Komplex számok

Képzeletbeli és komplex számok. Abszcissza és ordináta

összetett szám. Komplex számok konjugálása.

Műveletek komplex számokkal. Geometriai

komplex számok ábrázolása. összetett sík.

Komplex szám modulusa és argumentuma. trigonometrikus

komplex szám alakja. Műveletek komplexussal

számok trigonometrikus formában. Moivre-képlet.

Alapvető információk a képzeletbeli és komplex számok Az „Imagináris és komplex számok” részben találhatók. Ezeknek az új típusú számoknak az igénye az esetre vonatkozó másodfokú egyenletek megoldása során jelent megD< 0 (здесь Da másodfokú egyenlet diszkriminánsa). Ezek a számok sokáig nem találtak fizikai hasznot, ezért is nevezték "képzetes" számoknak. Most azonban nagyon széles körben használják a fizika különböző területein.

és technológia: elektrotechnika, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.

Komplex számok így írják:a+bi. Itt aés b – valós számok , a én – képzeletbeli egység. e. én 2 = –1. Szám a hívott abszcissza, a b - ordinátaösszetett száma + b .Két komplex száma+biés a-bi hívott konjugált komplex számok.

Főbb megállapodások:

1. Valós számaformában is írhatóösszetett szám:egy + 0 én vagy a - 0 én. Például 5 + 0 bejegyzésekénés 5-0 énugyanazt a számot jelenti 5 .

2. Komplex szám 0 + kettőshívott pusztán képzeletbeli szám. Felvételkettősugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.

3. Két komplex száma+bi ésc + diegyenlőnek tekintendők, haa = cés b = d. Másképp a komplex számok nem egyenlőek.

Kiegészítés. Komplex számok összegea+biés c + dikomplex számnak nevezzük (a+c ) + (b+d ) én .Ily módon amikor hozzá a komplex számokat, azok abszcisszáját és ordinátáit külön-külön hozzáadjuk.

Ez a meghatározás követi a közönséges polinomok kezelésére vonatkozó szabályokat.

Kivonás. Két komplex szám különbségea+bi(csökkentett) és c + di(kivont) komplex számnak nevezzük (a-c ) + (b-d ) én .

Ily módon két komplex szám kivonásakor az abszcisszáikat és az ordinátáikat külön-külön vonjuk ki.

Szorzás. Komplex számok szorzataa+biés c + di komplex számnak nevezzük.

(ac-bd ) + (ad+bc ) én .Ez a meghatározás két követelményből ered:

1) számok a+biés c + diszoroznia kell, mint az algebrainak binomiálisok,

2) szám énfő tulajdonsága van:én 2 = – 1.

PÉLDA ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Következésképpen, munka

két konjugált komplex szám egyenlő a valós számmal

pozitív szám.

Osztály. Ossz el egy komplex számota+bi (osztható) másikrac + di(osztó) - a harmadik szám megtalálását jelentie + fi(csevegés), amely osztóval szorozvac + di, ami osztalékot eredményeza + b .

Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.

PÉLDA Find (8+én ) : (2 – 3 én) .

Megoldás. Írjuk át ezt az arányt törtté:

A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-malén

És az összes átalakítás végrehajtása után a következőket kapjuk:

Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:

Itt van a lényeg Ajelentése -3, pontB a 2-es szám, és O- nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Ehhez téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex száma+bi ponttal lesz jelölve P abszcissza a és b ordináta (lásd az ábrát). Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .

modult komplex számot a vektor hosszának nevezzükOP, amely egy komplex számot ábrázol a koordinátán ( átfogó) repülőgép. Komplex számmodulusa+bi jelölése | a+bi| vagy levelet r

A számológép használata

Egy kifejezés kiértékeléséhez meg kell adnia egy karakterláncot az értékeléshez. Számok beírásakor a tizedes elválasztó egy pont. Zárójelek használhatók. A komplex számokkal végzett műveletek a szorzás (*), az osztás (/), az összeadás (+), a kivonás (-), a hatványozás (^) és mások. Komplex számok rekordjaként használhatja az exponenciális és az algebrai formát. Adjon meg egy képzeletbeli egységet én szorzójel nélkül is lehetséges, más esetekben szükség van a szorzójelre, például a zárójelek közé, vagy egy szám és egy állandó közé. Konstansok is használhatók: a π számot piként, kitevőként írjuk be e, a kitevőben szereplő kifejezéseket zárójelek közé kell tenni.

Példa karakterlánc kiszámításához: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), amely megfelel a \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

A számológép konstansokat, matematikai függvényeket, kiegészítő műveleteket és összetettebb kifejezéseket használhat, ezeket a funkciókat a számológépek használatának általános szabályai oldalon ismerheti meg ezen az oldalon.

Az oldal fejlesztés alatt áll, előfordulhat, hogy egyes oldalak nem elérhetők.

hírek

07.07.2016
Hozzáadott egy számológép nemlineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásához: .

30.06.2016
Az oldal reszponzív kialakítású, az oldalak megfelelően jelennek meg nagy monitorokon és mobileszközökön egyaránt.

Szponzor

RGOnline.ru - azonnali megoldás az online elektromos munkákhoz.

Idézzük fel a szükséges információkat a komplex számokról.

Összetett szám a forma kifejezése a + kettős, ahol a, b valós számok, és én- ún képzeletbeli egység, az a szimbólum, amelynek négyzete -1, azaz. én 2 = -1. Szám a hívott valódi része, és a szám b - képzeletbeli részösszetett szám z = a + kettős. Ha egy b= 0, akkor ahelyett a + 0én egyszerűen írj a. Látható, hogy a valós számok a komplex számok speciális esetei.

A komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek megegyeznek a valós számokkal: összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók egymással. Az összeadás és a kivonás a szabály szerint ( a + kettős) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)én, és szorzás - a szabály szerint ( a + kettős) · ( c + di) = (ac – bd) + (hirdetés + időszámításunk előtt)én(itt csak ezt használják én 2 = -1). Szám = a – kettős hívott komplex konjugátum nak nek z = a + kettős. Egyenlőség z · = a 2 + b 2 lehetővé teszi, hogy megértse, hogyan kell elosztani egy komplex számot egy másik (nem nulla) komplex számmal:

(Például, .)

Az összetett számoknak van egy kényelmes és vizuális geometriai ábrázolása: a szám z = a + kettős vektorként ábrázolható koordinátákkal ( a; b) a derékszögű síkon (vagy, ami majdnem ugyanaz, egy pont - a vektor vége ezekkel a koordinátákkal). Ebben az esetben két komplex szám összegét a megfelelő vektorok összegeként ábrázoljuk (amelyet a paralelogramma-szabállyal találhatunk meg). A Pitagorasz-tétel szerint a vektor hossza koordinátákkal ( a; b) egyenlő . Ezt az értéket hívják modultösszetett szám z = a + kettősés |-vel jelöljük z|. Azt a szöget, amelyet ez a vektor bezár az x tengely pozitív irányával (az óramutató járásával ellentétes irányba számolva), nevezzük érvösszetett szám zés Arg jelöli z. Az argumentum nem egyedileg definiált, hanem csak 2 többszörösének összeadásáig π radiánban (vagy 360°-ban, ha fokban számolunk) - elvégre egyértelmű, hogy az origó körüli ilyen szög átfordulása nem változtatja meg a vektort. De ha a hosszvektor r szöget alkot φ az x tengely pozitív irányával, akkor a koordinátái egyenlőek ( r kötözősaláta φ ; r bűn φ ). Ezért kiderül trigonometrikus jelölésösszetett szám: z = |z| (cos (Arg z) + én sin (Arg z)). Gyakran célszerű komplex számokat ebben a formában írni, mert ez nagyban leegyszerűsíti a számításokat. A komplex számok szorzása trigonometrikus formában nagyon egyszerűnek tűnik: z egy · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (Arg z 1+arg z 2) + én sin (Arg z 1+arg z 2)) (két komplex szám szorzásakor a modulusokat megszorozzuk és az argumentumokat összeadjuk). Innentől következzen De Moivre-képletek: z n = |z|n(kötözősaláta( n(Arg z)) + én bűn( n(Arg z))). E képletek segítségével könnyen megtanulható, hogyan lehet komplex számokból tetszőleges fokú gyököket kivonni. z n-edik gyöke olyan komplex szám w, mit w n = z. Ez egyértelmű , És hol k tetszőleges értéket vehet fel a halmazból (0, 1, ..., n- egy). Ez azt jelenti, hogy mindig pontosan van n gyökerei n foka egy komplex számtól (a síkon a szabályos csúcsaiban helyezkednek el n-gon).

Foglalkozása 12 . Komplex számok.

12.1. Komplex számok meghatározása algebrai formában. Komplex számok összehasonlítása és ábrázolása komplex síkon. Komplex ragozás. Komplex számok összeadása, szorzása, osztása.

12.2. Modulus, komplex szám argumentuma.

12.3. A komplex szám írásának trigonometrikus és exponenciális formái.

12.4. Egész hatványra emelés és gyökér kinyerése komplex számból.

Komplex számok meghatározása algebrai formában. Komplex számok összehasonlítása és ábrázolása komplex síkon. Komplex ragozás. Komplex számok összeadása, szorzása, osztása.

A komplex szám algebrai formában szám

ahol
hívott képzeletbeli egységés
- valós számok:
hívott valódi (valódi) rész;
- képzeletbeli részösszetett szám . Az űrlap összetett számai
hívott tisztán képzeletbeli számok. Az összes komplex szám halmazát betűvel jelöljük .

Definíció szerint,

Az összes valós szám halmaza a készlet része
: . Másrészt vannak olyan komplex számok, amelyek nem tartoznak a halmazhoz . Például,
és
, mert
.

Az algebrai formájú összetett számok természetesen akkor keletkeznek, ha másodfokú egyenleteket negatív diszkriminánssal oldunk meg.

1. példa. oldja meg az egyenletet
.

Megoldás. ,

Ezért az adott másodfokú egyenletnek összetett gyökerei vannak

,
.

2. példa. Keresse meg a komplex számok valós és képzeletbeli részeit

,

,
.

Ennek megfelelően a szám valós és képzeletbeli részei ,

Bármilyen komplex szám
vektorral ábrázolva a komplex síkon , amely egy derékszögű koordinátarendszerű síkot ábrázol
. A vektor eleje a pontban van , és a vége a koordinátákkal rendelkező pontban van
(1. ábra) Tengely
nevezzük valós tengelynek, és tengelynek
- a komplex sík képzeletbeli tengelye .

Az összetett számokat csak előjelekkel hasonlítjuk össze.
. . Ha legalább az egyik egyenlőség:
akkor megsértették
. típusú bejegyzések
nincs értelme.

Értelemszerűen összetett szám
a szám komplex konjugátumának nevezzük
. Ebben az esetben írj
. Ez nyilvánvaló
. Mindenhol lent, egy komplex szám feletti sáv összetett konjugációt jelent.

Például, .

A komplex számokon olyan műveletek hajthatók végre, mint az összeadás (kivonás), szorzás és osztás.

1. Komplex számok összeadásaígy történik:

Kiegészítési művelet tulajdonságai:

- kommutativitás tulajdonsága;

- Aszociativitási tulajdonság.

Könnyen belátható a komplex számok geometriai összeadása
jelenti a hozzájuk tartozók hozzáadását a síkon vektorok a paralelogramma szabály szerint.

Számkivonás művelet számból így történik:

2. Komplex számok szorzásaígy történik:

A szorzási művelet tulajdonságai:

- kommutativitás tulajdonsága;

- asszociativitás tulajdonsága;

- az elosztás törvénye.

3. Komplex számok osztása csak akkor lehetséges
és így történik:

.

3. példa. megtalálja
, ha .

4. példa. Kiszámítja
, ha .

z, mert
.

.(Jaj!)

Könnyen ellenőrizhető (javasolt, hogy saját kezűleg tegye meg) a következő állítások érvényességét:

Modulus, komplex szám argumentuma.

Komplex számmodulus
(modul jelöljük ) egy nem negatív szám
, azaz
.

geometriai érzék - a számot reprezentáló vektor hossza az összetett síkon . Az egyenlet
meghatározza az összes szám halmazát (vektorok per ) amelynek végei az egységkörön fekszenek
.

Komplex szám argumentum
(érv jelöljük
) a szög radiánban a valós tengely között
és szám az összetett síkon , és pozitív, ha innen számítjuk
előtt az óramutató járásával ellentétes irányba, és negatív ha tengelytől mérve
előtt óramutató járásával megegyező.

Tehát a szám argumentum kétértelműen van meghatározva, egészen a kifejezésig
, ahol
. Egyértelműen szám argumentum az egységkör egy bejárásán belül van meghatározva
a felszínen . Általában meg kell találni
intervallumon belül
,az ilyen értéket a szám argumentum főértékének nevezzük és jelöltük
.

és
számok egyenletből megtalálható
, ahol szükségszerűen figyelembe kell venni a sík melyik negyedében a vektor vége van - pont
:

ha
(A gép első negyede ), akkor ;

ha
(A gép 2. negyede ), akkor;

ha
(A gép 3. negyede ), akkor ;

ha
(a gép 4. negyede ), akkor .

Valójában a szám modulusa és argumentuma
, ezek poláris koordináták
pontokat
- a vektor vége a felszínen .

5. példa. Keresse meg a számok argumentumának modulusát és főértékét:

.

A számok érvei fekvő tengelyek
az összetett sík 1,2,3,4 negyedeit elválasztó , azonnal megtalálhatók ezeknek a számoknak a síkon való grafikus ábrázolásával .

A komplex szám írásának trigonometrikus és exponenciális formái. Komplex számok szorzása és osztása trigonometrikus és exponenciális jelölésben.

Trigonometrikus jelölésösszetett szám
úgy néz ki, mint a:

, (2)

ahol - modul, - komplex szám argumentum . A komplex számok ilyen ábrázolása az egyenlőségekből következik.

Demonstráció(exponenciális) komplex szám jelölési alakja
úgy néz ki, mint a:

, (3)

ahol - modul, - szám argumentum . A (2) trigonometrikus alakból és az Euler-képletből következik a komplex számok exponenciális formában (3) való ábrázolásának lehetősége:

. (4)

Ezt a képletet a TFKP (Egy komplex változó függvényeinek elmélete) tantárgy bizonyítja.

6. példa. Keresse meg a komplex számok trigonometrikus és exponenciális alakját: az 5. példából!

Megoldás. Használjuk az 5. példa eredményeit, amelyben az összes megadott szám modulja és argumentuma megtalálható.

,

.

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

3)

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

A számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

5)

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

Egy szám trigonometrikus alakja ,

.

7)

- számírás trigonometrikus formája ,

- egy szám exponenciális (exponenciális) alakja .

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

A komplex számok írásának exponenciális formája a komplex számok szorzási és osztási műveleteinek alábbi geometriai értelmezéséhez vezet. Hadd
- a számok exponenciális alakjai
.

1. A komplex számok szorzásakor a moduljukat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk.

2. Komplex szám osztásakor számonként kap egy komplex számot , modul ami megegyezik a modulok arányával , és az érvelés - különbségek
szám argumentumok
.

Egész hatványra emelés és gyökér kinyerése komplex számból.

Definíció szerint,

Ha egész hatványra emeljük összetett szám
, akkor a következőképpen kell eljárnia: először keresse meg a modult és érvelés ez a szám; bemutatni demonstratív formában
; megtalálja
a következő lépések végrehajtásával

Ahol . (5)

Megjegyzés.Érv
számok
nem tartozhat az intervallumhoz
. Ebben az esetben a kapott érték szerint főértéket találni érv

számok
, hozzáadva (vagy kivonva) a számot
ezzel a jelentéssel
, nak nek

intervallumhoz tartozott
. Ezt követően ki kell cserélni az (5) képletekben a .

7. példa. megtalálja és
, ha
.

1)
=
(lásd a számot a 6. példából).

2)
, ahol
.
.
.

Következésképpen, helyettesíthető és, így

Ahol
.

3)
, ahol
.
.

Cseréljük a . Következésképpen,

gyökér kivonás fokozat
komplex számból
a Moivre-Laplace képlet szerint hajtjuk végre

1. § Komplex számok: definíciók, geometriai értelmezések, műveletek algebrai, trigonometrikus és exponenciális formában

Komplex szám definíciója

Komplex egyenlőségek

Komplex számok geometriai ábrázolása

Komplex szám modulusa és argumentuma

Egy komplex szám algebrai és trigonometrikus alakja

Egy komplex szám exponenciális alakja

Euler-képletek

2. § Teljes függvények (polinomok) és alapvető tulajdonságaik. Algebrai egyenletek megoldása komplex számok halmazán

fokú algebrai egyenlet definíciója

A polinomok alapvető tulajdonságai

Példák algebrai egyenletek megoldására komplex számok halmazán

Kérdések önvizsgálathoz

Szójegyzék

1. § Komplex számok: definíciók, geometriai értelmezések, műveletek algebrai, trigonometrikus és exponenciális formában

Egy komplex szám definíciója ( Fogalmazza meg a komplex szám definícióját!)

A z komplex szám a következő formájú kifejezés:

Komplex szám algebrai formában, (1)

ahol x, y Î;

- komplex konjugátum z szám ;

- ellentétes szám z szám ;

- komplex nulla ;

- ez a komplex számok halmaza.

1)z = 1 + énÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – én, = –1 – én ;

2)z = –1 + énÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – én, = –1 –én ;

3)z = 5 + 0én= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0én = 5, = –5 – 0én = –5

Þ ha Im z= 0, akkor z = x- valós szám;

4)z = 0 + 3én = 3énÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3én = –3én , = –0 – 3én = – 3én

Þ ha Re z= 0, akkor z = iy - tiszta képzeletbeli szám.

Komplex egyenlőségek (Fogalmazd meg a komplex egyenlőség jelentését!)

1) ;

2) .

Egy komplex egyenlőség egyenértékű két valódi egyenlőség rendszerével. Ezeket a valós egyenlőségeket a valós és a képzeletbeli rész szétválasztásával kapjuk meg a komplex egyenlőségből.

1) ;

2) .

Komplex számok geometriai ábrázolása ( Mi a komplex számok geometriai ábrázolása?)

Összetett szám z ponttal ábrázolva ( x , y) ennek a pontnak a komplex síkján vagy sugárvektorán.

Jel z a második kvadránsban azt jelenti, hogy a derékszögű koordinátarendszert fogják használni komplex síkként.

Egy komplex szám modulja és argumentuma ( Mi egy komplex szám modulusa és argumentuma?)

A komplex szám modulusa egy nem negatív valós szám

.(2)

Geometriailag a komplex szám modulusa a számot reprezentáló vektor hossza z, vagy egy pont poláris sugara ( x , y).

Rajzolja fel a következő számokat a komplex síkra, és írja be trigonometrikus alakban!

1)z = 1 + én Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

vagyis z = 0 esetén az lesz

, j nem meghatározott.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal (Adjon definíciókat és sorolja fel a komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek főbb tulajdonságait!)

Komplex számok összeadása (kivonása).

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1)±( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + én (y 1 ± y 2),(5)

vagyis a komplex számok összeadásánál (kivonásánál) ezek valós és képzetes részei összeadódnak (kivonódnak).

1)(1 + én) + (2 – 3én) = 1 + én + 2 –3én = 3 – 2én ;

2)(1 + 2én) – (2 – 5én) = 1 + 2én – 2 + 5én = –1 + 7én .

Az összeadás alapvető tulajdonságai

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Komplex számok szorzása algebrai formában

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + én 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + én (x 1y 2 + y 1x 2),

azaz a komplex számok algebrai formában történő szorzása a binomiális binomiális algebrai szorzás szabálya szerint történik, majd a hasonlók valós és imaginárius cseréje és redukálása következik.

1)(1 + én)∙(2 – 3én) = 2 – 3én + 2én – 3én 2 = 2 – 3én + 2én + 3 = 5 – én ;

2)(1 + 4én)∙(1 – 4én) = 1 – 42 én 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + én)2 = 22 + 4én + én 2 = 3 + 4én .

Komplex számok szorzása trigonometrikus forma

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + én bűn j 1)× r 2 (cos j 2 + én bűn j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + én kötözősaláta j 1sin j 2 + én bűn j 1cos j 2 + én 2 bűn j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2-bűn j 1sin j 2) + én(kötözősaláta j 1sin j 2+ bűn j 1cos j 2))

A trigonometrikus formájú komplex számok szorzata, vagyis amikor a komplex számokat trigonometrikus formában szorozzuk, akkor a modulusaikat megszorozzuk és az argumentumokat összeadjuk.

A szorzás alapvető tulajdonságai

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - kommutativitás;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asszociativitás;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - eloszlás az összeadás tekintetében;

4)z× 0 = 0; z×1 = z ;

Komplex számok osztása

Az osztás a szorzás inverze, tehát

ha z × z 2 = z 1 és z 2 ¹ 0, akkor .

Az algebrai osztás végrehajtásakor a tört számlálóját és nevezőjét meg kell szorozni a nevező összetett konjugátumával:

Komplex számok osztása algebrai formában.(7)

Ha trigonometrikus osztást hajt végre, a modulok felosztásra kerülnek, és az argumentumokat kivonják:

Komplex számok osztása trigonometrikus formában.(8)

2)
.

Komplex szám felemelése természetes hatványra

A természetes hatványra emelés kényelmesebb trigonometrikus formában:

Moivre-képlet, (9)

vagyis ha egy komplex számot természetes hatványra emelünk, akkor a modulusát erre a hatványra emeljük, és az argumentumot megszorozzuk a kitevővel.

Számítsa ki (1 + én)10.

Megjegyzések

1. Ha szorzási és természetes hatványra emelési műveleteket hajt végre trigonometrikus formában, a szögértékek egy teljes fordulaton kívül is elérhetők. De ezek mindig szögekre redukálhatók, vagy egész számú teljes fordulat eldobásával a és a függvények periodicitási tulajdonságainak megfelelően.

2. Jelentés egy komplex szám argumentumának főértékének nevezzük;

ebben az esetben az összes lehetséges szög értéke jelöli;

nyilvánvaló, hogy , .

Természetes fok gyökének kinyerése komplex számból

Euler-képletek (16)

amely felett a trigonometrikus függvényeket és egy valós változót exponenciális függvénnyel (kitevővel) fejezzük ki pusztán imaginárius kitevővel.

2. § Teljes függvények (polinomok) és alapvető tulajdonságaik. Algebrai egyenletek megoldása komplex számok halmazán

Két azonos fokú polinom n akkor és csak akkor azonosak egymással, ha együtthatóik a változó azonos hatványainál esnek egybe x, vagyis

Bizonyíték

w Az azonosító (3) érvényes az "xн" (vagy az "xн)"-re

Þ -ra érvényes; helyettesítve , kapunk an = bn .

Kölcsönösen semmisítsük meg a (3) kifejezéseket! anés bnés mindkét részt elosztjuk azzal x :

Ez az azonosság a " x, beleértve azt is, hogy mikor x = 0

Þ feltételezve x= 0, kapjuk an – 1 = bn – 1.

Kölcsönösen megsemmisítik (3"-ban). an– 1 és a n– 1, és mindkét részt el kell osztani x, ennek eredményeként kapunk

Hasonlóan folytatva az érvelést, azt kapjuk an – 2 = bn –2, …, a 0 = b 0.

Így bebizonyosodott, hogy a 2-szeres polinomok azonos egyenlőségéből következik együtthatóik azonos fokozatú egybeesése x .

A fordított állítás joggal nyilvánvaló, i.e. ha két polinomnak ugyanaz az összes együtthatója, akkor ugyanazok a függvények, ezért értékeik az argumentum összes értékére azonosak, ami azonos egyenlőségüket jelenti. Az 1. tulajdonság teljes mértékben bizonyított. v

Polinom felosztásánál PN (x) a különbséghez ( x – x 0) a maradék egyenlő PN (x 0), vagyis

Bezout tétele, (4)

ahol Qn – 1(x) - az osztás egész része, fokszámú polinom ( n – 1).

Bizonyíték

w Írjuk fel az osztási képletet maradékkal:

PN (x) = (x – x 0)∙Qn – 1(x) + A ,

ahol Qn – 1(x) - fok polinom ( n – 1),

A- a maradék, ami a jól ismert algoritmusnak köszönhető, amely egy polinomot "oszlopban" binomiálisra oszt.

Ez az egyenlőség a " x, beleértve azt is, hogy mikor x = x 0 Þ

PN (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = PN (x 0), h.t.d. v

Következmény Bezout tételéből. A polinom maradék nélküli binomimmal való osztásáról

Ha szám x 0 a polinom nulla, akkor ez a polinom osztható a ( x – x 0) maradék nélkül, azaz

Þ .(5)

1), mert P 3. (1) º 0

2), mert P 4(–2) º 0

3) mert P 2(–1/2) º 0

Polinomok felosztása binomiálisokra "egy oszlopban":

_

_

_

_

_

Minden n ³ 1 fokú polinomnak van legalább egy nullája, valós vagy komplex

Ennek a tételnek a bizonyítása meghaladja kurzusunk kereteit. Ezért bizonyítás nélkül elfogadjuk a tételt.

Dolgozzunk ezen a tételen és Bezout tételén egy polinommal PN (x).

Után n-szoros alkalmazása ezeknek a tételeknek, azt kapjuk, hogy

ahol a 0 az együttható at x n ban ben PN (x).

Következmény az algebra alaptételéből. Egy polinom lineáris tényezőkre való felbontásáról

A komplex számok halmazán lévő bármely fokszámú polinom felbomlik n lineáris tényezők, azaz

Egy polinom lineáris faktorokra bontása, (6)

ahol x1, x2, ... xn a polinom nullai.

Ugyanakkor, ha k számok a készletből x 1, x 2, … xn egybeesnek egymással és az a számmal, akkor a (6) szorzatban a ( x– a) k. Aztán a szám x= a hívott k-szoros nulla polinom PN ( x) . Ha egy k= 1, akkor nullát hívunk egyszerű nulla polinom PN ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - egyszerű nulla, x 2 = 4 - hármas nulla;

2)P 4(x) = (x – én)4 x = én- nulla többszörösség 4.

4. tulajdonság (egy algebrai egyenlet gyökeinek számáról)

Bármely n fokú Pn(x) = 0 algebrai egyenletnek pontosan n gyöke van a komplex számok halmazán, ha minden gyöket annyiszor számolunk meg, ahányszor a többszöröse.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - másodfokú algebrai egyenlet

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± én- két gyökér;

2)x 3 + 1 = 0 - harmadfokú algebrai egyenlet

Þ x 1,2,3 = - három gyökér;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 x 1 = 1, mert P 3(1) = 0.

Oszd fel a polinomot P 3(x) a ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Kezdeti egyenlet

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 w( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - egyszerű gyök, x 2 \u003d -1 - kettős gyökér.

1) összetett konjugált gyökpárok;

Minden valós együtthatójú polinom lineáris és másodfokú függvények valós együtthatós szorzatára bomlik.

Bizonyíték

w Legyen x 0 = a + kettős- polinom nulla PN (x). Ha ennek a polinomnak az összes együtthatója valós szám, akkor a nullája is (5. tulajdonság szerint).

Kiszámoljuk a binomiálisok szorzatát :

komplex szám polinomiális egyenlete

Megvan ( x – a)2 + b 2 - négyzetes trinom valós együtthatókkal.

Így a (6) képletben bármely összetett konjugált gyökű binomiális pár valós együtthatójú négyzetes trinomiálishoz vezet. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Példák algebrai egyenletek megoldására komplex számok halmazán ( Mondjon példákat algebrai egyenletek megoldására komplex számok halmazán!)

1. Elsőfokú algebrai egyenletek:

, az egyetlen egyszerű gyök.

2. Másodfokú egyenletek:

, - mindig két gyökere van (különböző vagy egyenlő).

1) .

3. Kéttagú fokozategyenletek:

, - mindig más gyökerei vannak.

,

Válasz: , .

4. Oldja meg a köbegyenletet!

A harmadik fokú egyenletnek három gyöke van (valós vagy összetett), és mindegyik gyöket annyiszor kell megszámolni, ahányszor a többszöröse. Mivel ennek az egyenletnek az összes együtthatója valós szám, az egyenlet komplex gyökei, ha vannak ilyenek, komplex konjugátumok lesznek.

Kiválasztással megtaláljuk az egyenlet első gyökét, hiszen .

Bezout tételének következményeként. Ezt a felosztást "egy oszlopban" számítjuk ki:

_
_
_

A polinomot egy lineáris és négyzetes tényező szorzataként ábrázolva a következőt kapjuk:

.

A másodfokú egyenlet gyökeként más gyököket is találunk:

Válasz: , .

5. Állítson össze egy legkisebb fokú, valós együtthatós algebrai egyenletet, ha ismert, hogy a számok x 1 = 3 és x 2 = 1 + én a gyökerei, és x 1 egy kettős gyök, és x 2 - egyszerű.

A szám egyben az egyenlet gyöke is, mert az egyenlet együtthatóinak valósnak kell lenniük.

Összességében a kívánt egyenletnek 4 gyöke van: x 1, x 1,x 2, . Ezért a foka 4. Összeállítunk egy 4. fokú polinomot nullákkal x

11. Mi az a komplex nulla?

13. Fogalmazza meg a komplex egyenlőség jelentését!

15. Mi egy komplex szám modulusa és argumentuma?

17. Mi a komplex szám argumentuma?

18. Mi a képlet neve vagy jelentése?

19. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

27. Adjon definíciókat és sorolja fel a komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek főbb tulajdonságait!

28. Mi a képlet neve vagy jelentése?

29. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

31. Mi a képlet neve vagy jelentése?

32. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

34. Mi a képlet neve vagy jelentése?

35. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

61. Sorolja fel a polinomok főbb tulajdonságait!

63. Fogalmazzon meg egy tulajdonságot egy polinom különbséggel (x - x0) való osztására.

65. Mi a képlet neve vagy jelentése?

66. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

67. ⌂ .

69. Fogalmazzuk meg a tételt az algebra tétele alapvető.

70. Mi a képlet neve vagy jelentése?

71. Magyarázza meg a képletben szereplő jelölés jelentését:

75. Fogalmazzon meg egy tulajdonságot egy algebrai egyenlet gyökeinek számáról!

78. Fogalmazzon meg egy tulajdonságot egy valós együtthatós polinom lineáris és másodfokú tényezőkre való felosztásáról!

Szójegyzék

A polinom k-szoros nulláját úgy hívjuk... (18. o.)

egy algebrai polinomot... (14. o.)

n-edik fokú algebrai egyenletet ...-nek neveznek (14. o.)

a komplex szám algebrai alakját... (5. old.)

egy komplex szám argumentuma... (4. o.)

a z komplex szám valós része... (2. oldal)

a komplex konjugátum... (2. oldal)

a komplex nulla... (2. oldal)

komplex számot nevezünk... (2. o.)

a komplex szám n-edik gyökét... (10. o.)

az egyenlet gyökerét ... (14. o.)

a polinom együtthatók... (14. o.)

a képzeletbeli egység... (2. oldal)

a z komplex szám képzeletbeli része... (2. oldal)

egy komplex szám modulusát úgy hívjuk... (4. o.)

függvény nulláját nevezzük... (14. o.)

a komplex szám exponenciális alakját... (11. o.)

egy polinomot... (14. o.)

a polinom egyszerű nulláját... (18. o.)

az ellenkező szám a... (2. oldal)

a polinom mértéke... (14. o.)

a komplex szám trigonometrikus alakját... (5. old.)

De Moivre képlete... (9. o.)

Az Euler-képletek... (13. o.)

egy egész függvényt nevezünk... (14. o.)

egy tisztán képzeletbeli szám... (2. o.)