من با تحصیلات یک فیزیکدان نظری هستم، اما سابقه ریاضی خوبی دارم. در مقطع کارشناسی ارشد، یکی از دروس فلسفه، انتخاب موضوع و ارائه مقاله در آن بود. از آنجایی که بیشتر گزینه ها بیش از یک بار مورد بحث قرار گرفته بودند، تصمیم گرفتم چیزی عجیب و غریب تر را انتخاب کنم. من تظاهر نمی‌کنم که تازه کار هستم، فقط توانستم تمام/تقریباً تمام ادبیات موجود در مورد این موضوع را جمع‌آوری کنم. فیلسوفان و ریاضیدانان می توانند به سوی من سنگ پرتاب کنند، من فقط برای انتقاد سازنده سپاسگزار خواهم بود.

P.S. یک زبان بسیار "خشک"، اما کاملاً خواندنی پس از برنامه درسی دانشگاه. در بیشتر موارد، تعاریف پارادوکس ها از ویکی پدیا (فرمول بندی ساده شده و نشانه گذاری آماده TeX) گرفته شده است.

معرفی

هم خود نظریه مجموعه ها و هم پارادوکس های ذاتی آن نه چندان دور، درست بیش از صد سال پیش ظاهر شدند. با این حال، در طول این دوره راه طولانی طی شده است، به هر حال، در واقع اساس بسیاری از شاخه های ریاضیات شد. پارادوکس های آن مرتبط با بی نهایت کانتور با موفقیت در نیم قرن به معنای واقعی کلمه توضیح داده شد.

باید با یک تعریف شروع کنیم.

مجموعه چیست؟ سوال بسیار ساده است، پاسخ کاملاً شهودی است. مجموعه مجموعه معینی از عناصر است که توسط یک شیء واحد نمایش داده می شود. کانتور در اثر خود Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre تعریفی ارائه می دهد: منظور ما از «مجموعه»، اتصال به یک کل M معین از اشیاء مشخص و کاملاً قابل تشخیص m از تفکر یا تفکر ما است (که «عناصر» مجموعه نامیده می شوند. م). همانطور که می بینیم ماهیت تغییر نکرده است، تفاوت فقط در آن قسمت است که به جهان بینی تعیین کننده بستگی دارد. تاریخچه نظریه مجموعه ها، چه در منطق و چه در ریاضیات، بسیار متناقض است. در واقع توسط کانتور در قرن نوزدهم شروع شد و سپس راسل و دیگران کار را ادامه دادند.

پارادوکس ها (منطق و نظریه مجموعه ها) - (یونانی - غیرمنتظره) - تضادهای منطقی صوری که در نظریه مجموعه معنادار و منطق صوری با حفظ صحت منطقی استدلال به وجود می آیند. پارادوکس ها زمانی به وجود می آیند که دو گزاره متضاد (متضاد) به یک اندازه قابل اثبات باشند. پارادوکس ها می توانند هم در یک نظریه علمی و هم در استدلال معمولی ظاهر شوند (به عنوان مثال، تعبیر راسل از پارادوکس خود در مورد مجموعه همه مجموعه های عادی: "آرایشگر دهکده همه کسانی را می تراشد و فقط ساکنان دهکده اش را می تراشد که خودشان را اصلاح نمی کنند. او خود را اصلاح می کند؟"). از آنجایی که یک تضاد منطقی صوری، استدلال را به عنوان وسیله ای برای کشف و اثبات حقیقت از بین می برد (در نظریه ای که در آن یک پارادوکس ظاهر می شود، هر جمله اعم از درست و نادرست قابل اثبات است)، وظیفه شناسایی منابع چنین تضادها و یافتن راه هایی است. برای از بین بردن آنها مسئله درک فلسفی راه حل های خاص پارادوکس ها یکی از مسائل مهم روش شناختی منطق صوری و مبانی منطقی ریاضیات است.

هدف این کار بررسی پارادوکس‌های نظریه مجموعه‌ها به عنوان وارثان ضدیت باستان و پیامدهای کاملاً منطقی انتقال به سطح جدیدی از انتزاع - بی‌نهایت است. وظیفه بررسی پارادوکس های اصلی و تفسیر فلسفی آنهاست.

پارادوکس های اساسی نظریه مجموعه ها

آرایشگر فقط افرادی را می تراشد که خود را اصلاح نمی کنند. خودش تراشیده؟

بیایید با یک گشت کوتاه در تاریخ ادامه دهیم.

برخی از پارادوکس های منطقی از زمان های قدیم شناخته شده اند، اما به دلیل اینکه نظریه ریاضی به حساب و هندسه محدود می شد، ارتباط آنها با نظریه مجموعه ها غیرممکن بود. در قرن نوزدهم، وضعیت به طور اساسی تغییر کرد: کانتور در آثار خود به سطح جدیدی از انتزاع رسید. او مفهوم بی نهایت را معرفی کرد و بدین ترتیب شاخه جدیدی از ریاضیات را ایجاد کرد و در نتیجه امکان مقایسه بینهایت های مختلف را با استفاده از مفهوم "قدرت یک مجموعه" فراهم کرد. با این حال، با انجام این کار، پارادوکس های بسیاری را به وجود آورد. اولین به اصطلاح است پارادوکس بورالی-فورتی. در ادبیات ریاضی فرمول بندی های مختلفی بر اساس اصطلاحات مختلف و مجموعه ای فرضی از قضایای شناخته شده وجود دارد. در اینجا یکی از تعاریف رسمی است.

می توان ثابت کرد که اگر x یک مجموعه دلخواه از اعداد ترتیبی باشد، مجموعه مجموع عددی بزرگتر یا مساوی با هر یک از عناصر است. ایکس. اکنون فرض می کنیم که مجموعه همه اعداد ترتیبی است. سپس یک عدد ترتیبی بزرگتر یا مساوی با هر یک از اعداد در است. اما سپس و یک عدد ترتیبی است، و در حال حاضر به شدت بزرگتر است، و بنابراین با هیچ یک از اعداد در برابر نیست. اما این با شرطی که بر اساس آن - مجموعه همه اعداد ترتیبی است در تضاد است.

ماهیت پارادوکس این است که با تشکیل مجموعه همه اعداد ترتیبی، یک نوع ترتیبی جدید تشکیل می شود که هنوز در بین "همه" اعداد ترتیبی نامتناهی که قبل از تشکیل مجموعه همه اعداد ترتیبی وجود داشتند، وجود نداشت. این پارادوکس توسط خود کانتور کشف شد، به طور مستقل توسط ریاضیدان ایتالیایی بورالی فورتی کشف و منتشر شد، اشتباهات دومی توسط راسل تصحیح شد، پس از آن فرمول شکل نهایی خود را به دست آورد.

در میان تمام تلاش ها برای جلوگیری از چنین پارادوکس ها و تا حدودی تلاش برای توضیح آنها، ایده راسل که قبلاً ذکر شد سزاوار توجه است. او پیشنهاد کرد که از ریاضیات و منطق جملات غیرقابل قبولی که در آنها تعریف یک عنصر از یک مجموعه به دومی بستگی دارد، حذف شود، که باعث پارادوکس می شود. این قانون به این صورت است: "هیچ مجموعه C نمی تواند حاوی عناصر m باشد که فقط بر اساس مجموعه C تعریف شده اند، و همچنین عناصر n که این مجموعه را در تعریف خود پیش فرض می گیرند." چنین محدودیتی در تعریف مجموعه به ما امکان می دهد از پارادوکس ها اجتناب کنیم، اما در عین حال دامنه کاربرد آن را در ریاضیات به طور قابل توجهی محدود می کند. علاوه بر این، این برای توضیح ماهیت و دلایل ظاهری آنها که ریشه در دوگانگی تفکر و زبان دارد، در ویژگی های منطق صوری کافی نیست. تا حدودی، این محدودیت را می‌توان در قیاسی با آنچه روان‌شناسان و زبان‌شناسان شناختی بعدی آن را «طبقه‌بندی سطح پایه» نامیدند دنبال کرد: این تعریف به ساده‌ترین مفهوم برای درک و مطالعه کاهش می‌یابد.

فرض کنید مجموعه همه مجموعه ها وجود دارد. در این صورت، درست است، یعنی هر مجموعه t زیرمجموعه ای از V است. اما از این نتیجه می شود که توان هیچ مجموعه ای از توان V تجاوز نمی کند. اما به دلیل اصل موضوع مجموعه همه برای V، مانند هر مجموعه ای، مجموعه ای از همه زیرمجموعه ها وجود دارد. در نتیجه، V نمی تواند وجود داشته باشد، که با این فرضیه «ساده لوح» که هر شرط منطقی صحیح نحوی یک مجموعه را تعریف می کند، در تضاد است، یعنی برای هر فرمول A که حاوی y نیست، آزاد است. اثبات قابل توجهی مبنی بر عدم وجود چنین تضادهایی بر اساس نظریه مجموعه های زرملو-فرانکل بدیهی شده توسط پاتر ارائه شده است.

هر دو پارادوکس فوق، از دیدگاه منطقی، با «دروغگو» یا «آرایشگر» یکسان هستند: قضاوت بیان شده نه تنها به چیزی عینی در رابطه با او، بلکه به خود نیز خطاب می شود. با این حال، شما باید نه تنها به جنبه منطقی، بلکه به مفهوم بی نهایت نیز توجه کنید که در اینجا وجود دارد. این ادبیات به کار پوانکاره اشاره دارد که در آن او می نویسد: «اعتقاد به وجود بی نهایت واقعی... این تعاریف غیر اعتباری را ضروری می کند».
به طور کلی نکات اصلی عبارتند از:

• در این تناقضات، قاعده تفکیک آشکار «کره‌های» محمول و موضوع نقض می‌شود. درجه سردرگمی نزدیک به جایگزینی یک مفهوم با مفهوم دیگر است.
• معمولاً در منطق فرض بر این است که در فرآیند استدلال، موضوع و محمول حجم و محتوای خود را حفظ می کنند، اما در این صورت چنین می شود.
  انتقال از یک دسته به دسته دیگر، که منجر به ناسازگاری می شود.
• وجود کلمه "همه" برای تعداد محدودی از عناصر منطقی است، اما در مورد تعداد نامتناهی از عناصر، ممکن است یکی وجود داشته باشد که
  برای تعریف خود نیاز به تعریف یک مجموعه دارد.
• قوانین اساسی منطقی نقض می شود:
  • قانون هویت زمانی نقض می شود که عدم هویت موضوع و محمول آشکار شود.
  • قانون تضاد - وقتی دو حکم متناقض با حق یکسان صادر می شود.
  • قانون ثلث مستثنی شده - زمانی که این سوم باید به رسمیت شناخته شود، و نه حذف، زیرا نه اولی و نه دومی بدون دیگری قابل تشخیص نیستند، زیرا معلوم می شود که به همان اندازه مشروع هستند.

پارادوکس سوم به نام راسل نامگذاری شده است. یک تعریف در زیر آورده شده است.
اجازه دهید K مجموعه ای از تمام مجموعه هایی باشد که خود را به عنوان یک عنصر شامل نمی شود؟ اگر بله، پس، طبق تعریف K، نباید عنصری از K باشد - یک تناقض اگر نه، پس، طبق تعریف K، باید یک عنصر از K باشد - دوباره یک تناقض. این جمله به طور منطقی از پارادوکس کانتور گرفته شده است که رابطه آنها را نشان می دهد. با این حال، جوهر فلسفی خود را واضح تر نشان می دهد، زیرا "جنبش خود" مفاهیم درست "در مقابل چشمان ما" رخ می دهد.

پارادوکس تریسترام شاندی:
در داستان زندگی و عقاید تریسترام شاندی، نجیب زاده استرن، قهرمان متوجه می شود که یک سال تمام طول کشید تا وقایع روز اول زندگی اش را بازگو کند و یک سال دیگر برای توصیف روز دوم. در این راستا، قهرمان شکایت می کند که مطالب زندگی نامه اش سریعتر از آن چیزی که بتواند آن را پردازش کند جمع می شود و هرگز نمی تواند آن را کامل کند. راسل به این موضوع اعتراض می‌کند: «اکنون من ادعا می‌کنم که اگر او تا ابد زندگی می‌کرد و کارش برایش بار سنگین نمی‌شد، حتی اگر زندگی‌اش مانند ابتدا پر حادثه بود، هیچ یک از بخش‌ها زندگی نامه او نانوشته نمی ماند.»
در واقع، شاندی می‌توانست وقایع روز نهم را در سال نهم توصیف کند و بنابراین، هر روز در زندگی‌نامه‌اش ثبت می‌شود.

به عبارت دیگر، اگر زندگی تا ابد ادامه داشت، به اندازه روزها سالها بود.

راسل بین این رمان و زنو و لاک پشتش تشبیهی می کند. به نظر او راه حل در این است که کل معادل جزء خود در بی نهایت است. آن ها فقط «بدیهی عقل سلیم» منجر به تناقض می شود. با این حال، راه حل مسئله در زمینه ریاضیات محض نهفته است. بدیهی است که دو مجموعه وجود دارد - سالها و روزها، که بین عناصر آنها مطابقت یک به یک برقرار می شود - یک بیجکشن. سپس با توجه به عمر نامتناهی شخصیت اصلی، دو مجموعه بی نهایت قدرت برابر وجود دارد که اگر قدرت را تعمیم مفهوم تعداد عناصر یک مجموعه در نظر بگیریم، پارادوکس را حل می کند.

پارادوکس Banach-Tarski (قضیه) یا پارادوکس دو برابر شدن توپ- یک قضیه در نظریه مجموعه ها که بیان می کند یک توپ سه بعدی معادل دو نسخه از آن است.
دو زیرمجموعه از فضای اقلیدسی به طور مساوی تشکیل شده نامیده می شوند اگر بتوان یکی را به تعداد متناهی قسمت تقسیم کرد، آنها را جابجا کرد و دومی را بتوان از آنها تشکیل داد.
به‌طور دقیق‌تر، دو مجموعه A و B به طور مساوی تشکیل می‌شوند اگر بتوان آنها را به صورت یک اتحادیه متناهی از زیرمجموعه‌های ناپیوسته نشان داد به طوری که برای هر i زیرمجموعه همخوان باشد.

اگر از قضیه انتخاب استفاده کنیم، تعریف به این صورت است:
اصل انتخاب دلالت بر این دارد که سطح کره واحد به تعداد محدودی از قطعات تقسیم می شود که با تبدیل فضای سه بعدی اقلیدسی که شکل این اجزا را تغییر نمی دهد، می توان آنها را به دو کره جمع کرد. شعاع واحد

بدیهی است که با توجه به الزامی که این قطعات قابل اندازه گیری هستند، این بیانیه قابل اجرا نیست. فیزیکدان معروف ریچارد فاینمن در بیوگرافی خود می گوید که چگونه در یک زمان موفق شد در بحث شکستن یک پرتقال به تعداد محدودی از قطعات و سرهم کردن مجدد آن پیروز شود.

در نقاط خاصی از این پارادوکس برای رد بدیهیات انتخاب استفاده می شود، اما مشکل اینجاست که آنچه ما هندسه ابتدایی در نظر می گیریم بی اهمیت است. آن مفاهیمی که ما شهودی در نظر می گیریم باید به سطح ویژگی های توابع ماورایی بسط داده شوند.

برای تضعیف بیشتر اعتماد کسانی که اصل انتخاب را نادرست می‌دانند، لازم است به قضیه مازورکیویچ و سیرپینسکی اشاره کنیم که بیان می‌کند یک زیرمجموعه E غیرخالی از صفحه اقلیدسی وجود دارد که دارای دو زیرمجموعه مجزا است، هر کدام. که می توان آنها را به تعداد محدودی از قطعات تقسیم کرد، به طوری که می توان آنها را با ایزومتریک به پوششی از مجموعه E تبدیل کرد.
در این مورد، اثبات نیازی به استفاده از اصل انتخاب ندارد.
ساخت‌های بیشتر مبتنی بر اصل یقین راه‌حلی برای پارادوکس Banach-Tarski ارائه می‌کنند، اما چنین علاقه‌ای ندارند.

• پارادوکس ریچارد: شما باید "کوچکترین عددی که در این کتاب ذکر نشده" را نام ببرید. تناقض این است که از یک طرف، می توان این کار را انجام داد، زیرا کوچکترین تعداد نامگذاری شده در این کتاب وجود دارد. بر اساس آن می توانیم کوچکترین بی نام را نام ببریم. اما در اینجا یک مشکل پیش می آید: پیوستار غیرقابل شمارش است، شما می توانید تعداد نامحدودی از اعداد میانی را وارد کنید. از طرف دیگر، اگر بتوانیم این عدد را نام ببریم، به طور خودکار از کلاس کسانی که در کتاب ذکر نشده اند، به کلاس نامبرده ها منتقل می شود.
• پارادوکس گرلینگ-نیلسون: کلمات یا نشانه ها می توانند هر خاصیتی را نشان دهند و در عین حال آن را داشته باشند یا نداشته باشند. پیش پا افتاده ترین فرمول اینگونه به نظر می رسد: آیا کلمه "هترولوژیک" (که به معنای "قابل استفاده برای خود نیست")، هترولوژیک است؟... به دلیل وجود یک تضاد دیالکتیکی، بسیار شبیه به پارادوکس راسل است: دوگانگی شکل و محتوا نقض شده است. در مورد کلماتی که سطح انتزاع بالایی دارند، نمی توان تصمیم گرفت که آیا این کلمات هترولوگ هستند یا خیر.
• پارادوکس اسکولم: با استفاده از قضیه گودل در مورد کامل بودن و قضیه لوونهایم-اسکولم، متوجه می‌شویم که نظریه مجموعه‌های بدیهی حتی زمانی که فقط مجموعه‌ای قابل شمارش از مجموعه‌ها برای تفسیر آن فرض می‌شود (در دسترس) باقی می‌ماند. در همان زمان
  نظریه بدیهی شامل قضیه کانتور است که قبلاً ذکر شد، که ما را به مجموعه های بی نهایت غیرقابل شمارش هدایت می کند.

حل پارادوکس ها

ایجاد تئوری مجموعه ها به بحران سوم ریاضیات منجر شد که هنوز برای همه به طور رضایت بخشی حل نشده است.
از نظر تاریخی، اولین رویکرد نظریه مجموعه ها بود. این بر اساس استفاده از بی نهایت واقعی بود، زمانی که اعتقاد بر این بود که هر دنباله نامتناهی در بی نهایت کامل می شود. ایده این بود که در تئوری مجموعه‌ها اغلب باید با مجموعه‌هایی سر و کار داشت که می‌توانستند بخش‌هایی از مجموعه‌های بزرگ‌تر باشند. اقدامات موفقیت آمیز در این مورد فقط در یک مورد امکان پذیر بود: مجموعه های داده شده (متناهی و نامتناهی) تکمیل شدند. موفقیت مشخصی آشکار بود: نظریه بدیهی مجموعه های زرملو-فرانکل، کل مکتب ریاضیات نیکلاس بورباکی، که بیش از نیم قرن وجود دارد و هنوز هم باعث انتقادات زیادی می شود.

منطق گرایی تلاشی بود برای تقلیل همه ریاضیات شناخته شده به اصطلاحات حسابی و سپس کاهش اصطلاحات حساب به مفاهیم منطق ریاضی. فرگه این موضوع را از نزدیک دنبال کرد، اما پس از پایان کار روی کار، پس از اینکه راسل به تناقضات موجود در نظریه اشاره کرد، مجبور شد به ناهماهنگی خود اشاره کند. همان راسل، همانطور که قبلاً ذکر شد، سعی کرد با کمک «نظریه انواع» استفاده از تعاریف غیرقابل قبول را حذف کند. با این حال، مفاهیم مجموعه و بی نهایت، و همچنین اصل تقلیل پذیری، غیرمنطقی بود. مشکل اصلی این بود که تفاوت های کیفی بین منطق صوری و ریاضی و همچنین وجود مفاهیم غیر ضروری، از جمله مفاهیم شهودی در نظر گرفته نشد.
در نتیجه، نظریه منطق گرایی قادر به حذف تناقضات دیالکتیکی پارادوکس های مرتبط با بی نهایت نبود. تنها اصول و روش هایی وجود داشت که امکان خلاصی از حداقل تعاریف غیر محمول را فراهم می کرد. راسل در تفکر خود وارث کانتور بود

در پایان قرن نوزدهم - آغاز قرن بیستم. گسترش دیدگاه فرمالیستی در مورد ریاضیات با توسعه روش بدیهی و برنامه اثبات ریاضیات که دی. هیلبرت ارائه کرد همراه بود. اهمیت این واقعیت را این واقعیت نشان می دهد که اولین مسئله بیست و سه که او برای جامعه ریاضی مطرح کرد، مسئله بی نهایت بود. رسمی‌سازی برای اثبات سازگاری ریاضیات کلاسیک، «در حالی که همه متافیزیک‌ها را از آن مستثنی می‌کرد» ضروری بود. با توجه به ابزارها و روش هایی که هیلبرت استفاده کرد، هدف او اساساً غیرممکن بود، اما برنامه او تأثیر زیادی بر تمام پیشرفت های بعدی پایه های ریاضیات داشت. هیلبرت مدت زیادی روی این مسئله کار کرد و در ابتدا بدیهیات هندسه را ساخت. از آنجایی که راه حل مسئله کاملاً موفقیت آمیز بود، او تصمیم گرفت که روش بدیهی را در نظریه اعداد طبیعی اعمال کند. او در این رابطه نوشت: "من یک هدف مهم را دنبال می کنم: این من هستم که می خواهم از سؤالات توجیه ریاضیات خلاص شوم و هر گزاره ریاضی را به یک فرمول کاملاً قابل استنتاج تبدیل کنم." برای خلاص شدن از بی نهایت با کاهش آن به تعداد محدودی از عملیات برنامه ریزی شده بود. او برای این کار به فیزیک با اتمیسم آن روی آورد تا ناهماهنگی کمیت های بی نهایت را نشان دهد. در واقع هیلبرت مسئله رابطه بین نظریه و واقعیت عینی را مطرح کرد.

ایده ای کم و بیش کامل از روش های محدود توسط شاگرد هیلبرت J. Herbran ارائه شده است. او با استدلال محدود استدلالی را می‌فهمد که شرایط زیر را برآورده می‌کند: پارادوکس‌های منطقی - فقط تعداد محدود و معینی از اشیا و توابع همیشه در نظر گرفته می‌شوند.

توابع تعریف دقیقی دارند و این تعریف به ما امکان می دهد مقدار آنها را محاسبه کنیم.

کسی هرگز ادعا نمی کند که "این شی وجود دارد"، مگر اینکه بداند چگونه آن را بسازد.

مجموعه تمام اشیاء X از هر مجموعه نامتناهی هرگز در نظر گرفته نمی شود.

اگر معلوم شود که استدلال یا قضیه ای برای همه این X صادق است، این بدان معناست که این استدلال کلی را می توان برای هر X خاص تکرار کرد و خود این استدلال کلی فقط باید به عنوان نمونه ای برای اجرای چنین استدلال خاص در نظر گرفته شود. "

با این حال، در زمان آخرین انتشار خود در این زمینه، گودل قبلاً نتایج خود را دریافت کرده بود، در اصل، او دوباره حضور دیالکتیک را در فرآیند شناخت کشف و تأیید کرد. در اصل، توسعه بیشتر ریاضیات ناهماهنگی برنامه هیلبرت را نشان داد.

گودل دقیقا چه چیزی را ثابت کرد؟ سه نتیجه اصلی را می توان شناسایی کرد:

1. گودل عدم امکان اثبات ریاضی سازگاری هر سیستمی را نشان داد که به اندازه کافی بزرگ باشد که تمام محاسبات را شامل شود، اثباتی که از هیچ قواعد استنتاج دیگری غیر از قوانین خود سیستم معین استفاده نمی کند. چنین اثباتی که از قاعده استنتاج قوی تری استفاده می کند، ممکن است مفید باشد. اما اگر این قواعد استنتاج قوی‌تر از ابزارهای منطقی محاسبات حسابی باشند، در این صورت هیچ اطمینانی در سازگاری مفروضات به کار رفته در اثبات وجود نخواهد داشت. در هر صورت، اگر روش های مورد استفاده محدود نباشند، برنامه هیلبرت غیرقابل اجرا خواهد بود. گودل دقیقاً ناهماهنگی محاسبات را نشان می دهد تا یک اثبات محدود کننده ثبات حساب را بیابد.
2. گودل به محدودیت‌های اساسی قابلیت‌های روش بدیهی اشاره کرد: سیستم Principia Mathematica، مانند هر سیستم دیگری که به کمک آن محاسبات ساخته می‌شود، اساساً ناقص است، یعنی برای هر سیستم منسجمی از بدیهیات حسابی، حساب واقعی وجود دارد. جملاتی که از بدیهیات این سیستم مشتق نشده اند.
3. قضیه گودل نشان می‌دهد که هیچ بسط یک سیستم حسابی نمی‌تواند آن را کامل کند، و حتی اگر آن را با تعداد نامتناهی بدیهیات پر کنیم، در این سیستم جدید همیشه موقعیت‌های درستی وجود خواهد داشت که نمی‌توان با استفاده از آن استنتاج کرد. سیستم. رویکرد بدیهی به حساب اعداد طبیعی قادر به پوشش کل حوزه قضاوت های حسابی واقعی نیست و آنچه ما از طریق فرآیند اثبات ریاضی می فهمیم به استفاده از روش بدیهی خلاصه نمی شود. پس از قضیه گودل، انتظار اینکه مفهوم یک برهان ریاضی قانع کننده را بتوان یک بار و برای همیشه اشکال تعریف شده ارائه داد، بیهوده شد.

آخرین مورد از این سلسله تلاش ها برای توضیح نظریه مجموعه ها شهودگرایی بود.

در تکامل خود چندین مرحله را طی کرد - نیمه شهودگرایی، شهودگرایی واقعی، فوق شهودگرایی. در مراحل مختلف، ریاضیدانان با مسائل مختلفی سروکار داشتند، اما یکی از مسائل اصلی ریاضیات، مسئله بی نهایت است. مفاهیم ریاضی بی نهایت و تداوم از زمان ظهور خود به عنوان موضوع تجزیه و تحلیل فلسفی (ایده های اتمیست ها، آپوریا زنون الئا، روش های بی نهایت کوچک در دوران باستان، حساب بی نهایت کوچک در دوران مدرن و غیره) مورد استفاده قرار گرفته اند. بیشترین مناقشه در استفاده از انواع بی نهایت (بالقوه، بالفعل) به عنوان اشیاء ریاضی و تفسیر آنها ایجاد شد. همه این مشکلات، به نظر ما، توسط یک مشکل عمیق تر ایجاد شد - نقش موضوع در دانش علمی. واقعیت این است که وضعیت بحران در ریاضیات توسط عدم قطعیت معرفت شناختی متناسب بین جهان شی (بی نهایت) و جهان سوژه ایجاد می شود. ریاضیدان به عنوان یک موضوع، این فرصت را دارد که ابزارهای شناخت را انتخاب کند - بی نهایت بالقوه یا بالفعل. استفاده از نامتناهی بالقوه به عنوان تبدیل شدن به او این فرصت را می دهد که بی نهایت ساخت و ساز را بسازد که می توان بالای سازه های متناهی ساخت، بدون داشتن گام نهایی، بدون تکمیل ساخت، فقط امکان پذیر است. استفاده از بی‌نهایت واقعی به او این فرصت را می‌دهد تا با بی‌نهایت به‌صورتی که از قبل قابل تحقق است، کار کند، در ساخت آن کامل، همانطور که در واقع در همان زمان داده شده است.

در مرحله نیمه شهودگرایی، مسئله بی نهایت هنوز مستقل نبود، بلکه با مسئله ساخت اشیاء ریاضی و روش هایی برای توجیه آن در هم آمیخته بود. نیمه شهودگرایی A. Poincaré و نمایندگان مکتب پاریسی نظریه توابع بائر، لبگ و بورل علیه پذیرش اصل انتخاب آزاد بود که با کمک آن قضیه زرملو اثبات می شود. بیان کرد که هر مجموعه ای را می توان کاملاً مرتب کرد، اما بدون نشان دادن روش نظری برای تعیین عناصر زیرمجموعه از انبوه های مورد نظر. هیچ راهی برای ساختن یک شیء ریاضی وجود ندارد و خود شیء ریاضی نیز وجود ندارد. ریاضیدانان معتقد بودند که وجود یا عدم وجود یک روش نظری برای ساخت دنباله ای از اشیاء تحقیق می تواند مبنایی برای توجیه یا رد این اصل باشد. در نسخه روسی، مفهوم نیمه شهودی در مبانی فلسفی ریاضیات در جهتی مانند کارآمدی توسعه یافت که توسط N.N. لوزین. کارایی مخالفت با انتزاعات اصلی دکترین کانتور در مورد مجموعه نامتناهی است - فعلیت، انتخاب، استقرای فرا متناهی و غیره.

برای کارآمدی، انتزاعات معرفت‌شناختی ارزشمندتر، انتزاع امکان‌پذیری بالقوه است تا انتزاع بی‌نهایتی واقعی. به لطف این، می توان مفهوم ترتیبی بینهایت (اعداد ترتیبی نامتناهی) را بر اساس مفهوم مؤثر رشد توابع معرفی کرد. نصب معرفت‌شناختی کارآمدی برای نمایش پیوستگی (مستمر) بر اساس میانگین‌های گسسته (حساب) و نظریه توصیفی مجموعه‌ها (توابع) ایجاد شده توسط N.N. شهودگرایی هلندی L.E.Ya، G. Weil، A. Heyting توالی‌های آزادانه در حال تکامل را به عنوان یک موضوع سنتی مطالعه می‌بیند. در این مرحله، شهود گرایان، با حل صحیح مسائل ریاضی، از جمله تجدید ساختار تمامی ریاضیات بر مبنایی جدید، پرسش فلسفی نقش ریاضیدان را به عنوان یک موضوع شناختی مطرح کردند. او در چه جایگاهی است که در انتخاب ابزار معرفت آزادتر و فعالتر است؟ شهودگرایان اولین (و در مرحله نیمه شهودگرایی) بودند که مفهوم بی نهایت واقعی، نظریه مجموعه ها کانتور را مورد انتقاد قرار دادند، و در آن نقض توانایی سوژه برای تأثیرگذاری بر روند جستجوی علمی برای راه حلی برای یک مشکل سازنده را مشاهده کردند. . در مورد استفاده از بی نهایت بالقوه، سوژه خود را فریب نمی دهد، زیرا برای او ایده بی نهایت بالقوه به طور شهودی بسیار واضح تر از ایده بی نهایت واقعی است. برای یک شهودگرا، شیئی وجود دارد که مستقیماً به ریاضیدان داده شود یا روش ساخت یا ساخت آن مشخص باشد. در هر صورت سوژه می تواند روند تکمیل تعدادی از عناصر مجموعه خود را آغاز کند. یک شیء ساخته نشده برای شهودگرایان وجود ندارد. در عین حال، سوژه ای که با بی نهایت واقعی کار می کند، از این فرصت محروم می شود و آسیب پذیری مضاعف موقعیت اتخاذ شده را احساس می کند:

1) این ساخت و ساز بی پایان هرگز نمی تواند تحقق یابد.
2) او تصمیم می گیرد با بی نهایت واقعی به عنوان یک شی محدود عمل کند و در این صورت ویژگی خود را از مفهوم بی نهایت از دست می دهد. شهودگرایی عمداً توانایی‌های ریاضیدان را با این واقعیت محدود می‌کند که او می‌تواند اشیاء ریاضی را منحصراً از طریق ابزارهایی بسازد که اگرچه با کمک مفاهیم انتزاعی به دست می‌آیند، اما مؤثر، قانع‌کننده، قابل اثبات، از نظر عملکرد سازنده هستند و عملاً و خود به طور شهودی مانند ساخت‌ها واضح هستند. ، ساخت و سازهایی که در قابلیت اطمینان آنها در عمل شکی وجود ندارد. شهودگرایی، بر اساس مفهوم بی نهایت بالقوه و روش های تحقیق سازنده، به ریاضیات شدن می پردازد، نظریه مجموعه ها به ریاضیات وجود اشاره دارد.

برای بروور شهودگرا، به عنوان نماینده تجربی گرایی ریاضی، منطق را ثانویه و قانون میانه حذف شده را نقد می کند.

او در آثار تا حدودی عرفانی خود حضور بی نهایت را انکار نمی کند، بلکه به فعلیت بخشیدن به آن، تنها بالقوه سازی را اجازه نمی دهد. نکته اصلی برای او تفسیر و توجیه ابزارهای منطقی کاربردی و استدلال ریاضی است. محدودیت اتخاذ شده توسط شهود گرایان بر عدم قطعیت استفاده از مفهوم بی نهایت در ریاضیات غلبه می کند و بیانگر تمایل به غلبه بر بحران در پایه ریاضیات است.

اولتراشهودگرایی (A.N. Kolmogorov، A.A. Markov و غیره) آخرین مرحله از رشد شهودگرایی است که در آن ایده های اصلی آن مدرن می شود، به طور قابل توجهی تکمیل و تغییر می یابد، بدون تغییر ماهیت، اما غلبه بر کاستی ها و تقویت جنبه های مثبت، با هدایت معیار دقت ریاضی نقطه ضعف رویکرد شهودگرایان درک محدود آنها از نقش شهود به عنوان تنها منبع توجیه درستی و کارآمدی روش های ریاضی بود. شهود گرایان با در نظر گرفتن «وضوح شهودی» به عنوان معیار حقیقت در ریاضیات، از نظر روش شناختی توانایی های ریاضیدان را به عنوان موضوع شناخت ضعیف کردند، فعالیت او را فقط به عملیات ذهنی مبتنی بر شهود کاهش دادند و تمرین را در فرآیند شناخت ریاضی لحاظ نکردند. برنامه فوق شهودی برای پایه و اساس ریاضیات یک اولویت روسیه است. بنابراین، ریاضیدانان داخلی، با غلبه بر محدودیت های شهودگرایی، روش شناسی مؤثر دیالکتیک ماتریالیستی را پذیرفتند، که عمل انسانی را به عنوان منبع شکل گیری مفاهیم ریاضی و روش های ریاضی (استنتاج، ساخت) می شناسد. فوق شهودگرایان مشکل وجود اشیاء ریاضی را حل کردند و دیگر بر مفهوم ذهنی غیرقابل تعریف شهود تکیه نکردند، بلکه بر تمرین ریاضی و مکانیسم خاصی برای ساختن یک شی ریاضی - الگوریتمی که توسط یک تابع قابل محاسبه و بازگشتی بیان می شود، تکیه کردند.

فرا شهودگرایی مزایای شهودگرایی را افزایش می دهد، که شامل امکان ترتیب و تعمیم روش ها برای حل مسائل سازنده مورد استفاده ریاضیدانان از هر جهت است. بنابراین، شهود گرایی مرحله آخر (فوق شهودگرایی) به سازه انگاری در ریاضیات نزدیک است. در بعد معرفت‌شناختی، ایده‌ها و اصول اصلی فراشهودگرایی به شرح زیر است: نقد بدیهیات کلاسیک منطق. استفاده و تقویت قابل توجه (بر اساس دستورات صریح A.A. Markov) از نقش انتزاع هویت (انتزاع ذهنی از ویژگی های غیر مشابه اشیاء و شناسایی همزمان ویژگی های مشترک اشیاء) به عنوان راهی برای ساختن و درک سازنده مفاهیم انتزاعی. و قضاوت های ریاضی؛ اثبات سازگاری نظریه های سازگار در جنبه صوری، استفاده از انتزاع شناسایی با سه ویژگی (بدیهیات) برابری آن - انعکاس پذیری، گذرا و تقارن توجیه می شود.

برای حل تناقض اصلی در ریاضیات در مورد مسئله بی نهایت، که باعث بحران پایه های آن شد، در مرحله فوق شهودگرایی در آثار A.N. کولموگروف با حل مسئله رابطه بین منطق کلاسیک و شهودی، ریاضیات کلاسیک و شهودی راه‌هایی برای خروج از بحران پیشنهاد کرد. شهودگرایی بروور به طور کلی منطق را انکار می‌کرد، اما از آنجایی که هیچ ریاضی‌دانی نمی‌تواند بدون منطق کار کند، تمرین استدلال منطقی همچنان در شهودگرایی حفظ می‌شد. S.K. کلین و آر. وسلی حتی خاطرنشان می کنند که ریاضیات شهودی را می توان در قالب حساب دیفرانسیل و انتگرال توصیف کرد، و حساب دیفرانسیل و انتگرال راهی برای سازماندهی دانش ریاضی بر اساس منطق، رسمی سازی و شکل آن - الگوریتم سازی است. نسخه جدیدی از رابطه بین منطق و ریاضیات در چارچوب الزامات شهودی برای وضوح شهودی قضاوت ها، به ویژه آنهایی که شامل نفی می شوند، A.N. کولموگروف چنین پیشنهاد کرد: او منطق شهودی را که ارتباط نزدیکی با ریاضیات شهودی دارد، در قالب یک حساب حداقلی ضمنی بدیهی از قضایا و محمولات ارائه کرد. بنابراین، دانشمند مدل جدیدی از دانش ریاضی را ارائه کرد، با غلبه بر محدودیت های شهودگرایی در شناخت تنها شهود به عنوان ابزار دانش و محدودیت های منطق گرایی، که امکانات منطق را در ریاضیات مطلق می کند. این موقعیت نشان دادن ترکیب شهودی و منطقی به عنوان مبنای عقلانیت انعطاف پذیر و اثربخشی سازنده آن را به شکل ریاضی ممکن کرد.

نتیجه گیری بنابراین، جنبه معرفت شناختی دانش ریاضی به ما امکان می دهد تغییرات انقلابی را در مرحله بحران پایه های ریاضیات در آستانه قرن 19-20 ارزیابی کنیم. از مواضع جدید در درک فرآیند شناخت، ماهیت و نقش موضوع در آن. موضوع معرفت‌شناختی نظریه سنتی معرفت، مربوط به دوره تسلط رویکرد نظریه مجموعه‌ها در ریاضیات، موضوعی انتزاعی، ناقص، «جزئی» است که در روابط موضوع-ابژه ارائه می‌شود و با انتزاعات، منطق از واقعیت جدا می‌شود. فرمالیسم، عقلاً، به لحاظ نظری موضوع خود را می شناسد و به عنوان آینه ای درک می کند که واقعیت را به دقت منعکس و کپی می کند. در اصل، سوژه به عنوان یک فرآیند واقعی و نتیجه تعامل با یک شی از شناخت کنار گذاشته شد. ورود شهودگرایی به عرصه مبارزه بین گرایش های فلسفی در ریاضیات منجر به درک جدیدی از ریاضیدان به عنوان یک موضوع دانش شد - فردی که می داند، که انتزاع فلسفی او باید از نو ساخته شود. ریاضیدان به عنوان یک موضوع تجربی ظاهر می شود که به عنوان یک شخص واقعی یکپارچه درک می شود، از جمله تمام آن ویژگی هایی که در موضوع معرفت شناختی انتزاع شده است - عینیت تجربی، تغییرپذیری، تاریخی بودن. این یک موضوع فعال و شناختی در دانش واقعی، یک موضوع خلاق، شهودی، مبتکر است. فلسفه ریاضیات شهودی به پایه و اساس پارادایم معرفتی مدرن تبدیل شده است که بر اساس مفهوم عقلانیت انعطاف پذیر ساخته شده است، که در آن فرد یک موضوع جدایی ناپذیر (مجموعه) شناخت است که دارای کیفیت ها، روش ها، رویه های جدید شناختی است. ماهیت و شکل انتزاعی- شناخت شناختی و منطقی- روش شناختی خود را ترکیب می کند و در عین حال درک وجودی- انسان شناختی و «تاریخی- متافیزیکی» را دریافت می کند.

نکته مهم نیز شهود در شناخت و به ویژه در شکل گیری مفاهیم ریاضی است. باز هم مبارزه ای با فلسفه وجود دارد، تلاش برای کنار گذاشتن قانون میانه حذف شده، به عنوان بی معنی در ریاضیات و ورود به آن از فلسفه. با این حال، وجود تأکید بیش از حد بر شهود و فقدان توجیهات ریاضی روشن اجازه نمی داد که ریاضیات به یک پایه محکم منتقل شود.

با این حال، پس از ظهور مفهوم دقیق یک الگوریتم در دهه 1930، ساخت‌گرایی ریاضی هدايت را از شهودگرایی گرفت، که نمایندگان آن سهم قابل توجهی در نظریه مدرن محاسبه‌پذیری داشتند. علاوه بر این، در دهه‌های 1970 و 1980، ارتباطات مهمی بین برخی از ایده‌های شهودگرایان (حتی آن‌هایی که قبلاً پوچ به نظر می‌رسیدند) و نظریه ریاضی توپوی کشف شد. ریاضیاتی که در برخی از توپوها یافت می شود بسیار شبیه به آن چیزی است که شهودگرایان سعی در ایجاد آن داشتند.

در نتیجه، می‌توانیم بیان کنیم: بیشتر پارادوکس‌های فوق به سادگی در نظریه مجموعه‌های دارای مالکیت شخصی وجود ندارند. این که آیا چنین رویکردی قطعی است یا نه، موضوعی بحث برانگیز است.

نتیجه

تحلیل دیالکتیکی-ماتریالیستی نشان می‌دهد که پارادوکس‌ها نتیجه دوگانگی زبان و تفکر، بیانی از دیالکتیک عمیق (قضیه گودل امکان تجلی دیالکتیک را در فرآیند شناخت می‌دهد) و مشکلات معرفت‌شناختی مرتبط با مفاهیم موضوع و حوزه موضوعی است. در منطق صوری، مجموعه (کلاس) در منطق و نظریه مجموعه ها، با استفاده از اصل انتزاع، که به ما امکان می دهد اشیاء جدید (انتزاعی) (بی نهایت)، با روش هایی برای تعریف اشیاء انتزاعی در علم و غیره معرفی کنیم. بنابراین، یک روش جهانی برای از بین بردن همه پارادوکس ها نمی توان ارائه داد.

اینکه آیا بحران سوم ریاضیات به پایان رسیده است (چون در رابطه علت و معلولی با پارادوکس ها بود، اکنون پارادوکس ها جزء جدایی ناپذیر هستند) - نظرات در اینجا متفاوت است، اگرچه پارادوکس های رسمی شناخته شده تا سال 1907 حذف شدند. با این حال، اکنون در ریاضیات شرایط دیگری وجود دارد که می توان آنها را بحران یا پیش بینی یک بحران در نظر گرفت (مثلاً عدم وجود توجیه دقیق برای انتگرال مسیر).

در مورد پارادوکس‌ها، نقش بسیار مهمی در ریاضیات توسط پارادوکس معروف دروغگو و همچنین یک سری از پارادوکس‌ها در نظریه مجموعه‌های به اصطلاح ساده‌لوح (آکسیوماتیک قبلی) ایفا می‌شود که باعث بحران مبانی (یکی از این پارادوکس ها نقش مهلکی در زندگی G. Frege داشتند. اما شاید یکی از دست کم گرفته‌شده‌ترین پدیده‌ها در ریاضیات مدرن، که به خوبی می‌توان آن را هم متناقض و هم انتقادی نامید، راه‌حل پل کوهن برای اولین مسئله هیلبرت در سال 1963 باشد. به عبارت دقیق تر، نه واقعیت خود تصمیم، بلکه ماهیت این تصمیم.

ادبیات

1. جورج کانتور. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Matheatische Annalen، 46:481--512، 1895.
2. که در. بورووا. پارادوکس های نظریه مجموعه ها و دیالکتیک. علم، 1976.
3. M.D. پاتر. نظریه مجموعه ها و فلسفه آن: مقدمه ای انتقادی. انتشارات دانشگاه آکسفورد، ثبت شده، 2004.
4. ژوکوف N.I. مبانی فلسفی ریاضیات. Mn.: Universitetskoe، 1990.
5. فاینمن R.F.، S. Ilyin. شما البته دارید شوخی می کنید، آقای فاینمن!: ماجراهای یک مرد شگفت انگیز که او به R. Layton گفت. کولیبری، 1387.
6. O. M. Mizhevich. دو راه برای غلبه بر پارادوکس ها در نظریه مجموعه های جی. کانتور. مطالعات منطقی و فلسفی، (3):279--299، 1384.
7. S. I. Masalova. فلسفه ریاضیات شهودی. بولتن DSTU، (4)، 2006.
8. چچولین V.L. نظریه مجموعه هایی با تعلق به خود (مبانی و برخی کاربردها). پرم. حالت دانشگاه - پرم، 2012.
9. اس.ان.ترونین. نکات سخنرانی مختصر در مورد رشته "فلسفه ریاضیات". کازان، 2012.
10. گریشین وی.ن.، بوچوار د.ا. تحقیق در مورد نظریه مجموعه ها و منطق غیر کلاسیک. علم، 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: این گلدسته بی پایان. بخرخ-م، 1380.
12. Kabakov F.A.، مندلسون E. مقدمه ای بر منطق ریاضی. انتشارات "علم"، 1976.
13. آره. بوچوار. در مورد پارادوکس های منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. مجموعه ریاضی، 57(3):369--384، 1944.

ویرایش، Gesammelte آبهندلونگن mathematischen und philosophischen استنشاق می کند, mit erlä uternden anmerkungen سووی mit ergä nzungen اوس دم مختصر کانتور- ددکیند، برلین، Verlag von Julius Springer، 1932

1. دوره توسعه (1845-1871)

گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتور، خالق نظریه مجموعه ها، یکی از بزرگترین پدیده های جدید در دنیای علم، در 19 فوریه هنر در سنت پترزبورگ متولد شد. سبک (3 مارس، سبک جدید) 1845 پدرش گئورگ ولدمار کانتور، که اصالتاً اهل کپنهاگ بود، در جوانی به سن پترزبورگ رسید. او یک دفتر کارگزاری در آنجا به نام خودش داشت، گاهی اوقات با نام «کانتور و شرکت». او که تاجری کوشا و موفق بود، به موفقیت های بزرگی دست یافت و پس از مرگش (1863) ثروت بسیار قابل توجهی از خود به جای گذاشت. ظاهراً هم در سن پترزبورگ و هم بعدها در آلمان از احترام بالایی برخوردار بود. به دلیل بیماری ریوی، در سال 1856 به همراه خانواده اش به آلمان نقل مکان کرد. در آنجا او به زودی فرانکفورت را به عنوان محل سکونت خود انتخاب کرد و در آنجا به عنوان اجاره نشین زندگی می کرد. مادر کانتور، ماریا، خواهرزاده بوهم، از خانواده‌ای بود که بسیاری از اعضای آن در زمینه‌های مختلف هنری استعداد داشتند. تأثیر او، بدون شک، در تخیل غنی پسرش آشکار شد. پدربزرگش، لودویگ بوهم، یک رهبر گروه بود. جوزف، برادر پدربزرگ، که در وین زندگی می کرد، معلم ویولونسل نواز مشهور یواخیم بود. برادر ماریا کانتور نیز یک موسیقی‌دان بود و خواهرش آنت یک دختر هنرمند داشت که در مدرسه هنر و صنایع دستی مونیخ تدریس می‌کرد. یک رگه هنری در برادر گئورگ کانتور، کنستانتین، که پیانیست با استعدادی بود، و در خواهرش سوفیا، که به ویژه به طراحی گرایش داشت، نیز مشهود است.

پسری با استعداد که به مدرسه ابتدایی در سن پترزبورگ رفت، خیلی زود تمایل شدیدی به شروع تحصیل در ریاضیات نشان داد. پدرش اما با این امر موافق نبود، زیرا شغل مهندس را از نظر درآمد امیدوارتر می دانست. پسر ابتدا اطاعت کرد. او مدتی در یک سالن ورزشی در ویسبادن و همچنین مدارس خصوصی در فرانکفورت آم ماین شرکت کرد. سپس در بهار 1859 وارد مدرسه واقعی استانی دوک نشین بزرگ هسن در دارمشتات شد که زبان لاتین نیز در آنجا تدریس می شد. از آنجا در سال 1860 به دوره عمومی مدرسه عالی صنایع دستی (بعدها مدرسه عالی فنی) منتقل شد. پدرش بر تحصیل او با تقاضاهای غیرمعمول بالا نظارت می کرد. او به پرورش انرژی، قدرت شخصیت و دینداری مادام العمر اهمیت خاصی می داد. او به ویژه بر اهمیت تسلط کامل بر زبان های اصلی مدرن تأکید کرد. پدرش به او دستور داد (در نامه ای به مناسبت تأیید در سال 1860) با وجود همه دشمنی ها محکم بایستد و همیشه به هدف خود برسد. این فراخوان بیش از یک بار توسط پسر در مواقع سختی به یادگار مانده است و شاید دقیقاً به خاطر تربیت این پدر است که روح خلاق او زودتر از موعد شکسته نشده و ثمره آن به آیندگان گم نشده است.

با گذشت زمان، جذابیت عمیق پسرش به ریاضیات نمی‌توانست بر پدرش تأثیر بگذارد که نامه‌های او نیز گواهی بر احترام او به علم است. در نامه ای از دارمشتات به تاریخ 25 مه 1862 و به نمایندگی از اولین نامه باقی مانده از کانتور، پسر قبلاً می توانست از پدرش برای تأیید برنامه هایش تشکر کند: «پدر عزیز! می توانید تصور کنید نامه شما چقدر مرا خوشحال کرد. آینده من را تعیین می کند من چند روز گذشته را در شک و تردید گذرانده ام. و نتوانست تصمیمی بگیرد. وظیفه و آرزو دائماً در تضاد بودند. حالا خوشحالم که می بینم با پیروی از تمایل خودم در انتخابم شما را ناراحت نمی کنم. امیدوارم، پدر عزیز، همچنان بتوانم تو را شاد کنم، زیرا روح من، تمام وجودم در دعوت من زندگی می کند. انسان آنچه را که می‌خواهد و می‌تواند انجام می‌دهد و صدای ناشناخته و مرموزش او را به سمت آنچه می‌کشاند!...»

در پاییز سال 1862، کانتور کلاس های درس را در زوریخ آغاز کرد، اما پس از ترم اول به دلیل مرگ پدرش، از آنجا رفت. از پاییز 1863، او ریاضیات، فیزیک و فلسفه را در برلین خواند، جایی که گروه سه گانه کومر، وایرشتراس و کرونکر بهترین استعدادها را به خود جلب کرد و ذهن دایره (در آن زمان نسبتاً باریک) شنوندگان را به جهات مختلف برانگیخت. او تنها ترم بهار سال 1866 را در گوتینگن گذراند. وایرشتراس بدون شک قوی ترین تأثیر را بر رشد علمی او داشت. قابل توجه و مشخصه گستردگی دیدگاه های وایرشتراس، قضاوت بدون تعصب و نافذ او، با چه درک دلسوزانه و چقدر زود از ایده های غیر متعارف شاگردش قدردانی کرد و بدین وسیله به احترام عمیقی که در طول زندگی خود، علی رغم گذشت، همواره به او نشان می داد، پاسخ داد. اختلاف نظرها در طول سالهای برلین، کانتور نه تنها عضو انجمن ریاضیات، بلکه عضو حلقه محدودتری از همکاران جوانی بود که هر هفته در میخانه رمل ملاقات می کردند. به این حلقه تعلق داشت، بدون احتساب مهمانان گاه به گاه، هنوخ (ناشر آینده «فورتشریت» («موفقیت ها»))، لامپ، مرتنس، ماکس سیمون، توم، به ویژه در میان رفقای او بودند در دانشگاه برلین G. A. Schwartz بود که پس از آن دو سال بزرگتر بود. دانشجویان در برابر آنها، مانند کرونکر، دانشجوی بیست و دو ساله، از پایان نامه خود در دانشگاه برلین دفاع کرد، که از مطالعه عمیق Disquisitiones arithmeticae ("مطالعات در حساب") و "نظریه اعداد" لژاندر ناشی شد. و توسط دانشکده به عنوان "dissertatio docta et ingeniosa" ("استدلال علمی و شوخ") ارزیابی شد * این کار در مجاورت فرمول گاوس برای حل معادله دیوفانتین است تبر 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; رابطه خاصی را ایجاد می کند که گاوس به صراحت بیان نمی کند. بحث مفصلی در مورد کار کانتور در شرح حال مفصلی که من درباره او نوشتم، در Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung، جلد 39 (1930)، صفحات 189-266، و همچنین در کتابی جداگانه آمده است: "Georg Cantor". لایپزیگ و برلین، 1930; آن را به اولیای خود (در عین حال به اولیای برادر و خواهرش) تقدیم کرد. در امتحان شفاهی او "مجزای افتخار" ("با تمایز ویژه") دریافت کرد. از سه پایان نامه ای که او برای دفاع از خود ارائه کرد، سومین پایان نامه به ویژه مشخص است: «In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi» (در ریاضیات، هنر طرح سؤال مهمتر از هنر حل آنها است». حتی نتایجی که او در نظریه مجموعه‌ها به‌دست آورد، از نظر اهمیت کمتر از سؤالات بیانیه‌های انقلابی است که تأثیرشان از مرزهای نوشته‌های خودش فراتر رفته است.

به نظر می رسد که کانتور برای مدت کوتاهی در برلین در یک مدرسه دخترانه تدریس کرده است. در هر صورت، در سال 1868، پس از قبولی در امتحان دولتی، وارد مدرسه علمیه معروف شلباخ شد که معلمان ریاضیات را تربیت می کرد.

پایان نامه دکترا، که به کانتور این فرصت را داد تا در بهار 1869 یک دانشجوی خصوصی در دانشگاه هال شود، همراه با چندین یادداشت کوچک منتشر شده در 1868-1872، به اولین دایره محاسباتی علایق او تعلق دارد، که به ندرت به آن علاقه داشت. با این حال، این مطالعات نظریه اعداد تحت رهبری و تایید کرونکر تنها یک قسمت تصادفی برای کانتور نبودند. برعکس، او تأثیر عمیق درونی این رشته را با صفا و لطف خاص آن تجربه کرد. این را همراه با اولین تز سومی که او برای دفاع ارائه کرد، گواه است: «Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere» («اعداد صحیح، مانند اجرام آسمانی، به عنوان یک کل واحد، متصل تفسیر می شوند. توسط قوانین و روابط "). برقراری ارتباط بین توابع مختلف نظری اعداد و تابع زتای ریمان (در مجاورت کار ریمان در مورد اعداد اول) نیز به زمان های اولیه باز می گردد، شاید قبلاً به این دوره. این اثر توسط کانتور تنها در سال 1880 و تحت تأثیر یادداشت لیپچیتز در Comptes Rendus پاریس ("گزارش ها") منتشر شد. علایق نظری اعداد بیشتر کانتور، علاوه بر جدول عددی او، با طرحی که تا سال 1884 نیز باقی ماند، اما اجرا نشد، نشان داده می‌شود، برای انتشار اثری در مورد فرم‌های درجه دوم در Acta Mathematica.

ای. هاینه، که در زمانی که کانتور در آنجا از پایان نامه خود دفاع می کرد، یک استاد معمولی در هاله بود، بلافاصله متوجه شد که در همکار جوانش، هوشیاری فوق العاده ذهنی با خوشحالی با تخیل غنی ترکیب شده است. از اهمیت تعیین کننده این واقعیت بود که هاینه، بلافاصله پس از نقل مکان کانتور به هال، او را تشویق کرد تا نظریه سری های مثلثاتی را مطالعه کند. کار غیرتمندانه روی این موضوع نه تنها منجر به تعدادی دستاورد مهم شد، بلکه کانتور را در مسیر تئوری مجموعه‌های نقطه‌ای و اعداد ترتیبی نامتناهی سوق داد. آثار، و به روشن کردن یکی از اظهارات ریمان در مورد سری مثلثاتی (و جدل همراه با Appel که در آن مفهوم همگرایی یکنواخت به تفصیل مورد بحث قرار گرفت) اختصاص دارد. کانتور در کار خود قضیه ای را در مورد منحصر به فرد بودن نمایش مثلثاتی اثبات می کند * جای تعجب است که کرونکر، که در ابتدا نگرش مثبتی نسبت به قضیه منحصربه‌فرد بودن کانتور داشت (ر.ک.)، متعاقباً این نتیجه را کاملاً نادیده می‌گیرد. به عنوان مثال، در "Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale" ("سخنرانی در مورد نظریه انتگرال های ساده و چندگانه") (1894) او مسئله یگانگی را همچنان باز مطرح می کند!. او به دنبال تعمیم این نتیجه است و هر گونه فرضی در مورد رفتار سریال در مجموعه ای استثنایی را کنار می گذارد. این امر او را وادار می‌کند که در کار خود طرحی مختصر از ایده‌هایی ارائه کند که «ممکن است برای روشن کردن روابطی که در همه مواردی که مقادیر عددی به تعداد متناهی یا نامتناهی داده می‌شوند، مفید باشد. از نظم محدود) معرفی می شوند. برای این منظور، کانتور، از یک سو، نظریه خود را در مورد اعداد غیر منطقی توسعه می دهد * . در کار هاینه "عناصر نظریه توابع" (J. Math., 74, pp. 172-188, 1872) اعداد غیر منطقی دقیقاً به دنبال ایده های کانتور معرفی شده اند. چهارشنبه مقدمه ای بر مقاله هاینه و همچنین اثر کانتور "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("به سوی دکترین گذرا")، پیروی از نظریه مجموعه ها، که نام او را جاودانه کرد، جایی که اعداد غیر منطقی به عنوان سری های اساسی در نظر گرفته می شوند. از سوی دیگر، برای گذار به هندسه، او بدیهیات ویژه ای (اصول کانتور) را معرفی می کند که به طور همزمان و مستقل با فرمول کمی متفاوت در کتاب ددکیند «تداوم و اعداد غیر منطقی» ظاهر شد.

یکی از نقاط عطف مهم در تاریخ اندیشه بشر به شمار می رود. تئوری مجموعه ها، که او ایجاد کرد، سنگ بنای ریاضیات مدرن است.

گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتوردر 3 مارس 1845 در سن پترزبورگ به دنیا آمد، جایی که اندکی قبل از تولد پدرش، یک تاجر ثروتمند دانمارکی، به آنجا مهاجرت کرد. به دلیل بیماری ریوی، پدرش مجبور شد دوباره در سال 1856 مهاجرت کند، این بار به فرانکفورت. در آنجا بود که گئورگ در چندین مدرسه خصوصی تحصیل کرد. در سن 15 سالگی در مدرسه ویسبادن پذیرفته شد.

کانتور زود گرمی نشان داد علاقه به ریاضیات. در سال 1862، تحصیل ریاضیات را همراه با فلسفه و فیزیک در دانشگاه برلین آغاز کرد.

اساتیدش آنجا بودند لئوپولد کرونکر (1823-1891), ارنست کومر(1810-1893) و کارل وایرشتراس(1815-1897). دومی بیشترین تأثیر را بر او داشت، و کرونکر، که اصول نظریه اعداد را به او آموخت، متعاقباً به سخت‌گیرترین منتقد ایده‌های کانتور تبدیل شد. در سال 1867، کانتور دکترا گرفت، و دو سال بعد - یک موقعیت در دانشگاه هال، یک مرکز آموزشی نسبتا مهم در کشور، که هنوز در میان معتبرترین در آلمان نبود. او به عنوان استاد کمکی شروع به کار کرد، به این معنی که دستمزد او به تعداد دانش‌آموزان کلاس‌هایش بستگی داشت. تنها در سال 1879 او مقام استاد تمام را دریافت کرد.

کانتور در 29 سالگی با والی گاتمن ازدواج کرد و اولین کتاب خود را منتشر کرد روی تئوری مجموعه ها کار کنیددر مجله ریاضیات محض و کاربردی که توسط آگوست کرل تأسیس شد. او در این کار یک واقعیت شگفت انگیز را ثابت کرد: با وجود اینکه مجموعه اعداد گویا روی خط متراکم است، قابل شمارش است، یعنی تعداد عناصر موجود در آن از تعداد اعداد طبیعی تجاوز نمی کند. او همچنین ثابت کرد (در نهایت در سال 1891 اثبات را رسمی کرد) که از این نظر اعداد حقیقی خاص هستند، زیرا بین مجموعه واقعیات و مجموعه اعداد طبیعی مطابقت یک به یک وجود ندارد. این اولین تلاش برای هجوم به قلعه ای به نام "بی نهایت" بود.

سال 1877 نیز برای کانتور بسیار مهم شد: در آن زمان بود که او ثابت کرد که بر خلاف تصور رایج، می توان بین یک خط مستقیم و یک صفحه برقرار کرد. مکاتبات یک به یک. همانطور که در سال 1874، کانتور همچنین این مقاله را به مجله کرل فرستاد.

این مقاله با مقاومت سرسختانه کرونکر، یکی از سردبیران مجله مواجه شد، که توانست انتشار آن را تا سال آینده به تعویق بیندازد. کرونکر یکی از مخالفان سرسخت بی‌نهایت بود و آن را تنها به‌عنوان پیشینه‌ای کوتاه از فرآیندهای مکرر تشخیص داد. برعکس، کانتور، دنیایی پر از بی‌نهایت‌های واقعی را مطالعه می‌کرد، و هر بار بی‌نهایت‌های ساختاری پیچیده‌تر را در نظر می‌گرفت، برای مثال، اعداد نامتناهی، که در سال های بلوغ به طور مستمر روی آن کار می کرد.

همه چیز نشان می دهد که کانتور از بیماری رنج می برد که اکنون سندرم شیدایی- افسردگی نامیده می شود - یک بیماری درون زا که در آن فازهای سرخوشی با افسردگی جایگزین می شود.

کانتور در 20 سال آخر زندگی خود به طور دوره ای در کلینیک های روانپزشکی تحت درمان قرار گرفت و به میل خود به آنجا رفت. این امر مانع از ادامه کار و انتشار نظریه های خود در فواصل بین دوره های درمانی نشد. آخرین بار در سال 1917 در یک کلینیک قرار گرفت - تنها باری که برخلاف میل او بود. کانتور در نامه های خود از سرما، تنهایی و غذای بد گله می کرد. علیرغم این واقعیت که در آن زمان نظریه های او قبلاً گسترده شده بود شناخت جامعه علمی، در 6 ژانویه 1918 به تنهایی و در شرایط واقعاً افسرده ای درگذشت.

از جمله بی نهایت، با توجه به "قدرت" آنها (تعمیم مفهوم کمیت) از طریق مفهوم تناظر یک به یک بین مجموعه ها. او مجموعه ها را بر اساس اصل آنها طبقه بندی کرد، مفاهیم اعداد اصلی و ترتیبی و حسابی اعداد اصلی و ترتیبی را تعریف کرد.

گئورگ اولین فرزند و بزرگترین فرزند شش فرزند بود. ویولن را استادانه می نواخت و استعدادهای هنری و موسیقی قابل توجهی را از والدینش به ارث برده بود. پدر خانواده در سال 1851 در مورد پسرش نوشت: "." هنگامی که پدر بیمار شد، خانواده، با حساب کردن روی آب و هوای معتدل‌تر، در سال 1856 به آلمان نقل مکان کردند: ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت.

او طبیعتاً دارای میل به نظم است که بر هر چیز دیگری غالب است.

در سال 1860، گئورگ با ممتاز از مدرسه واقعی دارمشتات فارغ التحصیل شد. معلمان به توانایی استثنایی او در ریاضیات، به ویژه مثلثات اشاره کردند. در سال 1862 وارد شد. یک سال بعد پدرش درگذشت. پس از دریافت ارث قابل توجهی، گئورگ به دانشگاه هومبولت برلین منتقل شد و در آنجا شروع به شرکت در سخنرانی های دانشمندان مشهوری مانند لئوپولد کرونکر، کارل وایرشتراس و ارنست کومر کرد. او تابستان 1866 را در دانشگاه گوتینگن، بزرگترین مرکز تفکر ریاضی آن زمان، گذراند. در سال 1867، دانشگاه برلین به دلیل کارش در زمینه نظریه اعداد، مدرک دکترای فلسفه را به او اعطا کرد. "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

پس از مدت کوتاهی به عنوان معلم در یک مدرسه دخترانه برلین، کانتور در دانشگاه مارتین لوتر هاله، جایی که تمام دوران حرفه‌ای خود را در آنجا گذراند، مشغول به کار شد. او توانایی لازم برای تدریس برای پایان نامه خود را در نظریه اعداد دریافت کرد. در سال 1872، کانتور با ریچارد ددکیند آشنا شد که دوست صمیمی و همفکر او شد. بسیاری از ایده های کانتور در مکاتبه با ددکیند مورد بحث قرار گرفت.

در مقاله ای در سال 1872، کانتور نسخه ای از منطق نظریه اعداد واقعی را ارائه کرد. در مدل او، یک عدد واقعی به عنوان کلاس دنباله‌های اساسی اعداد گویا تعریف می‌شود. برخلاف تعریف کلی نیوتنی که قبلاً از حساب جهانی پذیرفته شده بود، رویکرد کانتور کاملاً ریاضی بود، بدون ارجاع به هندسه یا سایر روش‌های اندازه‌گیری. نسخه دیگری، آن هم کاملاً ریاضی، در همان سال توسط Dedekind منتشر شد (این نسخه بر اساس "بخش های Dedekind" بود، ببینید).

در سال 1874 کانتور با والی گوتمن ازدواج کرد. والی گاتمن). آنها 6 فرزند داشتند که آخرین آنها در سال 1886 (4 دختر و دو پسر) به دنیا آمد. کانتور علیرغم دستمزد آکادمیک متوسطی که داشت، به لطف ارثی که از پدرش دریافت می کرد، توانست زندگی راحت را برای خانواده خود فراهم کند. زندگی نامه نویسان خاطرنشان می کنند که کانتور حتی در طول ماه عسل خود در کوه های هارتز، زمان زیادی را با دوست خود ددکیند صرف مکالمات ریاضی کرد. در همان سال 1874، کانتور مقاله ای در مجله Krelle منتشر کرد که در آن مفهوم توان یک مجموعه را معرفی کرد و نشان داد که اعداد گویا به اندازه اعداد طبیعی و اعداد واقعی بسیار بیشتری وجود دارد (به توصیه وایرشتراس، این نتیجه گیری انقلابی در مقاله نرم شد).

کانتور در سال 1872 به سمت استاد مدعو ارتقا یافت و در سال 1879 استاد تمام شد. دریافت این عنوان در سن 34 سالگی موفقیت بزرگی بود، اما کانتور رویای موقعیتی در دانشگاه معتبرتری را در سر می پروراند، به عنوان مثال، برلین - در آن زمان دانشگاه پیشرو آلمان بود، اما نظریه های او با انتقادات جدی مواجه شد و این انتقال. به جای دیگری قابل تحقق نیست.

در سال 1877، کانتور نتیجه شگفت انگیزی به دست آورد که در نامه ای به ددکیند گزارش داد: مجموعه نقاط روی یک قطعه و نقاط روی یک مربع، بدون توجه به طول قطعه و عرض آن، کاردینالیته (پیوستگی) یکسانی دارند. مربع. در همان زمان، او "فرضیه پیوسته" را فرموله کرد و ناموفق تلاش کرد. اولین مقاله کانتور که این نتایج کلیدی را بیان می کرد در سال 1878 منتشر شد، با عنوان " به دکترین انواع"(مدت، اصطلاح تعداد زیاد و متنوعکانتور بعداً آن را جایگزین کرد یک دسته از). انتشار مقاله به درخواست کرونکر خشمگین، که ریاست دپارتمان ریاضیات دانشگاه برلین را بر عهده داشت، بارها به تعویق افتاد. کرونکر که پیشرو ریاضیات سازنده به حساب می‌آید، با نظریه مجموعه‌های کانتور مخالف بود، زیرا اثبات‌های آن اغلب غیرسازنده هستند، بدون اینکه مثال‌های خاصی بسازند. کرونکر مفهوم بی نهایت واقعی را پوچ می دانست.

کانتور متوجه شد که موقعیت کرونکر حتی به او اجازه نمی دهد دانشگاه گال را ترک کند. خود کانتور همان عقیده ای بود که اکثر ریاضیدانان مدرن دارند: هر شیء ریاضی ثابت باید معتبر و موجود در نظر گرفته شود.

نظریه مجموعه کانتور با انتقاد شدید تعدادی از ریاضیدانان مشهور معاصر - هانری پوانکاره مواجه شد. بعدها - هرمان ویل و لوتزن بروور (ق.و.). آنها به یاد آوردند که قبل از کانتور، همه بزرگان ریاضیات، از ارسطو تا گاوس، بی نهایت واقعی را یک مفهوم علمی غیرقابل قبول می دانستند. این وضعیت با کشف تضادهای فاجعه بار در نسخه اول نظریه مجموعه ها تشدید شد. انتقاد گاهی اوقات بسیار تهاجمی بود: برای مثال، پوانکاره «کانتوریسم» را بیماری جدی خواند که علوم ریاضی را مبتلا کرده است و ابراز امیدواری کرد که نسل‌های آینده از آن درمان شوند. و در بیانیه‌های عمومی و حملات شخصی کرونکر علیه کانتور، القاب‌هایی مانند «شارلاتان علمی»، «مرتد» و «فساد جوانی» ظاهر می‌شد.

انتقاد تند برخی از ریاضیدانان برجسته با شهرت جهانی و تأیید دیگران مقابله کرد. در سال 1904، انجمن سلطنتی لندن به کانتور بالاترین جایزه ریاضی خود، مدال سیلوستر را اعطا کرد. خود کانتور معتقد بود که نظریه اعداد نامتناهی از بالا به او ابلاغ شده است. برتراند راسل نظریه مجموعه ها را به عنوان "یکی از موفقیت های بزرگ عصر ما" ستود و دیوید هیلبرت کانتور را "نابغه ریاضی" نامید و اعلام کرد: "هیچکس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور خلق کرده است بیرون کند."

در سال 1881، ادوارد هاین، همکار کانتور درگذشت و این موقعیت را خالی گذاشت. مدیریت دانشگاه پیشنهاد کانتور را برای دعوت از ریچارد ددکیند، هاینریش وبر یا فرانتس مرتنز (به ترتیب) برای این پست پذیرفت، اما با ناراحتی کانتور، همه آنها نپذیرفتند. در نتیجه او این پست را گرفت. در سال 1882، ارتباط کانتور با ددکیند قطع شد، احتمالاً در نتیجه نارضایتی ددکیند از امتناع او از پست خود در هاله.

در سال 1883، کانتور مقاله کلیدی را در کار خود با عنوان "مبانی دکترین عمومی تنوع" منتشر کرد. در همان زمان، مکاتبات فعالی را با یک ریاضیدان برجسته آن زمان، گوستا میتاگ لفلر، که در سوئد زندگی می کرد، آغاز کرد و به زودی شروع به انتشار در مجله خود کرد. "ریاضیات اکتا". با این حال، در سال 1885، میتاگ لفلر در مورد مفاهیم فلسفی و اصطلاحات جدید در مقاله ای که توسط کانتور برای انتشار به او فرستاده بود، نگران شد و از کانتور خواست که مقاله خود را در حالی که هنوز در حال تصحیح بود پس بگیرد و نوشت که مقاله "حدود صد سال جلوتر از زمان خود". کانتور موافقت کرد که مقاله را پس بگیرد، اما دیگر هرگز Acta Mathematicaمنتشر نشد و به طور ناگهانی روابط و مکاتبات خود را با میتاگ لفلر قطع کرد. کانتور اولین دوره افسردگی خود را آغاز کرد و بیش از پنج سال کانتور به جز چند مقاله فلسفی چیزی منتشر نکرد و خود را به تدریس محدود کرد.

بلافاصله پس از بازیابی (1889)، کانتور بلافاصله چندین اضافات مهم به نظریه خود کرد، به ویژه، او با روش مورب ثابت کرد که مجموعه همه زیرمجموعه های اعداد طبیعی غیرقابل شمارش هستند، اما او هرگز به همان سطح بالایی از بهره وری دست پیدا نکرد. او در 1874-1884 داشت. در پایان، او با پیشنهاد صلح به کرونکر نزدیک شد که او با رضایت پذیرفت. با این حال، تفاوت ها و مشکلات فلسفی که آنها را از هم جدا می کرد، باقی ماند. در این میان، برخی از ریاضیدانان، به ویژه جوانان، نظریه مجموعه ها را پذیرفتند، شروع به توسعه آن کردند و آن را برای حل مسائل مختلف به کار گرفتند. از جمله - ددکیند، گیلبرت، فلیکس برنشتاین 1891; در آن زمان شهرت او حتی با وجود مخالفت کرونکر بسیار قوی بود و کانتور در نهایت به عنوان اولین رئیس جامعه انتخاب شد. کانتور از کرونکر برای سخنرانی دعوت کرد، اما به دلیل مرگ غم انگیز همسرش نتوانست این پیشنهاد را بپذیرد.

حملات دوره ای مکرر افسردگی از سال 1884 تا پایان دوران کانتور برای مدتی معاصران او را به دلیل اتخاذ موضعی بیش از حد تهاجمی سرزنش می کرد، اما اکنون اعتقاد بر این است که این حملات به احتمال زیاد توسعه بیماری روانی بوده است.

مقاله ای در سال 1892 روش معروف مورب کانتور را برای اولین بار معرفی کرد. آخرین کار، نوعی وصیت دانشمند، مقاله "درباره اثبات آموزه مجموعه های بینهایت" (در دو بخش، 1895-1897) بود. این یکی از معروف ترین آثار کانتور است و علاوه بر نتایج قبلی در نظریه مجموعه ها، سلسله مراتبی از الف ها را می سازد.

در سال 1897، کانتور مکاتبات فشرده ای را با هیلبرت در مورد اولین تناقض کشف شده در نظریه مجموعه ها آغاز کرد - پارادوکس بورالی-فورتی، که هیلبرت را به شدت نگران کرد. کانتور این عقیده را بیان کرد که در نظریه مجموعه ها باید بین دو نوع مفهوم تمایز قائل شد - گذرا و مطلق (" غیر قابل دسترس«به قول او) از این میان، تنها اولی متمایل به عقل بشری است و در رابطه با دومی، تنها تقریبی برای درک آنها ممکن است. هیلبرت با این متافیزیک قانع نشد، به نظر او، هیچ مشکل ریاضی غیرقابل حلی وجود ندارد و نمی تواند باشد. بحث دو سال ادامه یافت و به نتیجه نرسید. راه‌حل پارادوکس‌ها (که البته عموماً پذیرفته نشد) تنها 30 سال بعد پیدا شد، پس از اینکه «نظریه مجموعه‌های ساده‌لوحانه» کانتور با یک نظریه بدیهی جایگزین شد، که مجموعه‌های «غیرقابل دسترس» را از فهرست مفاهیم حقوقی حذف کرد.

در دسامبر 1899، پسر 13 ساله کانتور درگذشت. بیماری روانی کانتور بدتر شد. تا سال 1913، کانتور به تدریس در دانشگاه ادامه داد (گاهی اوقات استراحت های طولانی برای درمان می گرفت)، سپس بازنشسته شد. علایق او پس از 1899 عمدتاً به فلسفه لایب نیتس و مسئله تألیف نمایشنامه های شکسپیر مربوط می شد که کانتور سال ها به آن علاقه مند بود.

گئورگ کانتور در 6 ژانویه 1918 بر اثر حمله قلبی در بیمارستان روانی هاله درگذشت.

شغل کانتور جورج کانتور: ریاضیدان
تولد: روسیه» سن پترزبورگ، 3.3.1845 - 6.1
گئورگ کانتور دانشمند و ریاضیدان بزرگ آلمانی است. گئورگ کانتور در 3 مارس 1845 به عنوان خالق «نظریه مجموعه ها» و نویسنده قضیه کانتور شناخته می شود. علاوه بر این، گئورگ کانتور مفاهیم اعداد اصلی و ترتیبی و محاسبات آنها را تعریف کرد، مفهوم تناظر یک به یک بین عناصر مجموعه ها را معرفی کرد، تعاریفی از مجموعه های نامتناهی و مرتب ارائه کرد و ثابت کرد که تعداد اعداد واقعی بیشتر از اعداد طبیعی و غیره

خانواده گئورگ کانتور (1845-1918) زمانی که او هنوز کودک بود از روسیه به آلمان نقل مکان کردند. در آنجا بود که او شروع به مطالعه ریاضیات کرد. او پس از دفاع از پایان نامه خود در مورد تئوری اعداد در سال 1868، دکترای خود را در دانشگاه برلین دریافت کرد. در سن 27 سالگی، کانتور مقاله ای را منتشر کرد که حاوی نتیجه گیری کلی یک مسئله ریاضی بسیار دشوار بود - و ایده هایی که بعداً به نظریه معروف او تبدیل شد - نظریه مجموعه ها. او در سال 1878 سیستم مهمی از مفاهیم جدید را معرفی و تدوین کرد، تعریف مجموعه و اولین تعریف از پیوستار را ارائه داد و اصول مقایسه مجموعه ها را توسعه داد. او در سال‌های 1879-1884 اصول دکترین بی‌نهایت خود را به طور منظم توضیح داد.

اصرار کانتور بر تحلیل بی نهایت به عنوان چیزی که در واقع داده شده است، خبر خوبی برای آن زمان بود. کانتور نظریه خود را به عنوان یک حساب کاملاً جدید از ریاضیات نامتناهی، «متناهی» (یعنی «فوق متناهی») در نظر گرفت. بر اساس ایده او، ایجاد چنین حساب دیفرانسیل و انتگرال قرار بود نه تنها ریاضیات، بلکه متافیزیک و الهیات را نیز متحول کند، که کانتور تقریباً بیش از خود تحقیقات علمی علاقه مند بود. او تنها ریاضیدان و فیلسوفی بود که معتقد بود بی نهایت واقعی نه تنها وجود دارد، بلکه برای انسان کاملاً قابل درک است و این درک، ریاضیدانان و پس از آنها متکلمان را به خدا بالاتر و نزدیکتر خواهد برد. وجود خود را وقف این کار کرد. این دانشمند به شدت معتقد بود که خداوند او را برای ایجاد انقلابی بزرگ در علم برگزیده است و این عقیده توسط بینش های عرفانی پشتیبانی می شود. تلاش غول‌پیکر گئورگ کانتور، اگرچه به طور کلی، به طرز عجیبی به پایان رسید: در تئوری، غلبه بر پارادوکس‌های دشوار کشف شد که اهمیت ایده مورد علاقه کانتور - «نردبان آلف‌ها» را که مجموعه‌ای متوالی از اعداد نامتناهی است، مورد تردید قرار می‌داد. (این اعداد به طور گسترده در نامی که او اتخاذ کرد شناخته شده است: به شکل حرف الف - اولین حرف الفبای عبری.)

غیرمنتظره بودن و اصالت دیدگاه او، با وجود تمام مزایای رویکرد، منجر به رد شدید کار او توسط اکثر دانشمندان شد. او برای دهه‌ها مبارزه سرسختانه‌ای با تقریباً همه هم‌عصران، فیلسوفان و ریاضی‌دانان خود که مشروعیت ساختن ریاضیات را بر اساس بی‌نهایت واقعی انکار می‌کردند، انجام داد. برخی این را به عنوان یک چالش در نظر گرفتند، زیرا کانتور فرض می‌کرد که مجموعه‌ها یا دنباله‌هایی از اعداد با تعداد نامتناهی عنصر وجود دارد. پوانکاره، ریاضیدان معروف، نظریه اعداد نامتناهی را «بیماری» نامید که ریاضیات باید روزی از آن درمان شود. L. Kronecker - معلم کانتور و یکی از معتبرترین ریاضیدانان آلمان - علاوه بر این، به کانتور حمله کرد و او را "شارلاتان"، "مرغد" و "آزار جوان" خواند! تنها در سال 1890، زمانی که کاربردهای نظریه مجموعه ها در تجزیه و تحلیل و هندسه به دست آمد، مفهوم کانتور به عنوان شاخه ای مستقل از ریاضیات شناخته شد.

مهم است که توجه داشته باشید که کانتور در ایجاد یک انجمن حرفه ای - انجمن ریاضی آلمان، که توسعه ریاضیات را در آلمان ترویج کرد، کمک کرد. او معتقد بود که حرفه علمی او از تعصب نسبت به کارش رنج می برد، و امیدوار بود که یک سازمان مستقل به ریاضیدانان جوان اجازه دهد تا مستقلاً قضاوت کنند و ایده های جدید را توسعه دهند. او همچنین آغازگر برگزاری اولین کنگره بین المللی ریاضی در زوریخ بود.

کانتور با تناقضات نظریه خود و مشکلات پذیرش آن مشکل داشت. از سال 1884 دچار افسردگی عمیق شد و پس از چند سال از فعالیت علمی کناره گرفت. کانتور بر اثر نارسایی قلبی در بیمارستان روانی در هاله درگذشت.

کانتور وجود سلسله مراتبی از نامتناهی ها را ثابت کرد که هر یک از آنها "بزرگتر" از قبلی است. مفهوم مجموعه‌های بینهایت او که سال‌ها از تردیدها و حملات جان سالم به در برده بود، در نهایت به یک نیروی انقلابی عظیم در ریاضیات قرن بیستم تبدیل شد. و سنگ بنای آن شد.