Megfontolom a téglalap alakú tetraéder lapjainak vetületeinek képletének kérdését. Előzetesen megvizsgálom az α síkban fekvő szegmens ortogonális vetületét, két esetet kiemelve ennek a szegmensnek az l = α∩π egyeneshez viszonyított elhelyezkedéséről.
1. eset AB∥l(8. ábra). Az A 1 B 1 szegmens, amely az AB szegmens ortogonális vetülete, egyenlő és párhuzamos az AB szegmenssel.

Rizs. nyolc

2. eset. CD⊥l(8. ábra). A három merőleges tétel szerint a C 1 D 1 egyenes, amely a CD egyenes merőleges vetülete, szintén merőleges az l egyenesre. Ezért ∠CEC 1 az α sík és a π vetítési sík közötti szög, azaz ahol C 0 D = C 1 D 1... Ezért | C 1 D 1 | = | CD | ∙ cosφ
Most megvizsgálom az ortogonális háromszög kialakításának kérdését.
A háromszög síkra merőleges vetületének területe megegyezik a vetített háromszög területével, megszorozva a háromszög síkja és a vetületek síkja közötti szög koszinuszával.

Bizonyíték. A háromszög vetített területe.
a) Legyen az ABC vetített háromszög egyik oldala, például AC, párhuzamos az l = α∩π egyenessel (9. ábra), vagy feküdjön rá.

Rizs. kilenc

Ekkor VN magassága merőleges az l egyenesre, és a terület egyenlő, azaz

A szegmens ortogonális vetületének fent megfontolt tulajdonságai alapján a következőkkel rendelkezem:

A három merőleges tétel szerint a B 1 H 1 egyenes - a BN egyenes merőleges vetülete - merőleges az l egyenesre, ezért a B 1 H 1 szakasz az A 1 B 1 C 1 háromszög magassága. Ezért . És így, .
b) Az ABC vetített háromszög egyik oldala sem párhuzamos az l egyenessel (10. ábra). Rajzoljon egy egyenest a háromszög minden csúcsán keresztül párhuzamosan az l egyenessel. Az egyik ilyen vonal két másik között helyezkedik el (az ábrán ez az m egyenes), ezért az ABC háromszöget ABD és ACD háromszögekre osztja, amelyek magassága BH és CE, közös oldalukra AD (vagy annak folytatása) , amely párhuzamos l. M 1 egyenes - az m egyenes ortogonális vetülete - szintén felhasítja az A 1 B 1 C 1 háromszöget - az ABC háromszög derékszögű vetülete - A 1 B 1 D 1 és A 1 C 1 D 1 háromszögekre, ahol. A (9) és (10) figyelembevételével kapom

IV. Fejezet Egyenes vonalak és síkok az űrben. Polyhedra

55. § A sokszög vetületének területe.

Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra vetített szöge (164. ábra).

Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe megegyezik a vetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetület síkja által alkotott szög koszinuszával.

Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege egyenlő a sokszög területével. Ezért elegendő egy háromszög tételét bizonyítani.

Legyen /\ Az ABC -t egy síkra vetítik R... Tekintsünk két esetet:
a) az egyik fél /\ Az ABC párhuzamos a síkkal R;
b) egyik oldal sem /\ Az ABC nem párhuzamos R.

Fontolgat első eset: legyen [AB] || R.

Rajzoljunk egy síkot (AB) R 1 || Rés ortogonálisan kell tervezni /\ ABC bekapcsolva R 1 és tovább R(165. ábra); kap /\ ABC 1 és /\ A "B" C.
A vetítési tulajdonság szerint rendelkezünk /\ ABC 1 /\ A "B" C, és ezért

S /\ ABC1 = S /\ A "B" C

Rajzoljon _ | _ és a D 1 C 1 szegmenst. Ekkor _ | _, a = φ a sík közötti szög értéke /\ ABC és sík R 1. Ezért

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

és ezért S /\ A "B" C "= S /\ ABC cos φ.

Térjünk át a mérlegelésre második eset... Rajzoljunk egy síkot R 1 || R azon a csúcson /\ ABC, a távolság a síktól R a legkisebb (legyen A csúcs).
Tervezni fogunk /\ ABC a gépen R 1 és R(166. ábra); előrejelzései legyenek ill /\ AB 1 C 1 és /\ A "B" C.

Legyen (Kr. E.) o 1 = D. Akkor

S /\ A "B" C "= S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC - S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Feladat. Egy szabályos háromszög alakú prizma talpának oldalán síkot húzunk, φ = 30 ° -os szögben az alap síkjához képest. Keresse meg a kapott szakasz területét, ha a prizma alapjának oldala a= 6 cm.

Rajzoljunk keresztmetszetet ebből a prizmából (167. ábra). Mivel a prizma helyes, oldalsó élei merőlegesek az alap síkjára. Eszközök, /\ Az ABC egy vetület /\ Az ADC tehát

GEOMETRIA
Óratervek 10 évfolyamra

56. lecke

Téma. Sokszög ortogonális vetítési terület

Az óra célja: a sokszög ortogonális vetületének területére vonatkozó tétel tanulmányozása, a tanulók azon készségeinek kialakítása, hogy a vizsgált tételt a problémák megoldásában alkalmazzák.

Felszerelés: sztereometrikus készlet, kocka modell.

Az órák alatt

I. Házi feladat ellenőrzése

1. Két tanuló reprodukálja a táblára a 42., 45. feladat megoldásait.

2. Frontális szavazás.

1) Adja meg a két sík közötti szög definícióját!

2) Mi a szög a következők között:

a) párhuzamos síkok;

b) merőleges síkok?

3) Mennyiben változhat a két sík közötti szög?

4) Igaz -e, hogy a párhuzamos síkokat metsző sík ugyanazon szögben metszi őket?

5) Igaz -e, hogy egy merőleges síkokat metsző sík ugyanazon szögben metszi őket?

3. A 42., 45. feladat megoldásának helyességének ellenőrzése, amelyet a tanulók a táblán újrateremtettek.

II. Az új anyagok észlelése és tudatosítása

Feladat a diákokhoz

1. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög vetítési területe, amelynek egyik oldala a vetítési síkban, megegyezik területének és a sokszög síkja és a vetítési sík közötti szög koszinuszának szorzatával.

2. Bizonyítsa be a tételt arra az esetre, ha van egy rács háromszög, amelynek egyik oldala párhuzamos a vetítési síkkal.

3. Bizonyítsa be a tételt arra az esetre, amikor van egy rácsháromszög, amelynek egyik oldala sem párhuzamos a vetítési síkkal.

4. Bizonyítsa be a tételt bármely sokszögre.

Problémamegoldás

1. Keresse meg egy olyan sokszög derékszögű vetületének területét, amelynek területe 50 cm2, és a sokszög síkja és vetülete közötti szög 60 °.

2. Keresse meg egy sokszög területét, ha e sokszög derékszögű vetületének területe 50 cm2, és a sokszög síkja és vetülete közötti szög 45 °.

3. A sokszög területe 64 cm2, az ortogonális vetület területe 32 cm2. Keresse meg a szöget a sokszög síkjai és a vetülete között.

4. Vagy talán egy sokszög ortogonális vetületének területe egyenlő e sokszög területével?

5. A kocka éle egyenlő a -val. Keresse meg a kocka keresztmetszeti területét egy sík által, amely az alap csúcsán áthalad az alaphoz képest 30 ° -os szögben, és metszi az összes oldalszélt. (Válasz.)

6. 48. (1., 3.) feladat a tankönyvből (58. o.).

7. A tankönyv 49. (2) számú feladata (58. o.).

8. A téglalap oldalai 20 és 25 cm -esek, a síkra vetített képe hasonló hozzá. Keresse meg a vetület kerületét. (Válasz: 72 cm vagy 90 cm.)

III. Házi feladat

4. §, 34. o .; 17. számú biztonsági kérdés; feladatok 48. (2), 49. (1) (58. o.).

IV. Lecke összefoglaló

Kérdés az osztályhoz

1) Fogalmazza meg a tételt egy sokszög ortogonális vetületének területén.

2) Lehet -e nagyobb egy sokszög ortogonális vetületének területe, mint egy sokszög területe?

3) Az ABC derékszögű háromszög AB hipotenuszán keresztül az α sík 45 ° -os szöget zár be a háromszög síkjával és a CO merőleges az α síkra. AC = 3 cm, BC = 4 cm. Jelölje meg, hogy az alábbi állítások közül melyik helyes és melyik helytelen:

a) az ABC és az α sík közötti szög megegyezik a CMO szöggel, ahol H pont az ABC háromszög CM magasságának alapja;

b) CO = 2,4 cm;

c) az AOC háromszög az ABC háromszög ortogonális vetülete az α síkra;

d) az AOB háromszög területe 3 cm2.

(Válasz. A) Helyes; b) téves; c) téves; d) helyes.)

Tekintsük a repülőgépet o és az azt keresztező egyenes ... Legyen A - tetszőleges pont a térben. Rajzoljon egyenes vonalat ezen a ponton párhuzamos az egyenes vonallal ... Legyen . Pont a pont vetületének nevezzük A a repülőn o párhuzamos kialakítással adott egyenes mentén . Repülőgép o amelyre a tér pontjait vetítik, vetítési síknak nevezzük.

p a vetítési sík;

- közvetlen tervezés; ;

; ; ;

Ortogonális kialakítás az egyidejű tervezés különleges esete. Az ortográfiai tervezés egy párhuzamos kialakítás, amelyben a tervezési vonal merőleges a vetítési síkra. Az ortogonális tervezést széles körben használják a műszaki rajzokban, ahol az alak három síkra - vízszintes és két függőleges - vetít.

Meghatározás: Ortográfiai pontvetítés M a repülőn o bázisnak hívják M 1 merőleges MM 1 leesett a lényegről M a repülőn o.

Kijelölés: , , .

Meghatározás: Az ábra ortográfiai vetülete F a repülőn o a sík azon pontjainak halmaza, amelyek az ábra ponthalmazának ortogonális vetületei F a repülőn o.

Az ortogonális kialakítás, mint a párhuzamos tervezés különleges esete, azonos tulajdonságokkal rendelkezik:

p a vetítési sík;

- közvetlen tervezés; ;

1) ;

2) , .

1. A párhuzamos egyenesek vetületei párhuzamosak.

A SÍK ÁBRA VETÍTÉSÉNEK TERÜLETE

Tétel: A vetített sokszög területe egy bizonyos síkra megegyezik a vetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetület síkja közötti szög koszinuszával.

1. szakasz: A vetített ábra egy ABC háromszög, amelynek oldala az AC vetületi síkban fekszik (párhuzamos az a vetítési síkkal).

Adott:

Bizonyít:

Bizonyíték:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. A tétel szerint körülbelül három merőleges;

ВD - magasság; В 1 D - magasság;

5. - a diéderes szög lineáris szöge;

6. ; ; ; ;

2. szakasz: A vetített ábra egy ABC háromszög, amelynek egyik oldala sem fekszik az a vetületi síkban, és nem párhuzamos vele.

Adott:

Bizonyít:

Bizonyíték:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1. szakasz);

5. ; ; ;

(1. szakasz);

Szakasz: A vetített alakzat tetszőleges sokszög.

Bizonyíték:

A sokszöget az egyik csúcsból húzott átlók véges számú háromszögre osztják, amelyek mindegyikére igaz a tétel. Ezért a tétel igaz lesz az összes háromszög területének összegére is, amelynek síkjai a vetítési síkkal azonos szöget alkotnak.

Megjegyzés: A bizonyított tétel minden síkbeli alakra érvényes, amelyet zárt görbe határol.

Feladatok:

1. Keresse meg azt a háromszög területét, amelynek síkja ferdén hajlik a vetítési síkra, ha vetülete szabályos háromszög, amelynek oldala a.

2. Keresse meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja ferdén hajlik a vetítési síkra, ha a vetülete egyenlő szárú háromszög, amelynek oldala 10 cm, alapja 12 cm.

3. Keresse meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja ferdén hajlik a vetítési síkra, ha a vetülete 9, 10 és 17 cm oldalas háromszög.

4. Számítsa ki annak a trapéznak a területét, amelynek síkja ferdén hajlik a vetítési síkra, ha vetülete egyenlő szárú trapéz, amelynek nagyobb alapja 44 cm, oldalsó oldala 17 cm, és átlója 39 cm.

5. Számítsa ki a szabályos hatszög vetítési területét, amelynek oldala 8 cm, amelynek síkja ferdén hajlik a vetítési síkra.

6. A 12 cm oldalas és hegyes szögű rombusz szöget zár be ezzel a síkkal. Számítsa ki a rombusz vetített területét erre a síkra.

7. Egy 20 cm oldalú és 32 cm átlójú rombusz szöget zár be ezzel a síkkal. Számítsa ki a rombusz vetített területét erre a síkra.

8. A lombkorona vetülete a vízszintes síkra egy téglalap, amelynek oldalai és. Keresse meg a lombkorona területét, ha az oldallapok egyenlő négyszögek, amelyek ferdén hajlanak a vízszintes síkra, és a lombkorona középső része a vetítési síkkal párhuzamos négyzet.

11. Gyakorlatok a "Vonalak és síkok az űrben" témában:

A háromszög oldalai 20 cm, 65 cm, 75 cm. A háromszög nagyobb szögének tetejéről egy 60 cm -es merőleges vonal húzódik síkjába. Keresse meg a távolságot a merőleges végétől a nagyobbhoz. a háromszög oldala.

2. A síktól cm távolságra lévő pontból két ferde szöget rajzolnak, amelyek szögeket alkotnak a síkkal, egyenlőek és egymás között - derékszög. Keresse meg a sík és a sík metszéspontjai közötti távolságot.

3. Egy szabályos háromszög oldala 12 cm, az M pontot úgy választjuk meg, hogy az M pontot a háromszög minden csúcsával összekötő szegmensek szögeket képezzenek a síkjával. Keresse meg a távolságot az M ponttól a háromszög csúcsaiig és oldalaiig.

4. A négyzet oldalán síkot húzunk a négyzet átlójához képest. Keresse meg azokat a szögeket, amelyekkel a négyzet két oldala hajlik a síkhoz.

5. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög lába ferdén hajlik az a síkhoz, és átmegy a hypotenuszon, szögben. Bizonyítsuk be, hogy az a sík és a háromszög síkja közötti szög.

6. Az ABC és DBC háromszögek síkja közötti kétszögű szög egyenlő. Keresse meg az AD -t, ha AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Vezérlő kérdések a "Vonalak és síkok az űrben" témában

1. Sorolja fel a sztereometria alapfogalmait! Fogalmazza meg a sztereometria axiómáit!

2. Bizonyítsuk be az axiómák következményeit!

3. Mi a két egyenes relatív helyzete a térben? Adja meg a metsző, párhuzamos, keresztező vonalak definícióit!

4. Bizonyítsa be az átlépett vonalak jelét.

5. Mi az egyenes és a sík relatív helyzete? Adja meg a metsző, párhuzamos egyenesek és síkok definícióit!

6. Bizonyítsa be az egyenes és a sík párhuzamosságának kritériumait.

7. Mi a két sík relatív helyzete?

8. Adja meg a párhuzamos síkok definícióját! Bizonyítsuk be a két sík párhuzamosságát. Tételeket fogalmazzon meg párhuzamos síkokon.

9. Adja meg az egyenesek közötti szög meghatározását!

10. Bizonyítsa be az egyenes és a sík merőlegességét.

11. Adja meg a merőleges alap, a ferde alap, a síkra vetített vetület definícióit! Fogalmazza meg egy merőleges és ferde tulajdonságait, amelyeket egy pontból egy síkra engednek le.

12. Adja meg az egyenes és a sík közötti szög definícióját!

13. Bizonyítsa be a három merőleges tételt!

14. Adja meg a kétszögű szög definícióját, a kétszögű szög lineáris szögét!

15. Bizonyítsa be két sík merőlegességét.

16. Adja meg a két különböző pont közötti távolság meghatározását!

17. Adja meg a pont és az egyenes közötti távolság meghatározását!

18. Adja meg a pont és a sík közötti távolság meghatározását!

19. Adja meg az egyenes és a vele párhuzamos sík közötti távolság meghatározását!

20. Adja meg a párhuzamos síkok közötti távolság meghatározását!

21. Adja meg a határvonalak közötti távolság meghatározását!

22. Adja meg egy pont síkra való merőleges vetületének meghatározását!

23. Adja meg az ábra ortogonális vetületének meghatározását a síkon!

24. Fogalmazza meg a síkra vetített vetületek tulajdonságait!

25. Fogalmazzon meg és bizonyítson tételt egy lapos sokszög vetületének területén.

Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra vetített szöge (164. ábra).

Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe megegyezik a vetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetület síkja által alkotott szög koszinuszával.

Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege egyenlő a sokszög területével. Ezért elegendő egy háromszög tételét bizonyítani.

Vetítsük a \ (\ Delta \) ABC -t a síkra R... Tekintsünk két esetet:

a) az egyik oldal (\ Delta \) ABC párhuzamos a síkkal R;

b) egyik (\ Delta \) ABC oldala sem párhuzamos R.

Fontolgat első eset: legyen [AB] || R.

Rajzoljunk egy síkot (AB) R 1 || Rés vetítse ki ortogonálisan \ (\ Delta \) ABC -t R 1 és tovább R(165. ábra); \ (\ Delta \) ABC 1 és \ (\ Delta \) A'B'S 'értékeket kapunk.

A vetítés tulajdonsága szerint \ (\ Delta \) ABC 1 \ (\ cong \) \ (\ Delta \) A'B'C ', és ezért

S \ (\ Delta \) ABC1 = S \ (\ Delta \) A'B'C '

Rajzolja ⊥ és a D 1 C 1 szegmenst. Ekkor ⊥, a \ (\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \) = φ az \ (\ Delta \) ABC sík és a sík közötti szög értéke R 1. Ezért

S \ (\ Delta \) ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ

és ezért S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) ABC cos φ.

Térjünk át a mérlegelésre második eset... Rajzoljunk egy síkot R 1 || R azon a csúcson keresztül \ (\ Delta \) ABC, a távolság a síktól R a legkisebb (legyen A csúcs).

Tervezzük meg a \ (\ Delta \) ABC -t a síkon R 1 és R(166. ábra); előrejelzései legyenek \ (\ Delta \) AB 1 C 1 és \ (\ Delta \) A'B'S '.

Legyen (ВС) \ (\ cap \) o 1 = D. Akkor

S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) AB1 C1 = S \ (\ Delta \) ADC1 - S \ (\ Delta \) ADB1 = (S \ (\ Delta \) ADC - S \ (\ Delta \) ADB) cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ

Feladat. Egy szabályos háromszög alakú prizma talpának oldalán síkot húzunk, φ = 30 ° -os szögben az alap síkjához képest. Keresse meg a kapott szakasz területét, ha a prizma alapjának oldala a= 6 cm.

Rajzoljunk keresztmetszetet ebből a prizmából (167. ábra). Mivel a prizma helyes, oldalsó élei merőlegesek az alap síkjára. Ezért a \ (\ Delta \) ABC az \ (\ Delta \) ADC vetülete, ezért
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (S _ (\ Delta ABC)) (cos \ phi) = \ frac (a \ cdot a \ sqrt3) (4cos \ phi) $$
vagy
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (6 \ cdot 6 \ cdot \ sqrt3) (4 \ cdot \ frac (\ sqrt3) (2)) = 18 (cm ^ 2) $$