3.1. Egyenletes mozgás egyenes vonalban.

3.1.1. Egyenletes mozgás egyenes vonalban- egyenes vonalú mozgás nagyságrendi és irányú állandó gyorsulás mellett:

3.1.2. Gyorsulás()- egy fizikai vektormennyiség, amely megmutatja, hogy mennyit fog változni a sebesség 1 s alatt.

Vektoros formában:

ahol a test kezdeti sebessége, a test sebessége az adott pillanatban t.

A tengelyre vetítve Ökör:

ahol a kezdeti sebesség vetülete a tengelyre Ökör, - a test sebességének vetítése a tengelyre Ökör egy adott időpontban t.

A vetületek előjele a vektorok irányától és a tengelytől függ Ökör.

3.1.3. A gyorsulás idő függvényében vetítési grafikonja.

Egyenletesen váltakozó mozgásnál a gyorsulás állandó, ezért az időtengellyel párhuzamos egyenesek formájában jelenik meg (lásd az ábrát):

3.1.4. Sebesség egyenletes mozgás közben.

Vektoros formában:

A tengelyre vetítve Ökör:

Egyenletesen gyorsított mozgáshoz:

Az egyenletes lassítás érdekében:

3.1.5. Sebesség és idő vetületi grafikonja.

A sebesség és az idő vetületének grafikonja egy egyenes.

Mozgásirány: ha a grafikon (vagy annak egy része) az időtengely felett van, akkor a test a tengely pozitív irányában mozog Ökör.

Gyorsulási érték: minél nagyobb a dőlésszög tangense (minél meredekebben megy fel vagy le), annál nagyobb a gyorsulási modul; hol van a sebesség időbeli változása

Metszés az időtengellyel: ha a grafikon metszi az időtengelyt, akkor a metszéspont előtt a test lelassult (egyenletesen lassított), a metszéspont után pedig az ellenkező irányba gyorsulni kezdett (egyenletesen gyorsított mozgás).

3.1.6. A grafikon alatti terület geometriai jelentése a tengelyekben

A grafikon alatti terület a tengelyen Oy a sebesség késik, és a tengelyen Ökör- az idő a test által megtett út.

ábrán. A 3.5 az egyenletesen gyorsított mozgás esetét mutatja. Az út ebben az esetben megegyezik a trapéz területével: (3.9)

3.1.7. Képletek az útvonal kiszámításához

Egyenletesen gyorsított mozgás	Egyenlő lassítás
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

A táblázatban bemutatott összes képlet csak akkor működik, ha a mozgás iránya megmarad, vagyis addig, amíg az egyenes nem metszi az időtengelyt a sebesség vetülete az idő függvényében.

Ha a kereszteződés megtörtént, akkor a mozgás könnyebben két szakaszra osztható:

átkelés előtt (fékezés):

A kereszteződés után (gyorsítás, mozgás ellenkező irányba)

A fenti képletekben - a mozgás kezdetétől az időtengellyel való metszéspontig eltelt idő (megállás előtti idő), - az az út, amelyet a test megtett a mozgás kezdetétől az időtengellyel való metszéspontig, - az eltelt idő az időtengely átlépésének pillanatától e pillanatig t, - az az út, amelyet a test ellentétes irányban megtett az időtengely átlépésétől a pillanatig eltelt idő alatt t, - az elmozdulásvektor modulja a teljes mozgási időre, L- a test által a teljes mozgás során megtett út.

3.1.8. Mozgás a másodpercben.

Ezalatt a test a következő távolságot teszi meg:

Ezalatt a test a következő távolságot teszi meg:

Ekkor az intervallum alatt a test a következő távolságot teszi meg:

Bármely időtartamot intervallumnak vehetjük. Leggyakrabban azzal.

Ekkor a test 1 másodperc alatt a következő utat teszi meg:

2 másodperc múlva:

3 másodperc múlva:

Ha jól megnézzük, látni fogjuk, hogy stb.

Így a képlethez jutunk:

Szavakkal: a test által egymást követő időszakokban megtett utak páratlan számok sorozataként kapcsolódnak egymáshoz, és ez nem függ attól, hogy a test milyen gyorsulással mozog. Hangsúlyozzuk, hogy ez az összefüggés érvényes

3.1.9. A test koordinátáinak egyenlete az egyenletes mozgáshoz

Koordináta egyenlet

A kezdeti sebesség és a gyorsulás vetületeinek előjele a megfelelő vektorok és a tengely egymáshoz viszonyított helyzetétől függ Ökör.

A problémák megoldásához hozzá kell adni az egyenlethez a sebesség tengelyre való vetületének megváltoztatásának egyenletét:

3.2. Kinematikai mennyiségek grafikonjai egyenes vonalú mozgáshoz

3.3. Szabadesés test

Szabadesés alatt a következő fizikai modellt értjük:

1) Az esés a gravitáció hatására történik:

2) Nincs légellenállás (a problémákban néha azt írják, hogy „elhanyagolja a légellenállást”);

3) Minden test, függetlenül a tömegtől, ugyanolyan gyorsulással esik le (néha hozzáteszik, hogy „a test alakjától függetlenül”, de mi csak egy anyagi pont mozgását vesszük figyelembe, így a test alakja már nem veszi fel figyelembe);

4) A gravitáció gyorsulása szigorúan lefelé irányul, és egyenlő a Föld felszínén (a számítások megkönnyítése érdekében gyakran feltételezzük a problémákat);

3.3.1. A tengelyre vetített mozgásegyenletek Oy

Ellentétben a vízszintes egyenes mentén történő mozgással, amikor nem minden feladat jár mozgásirány-változtatással, szabadesésnél célszerű azonnal a tengelyre vetítésben felírt egyenleteket használni. Oy.

Test koordináta egyenlet:

Sebesség vetületi egyenlet:

Általános szabály, hogy problémák esetén kényelmes a tengely kiválasztása Oy a következő módon:

Tengely Oy függőlegesen felfelé irányítva;

Az origó egybeesik a Föld szintjével vagy a pálya legalacsonyabb pontjával.

Ezzel a választással a és egyenletek a következő formában íródnak át:

3.4. Mozgás egy síkban Oxy.

Egy test gyorsulással járó egyenes vonal menti mozgását vettük figyelembe. Az egyenletesen változó mozgás azonban nem korlátozódik erre. Például a vízszinteshez képest szögben bedobott test. Ilyen problémák esetén figyelembe kell venni a mozgást egyszerre két tengely mentén:

Vagy vektoros formában:

És a sebesség vetületének megváltoztatása mindkét tengelyen:

3.5. A derivált és integrál fogalmának alkalmazása

Itt nem adjuk meg a derivált és integrál részletes meghatározását. A problémák megoldásához csak egy kis képletkészletre van szükségünk.

Derivált:

Ahol A, B vagyis állandó értékek.

Integrál:

Most nézzük meg, hogyan vonatkozik a derivált és az integrál fogalma a fizikai mennyiségekre. A matematikában a deriváltot ""-vel jelöljük, a fizikában az időre vonatkozó deriváltot a függvény feletti "∙"-vel jelöljük.

Sebesség:

vagyis a sebesség a sugárvektor deriváltja.

Sebesség vetítéshez:

Gyorsulás:

vagyis a gyorsulás a sebesség deriváltja.

Gyorsulási vetítéshez:

Így ha ismerjük a mozgás törvényét, akkor könnyen megtaláljuk a test sebességét és gyorsulását is.

Most használjuk az integrál fogalmát.

Sebesség:

vagyis a sebességet a gyorsulás időintegráljaként találhatjuk meg.

Sugárvektor:

vagyis a sugárvektort a sebességfüggvény integráljának felvételével találhatjuk meg.

Így ha a függvény ismert, könnyen megtalálhatjuk a test sebességét és mozgástörvényét is.

A képletek állandóit a kezdeti feltételekből - értékekből és az idő pillanatában - határozzák meg

3.6. Sebességháromszög és eltolási háromszög

3.6.1. Sebesség háromszög

Állandó gyorsulású vektoros formában a sebességváltozás törvénye a következőképpen alakul: (3.5):

Ez a képlet azt jelenti, hogy egy vektor egyenlő a vektorok vektorösszegével, és a vektorösszeg mindig ábrázolható egy ábrán (lásd az ábrát).

Minden feladatban, a körülményektől függően, a sebességháromszögnek saját formája lesz. Ez az ábrázolás lehetővé teszi geometriai megfontolások alkalmazását a megoldásban, ami gyakran leegyszerűsíti a probléma megoldását.

3.6.2. A mozgások háromszöge

Vektor formában az állandó gyorsulással járó mozgás törvénye a következő:

Egy feladat megoldása során a legkényelmesebb módon választhatja ki a vonatkoztatási rendszert, ezért az általánosság elvesztése nélkül választhatjuk meg a vonatkoztatási rendszert úgy is, hogy a koordinátarendszer origóját arra a pontra helyezzük, ahol a test a kezdeti pillanatban helyezkedik el. Akkor

vagyis a vektor egyenlő a vektorok vektorösszegével és Ábrázoljuk az ábrán (lásd ábra).

Az előző esethez hasonlóan a körülményektől függően az eltolási háromszögnek saját alakja lesz. Ez az ábrázolás lehetővé teszi geometriai megfontolások alkalmazását a megoldásban, ami gyakran leegyszerűsíti a probléma megoldását.

Azonnali sebesség a test sebessége egy adott időpillanatban vagy a pálya adott pontjában. Ez egy vektorfizikai mennyiség, amely numerikusan egyenlő azzal a határértékkel, amelyre az átlagsebesség egy végtelen kis időtartam alatt hajlik:

Más szóval, a pillanatnyi sebesség a sugárvektor első deriváltja az idő függvényében.

2. Átlagsebesség.

Közepes sebesség egy bizonyos területen egy értéket nevezünk, amely megegyezik a mozgás és az az időtartam arányával, amely alatt ez a mozgás megtörtént.

3. Szögsebesség. Képlet. SI.

A szögsebesség egy vektorfizikai mennyiség, amely egyenlő a test időhöz viszonyított forgásszögének első deriváltjával. [rad/s]

4. A szögsebesség és a forgási periódus kapcsolata.

Az egyenletes forgást a forgási periódus és a forgási frekvencia jellemzi.

5. Szöggyorsulás. Képlet. SI.

Ez egy fizikai mennyiség, amely egyenlő a test szögsebességének első deriváltjával vagy a test időhöz viszonyított forgásszögének második deriváltjával. [rad/s 2 ]

6. Mi a szögsebesség/szöggyorsulás vektor iránya?

A szögsebesség-vektor a forgástengely mentén úgy van irányítva, hogy a szögsebességvektor végéről nézve az óramutató járásával ellentétes irányban (jobb oldali szabály) történik a forgás.

Gyorsított forgás közben a szöggyorsulási vektor a szögsebesség-vektorral együtt irányul, lassú forgáskor pedig vele ellentétes.

7/8. A normál gyorsulás és a szögsebesség közötti kapcsolat/Tangenciális és szöggyorsulás kapcsolata.

9. Mi határozza meg és hogyan alakul a teljes gyorsulás normálkomponensének iránya? Normál SI gyorsulás. A normál gyorsulás határozza meg a sebesség irányváltozásának mértékét, és a pálya görbületi középpontja felé irányul.

SI-ben normál gyorsulás [m/s 2 ]

10. Mi és hogyan határozza meg a teljes gyorsulás tangenciális komponensének irányát?

A tangenciális gyorsulás egyenlő a sebességmodulus első deriváltjával, és meghatározza a sebesség modulo változásának sebességét, és érintőlegesen irányul a pályára.

11. Tangenciális gyorsulás SI-ben.

12. Teljes testgyorsítás. Ennek a gyorsulásnak a modulusa.

13. Szentmise. Kényszerítés. Newton törvényei.

Súly − egy fizikai mennyiség, amely egy test tehetetlenségi és gravitációs tulajdonságainak mértéke. SI tömegegység [ m] = kg.

Kényszerítés − ez egy vektorfizikai mennyiség, amely más testek vagy mezők testre gyakorolt ​​mechanikai hatásának mértéke, amelynek következtében a test deformálódik vagy felgyorsul. Az SI erő mértékegysége Newton; kg*m/s 2

Newton első törvénye (vagy tehetetlenségi törvény): ha a testre nem hatnak erők, vagy hatásukat kiegyenlítik, akkor ez a test nyugalmi állapotban vagy egyenletes lineáris mozgásban van.

Newton második törvénye : a test gyorsulása egyenesen arányos a rá ható eredő erőkkel és fordítottan arányos a tömegével. Newton második törvénye lehetővé teszi a mechanika alapvető problémájának megoldását. Ezért hívják a transzlációs mozgásdinamika alapegyenlete.

Newton harmadik törvénye : Az az erő, amellyel az egyik test a másikra hat, egyenlő nagyságú és ellentétes irányú azzal az erővel, amellyel a második test hat az elsőre.

1. rész

A pillanatnyi sebesség számítása

1. Kezdje egy egyenlettel. A pillanatnyi sebesség kiszámításához ismerni kell azt az egyenletet, amely leírja egy test mozgását (helyzetét egy adott időpillanatban), vagyis egy olyan egyenletet, amelynek egyik oldalán s (a test mozgása), ill. a másik oldalon a t (idő) változót tartalmazó tagok találhatók. Például:
   

   s = -1,5 t 2 + 10 t + 4

   • Ebben az egyenletben: Eltolás = s. Az elmozdulás egy tárgy által megtett út. Például, ha egy test 10 m-rel előre és 7 m-rel hátra mozog, akkor a test teljes elmozdulása 10-7 = 3 m(és 10 + 7 = 17 m-nél). Idő = t. Általában másodpercben mérik.

2. Számítsa ki az egyenlet deriváltját! Annak a testnek a pillanatnyi sebességének meghatározásához, amelynek mozgásait a fenti egyenlet írja le, ki kell számítania ennek az egyenletnek a deriváltját. A derivált egy egyenlet, amely lehetővé teszi a grafikon meredekségének kiszámítását bármely pontban (bármely időpontban). A derivált meghatározásához a következőképpen különböztesse meg a függvényt: ha y = a*x n , akkor derivált = a*n*x n-1. Ez a szabály a polinom minden tagjára vonatkozik.

   • Más szóval, minden t változójú tag deriváltja egyenlő a tényező (a változó előtt) és a változó hatványának szorzatával, megszorozva a változóval az eredeti hatvány mínusz 1 hatványával. a dummy term (a változó nélküli kifejezés, azaz a szám) eltűnik, mert megszorozzuk 0-val. Példánkban:
     

     s = -1,5 t 2 + 10 t + 4
     (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1-1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t+10

3. Cserélje le az "s"-t "ds/dt"-re, hogy megmutassa, hogy az új egyenlet az eredeti egyenlet deriváltja (azaz s származéka t-vel). A derivált a gráf meredeksége egy bizonyos pontban (egy adott időpontban). Például az s = -1,5t 2 + 10t + 4 függvény által leírt egyenes meredekségének megtalálásához t = 5 esetén, egyszerűen cserélje be 5-öt a derivált egyenletbe.

   • Példánkban a derivált egyenletnek így kell kinéznie:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Helyettesítse be a megfelelő t értéket a derivált egyenletbe, hogy megtalálja a pillanatnyi sebességet egy adott időpontban. Például, ha meg akarja találni a pillanatnyi sebességet t = 5-nél, egyszerűen helyettesítse 5-tel (t helyett) a ds/dt = -3 + 10 derivált egyenletben. Ezután oldja meg az egyenletet:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

   • Kérjük, vegye figyelembe a pillanatnyi sebesség mértékegységét: m/s. Mivel az elmozdulás értékét méterben, az időt másodpercben adjuk meg, és a sebesség megegyezik az elmozdulás és az idő arányával, akkor az m/s mértékegység a helyes.

   2. rész

   A pillanatnyi sebesség grafikus kiértékelése

   1. Készítse el a test elmozdulásának grafikonját! Az előző fejezetben egy képlet segítségével számította ki a pillanatnyi sebességet (egy derivált egyenlet, amely lehetővé teszi a grafikon meredekségének meghatározását egy adott pontban). Egy test mozgásának grafikonjának ábrázolásával bármely pontban megtalálhatja annak dőlését, és ezért meghatározza a pillanatnyi sebességet egy adott időpontban.

      • Az Y tengely az elmozdulás, az X tengely az idő. A pontok (x, y) koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy t különböző értékeit behelyettesítjük az eredeti eltolási egyenletbe, és kiszámítjuk az s megfelelő értékeit.
      • A grafikon az X-tengely alá esik. A grafikon jellemzően nem nyúlik túl az Y tengelyen (negatív x értékek) - nem az időben visszafelé mozgó objektumok sebességét mérjük!

   2. Válassza ki a P pontot és a hozzá közeli Q pontot a grafikonon (görbén). A grafikon P pontbeli meredekségének meghatározásához a határ fogalmát használjuk. Limit - olyan állapot, amelyben a görbén fekvő 2 P és Q ponton keresztül húzott szekáns értéke nullára hajlik.

      • Vegyük például a pontokat P(1,3)És Q(4,7)és számítsuk ki a pillanatnyi sebességet a P pontban.

   3. Keresse meg a PQ szakasz meredekségét. A PQ szakasz meredeksége megegyezik a P és Q pontok y-koordináta-értékei közötti különbség és a P és Q pontok x-koordináta-értékei közötti különbség arányával. H = (y Q - y P)/(x Q - x P), ahol H a PQ szakasz meredeksége. Példánkban a PQ szegmens meredeksége:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7-3)/(4-1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Ismételje meg a folyamatot többször, közelebb hozva a Q pontot a P ponthoz. Minél kisebb a távolság két pont között, annál közelebb van az eredményül kapott szakaszok meredeksége a grafikon lejtéséhez a P pontban. Példánkban a Q pontra (2,4.8), (1.5,3.95) koordinátákkal végezzük a számításokat. ) és (1.25,3.49) (a P pont koordinátái változatlanok):
      

      Q = (2,4,8): H = (4,8-3)/(2-1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5, 3,95): H = (3,95-3)/(1,5-1)
      H = (,95)/(,5) = 1.9

      Q = (1,25, 3,49): H = (3,49-3)/(1,25-1)
      H = (,49)/(,25) = 1.96

   5. Minél kisebb a távolság a P és Q pontok között, annál közelebb van H értéke a grafikon P pontban lévő meredekségéhez. Ha a P és Q pontok közötti távolság rendkívül kicsi, H értéke egyenlő lesz a grafikon meredekségével. A grafikon a P pontban. Mivel két pont közötti rendkívül kis távolságot nem tudjuk mérni vagy kiszámítani, a grafikus módszer becslést ad a grafikon P pontban lévő meredekségére.

      • Példánkban, amikor Q megközelítette P-t, a következő H értékeket kaptuk: 1,8; 1,9 és 1,96. Mivel ezek a számok 2-re hajlanak, azt mondhatjuk, hogy a gráf meredeksége a P pontban egyenlő 2 .
      • Ne felejtsük el, hogy egy gráf meredeksége egy adott pontban egyenlő a függvény deriváltjával (amelyből a grafikont ábrázoljuk) abban a pontban. A grafikon egy test időbeli mozgását mutatja, és amint az előző részben megjegyeztük, a test pillanatnyi sebessége megegyezik a test elmozdulási egyenletének deriváltjával. Így kijelenthetjük, hogy t = 2-nél a pillanatnyi sebesség az 2 m/s(ez becslés).

   3. rész

   Példák

   1. Számítsa ki a pillanatnyi sebességet t = 4-nél, ha a test mozgását az s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 egyenlet írja le. Ez a példa hasonló az első szakaszban szereplő problémához, azzal az egyetlen különbséggel, hogy itt van egy harmadrendű egyenletünk (nem pedig egy második).

      • Először is számítsuk ki ennek az egyenletnek a deriváltját:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3-1)-(2)3t (2-1) + (1)2t (1-1) + (0)9t 0-1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

      • Most cseréljük be a t = 4 értéket a derivált egyenletbe:
        

        s = 15t (2) - 6t + 2
        15(4) (2) - 6(4) + 2
        15(16) - 6(4) + 2
        240 - 24 + 2 = 22 m/s

   2. Becsüljük meg a pillanatnyi sebesség értékét az (1,3) koordinátákkal rendelkező pontban az s = 4t 2 - t függvény grafikonján. Ebben az esetben a P pontnak vannak (1,3) koordinátái, és meg kell találni a P ponthoz közel fekvő Q pont több koordinátáját. Ezután kiszámítjuk H-t és megtaláljuk a pillanatnyi sebesség becsült értékeit.

      • Először keressük meg Q koordinátáit t = 2, 1,5, 1,1 és 1,01 értékeknél.
        

        s = 4t 2 - t

        t = 2: s = 4 (2) 2 - (2)
        4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, tehát Q = (2,14)

        t = 1,5: s = 4(1,5) 2 - (1,5)
        4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, tehát Q = (1,5, 7,5)

        t = 1,1: s = 4(1,1) 2 - (1,1)
        4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, tehát Q = (1,1, 3,74)

        t = 1,01: s = 4 (1,01) 2 - (1,01)
        4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, tehát Q = (1,01,3,0704)

Ha egy anyagi pont mozgásban van, akkor a koordinátái megváltoznak. Ez a folyamat gyorsan vagy lassan történhet.

1. definíció

A koordinátapozíció változásának sebességét jellemző mennyiséget ún sebesség.

2. definíció

átlagsebesség– ez egy vektormennyiség, amely numerikusan egyenlő az egységnyi idő alatti elmozdulással, és egyirányú a υ = ∆ r ∆ t eltolási vektorral; υ ∆ r.

1. kép. Az átlagsebesség a mozgással egyirányú

Az út menti átlagsebesség nagysága egyenlő υ = S ∆ t.

A pillanatnyi sebesség a mozgást egy adott időpontban jellemzi. A „testsebesség adott időpontban” kifejezés helytelennek tekinthető, de alkalmazható a matematikai számításokban.

3. definíció

A pillanatnyi sebesség az a határ, amelyre az átlagsebesség υ hajlik, ahogy a ∆ t időintervallum 0-ra hajlik:

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

A υ vektor iránya érinti a görbevonalas pályát, mert a d r végtelen kicsi elmozdulás egybeesik a d s pálya végtelen kicsi elemével.

2. ábra. Pillanatnyi sebességvektor υ

A meglévő υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ kifejezés derékszögű koordinátákban megegyezik az alábbi javasolt egyenletekkel:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

A υ vektor modulusa a következő formában lesz:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

A derékszögű derékszögű koordinátákról a görbe vonalúakra való áttéréshez az összetett függvények megkülönböztetésének szabályait kell használni. Ha az r sugárvektor az r = r q 1, q 2, q 3 görbe vonalú koordináták függvénye, akkor a sebességértéket a következőképpen írjuk fel:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

3. ábra. Eltolás és pillanatnyi sebesség görbe vonalú koordinátarendszerekben

Szférikus koordináták esetén tegyük fel, hogy q 1 = r; q 2 = φ; q 3 = θ, akkor υ-t kapunk, a következő formában:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , ahol υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

4. definíció

Azonnali sebesség hívjuk meg az időbeli eltolódás függvényének derivált értékét egy adott pillanatban, az elemi elmozduláshoz társítva a d r = υ (t) d t összefüggéssel

1. példa

Adott az x (t) = 0, 15 t 2 - 2 t + 8 pont egyenes vonalú mozgásának törvénye. Határozza meg a pillanatnyi sebességét 10 másodperccel a mozgás megkezdése után.

Megoldás

A pillanatnyi sebességet általában a sugárvektor időbeli első deriváltjának nevezik. Ekkor a bejegyzése így fog kinézni:

υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 t - 2 ; υ(10) = 0. 3 × 10 - 2 = 1 m/s.

Válasz: 1 m/s.

2. példa

Egy anyagi pont mozgását az x = 4 t - 0,05 t 2 egyenlet adja meg. Számítsa ki a t o с t időpillanatot, amikor a pont mozgása leáll, és az átlagos haladási sebességét υ!

Megoldás

Számítsuk ki a pillanatnyi sebesség egyenletét és helyettesítsük a numerikus kifejezéseket:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0, 1 t.

4 - 0, 1 t = 0; t o s t = 40 s; υ 0 = υ(0) = 4; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0,1 m/s.

Válasz: a beállítási pont 40 másodperc után leáll; az átlagsebesség értéke 0,1 m/s.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A test gördítése ferde síkban (2. ábra);

Rizs. 2. A test gördítése egy ferde síkban ()

Szabadesés (3. ábra).

Ez a három mozgástípus nem egységes, vagyis változik a sebességük. Ebben a leckében az egyenetlen mozgásokat fogjuk megvizsgálni.

Egységes mozgás - mechanikus mozgás, amelyben egy test tetszőleges egyenlő időn belül azonos távolságot tesz meg (4. ábra).

Rizs. 4. Egységes mozgás

A mozgást egyenetlennek nevezzük, amelyben a test egyenlőtlen utakat jár be egyenlő időn belül.

Rizs. 5. Egyenetlen mozgás

A mechanika fő feladata a test helyzetének meghatározása az idő bármely pillanatában. Ha a test egyenetlenül mozog, a test sebessége megváltozik, ezért meg kell tanulni leírni a test sebességének változását. Ehhez két fogalmat vezetnek be: az átlagos sebességet és a pillanatnyi sebességet.

A test sebességének egyenetlen mozgás közbeni változását nem mindig kell figyelembe venni, ha egy test mozgását az út nagy szakaszán egészében tekintjük (a sebesség minden pillanatban; nem fontos számunkra), célszerű bevezetni az átlagsebesség fogalmát.

Például egy iskolás küldöttség vonattal utazik Novoszibirszkből Szocsiba. E városok közötti távolság vasúton körülbelül 3300 km. A vonat sebessége , amikor éppen elindult Novoszibirszkből , ez azt jelenti , hogy az út közepén ilyen volt a sebesség ugyanaz, de Szocsi bejáratánál [M1]? Lehetséges-e csak ezen adatok birtokában azt mondani, hogy az utazási idő lesz (6. ábra). Természetesen nem, hiszen Novoszibirszk lakosai tudják, hogy hozzávetőlegesen 84 óra alatt lehet eljutni Szocsiba.

Rizs. 6. Illusztráció például

Ha egy testnek az út nagy szakaszán való mozgását vesszük figyelembe, kényelmesebb bevezetni az átlagsebesség fogalmát.

Közepes sebesség a test teljes mozgásának és a mozgás időtartamának arányát nevezik (7. ábra).

Rizs. 7. Átlagsebesség

Ez a meghatározás nem mindig kényelmes. Például egy sportoló 400 m-t fut – pontosan egy kört. A sportoló elmozdulása 0 (8. ábra), de megértjük, hogy átlagsebessége nem lehet nulla.

Rizs. 8. Az elmozdulás 0

A gyakorlatban leggyakrabban az átlagos haladási sebesség fogalmát használják.

Átlagos haladási sebesség a test által megtett teljes út és az út megtételének időtartama aránya (9. ábra).

Rizs. 9. Átlagos haladási sebesség

Az átlagsebességnek van egy másik meghatározása is.

átlagsebesség- ez az a sebesség, amellyel egy testnek egyenletesen kell mozognia, hogy egy adott távolságot ugyanannyi idő alatt tegyen meg, mint amennyivel egyenetlenül haladva elhaladt felette.

A matematika tantárgyból tudjuk, hogy mi a számtani közép. A 10-es és 36-os szám esetén ez egyenlő lesz:

Annak érdekében, hogy megtudjuk, milyen lehetőség van ennek a képletnek az átlagsebesség meghatározására, oldjuk meg a következő problémát.

Feladat

Egy kerékpáros 10 km/h sebességgel mászik egy lejtőn, 0,5 órát töltve. Aztán 10 perc alatt 36 km/h-s sebességgel lemegy. Határozza meg a kerékpáros átlagsebességét (10. ábra).

Rizs. 10. A probléma illusztrációja

Adott:; ; ;

Megtalálja:

Megoldás:

Mivel ezeknek a sebességeknek a mértékegysége a km/h, az átlagsebességet km/h-ban fogjuk megtalálni. Ezért ezeket a problémákat nem konvertáljuk SI-vé. Váltsuk át órákra.

Az átlagos sebesség:

A teljes útvonal () a lejtőn felfelé () és a lejtőn lefelé vezető útvonalból () áll:

A lejtő megmászásának útja a következő:

A lejtőről való leereszkedés útvonala:

A teljes út megtételéhez szükséges idő:

Válasz:.

A feladatra adott válasz alapján azt látjuk, hogy az átlagsebesség kiszámításához a számtani középképlet nem használható.

Az átlagsebesség fogalma nem mindig hasznos a mechanika fő problémájának megoldásában. Visszatérve a vonattal kapcsolatos problémára, nem mondható el, hogy ha a vonat teljes útja során az átlagsebesség egyenlő -vel, akkor 5 óra múlva már távolságra lesz. Novoszibirszkből.

A végtelenül rövid idő alatt mért átlagsebességet ún a test pillanatnyi sebessége(például: egy autó sebességmérője (11. ábra) a pillanatnyi sebességet mutatja).

Rizs. 11. Az autó sebességmérője a pillanatnyi sebességet mutatja

A pillanatnyi sebességnek van egy másik meghatározása is.

Azonnali sebesség– a test mozgási sebessége egy adott időpillanatban, a test sebessége a pálya adott pontjában (12. ábra).

Rizs. 12. Azonnali sebesség

A meghatározás jobb megértése érdekében nézzünk egy példát.

Hagyja, hogy az autó egyenesen haladjon végig az autópálya egy szakaszán. Van egy grafikonunk az elmozdulás idő függvényében egy adott mozgáshoz (13. ábra), elemezzük ezt a grafikont.

Rizs. 13. Az elmozdulás vetületének grafikonja az idő függvényében

A grafikonon látható, hogy az autó sebessége nem állandó. Tegyük fel, hogy meg kell találni egy autó pillanatnyi sebességét 30 másodperccel a megfigyelés kezdete után (a ponton A). A pillanatnyi sebesség definícióját felhasználva megtaláljuk az átlagsebesség nagyságát a től ig terjedő időintervallumban. Ehhez tekintse meg ennek a grafikonnak egy töredékét (14. ábra).

Rizs. 14. Az elmozdulás vetületének grafikonja az idő függvényében

A pillanatnyi sebesség megállapításának helyességének ellenőrzéséhez keressük meg az átlagsebesség modult a től ig terjedő időintervallumra, ehhez a grafikon egy töredékét tekintjük (15. ábra).

Rizs. 15. Az elmozdulás vetületének grafikonja az idő függvényében

Kiszámoljuk az átlagos sebességet egy adott időtartamra:

Az autó pillanatnyi sebességének két értékét kaptuk 30 másodperccel a megfigyelés megkezdése után. Pontosabb lesz az az érték, ahol az időintervallum kisebb, azaz. Ha a vizsgált időintervallumot erősebben csökkentjük, akkor az autó pillanatnyi sebességét a ponton A pontosabban lesz meghatározva.

A pillanatnyi sebesség vektormennyiség. Ezért a megtaláláson (moduljának megtalálásán) túl tudni kell, hogyan van irányítva.

(at ) – pillanatnyi sebesség

A pillanatnyi sebesség iránya egybeesik a test mozgási irányával.

Ha egy test görbe vonalúan mozog, akkor a pillanatnyi sebesség tangenciálisan irányul a pályára egy adott pontban (16. ábra).

1. Feladat

A pillanatnyi sebesség () csak irányban változhat, nagyságváltozás nélkül?

Megoldás

Ennek megoldásához vegye figyelembe a következő példát. A test görbe pályán mozog (17. ábra). Jelöljünk egy pontot a mozgás pályáján Aés időszak B. Jegyezzük fel ezeken a pontokon a pillanatnyi sebesség irányát (a pillanatnyi sebesség tangenciálisan irányul a pályapontra). Legyenek a és sebességek egyenlő nagyságúak és egyenlők 5 m/s-mal.

Válasz: Talán.

2. feladat

A pillanatnyi sebesség csak nagyságrendben változhat, irányváltoztatás nélkül?

Megoldás

Rizs. 18. A probléma illusztrációja

A 10. ábra azt mutatja, hogy azon a ponton Aés a ponton B a pillanatnyi sebesség ugyanabba az irányba. Ha egy test egyenletesen gyorsulva mozog, akkor .

Válasz: Talán.

Ezen a leckén az egyenetlen mozgást, vagyis a változó sebességű mozgást kezdtük el tanulmányozni. Az egyenetlen mozgás jellemzői az átlagos és pillanatnyi sebességek. Az átlagsebesség fogalma az egyenetlen mozgásnak az egyenletes mozgással való mentális helyettesítésén alapul. Néha az átlagsebesség fogalma (mint láttuk) nagyon kényelmes, de nem alkalmas a mechanika fő problémájának megoldására. Ezért bevezetik a pillanatnyi sebesség fogalmát.

Bibliográfia

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Buhovcev, N.N. Szockij. Fizika 10. - M.: Oktatás, 2008.
2. A.P. Rymkevich. Fizika. Problémakönyv 10-11. - M.: Túzok, 2006.
3. O.Ya. Savchenko. Fizikai problémák. - M.: Nauka, 1988.
4. A.V. Peryskin, V.V. Krauklis. Fizika tanfolyam. T. 1. - M.: Állam. tanár szerk. min. az RSFSR oktatása, 1957.

1. „School-collection.edu.ru” internetes portál ().
2. „Virtulab.net” internetes portál ().

Házi feladat

1. Kérdések (1-3, 5) a 9. bekezdés végén (24. oldal); G.Ya. Myakishev, B.B. Buhovcev, N.N. Szockij. Fizika 10 (lásd az ajánlott olvasmányok listáját)
2. Meg lehet-e találni egy adott időtartam alatti átlagsebesség ismeretében egy test által ennek az intervallumnak bármely szakaszában elért elmozdulást?
3. Mi a különbség az egyenletes lineáris mozgás pillanatnyi sebessége és az egyenetlen mozgás közbeni pillanatnyi sebesség között?
4. Autóvezetés közben percenként mértek sebességmérőt. Ezekből az adatokból meg lehet határozni egy autó átlagsebességét?
5. A kerékpáros az útvonal első harmadát 12 km/órás sebességgel, a második harmadát 16 km/órás sebességgel, az utolsó harmadát pedig 24 km/órás sebességgel tette meg. Keresse meg a kerékpár átlagos sebességét a teljes utazás során. Válaszát km/órában adja meg