ज्यामिति के क्षेत्र से गणितीय लाइफहाक "एक साधारण रस्सी का उपयोग करके समकोण वाला त्रिभुज कैसे बनाएं।"
4,000 साल पहले, मिस्रवासियों ने 12 बराबर भागों में विभाजित रस्सी का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बनाकर पिरामिड बनाने की विधि का उपयोग किया था।

"मिस्र के त्रिकोण" की अवधारणा.

3, 4, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज को मिस्री क्यों कहा जाता है?

और पूरी बात यह है कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों के निर्माताओं को समकोण त्रिभुज के निर्माण के लिए एक सरल और विश्वसनीय विधि की आवश्यकता थी। और इस तरह उन्होंने इसे लागू किया. रस्सी को बीस बराबर भागों में विभाजित किया गया था, जो आसन्न भागों के बीच की सीमाओं को चिह्नित करता था; रस्सी के सिरे जुड़े हुए थे। इसके बाद 3 लोगों ने रस्सी खींची जिससे एक त्रिकोण बन गया और रस्सी खींचने वाले प्रत्येक दो मिस्रियों के बीच की दूरी क्रमशः तीन भाग, चार भाग और पांच भाग थी। परिणाम एक समकोण त्रिभुज था जिसके पैर तीन और चार भागों में थे और एक कर्ण पाँच भागों में था। यह ज्ञात है कि तीन और चार भागों की भुजाओं के बीच का कोण समकोण था। जैसा कि आप जानते हैं, प्राचीन मिस्र के सर्वेक्षक, जो भूमि भूखंडों को मापने के अलावा जमीन पर निर्माण में भी लगे हुए थे, प्राचीन मिस्र में उन्हें हार्पेडोनैप्टेस कहा जाता था (जिसका शाब्दिक अर्थ है "रस्सी खींचना")। हार्पेडोनैप्टेस ने प्राचीन मिस्र के पुजारियों के पदानुक्रम में तीसरा स्थान प्राप्त किया।

पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम।

लेकिन 3, 4, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज आयताकार कैसे बनता है? अधिकांश लोग इस प्रश्न का उत्तर यह कहकर देंगे कि यह तथ्य एक प्रमेय है: चूँकि तीन वर्ग और चार वर्ग जोड़ पाँच वर्ग के बराबर होते हैं। लेकिन उनका कहना है कि यदि किसी त्रिभुज का कोण समकोण है तो उसकी 2 भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजाओं के वर्ग के बराबर होता है। यहां हम पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय से निपट रहे हैं: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है, तो त्रिभुज समकोण है।

उल्लिखित व्यावहारिक अनुप्रयोग सुदूर अतीत तक जाता है। आज इस पद्धति का उपयोग करके शायद ही कोई समकोण प्राप्त कर पाता है। लेकिन फिर भी, यह विधि एक उत्कृष्ट गणितीय जीवन हैक है और इसे आप किसी भी जीवन स्थिति में लागू कर सकते हैं।

रस्सी का उपयोग करके समकोण त्रिभुज का निर्धारण करने की विधि अभ्यास की दुनिया से विचारों की दुनिया में चली गई है, ठीक उसी तरह जैसे प्राचीन काल की अधिकांश भौतिक संस्कृति वर्तमान वास्तविकता की आध्यात्मिक संस्कृति में प्रवेश कर चुकी है।

यह संभव है कि "मिस्र का त्रिकोण" शब्द दिया गया हो पाइथागोरस, आग्रह पर दौरा किया थेल्समिस्र में…

"... इस निबंध में हम गणित के गैर-व्यावहारिक, गैर-व्यावहारिक पहलू में रुचि रखते हैं, हम मानते हैं कि गणितीय अवधारणाओं के "सज्जनों के सेट" में क्यों का ज्ञान शामिल करना बहुत ही शिक्षाप्रद होगा; 3, 4, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज मिस्री कहलाता है।

संपूर्ण मुद्दा यह है कि प्राचीन मिस्र के पिरामिड निर्माताओं को समकोण बनाने के लिए एक तरीके की आवश्यकता थी। यहाँ आवश्यक विधि है. रस्सी को 12 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, आसन्न भागों के बीच की सीमाओं को चिह्नित किया जाता है, और रस्सी के सिरों को जोड़ा जाता है। फिर रस्सी को तीन लोगों द्वारा खींचा जाता है ताकि यह एक त्रिकोण बन जाए, और आसन्न तनावियों के बीच की दूरी क्रमशः 3 भाग, 4 भाग और 5 भाग होती है। इस स्थिति में, त्रिभुज समकोण होगा, जिसमें भुजाएँ 3 और 4 पैर होंगे, और भुजा 5 कर्ण होगी, इसलिए भुजाएँ 3 और 4 के बीच का कोण समकोण होगा।

मुझे डर है कि अधिकांश पाठक इस प्रश्न का उत्तर देंगे कि "त्रिकोण समकोण क्यों होगा?" पाइथागोरस प्रमेय का उल्लेख करेंगे: आखिरकार, तीन वर्ग जमा चार वर्ग पांच वर्ग के बराबर होता है। हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि यदि कोई त्रिभुज समकोण है, तो इस स्थिति में इसकी दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजाओं के वर्ग के बराबर होता है।

यहां हम पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करते हैं: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है, तो इस स्थिति में त्रिभुज समकोण है। (मुझे यकीन नहीं है कि इस व्युत्क्रम प्रमेय का स्कूली पाठ्यक्रम में उचित स्थान है।)

उसपेन्स्की वी.ए. , गणित की माफी, या आध्यात्मिक संस्कृति के हिस्से के रूप में गणित के बारे में, पत्रिका "न्यू वर्ल्ड", 2007, एन 11, पी। 131.

मिस्र के त्रिकोण का उपयोग करके निर्माण एक प्राचीन पद्धति है जो अभी भी आधुनिक बिल्डरों द्वारा सक्रिय रूप से उपयोग की जाती है। इसका नाम प्राचीन मिस्र की इमारतों के कारण पड़ा, हालाँकि यह ज्ञात है कि इसका इतिहास इस काल से बहुत पहले शुरू होता है।

लेकिन, सबसे अधिक संभावना है, अद्वितीय आकृति के गुणों की सराहना उन दिनों में नहीं की गई थी जब तक कि पाइथागोरस प्रकट नहीं हुए, जो आकृति के सुंदर रूपों का विश्लेषण और मूल्यांकन करने में सक्षम थे।

मिस्र का त्रिकोण प्राचीन काल से जाना जाता है। यह कई शताब्दियों से निर्माण और वास्तुकला में लोकप्रिय रहा है और बना हुआ है।

ऐसा माना जाता है कि समोस के महान यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने ज्यामितीय संरचना का निर्माण किया था। उन्हीं की बदौलत आज हम ज्यामितीय निर्माण के सभी गुणों का उपयोग संरचना के क्षेत्र में कर सकते हैं।

एक विचार का जन्म

गणितज्ञ को यह विचार थेल्स के अनुरोध पर अफ्रीका की यात्रा करने के बाद आया, जिन्होंने पाइथागोरस को उन स्थानों के गणित और खगोल विज्ञान का अध्ययन करने का कार्य सौंपा। मिस्र में, अंतहीन रेगिस्तान के बीच, उसे राजसी इमारतों का सामना करना पड़ा, जिन्होंने अपने आकार, सुंदरता और सुंदरता से उसे आश्चर्यचकित कर दिया।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ढाई हजार साल पहले पिरामिड कुछ अलग थे - विशाल, स्पष्ट किनारों के साथ। शक्तिशाली इमारतों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, जिनमें से काफी संख्या में थे, क्योंकि दिग्गजों के बगल में फिरौन के बच्चों, पत्नियों और अन्य रिश्तेदारों के लिए छोटे मंदिर बनाए गए थे, इससे उन्हें एक विचार आया।

अपनी गणितीय क्षमताओं के लिए धन्यवाद, पाइथागोरस पिरामिड के आकार में पैटर्न निर्धारित करने में सक्षम थे, और विश्लेषण करने और निष्कर्ष निकालने की उनकी क्षमता ने ज्यामिति के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांतों में से एक का निर्माण किया।

इतिहास से

क्या वे प्राचीन मिस्र में ज्यामिति और गणित के बारे में जानते थे? बिलकुल हाँ। मिस्रवासियों का जीवन विज्ञान से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ था। खेतों को चिह्नित करने और वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृतियों का निर्माण करते समय वे नियमित रूप से अपने ज्ञान का उपयोग करते थे। यहां तक ​​कि भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं की एक सेवा भी थी जो सीमाओं को बहाल करते समय ज्यामितीय नियम लागू करते थे।

त्रिकोण को इसका नाम हेलेनेस के कारण मिला, जो 7वीं-5वीं शताब्दी में अक्सर मिस्र का दौरा करते थे। ईसा पूर्व. ऐसा माना जाता है कि यह आकृति का प्रोटोटाइप था चेप्स का पिरामिड, उत्तम अनुपात की विशेषता। इतिहास में उनका स्थान विशेष है। यदि आप क्रॉस सेक्शन को देखें, तो आप दो त्रिकोण देख सकते हैं, जिनका आंतरिक कोण 51 लगभग 50' है।

संरचना

यदि आप चाँदे या त्रिकोण का उपयोग करते हैं तो कार्य बहुत आसान हो जाता है। लेकिन, पहले केवल खंडों में विभाजित डोरियों और रस्सियों का ही उपयोग किया जाता था। रस्सी पर निशानों के लिए धन्यवाद, एक आयताकार आकृति को सटीक रूप से फिर से बनाना संभव था। बिल्डरों ने प्रोट्रैक्टर और वर्ग को रस्सी से बदल दिया, जिसके लिए उन्होंने 12 भागों को गांठों से चिह्नित किया और 3,4,5 खंडों के साथ एक त्रिकोण को मोड़ दिया। बिना किसी कठिनाई के एक समकोण प्राप्त हो गया। इस ज्ञान ने पिरामिड सहित कई संरचनाएँ बनाने में मदद की।

यह दिलचस्प है कि प्राचीन मिस्र से पहले, उन्होंने चीन, बेबीलोन और मेसोपोटामिया में इस तरह से निर्माण किया था।

मिस्र की त्रिकोणीय आकृति के गुण सत्य का पालन करते हैं - कर्ण का वर्ग दोनों पैरों के वर्गों के बराबर होता है। यह पाइथागोरस प्रमेय स्कूल के सभी लोगों से परिचित है। उदाहरण के लिए, हम 5x5 को गुणा करते हैं और संख्या 25 के बराबर कर्ण प्राप्त करते हैं। दोनों पक्षों के वर्ग 16 और 9 हैं, जिसका योग 25 होता है।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, त्रिकोण को निर्माण में आवेदन मिला है। एक सीधी रेखा खींचने के लिए आप कोई भी भाग ले सकते हैं, बशर्ते कि उसकी लंबाई पाँच की गुणज होनी चाहिए। इसके बाद एक किनारे पर ध्यान दें और उस पर से एक रेखा खींचे जो चार का गुणज हो और दूसरे से एक रेखा खींचे जो तीन का गुणज हो। इस मामले में, प्रत्येक खंड की लंबाई कम से कम चार और तीन होनी चाहिए। प्रतिच्छेद करते हुए, वे 90 डिग्री का एक समकोण बनाते हैं। अन्य कोण 53.13 और 36.87 डिग्री हैं।

वहां क्या विकल्प हैं?

समकोण कैसे बनाएं

सबसे बढ़िया विकल्प एक समकोण बनाओएक वर्ग या चाँदे का उपयोग है। यह आपको न्यूनतम लागत के साथ आवश्यक अनुपात खोजने की अनुमति देगा। लेकिन, मिस्र के त्रिकोण का मुख्य बिंदु इसकी बहुमुखी प्रतिभा है जो हाथ में कुछ भी रखे बिना एक आकृति बनाने की क्षमता के कारण होता है।

इस मामले में कुछ भी उपयोगी हो सकता है, यहाँ तक कि मुद्रित प्रकाशन भी। किसी भी किताब या पत्रिका में हमेशा एक पहलू अनुपात होता है जो एक समकोण बनाता है। प्रिंटिंग प्रेस हमेशा सटीक तरीके से काम करते हैं ताकि मशीन में डाला गया रोल आनुपातिक कोण पर काटा जाए।

प्राचीन इंजीनियरों ने मिस्र के त्रिकोण के निर्माण के लिए कई तरीके ईजाद किए और हमेशा संसाधनों की बचत की।

इसलिए, सबसे सरल और सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली विधि साधारण रस्सी का उपयोग करके एक ज्यामितीय आकृति बनाने की विधि थी। डोरी को लिया गया और 12 बराबर टुकड़ों में काटा गया, जिससे 3,4 और 5 के अनुपात वाली एक आकृति बनाई गई।

अन्य कोण कैसे बनाएं?

निर्माण जगत में मिस्र के त्रिभुज को कम नहीं आंका जा सकता। इसके गुण निश्चित रूप से उपयोगी हैं, लेकिन निर्माण में विभिन्न डिग्री के कोण बनाने की क्षमता के बिना यह असंभव है। 45 डिग्री का कोण बनाने के लिए आपको एक फ्रेम या बैगूएट की आवश्यकता होगी, जो 45 डिग्री के कोण पर काटा जाता है और एक दूसरे से जुड़ा होता है।

महत्वपूर्ण! आवश्यक ढलान प्राप्त करने के लिए, आपको मुद्रित प्रकाशन से कागज की एक शीट उधार लेनी होगी और उसे मोड़ना होगा। मोड़ की रेखाएँ कोने से होकर गुजरेंगी। किनारों को जोड़ा जाना चाहिए.

आप दो 30 डिग्री त्रिकोणों का उपयोग करके 60 डिग्री प्राप्त कर सकते हैं। अक्सर सजावटी तत्व बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

छोटी-छोटी तरकीबें

मिस्र का त्रिकोण 3x4x5 छोटे घरों के लिए प्रासंगिक है। लेकिन अगर घर 12x15 का हो तो क्या होगा?

ऐसा करने के लिए, आपको एक समकोण त्रिभुज बनाना होगा जिसके पैर 12 और 15 मीटर हों। कर्ण 12x12 और 15x15 के योग के वर्गमूल के रूप में पाया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें 19.2 मीटर मिलते हैं। किसी चीज़ का उपयोग करके - रस्सी, सुतली, केबल, सैन्य केबल, हम 12, 15 और 19.2 मीटर मापते हैं, हम इन जगहों पर गांठें बनाते हैं और प्रेस लगाते हैं।

फिर आपको त्रिकोण को सही जगह पर फैलाना होगा और खूंटियों को चलाने के लिए 3 समर्थन बिंदु स्थापित करने होंगे। चौथा बिंदु पैरों के सिरों को छुए बिना प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, समकोण बिंदु को तिरछे फेंक दिया जाता है और सब कुछ तैयार हो जाता है।

उदाहरण के लिए, एक ऐसा क्षेत्र है जहां एक समकोण की आवश्यकता होती है - रसोई इकाई, टाइल लेआउट और अन्य पहलुओं के लिए जगह के लिए। बिछाने के समय ऐसे मुद्दों को ध्यान में रखना अच्छा होगा, लेकिन वास्तविकता अलग है और आपको हमेशा चिकनी दीवारें और समकोण नहीं मिलते हैं। 3:4:5, या, यदि आवश्यक हो, 1.5:2:2.5 के अनुपात वाला मिस्र का त्रिकोण यहां उपयोगी है।

बीकन की मोटाई, त्रुटियां, दीवारों पर उभार आदि को ध्यान में रखा जाना चाहिए। टेप माप और चाक का उपयोग करके त्रिभुज बनाया गया है। यदि निशान छोटे हैं, तो आप एक शीट का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि वे सही कोण से काटे गए हैं।

मिस्र के त्रिकोण का व्यापक रूप से 2.5 शताब्दियों तक निर्माण में उपयोग किया गया था। और आज, कभी-कभी समकोण प्राप्त करने के लिए, आवश्यक उपकरणों के अभाव में, इस तकनीक का उपयोग करना आवश्यक हो जाता है। इस आकृति के गुण अद्वितीय हैं, जो वास्तुकला और निर्माण में सटीकता की गारंटी देते हैं, जिसे टाला नहीं जा सकता। इसके साथ काम करना आसान है, इसका आकार सामंजस्यपूर्ण और सुंदर है। आज तक, जिज्ञासु दिमाग मिस्र के त्रिकोण के रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं।

प्रत्येक विज्ञान की अपनी नींव होती है, जिसके आधार पर उसके बाद के सभी विकास का निर्माण होता है। निःसंदेह, यह पाइथागोरस प्रमेय है। स्कूल से वे सूत्र पढ़ाते हैं: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" वैज्ञानिक दृष्टि से यह थोड़ा कम प्रभावशाली लगता है। इस प्रमेय को 3-4-5 पक्षों के साथ दृश्य रूप से दर्शाया गया है। यह अद्भुत मिस्र का त्रिभुज है।

कहानी

समोस के प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ और दार्शनिक पाइथागोरस, जिन्होंने प्रमेय को अपना नाम दिया, 2.5 हजार साल पहले रहते थे। इस उत्कृष्ट वैज्ञानिक की जीवनी का बहुत कम अध्ययन किया गया है, लेकिन कुछ आज तक जीवित हैं।

थेल्स के अनुरोध पर, गणित और खगोल विज्ञान का अध्ययन करने के लिए, 535 ईसा पूर्व में वह मिस्र और बेबीलोन की लंबी यात्रा पर गए। मिस्र में, रेगिस्तान के अंतहीन विस्तार के बीच, उन्होंने राजसी पिरामिड देखे, जो अपने विशाल आकार और पतली ज्यामितीय आकृतियों से अद्भुत थे। यह ध्यान देने योग्य है कि पाइथागोरस ने उन्हें उस रूप से थोड़ा अलग रूप में देखा था जिसमें पर्यटक अब देखते हैं। ये उस समय के लिए अकल्पनीय रूप से विशाल संरचनाएं थीं, जिनमें फिरौन की पत्नियों, बच्चों और अन्य रिश्तेदारों के लिए आसन्न छोटे मंदिरों की पृष्ठभूमि के खिलाफ स्पष्ट, समान किनारे थे। अपने प्रत्यक्ष उद्देश्य (फिरौन के पवित्र शरीर की कब्र और संरक्षक) के अलावा, पिरामिड मिस्र की महानता, धन और शक्ति के प्रतीक के रूप में भी बनाए गए थे।

और इसलिए पाइथागोरस ने, इन संरचनाओं के सावधानीपूर्वक अध्ययन के दौरान, संरचनाओं के आकार और आकृतियों के बीच संबंध में एक सख्त पैटर्न देखा। चेप्स का पिरामिड मिस्र के त्रिकोण के आयामों से मेल खाता है, इसे पवित्र माना जाता था और इसका एक विशेष जादुई अर्थ था।

चेप्स का पिरामिड इस बात का विश्वसनीय प्रमाण है कि मिस्र के त्रिकोण के अनुपात का ज्ञान पाइथागोरस की खोज से बहुत पहले मिस्रवासियों द्वारा किया गया था।

आवेदन

त्रिभुज का आकार सबसे सरल और सबसे सामंजस्यपूर्ण है, इसके साथ काम करना आसान है; इसके लिए केवल सबसे सरल उपकरणों की आवश्यकता होगी - एक कम्पास और एक शासक।

विशेष उपकरणों के उपयोग के बिना समकोण बनाना लगभग असंभव है। लेकिन मिस्र के त्रिकोण के बारे में ज्ञान का उपयोग करने पर कार्य बहुत सरल हो जाता है। ऐसा करने के लिए, एक साधारण रस्सी लें, इसे 12 भागों में विभाजित करें और इसे 3-4-5 अनुपात के साथ त्रिकोण के आकार में मोड़ें। 3 और 4 के बीच का कोण समकोण होगा। सुदूर अतीत में, इस त्रिभुज का उपयोग वास्तुकारों और सर्वेक्षणकर्ताओं द्वारा सक्रिय रूप से किया जाता था।