Ez a cikk a matematikai kifejezések értékeinek megtalálásáról szól. Kezdjük az egyszerű numerikus kifejezésekkel, majd fontoljuk meg az eseteket, amikor összetettségük növekszik. A végén bemutatunk egy kifejezést, amely betűmegjelöléseket, zárójeleket, gyökereket, speciális matematikai jeleket, fokozatokat, függvényeket stb. Tartalmaz. A hagyomány szerint az egész elmélet bőséges és részletes példákkal lesz ellátva.

Hogyan találhatom meg a numerikus kifejezés értékét?

A numerikus kifejezések többek között segítenek egy matematikai nyelvű problémafeltétel leírásában. Általánosságban elmondható, hogy a matematikai kifejezések lehetnek nagyon egyszerűek, számpárokból és számtani jelekből állnak, vagy nagyon bonyolultak, tartalmazhatnak függvényeket, hatványokat, gyököket, zárójeleket stb. Egy feladat keretein belül gyakran szükséges megtalálni a kifejezés jelentését. Ennek módjáról az alábbiakban lesz szó.

A legegyszerűbb esetek

Ezek azok az esetek, amikor a kifejezés csak számokat és számtani műveleteket tartalmaz. Az ilyen kifejezések értékeinek sikeres megtalálásához tudnia kell a zárójelek nélküli aritmetikai műveletek sorrendjét, valamint a különböző számokkal végzett műveletek végrehajtásának képességét.

Ha a kifejezés csak számokat és számtani jeleket tartalmaz "+", "·", "-", "÷", akkor a műveleteket balról jobbra a következő sorrendben hajtjuk végre: először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás. Íme néhány példa.

1. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Legyen szükség a 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 kifejezés értékeinek megkeresésére.

Először végezzük a szorzást és az osztást. Kapunk:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Most kivonjuk és megkapjuk a végeredményt:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Először elvégezzük a törtek átalakítását, az osztást és a szorzást:

0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - ( - 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - ( - 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - ( - 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - ( - 14) + 2 9.

Most végezzük el az összeadást és a kivonást. Csoportosítsuk a törteket, és vigyük közös nevezőre:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

A keresett érték megtalálható.

Kifejezések zárójelekkel

Ha a kifejezés zárójelet tartalmaz, akkor meghatározza a műveletek sorrendjét ebben a kifejezésben. Először a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre, majd a többit. Mutassuk ezt egy példával.

3. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a 0, 5 · (0, 76 - 0, 06) kifejezés értékét.

A kifejezés zárójeleket tartalmaz, ezért először zárójelben hajtjuk végre a kivonási műveletet, és csak ezután szorozzuk.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.

A zárójelben zárójelben lévő kifejezések jelentése ugyanazt az elvet követi.

4. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki az 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 értéket.

A műveleteket a legbelső zárójelekkel kezdve hajtjuk végre, a külsőkig.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

A zárójeles kifejezések értékeinek megtalálásakor a legfontosabb a műveletsor követése.

Gyökeres kifejezések

A matematikai kifejezések, amelyekhez meg kell találnunk az értékeket, tartalmazhatnak gyökjeleket. Ezenkívül maga a kifejezés a gyökérjel alatt lehet. Mit kell tenni ebben az esetben? Először meg kell találnia a kifejezés értékét a gyökér alatt, majd ki kell vonnia a gyökeret a kapott számból. Ha lehetséges, akkor jobb, ha megszabadulunk a gyökerektől a numerikus kifejezésekben, és helyettesítjük a számértékekkel.

5. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a kifejezés értékét gyökerekkel - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Először kiszámítjuk a radikális kifejezéseket.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Most értékelheti a teljes kifejezés értékét.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6,5

Gyakran előfordul, hogy a gyökeres kifejezés jelentésének megtalálása gyakran az eredeti kifejezés átalakítását igényli. Ezt magyarázzuk meg még egy példával.

6. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Mennyi a 3 + 1 3 - 1 - 1

Amint látja, nincs módunk a gyökér pontos értékre történő cseréjére, ami bonyolítja a számítási folyamatot. Ebben az esetben azonban alkalmazhatja a rövidített szorzóképletet.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

És így:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Erő kifejezések

Ha a kifejezés fokokat tartalmaz, akkor az összes többi művelet folytatása előtt ki kell számítani az értékeiket. Előfordul, hogy maga a kitevő vagy a fok alapja kifejezések. Ebben az esetben először ezeknek a kifejezéseknek az értékét kell kiszámítani, majd a fokozat értékét.

7. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 kifejezés értékét.

Elkezdjük sorrendben számolni.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Már csak a hozzáadás művelet elvégzése és a kifejezés értékének kiderítése marad:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Gyakran tanácsos a kifejezést is egyszerűsíteni a fok tulajdonságaival.

8. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

A kitevők ismét olyanok, hogy pontos számértékeiket nem lehet megszerezni. Egyszerűsítsük le az eredeti kifejezést, hogy megtaláljuk a jelentését.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Tört kifejezések

Ha a kifejezés töredékeket tartalmaz, akkor egy ilyen kifejezés kiszámításakor a benne található összes töredéket közönséges törtként kell ábrázolni, és ki kell számítani az értékeiket.

Ha a tört számlálójában és nevezőjében vannak kifejezések, akkor először ezeknek a kifejezéseknek az értékeit kell kiszámítani, és magának a törtnek a végső értékét kell írni. Az aritmetikai műveleteket szabványos módon hajtják végre. Tekintsük egy példa megoldását.

9. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a törteket tartalmazó kifejezés értékét: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Mint látható, az eredeti kifejezésben három tört található. Először számítsuk ki értéküket.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Írjuk át kifejezésünket és számítsuk ki értékét:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1

Gyakran a kifejezések értékeinek megkeresésekor kényelmes a törtek csökkentése. Van egy kimondatlan szabály: mielőtt megtalálja az értékét, a legjobb, ha minden kifejezést a lehető legnagyobb mértékben egyszerűsít, és minden számítást a legegyszerűbb esetekre redukál.

Példa 10. Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 kifejezést.

Az öt gyökerét nem tudjuk teljesen kinyerni, de az eredeti kifejezést átalakítással egyszerűsíthetjük.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Az eredeti kifejezés a következő formában jelenik meg:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Kifejezések logaritmusokkal

Ha a kifejezésben logaritmusok vannak, akkor értéküket, ha lehetséges, a kezdetektől számítják. Például a log 2 4 + 2 · 4 kifejezésbe azonnal beírhatja ennek a logaritmusnak az értékét a log 2 4 helyett, majd elvégezheti az összes műveletet. Kapjuk: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

A numerikus kifejezések a logaritmus jele alatt és annak tövében is megtalálhatók. Ebben az esetben először meg kell találni az értékeiket. Vegyük a log naplót 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Nekünk van:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ha nem lehetséges kiszámítani a logaritmus pontos értékét, a kifejezés egyszerűsítése segít megtalálni annak értékét.

11. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a log log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 kifejezés értékét.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

A logaritmusok tulajdonsága szerint:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.

Ismét alkalmazva a logaritmusok tulajdonságait, a kifejezés utolsó töredékére a következőt kapjuk:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Most folytathatja az eredeti kifejezés értékének kiszámítását.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

Előfordul, hogy egy kifejezés szinusz-, koszinusz-, érintő- és kotangens trigonometrikus függvényeket, valamint ezekkel ellentétes függvényeket tartalmaz. Az értékeket az összes többi számtani művelet végrehajtása előtt számítják ki. Ellenkező esetben a kifejezés egyszerűsödik.

12. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a kifejezés értékét: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Először kiszámítjuk a kifejezésben szereplő trigonometriai függvények értékeit.

bűn - 5 π 2 = - 1

Helyettesítjük az értékeket a kifejezésbe, és kiszámítjuk annak értékét:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - ( - 1) + ( - 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

A kifejezés értéke megtalálható.

Gyakran ahhoz, hogy megtalálja a trigonometrikus függvényekkel rendelkező kifejezés értékét, először azt kell átalakítani. Magyarázzuk meg egy példával.

13. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Meg kell találnia a cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 kifejezés értékét.

Az átalakításhoz a trigonometriai képleteket használjuk a kettős szög koszinuszára és az összeg koszinuszára.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

A numerikus kifejezés általános esete

Általánosságban elmondható, hogy a trigonometrikus kifejezés tartalmazhatja a fenti elemek mindegyikét: zárójelek, fokok, gyök, logaritmusok, függvények. Fogalmazzunk meg egy általános szabályt az ilyen kifejezések értékeinek megtalálására.

Hogyan lehet megtalálni egy kifejezés jelentését

1. Gyökerek, fokok, logaritmusok stb. értékeik helyettesítik.
2. A zárójelben lévő műveleteket hajtja végre.
3. A többi műveletet balról jobbra sorrendben hajtják végre. Először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás.

Nézzünk egy példát.

14. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a kifejezés értékét - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

A kifejezés meglehetősen összetett és nehézkes. Nem véletlenül választottunk éppen egy ilyen példát, és igyekeztünk minden fentebb leírt esetet beleilleszteni. Hogyan találja meg egy ilyen kifejezés jelentését?

Ismeretes, hogy egy összetett törtforma értékének kiszámításakor először a tört számlálójának és nevezőjének értékeit találjuk külön. Ezt a kifejezést következetesen átalakítjuk és egyszerűsítjük.

Először is kiszámítjuk a 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 gyök kifejezés kifejezés értékét. Ehhez meg kell találnia a szinusz értékét, és azt a kifejezést, amely a trigonometrikus függvény argumentuma.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Most megtudhatja a szinusz értékét:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Kiszámítjuk a radikális kifejezés értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

A tört nevezőjével minden egyszerűbb:

Most felírhatjuk az egész tört értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Ezt szem előtt tartva írjuk le a teljes kifejezést:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Végeredmény:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Ebben az esetben a gyök, logaritmus, szinusz stb. Pontos értékeit tudtuk kiszámítani. Ha ez nem lehetséges, akkor megpróbálhat megszabadulni tőlük matematikai átalakításokkal.

A kifejezések értékeinek számítása racionális módon

Számítsa ki következetesen és pontosan a numerikus értékeket. Ez a folyamat racionalizálható és gyorsítható a műveletek különböző tulajdonságainak használatával a számokkal. Például ismert, hogy a szorzat nulla, ha az egyik tényező legalább egy nulla. Ezt a tulajdonságot figyelembe véve azonnal kijelenthetjük, hogy a 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 kifejezés nulla. Ebben az esetben egyáltalán nem szükséges a műveleteket a fenti cikkben leírt sorrendben végrehajtani.

Kényelmes használni az egyenlő számok kivonásának tulajdonságát is. Bármilyen művelet végrehajtása nélkül elrendelheti, hogy az 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 kifejezés értéke is nulla legyen.

Egy másik technika, amely lehetővé teszi a folyamat felgyorsítását, az azonos transzformációk használata, például a kifejezések és tényezők csoportosítása, valamint a közös tényező kivétele a zárójelből. A törtekkel kifejezések kiszámításának racionális megközelítése, ha ugyanazokat a kifejezéseket csökkenti a számlálóban és a nevezőben.

Vegyük például a 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 kifejezést. A zárójelben levő műveletek végrehajtása, de a tört csökkentése nélkül azt mondhatjuk, hogy a kifejezés értéke 1 3.

Kifejezések értékeinek megtalálása változókkal

Az alfabetikus kifejezés és a változókkal rendelkező kifejezés értéke a betűk és változók meghatározott megadott értékeihez tartozik.

Kifejezések értékeinek megtalálása változókkal

A literális kifejezés és a változókkal rendelkező kifejezés értékének megkereséséhez be kell cserélnie a betűk és változók megadott értékeit az eredeti kifejezésbe, majd ki kell számítania a kapott numerikus kifejezés értékét.

Példa 15. Egy kifejezés értéke változókkal

Értékelje a 0,5 x - y kifejezés értékét, ha x = 2, 4 és y = 5.

Helyettesítjük a változók értékeit a kifejezésbe, és kiszámítjuk:

0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.

Néha oly módon alakíthat át egy kifejezést, hogy megkapja annak értékét, függetlenül a benne szereplő betűk és változók értékeitől. Ehhez meg kell szabadulnia a kifejezés betűitől és változóitól, ha lehetséges, azonos transzformációk, aritmetikai műveletek tulajdonságai és minden lehetséges egyéb módszer használatával.

Például az x + 3 - x kifejezés nyilvánvalóan 3 -as értékű, és ennek az értéknek a kiszámításához nem kell ismernie x értékét. Ennek a kifejezésnek az értéke a hárommal egyenlő az x változó minden értékével az érvényes értékek tartományából.

Még egy példa. Az x x kifejezés értéke minden pozitív x -nél egy.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűkombinációt

A 7. osztályos algebra tanfolyamon egész kifejezések transzformációival foglalkoztunk, vagyis számokból és változókból összeállított kifejezésekkel, az összeadás, kivonás és szorzás műveleteivel, valamint a nullától eltérő számmal való osztással. Tehát a kifejezések egész számok

Ezzel szemben a kifejezések

az összeadás, kivonás és szorzás műveletein kívül tartalmaznak változókkal rendelkező kifejezéssel való osztást. Az ilyen kifejezéseket tört kifejezéseknek nevezzük.

A teljes és töredékes kifejezéseket racionális kifejezéseknek nevezzük.

Az egész kifejezésnek értelme van a benne szereplő változók bármely értéke számára, mivel egy egész kifejezés értékének megtalálásához olyan műveleteket kell végrehajtania, amelyek mindig lehetségesek.

A tört tört kifejezés bizonyos változóértékek esetén nem értelmezhető. Például a - kifejezésnek nincs értelme a = 0 esetén. Az a minden egyéb értéke esetében ennek a kifejezésnek van értelme. A kifejezés akkor érthető x és y értékei esetén, ha x ≠ y.

Annak a változónak az értékeit, amelyhez a kifejezés értelmet ad, a változó megengedett értékének nevezzük.

Az űrlap kifejezését, mint tudod, töredéknek nevezik.

A törtet, amelynek számlálója és nevezője polinom, racionális törtnek nevezzük.

A racionális törtek példái a törtek

Egy racionális törtben a változók azon értékei megengedettek, amelyeknél a tört nevezője nem tűnik el.

1. példa. Keressük meg a változó érvényes értékeit törtben

Megoldás Annak megállapításához, hogy a tört nevezője mely értékei vesznek el, meg kell oldania az a (a - 9) = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek két gyöke van: 0 és 9. Ezért a 0 és 9 kivételével minden szám a változó érvényes értékei.

2. példa. Milyen x értéknél van a tört értéke nullával egyenlő?

Megoldás A tört akkor és csak akkor nulla, ha a - 0 és b ≠ 0.

Tehát, ha egy numerikus kifejezés számokból és jelekből, +, -, · és :, akkor balról jobbra haladva először szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást kell elvégeznie, amely lehetővé teszi, hogy megtalálja a kifejezés kívánt értékét.

Adjunk példák megoldását a tisztázáshoz.

Példa.

Értékelje a 14−2 · 15: 6−3 kifejezés értékét.

Megoldás.

A kifejezés értékének megtalálásához el kell végeznie a benne megjelölt összes műveletet a műveletek végrehajtásának elfogadott sorrendje szerint. Először is, balról jobbra sorrendben szorzást és osztást hajtunk végre 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Most szintén balról jobbra sorrendben hajtjuk végre a fennmaradó műveleteket: 14−5−3 = 9−3 = 6. Tehát megtaláltuk az eredeti kifejezés értékét, ez 6.

Válasz:

14−2 15: 6−3 = 6.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését.

Megoldás.

Ebben a példában először a 2 · (−7) szorzást, valamint az osztást és a szorzást kell végrehajtanunk a kifejezésben. Emlékezve arra, hogyan történik, 2 (−7) = - 14 -et találunk. És először végezzen műveleteket a kifejezésben , azután , és hajtsa végre: .

Helyezze be a kapott értékeket az eredeti kifejezésbe :.

De mi van akkor, ha a gyökérjel alatt numerikus kifejezés található? Az ilyen gyök értékének megszerzéséhez először meg kell találnia a radikális kifejezés értékét, betartva a műveletek végrehajtásának elfogadott sorrendjét. Például, .

A numerikus kifejezésekben a gyökereket bizonyos számokként kell felfogni, és célszerű a gyökereket azonnal lecserélni az értékeikre, majd megtalálni a kapott kifejezés értékét gyökerek nélkül, az elfogadott sorrendben végrehajtva a műveleteket.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését a gyökerekkel.

Megoldás.

Először is megtaláljuk a gyök értékét ... Ehhez először kiszámítjuk a radikális kifejezés értékét −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... Másodszor pedig megtaláljuk a gyök értékét.

Most számítsuk ki a második gyök értékét az eredeti kifejezésből :.

Végül megtaláljuk az eredeti kifejezés értékét, ha a gyökereket az értékeikkel helyettesítjük :.

Válasz:

Gyakran ahhoz, hogy megtalálható legyen a kifejezés értéke gyökerekkel, először át kell alakítania. Mutassuk meg egy példa megoldását.

Példa.

Mi a kifejezés jelentése .

Megoldás.

Nem helyettesíthetjük a három gyökét a pontos értékével, ami nem teszi lehetővé számunkra, hogy a kifejezés értékét a fent leírt módon számítsuk ki. Ennek a kifejezésnek az értékét azonban egyszerű transzformációk végrehajtásával tudjuk kiszámítani. Alkalmazható négyzetkülönbség képlet:. Figyelembe véve, megkapjuk ... Így az eredeti kifejezés értéke 1.

Válasz:

.

Fokokkal

Ha a bázis és a kitevő szám, akkor értéküket a kitevő definíciója szerint számítják ki, például 3 2 = 3 · 3 = 9 vagy 8 −1 = 1/8. Vannak olyan rekordok is, amikor az alap és / vagy a kitevő néhány kifejezés. Ezekben az esetekben meg kell találnia a kifejezés értékét az alapban, a kifejezés értékét a kitevőben, majd ki kell számítania a fok értékét.

Példa.

Keresse meg az űrlap erejével rendelkező kifejezés értékét 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4.

Megoldás.

Az eredeti kifejezésben két fok 2 3 4-10 és (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Értékeiket minden más lépés végrehajtása előtt ki kell számítani.

Kezdjük az erővel 2 3 4−10. A mutatójában van egy numerikus kifejezés, kiszámítjuk az értékét: 3 4-10 = 12-10 = 2. Most megtalálhatja magának a fokozatnak az értékét: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

Az alapon és a kitevőben (1-1 / 2) 3,5-2 Nekünk van (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.

Most visszatérünk az eredeti kifejezéshez, lecseréljük a benne lévő erőket az értékeikre, és megtaláljuk a szükséges kifejezés értékét: 2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

Válasz:

2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 6.

Érdemes megjegyezni, hogy vannak gyakoribb esetek, amikor célszerű előzetes vizsgálatot végezni a kifejezés egyszerűsítése hatáskörrel az alapon.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

Az ebben a kifejezésben szereplő kitevőkből ítélve a kitevők pontos értékei nem kaphatók meg. Próbáljuk meg egyszerűsíteni az eredeti kifejezést, talán ez segít megtalálni a jelentését. Nekünk van

Válasz:

.

A kifejezések fokozatai gyakran együtt járnak a logaritmusokkal, de beszélni fogunk arról, hogy a logaritmusos kifejezések értékeit megtaláljuk az egyikben.

Egy kifejezés értékének megtalálása törtekkel

A bejegyzésükben szereplő numerikus kifejezések tartalmazhatnak törtek... Ha meg kell találnia egy ilyen kifejezés jelentését, a szokásos törtektől eltérő törteket le kell cserélni az értékeikkel, mielőtt végrehajtaná a többi lépést.

A törtek számlálója és nevezője (amelyek eltérnek a közönséges törtektől) tartalmazhat néhány számot és kifejezést is. Egy ilyen tört értékének kiszámításához ki kell számítani a kifejezés értékét a számlálóban, ki kell számítani a nevezőben lévő kifejezés értékét, majd magának a törtnek az értékét. Ez a sorrend azzal magyarázható, hogy az a / b tört, ahol a és b néhány kifejezés, lényegében az (a) :( b) alak hányadosa, mivel.

Tekintsük egy példa megoldását.

Példa.

Keresse meg a tört kifejezés jelentését .

Megoldás.

Az eredeti numerikus kifejezésben három tört szerepel és. Az eredeti kifejezés értékének megtalálásához először ezekre a törtekre van szükségünk, ezeket értékekkel helyettesítjük. Csináljuk.

A tört számlálója és nevezője számokat tartalmaz. Egy ilyen tört értékének megkereséséhez cserélje le a tört tömböt osztójellel, és hajtsa végre ezt a műveletet: .

A tört számlálója tartalmazza a 7−2 · 3 kifejezést, értéke könnyen megtalálható: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. És így, . Folytathatja a harmadik tört értékének megkeresését.

A számláló és a nevező harmadik törte numerikus kifejezéseket tartalmaz, ezért először ki kell számítani az értékeiket, és ez lehetővé teszi, hogy megtalálja magának a törtnek az értékét. Nekünk van .

Marad a hely, hogy a talált értékeket helyettesítse az eredeti kifejezéssel, és hajtsa végre a fennmaradó műveleteket :.

Válasz:

.

Gyakran előfordul, hogy a törtekkel rendelkező kifejezések értékeinek megtalálásakor meg kell tennie tört kifejezések egyszerűsítése a frakciókkal végzett műveletek végrehajtása és a törtek csökkentése alapján.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

Az öt gyöke nem teljesen kivont, így az eredeti kifejezés értékének megkereséséhez először egyszerűsítsük le. Ezért megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben első töredék: ... Ezt követően az eredeti kifejezés formát ölt ... A törtek kivonása után a gyökerek eltűnnek, ami lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az eredetileg megadott kifejezés értékét :.

Válasz:

.

Logaritmusokkal

Ha a numerikus kifejezés tartalmazza, és ha lehetséges megszabadulni tőlük, akkor ezt a többi művelet végrehajtása előtt kell elvégezni. Például amikor a log log 2 4 + 2 + 6 = 8 értékét keresi.

Ha numerikus kifejezések vannak a logaritmus előjele alatt és / vagy annak alapjain, akkor először megtalálják azok értékeit, majd ezt követően kiszámítják a logaritmus értékét. Vegyünk például egy kifejezést az űrlap logaritmusával ... A logaritmus tövében és előjele alatt számszerű kifejezések találhatók, értékeiket találjuk :. Most megtaláljuk a logaritmust, majd befejezzük a számításokat :.

Ha a logaritmusok nincsenek pontosan kiszámítva, akkor egyszerűsítse előre a használatával. Ugyanakkor jó ismeretekkel kell rendelkeznie a cikk anyagáról. logaritmikus kifejezések konvertálása.

Példa.

Keresse meg a kifejezés értékét logaritmusokkal .

Megoldás.

Kezdjük a log 2 kiszámításával (log 2 256). Mivel 256 = 2 8, akkor log 2 256 = 8, ezért log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

A log 6 2 és a log 6 3 logaritmusai csoportosíthatók. A log 6 2 + log 6 3 logaritmusainak összege megegyezik a log log 6 (2 3) logaritmusával, tehát log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Most foglalkozzunk a töredékkel. Először is átírjuk a nevezőben a logaritmus alapját közönséges törtként 1/5 -re, majd ezt követően a logaritmusok tulajdonságait fogjuk használni, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy megkapjuk a tört értékét:
.

Csak a kapott eredményeket kell az eredeti kifejezésbe behelyettesíteni, és meg kell találni az értékét:

Válasz:

Hogyan találom meg a trigonometrikus kifejezés értékét?

Ha egy numerikus kifejezés vagy vagy stb. Értéket tartalmaz, akkor azok értékeit más műveletek végrehajtása előtt számítják ki. Ha numerikus kifejezések vannak a trigonometrikus függvények előjele alatt, akkor először kiszámítják azok értékeit, majd megtalálják a trigonometrikus függvények értékeit.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

A cikkre hivatkozva kapjuk és cosπ = −1. Ezeket az értékeket helyettesítjük az eredeti kifejezésbe, ez formát ölt ... Ahhoz, hogy megtalálja az értékét, először hatványozást kell végeznie, majd befejeznie a számításokat :.

Válasz:

.

Meg kell jegyezni, hogy a kifejezések értékeinek kiszámítása szinuszokkal, koszinuszokkal stb. gyakran előzetesen szükséges trigonometrikus kifejezés átalakítása.

Példa.

Mennyi a trigonometrikus kifejezés értéke? .

Megoldás.

Az eredeti kifejezést úgy alakítjuk át, hogy ebben az esetben szükségünk van a kettős szög koszinusz képletére és az összeg koszinuszának képletére:

Az elvégzett átalakítások segítettek megtalálni a kifejezés jelentését.

Válasz:

.

Általános eset

Általában egy numerikus kifejezés tartalmazhat gyökereket, hatványokat, törteket, függvényeket és zárójeleket. Az ilyen kifejezések értékeinek megkeresése a következő:

• első gyökerek, hatalmak, törtek stb. értékeik helyettesítik,
• további műveletek zárójelben,
• és balról jobbra sorrendben a fennmaradó műveleteket hajtják végre - szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást.

A felsorolt ​​műveleteket a végső eredmény eléréséig kell végrehajtani.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

Ennek a kifejezésnek a formája meglehetősen bonyolult. Ebben a kifejezésben töredéket, gyököket, fokokat, szinuszt és logaritmust látunk. Hogyan találja meg a jelentését?

A rekord balról jobbra haladva a forma töredékével találkozunk ... Tudjuk, hogy ha összetett törtekkel dolgozunk, akkor külön kell kiszámítanunk a számláló értékét, külön - a nevezőt, és végül meg kell találnunk a tört értékét.

A számlálóban van az űrlap gyökere ... Értékének meghatározásához először ki kell számítani a radikális kifejezés értékét ... Itt van egy szinusz. Értékét csak a kifejezés értékének kiszámítása után találjuk meg ... Meg tudjuk csinálni:. Aztán honnan és .

A nevező egyszerű :.

És így, .

Miután ezt az eredményt behelyettesítette az eredeti kifejezésbe, az formát ölt. A kapott kifejezés tartalmazza a fokozatot. Ahhoz, hogy megtalálja az értékét, először meg kell találnia a mutató értékét .

Így, .

Válasz:

.

Ha nem lehet kiszámítani a gyökerek, fokok stb. Pontos értékeit, akkor megpróbálhat megszabadulni tőlük néhány transzformáció segítségével, majd visszatérhet az érték kiszámításához a megadott séma szerint.

Racionális módszerek a kifejezések értékeinek kiszámítására

A numerikus kifejezések értékeinek kiszámítása következetességet és körültekintést igényel. Igen, be kell tartania az előző bekezdésekben leírt műveletsort, de nem kell vakon és gépiesen tennie. Ez alatt azt értjük, hogy gyakran lehetséges racionalizálni a kifejezés jelentésének megtalálásának folyamatát. Például a számokkal végzett műveletek egyes tulajdonságai jelentősen felgyorsíthatják és egyszerűsíthetik a kifejezés értékének megtalálását.

Például ismerjük a szorzásnak ezt a tulajdonságát: ha a szorzat egyik tényezője nulla, akkor a szorzat értéke is nulla. Ezt a tulajdonságot használva azonnal kijelenthetjük, hogy a kifejezés értéke 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) egyenlő a nullával. Ha betartanánk a műveletek végrehajtásának szokásos sorrendjét, akkor először a zárójelben lévő terjedelmes kifejezések értékét kell kiszámítanunk, és ez sok időt vesz igénybe, és az eredmény továbbra is nulla lesz.

Kényelmes használni az egyenlő számok kivonásának tulajdonságát is: ha egy számból kivonunk egy egyenlő számot, akkor az eredmény nulla lesz. Ezt a tulajdonságot tágabban is meg lehet tekinteni: két azonos numerikus kifejezés közötti különbség nulla. Például a zárójelben lévő kifejezések értékeinek értékelése nélkül megtalálhatja a kifejezés értékét (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), ez nullával egyenlő, mivel az eredeti kifejezés ugyanazon kifejezések különbsége.

A kifejezések értékeinek racionális kiszámítását megkönnyítheti azonos átalakítások... Például hasznos lehet kifejezések és tényezők csoportosítása, nem ritkábban használják kiszámítva a közös tényezőt... Tehát az 53 5 + 53 7−53 11 + 5 kifejezés értéke nagyon könnyen megtalálható, miután az 53 -as tényezőt zárójelbe helyezi: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... A közvetlen számítás sokkal tovább tart.

E bekezdés befejezéseként figyeljünk a törtekkel rendelkező kifejezések értékeinek kiszámításának racionális megközelítésére - a tört számlálójában és nevezőjében ugyanazok a tényezők törlődnek. Például ugyanazon kifejezések törlése a tört számlálójában és nevezőjében lehetővé teszi, hogy azonnal megtalálja az értékét, ami 1/2.

Egy literális kifejezés és egy változókkal rendelkező kifejezés értékének megkeresése

A szó szerinti kifejezés jelentése és a változókkal való kifejezés megtalálható a betűk és változók meghatározott megadott értékeihez. Vagyis egy szó szerinti kifejezés értékének megtalálásáról beszélünk a betűk adott értékeihez, vagy egy kifejezés értékének megtalálásáról változókkal a változók kiválasztott értékeihez.

A szabály Az ábécés kifejezés vagy a változókkal rendelkező kifejezés értékeinek meghatározása a megadott betűértékek vagy a kiválasztott változóértékek esetében a következő: ezeket a betűk vagy változók értékeit be kell cserélni az eredeti kifejezésbe, és ki kell számítani a a kapott numerikus kifejezés értéke, ez a kívánt érték.

Példa.

Értékelje a 0,5 x - y kifejezést x = 2,4 és y = 5 esetén.

Megoldás.

A kifejezés kívánt értékének megtalálásához először be kell cserélnie a változók ezeket az értékeket az eredeti kifejezésbe, majd végre kell hajtania a következő lépéseket: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Válasz:

−3,8 .

Összefoglalva, megjegyezzük, hogy néha a szó szerinti kifejezések és kifejezések változókkal történő átalakításának végrehajtása lehetővé teszi, hogy megkapjuk értékeiket, függetlenül a betűk és változók értékeitől. Például az x + 3 - x kifejezés egyszerűsíthető, utána 3 lesz. Ebből következtethetünk arra, hogy az x + 3 - x kifejezés értéke egyenlő 3 -mal az x változó bármely értéke esetén megengedett értékek tartománya (ODZ)... Egy másik példa: a kifejezés értéke x minden pozitív értéke esetén 1, tehát az x változó érvényes értékeinek tartománya az eredeti kifejezésben a pozitív számok halmaza, és ebben történik az egyenlőség hatótávolság.

Bibliográfia.

• Matematika: tankönyv. 5 cl -re. Általános oktatás. intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, Törölve. - M.: Mnemosina, 2007.- 280 p.: Ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: tankönyv. általános oktatáshoz. intézmények / [N. Ja. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, Rev. - M.: Mnemozina, 2008.- 288 p.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tanulmány. 7 cl -re. Általános oktatás. intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Telyakovsky. - 17. kiadás. - M .: Oktatás, 2008 .-- 240 p. : ill. -ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: tanulmány. 8 cl -ért. Általános oktatás. intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Telyakovsky. - 16. kiadás. - M .: Oktatás, 2008 .-- 271 p. : ill. -ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. évfolyam: tankönyv. általános oktatáshoz. intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Telyakovsky. - 16. kiadás. - M .: Oktatás, 2009 .-- 271 p. : ill. -ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebraés az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl. Általános oktatás. intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov. - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.