Hogyan ábrázoljuk az y=sin x függvényt? Először nézzük meg az intervallum szinuszgrafikonját.

Egyetlen 2 cella hosszúságú szegmenst veszünk fel a notebookban. Az Oy tengelyen jelölünk egyet.

A kényelem kedvéért a π/2 számot 1,5-re kerekítjük (és nem 1,6-ra, ahogy azt a kerekítési szabályok előírják). Ebben az esetben egy π/2 hosszúságú szegmens 3 cellának felel meg.

Az Ox tengelyen nem egyedi szegmenseket jelölünk, hanem π/2 hosszúságú szegmenseket (minden 3 cellában). Ennek megfelelően egy π hosszúságú szegmens 6 cellának, egy π/6 hosszúságú szegmens pedig 1 cellának felel meg.

Ezzel az egységszegmens kiválasztásával a notebook lapján egy dobozban ábrázolt grafikon a lehető legnagyobb mértékben megfelel az y=sin x függvény grafikonjának.

Készítsünk egy táblázatot az intervallum szinuszértékeiről:

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük:

Mivel y=sin x páratlan függvény, a szinuszgráf szimmetrikus az origóhoz - O(0;0) ponthoz. Ezt a tényt figyelembe véve folytatjuk a grafikon ábrázolását balra, majd a -π pontokat:

Az y=sin x függvény periodikus, T=2π periódussal. Ezért a [-π;π] intervallumon felvett függvény grafikonja végtelen számú alkalommal ismétlődik jobbra és balra.

Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám megfelel az egységkör egyetlen pontjának. Egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás hatálya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Azok az időközök, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkciók:

13) Maximális pont:

14) Maximális funkciók:

Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára haladó szintű matematikával - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés mélyreható tanulmányozása.-M.: Prosveshchenie, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Oktatási portál a vizsgákra való felkészüléshez ().

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a bemutató összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

A vas rozsdásodik anélkül, hogy hasznot találna,
az álló víz megrohad vagy megfagy a hidegben,
és az ember elméje, nem találva magának hasznot, elsorvad.
Leonardo da Vinci

Alkalmazott technológiák: probléma alapú tanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.

Célok:

• A tanulás iránti kognitív érdeklődés fejlesztése.
• Az y = sin x függvény tulajdonságainak tanulmányozása.
• Gyakorlati készségek kialakítása az y = sin x függvény grafikonjának megalkotásában a tanulmányozott elméleti anyag alapján.

Feladatok:

1. Használja ki az y = sin x függvény tulajdonságairól meglévő tudásban rejlő lehetőségeket adott helyzetekben.

2. Alkalmazza az y = sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti összefüggések tudatos felállítását.

Fejleszteni kell a kezdeményezőkészséget, bizonyos hajlandóságot és érdeklődést a megoldás megtalálása iránt; döntéshozatal képessége, ne álljon meg itt, és megvédje álláspontját.

Elősegíti a tanulókban a kognitív tevékenységet, a felelősségérzetet, az egymás iránti tiszteletet, a kölcsönös megértést, a kölcsönös támogatást és az önbizalmat; kommunikációs kultúra.

Az órák alatt

1. szakasz. Alapismeretek felfrissítése, új tananyag tanulásának motiválása

– Belépés a leckébe.

A táblára három állítás van felírva:

1. A sin t = a trigonometrikus egyenletnek mindig vannak megoldásai.
2. Egy páratlan függvény grafikonja az Oy tengely körüli szimmetriatranszformációval szerkeszthető meg.
3. Egy trigonometrikus függvény egy fő félhullámmal ábrázolható.

A tanulók párban megbeszélik: igazak az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményei (igen, nem) ezután bekerülnek a táblázatba az "Előtte" oszlopban.

A tanár határozza meg az óra céljait és célkitűzéseit.

2. Az ismeretek felfrissítése (frontálisan egy trigonometrikus kör modelljén).

Az s = sin t függvénnyel már megismerkedtünk.

1) Milyen értékeket vehet fel a t változó? Mi ennek a funkciónak a hatóköre?

2) Milyen intervallumban vannak a sin t kifejezés értékei? Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!

4) Mi történik egy pont ordinátájával, amikor az az első negyedben mozog? (az ordináta nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordináta fokozatosan csökken). Hogyan kapcsolódik ez a függvény monotonitásához? (az s = sin t függvény a szakaszon növekszik, a szakaszon csökken).

5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a számunkra ismerős y = sin x formában (a szokásos xOy koordinátarendszerben fogjuk megszerkeszteni), és állítsuk össze a függvény értékeinek táblázatát.

x	0
nál nél	0			1			0

2. szakasz. Érzékelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás

4. szakasz. Az ismeretek és a tevékenységi módszerek elsődleges rendszerezése, átadása és alkalmazása új helyzetekben

6. No. 10.18 (b,c)

5. szakasz. Végső ellenőrzés, javítás, értékelés és önértékelés

7. Visszatérünk az állításokhoz (az óra eleje), megbeszéljük az y = sin x trigonometrikus függvény tulajdonságait, és kitöltjük a táblázat „Utána” oszlopát.

8. D/z: 10. záradék, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

FUNKCIÓGRAFIKA

Szinuszfüggvény

- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— szegmens [-1; 1], azaz szinuszfüggvény - korlátozott.

Páratlan függvény: sin(−x)=−sin x minden x ∈ esetén R.

A függvény periodikus

sin(x+2π k) = sin x, ahol k ∈ Z minden x ∈ esetén R.

sin x = 0 x = π k esetén k ∈ Z.

sin x > 0(pozitív) minden x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ esetén Z.

bűn x< 0 (negatív) minden x ∈ esetén (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Koszinusz függvény

Funkció Domain- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— szegmens [-1; 1], azaz koszinusz függvény - korlátozott.

Páros funkció: cos(−x)=cos x minden x ∈ esetén R.

A függvény periodikus a legkisebb pozitív periódussal 2π:

cos(x+2π k) = cos x, ahol k ∈ Z minden x ∈ esetén R.

cos x = 0 nál nél
cos x > 0 mindenkinek
cos x< 0 mindenkinek
A funkció növekszik-1-től 1-ig intervallumonként:
A funkció csökken-1-től 1-ig intervallumonként:
A sin x = 1 függvény legnagyobb értéke pontokon:
A sin x = −1 függvény legkisebb értéke pontokon:

Érintő függvény

Több funkcióérték— a teljes számsor, azaz. érintő - függvény korlátlan.

Páratlan függvény: tg(−x)=−tg x
A függvény grafikonja szimmetrikus az OY tengelyre.

A függvény periodikus a legkisebb pozitív periódussal π, azaz. tg(x+π k) = barna x, k ∈ Z minden x-re a definíciós tartományból.

Kotangens függvény

Több funkcióérték— a teljes számsor, azaz. kotangens - függvény korlátlan.

Páratlan függvény: ctg(-x)=-ctg x minden x-re a definíciós tartományból.
A függvény grafikonja szimmetrikus az OY tengelyre.

A függvény periodikus a legkisebb pozitív periódussal π, azaz. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z minden x-re a definíciós tartományból.

Arcsine függvény

Funkció Domain— szegmens [-1; 1]

Több funkcióérték- szegmens -π /2 arcsin x π /2, azaz. arcszinusz - függvény korlátozott.

Páratlan függvény: arcsin(−x)=−arcsin x minden x ∈ esetén R.
A függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Az egész definíciós területen.

Ív koszinusz függvény

Funkció Domain— szegmens [-1; 1]

Több funkcióérték— 0 arccos x π szegmens, azaz. arccosine - függvény korlátozott.

A funkció növekszik a teljes definíciós területen.

Arktangens függvény

Funkció Domain- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— 0 π szegmens, azaz. arctangens - függvény korlátozott.

Páratlan függvény: arctg(−x)=−arctg x minden x ∈ esetén R.
A függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

A funkció növekszik a teljes definíciós területen.

Ív érintő függvény

Funkció Domain- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— 0 π szegmens, azaz. arccotangens - függvény korlátozott.

A függvény se nem páros, se nem páratlan.
A függvény grafikonja nem aszimmetrikus sem a koordináták origójához, sem az Oy tengelyhez képest.

A funkció csökken a teljes definíciós területen.

Óra és előadás a témában: "Y=sin(x) függvény. Definíciók és tulajdonságok"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Kézikönyvek és szimulátorok az Integral online áruházban 10. osztályhoz az 1C-től
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív építési feladatok 7-10
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Amit tanulmányozni fogunk:

• Az Y=sin(X) függvény tulajdonságai.
• Függvénygrafikon.
• Hogyan készítsünk grafikont és léptékét.
• Példák.

A szinusz tulajdonságai. Y=sin(X)

Srácok, már megismerkedtünk egy numerikus argumentum trigonometrikus függvényeivel. Emlékszel rájuk?

Nézzük meg közelebbről az Y=sin(X) függvényt

Írjuk fel ennek a függvénynek néhány tulajdonságát:
1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza.
2) A függvény páratlan. Emlékezzünk a páratlan függvény definíciójára. Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség teljesül: y(-x)=-y(x). Ahogy a szellemképletekből emlékszünk: sin(-x)=-sin(x). A definíció teljesül, ami azt jelenti, hogy Y=sin(X) páratlan függvény.
3) Az Y=sin(X) függvény növekszik a szakaszon, és csökken a [π/2; π]. Amikor az első negyedben haladunk (az óramutató járásával ellentétes irányban), az ordináta növekszik, és amikor áthaladunk a második negyeden, akkor csökken.

4) Az Y=sin(X) függvény alulról és felülről korlátozott. Ez a tulajdonság abból következik, hogy
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) A függvény legkisebb értéke -1 (x = - π/2+ πk-nél). A függvény legnagyobb értéke 1 (x = π/2+ πk-nál).

Használjuk az 1-5 tulajdonságokat az Y=sin(X) függvény ábrázolására. A gráfunkat szekvenciálisan készítjük el, tulajdonságainkat alkalmazva. Kezdjük a grafikon felépítését a szegmensen.

Különös figyelmet kell fordítani a skálára. Az ordináta tengelyen kényelmesebb egy 2 cellával egyenlő egységszegmenst, az abszcissza tengelyen pedig egy π/3-mal egyenlő egységszegmenst (két cellát) venni (lásd az ábrát).

A szinusz x függvény ábrázolása, y=sin(x)

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmensünkön:

Készítsünk grafikont pontjaink felhasználásával, figyelembe véve a harmadik tulajdonságot.

Átalakító táblázat szellemképletekhez

Használjuk a második tulajdonságot, amely szerint a függvényünk páratlan, ami azt jelenti, hogy szimmetrikusan tükrözhető az origóhoz képest:

Tudjuk, hogy sin(x+ 2π) = sin(x). Ez azt jelenti, hogy a [- π; π] a grafikon ugyanúgy néz ki, mint a [π; 3π] vagy vagy [-3π; - π] és így tovább. Nincs más dolgunk, mint gondosan átrajzolni az előző ábrán látható grafikont a teljes x tengely mentén.

Az Y=sin(X) függvény grafikonját szinuszosnak nevezzük.

Írjunk még néhány tulajdonságot a felépített gráf szerint:
6) Az Y=sin(X) függvény bármely alakú szegmensén növekszik: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k egész szám, és a következő alak bármely szegmensén csökken: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – egész szám.
7) Az Y=sin(X) függvény folytonos függvény. Nézzük meg a függvény grafikonját, és győződjünk meg arról, hogy a függvényünkben nincs törés, ez folytonosságot jelent.
8) Értéktartomány: szegmens [- 1; 1]. Ez jól látható a függvény grafikonján is.
9) Y=sin(X) függvény – periodikus függvény. Nézzük meg újra a grafikont, és nézzük meg, hogy a függvény bizonyos időközönként ugyanazokat az értékeket veszi fel.

Példák a szinuszos problémákra

1. Oldja meg a sin(x)= x-π egyenletet!

Megoldás: Készítsünk 2 grafikont a függvényből: y=sin(x) és y=x-π (lásd az ábrát).
Grafikonjaink egy A(π;0) pontban metszik egymást, ez a válasz: x = π

2. Ábrázolja az y=sin(π/6+x)-1 függvényt

Megoldás: A kívánt grafikont úgy kapjuk meg, hogy az y=sin(x) függvény grafikonját π/6 egységgel balra és 1 egységgel lefelé mozgatjuk.

Megoldás: Készítsük el a függvény grafikonját, és tekintsük a [π/2; 5π/4].
A függvény grafikonja azt mutatja, hogy a legnagyobb és a legkisebb értékeket a szegmens végén, a π/2 és 5π/4 pontokban érjük el.
Válasz: sin(π/2) = 1 – a legnagyobb érték, sin(5π/4) = a legkisebb érték.

Szinuszfeladatok a független megoldáshoz

• Oldja meg az egyenletet: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Ábrázolja az y=sin(π/3+x)-2 függvényt
• Ábrázolja az y=sin(-2π/3+x)+1 függvényt
• Keresse meg az y=sin(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szakaszon!
• Határozzuk meg az y=sin(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [- π/3 intervallumon; 5π/6]