűen írnak a. Látható, hogy a valós számok a komplex számok speciális esetei.

A komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek megegyeznek a valós számokkal: összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók egymással. Az összeadás és kivonás a szabály szerint történik ( a + kettős) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)én, és a szorzás követi a szabályt ( a + kettős) · ( c + di) = (ac – bd) + (hirdetés + időszámításunk előtt)én(itt ezt használják én 2 = –1). Szám = a – kettős hívott komplex konjugátum Nak nek z = a + kettős. Egyenlőség z · = a 2 + b 2 lehetővé teszi, hogy megértse, hogyan kell egy komplex számot elosztani egy másik (nullatól eltérő) komplex számmal:

(Például, .)

Az összetett számoknak kényelmes és vizuális geometriai ábrázolása van: szám z = a + kettős koordinátákkal rendelkező vektorral ábrázolható ( a; b) a derékszögű síkon (vagy, ami majdnem ugyanaz, egy pont - egy vektor vége ezekkel a koordinátákkal). Ebben az esetben két komplex szám összegét ábrázoljuk a megfelelő vektorok összegeként (amelyet a paralelogramma szabály segítségével találhatunk meg). A Pitagorasz-tétel szerint a vektor hossza koordinátákkal ( a; b) egyenlő . Ezt a mennyiséget ún modultösszetett szám z = a + kettősés |-vel jelöljük z|. Azt a szöget, amelyet ez a vektor bezár az x tengely pozitív irányával (az óramutató járásával ellentétes irányba számolva), nevezzük érvösszetett szám zés Arg jelöli z. Az argumentum nem egyedileg definiált, hanem csak 2 többszörösének összeadásáig π radián (vagy 360°, ha fokban számoljuk) - elvégre egyértelmű, hogy az origó körül ekkora szöggel történő elforgatás nem változtatja meg a vektort. De ha a hosszvektor r szöget alkot φ az x tengely pozitív irányával, akkor a koordinátái egyenlőek ( r kötözősaláta φ ; r bűn φ ). Innentől kiderül trigonometrikus jelölésösszetett szám: z = |z| · (cos(Arg z) + én sin (Arg z)). Gyakran célszerű komplex számokat ilyen formában írni, mert ez nagyban leegyszerűsíti a számításokat. A komplex számok szorzása trigonometrikus formában nagyon egyszerű: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + én sin (Arg z 1 + Arg z 2)) (két komplex szám szorzásakor azok moduljait megszorozzuk és argumentumaikat összeadjuk). Innentől következzen Moivre képletei: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + én bűn( n· (Arg z))). Ezekkel a képletekkel könnyen megtanulható, hogyan lehet komplex számokból bármilyen fokú gyököt kivonni. z n-edik gyöke- ez egy komplex szám w, Mit w n = z. Ez egyértelmű , És hol k tetszőleges értéket vehet fel a halmazból (0, 1, ..., n- 1). Ez azt jelenti, hogy mindig pontosan van n gyökerei n foka egy komplex számnak (a síkon a reguláris csúcsain helyezkednek el n-gon).

A komplex számokkal kapcsolatos problémák megoldásához meg kell értenie az alapvető definíciókat. Ennek az áttekintő cikknek az a fő célja, hogy elmagyarázza, mi is azok a komplex számok, és bemutatja a komplex számokkal kapcsolatos alapvető problémák megoldásának módszereit. Tehát egy komplex számot az alak számának nevezünk z = a + bi, Ahol a, b- valós számok, amelyeket egy komplex szám valós, illetve imaginárius részének nevezünk, és jelölünk a = Re(z), b=Im(z).
én képzeletbeli egységnek nevezzük. i 2 = -1. Különösen minden valós szám összetettnek tekinthető: a = a + 0i, ahol a valódi. Ha a = 0És b ≠ 0, akkor a számot általában pusztán képzeletbelinek nevezik.

Most mutassuk be a komplex számokkal végzett műveleteket.
Tekintsünk két komplex számot z 1 = a 1 + b 1 iÉs z 2 = a 2 + b 2 i.

Mérlegeljük z = a + bi.

A komplex számok halmaza kiterjeszti a valós számok halmazát, ami viszont kiterjeszti a racionális számok halmazát stb. Ez a befektetési lánc látható az ábrán: N – természetes számok, Z – egész számok, Q – racionális, R – valós, C – komplex.

Komplex számok ábrázolása

Algebrai jelölés.

Tekintsünk egy komplex számot z = a + bi, a komplex szám írásának ezt a formáját nevezzük algebrai. Az előző részben már részletesen tárgyaltuk ezt a rögzítési formát. A következő vizuális rajzot meglehetősen gyakran használják

Trigonometrikus forma.

Az ábráról látható, hogy a szám z = a + bi másképp is írható. Ez nyilvánvaló a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, ennélfogva z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) komplex szám argumentumának nevezzük. A komplex számnak ezt a reprezentációját nevezzük trigonometrikus forma. A trigonometrikus jelölési forma néha nagyon kényelmes. Például célszerű használni egy komplex szám egész hatványra emelésére, nevezetesen, ha z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Azt z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ezt a képletet hívják Moivre képlete.

Demonstratív forma.

Mérlegeljük z = rcos(φ) + rsin(φ)i- komplex szám trigonometrikus formában, írja be más formában z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, az utolsó egyenlőség az Euler-képletből következik, így egy komplex szám írásának új formáját kaptuk: z = re iφ, ami az úgynevezett jelzésértékű. Ez a jelölési forma nagyon kényelmes komplex szám hatványra emelésére is: z n = r n e inφ, Itt n nem feltétlenül egész szám, de lehet tetszőleges valós szám. Ezt a jelölési formát meglehetősen gyakran használják problémák megoldására.

A magasabb algebra alaptétele

Képzeljük el, hogy van egy másodfokú egyenletünk: x 2 + x + 1 = 0. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, és nincsenek valódi gyökerei, de kiderül, hogy ennek az egyenletnek két különböző összetett gyöke van. Tehát a magasabb algebra alaptétele kimondja, hogy minden n fokú polinomnak van legalább egy komplex gyöke. Ebből az következik, hogy minden n fokú polinomnak pontosan n összetett gyöke van, figyelembe véve azok multiplicitását. Ez a tétel nagyon fontos eredmény a matematikában, és széles körben használják. Ennek a tételnek az az egyszerű következménye, hogy az egység n fokának pontosan n különböző gyöke van.

Fő feladattípusok

Ez a rész a komplex számokkal kapcsolatos egyszerű problémák főbb típusait tekinti át. A komplex számokkal kapcsolatos problémák hagyományosan a következő kategóriákba sorolhatók.

• Egyszerű aritmetikai műveletek végrehajtása komplex számokon.
• Polinomok gyökeinek megkeresése komplex számokban.
• Komplex számok hatványokká emelése.
• Gyökök kinyerése komplex számokból.
• Komplex számok használata egyéb problémák megoldására.

Most nézzük meg az általános módszereket ezeknek a problémáknak a megoldására.

A komplex számokkal végzett legegyszerűbb aritmetikai műveleteket az első részben leírt szabályok szerint hajtjuk végre, de ha a komplex számokat trigonometrikus vagy exponenciális formában adjuk meg, akkor ebben az esetben algebrai formába konvertálhatjuk és ismert szabályok szerint hajthatjuk végre a műveleteket.

A polinomok gyökereinek megtalálása általában egy másodfokú egyenlet gyökereinek megkereséséhez vezet. Tegyük fel, hogy van egy másodfokú egyenletünk, és ha a diszkriminánsa nem negatív, akkor a gyökerei valósak és egy jól ismert képlet szerint megtalálhatók. Ha a diszkrimináns negatív, azaz D = -1∙a 2, Ahol a egy bizonyos szám, akkor a diszkrimináns így ábrázolható D = (ia) 2, ennélfogva √D = i|a|, majd használhatja a már ismert képletet egy másodfokú egyenlet gyökére.

Példa. Térjünk vissza a fent említett másodfokú egyenlethez x 2 + x + 1 = 0.
diszkriminatív - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Most könnyen megtaláljuk a gyökereket:

A komplex számok hatványokká emelése többféle módon történhet. Ha egy komplex számot algebrai formában kis hatványra kell emelni (2 vagy 3), akkor ezt megteheti közvetlen szorzással, de ha a hatvány nagyobb (feladatokban gyakran sokkal nagyobb), akkor Írja ezt a számot trigonometrikus vagy exponenciális formában, és használja a már ismert módszereket.

Példa. Tekintsük z = 1 + i-t, és emeljük a tizedik hatványra.
Írjuk fel z-t exponenciális alakban: z = √2 e iπ/4.
Akkor z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Térjünk vissza az algebrai formához: z 10 = -32i.

A gyökök kinyerése a komplex számokból a hatványozás fordított művelete, ezért hasonló módon hajtjuk végre. A gyökök kivonásához gyakran használják a szám exponenciális írásmódját.

Példa. Keressük meg az egység 3. fokának összes gyökerét. Ehhez megkeressük a z 3 = 1 egyenlet összes gyökerét, a gyököket exponenciális formában keressük.
Helyettesítsük be az egyenletbe: r 3 e 3iφ = 1 vagy r 3 e 3iφ = e 0 .
Tehát: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, tehát φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3 esetén különböző gyököket kapunk.
Ezért 1, e i2π/3, e i4π/3 gyök.
Vagy algebrai formában:

Az utóbbi típusú problémák nagyon sokféle problémát foglalnak magukban, és ezek megoldására nincsenek általános módszerek. Nézzünk egy egyszerű példát egy ilyen feladatra:

Keresse meg az összeget sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Ennek a feladatnak a megfogalmazása ugyan nem tartalmaz komplex számokat, de segítségükkel könnyen megoldható. Ennek megoldására a következő reprezentációkat használjuk:


Ha most ezt az ábrázolást behelyettesítjük az összegbe, akkor a probléma a szokásos geometriai haladás összegzésére redukálódik.

Következtetés

A komplex számok széles körben használatosak a matematikában, ebben az áttekintő cikkben megvizsgáltuk a komplex számokkal kapcsolatos alapvető műveleteket, és röviden ismertettük a megoldásuk általános módszereit a komplex számok lehetőségeinek részletesebb tanulmányozására használjon szakirodalmat.

Irodalom