در 3 مارس 1845 در سن پترزبورگ متولد شد و تا سن 11 سالگی در آنجا بزرگ شد. پدر خانواده یکی از اعضای بورس اوراق بهادار سن پترزبورگ بود. هنگامی که او بیمار شد، خانواده، که روی آب و هوای معتدل‌تری حساب می‌کردند، در سال 1856 به آلمان نقل مکان کردند: ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت. در سال 1860، گئورگ با ممتاز از مدرسه واقعی دارمشتات فارغ التحصیل شد. معلمان به توانایی استثنایی او در ریاضیات، به ویژه، در مثلثات اشاره کردند. او تحصیلات خود را در موسسه فدرال پلی تکنیک زوریخ ادامه داد. یک سال بعد، پس از مرگ پدرش، گئورگ ارثی دریافت کرد و به دانشگاه برلین منتقل شد. او در آنجا در سخنرانی های کرونکر، وایرشتراس، کومر شرکت می کند. کانتور تابستان 1866 را در دانشگاه گوتینگن، مرکز مهم تفکر ریاضی، گذراند. در سال 1967 دکترای خود را در برلین برای کارش در نظریه اعداد "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" دریافت کرد.

پس از مدت کوتاهی به عنوان معلم در یک مدرسه دخترانه در برلین، کانتور در دانشگاه مارتین لوتر گال منصوب شد و تمام دوران حرفه‌ای خود را در آنجا سپری کرد. در سال 1872، او استادیار شد، در همان زمان، در طول تعطیلات خود، با ریچارد ددکیند دوستی کرد. کانتور در 34 سالگی استاد ریاضیات شد. در 1879-1884 او به طور سیستماتیک دکترین بی نهایت خود را توضیح می دهد. "مفاهیم نقطه حدی، مجموعه مشتق شده را معرفی کرد، نمونه ای از مجموعه کامل را ساخت، یکی از نظریه های اعداد غیر منطقی را توسعه داد، یکی از بدیهیات پیوستگی را فرموله کرد." با وجود چنین حرفه ای موفق، او رویای یک موقعیت در دانشگاه معتبرتری مانند برلین را در سر می پروراند. با این حال، رویاها به حقیقت نمی پیوندند: بسیاری از معاصران، از جمله کرونکر، که اکنون به عنوان یکی از بنیانگذاران ریاضیات سازنده در نظر گرفته می شود، با نظریه مجموعه های کانتور دشمنی دارند، زیرا وجود مجموعه هایی را که ویژگی های خاصی را برآورده می کنند - بدون ارائه نمونه های خاصی از آن ادعا می کند. مجموعه هایی که عناصر آنها در واقع این ویژگی ها را برآورده می کند.

در سال 1984، کانتور یک دوره افسردگی عمیق را تجربه کرد و برای مدتی از ریاضیات دور شد و علایق خود را به سمت فلسفه تغییر داد. سپس به سر کار برمی گردد. در سال 1897 کار علمی را متوقف می کند. کانتور در 6 ژانویه 1918 در هاله درگذشت.

یکی از مشکلات فوری قرن 19، مشکل تقسیم بی نهایت بخش ها و وجود نقطه ای بود که متعلق به همه این بخش های قراردادی بود. این مشکل نیاز به مفهوم یک عدد واقعی داشت.

ساخت نظریه اعداد حقیقی توسط کانتور در سال 1872 تقریباً همزمان با نظریه وایرشتراس و ددکیند منتشر شد. کانتور در ساخت خود از وجود اعداد گویا نتیجه می گیرد. سپس سکانس های اساسی کوشی را معرفی می کند و حدی رسمی برای آنها قائل می شود. بعد، او تقسیم تمام دنباله ها را به کلاس های هم ارزی در نظر می گیرد. دنباله ها متعلق به یک کلاس هستند اگر و فقط اگر اختلاف آنها به صفر گرایش داشته باشد، یعنی. بعلاوه، حدود صوری در صورتی با یکدیگر مساوی هستند که دارای دو دنباله اساسی باشند که معادل یکدیگر یا. رابطه سفارش به صورت زیر تعریف می شود.

بنابراین، کلاس های هم ارزی برخی از اعداد واقعی را توصیف می کنند. بیایید آنها را اعداد واقعی مرتبه اول بنامیم. اگر بخواهیم با ترکیب دنباله های کوشی اساسی یک عدد واقعی از مرتبه بالاتر تشکیل دهیم، دوباره مجموعه ای از اعداد حقیقی مرتبه اول را به دست خواهیم آورد. به عبارت دیگر مجموعه اعداد حقیقی بسته است.

کانتور توجه خود را به این واقعیت جلب می کند که در تعریف یک عدد واقعی در واقع یک مجموعه نامتناهی از اعداد گویا وجود دارد: «... یک مجموعه کاملاً مشخص از اصل اول اعداد گویا همیشه به تعریف برخی از اعداد غیر منطقی تعلق دارد. "

توجه داشته باشید که ساخت کانتور را می توان به اشیاء دیگر تعمیم داد، که توسط کانتور و پیروانش انجام شد، "توسعه نظریه های اعداد واقعی یک پیش نیاز نسبتاً ضروری برای ایجاد نظریه مجموعه ها بود." به عنوان مثال، کانتور بر اساس ساخت اعداد حقیقی خود، متعاقباً نظریه خود را در مورد اعداد نامتناهی توسعه داد.

علاوه بر این، کانتور مفهوم اصلی بودن مجموعه ها را معرفی کرد و عدم هم ارزی اعداد غیر منطقی و گویا را اثبات کرد.

نظریه ی اعداد نامتناهی کانتور در ابتدا چنان غیرمنطقی، متناقض و حتی تکان دهنده تلقی شد که با انتقاد شدید ریاضیدانان معاصر، به ویژه لئوپولد کرونکر و هانری پوانکاره مواجه شد. بعدها - هرمان ویل و لوتزن بروور و لودویگ ویتگنشتاین اعتراضاتی را با ماهیت فلسفی مطرح کردند (به بحث در مورد نظریه کانتور مراجعه کنید). برخی از الهی‌دانان مسیحی (به‌ویژه نمایندگان نئوتومیسم) در آثار کانتور چالشی را در برابر منحصر به فرد بودن بی‌نهایت مطلق ذات خدا می‌دانستند، زمانی که نظریه اعداد نامتناهی را با پانتئیسم یکسان می‌دانستند. انتقاد از آثار او گاه بسیار تهاجمی بود: برای مثال، پوانکاره عقاید او را «بیماری جدی» می‌نامید که بر علوم ریاضی تأثیر می‌گذارد. و در اظهارات عمومی و حملات شخصی کرونکر به کانتور، القاب هایی مانند «شارلاتان علمی»، «مرتد» و «مفسد جوانان» گاهی چشمک می زد. دهه‌ها پس از مرگ کانتور، ویتگنشتاین به تلخی خاطرنشان کرد که ریاضیات توسط اصطلاحات مخرب نظریه مجموعه‌ها زیر پا گذاشته شده است، که او آن را به‌عنوان «بی‌معنی»، «مضحک» و «اشتباه» رد می‌کند. دوره‌ای از سال 1884 تا پایان دوران کانتور تکرار می‌شد، حملات افسردگی برای مدتی به دلیل اتخاذ موضعی بیش از حد تهاجمی به گردن هم‌عصرانش سرزنش می‌شد، اما اکنون اعتقاد بر این است که این حملات ممکن است مظهر اختلال دوقطبی باشد.

انتقاد تند با شهرت و تایید جهانی مخالفت کرد. در سال 1904، انجمن سلطنتی لندن مدال سیلوستر را به کانتور اعطا کرد که بالاترین افتخاری بود که می توانست اعطا کند. خود کانتور معتقد بود که نظریه اعداد نامتناهی از بالا به او ابلاغ شده است. زمانی دیوید هیلبرت با جسارت دفاع از آن در برابر انتقادات اعلام کرد: "هیچ کس ما را از بهشتی که کانتور بنا نهاده بود بیرون نخواهد برد."

زندگینامه

سالهای جوانی و تحصیل

کانتور در سال 1845 در مستعمره بازرگانان غربی در سنت پترزبورگ به دنیا آمد و تا سن 11 سالگی در آنجا بزرگ شد. گئورگ بزرگترین فرزند از شش فرزند بود. او که استعدادهای هنری و موسیقی قابل توجهی را از والدینش به ارث برده بود، نوازنده ویولن می نواخت. پدر خانواده یکی از اعضای بورس اوراق بهادار سن پترزبورگ بود. هنگامی که او بیمار شد، خانواده، که روی آب و هوای معتدل‌تری حساب می‌کردند، در سال 1856 به آلمان نقل مکان کردند: ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت. در سال 1860، گئورگ با ممتاز از مدرسه واقعی دارمشتات فارغ التحصیل شد. معلمان به توانایی استثنایی او در ریاضیات، به ویژه، در مثلثات اشاره کردند. در سال 1862، دانشمند مشهور آینده وارد موسسه فدرال پلی تکنیک زوریخ (در حال حاضر مدرسه عالی فنی سوئیس زوریخ) شد. یک سال بعد پدرش درگذشت. پس از دریافت ارث محکم، گئورگ به دانشگاه هومبولت برلین منتقل می شود، جایی که او شروع به شرکت در سخنرانی های دانشمندان مشهوری مانند لئوپولد کرونکر، کارل وایرشتراس و ارنست کومر می کند. او تابستان سال 1866 را در دانشگاه گوتینگن گذراند، سپس، و هنوز هم مرکز بسیار مهم تفکر ریاضی است. در سال 1867، دانشگاه برلین به دلیل کارش در زمینه نظریه اعداد "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" به او مدرک دکترا اعطا کرد.

دانشمند و محقق

پس از مدت کوتاهی به عنوان معلم در یک مدرسه دخترانه در برلین، کانتور در دانشگاه مارتین لوتر گال مشغول به کار شد و تمام دوران حرفه ای خود را در آنجا سپری کرد. او توانایی لازم برای تدریس برای پایان نامه خود را در مورد نظریه اعداد دریافت کرد.

در سال 1874 کانتور با والی گاتمن ازدواج کرد. آنها 6 فرزند داشتند که آخرین آنها در سال 1886 به دنیا آمد. کانتور با وجود حقوق متوسط ​​​​آکادمیک توانست به لطف ارثی که از پدرش دریافت کرده بود زندگی راحت را برای خانواده فراهم کند. در طول ماه عسل خود در کوه های هارتز، کانتور زمان زیادی را در مکالمات ریاضی با ریچارد ددکیند، که دو سال قبل در تعطیلات در سوئیس با او دوست شد، گذراند.

کانتور در سال 1872 عنوان استاد مدعو دریافت کرد و در سال 1879 استاد تمام شد. دریافت این عنوان در 34 سالگی موفقیت بزرگی بود، اما کانتور رویای یک مقام در دانشگاه معتبرتری مانند برلین - در آن زمان دانشگاه پیشرو آلمان را در سر داشت. با این حال، نظریه های او مورد انتقاد جدی قرار می گیرند و رویاها تحقق نمی یابند. کرونکر، رئیس دپارتمان ریاضیات دانشگاه برلین، به طور فزاینده‌ای از داشتن همکار مانند کانتور بی‌اشتیاق شد و او را به‌عنوان «فاسدکننده جوانان» تصور کرد که سر نسل جوان ریاضی‌دانان را با ایده‌های خود پر کرد. . علاوه بر این، کرونکر که یک شخصیت برجسته در جامعه ریاضیات و معلم سابق کانتور بود، اساساً با محتوای نظریه های دومی مخالف بود. کرونکر، که اکنون به عنوان یکی از بنیانگذاران ریاضیات سازنده در نظر گرفته می شود، از نظریه مجموعه های کانتور خوشش نمی آمد، زیرا وجود مجموعه هایی را که ویژگی های خاصی را برآورده می کنند، بدون ارائه مثال های عینی از مجموعه هایی که عناصر آنها در واقع آن ویژگی ها را برآورده می کنند، ادعا می کرد. کانتور متوجه شد که موقعیت کرونکر حتی به او اجازه نمی دهد که دانشگاه گال را ترک کند.

در سال 1881، ادوارد هاینه، همکار کانتور، درگذشت و یک پست خالی را پشت سر گذاشت. مدیریت دانشگاه پیشنهاد کانتور مبنی بر دعوت از ریچارد ددکیند، هاینریش وبر یا فرانتس مرتنز (به ترتیب) را برای این پست پذیرفت، اما همه آنها نپذیرفتند. در نتیجه، فردریش وانگرین این پست را به دست گرفت، اما او هرگز دوست کانتور نبود.

در سال 1882، مکاتبات علمی با ددکیند، احتمالاً در نتیجه امتناع ددکیند از پست خود در هاله، قطع شد. در همان زمان، کانتور مکاتبات مهم دیگری را با گوستا میتاگ-لفلر، که در سوئد زندگی می کرد، برقرار کرد و به زودی شروع به انتشار در مجله خود Acta mathematica کرد. با این حال، در سال 1885 میتاگ-لفلر در مقاله ای که توسط کانتور برای انتشار به او فرستاده بود، از مضامین فلسفی و اصطلاحات جدید نگران شد. او از کانتور خواست که مقاله خود را در حالی که هنوز در حال تصحیح بود پس بگیرد و نوشت که مقاله "صد سال جلوتر از زمان خود" است. کانتور موافقت کرد، اما در مکاتبه با شخص دیگری اشاره کرد:

به دنبال آن، کانتور به طور ناگهانی به رابطه و مکاتبه خود با میتاگ-لفلر پایان داد و نشان داد که انتقادات با نیت خوب را به عنوان یک توهین عمیق شخصی نشان می دهد.

کانتور اولین دوره افسردگی شناخته شده خود را در سال 1884 تجربه کرد. انتقاد از کار او بر ذهن او سنگینی می کرد: هر یک از 52 نامه ای که او در سال 1884 به ماتگ لفلر نوشت، مورد حمله کرونکر قرار گرفت. گزیده ای از یک نامه میزان آسیب وارد شده به حس اعتماد به نفس کانتور را نشان می دهد:

این بحران عاطفی او را مجبور کرد که علاقه خود را از ریاضیات به فلسفه تغییر دهد و شروع به سخنرانی در مورد آن کند. علاوه بر این، کانتور شروع به مطالعه فشرده ادبیات انگلیسی دوره الیزابت کرد. او سعی کرد ثابت کند که نمایشنامه های منسوب به شکسپیر در واقع توسط فرانسیس بیکن نوشته شده است (به پرسش نویسندگی شکسپیر مراجعه کنید). نتایج این کار در نهایت در دو دفترچه در سال های 1896 و 1897 منتشر شد.

اندکی پس از آن، کانتور بهبود یافت، و بلافاصله چندین اضافات مهم به نظریه خود، به ویژه برهان و قضیه مورب معروف خود، انجام داد. با این حال، او هرگز نمی تواند به سطح بالایی که در آثار 1874-1884 او بود برسد. در پایان، او با پیشنهاد صلح به کرونکر روی آورد که او با رضایت پذیرفت. با این حال، تفاوت ها و مشکلات فلسفی که آنها را از هم جدا می کرد، باقی ماند. برای مدتی، اعتقاد بر این بود که حملات دوره ای افسردگی کانتور با رد شدید کرونکر از کارش مرتبط است. اما اگرچه افسردگی او تأثیر زیادی بر اضطراب‌های ریاضی کانتور و مشکلات او با برخی افراد داشت، بعید است که همه اینها علت آن باشد. برعکس، تشخیص پس از مرگ او روان پریشی شیدایی- افسردگی به عنوان دلیل اصلی خلق و خوی غیرقابل پیش بینی او تایید شد.

در سال 1890 کانتور به سازماندهی انجمن ریاضی آلمان (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) کمک کرد و رئیس اولین جلسه آن در هاله در سال 1891 بود. در آن زمان شهرت او به قدری قوی بود که با وجود مخالفت کرونکر، به عنوان اولین رئیس این جامعه انتخاب شد. کانتور در حالی که چشمانش را بر تنفرش از کرونکر بست، از او دعوت کرد تا گزارشی تهیه کند، اما کرونکر به دلیل مرگ همسرش نتوانست این کار را انجام دهد.

اشیایی به نام کانتور

• مجموعه کانتور - مجموعه پیوسته ای از اندازه گیری صفر در یک قطعه.
• تابع کانتور (نردبان کانتور);
• تابع شماره گذاری کانتور نگاشت توان دکارتی مجموعه اعداد طبیعی در خودش است.
• قضیه کانتور (همچنین به قضیه کانتور (ابهام‌زدایی) مراجعه کنید) که کاردینالیته مجموعه همه زیرمجموعه‌های یک مجموعه معین به شدت بیشتر از اصلی بودن خود مجموعه است.
• قضیه کانتور-برنشتاین در مورد هم ارزی مجموعه های A و B با این شرط که A معادل زیر مجموعه ای از B و B معادل زیر مجموعه ای از A باشد.
• قضیه کانتور-هاین در مورد تداوم یکنواخت یک تابع پیوسته در یک فشرده.
• قضیه کانتور-بندیکسون
• مدال کانتور یک جایزه ریاضی است که توسط انجمن ریاضی آلمان اعطا می شود.
• و همچنین سایر اشیاء ریاضی.

ترکیبات

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. فون ای. زرملو. ب.، 1932.

خاستگاه و تحصیلات

او در فلسفه ریاضیات مسئله بی نهایت را تحلیل کرد. گئورگ کانتور با تمایز دو نوع نامتناهی ریاضی - نامناسب (بالقوه) و مناسب (بالفعل، به عنوان یک کل کامل) بر قانونی بودن عملکرد در ریاضیات با مفهوم واقعی نامتناهی اصرار داشت. او که از طرفداران افلاطونیسم بود، در ریاضیات در واقع نامتناهی یکی از اشکال بی نهایت بالفعل را به طور کلی دید که بالاترین کامل بودن را در وجود مطلق الهی به دست آورد. برخی از الهی‌دانان مسیحی، عمدتاً نمایندگان نئوتومیسم، در نوشته‌های کانتور چالشی را در برابر منحصربه‌فرد بودن بی‌نهایت مطلق ذات خدا مشاهده کردند، که زمانی نظریه اعداد نامتناهی و پانتئیسم را برابر می‌دانستند.

در مسئله هستی در ریاضیات، او بین درون ذهنی (مانند، یعنی قوام منطقی درونی) و فراذهنی (گذرا، یعنی مطابقت با فرآیندهای جهان خارج)، واقعیت اشیاء ریاضی تمایز قائل شد. برخلاف کرونکر، که تمام روش‌های معرفی اشیاء ریاضی جدید را که به ساخت یا محاسبه مربوط نمی‌شد رد کرد، گئورگ کانتور اجازه ساخت سیستم‌های ریاضی انتزاعی منطقی را داد.

اعتراضات فلسفی به ایده های کانتور توسط لودویگ ویتگنشتاین مطرح شد.

سالهای گذشته

در سال 1897 فعالیت علمی کانتور به دلیل یک بیماری جدی قطع شد. دوره‌ای از سال 1884 تا پایان دوران او تکرار می‌شد، حملات افسردگی برای مدتی معاصران کانتور را به دلیل اتخاذ موضع بیش از حد تهاجمی سرزنش می‌کرد، این حملات به عنوان تظاهر اختلال دوقطبی و روان پریشی شیدایی-افسردگی در نظر گرفته می‌شود.

او با والی گاتمن ازدواج کرد که از او صاحب شش فرزند شد که آخرین آنها در سال 1886 به دنیا آمد. علیرغم حقوق متوسط ​​​​آکادمیک، ریاضیدان توانست به لطف ارثی که از پدرش دریافت کرده بود، زندگی راحت را برای خانواده فراهم کند.

او در 6 ژانویه 1918 در هاله (سال) درگذشت.

نام او یک دهانه برخوردی در سمت دور ماه بود.

(کانتور) گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ - ریاضیدان آلمانی، خالق نظریه مجموعه ها. جنس 03/03/1845، سن پترزبورگ، ذهن. 01/06/1918، هاله (آلمان).

پدر K. یک لوتری بود، مادرش یک کاتولیک بود. خود ک. در کلیسای لوتری غسل تعمید داده شد. او در موسسه پلی تکنیک زوریخ، چکمه های خز برلین و گوتینگن تحصیل کرد. در سالهای 1879–1913 کرسی ریاضیات دانشگاه هال را بر عهده داشت. در سال 1891 اتحادیه آلمان را تأسیس کرد. ریاضیدانان و رئیس آن شدند.

K. مفهوم بی نهایت واقعی را وارد ریاضیات کرد که به لطف آن می توان از مجموعه های بی نهایت صحبت کرد، مانند مجموعه همه اعداد طبیعی یا مجموعه تمام نقاط یک قطعه. از آنجایی که پارادوکس‌های خاصی با مجموعه‌های بی‌نهایت همراه هستند (برای مثال، بخشی از یک مجموعه نامتناهی می‌تواند برابر با یک مجموعه کامل باشد)، pl. دانشمندان از زمان ارسطو از به رسمیت شناختن تعداد بی نهایت به عنوان موجود واقعی خودداری کرده اند. به نظر آنها فقط می توان از بی نهایت بالقوه صحبت کرد: مثلاً بی نهایت بودن اعداد طبیعی فقط به این معنی است که می توان به هر عدد یک نفر اضافه کرد و غیره. بعدی یک پیوستار (به عنوان مثال، یک بخش) یک جدا است. مفهومی که قابل تقلیل به مجموعه ای از نکات نیست. با این حال، K. اصلی را رد کرد. اعتراض به بی نهایت واقعی، و نتایج او نقش مهمی در تعریف منطقی دقیق مفاهیم پیوسته و عدد حقیقی ایفا کرد.

K. و بسیاری دیگر. دانشمندان بعدی در تئوری مجموعه ها ابزاری برای ساختن و اثبات تمام ریاضیات دیدند که به لطف آن بخش های آن در یک کل واحد به هم متصل می شوند. با این حال، با وجود بسیاری نتایج مهم در این راستا، تضادهایی در فرمول اولیه نظریه مجموعه‌های K. (از جمله توسط خود K.) کشف شد و این سؤال که چگونه این نظریه می‌تواند به شیوه‌ای سازگار ساخته شود هنوز حل نشده است. با این وجود، او نقش بزرگی در بررسی منطقی مبانی ریاضیات و در فلسفه آنها ایفا کرد. درک مطلب.

K. متقاعد شد که ایده های او برای الهیات مهم هستند، tk. دلایل اضافی به نفع ایمان به خدا ارائه دهید، کسی که خود نمایانگر بالاترین بی نهایت واقعی است. یکی از پیشینیان او، ک. آگوستین را در نظر گرفت، که استدلال می کرد که خداوند کلیت اعداد را به عنوان یک کل کامل می داند. در تلاش برای یافتن دلایلی به نفع مفهوم او در کلام قبلی. سنت، K. دیدگاه های توماس آکویناس و سوارز را مطالعه کرد، مکاتبات فشرده ای با تعدادی از کاتولیک ها انجام داد. متکلمان زمان خود (K. Gutberlet، T. Esser، I. Yayler، T. Pesch، card. I.B. Frantselin) که در عین حال، در مواضع ارسطویی-تومیستی، حضور بی نهایت واقعی را رد کردند. جهان ایجاد کرد

Cit.: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts / Hrsg. فون ای. زرملو. ب.، 1932; روی تئوری مجموعه ها کار می کند. م.، 1985.

لیت را: پورکرت وی.، ایلگاودس اچ آی. گئورگ کانتور. خارکف، 1991; فلورنسکی P.A. در مورد نمادهای بی نهایت (مقاله در مورد ایده های G. Kantor) // در مورد همان. آثار در 4 جلد M., 1994–1999, v. 79-128; کاتاسونوف V.N. مبارزه با بی نهایت: جنبه های فلسفی و مذهبی پیدایش نظریه مجموعه های جی. کانتور. م.، 1999; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. براونشوایگ، 1967; داوبن جی. جورج کانتور: ریاضیات و فلسفه بی نهایت او. کمبریج (ماساچوست) – L.، 1979.

• - گئورگ - خالق مبانی نظریه مجموعه ها، نظریه اعداد حقیقی و نویسنده بسیاری از قضایای شگفت انگیز و اساسی تحلیل ریاضی: "اما شما همیشه یک اشکال داشتید - نمی بینید که چه ...

  دنیای لم - فرهنگ لغت و راهنما

• - گئورگ - ریاضیدان آلمانی، منطق دان، الهی دان، خالق نظریه مجموعه های بینهایت، که تأثیر تعیین کننده ای در توسعه علوم ریاضی در اواخر قرن 19 و 20 داشت. فارغ التحصیل از دانشگاه برلین، استاد ...

  تاریخ فلسفه

• - KBNTOR، در ابتدا K. را کلیسا می نامیدند. خوانندگانی که در کاتولیک شرکت کردند. عبادت. بعداً آنها شروع به تمایز بین K. per usum کردند - خوانندگانی که از نظر نظری ...

  دایره المعارف موسیقی

• - I Kantor Georg، ریاضیدان آلمانی. در سال 1867 از دانشگاه برلین فارغ التحصیل شد. K. نظریه مجموعه های نامتناهی و نظریه اعداد بینهایت را توسعه داد ...
• - کانتور گئورگ، ریاضیدان آلمانی. در سال 1867 از دانشگاه برلین فارغ التحصیل شد. K. نظریه مجموعه های نامتناهی و نظریه اعداد بینهایت را توسعه داد ...

  دایره المعارف بزرگ شوروی

• - گئورگ، ریاضیدان آلمانی. او پایه های به اصطلاح نظریه مجموعه ها را ایجاد کرد - مجموعه هایی از اشیاء با ماهیت دلخواه که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود ...

  دایره المعارف مدرن

• - خواننده در کلیسای کاتولیک؛ معلم موسیقی، رهبر گروه کر، نوازنده ارگ ​​و آهنگساز کلیسا برای پروتستان ها. در کنیسه - خواننده اصلی ...

  دایره المعارف مدرن

• - خواننده در کلیسای کاتولیک؛ معلم موسیقی، رهبر گروه کر، نوازنده ارگ ​​و آهنگساز کلیسا برای پروتستان ها. در کنیسه یهودی - خواننده اصلی ...
• - ریاضیدان آلمانی. او پایه های نظریه مجموعه ها را ایجاد کرد که تأثیر زیادی در توسعه ریاضیات داشت ...

  فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

• - 1) معلم آواز در مدارس کلیسای جامع. 2) یک خوانندگی در کنیسه یهودیان...

  فرهنگ لغت کلمات خارجی زبان روسی

• - pl ka/ntory، R....

  فرهنگ لغت املای زبان روسی

• - CANTOR، -a، شوهر. در کنیسه: خواننده ای که مزمور می خواند...

  فرهنگ لغت توضیحی اوژگوف

• - کانتور، خواننده، شوهر. . خواننده در کنیسه یهودیان...

  فرهنگ لغت توضیحی اوشاکوف

• - کانتور I m. آواز خوان. دوم وزیری که نماز می خواند. خواننده اصلی متر سوم معلم موسیقی، رهبر گروه کر، نوازنده ارگ...

  فرهنگ لغت توضیحی افرموا

• - به"...

  فرهنگ لغت املای روسی

• - CANTOR دفتر را ببینید ...

  فرهنگ لغت تاریخی گالیسم های زبان روسی

"کانتور گئورگ" در کتاب ها

فصل دهم. کانتور "بد".

از کتاب باخ نویسنده وتلوگینا آنا میخایلوونا

فصل دهم. "BAD" CANTOR بیایید به تاریخ نبردهای قهرمانمان با مافوقش برگردیم. Endzweck بی امان بار دیگر باخ را به نبرد برای برتری موسیقی فراخواند. این بار آهنگساز از حمله به مقدسات زندگی کلیسا - الهیات - ترسی نداشت. در مورد انتخاب بود

باخ - کانتور کلیسای سنت توماس در لایپزیگ

برگرفته از کتاب اگر باخ یک دفتر خاطرات داشت نویسنده هامرشلاگ یانوس

باخ - خوانندۀ کلیسای سنت توماس لایپزیک 1723 در واقع، باخ هنوز یک فرد نسبتاً ناپایدار بود که علیرغم خانواده بزرگ و خانواده پرجمعیتش، نمی توانست جایی واقعی برای خود پیدا کند. از ارزش خود به عنوان یک مرد هنری آگاه است،

§ 12. گئورگ کانتور

برگرفته از کتاب گلچین پدیدارشناسی رئالیستی نویسنده تیم نویسندگان

§ 12. گئورگ کانتور کانتور، که ایده های بولزانو را بیشتر توسعه داد، به نتایج بسیار جالب تری رسید. او جسورانه مفهوم مجموعه نامتناهی، کمیت نامتناهی را نقطه شروع تحقیق خود قرار داد و بدین ترتیب «حساب نامتناهی» را اثبات کرد.

هگل گئورگ نام کامل - هگل گئورگ ویلهلم فردریش (متولد 1770 - درگذشته در 1831)

از کتاب تاریخ بشریت. غرب نویسنده زگورسکایا ماریا پاولونا

هگل گئورگ نام کامل - هگل گئورگ ویلهلم فردریش (متولد 1770 - درگذشته 1831) فیلسوف آلمانی. آثار عمده: «پدیدارشناسی روح»، «علم منطق»، «دایره المعارف علوم فلسفی»، «مبانی فلسفه حقوق»; سخنرانی در مورد فلسفه تاریخ، زیبایی شناسی، فلسفه

ماکسیم کانتور، نویسنده

برگرفته از کتاب جنون تاریخی کرملین و بولوت. روسیه توسط دو نفره اداره می شود! نویسنده نرسسف یوری آرکادیویچ

ماکسیم کانتور، نویسنده

کانتور

برگرفته از کتاب فرهنگ لغت دانشنامه (ک) نویسنده Brockhaus F. A.

کانتور کانتور یک خواننده، به ویژه یک خواننده کلیسا، معلم گروه های کر کلیسا است. در هنر چهارم در کلیسای کاتولیک K. (cantores et lectores) وجود داشت که هنگام عبادت مزامیر و سرودها را می خواندند و می خواندند. در قرن ششم، در زمان گریگوری کبیر، در مدارس آواز K. وجود داشت. در قرن نهم. تحت شارلمانی چنین تأسیس کرد

کانتور جورج

TSB

کانتور موریتز

از کتاب دایره المعارف بزرگ شوروی (KA) نویسنده TSB

کانتور (از زبان لاتین - خواننده)

از کتاب دایره المعارف بزرگ شوروی (KA) نویسنده TSB

ماکسیم کانتور

از کتاب ادبیات روسیه امروز. راهنمای جدید نویسنده چوپرینین سرگئی ایوانوویچ

ماکسیم کانتور کانتور ماکسیم کارلوویچ در سال 1957 در مسکو به دنیا آمد. پسر فیلسوف کارل کانتور، برادر مورخ فرهنگ و نثر نویس روسیه ولادیمیر کانتور (متولد 1945). فارغ التحصیل از موسسه پلی گرافی مسکو (1980). هنرمند حرفه ای که آثارش در

ادی دین (ادوارد کانتور دین)

برگرفته از کتاب برج تاریک. راهنما نویسنده براونینگ رابرت

ادی دین (ادوارد کانتور دین) «اولین نفر جوان، مو سیاه است. در مرز بین دزدی و قتل قرار دارد. دیو او را تسخیر کرد. اسم دیو هروئین است». (TB-1) رولند برای اولین بار با ادی دین در هواپیما که از باهاما به نیویورک پرواز می کرد، برخورد می کند. زیر هر کدام

M. KANTOR بار حافظه (درباره سیرین) (238)

برگرفته از کتاب ولادیمیر ناباکوف: طرفدار و مخالف T1 نویسنده دولینین الکساندر الکساندرویچ

ماکسیم کانتور. آموزش نقاشی

برگرفته از کتاب دوربرگردان در روده های یک گدا نویسنده Danilkin Lev

ماکسیم کانتور. کتاب درسی نقاشی "OGI"، مسکو عجیب است که چگونه این رمان - یک کلیسای جامع واقعی: یک کلیسای بزرگ، تقریباً عظیم، چند لایه و بسیار تزئین شده - توسط یک نفر و علاوه بر این، در مدت زمان نسبتاً کوتاهی ساخته شد. حتی عجیب تر این است که، هر چند

نت پنجم: شاعر یا خواننده؟

برگرفته از کتاب روسیه و غرب [مجموعه مقالات به افتخار هفتادمین سالگرد ک.ام آزادوفسکی] نویسنده بوگومولوف نیکولای الکسیویچ

نت پنجم: شاعر یا خواننده؟ یا سورکوف یا پولوی در مورد شعر "دو ساعت در تانک" گفته اند که "با لهجه یهودی" سروده شده است. با همین نظر، A. G. Naiman، که معتقد است ماکارونی "قافیه های نوع" Spaciren-officer "بیشتر شبیه است.

کانتور

برگرفته از کتاب درس های بیگانه - 2009 نویسنده گولوبیتسکی سرگئی میخایلوویچ

کانتور در پس نگرش کنایه آمیز به زندگی نامه خود، کارل ایکان به سختی می تواند شرمندگی خود را پنهان کند: «اگر در دهه 50 ملکی در هر بلوک نیویورک بخرید، مطمئناً در آینده پول زیادی به دست خواهید آورد. در هر محله ای غیر از کوئینز، در

گئورگ کانتور (عکس در ادامه مقاله داده شده است) یک ریاضیدان آلمانی است که نظریه مجموعه ها را ایجاد کرد و مفهوم اعداد بینهایت را معرفی کرد، بی نهایت بزرگ، اما متفاوت از یکدیگر. او همچنین اعداد ترتیبی و اصلی را تعریف کرد و حساب آنها را ایجاد کرد.

گئورگ کانتور: بیوگرافی کوتاه

در سن پترزبورگ در 03/03/1845 به دنیا آمد. پدرش یک دانمارکی مذهب پروتستان، گئورگ-والدمار کانتور بود که به تجارت، از جمله در بورس اوراق بهادار، مشغول بود. مادرش ماریا بم یک کاتولیک بود و از خانواده ای از موسیقی دانان برجسته بود. هنگامی که پدر گئورگ در سال 1856 بیمار شد، خانواده ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت در جستجوی آب و هوای معتدل‌تر نقل مکان کردند. استعدادهای ریاضی این پسر حتی قبل از تولد 15 سالگی در حالی که در مدارس خصوصی و سالن های ورزشی در دارمشتات و ویسبادن تحصیل می کرد، ظاهر شد. در پایان، گئورگ کانتور پدرش را متقاعد کرد که قصد دارد ریاضیدان شود، نه مهندس.

پس از یک مطالعه کوتاه در دانشگاه زوریخ، در سال 1863 کانتور به دانشگاه برلین منتقل شد تا به تحصیل در رشته های فیزیک، فلسفه و ریاضیات بپردازد. در آنجا به او آموختند:

• کارل تئودور وایرشتراس، که تخصص او در تحلیل احتمالاً بزرگترین تأثیر گئورگ بود.
• ارنست ادوارد کومر، که محاسبات بالاتر را تدریس می کرد.
• لئوپولد کرونکر، نظریه پرداز اعداد که بعدها با کانتور مخالفت کرد.

پس از گذراندن یک ترم تحصیلی در دانشگاه گوتینگن در سال 1866، سال بعد، گئورگ رساله دکتری خود را با عنوان "در ریاضیات، هنر پرسیدن سوال از حل مسائل ارزشمندتر است"، در رابطه با مسئله ای که کارل فردریش گاوس در Disquisitiones Arithmeticae حل نشده رها کرد، نوشت. (1801). کانتور پس از تدریس مختصری در مدرسه دخترانه برلین، شروع به کار در دانشگاه هاله کرد و تا پایان عمر در آنجا بود، ابتدا به عنوان معلم، از سال 1872 به عنوان استادیار و از سال 1879 به عنوان استاد.

پژوهش

در آغاز یک سری 10 مقاله از 1869 تا 1873، گئورگ کانتور نظریه اعداد را در نظر گرفت. این کار منعکس کننده اشتیاق او به موضوع، مطالعات او درباره گاوس و تأثیر کرونکر بود. به پیشنهاد هاینریش ادوارد هاینه، همکار کانتور در هاله، که استعداد ریاضی او را تشخیص داد، به نظریه سری های مثلثاتی روی آورد که در آن مفهوم اعداد حقیقی را گسترش داد.

بر اساس کار بر روی تابع یک متغیر مختلط توسط ریاضیدان آلمانی برنهارد ریمان در سال 1854، در سال 1870 کانتور نشان داد که چنین تابعی را می توان تنها به یک طریق - با سری مثلثاتی - نشان داد. در نظر گرفتن مجموعه ای از اعداد (نقاط) که با چنین نمایشی در تضاد نباشد، او را در ابتدا در سال 1872 به تعریفی بر حسب اعداد گویا (کسری از اعداد صحیح) سوق داد و سپس شروع به کار روی کار زندگی خود کرد. نظریه و مفهوم اعداد متقاطع

تئوری مجموعه ها

گئورگ کانتور، که نظریه مجموعه‌ها از مکاتبه‌ای با ریچارد ددکیند، ریاضیدان مؤسسه فنی براونشوایگ سرچشمه گرفت، از دوران کودکی با او دوست بود. آنها به این نتیجه رسیدند که مجموعه‌ها، اعم از متناهی یا نامتناهی، مجموعه‌ای از عناصر هستند (مثلاً اعداد (0، 1±، 2±...)) که دارای خاصیت خاصی هستند و در عین حال فردیت خود را حفظ می‌کنند. اما زمانی که گئورگ کانتور از مکاتبات یک به یک (مثلاً (A, B, C) به (1, 2, 3)) برای مطالعه خصوصیات آنها استفاده کرد، به سرعت متوجه شد که آنها در درجه عضویت متفاوت هستند. حتی اگر مجموعه‌های نامتناهی باشند، یعنی مجموعه‌هایی که بخشی یا زیرمجموعه‌ای از آن‌ها به تعداد خود شی شامل می‌شود. روش او به زودی نتایج شگفت انگیزی به همراه داشت.

در سال 1873، گئورگ کانتور (ریاضی‌دان) نشان داد که اعداد گویا، اگرچه نامتناهی هستند، اما قابل شمارش هستند، زیرا می‌توان آنها را با اعداد طبیعی (یعنی 1، 2، 3، و غیره) مطابقت یک به یک قرار داد. او نشان داد که مجموعه اعداد حقیقی، متشکل از اعداد غیر منطقی و گویا، نامتناهی و غیرقابل شمارش است. به طرز متناقضی تر، کانتور ثابت کرد که مجموعه همه اعداد جبری به اندازه مجموعه اعداد صحیح شامل عناصر است، و اعداد ماورایی غیرجبری که زیرمجموعه ای از اعداد غیر منطقی هستند، غیرقابل شمارش هستند و بنابراین تعدادشان از اعداد صحیح بیشتر است. و باید به عنوان بی نهایت رفتار شود.

مخالفان و موافقان

اما مقاله کانتور، که در آن او برای اولین بار این نتایج را ارائه کرد، در مجله Krell منتشر نشد، زیرا یکی از داوران، کرونکر، قاطعانه مخالف آن بود. اما پس از مداخله ددکیند، در سال 1874 با عنوان در مورد ویژگی های مشخصه همه اعداد جبری واقعی منتشر شد.

علم و زندگی شخصی

در همان سال، کانتور در طول ماه عسل خود با همسرش والی گوتمن، ددکیند را ملاقات کرد که از نظریه جدید او به خوبی صحبت کرد. حقوق جورج اندک بود، اما با پول پدرش که در سال 1863 درگذشت، خانه ای برای همسر و پنج فرزندش ساخت. بسیاری از مقالات او در سوئد در ژورنال جدید Acta Mathematica منتشر شد که توسط Gesta Mittag-Leffler ویرایش و تأسیس شد، کسی که از اولین کسانی بود که استعداد ریاضیدان آلمانی را تشخیص داد.

ارتباط با متافیزیک

نظریه کانتور موضوع کاملاً جدیدی برای مطالعه در مورد ریاضیات بینهایت شد (مثلا سری 1، 2، 3، و غیره، و مجموعه های پیچیده تر)، که به شدت به تناظر یک به یک بستگی داشت. ابداع روش‌های جدید کانتور برای طرح سؤالات مربوط به تداوم و بی‌نهایت، به تحقیقات او شخصیتی مبهم داد.

هنگامی که او استدلال کرد که اعداد بی نهایت واقعاً وجود دارند، به فلسفه باستان و قرون وسطی در مورد بی نهایت بالفعل و بالقوه و همچنین به تعلیمات دینی اولیه که والدینش به او دادند روی آورد. در سال 1883، کانتور در کتاب خود مبانی نظریه مجموعه‌های عمومی، مفهوم خود را با متافیزیک افلاطون ترکیب کرد.

کرونکر که ادعا می‌کرد فقط اعداد صحیح «وجود دارند» («خدا اعداد صحیح را آفرید، بقیه کار انسان است»)، برای سال‌ها به شدت استدلال او را رد کرد و از انتصاب او در دانشگاه برلین جلوگیری کرد.

اعداد نامتناهی

در 1895-97. گئورگ کانتور مفهوم تداوم و بی نهایت، از جمله اعداد ترتیبی و اصلی نامتناهی را در مشهورترین اثر خود که به عنوان مشارکت در ایجاد نظریه اعداد متقابل (1915) منتشر شد، به طور کامل شکل داد. این مقاله حاوی مفهوم او است، که او با نشان دادن اینکه یک مجموعه نامتناهی را می توان در یک مطابقت یک به یک با یکی از زیرمجموعه های آن قرار داد، به آن سوق داده شد.

منظور او از کمترین عدد اصلی بینهایت، کاردینالیته هر مجموعه ای بود که می توان آن را با اعداد طبیعی مطابقت یک به یک قرار داد. کانتور آن را aleph-null نامید. مجموعه‌های بزرگ گذرا نشان داده می‌شوند، و غیره. او حسابی اعداد نامتناهی را بیشتر توسعه داد، که شبیه به حساب محدود بود. بنابراین، او مفهوم بی نهایت را غنی کرد.

مخالفتی که او با آن مواجه شد، و مدت زمانی که طول کشید تا ایده های او به طور کامل پذیرفته شود، با دشواری ارزیابی مجدد این پرسش قدیمی که عدد چیست توضیح داده می شود. کانتور نشان داد که مجموعه نقاط روی یک خط، کاردینالیته بالاتری نسبت به آلف-صفر دارد. این به مشکل شناخته شده فرضیه پیوستگی منجر شد - هیچ اعداد اصلی بین الف-صفر و توان نقاط روی خط وجود ندارد. این مسئله در نیمه اول و دوم قرن بیستم علاقه زیادی را برانگیخت و توسط بسیاری از ریاضیدانان از جمله کرت گودل و پل کوهن مورد مطالعه قرار گرفت.

افسردگی

بیوگرافی گئورگ کانتور از سال 1884 تحت الشعاع بیماری روانی او قرار گرفت، اما او همچنان فعالانه به کار خود ادامه داد. در سال 1897 او به برگزاری اولین کنگره بین المللی ریاضی در زوریخ کمک کرد. تا حدی به دلیل مخالفت کرونکر، او اغلب با ریاضیدانان تازه کار جوان همدردی می کرد و به دنبال یافتن راهی بود تا آنها را از آزار و اذیت معلمانی که از ایده های جدید در خطر بودند نجات دهد.

اعتراف

در آغاز قرن، کار او به طور کامل به عنوان مبنایی برای تئوری تابع، تجزیه و تحلیل، و توپولوژی شناخته شد. علاوه بر این، کتاب های کانتور گئورگ به عنوان انگیزه ای برای توسعه بیشتر مکاتب شهودی و فرمالیستی مبانی منطقی ریاضیات عمل کرد. این به طور قابل توجهی سیستم آموزشی را تغییر داد و اغلب با "ریاضیات جدید" همراه است.

در سال 1911، کانتور از جمله کسانی بود که به جشن پانصدمین سالگرد تأسیس دانشگاه سنت اندروز در اسکاتلند دعوت شده بودند. او به این امید به آنجا رفت که در اثری که اخیراً منتشر شده بود، به یک ریاضیدان آلمانی مراجعه کرد، اما این اتفاق نیفتاد. دانشگاه به کانتور مدرک افتخاری اعطا کرد، اما به دلیل بیماری او نتوانست شخصاً این جایزه را بپذیرد.

کانتور در سال 1913 بازنشسته شد، در فقر زندگی کرد و در طول جنگ جهانی اول گرسنه بود. جشن های بزرگداشت 70 سالگی او در سال 1915 به دلیل جنگ لغو شد، اما مراسم کوچکی در خانه او برگزار شد. او در تاریخ 01/06/1918 در هاله در بیمارستان روانی درگذشت و آخرین سالهای عمر خود را در آنجا گذراند.

گئورگ کانتور: بیوگرافی. خانواده

در 9 آگوست 1874، ریاضیدان آلمانی با والی گاتمن ازدواج کرد. این زوج 4 پسر و 2 دختر داشتند. آخرین فرزند در سال 1886 در خانه جدیدی که توسط کانتور خریداری شده بود متولد شد. ارث پدرش به او کمک کرد تا خانواده اش را تامین کند. وضعیت سلامتی کانتور به شدت تحت تأثیر مرگ کوچکترین پسرش در سال 1899 قرار گرفت - از آن زمان افسردگی او را رها نکرده است.