Ez a cikk azt tárgyalja, hogyan lehet megtalálni a matematikai kifejezések értékeit. Kezdjük egyszerű numerikus kifejezésekkel, majd vegyük figyelembe az eseteket, amint bonyolultságuk növekszik. A végén bemutatunk egy kifejezést, amely betűjeleket, zárójeleket, gyököket, speciális matematikai szimbólumokat, hatványokat, függvényeket stb. A hagyományoknak megfelelően a teljes elméletet bőséges és részletes példákkal közöljük.

Hogyan találjuk meg egy numerikus kifejezés értékét?

A numerikus kifejezések többek között segítik a matematikai nyelvi probléma feltételének leírását. Általában a matematikai kifejezések lehetnek nagyon egyszerűek, amelyek számpárból és számtani szimbólumokból állnak, vagy nagyon összetettek, tartalmazhatnak függvényeket, hatványokat, gyököket, zárójeleket stb. Egy feladat részeként gyakran meg kell találni egy adott kifejezés jelentését. Ennek mikéntjét az alábbiakban tárgyaljuk.

A legegyszerűbb esetek

Ezek olyan esetek, amikor a kifejezés nem tartalmaz mást, mint számokat és aritmetikai műveleteket. Az ilyen kifejezések értékeinek sikeres megtalálásához ismernie kell a zárójelek nélküli aritmetikai műveletek végrehajtásának sorrendjét, valamint a különböző számokkal végzett műveletek képességét.

Ha a kifejezés csak számokat és számtani előjeleket tartalmaz " + " , " · " , " - " , " ÷ " , akkor a műveletek balról jobbra haladva a következő sorrendben történnek: először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás. Mondjunk példákat.

1. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Meg kell találnia a 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 kifejezés értékeit.

Először végezzük el a szorzást és az osztást. Kapunk:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Most végrehajtjuk a kivonást, és megkapjuk a végeredményt:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Először törtátalakítást, osztást és szorzást hajtunk végre:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Most végezzünk néhány összeadást és kivonást. Csoportosítsuk a törteket, és hozzuk őket közös nevezőre:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

A szükséges értéket megtaláltuk.

Zárójeles kifejezések

Ha egy kifejezés zárójeleket tartalmaz, akkor ezek határozzák meg a műveletek sorrendjét a kifejezésben. Először a zárójelben szereplő műveletek kerülnek végrehajtásra, majd az összes többi. Mutassuk meg ezt egy példával.

3. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Keressük meg a 0,5 · (0,76 - 0,06) kifejezés értékét.

A kifejezés zárójeleket tartalmaz, ezért először a kivonási műveletet hajtjuk végre a zárójelben, és csak utána a szorzást.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

A zárójelben zárójelet tartalmazó kifejezések jelentését ugyanezen elv szerint találjuk meg.

4. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki az 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 értéket.

A műveleteket a legbelső zárójelektől kezdve, a külső zárójelek felé haladva hajtjuk végre.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

A zárójeles kifejezések jelentésének megtalálásakor a legfontosabb a műveletek sorrendjének követése.

Kifejezések gyökerekkel

Azok a matematikai kifejezések, amelyek értékeit meg kell találnunk, gyökjeleket tartalmazhatnak. Sőt, maga a kifejezés is lehet a gyökérjel alatt. Mi a teendő ebben az esetben? Először meg kell találnia a kifejezés értékét a gyökér alatt, majd ki kell bontani a gyökért az eredményeként kapott számból. Ha lehetséges, jobb megszabadulni a gyököktől a numerikus kifejezésekben, helyettesítve azokat számértékekkel.

5. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a kifejezés értékét - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 gyökökkel.

Először kiszámítjuk a radikális kifejezéseket.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Most kiszámolhatja a teljes kifejezés értékét.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Gyakran egy kifejezés jelentésének megtalálásához a gyökökkel gyakran először az eredeti kifejezés átalakítása szükséges. Magyarázzuk meg ezt még egy példával.

6. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Mi a 3 + 1 3 - 1 - 1

Amint látja, nincs lehetőségünk a gyökér pontos értékre cserélésére, ami megnehezíti a számolási folyamatot. Ebben az esetben azonban használhatja a rövidített szorzási képletet.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

És így:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Hatásos kifejezések

Ha egy kifejezés hatványokat tartalmaz, akkor ezek értékét ki kell számítani az összes többi művelet folytatása előtt. Előfordul, hogy maga a kitevő vagy a fok alapja kifejezés. Ebben az esetben először ezeknek a kifejezéseknek az értékét számítjuk ki, majd a fokozat értékét.

7. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Keressük meg a 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 kifejezés értékét.

Kezdjük a számolást sorban.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Nincs más hátra, mint végrehajtani az összeadási műveletet, és megtudni a kifejezés jelentését:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Gyakran tanácsos egy kifejezést a fok tulajdonságainak használatával egyszerűsíteni.

8. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

A kitevők ismét olyanok, hogy pontos számértéküket nem lehet megkapni. Egyszerűsítsük az eredeti kifejezést, hogy megtaláljuk az értékét.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Kifejezések törtekkel

Ha egy kifejezés törteket tartalmaz, akkor egy ilyen kifejezés kiszámításakor az összes benne lévő törtet közönséges törtként kell ábrázolni, és ki kell számítani az értékeket.

Ha egy tört számlálója és nevezője kifejezéseket tartalmaz, akkor először ezeknek a kifejezéseknek az értékeit számítjuk ki, és magának a törtnek a végső értékét írjuk le. Az aritmetikai műveletek végrehajtása a szabványos sorrendben történik. Nézzük a példamegoldást.

9. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Keressük meg a törteket tartalmazó kifejezés értékét: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Mint látható, az eredeti kifejezésben három tört található. Először számítsuk ki az értékeiket.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Írjuk át a kifejezésünket és számítsuk ki az értékét:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

A kifejezések jelentésének megtalálásakor gyakran célszerű a törteket csökkenteni. Van egy kimondatlan szabály: mielőtt megtalálná az értékét, a legjobb, ha bármilyen kifejezést maximálisan leegyszerűsít, minden számítást a legegyszerűbb esetekre redukál.

10. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 kifejezést.

Az öt gyökerét nem tudjuk teljesen kivonni, de az eredeti kifejezést leegyszerűsíthetjük átalakításokkal.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Az eredeti kifejezés a következő formában jelenik meg:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Kifejezések logaritmussal

Ha egy kifejezésben szerepelnek logaritmusok, értéküket a rendszer, ha lehetséges, az elejétől számítja ki. Például a log 2 4 + 2 · 4 kifejezésben azonnal felírhatja ennek a logaritmusnak az értékét a log 2 4 helyett, majd végrehajthatja az összes műveletet. A következőt kapjuk: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

A numerikus kifejezések a logaritmusjel alatt és annak alján is megtalálhatók. Ebben az esetben először meg kell találni a jelentésüket. Vegyük a log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 kifejezést. Nekünk van:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ha a logaritmus pontos értékét nem lehet kiszámítani, a kifejezés egyszerűsítése segít megtalálni az értékét.

11. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Keressük meg a log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 kifejezés értékét.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

A logaritmus tulajdonságai alapján:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

A logaritmus tulajdonságait ismételten felhasználva a kifejezés utolsó törtére a következőt kapjuk:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Most folytathatja az eredeti kifejezés értékének kiszámítását.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

Előfordul, hogy a kifejezés tartalmazza a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus függvényeit, valamint ezek inverz függvényeit. Az érték kiszámítása az összes többi aritmetikai művelet végrehajtása előtt történik. Ellenkező esetben a kifejezés leegyszerűsödik.

12. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a kifejezés értékét: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Először kiszámítjuk a kifejezésben szereplő trigonometrikus függvények értékeit.

sin - 5 π 2 = - 1

Az értékeket behelyettesítjük a kifejezésbe, és kiszámítjuk az értékét:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

A kifejezés értéke megtalálható.

Gyakran egy kifejezés értékének megtalálásához trigonometrikus függvényekkel először konvertálni kell. Magyarázzuk meg egy példával.

13. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Meg kell találnunk a cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 kifejezés értékét.

Az átszámításhoz a kettős szög koszinuszának és az összeg koszinuszának trigonometrikus képleteit használjuk.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - cos 1 π 1-1 = 0.

Egy numerikus kifejezés általános esete

Általában egy trigonometrikus kifejezés tartalmazhatja az összes fent leírt elemet: zárójeleket, hatványokat, gyököket, logaritmusokat, függvényeket. Fogalmazzunk meg egy általános szabályt az ilyen kifejezések jelentésének megtalálására.

Hogyan találjuk meg egy kifejezés értékét

1. Gyökök, hatványok, logaritmusok stb. értékükkel helyettesítik.
2. A zárójelben szereplő műveletek végrehajtásra kerülnek.
3. A többi műveletet balról jobbra haladva kell végrehajtani. Először - szorzás és osztás, majd - összeadás és kivonás.

Nézzünk egy példát.

14. példa: Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 kifejezés értékét.

A kifejezés meglehetősen bonyolult és nehézkes. Nem véletlenül választottunk egy ilyen példát, igyekeztünk beleilleszteni az összes fent leírt esetet. Hogyan lehet megtalálni egy ilyen kifejezés jelentését?

Ismeretes, hogy egy összetett törtforma értékének kiszámításakor a tört számlálójának és nevezőjének értékeit először külön-külön találják meg. Ezt a kifejezést szekvenciálisan átalakítjuk és egyszerűsítjük.

Először is számítsuk ki a 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 gyökkifejezés értékét. Ehhez meg kell találni a szinusz értékét és azt a kifejezést, amely a trigonometrikus függvény argumentuma.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Most megtudhatja a szinusz értékét:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Kiszámoljuk a radikális kifejezés értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

A tört nevezőjével minden egyszerűbb:

Most felírhatjuk a teljes tört értékét:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Ezt figyelembe véve írjuk a teljes kifejezést:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Végeredmény:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Ebben az esetben ki tudtuk számolni a gyökök, logaritmusok, szinuszok stb. Ha ez nem lehetséges, akkor matematikai transzformációk segítségével megpróbálhatja megszabadulni tőlük.

Kifejezési értékek kiszámítása racionális módszerekkel

A numerikus értékeket következetesen és pontosan kell kiszámítani. Ez a folyamat a számokkal végzett műveletek különféle tulajdonságaival racionalizálható és felgyorsítható. Például ismert, hogy egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezt a tulajdonságot figyelembe véve azonnal kijelenthetjük, hogy a 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 kifejezés egyenlő nullával. Ugyanakkor egyáltalán nem szükséges a fenti cikkben leírt sorrendben végrehajtani a műveleteket.

Kényelmes az egyenlő számok kivonásának tulajdonsága is. Műveletek végrehajtása nélkül elrendelheti, hogy az 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 kifejezés értéke is nulla legyen.

Egy másik módszer a folyamat felgyorsítására az identitástranszformációk használata, mint például a kifejezések és tényezők csoportosítása, valamint a közös tényező zárójelekbe helyezése. A kifejezések törtekkel történő kiszámításának racionális megközelítése az, hogy a számlálóban és a nevezőben ugyanazokat a kifejezéseket csökkentjük.

Vegyük például a 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 kifejezést. A zárójelben lévő műveletek végrehajtása nélkül, hanem a tört csökkentésével azt mondhatjuk, hogy a kifejezés értéke 1 3 .

Változós kifejezések értékeinek megkeresése

A literális kifejezés és a változókkal rendelkező kifejezés értéke a betűk és változók adott értékére található.

Változós kifejezések értékeinek megkeresése

Egy szó szerinti kifejezés és egy változós kifejezés értékének megtalálásához be kell cserélnie a betűk és változók megadott értékeit az eredeti kifejezésbe, majd ki kell számítania a kapott numerikus kifejezés értékét.

15. példa: Változós kifejezés értéke

Számítsa ki a 0, 5 x - y kifejezés értékét, ha x = 2, 4 és y = 5!

Behelyettesítjük a változók értékeit a kifejezésbe, és kiszámítjuk:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Néha átalakíthat egy kifejezést úgy, hogy az értékét a benne szereplő betűk és változók értékétől függetlenül megkapja. Ehhez meg kell szabadulnia a betűktől és a változóktól a kifejezésben, ha lehetséges, azonos transzformációkkal, az aritmetikai műveletek tulajdonságaival és minden más módszerrel.

Például az x + 3 - x kifejezésnek nyilvánvalóan 3 az értéke, és ennek az értéknek a kiszámításához nem szükséges ismerni az x változó értékét. Ennek a kifejezésnek az értéke egyenlő hárommal az x változó összes értékére a megengedett értékek tartományából.

Még egy példa. Az x x kifejezés értéke eggyel egyenlő minden pozitív x esetén.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A 7. osztályos algebra tantárgyon egész kifejezések, azaz számokból és változókból álló kifejezések transzformációjával foglalkoztunk az összeadás, kivonás és szorzás, valamint a nullától eltérő számmal való osztás műveleteivel. Tehát a kifejezések egész számok

Ezzel szemben a kifejezések

az összeadás, kivonás és szorzás műveletein kívül tartalmazzák a változókkal ellátott kifejezésre való osztást. Az ilyen kifejezéseket törtkifejezéseknek nevezzük.

Az egész és a tört kifejezéseket racionális kifejezéseknek nevezzük.

Egy teljes kifejezésnek van értelme a benne szereplő változók bármely értékéhez, mivel egy teljes kifejezés értékének megtalálásához olyan műveleteket kell végrehajtania, amelyek mindig lehetségesek.

Előfordulhat, hogy a törtkifejezésnek nincs értelme egyes változóértékeknél. Például a - kifejezésnek nincs értelme, ha a = 0. Az a többi értéke esetén ennek a kifejezésnek van értelme. A kifejezésnek van értelme x és y azon értékeire, amikor x ≠ y.

Azon változók értékeit, amelyekre a kifejezésnek értelme van, a változók érvényes értékeinek nevezzük.

Az űrlap kifejezése törtként ismert.

Racionális törtnek nevezzük azt a törtet, amelynek a számlálója és a nevezője polinom.

A racionális törtek példái a törtek

A racionális törtben a változók elfogadható értékei azok, amelyeknél a tört nevezője nem tűnik el.

1. példa Keressük meg a változó elfogadható értékeit a törtben

Megoldás Ahhoz, hogy megtudjuk, milyen a értékeinél válik a tört nevezője nullává, meg kell oldani az a(a - 9) = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek két gyökere van: 0 és 9. Ezért minden szám, kivéve 0 és 9 érvényes értékek az a változóhoz.

2. példa Milyen x értéknél van a tört értéke egyenlő nullával?

Megoldás Egy tört akkor és csak akkor nulla, ha a - 0 és b ≠ 0.

Tehát, ha egy numerikus kifejezés számokból és +, −, · és: jelekből áll, akkor a balról jobbra haladáshoz először szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást kell végrehajtani, ami lehetővé teszi a a kifejezés kívánt értéke.

Mondjunk néhány példát a tisztázás érdekében.

Példa.

Számítsa ki a 14−2·15:6−3 kifejezés értékét!

Megoldás.

Egy kifejezés értékének megtalálásához végre kell hajtania a benne meghatározott összes műveletet az elfogadott végrehajtási sorrendnek megfelelően. Először balról jobbra sorrendben hajtjuk végre a szorzást és az osztást, megkapjuk 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Most a fennmaradó műveleteket is balról jobbra sorrendben hajtjuk végre: 14−5−3=9−3=6. Így találtuk meg az eredeti kifejezés értékét, ez egyenlő 6-tal.

Válasz:

14−2·15:6−3=6.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését.

Megoldás.

Ebben a példában először el kell végeznünk a 2·(−7) szorzást és az osztást a szorzással a kifejezésben. Emlékezve hogyan , azt találjuk, hogy 2·(−7)=−14. És először hajtsa végre a kifejezésben szereplő műveleteket , akkor , és hajtsa végre: .

A kapott értékeket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe: .

De mi van akkor, ha a gyökérjel alatt numerikus kifejezés található? Egy ilyen gyökér értékének megszerzéséhez először meg kell találnia a gyök kifejezés értékét, betartva a műveletek végrehajtásának elfogadott sorrendjét. Például, .

A numerikus kifejezésekben a gyököket néhány számként kell felfogni, és célszerű a gyököket azonnal lecserélni az értékükre, majd megkeresni az eredményül kapott kifejezés értékét gyök nélkül, műveleteket végrehajtva az elfogadott sorrendben.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését a gyökökkel!

Megoldás.

Először keressük meg a gyökér értékét . Ehhez először is kiszámítjuk a gyök kifejezés értékét −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Másodszor pedig megtaláljuk a gyökér értékét.

Most számítsuk ki a második gyökér értékét az eredeti kifejezésből: .

Végül megtalálhatjuk az eredeti kifejezés jelentését, ha a gyököket az értékükre cseréljük: .

Válasz:

Elég gyakran, hogy megtaláljuk egy kifejezés jelentését a gyökerekkel, először át kell alakítani. Mutassuk meg a példa megoldását.

Példa.

Mi a kifejezés jelentése .

Megoldás.

A három gyökét nem tudjuk lecserélni annak pontos értékére, ami megakadályozza, hogy a fent leírt módon számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét. Ennek a kifejezésnek az értékét azonban egyszerű transzformációk végrehajtásával kiszámíthatjuk. Alkalmazható négyzet különbség képlet: . Figyelembe véve azt kapjuk . Így az eredeti kifejezés értéke 1.

Válasz:

.

Diplomákkal

Ha az alap és a kitevő számok, akkor értéküket a fokszám meghatározásával számítjuk ki, például 3 2 =3·3=9 vagy 8 −1 =1/8. Vannak olyan bejegyzések is, ahol az alap és/vagy kitevő néhány kifejezés. Ezekben az esetekben meg kell találni a kifejezés értékét az alapban, a kifejezés értékét a kitevőben, majd ki kell számítani magának a foknak az értékét.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét az alak hatványaival 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4.

Megoldás.

Az eredeti kifejezésben két hatvány szerepel: 2 3·4−10 és (1−1/2) 3,5−2·1/4. Értéküket más műveletek végrehajtása előtt ki kell számítani.

Kezdjük a 2 3·4−10 hatványával. A mutatója numerikus kifejezést tartalmaz, számítsuk ki az értékét: 3·4−10=12−10=2. Most megtalálhatja magának a fokozatnak az értékét: 2 3·4−10 =2 2 =4.

A bázis és a kitevő (1-1/2) 3,5-2 1/4 kifejezéseket tartalmaz, hogy azután megtaláljuk a kitevő értékét. Nekünk van (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Most visszatérünk az eredeti kifejezéshez, lecseréljük a benne lévő fokokat az értékükre, és megkeressük a szükséges kifejezés értékét: 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Válasz:

2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 =6.

Érdemes megjegyezni, hogy gyakoribbak az olyan esetek, amikor tanácsos előzetes vizsgálatot végezni a kifejezés egyszerűsítése hatáskörökkel az alapon.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

A kifejezésben szereplő kitevők alapján nem lehet megkapni a kitevők pontos értékét. Próbáljuk meg egyszerűsíteni az eredeti kifejezést, talán ez segít megtalálni a jelentését. Nekünk van

Válasz:

.

A kifejezésekben a hatványok gyakran kéz a kézben járnak a logaritmusokkal, de a logaritmusos kifejezések jelentésének megtalálásáról az egyikben fogunk beszélni.

Kifejezés értékének megtalálása törtekkel

A bejegyzésükben szereplő numerikus kifejezések tartalmazhatnak törtek. Ha meg kell találnia egy ilyen kifejezés jelentését, a törtektől eltérő törteket le kell cserélni az értékükre, mielőtt folytatná a többi lépést.

A törtek számlálója és nevezője (amely különbözik a közönséges törtektől) tartalmazhat néhány számot és kifejezést is. Egy ilyen tört értékének kiszámításához ki kell számítania a kifejezés értékét a számlálóban, ki kell számítania a kifejezés értékét a nevezőben, majd magának a törtnek az értékét. Ezt a sorrendet az magyarázza, hogy az a/b tört, ahol a és b néhány kifejezés, lényegében az (a):(b) alak hányadosát képviseli, hiszen .

Nézzük a példamegoldást.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés jelentését törtekkel! .

Megoldás.

Az eredeti numerikus kifejezésben három tört található És . Az eredeti kifejezés értékének meghatározásához először ezeket a törteket kell lecserélnünk az értékükre. Csináljuk.

A tört számlálója és nevezője számokat tartalmaz. Egy ilyen tört értékének meghatározásához cserélje ki a törtsávot osztásjelre, és hajtsa végre a következő műveletet: .

A tört számlálójában egy 7−2·3 kifejezés található, ennek értéke könnyen megtalálható: 7−2·3=7−6=1. És így, . Folytathatja a harmadik tört értékének meghatározását.

A számlálóban és a nevezőben a harmadik tört numerikus kifejezéseket tartalmaz, ezért először ki kell számítania azok értékét, és ez lehetővé teszi magának a tört értékének meghatározását. Nekünk van .

Marad a talált értékek behelyettesítése az eredeti kifejezésbe, és a fennmaradó műveletek végrehajtása: .

Válasz:

.

Gyakran előfordul, hogy a törtekkel rendelkező kifejezések értékeinek megtalálásakor végre kell hajtani a törtkifejezések egyszerűsítése, törtekkel végzett műveletek és törtredukáló műveletek végrehajtásán alapul.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

Az öt gyöke nem nyerhető ki teljesen, ezért az eredeti kifejezés értékének meghatározásához először egyszerűsítsük le. Ezért a nevezőben szabaduljunk meg az irracionalitástól első töredék: . Ezt követően az eredeti kifejezés alakját veszi fel . A törtek kivonása után a gyökök eltűnnek, ami lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az eredetileg megadott kifejezés értékét: .

Válasz:

.

Logaritmusokkal

Ha egy numerikus kifejezés tartalmazza a -t, és ha lehetséges ezektől megszabadulni, akkor ez más műveletek végrehajtása előtt történik. Például a log 2 4+2·3 kifejezés értékének megtalálásakor a log 2 4 logaritmus a 2 értékre cserélődik, majd a fennmaradó műveletek a szokásos sorrendben, azaz log 2 4+2 végrehajtásra kerülnek. ·3=2+2·3=2 +6=8.

Ha numerikus kifejezések vannak a logaritmus előjele alatt és/vagy az alapján, akkor először ezek értékét találjuk meg, majd a logaritmus értékét számítjuk ki. Vegyünk például egy kifejezést az alak logaritmusával . A logaritmus alapján és előjele alatt számszerű kifejezéseket találunk: . Most megtaláljuk a logaritmust, ami után befejezzük a számításokat: .

Ha a logaritmusokat nem számítják ki pontosan, akkor annak előzetes egyszerűsítése a segítségével. Ebben az esetben jól kell ismernie a cikk anyagát logaritmikus kifejezések konvertálása.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét logaritmusokkal .

Megoldás.

Kezdjük a log 2 kiszámításával (log 2 256) . Mivel 256 = 2 8, majd log 2 256 = 8, ezért log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 =3.

A log 6 2 és log 6 3 logaritmusok csoportosíthatók. A log 6 2+log 6 3 logaritmusok összege megegyezik a log 6 (2 3) szorzat logaritmusával, így log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Most nézzük a törtet. Kezdetben átírjuk a logaritmus alapját a nevezőben közönséges tört formájában 1/5-re, majd a logaritmusok tulajdonságait használjuk, amelyek lehetővé teszik a tört értékének meghatározását:
.

Nincs más hátra, mint a kapott eredményeket behelyettesíteni az eredeti kifejezésbe, és befejezni az érték megtalálását:

Válasz:

Hogyan találjuk meg a trigonometrikus kifejezés értékét?

Ha egy numerikus kifejezés vagy stb.-t tartalmaz, akkor ezek értékét a rendszer az egyéb műveletek végrehajtása előtt kiszámítja. Ha vannak numerikus kifejezések a trigonometrikus függvények előjele alatt, akkor először ezek értékét számítják ki, majd megtalálják a trigonometrikus függvények értékeit.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

A cikkre térve azt kapjuk és cosπ=−1 . Ezeket az értékeket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe, ez felveszi a formát . Az érték meghatározásához először hatványozást kell végrehajtani, majd befejezni a számításokat: .

Válasz:

.

Érdemes megjegyezni, hogy a kifejezések értékének kiszámítása szinuszokkal, koszinuszokkal stb. gyakran előzetest igényel trigonometrikus kifejezés konvertálása.

Példa.

Mi a trigonometrikus kifejezés értéke .

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti kifejezést a segítségével, ebben az esetben szükségünk lesz a dupla szög koszinusz képletre és az összeg koszinusz képletre:

Az általunk végzett átalakítások segítettek megtalálni a kifejezés jelentését.

Válasz:

.

Általános eset

Általában egy numerikus kifejezés tartalmazhat gyököket, hatványokat, törteket, egyes függvényeket és zárójeleket. Az ilyen kifejezések értékeinek megtalálása a következő műveletek végrehajtásából áll:

• első gyökök, hatványok, törtek stb. értékükkel helyettesítik,
• további műveletek zárójelben,
• és sorrendben balról jobbra, a fennmaradó műveletek végrehajtása - szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás.

A felsorolt ​​műveleteket a végső eredmény eléréséig hajtják végre.

Példa.

Keresse meg a kifejezés jelentését .

Megoldás.

Ennek a kifejezésnek a formája meglehetősen összetett. Ebben a kifejezésben törteket, gyököket, hatványokat, szinuszokat és logaritmusokat látunk. Hogyan lehet megtalálni az értékét?

A rekordon balról jobbra haladva az űrlap töredékére bukkanunk . Tudjuk, hogy amikor összetett törtekkel dolgozunk, külön ki kell számítanunk a számláló értékét, külön a nevezőt, végül meg kell találnunk a tört értékét.

A számlálóban az űrlap gyökere található . Az érték meghatározásához először ki kell számítania a gyök kifejezés értékét . Itt van egy szinusz. Értékét csak a kifejezés értékének kiszámítása után találjuk meg . Ezt tehetjük: . Aztán honnan és honnan .

A nevező egyszerű: .

És így, .

Miután ezt az eredményt behelyettesítette az eredeti kifejezésbe, az alakja . Az eredményül kapott kifejezés tartalmazza a fokot. Ahhoz, hogy megtaláljuk az értékét, először meg kell találnunk a mutató értékét .

Így, .

Válasz:

.

Ha nem lehet kiszámítani a gyökök, hatványok stb. pontos értékét, akkor megpróbálhat megszabadulni tőlük néhány transzformáció segítségével, majd visszatérhet az érték kiszámításához a megadott séma szerint.

Racionális módszerek a kifejezések értékeinek kiszámítására

A numerikus kifejezések értékeinek kiszámítása következetességet és pontosságot igényel. Igen, be kell tartani az előző bekezdésekben rögzített műveletsort, de ezt nem kell vakon és gépiesen megtenni. Ez alatt azt értjük, hogy gyakran lehet racionalizálni egy kifejezés jelentésének megtalálásának folyamatát. Például a számokkal végzett műveletek bizonyos tulajdonságai jelentősen felgyorsíthatják és leegyszerűsíthetik egy kifejezés értékének megtalálását.

Ismerjük például a szorzásnak ezt a tulajdonságát: ha a szorzatban az egyik tényező nulla, akkor a szorzat értéke nulla. Ezt a tulajdonságot felhasználva azonnal kijelenthetjük, hogy a kifejezés értéke 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) egyenlő nullával. Ha a szokásos műveleti sorrendet követnénk, akkor először a zárójelben lévő nehézkes kifejezések értékét kellene kiszámítanunk, ami sok időt vesz igénybe, és az eredmény továbbra is nulla lenne.

Kényelmes az egyenlő számok kivonásának tulajdonsága is: ha egy számból egyenlő számot von ki, az eredmény nulla. Ez a tulajdonság tágabban is értelmezhető: két azonos numerikus kifejezés közötti különbség nulla. Például a zárójelben lévő kifejezések értékének kiszámítása nélkül megtalálhatja a kifejezés értékét (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ez egyenlő nullával, mivel az eredeti kifejezés azonos kifejezések különbsége.

A kifejezési értékek racionális kiszámítását megkönnyítheti identitás-transzformációk. Például hasznos lehet kifejezések és tényezők csoportosítása, nem kevésbé gyakran használják a közös tényezőt zárójelbe téve. Tehát az 53·5+53·7−53·11+5 kifejezés értéke nagyon könnyen megtalálható, ha az 53-as tényezőt zárójelekből kivesszük: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. A közvetlen számítás sokkal tovább tartana.

Ennek a pontnak a lezárásaként figyeljünk a törtekkel rendelkező kifejezések értékeinek kiszámításának racionális megközelítésére - a tört számlálójában és nevezőjében azonos tényezők törlődnek. Például ugyanazon kifejezések redukálása egy tört számlálójában és nevezőjében lehetővé teszi, hogy azonnal megtalálja az értékét, amely egyenlő 1/2-vel.

Literális kifejezés és változós kifejezés értékének megkeresése

Szó szerinti és változó kifejezések jelentése a betűk és változók adott értékére található. Vagyis egy literális kifejezés értékének megtalálásáról beszélünk adott betűértékekhez, vagy egy változókkal rendelkező kifejezés értékének megtalálásáról a kiválasztott változóértékekhez.

Szabály egy literális kifejezés vagy egy változókkal rendelkező kifejezés értékének megtalálása adott betűértékekhez vagy a változók kiválasztott értékéhez a következő: be kell cserélni a betűk vagy változók megadott értékeit az eredeti kifejezésbe, és ki kell számítani a kapott numerikus kifejezés értéke a kívánt érték.

Példa.

Számítsa ki a 0,5·x−y kifejezés értékét x=2,4 és y=5 esetén.

Megoldás.

A kifejezés kívánt értékének megtalálásához először be kell cserélni a változók megadott értékeit az eredeti kifejezésbe, majd a következő lépéseket kell végrehajtani: 0,5·2,4–5=1,2–5=–3,8.

Válasz:

−3,8 .

Utolsó megjegyzésként, ha néha konverziót hajt végre a literális és változó kifejezéseken, akkor ezek értékei lesznek, függetlenül a betűk és változók értékétől. Például az x+3−x kifejezés leegyszerűsíthető, ami után 3-as alakot ölt. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az x+3−x kifejezés értéke egyenlő 3-mal az x változó bármely értékére. megengedett értéktartomány (APV). Egy másik példa: a kifejezés értéke egyenlő 1-gyel x minden pozitív értékére, tehát az x változó megengedett értékeinek tartománya az eredeti kifejezésben a pozitív számok halmaza, és ebben a tartományban az egyenlőség tart.

Bibliográfia.

• Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 7. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.