در درس قبل ضرب یک چند جمله ای را در یک تک جمله ای مطالعه کردیم. به عنوان مثال، حاصل ضرب یک جمله a و یک چند جمله ای b + c به صورت زیر است:

a(b + c) = ab + bc

با این حال، در برخی موارد انجام عملیات معکوس راحت تر است، که می توان آن را خارج کردن فاکتور مشترک از براکت نامید:

ab + bc = a (b + c)

به عنوان مثال، لازم است مقدار چند جمله ای ab + bc را برای مقادیر متغیرهای a = 15.6، b = 7.2، c = 2.8 محاسبه کنیم. اگر آنها را مستقیماً در عبارت جایگزین کنیم، دریافت می کنیم

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

در این حالت چند جمله ای ab + bc را به عنوان حاصل ضرب دو عامل a و b + c نشان دادیم. این عمل فاکتورگیری چند جمله ای نامیده می شود.

علاوه بر این، هر یک از عواملی که چند جمله ای در آن گسترش می یابد، به نوبه خود می تواند چند جمله ای یا تک جمله ای باشد.

بیایید چند جمله ای 14ab - 63b 2 را در نظر بگیریم. هر یک از مونومی های تشکیل دهنده آن را می توان به عنوان یک محصول نشان داد:

مشاهده می شود که هر دو چند جمله ای دارای عامل مشترک 7b هستند. این بدان معنی است که می توان آن را از پرانتز خارج کرد:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

با استفاده از عمل معکوس - باز کردن براکت ها می توانید بررسی کنید که آیا ضریب به درستی در خارج از براکت ها قرار گرفته است:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

درک این نکته مهم است که اغلب یک چند جمله ای را می توان به چندین روش بسط داد، به عنوان مثال:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

معمولاً آنها سعی می کنند، به طور تقریبی، "بزرگترین" یکنواختی را استخراج کنند. یعنی چند جمله ای را بسط می دهند تا چیزی بیشتر از چند جمله ای باقی مانده خارج نشود. بنابراین، در هنگام تجزیه

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

مجموع تک جمله هایی که عامل مشترک c دارند در پرانتز باقی می ماند. اگر آن را نیز حذف کنیم، هیچ فاکتور مشترکی در پرانتز باقی نخواهد ماند:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

بیایید با جزئیات بیشتری به نحوه یافتن فاکتورهای مشترک تک اسم ها نگاه کنیم. اجازه دهید جمع را تجزیه کنیم

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

از سه ترم تشکیل شده است. ابتدا، بیایید به شانس های عددی در مقابل آنها نگاه کنیم. اینها 8، 12 و 16 هستند. در درس 3 از کلاس ششم، موضوع GCD و الگوریتم یافتن آن مورد بحث قرار گرفت. ضریب عددی ضریب مشترک دقیقاً GCD ضرایب عددی عبارت های چند جمله ای خواهد بود. در این حالت عدد 4 است.

در ادامه به درجات این متغیرها نگاه می کنیم. در یک عامل مشترک، حروف باید دارای حداقل قدرت هایی باشند که در عبارت ها ظاهر می شود. بنابراین، متغیر a در یک چند جمله ای دارای درجات 3، 2 و 4 (حداقل 2) است، بنابراین عامل مشترک 2 خواهد بود. متغیر b دارای حداقل درجه 3 است، بنابراین عامل مشترک b 3 خواهد بود:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

در نتیجه، عبارت های باقی مانده 2ab، 3b 2 c، 4a 2 c 10 دارای یک متغیر حرف مشترک نیستند و ضرایب 2، 3 و 4 آنها دارای مقسوم علیه مشترک نیستند.

نه تنها تک جمله ها، بلکه چند جمله ای ها را نیز می توان از پرانتز خارج کرد. به عنوان مثال:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

مثال دیگر. باید بیان را گسترش داد

5t (8y - 3x) + 2s (3x - 8y)

راه حل. به یاد داشته باشید که علامت منهای علائم داخل پرانتز را معکوس می کند، بنابراین

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

این بدان معنی است که می توانیم (3x - 8y) را با - (8y - 3x) جایگزین کنیم:

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

پاسخ: (8y - 3x) (5t - 2s).

به یاد داشته باشید که می توان با تغییر علامت جلوی پرانتزها، subtrahend و minuend را تعویض کرد:

(الف - ب) = - (ب - الف)

عکس این قضیه نیز صادق است: علامت منهای که در جلوی پرانتز قرار دارد را می توان با تعویض همزمان subtrahend و minuend حذف کرد:

این تکنیک اغلب برای حل مشکلات استفاده می شود.

روش گروه بندی

بیایید راه دیگری را برای فاکتورسازی چند جمله ای در نظر بگیریم که به گسترش چند جمله ای کمک می کند. بگذارید یک بیانی وجود داشته باشد

ab - 5a + bc - 5c

استخراج یک عامل مشترک برای هر چهار تک جمله غیرممکن است. با این حال، می توانید این چند جمله ای را به عنوان مجموع دو چند جمله ای تصور کنید و در هر یک از آنها متغیر را از پرانتز خارج کنید:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

اکنون می توانیم عبارت b - 5 را استخراج کنیم:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

ترم اول را با ترم دوم و سوم را با ترم چهارم "گروه بندی" کردیم. بنابراین روش توصیف شده را روش گروه بندی می نامند.

مثال. اجازه دهید چند جمله ای 6xy + ab- 2bx- 3ay را گسترش دهیم.

راه حل. گروه بندی ترم های 1 و 2 غیر ممکن است، زیرا آنها یک عامل مشترک ندارند. بنابراین، بیایید مونومی ها را با هم عوض کنیم:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

تفاوت 3y - b و b - 3y فقط در ترتیب متغیرها متفاوت است. در یکی از پرانتزها می توان آن را با خارج کردن علامت منفی از داخل پرانتز تغییر داد:

(b - 3y) = - (3y - b)

بیایید از این جایگزین استفاده کنیم:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

در نتیجه، ما به این هویت رسیدیم:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

پاسخ: (3y - b) (2x - a)

شما می توانید نه تنها دو، بلکه به طور کلی هر تعداد اصطلاح را گروه بندی کنید. به عنوان مثال، در چند جمله ای

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

می‌توانیم سه تک‌مجموعه اول و سه تای آخر را گروه‌بندی کنیم:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2 (x - 3y + z) = (x + 2) (x - 3y + z)

حالا بیایید به یک کار با پیچیدگی بیشتر نگاه کنیم

مثال. سه جمله درجه دوم x 2 - 8x +15 را بسط دهید.

راه حل. این چند جمله ای تنها از 3 تک جمله تشکیل شده است و بنابراین، آنطور که به نظر می رسد امکان گروه بندی وجود نخواهد داشت. با این حال، می توانید جایگزین زیر را انجام دهید:

سپس سه جمله ای اصلی را می توان به صورت زیر نشان داد:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

بیایید اصطلاحات را گروه بندی کنیم:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

پاسخ: (x- 5) (x - 3).

البته حدس زدن جایگزینی - 8x = - 3x - 5x در مثال بالا آسان نیست. اجازه دهید یک خط استدلال متفاوت را نشان دهیم. باید چند جمله ای درجه دوم را گسترش دهیم. همانطور که به یاد داریم، هنگام ضرب چند جمله ای ها، توان آنها با هم جمع می شود. این بدان معنی است که حتی اگر بتوانیم یک مثلث درجه دوم را به دو عامل تبدیل کنیم، آنها دو چند جمله ای درجه 1 خواهند بود. حاصل ضرب دو چندجمله ای درجه یک را که ضرایب اصلی آنها برابر با 1 است بنویسیم:

(x + a) (x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b) x + ab

در اینجا ما a و b را به عنوان برخی از اعداد دلخواه نشان می دهیم. برای اینکه این محصول برابر با مثلث اصلی x 2 - 8x +15 باشد، لازم است ضرایب مناسب برای متغیرها انتخاب شود:

با استفاده از انتخاب، می توانیم تعیین کنیم که اعداد a = - 3 و b = - 5 این شرط را برآورده می کنند

(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15

که با باز کردن براکت ها قابل مشاهده است.

برای سادگی، ما فقط موردی را در نظر گرفتیم که چندجمله‌ای ضرب‌شده درجه 1 دارای ضرایب پیشروی برابر با 1 باشند. با این حال، آنها می‌توانند برای مثال برابر با 0.5 و 2 باشند. در این مورد، بسط کمی متفاوت به نظر می‌رسد:

x 2 * 8 x + 15 = (2x - 6) (0.5x - 2.5)

با این حال، با برداشتن ضریب 2 از براکت اول و ضرب آن در دوم، بسط اولیه را بدست می آوریم:

(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3) (x - 5)

در مثال در نظر گرفته شده، ما سه جمله درجه دوم را به دو چند جمله ای درجه اول گسترش دادیم. در آینده باید اغلب این کار را انجام دهیم. با این حال، شایان ذکر است که برخی از سه جمله های درجه دوم، به عنوان مثال.

تجزیه به این روش به حاصل ضرب چند جمله ای غیرممکن است. این بعدا ثابت خواهد شد.

کاربرد چند جمله ای فاکتورگیری

فاکتورگیری یک چند جمله ای می تواند برخی از عملیات ها را آسان تر کند. اجازه دهید محاسبه مقدار عبارت ضروری باشد

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

بیایید عدد 2 را برداریم و درجه هر جمله یک کاهش می یابد:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

بیایید مقدار را نشان دهیم

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

برای x. سپس برابری نوشته شده در بالا را می توان بازنویسی کرد:

x + 2 9 = 2 (1 + x)

معادله ای به دست آوردیم، بیایید آن را حل کنیم (به درس معادله مراجعه کنید):

x + 2 9 = 2 (1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

حال بیایید مقدار مورد نظر خود را بر حسب x بیان کنیم:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

هنگام حل این مشکل، عدد 2 را فقط به توان 9 رساندیم و با فاکتورگیری چند جمله ای، سایر عملیات های توان از محاسبات حذف شدند. به طور مشابه، می توانید یک فرمول محاسبه برای سایر مقادیر مشابه ایجاد کنید.

حال بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

بر 73 بخش پذیر است. توجه داشته باشید که اعداد 9 و 81 توان های سه هستند:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

با دانستن این موضوع، بیایید یک جایگزین در عبارت اصلی ایجاد کنیم:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

بیایید 3 12 را برداریم:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

حاصلضرب 3 12 .73 بر 73 بخش پذیر است (چون یکی از عوامل بر آن بخش پذیر است) بنابراین عبارت 81 4 - 9 7 + 3 12 بر این عدد تقسیم می شود.

برای اثبات هویت می توان از فاکتورینگ استفاده کرد. مثلاً تساوی را ثابت کنیم

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)

برای حل هویت، سمت چپ برابری را با حذف عامل مشترک تغییر می دهیم:

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a) + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z )(a + 2) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)

مثال دیگر. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر مقدار از متغیرهای x و y عبارت

(x - y) (x + y) - 2x (x - y)

عدد مثبتی نیست

راه حل. بیایید عامل مشترک x - y را برداریم:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

اجازه دهید توجه داشته باشیم که حاصل ضرب دو دوجمله ای مشابه را به دست آورده ایم که فقط در ترتیب حروف x و y با هم تفاوت دارند. اگر متغیرهای موجود در یکی از پرانتزها را با هم عوض کنیم، حاصل ضرب دو عبارت یکسان یعنی مربع به دست می‌آید. اما برای جابجایی x و y باید یک علامت منفی جلوی براکت قرار دهید:

(x - y) = -(y - x)

سپس می توانیم بنویسیم:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

همانطور که می دانید مربع هر عددی بزرگتر یا مساوی صفر است. این همچنین در مورد عبارت (y - x) 2 صدق می کند. اگر جلوی عبارت منهای وجود داشته باشد، باید کمتر یا مساوی صفر باشد، یعنی عدد مثبتی نیست.

انبساط چند جمله ای به حل برخی از معادلات کمک می کند. از عبارت زیر استفاده می شود:

اگر یک قسمت از معادله دارای صفر باشد و قسمت دیگر حاصلضرب عوامل باشد، هر کدام از آنها باید برابر با صفر باشد.

مثال. معادله (s - 1) (s + 1) = 0 را حل کنید.

راه حل. حاصل ضرب تک جمله های s - 1 و s + 1 در سمت چپ و صفر در سمت راست نوشته می شود. بنابراین، صفر باید برابر با s - 1 یا s + 1 باشد:

(s - 1) (s + 1) = 0

s - 1 = 0 یا s + 1 = 0

s = 1 یا s = -1

هر یک از دو مقدار بدست آمده از متغیر s یک ریشه معادله است، یعنی دارای دو ریشه است.

پاسخ: -1; 1.

مثال. معادله 5w 2 - 15w = 0 را حل کنید.

راه حل. بیایید 5 وات را برداریم:

باز هم کار در سمت چپ و صفر در سمت راست نوشته شده است. بیایید راه حل را ادامه دهیم:

5w = 0 یا (w - 3) = 0

w = 0 یا w = 3

پاسخ: 0; 3.

مثال. ریشه های معادله k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0 را بیابید.

راه حل. بیایید اصطلاحات را گروه بندی کنیم:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k 3 + 3) (k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 یا k - 8 = 0

k 2 = -3 یا k = 8

توجه داشته باشید که معادله k 2 = - 3 هیچ راه حلی ندارد، زیرا هر عدد مربعی کمتر از صفر نیست. بنابراین، تنها ریشه معادله اصلی k = 8 است.

مثال. ریشه های معادله را پیدا کنید

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

راه‌حل: همه عبارت‌ها را به سمت چپ منتقل کنید و سپس آن‌ها را گروه‌بندی کنید:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5) (u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5) (u + 3) - 7 (u + 3) = 0

(2u - 5 - 7) (u + 3) = 0

(2u - 12) (u + 3) = 0

2u - 12 = 0 یا u + 3 = 0

u = 6 یا u = -3

پاسخ: - 3; 6.

مثال. معادله را حل کنید

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t) (t 2 - 5t) + 6 (t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t) (t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 یا t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 یا t - 5 = 0

t=0 یا t=5

حالا بریم سراغ معادله دوم. باز هم یک مثلث درجه دوم داریم. برای فاکتورسازی با استفاده از روش گروه بندی، باید آن را به صورت مجموع 4 عبارت ارائه کنید. اگر جایگزینی را انجام دهید - 5t = - 2t - 3t، می توانید شرایط را بیشتر گروه بندی کنید:

t 2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t (t - 2) - 3 (t - 2) = 0

(t - 3) (t - 2) = 0

T - 3 = 0 یا t - 2 = 0

t=3 یا t=2

در نتیجه متوجه شدیم که معادله اصلی 4 ریشه دارد.

به طور کلی، این کار نیاز به یک رویکرد خلاقانه دارد، زیرا هیچ روش جهانی برای حل آن وجود ندارد. اما بیایید سعی کنیم چند نکته را ارائه کنیم.

در اکثریت قریب به اتفاق موارد، فاکتورسازی یک چند جمله‌ای بر اساس نتیجه‌ای از قضیه بزوت است، یعنی ریشه پیدا می‌شود یا انتخاب می‌شود و درجه چند جمله‌ای با تقسیم بر یک کاهش می‌یابد. ریشه چند جمله ای به دست آمده جستجو می شود و این فرآیند تا گسترش کامل تکرار می شود.

اگر ریشه پیدا نشود، از روش های بسط خاص استفاده می شود: از گروه بندی تا معرفی اصطلاحات متقابل انحصاری اضافی.

ارائه بیشتر بر اساس مهارت حل معادلات درجات بالاتر با ضرایب صحیح است.

براکت کردن عامل مشترک

بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم، زمانی که جمله آزاد برابر با صفر است، یعنی چند جمله ای شکل .

بدیهی است که ریشه چنین چند جمله ای است، یعنی ما می توانیم چند جمله ای را به شکل نمایش دهیم.

این روش چیزی بیش نیست خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز.

مثال.

عامل چند جمله ای درجه سوم.

راه حل.

بدیهی است که ریشه چند جمله ای چیست، یعنی Xمی توان از پرانتز خارج کرد:

بیایید ریشه های سه جمله ای درجه دوم را پیدا کنیم

بنابراین،

بالای صفحه

فاکتورگیری چند جمله ای با ریشه های گویا.

ابتدا، بیایید روشی را برای بسط یک چند جمله ای با ضرایب صحیح شکل در نظر بگیریم، ضریب بالاترین درجه برابر با یک است.

در این حالت، اگر یک چند جمله ای دارای ریشه های اعداد صحیح باشد، آنها مقسوم علیه عبارت آزاد هستند.

مثال.

راه حل.

بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های دست نخورده وجود دارد یا خیر. برای این کار مقسوم علیه اعداد را یادداشت کنید -18 : . یعنی اگر چند جمله ای دارای ریشه های اعداد صحیح باشد، آنها جزو اعداد نوشته شده هستند. بیایید این اعداد را به ترتیب با استفاده از طرح هورنر بررسی کنیم. راحتی آن نیز در این واقعیت نهفته است که در پایان ما ضرایب بسط چند جمله ای را به دست می آوریم:

یعنی x=2و x=-3ریشه های چند جمله ای اصلی هستند و می توانیم آن را به عنوان یک محصول نشان دهیم:

باقی مانده است که سه جمله ای درجه دوم را گسترش دهیم.

ممیز این سه جمله منفی است، بنابراین ریشه واقعی ندارد.

پاسخ:

نظر:

به جای طرح هورنر، می توان از انتخاب ریشه و تقسیم بعدی چند جمله ای به چند جمله ای استفاده کرد.

اکنون بسط یک چند جمله ای را با ضرایب صحیح شکل در نظر بگیرید و ضریب بالاترین درجه برابر با یک نیست.

در این حالت، چند جمله ای می تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

مثال.

بیان را فاکتور بگیرید.

راه حل.

با انجام یک تغییر متغیر y=2x، بیایید به چند جمله ای با ضریب برابر با یک در بالاترین درجه برویم. برای این کار ابتدا عبارت را در ضرب کنید 4 .

اگر تابع به دست آمده دارای ریشه های عدد صحیح باشد، آنها جزو مقسوم علیه های عبارت آزاد هستند. بیایید آنها را بنویسیم:

اجازه دهید به ترتیب مقادیر تابع را محاسبه کنیم g(y)در این نقاط تا رسیدن به صفر.

یعنی y=-5ریشه است بنابراین، ریشه تابع اصلی است. بیایید چند جمله ای را با یک ستون (گوشه) به یک دو جمله ای تقسیم کنیم.

بنابراین،

ادامه بررسی مقسوم‌گیرنده‌های باقی‌مانده توصیه نمی‌شود، زیرا فاکتورسازی سه‌جمله‌ای درجه دوم آسان‌تر است.

از این رو،

چند جمله ای های ناشناخته قضیه توزیع چندجمله ای ها در جمع مجهولات.

طرح متعارف یک چند جمله ای.

8 مثال از چند جمله ای های فاکتورگیری آورده شده است. آنها شامل نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم و دو درجه دوم، مثال هایی از چندجمله ای های متقابل و نمونه هایی از یافتن ریشه های اعداد صحیح چند جمله ای های درجه سوم و چهارم می باشند.

محتوا همچنین ببینید:
روش های فاکتورگیری چند جمله ای ها
ریشه های یک معادله درجه دوم

حل معادلات مکعبی

1. مثال هایی با حل معادله درجه دوم

مثال 1.1 x.

4 + x 3 - 6 x 2 2 x را بیرون می آوریم
.
خارج از پرانتز::
.
2 + x - 6 = 0
, .

.

ریشه های معادله:

مثال 1.2
عامل چند جمله ای درجه سوم: x.

3 + 6 x 2 + 9 x
.
بیایید x را از پرانتز خارج کنیم: حل معادله درجه دوم x:
2 + 6 x + 9 = 0
ممیز آن: .
.

از آنجایی که ممیز صفر است، ریشه های معادله مضرب هستند: ;
.

از اینجا فاکتورسازی چند جمله ای را بدست می آوریم:

مثال 1.3
عامل چند جمله ای درجه سوم: فاکتور چند جمله ای درجه پنجم:.

4 + x 3 - 6 x 2 3 x را بیرون می آوریم
.
بیایید x را از پرانتز خارج کنیم: 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
2 + 6 x + 9 = 0
2 - 2 x + 10 = 0
, .

از آنجایی که تفکیک کننده کمتر از صفر است، ریشه های معادله مختلط هستند: ;
.

فاکتورسازی چند جمله ای به شکل زیر است:
.

اگر علاقه مند به فاکتورسازی با ضرایب واقعی هستیم، پس:

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای ها با استفاده از فرمول ها

مثال هایی با چند جمله ای های دو درجه ای

مثال 2.1
عامل چند جمله ای درجه سوم: عامل چند جمله ای دو درجه ای:.

4 + 2 - 20
بیایید فرمول ها را اعمال کنیم: الف;
2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 الف.

;
.

2 - b 2 = (a - b) (a + b)

مثال 2.2
عامل چند جمله ای درجه سوم: چند جمله ای را که به یک دو درجه ای تقلیل می دهد، فاکتور بگیرید:.

4 + 2 - 20
بیایید فرمول ها را اعمال کنیم: الف;
2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 الف:

;

;
.

8 + × 4 + 1

مثال 2.3 با چند جمله ای بازگشتی
.

عامل چند جمله ای متقابل: 1 یک چند جمله ای متقابل درجه فرد دارد. بنابراین ریشه x = - دارد .چند جمله ای را بر x تقسیم کنید -
.
(-1) = x + 1
, ;
;


;
.

.

در نتیجه دریافت می کنیم:

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:
.

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای با ریشه های عدد صحیح

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

بنابراین، ما سه ریشه پیدا کردیم:
عامل چند جمله ای درجه سوم: 1 = 1 ، x 2 = 2 ، x 3 = 3 .
از آنجایی که چند جمله ای اصلی از درجه سوم است، بیش از سه ریشه ندارد. از آنجایی که ما سه ریشه را پیدا کردیم، آنها ساده هستند. سپس
.

مثال 3.2

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:
.

نمونه هایی از فاکتورگیری چند جمله ای با ریشه های عدد صحیح

حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
-2, -1, 1, 2 .
این مقادیر را یکی یکی جایگزین می کنیم:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

بنابراین، ما یک ریشه پیدا کردیم:
عامل چند جمله ای درجه سوم: 1 = -1 .
چند جمله ای را بر x - x تقسیم کنید 1 = x - (-1) = x + 1:


سپس،
.

حال باید معادله درجه سوم را حل کنیم:
.
اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است 2 (عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
بیایید x = را جایگزین کنیم -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x دیگر پیدا کرده ایم 2 = -1 .
.

ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم:

چند جمله ای عبارتی است که از مجموع تک جمله ها تشکیل شده است. دومی حاصل ضرب یک ثابت (عدد) و ریشه (یا ریشه) عبارت به توان k هستند. در این مورد، ما از یک چند جمله ای درجه k صحبت می کنیم. بسط یک چند جمله ای شامل تبدیل عبارتی است که در آن عبارات با عوامل جایگزین می شوند. بیایید راه های اصلی برای انجام این نوع تحول را در نظر بگیریم.

روش بسط یک چند جمله ای با جداسازی یک عامل مشترک

• این روش بر اساس قوانین قانون توزیع است. بنابراین، mn + mk = m * (n + k).مثال:

گسترش 7y 2 + 2uy و 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u)،

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 – 6m + 2l).

با این حال، عاملی که لزوما در هر چند جمله ای وجود دارد ممکن است همیشه پیدا نشود، بنابراین این روش جهانی نیست.

روش بسط چند جمله ای بر اساس فرمول ضرب اختصاری

فرمول‌های ضرب اختصاری برای چندجمله‌ای با هر درجه معتبر هستند. به طور کلی، عبارت تبدیل به این شکل است:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1)، که k نماینده ای از اعداد طبیعی

فرمول هایی که اغلب در عمل استفاده می شوند برای چند جمله ای های مرتبه دوم و سوم هستند:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l)

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2)

• این روش بر اساس قوانین قانون توزیع است. بنابراین، mn + mk = m * (n + k). u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 – ul + l 2).

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b)،

64 متر 3 - 8 لیتر 3 = (4 متر) 3 - (2 لیتر) 3 = (4 متر - 2 لیتر) ((4 متر) 2 + 4 متر * 2 لیتر + (2 لیتر) 2) = (4 متر - 2 لیتر) (16 متر 2 + 8 میلی لیتر + 4 لیتر 2) ).

روش بسط چند جمله ای - گروه بندی اصطلاحات یک عبارت

این روش به نوعی با تکنیک استخراج عامل مشترک وجه اشتراک دارد، اما تفاوت هایی نیز دارد. به ویژه، قبل از جداسازی یک عامل مشترک، تک‌جملات باید گروه‌بندی شوند. گروه بندی بر اساس قواعد قوانین ترکیبی و تعویضی است.

تمام تک‌جملات ارائه شده در عبارت به گروه‌هایی تقسیم می‌شوند که در هر یک مقدار مشترک داده می‌شود به طوری که عامل دوم در همه گروه‌ها یکسان خواهد بود. به طور کلی، این روش تجزیه را می توان به صورت عبارت زیر نشان داد:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s)،

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• این روش بر اساس قوانین قانون توزیع است. بنابراین، mn + mk = m * (n + k).پخش 14 دقیقه + 16 لیتر - 49 متر - 56 لیتر.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

روش انبساط چند جمله ای - تشکیل مربع کامل

این روش یکی از موثرترین روش ها در بسط چند جمله ای است. در مرحله اولیه، لازم است تک اسم هایی را تعیین کنید که می توانند به مربع تفاوت یا مجموع "جمع شوند". برای انجام این کار، از یکی از روابط استفاده کنید:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,

• این روش بر اساس قوانین قانون توزیع است. بنابراین، mn + mk = m * (n + k).عبارت u 4 + 4u 2 - 1 را گسترش دهید.

از بین تک اسم های آن، عبارت هایی را انتخاب می کنیم که مربع کامل را تشکیل می دهند: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

تبدیل را با استفاده از قوانین ضرب اختصاری کامل کنید: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5) (u 2 + 2 + √5).

که u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5) (u 2 + 2 + √5).

برای فاکتورسازی باید عبارات را ساده کرد. این امر ضروری است تا بتوان آن را بیشتر کاهش داد. بسط یک چند جمله ای زمانی معنا پیدا می کند که درجه آن کمتر از دو نباشد. چند جمله ای با درجه اول خطی نامیده می شود.

این مقاله تمام مفاهیم تجزیه، مبانی نظری و روش های فاکتورگیری یک چند جمله ای را پوشش می دهد.

نظریه

قضیه 1

هنگامی که هر چند جمله ای با درجه n، دارای شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + است. . . + a 1 x + a 0، به عنوان یک محصول با یک عامل ثابت با بالاترین درجه a n و n عامل خطی (x - x i)، i = 1، 2، ...، n، سپس Pn (x) نشان داده می شود. = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) ، که در آن x i، i = 1، 2، ...، n ریشه های چند جمله ای هستند.

این قضیه برای ریشه های مختلط نوع x i، i = 1، 2، ...، n و برای ضرایب مختلط a k، k = 0، 1، 2، ...، n در نظر گرفته شده است. این اساس هر تجزیه است.

هنگامی که ضرایب به شکل a k، k = 0، 1، 2، ...، n اعداد واقعی هستند، آنگاه ریشه های مختلط که به صورت جفت مزدوج رخ خواهند داد. به عنوان مثال، ریشه های x 1 و x 2 مربوط به یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 مزدوج مختلط در نظر گرفته می شوند، سپس ریشه های دیگر واقعی هستند، که از آنها به دست می آوریم که چند جمله ای به شکل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q، که در آن x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

نظر دهید

ریشه های یک چند جمله ای را می توان تکرار کرد. بیایید اثبات قضیه جبر را نتیجه قضیه بزوت در نظر بگیریم.

قضیه اساسی جبر

قضیه 2

هر چند جمله ای با درجه n حداقل یک ریشه دارد.

قضیه بزوت

پس از تقسیم یک چند جمله ای به شکل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s)، سپس باقیمانده را می گیریم که برابر با چند جمله ای در نقطه s است، سپس به دست می آوریم

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) ، که در آن Q n - 1 (x) چند جمله ای با درجه n - 1 است.

نتیجه قضیه بزوت

وقتی ریشه چند جمله ای P n (x) s در نظر گرفته شود، آنگاه P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . این نتیجه زمانی که برای توصیف راه حل استفاده می شود کافی است.

فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم

یک مثلث مربع به شکل a x 2 + b x + c را می توان به فاکتورهای خطی تبدیل کرد. سپس دریافت می کنیم که a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) ، که در آن x 1 و x 2 ریشه (مختلط یا واقعی) هستند.

این نشان می دهد که خود بسط به حل معادله درجه دوم کاهش می یابد.

مثال 1

عامل سه جمله ای درجه دوم.

راه حل

لازم است ریشه های معادله 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 را پیدا کنید. برای انجام این کار، باید مقدار متمایز کننده را با استفاده از فرمول پیدا کنید، سپس D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 را دریافت می کنیم. از اینجا ما آن را داریم

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

از این نتیجه می گیریم که 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

برای انجام بررسی، باید پرانتز را باز کنید. سپس یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

پس از بررسی، به عبارت اصلی می رسیم. یعنی می توانیم نتیجه بگیریم که تجزیه به درستی انجام شده است.

مثال 2

عامل سه جمله ای درجه دوم شکل 3 x 2 - 7 x - 11 .

راه حل

دریافتیم که لازم است معادله درجه دوم حاصل از فرم 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 محاسبه شود.

برای یافتن ریشه ها، باید ارزش تمایز را تعیین کنید. ما آن را دریافت می کنیم

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

از این نتیجه می گیریم که 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

مثال 3

چند جمله ای 2 x 2 + 1 را عامل کنید.

راه حل

حال باید معادله درجه دوم 2 x 2 + 1 = 0 را حل کرده و ریشه های آن را پیدا کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

این ریشه ها مزدوج پیچیده نامیده می شوند، به این معنی که خود بسط را می توان به صورت 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i نشان داد.

مثال 4

سه جمله درجه دوم x 2 + 1 3 x + 1 را تجزیه کنید.

راه حل

ابتدا باید یک معادله درجه دوم به شکل x 2 + 1 3 x + 1 = 0 حل کنید و ریشه های آن را پیدا کنید.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

با به دست آوردن ریشه ها، می نویسیم

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

نظر دهید

اگر مقدار تفکیک منفی باشد، چند جمله ای ها چند جمله ای های مرتبه دوم باقی می مانند. از این نتیجه می شود که ما آنها را به عوامل خطی گسترش نمی دهیم.

روش های فاکتورگیری چند جمله ای با درجه بالاتر از دو

هنگام تجزیه، یک روش جهانی در نظر گرفته می شود. اکثر موارد بر اساس نتیجه ای از قضیه بزوت است. برای این کار باید مقدار ریشه x 1 را انتخاب کنید و با تقسیم بر یک چند جمله ای بر 1 با تقسیم بر (x - x 1) درجه آن را کاهش دهید. چند جمله ای حاصل باید ریشه x 2 را پیدا کند و فرآیند جستجو چرخه ای است تا زمانی که یک بسط کامل به دست آوریم.

اگر ریشه پیدا نشد، از روش های دیگر فاکتورسازی استفاده می شود: گروه بندی، اصطلاحات اضافی. این مبحث شامل حل معادلات با توان های بالاتر و ضرایب صحیح است.

خارج کردن عامل مشترک از پرانتز

حالتی را در نظر بگیرید که جمله آزاد برابر با صفر باشد، آنگاه شکل چندجمله ای تبدیل به P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + می شود. . . + a 1 x .

می توان دید که ریشه چنین چند جمله ای برابر با x 1 = 0 خواهد بود، سپس چند جمله ای را می توان به عنوان عبارت P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + نشان داد. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

این روش به عنوان خارج کردن فاکتور مشترک از براکت در نظر گرفته می شود.

مثال 5

فاکتور چند جمله ای درجه سوم 4 x 3 + 8 x 2 - x.

راه حل

می بینیم که x 1 = 0 ریشه چند جمله ای داده شده است، سپس می توانیم x را از براکت های کل عبارت حذف کنیم. دریافت می کنیم:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

بیایید به یافتن ریشه های مربع مثلثی 4 x 2 + 8 x - 1 برویم. بیایید تمایز و ریشه را پیدا کنیم:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

سپس به دنبال آن است

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

برای شروع، اجازه دهید یک روش تجزیه شامل ضرایب صحیح به شکل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + را در نظر بگیریم. . . + a 1 x + a 0 که ضریب بالاترین درجه 1 است.

هنگامی که یک چند جمله ای دارای ریشه های اعداد صحیح باشد، آنها مقسوم علیه عبارت آزاد در نظر گرفته می شوند.

مثال 6

عبارت f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 را تجزیه کنید.

راه حل

بیایید در نظر بگیریم که آیا ریشه های کامل وجود دارد یا خیر. لازم است تقسیم کننده های عدد - 18 را یادداشت کنید. ما 1±، 2±، 3±، 6±، 9±، 18 ± را دریافت می کنیم. نتیجه این است که این چند جمله ای دارای ریشه های صحیح است. می توانید با استفاده از طرح هورنر بررسی کنید. این بسیار راحت است و به شما امکان می دهد به سرعت ضرایب انبساط یک چند جمله ای را بدست آورید:

نتیجه می شود که x = 2 و x = - 3 ریشه های چند جمله ای اصلی هستند که می تواند به عنوان حاصلضرب شکل نشان داده شود:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ما به گسترش یک مثلث درجه دوم به شکل x 2 + 2 x + 3 ادامه می دهیم.

از آنجایی که تمایز منفی است، به این معنی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

پاسخ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

نظر دهید

استفاده از ریشه انتخاب و تقسیم یک چند جمله ای به چند جمله ای به جای طرح هورنر مجاز است. بیایید به در نظر گرفتن بسط یک چند جمله ای حاوی ضرایب صحیح به شکل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ادامه دهیم. . . + a 1 x + a 0 که بالاترین آن برابر با یک است.

این مورد برای کسرهای گویا رخ می دهد.

مثال 7

فاکتورسازی f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

راه حل

لازم است که متغیر y = 2 x را جایگزین کنید، باید به یک چند جمله ای با ضرایب برابر با 1 در بالاترین درجه بروید. باید با ضرب عبارت در 4 شروع کنید. ما آن را دریافت می کنیم

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

وقتی تابع حاصل از شکل g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 دارای ریشه های صحیح باشد، مکان آنها در میان مقسوم علیه های جمله آزاد است. ورودی به صورت زیر خواهد بود:

1±، 2±، 3±، 4±، 5±، 6±، 10±، 12±، 15±، 20±، 30±، 60±.

بیایید به محاسبه تابع g (y) در این نقاط برویم تا در نتیجه به صفر برسیم. ما آن را دریافت می کنیم

گرم (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 گرم (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 گرم (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 گرم (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 گرم (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 گرم (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 گرم (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 گرم (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 گرم (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 گرم (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

دریافتیم که y = - 5 ریشه معادله ای به شکل y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 است که به این معنی است که x = y 2 = - 5 2 ریشه تابع اصلی است.

مثال 8

لازم است با ستون 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 بر x + 5 2 تقسیم شود.

راه حل

بیایید آن را بنویسیم و دریافت کنیم:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

بررسی مقسوم‌کننده‌ها زمان زیادی می‌برد، بنابراین فاکتورسازی سه‌جمله‌ای درجه دوم حاصل از شکل x 2 + 7 x + 3 سود بیشتری دارد. با معادل سازی صفر، تفکیک کننده را پیدا می کنیم.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

به دنبال آن است

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

تکنیک های مصنوعی برای فاکتورگیری چند جمله ای

ریشه های گویا در همه چند جمله ای ها ذاتی نیستند. برای این کار باید از روش های خاصی برای یافتن فاکتورها استفاده کنید. اما همه چند جمله ای ها را نمی توان گسترش داد یا به عنوان یک محصول نشان داد.

روش گروه بندی

مواردی وجود دارد که می توانید عبارات یک چند جمله ای را گروه بندی کنید تا یک عامل مشترک پیدا کنید و آن را خارج از پرانتز قرار دهید.

مثال 9

چند جمله ای x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 را عامل کنید.

راه حل

از آنجایی که ضرایب اعداد صحیح هستند، احتمالاً ریشه ها نیز می توانند اعداد صحیح باشند. برای بررسی، مقادیر 1، - 1، 2 و - 2 را بگیرید تا مقدار چند جمله ای را در این نقاط محاسبه کنید. ما آن را دریافت می کنیم

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

این نشان می دهد که هیچ ریشه ای وجود ندارد، باید از روش دیگری برای گسترش و راه حل استفاده کرد.

گروه بندی لازم است:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

پس از گروه بندی چند جمله ای اصلی، باید آن را به صورت حاصل ضرب دو مثلث مربع نشان دهید. برای این کار باید فاکتورسازی کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

نظر دهید

سادگی گروه بندی به این معنی نیست که انتخاب اصطلاحات به اندازه کافی آسان است. روش حل خاصی وجود ندارد، بنابراین باید از قضایا و قواعد خاصی استفاده کرد.

مثال 10

چند جمله ای x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 را عامل کنید.

راه حل

چند جمله ای داده شده هیچ ریشه صحیحی ندارد. اصطلاحات باید گروه بندی شوند. ما آن را دریافت می کنیم

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

پس از فاکتورسازی به آن می رسیم

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

استفاده از فرمول های ضرب اختصاری و دوجمله ای نیوتن برای عامل یک چند جمله ای

ظاهر اغلب همیشه روشن نمی کند که کدام روش باید در هنگام تجزیه استفاده شود. پس از انجام تبدیل ها، می توانید خطی متشکل از مثلث پاسکال بسازید، در غیر این صورت آنها را دو جمله ای نیوتن می نامند.

مثال 11

چند جمله ای x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 را عامل کنید.

راه حل

تبدیل عبارت به فرم ضروری است

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

دنباله ضرایب مجموع داخل پرانتز با عبارت x + 1 4 نشان داده می شود.

این بدان معناست که ما x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 داریم.

پس از اعمال اختلاف مربع ها به دست می آوریم

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

عبارتی را که در پرانتز دوم است در نظر بگیرید. واضح است که در آنجا هیچ شوالیه ای وجود ندارد، بنابراین باید دوباره فرمول اختلاف مربع ها را اعمال کنیم. ما یک بیان از فرم را دریافت می کنیم

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

مثال 12

فاکتوریزه کردن x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

راه حل

بیایید شروع به تبدیل بیان کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

لازم است فرمول ضرب اختصاری اختلاف مکعب ها را اعمال کنید. دریافت می کنیم:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

روشی برای جایگزینی یک متغیر هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای

هنگام جایگزینی یک متغیر، درجه کاهش می یابد و چند جمله ای فاکتور می شود.

مثال 13

چند جمله ای شکل x 6 + 5 x 3 + 6 را عامل کنید.

راه حل

با توجه به شرط، مشخص است که باید جایگزینی y = x 3 انجام شود. دریافت می کنیم:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

ریشه های معادله درجه دوم y = - 2 و y = - 3 است، سپس

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

لازم است از فرمول ضرب اختصاری مجموع مکعب ها استفاده شود. ما عباراتی از فرم را دریافت می کنیم:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

یعنی تجزیه مورد نظر را به دست آوردیم.

مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت به در نظر گرفتن و فاکتورگیری یک چند جمله ای به روش های مختلف کمک می کند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید