در 3 مارس 1845 در سن پترزبورگ به دنیا آمد و تا سن 11 سالگی در آنجا بزرگ شد. پدر خانواده یکی از اعضای بورس اوراق بهادار سن پترزبورگ بود. هنگامی که او بیمار شد، خانواده به امید داشتن آب و هوای معتدل‌تر، در سال 1856 به آلمان نقل مکان کردند: ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت. در سال 1860، گئورگ با ممتاز از مدرسه واقعی دارمشتات فارغ التحصیل شد. معلمان به توانایی های استثنایی او در ریاضیات، به ویژه مثلثات اشاره کردند. او تحصیلات خود را در موسسه فدرال پلی تکنیک زوریخ ادامه داد. یک سال بعد، پس از مرگ پدرش، گئورگ ارثی دریافت کرد و به دانشگاه برلین منتقل شد. او در آنجا در سخنرانی های کرونکر، وایرشتراس و کومر شرکت می کند. کانتور تابستان 1866 را در دانشگاه گوتینگن، مرکز مهم تفکر ریاضی، گذراند. در سال 1967 دکترای خود را در برلین برای کارش در نظریه اعداد "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" دریافت کرد.

پس از مدت کوتاهی به عنوان معلم در یک مدرسه دخترانه برلین، کانتور در دانشگاه مارتین لوتر هاله منصوب شد و تمام دوران حرفه ای خود را در آنجا سپری کرد. در سال 1872، او دانشیار شد و سپس در طول تعطیلات خود، با ریچارد ددکیند دوستی کرد. کانتور در 34 سالگی استاد ریاضیات شد. در 1879-1884 او به طور سیستماتیک دکترین بی نهایت خود را بیان می کند. مفاهیم نقطه حدی، مجموعه مشتق شده را معرفی کرد، نمونه ای از مجموعه کامل را ساخت، یکی از نظریه های اعداد غیر منطقی را توسعه داد و یکی از بدیهیات پیوستگی را فرموله کرد. علیرغم چنین حرفه موفقی، او رویای یک موقعیت در دانشگاه معتبرتر، به عنوان مثال، برلین را در سر می پروراند. با این حال، رویاها محقق نمی شوند: بسیاری از معاصران، از جمله کرونکر، که اکنون یکی از بنیانگذاران ریاضیات سازنده محسوب می شود، با نظریه مجموعه های کانتور دشمنی دارند، زیرا وجود مجموعه هایی را تأیید می کند که ویژگی های خاصی را برآورده می کند - بدون ارائه ویژگی های خاص. نمونه هایی از مجموعه هایی که عناصر آنها در واقع این ویژگی ها را برآورده می کند.

در سال 1984، کانتور یک دوره افسردگی عمیق را تجربه کرد و به طور موقت ریاضیات را رها کرد و علایق خود را به سمت فلسفه تغییر داد. سپس به سر کار برمی گردد. در سال 1897 کار علمی را متوقف کرد. کانتور در 6 ژانویه 1918 در هاله درگذشت.

یکی از مشکلات مبرم قرن نوزدهم، مشکل تقسیم بی‌نهایت قطعات و وجود نقطه‌ای بود که به تمام این بخش‌های قراردادی تعلق داشت. این مشکل نیاز به مفهوم یک عدد واقعی داشت.

ساخت نظریه اعداد حقیقی توسط کانتور در سال 1872 تقریباً همزمان با نظریه وایرشتراس و ددکیند منتشر شد. کانتور در ساخت خود از حضور اعداد گویا نتیجه می گیرد. او سپس سکانس های اساسی کوشی را معرفی می کند و یک حد رسمی برای آنها قائل است. سپس، تقسیم تمام دنباله ها به کلاس های هم ارزی را در نظر می گیرد. دنباله ها متعلق به یک کلاس هستند اگر و فقط اگر اختلاف آنها به صفر گرایش داشته باشد، یعنی. بعلاوه، حدود صوری در صورتی با یکدیگر مساوی هستند که دارای دو دنباله اساسی باشند که معادل یکدیگر یا. رابطه سفارش به صورت زیر تعریف می شود.

بنابراین، کلاس های هم ارزی برخی از اعداد واقعی را توصیف می کنند. بیایید آنها را اعداد واقعی مرتبه اول بنامیم. اگر بخواهیم با ساخت دنباله های کوشی اساسی یک عدد واقعی از مرتبه بالاتر تشکیل دهیم، دوباره مجموعه ای از اعداد حقیقی مرتبه اول را به دست خواهیم آورد. به عبارت دیگر مجموعه اعداد حقیقی بسته است.

کانتور توجه خود را به این واقعیت جلب می کند که تعریف یک عدد واقعی در واقع شامل مجموعه نامتناهی از اعداد گویا است: "... تعریف هر عدد غیر منطقی همیشه شامل مجموعه ای کاملاً مشخص از توان اول اعداد گویا است."

توجه داشته باشید که ساخت کانتور را می توان به اشیاء دیگر تعمیم داد، که توسط کانتور و پیروانش انجام شد، "توسعه نظریه های اعداد واقعی یک پیش نیاز نسبتاً ضروری برای ایجاد نظریه مجموعه ها بود." به عنوان مثال، کانتور بر اساس ساخت خود از اعداد حقیقی، متعاقباً نظریه خود را در مورد اعداد نامتناهی توسعه داد.

علاوه بر این، کانتور مفهوم توان مجموعه ها را مطرح کرد و عدم هم ارزی اعداد غیر منطقی و گویا را اثبات کرد.

نظریه ی اعداد نامتناهی کانتور در ابتدا چنان غیرمنطقی، متناقض و حتی تکان دهنده تلقی شد که با انتقاد شدید ریاضیدانان معاصر، به ویژه لئوپولد کرونکر و هانری پوانکاره مواجه شد. بعدها - هرمان ویل و لوتزن بروور و لودویگ ویتگنشتاین مخالفت های فلسفی خود را بیان کردند (به بحث در مورد نظریه کانتور مراجعه کنید). برخی از الهی‌دانان مسیحی (به‌ویژه نمایندگان نئوتومیسم) در آثار کانتور چالشی را در برابر منحصر به فرد بودن بی‌نهایت مطلق ذات خدا می‌دانستند، زمانی که نظریه اعداد نامتناهی و پانتئیسم را یکسان می‌دانستند. انتقاد از آثار او گاهی بسیار تهاجمی بود: برای مثال، پوانکاره ایده‌های او را «بیماری جدی» نامید که بر علوم ریاضی تأثیر می‌گذارد. و در بیانیه‌های عمومی و حملات شخصی کرونکر علیه کانتور، القاب‌هایی مانند «شارلاتان علمی»، «مرتد» و «فساد جوانی» ظاهر می‌شد. دهه‌ها پس از مرگ کانتور، ویتگنشتاین به تلخی خاطرنشان کرد که ریاضیات توسط اصطلاحات مخرب نظریه مجموعه‌ها به این سو و آن سو زیر پا گذاشته شده است، که او آن را به عنوان «آشکار»، «مضحک» و «اشتباه» رد کرد. حملات دوره‌ای افسردگی از سال 1884 تا پایان زندگی کانتور برای مدتی به دلیل اتخاذ موضعی بیش از حد تهاجمی به گردن هم‌عصرانش سرزنش می‌شد، اما اکنون اعتقاد بر این است که این حملات ممکن است مظهر اختلال دوقطبی باشد.

انتقادات تند با شهرت و تحسین جهانی مقابله کرد. در سال 1904، انجمن سلطنتی لندن مدال سیلوستر را به کانتور اعطا کرد، که بالاترین افتخاری بود که می توانست اعطا کند. خود کانتور معتقد بود که نظریه اعداد نامتناهی از بالا به او ابلاغ شده است. زمانی دیوید گیلبرت با جسارت از او در برابر انتقادات دفاع کرد: "هیچ کس ما را از بهشتی که کانتور تأسیس کرده اخراج نخواهد کرد."

بیوگرافی

سالهای اولیه و تحصیل

کانتور در سال 1845 در مستعمره تجاری غربی در سنت پترزبورگ به دنیا آمد و تا 11 سالگی در آنجا بزرگ شد. گئورگ بزرگترین فرزند از شش فرزند بود. ویولن را استادانه می نواخت و استعدادهای هنری و موسیقی قابل توجهی را از والدینش به ارث برده بود. پدر خانواده یکی از اعضای بورس اوراق بهادار سن پترزبورگ بود. هنگامی که او بیمار شد، خانواده به امید داشتن آب و هوای معتدل‌تر، در سال 1856 به آلمان نقل مکان کردند: ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت. در سال 1860، گئورگ با ممتاز از مدرسه واقعی دارمشتات فارغ التحصیل شد. معلمان به توانایی های استثنایی او در ریاضیات، به ویژه مثلثات اشاره کردند. در سال 1862، دانشمند مشهور آینده وارد موسسه فدرال پلی تکنیک زوریخ (اکنون ETH زوریخ) شد. یک سال بعد پدرش درگذشت. پس از دریافت ارث قابل توجهی، گئورگ به دانشگاه هومبولت برلین منتقل شد و در آنجا شروع به شرکت در سخنرانی های دانشمندان مشهوری مانند لئوپولد کرونکر، کارل وایرشتراس و ارنست کومر کرد. او تابستان 1866 را در دانشگاه گوتینگن گذراند، آن زمان، و حتی اکنون، مرکز بسیار مهم تفکر ریاضی. در سال 1867 دانشگاه برلین به دلیل کارش در زمینه نظریه اعداد "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" مدرک دکترای فلسفه را به او اعطا کرد.

دانشمند و محقق

پس از مدت کوتاهی به عنوان معلم در یک مدرسه دخترانه برلین، کانتور در دانشگاه مارتین لوتر هاله منصوب شد و تمام دوران حرفه ای خود را در آنجا سپری کرد. او مهارت لازم برای تدریس برای پایان نامه خود را در نظریه اعداد دریافت کرد.

در سال 1874، کانتور با والی گاتمن ازدواج کرد. آنها 6 فرزند داشتند که آخرین آنها در سال 1886 به دنیا آمد. کانتور علیرغم دستمزد آکادمیک متوسطی که داشت، به لطف ارثی که از پدرش دریافت می کرد، توانست زندگی راحت را برای خانواده خود فراهم کند. در ادامه ماه عسل خود در کوه های هارتز، کانتور زمان زیادی را در گفتگوهای ریاضی با ریچارد ددکیند، که دو سال قبل در تعطیلات در سوئیس با او دوستی داشت، گذراند.

کانتور در سال 1872 عنوان استاد خارجی را دریافت کرد و در سال 1879 به عنوان پروفسور کامل رسید. دریافت این عنوان در سن 34 سالگی موفقیت بزرگی بود، اما کانتور در آرزوی موقعیتی در دانشگاه معتبرتری مانند برلین - در آن زمان دانشگاه پیشرو آلمان بود. با این حال، نظریه های او با انتقاد جدی روبرو می شود و رویاهای او محقق نمی شوند. کرونکر که ریاست دپارتمان ریاضیات دانشگاه برلین را بر عهده داشت، به طور فزاینده ای تحت تأثیر چشم انداز داشتن همکار مانند کانتور قرار نگرفت و او را به عنوان «فساد جوانی» تلقی کرد که سر نسل جوانی از ریاضیدانان را با ایده های خود پر کرد. علاوه بر این، کرونکر که یک شخصیت برجسته در جامعه ریاضیات و معلم سابق کانتور بود، اساساً با محتوای نظریه های دومی مخالف بود. کرونکر، که اکنون به عنوان یکی از بنیانگذاران ریاضیات سازنده شناخته می شود، با نظریه مجموعه های کانتور مخالف بود، زیرا وجود مجموعه هایی را که ویژگی های خاصی را برآورده می کنند، بدون ارائه مثال های عینی از مجموعه هایی که عناصر آنها در واقع آن ویژگی ها را برآورده می کنند، ادعا می کرد. کانتور متوجه شد که موقعیت کرونکر حتی به او اجازه نمی دهد دانشگاه گال را ترک کند.

در سال 1881، ادوارد هاینه، همکار کانتور، درگذشت و یک موقعیت خالی را پشت سر گذاشت. مدیریت دانشگاه پیشنهاد کانتور مبنی بر دعوت از ریچارد ددکیند، هاینریش وبر یا فرانتس مرتنز (به ترتیب) را برای این پست پذیرفت، اما همه آنها نپذیرفتند. فریدریش وانگرین در نهایت این پست را بر عهده گرفت، اما او هرگز دوست کانتور نبود.

در سال 1882، مکاتبات علمی با ددکیند، احتمالاً به دلیل امتناع ددکیند از سمت خود در هاله، قطع شد. در همان زمان، کانتور مکاتبات مهم دیگری با گوستا میتاگ-لفلر، که در سوئد زندگی می کرد، برقرار کرد و به زودی شروع به انتشار در مجله خود Acta mathematica کرد. با این حال، در سال 1885، میتاگ-لفلر در مقاله ای که توسط کانتور برای انتشار به او فرستاده بود، در مورد مفاهیم فلسفی و اصطلاحات جدید نگران شد. او از کانتور خواست که مقاله خود را در حالی که هنوز در حال تصحیح بود پس بگیرد و نوشت که مقاله "حدود صد سال جلوتر از زمان خود" است. کانتور موافقت کرد، اما در مکاتبه با شخص دیگری اشاره کرد:

به دنبال آن، کانتور به طور ناگهانی رابطه و مکاتبات خود را با میتاگ-لفلر پایان داد و نشان داد که انتقادات با نیت خوب را به عنوان یک توهین عمیق شخصی نشان می دهد.

کانتور اولین دوره افسردگی شناخته شده خود را در سال 1884 تجربه کرد. انتقاد از کار او بر ذهن او سنگینی می کرد: هر یک از 52 نامه ای که او در سال 1884 به ماتاگ-لفلر نوشت، مورد حمله کرونکر قرار گرفت. گزیده ای از یک نامه میزان آسیب وارد شده به حس اعتماد به نفس کانتور را نشان می دهد:

این بحران عاطفی باعث شد که او علاقه خود را از ریاضیات به فلسفه تغییر دهد و شروع به سخنرانی در مورد آن کند. علاوه بر این، کانتور شروع به مطالعه فشرده ادبیات انگلیسی دوره الیزابت کرد. او سعی کرد ثابت کند که نمایشنامه‌هایی که به شکسپیر نسبت داده می‌شوند در واقع توسط فرانسیس بیکن نوشته شده‌اند. نتایج این کار در نهایت در دو دفترچه در سال های 1896 و 1897 منتشر شد.

به زودی پس از این، کانتور بهبود یافت، و فوراً چندین اضافات مهم به نظریه خود، به ویژه برهان و قضیه مورب معروف خود انجام داد. با این حال، او هرگز نمی تواند به سطح بالایی که در آثار 1874-1884 او بود برسد. در پایان، او با پیشنهاد صلح به کرونکر نزدیک شد که او با رضایت پذیرفت. با این حال، تفاوت ها و مشکلات فلسفی که آنها را از هم جدا می کرد، باقی ماند. برای مدتی اعتقاد بر این بود که حملات دوره ای افسردگی کانتور با رد شدید کرونکر از کارش مرتبط است. اما در حالی که افسردگی او تأثیر زیادی بر اضطراب ریاضی کانتور و مشکلات او با افراد خاص داشت، بعید است که همه اینها مقصر باشند. برعکس، تشخیص پس از مرگ او روان پریشی شیدایی- افسردگی به عنوان دلیل اصلی خلق و خوی غیرقابل پیش بینی او ثابت شد.

در سال 1890، کانتور به سازماندهی انجمن ریاضی آلمان (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) کمک کرد و رئیس اولین جلسه آن در هاله در سال 1891 بود. در آن زمان شهرت او حتی در مواجهه با مخالفت کرونکر به اندازه کافی قوی بود که او به عنوان اولین رئیس این جامعه انتخاب شود. کانتور با چشم پوشی از خصومت خود نسبت به کرونکر، او را برای سخنرانی دعوت کرد، اما کرونکر به دلیل مرگ همسرش نتوانست این کار را انجام دهد.

اشیایی که به نام کانتور نامگذاری شده اند

• مجموعه کانتور مجموعه ای پیوسته از اندازه گیری صفر در یک قطعه است.
• تابع کانتور (نردبان کانتور);
• تابع شماره گذاری کانتور نگاشت توان دکارتی مجموعه ای از اعداد طبیعی در خودش است.
• قضیه کانتور (همچنین به قضیه کانتور (معانی) مراجعه کنید) که کاردینالیته مجموعه همه زیرمجموعه های یک مجموعه معین به شدت بیشتر از اصلی بودن خود مجموعه است.
• قضیه کانتور-برنشتاین در مورد هم ارزی مجموعه های A و B، مشروط بر اینکه A برابر با زیر مجموعه B و B برابر با زیر مجموعه A باشد.
• قضیه کانتور-هاین در مورد تداوم یکنواخت یک تابع پیوسته در یک مجموعه فشرده.
• قضیه کانتور-بندیکسون
• مدال کانتور یک جایزه ریاضی است که توسط انجمن ریاضی آلمان اعطا می شود.
• و همچنین سایر اشیاء ریاضی.

مقالات

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. فون ای. زرملو. ب.، 1932.

خاستگاه و تحصیلات

او در فلسفه ریاضیات مسئله بی نهایت را تحلیل کرد. گئورگ کانتور با تمایز دو نوع بی نهایت ریاضی - نامناسب (بالقوه) و مناسب (بالفعل، به عنوان یک کل کامل) بر قانونی بودن عملکرد در ریاضیات با مفهوم بی نهایت واقعی پافشاری کرد. او که از حامیان افلاطونیسم بود، از نظر ریاضی بالفعل نامتناهی را به عنوان یکی از اشکال امر بالفعل نامتناهی به طور کلی می دید که بالاترین کامل بودن خود را در وجود مطلق الهی می یابد. برخی از الهی‌دانان مسیحی، عمدتاً نمایندگان نئوتومیسم، در آثار کانتور چالشی را در برابر منحصر به فرد بودن بی‌نهایت مطلق ذات خدا می‌دیدند، که زمانی نظریه اعداد نامتناهی و پانتئیسم را یکسان می‌دانستند.

در مسئله هستی در ریاضیات، او بین واقعیت درون ذهنی (مانند، یعنی قوام منطقی درونی) و فراذهنی (گذرا، یعنی مطابقت با فرآیندهای جهان خارج) واقعیت اشیای ریاضی تمایز قائل شد. بر خلاف کرونکر، که همه روش‌های معرفی اشیاء ریاضی جدید را که به ساخت یا محاسبات مربوط نمی‌شد رد کرد، جورج کانتور اجازه ساخت هر سیستم ریاضی انتزاعی منطقی را داد.

اعتراضات فلسفی به ایده های کانتور توسط لودویگ ویتگنشتاین بیان شد.

سال های اخیر

در سال 1897، کار علمی کانتور به دلیل یک بیماری جدی قطع شد. حملات دوره ای مکرر افسردگی از سال 1884 تا پایان دوران او برای مدتی، معاصران کانتور را به دلیل اتخاذ موضعی بیش از حد تهاجمی سرزنش می کردند.

او با ولی گوتمن ازدواج کرد که از او صاحب شش فرزند شد که آخرین آنها در سال 1886 به دنیا آمد. این ریاضیدان علیرغم حقوق متوسطی که از تحصیل داشت، به لطف ارثی که از پدرش دریافت کرد، توانست زندگی راحت برای خانواده خود فراهم کند.

او در 6 ژانویه 1918 در هاله (سال) درگذشت.

نام او یک دهانه برخوردی در سمت دور ماه بود.

(کانتور) گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ - ریاضیدان آلمانی، خالق نظریه مجموعه ها. جنس 03/03/1845، سن پترزبورگ، د. 01/06/1918، هاله (آلمان).

پدر K. یک لوتری، مادرش یک کاتولیک بود. خود ک. در کلیسای لوتری غسل تعمید گرفت. او در مؤسسه پلی تکنیک زوریخ، چکمه های دبیرستان برلین و گوتینگن تحصیل کرد. در سالهای 1879–1913 کرسی ریاضیات دانشگاه هال را بر عهده داشت. او در سال 1891 اتحادیه آلمان را تأسیس کرد. ریاضیدانان و رئیس آن شدند.

K. مفهوم بی نهایت واقعی را وارد ریاضیات کرد، به لطف آن می توان در مورد مجموعه های نامتناهی مانند مجموعه تمام اعداد طبیعی یا مجموعه تمام نقاط یک قطعه صحبت کرد. از آنجایی که پارادوکس های خاصی با مجموعه های نامتناهی همراه هستند (مثلاً بخشی از یک مجموعه نامتناهی می تواند برابر با کل مجموعه باشد)، جمع. دانشمندان، با شروع از ارسطو، از شناخت مجموعه نامتناهی به عنوان موجود واقعی خودداری کرده اند. به نظر آنها، ما فقط می توانیم در مورد بی نهایت بالقوه صحبت کنیم: بنابراین، بی نهایت بودن اعداد طبیعی فقط به این معنی است که می توان به هر عدد یک عدد اضافه کرد و غیره. موارد زیر را دریافت کنید یک پیوستار (به عنوان مثال، یک بخش) یک بخش فرعی است. مفهومی که نمی توان آن را به مجموعه ای از نکات تقلیل داد. ک. اما اصل را تکذیب کرد اعتراض به بی نهایت واقعی، و نتایج او نقش مهمی در تعریف منطقی دقیق مفاهیم پیوسته و عدد حقیقی ایفا کرد.

K. و بسیاری دیگر دانشمندان بعدی در تئوری مجموعه ها ابزاری برای ساختن و توجیه تمام ریاضیات دیدند که به لطف آن بخش های آن در یک کل واحد به هم متصل می شوند. با این حال، با وجود بسیاری نتایج مهمی در این راستا در فرمول بندی اولیه نظریه مجموعه های K. (از جمله توسط خود K.) کشف شد و این سوال که چگونه این نظریه می تواند به شیوه ای سازگار ساخته شود هنوز حل نشده است. با این وجود، او نقش عمده ای در مطالعه منطقی مبانی ریاضیات و در فلسفه آنها ایفا کرد. درک

K. متقاعد شده بود که ایده های او برای الهیات مهم است، زیرا. استدلال های اضافی را به نفع ایمان به خدا ارائه دهید، که خود نمایانگر بالاترین بی نهایت واقعی است. ک. آگوستین را یکی از اسلاف خود می دانست که استدلال می کرد که خداوند کل مجموعه اعداد را به عنوان یک کل کامل می داند. تلاش برای یافتن دلایلی به نفع مفهوم او در الهیات قبلی. سنت ها، K. دیدگاه های توماس آکویناس و سوارز را مطالعه کرد و مکاتبات فشرده ای با تعدادی از کاتولیک ها انجام داد. متکلمان زمان خود (K. Gutberlet, T. Esser, I. Yayler, T. Pesch, card. I.B. Franzelin) که در عین حال در مواضع ارسطویی-تومیستی حضور بی نهایت واقعی را در مخلوق رد کردند. جهان

آثار: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts / Hrsg. فون ای زرملو. ب.، 1932; روی تئوری مجموعه ها کار می کند. م.، 1985.

ادبیات: Purkert V., Ilgauds H.I. جورج کانتور. خارکف، 1991; فلورنسکی P.A. درباره نمادهای بی نهایت (مقاله در مورد ایده های G. Cantor) // سام. آثار در 4 جلد، 1994-1999، ج. 79-128; کاتاسونوف V.N. مبارزه با بی نهایت: جنبه های فلسفی و مذهبی پیدایش نظریه مجموعه های جی. کانتور. م.، 1999; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. براونشوایگ، 1967; داوبن جی دبلیو. گئورگ کانتور: ریاضیات و فلسفه بی نهایت او. کمبریج (ماساچوست) – L.، 1979.

• - گئورگ خالق مبانی نظریه مجموعه ها، نظریه اعداد حقیقی و نویسنده بسیاری از قضایای شگفت انگیز و بنیادی تحلیل ریاضی است: "اما شما همیشه یک اشکال داشتید - شما چیز اشتباهی را می بینید ...

  دنیای لم - فرهنگ لغت و راهنما

• - گئورگ - ریاضیدان آلمانی، منطق دان، الهی دان، خالق نظریه مجموعه های بینهایت، که تأثیر تعیین کننده ای در توسعه علوم ریاضی در اواخر قرن 19 و 20 داشت. فارغ التحصیل از دانشگاه برلین، استاد ...

  تاریخ فلسفه

• - KBNTOR، K. در اصل کلیسا نامیده می شد. خوانندگانی که در کاتولیک شرکت کردند. عبادت بعداً شروع به تشخیص K. per usum کردند - خوانندگانی که نظری نداشتند ...

  دایره المعارف موسیقی

• - من گئورگ کانتور، ریاضیدان آلمانی. در سال 1867 از دانشگاه برلین فارغ التحصیل شد. ک تئوری مجموعه های نامتناهی و نظریه اعداد نامتناهی را توسعه داد...
• - گئورگ کانتور، ریاضیدان آلمانی. در سال 1867 از دانشگاه برلین فارغ التحصیل شد. ک تئوری مجموعه های نامتناهی و نظریه اعداد نامتناهی را توسعه داد...

  دایره المعارف بزرگ شوروی

• - گئورگ، ریاضیدان آلمانی. او پایه های به اصطلاح نظریه مجموعه ها را توسعه داد - مجموعه هایی از اشیاء با ماهیت دلخواه که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود ...

  دایره المعارف مدرن

• - سرپرست گروه کر در کلیسای کاتولیک؛ معلم موسیقی، مدیر گروه کر، نوازنده ارگ ​​و آهنگساز کلیسا برای پروتستان ها. در کنیسه - خواننده اصلی ...

  دایره المعارف مدرن

• - سرپرست گروه کر در کلیسای کاتولیک؛ معلم موسیقی، رهبر گروه کر، نوازنده ارگ ​​و آهنگساز کلیسا برای پروتستان ها. در کنیسه یهودی - خواننده اصلی ...
• - ریاضیدان آلمانی. پایه های نظریه مجموعه ها را توسعه داد که تأثیر زیادی در توسعه ریاضیات داشت ...

  فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی

• - 1) معلم آواز در مدارس کلیسای جامع. 2) خواننده ای در کنیسه یهودیان...

  فرهنگ لغت کلمات خارجی زبان روسی

• - pl. ka/ntors، R....

  فرهنگ لغت املای زبان روسی

• - کانتور، شوهر. در کنیسه: خواننده ای که مزمور می خواند...

  فرهنگ توضیحی اوژگوف

• - کانتور، دفتر، شوهر. . خواننده در کنیسه یهودی...

  فرهنگ توضیحی اوشاکوف

• - خواننده گروه کر کانتور. مناجات خوانی دوم; خواننده اصلی مدرس موسیقی، رهبر گروه کر، نوازنده ارگ...

  فرهنگ لغت توضیحی افرموا

• - به "...

  فرهنگ لغت املای روسی

• - CANTOR رجوع کنید به Kontor...

  فرهنگ لغت تاریخی گالیسم های زبان روسی

"کانتور گئورگ" در کتاب ها

فصل دهم. کانتور "بد".

از کتاب باخ نویسنده وتلوگینا آنا میخایلوونا

فصل دهم. "BAD" CANTOR بیایید به داستان نبردهای قهرمانمان با مافوقش برگردیم. Endzweck ناگزیر دوباره باخ را به نبرد برای کمال موسیقی فراخواند. این بار آهنگساز از حمله به مقدسات زندگی کلیسا - الهیات - ترسی نداشت. در مورد انتخاب بود

باخ - کانتور کلیسای سنت توماس لایپزیگ

برگرفته از کتاب اگر باخ یک دفتر خاطرات داشت نویسنده هامرشلاگ یانوس

باخ - کانتور کلیسای سنت توماس لایپزیگ 1723 در حقیقت، باخ هنوز فردی نسبتاً ناپایدار بود که علیرغم مزرعه بزرگ و خانواده بزرگش، نمی‌توانست جایی واقعی برای خود پیدا کند. آگاه از ارزش خود به عنوان یک مرد هنر،

§ 12. گئورگ کانتور

برگرفته از کتاب گلچین پدیدارشناسی رئالیستی نویسنده تیم نویسندگان

§ 12. گئورگ کانتور کانتور، که ایده های بولزانو را بیشتر توسعه داد، به نتایج بسیار جالب تری رسید. او جسورانه نقطه شروع تحقیق خود را مفهوم مجموعه نامتناهی، کمیت نامتناهی قرار داد و بدین ترتیب «حساب نامتناهی» را اثبات کرد.

هگل گئورگ نام کامل - هگل گئورگ ویلهلم فردریش (متولد 1770 - متوفی 1831)

از کتاب تاریخ بشریت. غرب نویسنده زگورسکایا ماریا پاولونا

هگل گئورگ نام کامل - هگل گئورگ ویلهلم فردریش (زاده 1770 - متوفی 1831) فیلسوف آلمانی. آثار اصلی: «پدیدارشناسی روح»، «علم منطق»، «دایره المعارف علوم فلسفی»، «مبانی فلسفه حقوق»؛ سخنرانی در مورد فلسفه تاریخ، زیبایی شناسی، فلسفه

ماکسیم کانتور، نویسنده

برگرفته از کتاب جنون تاریخی کرملین و مرداب. روسیه توسط بازنده ها اداره می شود! نویسنده نرسسف یوری آرکادویچ

ماکسیم کانتور، نویسنده

کانتور

برگرفته از کتاب فرهنگ لغت دانشنامه (ک) نویسنده Brockhaus F.A.

کانتور کانتور یک خواننده، به ویژه یک خواننده کلیسا، معلم گروه های کر کلیسا است. در هنر IV در کلیسای کاتولیک K. (cantores et lectores) وجود داشت که در طول خدمات مزامیر و سرودها را می خواندند و می خواندند. در قرن ششم، در زمان گریگوری کبیر، مدارس آواز وجود داشت. در هنر نهم تحت شارلمانی، چنین

کانتور گئورگ

TSB

کانتور موریتز

از کتاب دایره المعارف بزرگ شوروی (KA) نویسنده TSB

کانتور (از لاتین - خواننده)

از کتاب دایره المعارف بزرگ شوروی (KA) نویسنده TSB

ماکسیم کانتور

از کتاب ادبیات روسیه امروز. راهنمای جدید نویسنده چوپرینین سرگئی ایوانوویچ

ماکسیم کانتور کانتور ماکسیم کارلوویچ در سال 1957 در مسکو به دنیا آمد. پسر فیلسوف کارل کانتور، برادر مورخ فرهنگ و نثر نویس روسی ولادیمیر کانتور (متولد 1945). فارغ التحصیل از موسسه چاپ مسکو (1980). هنرمند حرفه ای که آثارش در

ادی دین (ادوارد کانتور دین)

برگرفته از کتاب برج تاریک. راهنما نویسنده براونینگ رابرت

ادی دین (ادوارد کانتور دین) "اولین نفر جوان و مو سیاه است. در مرز بین دزدی و قتل ایستاده است. دیو او را تسخیر کرد. اسم دیو هروئین است.» (TB-1) رولند برای اولین بار با ادی دین در هواپیمایی که از باهاما به نیویورک پرواز می کند، برخورد می کند. زیر هر کدام

M. KANTOR بار حافظه (درباره سیرین) (238)

برگرفته از کتاب ولادیمیر ناباکوف: طرفدار و مخالف T1 نویسنده دولینین الکساندر الکساندرویچ

ماکسیم کانتور. آموزش نقاشی

برگرفته از کتاب انحرافات دایره ای از طریق روده های یک گدا توسط دانیلکین لو

ماکسیم کانتور. کتاب درسی طراحی "OGI"، مسکو عجیب است که چگونه این رمان - یک کلیسای جامع واقعی: عظیم، تقریباً عظیم، چند لایه و تزئینات غنی - توسط یک نفر و علاوه بر این، در مدت زمان نسبتاً کوتاهی ساخته شد. حتی عجیب تر این است که، هر چند

یادداشت پنجم: شاعر یا خواننده؟

برگرفته از کتاب روسیه و غرب [مجموعه مقالات به مناسبت هفتادمین سالگرد ک.م آزادوفسکی] نویسنده بوگومولوف نیکولای الکسیویچ

یادداشت پنجم: شاعر یا خواننده؟ یا سورکوف یا پولوی در مورد شعر "دو ساعت در یک تانک" گفته اند که "با لهجه یهودی" سروده شده است. A. G. Naiman نیز بر همین عقیده است و معتقد است که "قافیه های ماکارونی مانند "shpatziren-offitseren" بیشتر یادآور می شوند.

کانتور

برگرفته از کتاب درس های دیگران - 2009 نویسنده گولوبیتسکی سرگئی میخائیلوویچ

کانتور پشت نگرش کنایه آمیز خود نسبت به زندگی نامه خود، کارل ایکان به سختی موفق می شود سردرگمی آزاردهنده خود را پنهان کند: «اگر در دهه 50 در هر محله ای از نیویورک املاک و مستغلات می خریدید، مطمئناً در آینده پول زیادی به دست می آوردید. در هر محله ای به جز کوئینز، در

گئورگ کانتور (عکس در ادامه مقاله نشان داده شده است) یک ریاضیدان آلمانی است که نظریه مجموعه ها را ایجاد کرد و مفهوم اعداد بینهایت را معرفی کرد، بی نهایت بزرگ اما متفاوت از یکدیگر. او همچنین اعداد ترتیبی و اصلی را تعریف کرد و حساب آنها را ایجاد کرد.

جورج کانتور: بیوگرافی کوتاه

در سن پترزبورگ در 03/03/1845 به دنیا آمد. پدرش یک پروتستان دانمارکی به نام گئورگ-والدمار کانتور بود که به تجارت، از جمله در بورس اوراق بهادار مشغول بود. مادرش ماریا بوهم یک کاتولیک بود و از خانواده ای از موسیقی دانان برجسته بود. هنگامی که پدر گئورگ در سال 1856 بیمار شد، خانواده ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت در جستجوی آب و هوای معتدل‌تر نقل مکان کردند. استعدادهای ریاضی این پسر حتی قبل از تولد 15 سالگی اش در حین تحصیل در مدارس خصوصی و سالن های ورزشی در دارمشتات و ویسبادن ظاهر شد. در پایان، گئورگ کانتور پدرش را متقاعد کرد که قصد دارد ریاضی‌دان شود، نه مهندس.

پس از مدت کوتاهی تحصیل در دانشگاه زوریخ، کانتور در سال 1863 به دانشگاه برلین منتقل شد تا در رشته های فیزیک، فلسفه و ریاضیات تحصیل کند. در آنجا به او آموختند:

• کارل تئودور وایرشتراس، که تخصص او در تحلیل احتمالاً بیشترین تأثیر را بر گئورگ داشت.
• ارنست ادوارد کومر، که ریاضیات بالاتر را تدریس می کرد.
• لئوپولد کرونکر، نظریه پرداز اعداد که بعدها با کانتور مخالفت کرد.

پس از گذراندن یک ترم در دانشگاه گوتینگن در سال 1866، سال بعد، گئورگ پایان نامه دکترای خود را با عنوان "در ریاضیات هنر پرسیدن سوال ارزشمندتر از حل مسائل است" نوشت و به مسئله ای می پردازد که کارل فردریش گاوس در کتاب "Disquisitions" خود حل نشده باقی گذاشته است. Arithmeticae (1801). کانتور پس از تدریس مختصری در مدرسه دخترانه برلین، کار خود را در دانشگاه هاله آغاز کرد و تا پایان عمر در آنجا بود، ابتدا به عنوان معلم، از سال 1872 به عنوان استادیار و از سال 1879 به عنوان استاد.

تحقیق کنید

در آغاز یک سری 10 مقاله از 1869 تا 1873، گئورگ کانتور نظریه اعداد را بررسی کرد. این اثر منعکس کننده شیفتگی به موضوع، مطالعات او درباره گاوس و تأثیر کرونکر بود. به پیشنهاد هاینریش ادوارد هاینه، همکار کانتور در هاله، که استعداد ریاضی او را تشخیص داد، به نظریه سری های مثلثاتی روی آورد که در آن مفهوم اعداد حقیقی را گسترش داد.

با شروع کار بر روی تابع یک متغیر مختلط توسط ریاضیدان آلمانی برنهارد ریمان در سال 1854، در سال 1870 کانتور نشان داد که چنین تابعی را می توان تنها به یک روش نشان داد - سری مثلثاتی. در نظر گرفتن مجموعه ای از اعداد (نقاط) که با چنین مفهومی در تضاد نباشد، او را در ابتدا در سال 1872 به تعریفی بر حسب اعداد گویا (کسری از اعداد صحیح) سوق داد و سپس به شروع کار روی کار زندگی خود، مجموعه ای را انجام داد. نظریه و مفهوم اعداد متقاطع

تئوری مجموعه ها

گئورگ کانتور، که نظریه مجموعه‌ها از مکاتبه‌ای با ریچارد ددکیند، ریاضیدان مؤسسه فنی براونشوایگ سرچشمه می‌گیرد، از دوران کودکی دوست او بوده است. آنها به این نتیجه رسیدند که مجموعه ها، متناهی یا نامتناهی، مجموعه ای از عناصر (مثلاً اعداد، (0، ±1، 2±...)) هستند که با حفظ فردیت خود دارای خاصیت خاصی هستند. اما زمانی که گئورگ کانتور از مکاتبات یک به یک (مثلاً (A, B, C) تا (1, 2, 3)) برای مطالعه ویژگی‌های آنها استفاده کرد، به سرعت متوجه شد که آنها در درجه عضویت با هم تفاوت دارند. اگر مجموعه‌های نامتناهی باشند، یعنی مجموعه‌هایی که بخشی یا زیرمجموعه‌ای از آن‌ها به تعداد خود اشیاء را شامل می‌شود. روش او به زودی نتایج شگفت انگیزی به همراه داشت.

در سال 1873، گئورگ کانتور (ریاضی‌دان) نشان داد که اعداد گویا، اگرچه نامتناهی هستند، اما قابل شمارش هستند، زیرا می‌توان آنها را با اعداد طبیعی (یعنی 1، 2، 3 و غیره) مطابقت یک به یک قرار داد. او نشان داد که مجموعه اعداد حقیقی، متشکل از اعداد غیر منطقی و گویا، نامتناهی و غیرقابل شمارش است. به طرز متناقضی تر، کانتور ثابت کرد که مجموعه همه اعداد جبری به اندازه مجموعه اعداد صحیح شامل عناصر است و اعداد ماورایی غیرجبری که زیرمجموعه ای از اعداد غیر منطقی هستند غیرقابل شمارش هستند و بنابراین از اعداد صحیح بیشتر هستند. باید بی نهایت در نظر گرفته شود.

مخالفان و موافقان

اما مقاله کانتور، که در آن او برای اولین بار این نتایج را ارائه کرد، در مجله Krell منتشر نشد، زیرا یکی از داوران، کرونکر، قاطعانه مخالف آن بود. اما پس از مداخله ددکیند، در سال 1874 با عنوان «درباره خصوصیات مشخصه همه اعداد جبری واقعی» منتشر شد.

علم و زندگی شخصی

در همان سال، زمانی که گاتمن با همسرش والی در ماه عسل بود، ددکیند را در کانتور ملاقات کرد، که به نظریه جدید او پاسخ مثبت داد. حقوق جورج اندک بود، اما با پول پدرش که در سال 1863 درگذشت، خانه ای برای همسر و پنج فرزندش ساخت. بسیاری از آثار او در سوئد در مجله جدید Acta Mathematica منتشر شد که سردبیر و بنیانگذار آن Gesta Mittag-Leffler بود که از اولین کسانی بود که استعداد ریاضیدان آلمانی را تشخیص داد.

ارتباط با متافیزیک

نظریه کانتور به موضوع کاملاً جدیدی برای تحقیق در مورد ریاضیات نامتناهی (مانند سری‌های 1، 2، 3، و غیره و مجموعه‌های پیچیده‌تر) تبدیل شد که به شدت بر مطابقت یک به یک متکی بود. ابداع روش‌های جدید کانتور برای طرح سؤالات مربوط به تداوم و بی‌نهایت، به تحقیقات او شخصیتی بحث‌برانگیز داد.

هنگامی که او استدلال کرد که اعداد نامتناهی در واقع وجود دارند، به فلسفه باستان و قرون وسطی در مورد بی نهایت بالفعل و بالقوه، و همچنین به تربیت مذهبی اولیه والدینش روی آورد. در سال 1883، کانتور در کتاب خود مبانی نظریه مجموعه‌های عمومی، مفهوم خود را با متافیزیک افلاطون ترکیب کرد.

کرونکر که معتقد بود فقط اعداد صحیح «وجود دارند» («خدا اعداد صحیح را آفرید، بقیه کار انسان است»)، سال‌ها استدلال او را به شدت رد کرد و از انتصاب او در دانشگاه برلین جلوگیری کرد.

اعداد متناهی

در 1895-97 گئورگ کانتور مفهوم تداوم و بی‌نهایت، از جمله اعداد ترتیبی و اصلی نامتناهی را در معروف‌ترین اثر خود که با عنوان مشارکت در نظریه اعداد متقابل (1915) منتشر شد، به‌طور کامل شکل داد. این مقاله حاوی مفهوم او است، که او با نشان دادن اینکه یک مجموعه نامتناهی را می توان با یکی از زیرمجموعه های آن در یک مطابقت یک به یک قرار داد، به آن سوق داده شد.

منظور او از کوچکترین عدد کاردینال گذرا، کاردینالیته هر مجموعه ای بود که می توان آن را با اعداد طبیعی مطابقت یک به یک قرار داد. کانتور آن را aleph-zero نامید. مجموعه‌های بزرگ گذرا نشان داده می‌شوند و غیره. او حسابی اعداد نامتناهی را بیشتر توسعه داد که شبیه به حساب محدود بود. بنابراین، او مفهوم بی نهایت را غنی کرد.

مخالفت هایی که او با آن روبه رو شد و مدت زمانی که طول کشید تا ایده های او به طور کامل پذیرفته شود، ناشی از دشواری های ارزیابی مجدد این پرسش باستانی است که عدد چیست. کانتور نشان داد که مجموعه نقاط روی یک خط دارای کاردینالیته بالاتری نسبت به الف صفر است. این به مشکل شناخته شده فرضیه پیوستگی منجر شد - هیچ اعداد اصلی بین الف-صفر و اصلی نقاط روی خط وجود ندارد. این مسئله در نیمه اول و دوم قرن بیستم علاقه زیادی را برانگیخت و توسط بسیاری از ریاضیدانان از جمله کرت گودل و پل کوهن مورد مطالعه قرار گرفت.

افسردگی

زندگی‌نامه گئورگ کانتور از سال 1884 تحت الشعاع شروع بیماری روانی قرار گرفت، اما او همچنان فعالانه به کار خود ادامه داد. در سال 1897 او به سازماندهی اولین کنگره بین المللی ریاضی در زوریخ کمک کرد. تا حدی به دلیل مخالفت کرونکر، او اغلب با ریاضیدانان جوان مشتاق همدردی می کرد و به دنبال یافتن راهی برای رهایی آنها از آزار و اذیت معلمانی بود که از ایده های جدید احساس خطر می کردند.

اعتراف

در آغاز قرن کار او به طور کامل به عنوان مبنایی برای نظریه تابع، تجزیه و تحلیل و توپولوژی پذیرفته شد. علاوه بر این، کتاب های کانتور گئورگ به عنوان انگیزه ای برای توسعه بیشتر مکاتب شهودی و فرمالیستی مبانی منطقی ریاضیات عمل کرد. این به طور قابل توجهی سیستم آموزشی را تغییر داد و اغلب با "ریاضیات جدید" همراه است.

در سال 1911، کانتور از جمله کسانی بود که برای جشن گرفتن پانصدمین سالگرد تاسیس دانشگاه سنت اندروز در اسکاتلند دعوت شده بود. او به امید دیدار با ریاضیدان آلمانی که در اثر اخیراً چاپ شده اش Principia Mathematica بارها به او اشاره شده بود به آنجا رفت، اما این اتفاق نیفتاد. دانشگاه به کانتور مدرک افتخاری اعطا کرد، اما بیماری مانع از آن شد که شخصاً این جایزه را بپذیرد.

کانتور در سال 1913 بازنشسته شد، در طول جنگ جهانی اول در فقر زندگی کرد و گرسنه بود. جشن های تولد 70 سالگی او در سال 1915 به دلیل جنگ لغو شد، اما مراسم کوچکی در خانه او برگزار شد. او در 6 ژانویه 1918 در هاله در یک بیمارستان روانی درگذشت و آخرین سالهای زندگی خود را در آنجا گذراند.

جورج کانتور: بیوگرافی. خانواده

در 9 اوت 1874، ریاضیدان آلمانی با والی گوتمن ازدواج کرد. این زوج 4 پسر و 2 دختر داشتند. آخرین فرزند در سال 1886 در خانه جدیدی که توسط کانتور خریداری شده بود متولد شد. ارث پدرش به او کمک کرد تا خانواده اش را تامین کند. سلامت کانتور تحت تأثیر مرگ کوچکترین پسرش در سال 1899 قرار گرفت - از آن زمان افسردگی او را رها نکرده است.