Zahl ist eine Abstraktion zur Quantifizierung von Objekten. Zahlen entstanden in der primitiven Gesellschaft im Zusammenhang mit dem Bedürfnis der Menschen, Gegenstände zu zählen. Im Laufe der Zeit, als sich die Wissenschaft entwickelte, wurde die Zahl zum wichtigsten mathematischen Konzept.

Um Probleme zu lösen und verschiedene Theoreme zu beweisen, müssen Sie verstehen, welche Arten von Zahlen es gibt. Zu den wichtigsten Arten von Zahlen gehören: ganze Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen.

Ganze Zahlen- Dabei handelt es sich um Zahlen, die man durch natürliches Zählen von Gegenständen bzw. durch deren Nummerierung erhält („erster“, „zweiter“, „dritter“...). Bezeichnet wird die Menge der natürlichen Zahlen Lateinischer Buchstabe N (Sie können sich erinnern, basierend auf englisches Wort natürlich). Das kann man sagen N ={1,2,3,....}

Ganze Zahlen- das sind Zahlen aus der Menge (0, 1, -1, 2, -2, ....). Diese Menge besteht aus drei Teilen – natürlichen Zahlen, negativen ganzen Zahlen (das Gegenteil natürlicher Zahlen) und der Zahl 0 (Null). Ganze Zahlen werden durch einen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet Z . Das kann man sagen Z ={1,2,3,....}.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch dargestellt werden, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Um anzuzeigen Rationale Zahlen Es wird ein lateinischer Buchstabe verwendet Q . Alle natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen sind rational. Beispiele für rationale Zahlen sind außerdem: ,,.

Reale Nummern- Das sind Zahlen, die zur Messung kontinuierlicher Größen verwendet werden. Ein Haufen reale Nummern wird mit dem lateinischen Buchstaben R bezeichnet. Zu den reellen Zahlen gehören rationale und irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen sind Zahlen, die durch die Durchführung verschiedener Operationen mit rationalen Zahlen (z. B. Wurzeln ziehen, Logarithmen berechnen) erhalten werden, aber nicht rational sind. Beispiele für irrationale Zahlen sind,,.

Auf dem Zahlenstrahl kann jede reelle Zahl dargestellt werden:

Für die oben aufgeführten Zahlenmengen gilt die folgende Aussage:

Das heißt, die Menge der natürlichen Zahlen ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten. Die Menge der ganzen Zahlen ist in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. Und die Menge der rationalen Zahlen ist in der Menge der reellen Zahlen enthalten. Diese Aussage lässt sich anhand von Eulerkreisen veranschaulichen.

Ein Haufen ist eine Menge beliebiger Objekte, die als Elemente dieser Menge bezeichnet werden.

Zum Beispiel: viele Schulkinder, viele Autos, viele Zahlen .

In der Mathematik wird die Menge viel umfassender betrachtet. Wir werden uns nicht zu sehr mit diesem Thema befassen, da es sich auf die höhere Mathematik bezieht und zunächst zu Lernschwierigkeiten führen kann. Wir werden nur den Teil des Themas betrachten, mit dem wir uns bereits befasst haben.

Unterrichtsinhalte

Bezeichnungen

Eine Menge wird am häufigsten mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet. In diesem Fall werden die Elemente in geschweifte Klammern eingeschlossen.

Zum Beispiel, wenn der Name unseres Freundes lautet Tom, John und Leo , dann können wir eine Reihe von Freunden definieren, deren Elemente sein werden Tom, John und Leo.

Bezeichnen wir viele unserer Freunde mit einem lateinischen Großbuchstaben F(Freunde), dann setzen Sie ein Gleichheitszeichen und listen Sie unsere Freunde in geschweiften Klammern auf:

F = (Tom, John, Leo)

Beispiel 2. Schreiben wir die Teilermenge der Zahl 6 auf.

Bezeichnen wir diese Menge mit einem beliebigen lateinischen Großbuchstaben, zum Beispiel mit dem Buchstaben D

dann setzen wir ein Gleichheitszeichen und listen die Elemente dieser Menge in geschweiften Klammern auf, das heißt, wir listen die Teiler der Zahl 6 auf

D = (1, 2, 3, 6)

Wenn ein Element zu einer bestimmten Menge gehört, wird diese Zugehörigkeit durch das Zugehörigkeitszeichen ∈ angezeigt. Beispielsweise gehört der Teiler 2 zur Menge der Teiler der Zahl 6 (die Menge). D). Es ist so geschrieben:

Liest sich wie: „2 gehört zur Menge der Teiler der Zahl 6“

Wenn ein Element nicht zu einer bestimmten Menge gehört, wird diese Nichtzugehörigkeit durch ein durchgestrichenes Zugehörigkeitszeichen ∉ angezeigt. Beispielsweise gehört der Teiler 5 nicht zur Menge D. Es ist so geschrieben:

Liest sich wie: „5 nicht gehören Satz Teiler der Zahl 6″

Darüber hinaus kann eine Menge durch direktes Auflisten der Elemente ohne Großbuchstaben geschrieben werden. Dies kann praktisch sein, wenn die Menge aus einer kleinen Anzahl von Elementen besteht. Definieren wir beispielsweise eine Menge eines Elements. Lass dieses Element unser Freund sein Volumen:

(Lautstärke)

Definieren wir eine Menge, die aus einer Zahl 2 besteht

{ 2 }

Definieren wir eine Menge, die aus zwei Zahlen besteht: 2 und 5

{ 2, 5 }

Menge natürlicher Zahlen

Dies ist das erste Set, mit dem wir angefangen haben zu arbeiten. Natürliche Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3 usw.

Natürliche Zahlen entstanden aufgrund des Bedürfnisses der Menschen, diese anderen Objekte zu zählen. Zählen Sie beispielsweise die Anzahl der Hühner, Kühe und Pferde. Natürliche Zahlen entstehen beim Zählen auf natürliche Weise.

In früheren Lektionen, als wir das Wort verwendet haben "Nummer" Meistens war eine natürliche Zahl gemeint.

In der Mathematik wird die Menge der natürlichen Zahlen mit einem Großbuchstaben bezeichnet N.

Lassen Sie uns zum Beispiel darauf hinweisen, dass die Zahl 1 zur Menge der natürlichen Zahlen gehört. Dazu schreiben wir die Zahl 1 auf und geben dann mit dem Zugehörigkeitszeichen ∈ an, dass die Einheit zur Menge gehört N

1 ∈ N

Liest sich wie: „man gehört zur Menge der natürlichen Zahlen“

Satz von ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen umfasst alle positiven Zahlen und sowie die Zahl 0.

Eine Menge ganzer Zahlen wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet Z .

Wir weisen beispielsweise darauf hin, dass die Zahl −5 zur Menge der ganzen Zahlen gehört:

−5 ∈ Z

Wir weisen darauf hin, dass 10 zur Menge der ganzen Zahlen gehört:

10 ∈ Z

Wir weisen darauf hin, dass 0 zur Menge der ganzen Zahlen gehört:

In Zukunft nennen wir alle positiven und negativen Zahlen einen Satz – ganze Zahlen.

Satz rationaler Zahlen

Rationale Zahlen sind dieselben gemeinsame Brüche was wir noch heute studieren.

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann A- Zähler des Bruchs, B- Nenner.

Zähler und Nenner können beliebige Zahlen sein, auch ganze Zahlen (mit Ausnahme von Null, da eine Division durch Null nicht möglich ist).

Stellen Sie sich das zum Beispiel statt vor A ist die Zahl 10, aber stattdessen B- Nummer 2

10 geteilt durch 2 ergibt 5. Wir sehen, dass die Zahl 5 als Bruch dargestellt werden kann, was bedeutet, dass die Zahl 5 in der Menge der rationalen Zahlen enthalten ist.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Zahl 5 auch für die Menge der ganzen Zahlen gilt. Daher ist die Menge der ganzen Zahlen in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. Das bedeutet, dass die Menge der rationalen Zahlen nicht nur gewöhnliche Brüche, sondern auch ganze Zahlen der Form −2, −1, 0, 1, 2 umfasst.

Stellen wir uns das stattdessen vor A die Zahl ist 12, aber stattdessen B- Nummer 5.

12 geteilt durch 5 ergibt 2,4. Wir sehen, dass der Dezimalbruch 2,4 als Bruch dargestellt werden kann, was bedeutet, dass er in der Menge der rationalen Zahlen enthalten ist. Daraus schließen wir, dass die Menge der rationalen Zahlen nicht nur gewöhnliche Brüche und ganze Zahlen, sondern auch Dezimalbrüche umfasst.

Wir haben den Bruch berechnet und die Antwort 2,4 erhalten. Aber wir könnten den gesamten Teil dieses Bruchs hervorheben:

Wenn Sie den ganzen Teil eines Bruchs isolieren, erhalten Sie eine gemischte Zahl. Wir sehen, dass eine gemischte Zahl auch als Bruch dargestellt werden kann. Das bedeutet, dass die Menge der rationalen Zahlen auch gemischte Zahlen umfasst.

Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass die Menge der rationalen Zahlen enthält:

• ganze Zahlen
• gemeinsame Brüche
• Dezimalstellen
• gemischte Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet Q.

Wir weisen beispielsweise darauf hin, dass ein Bruch zur Menge der rationalen Zahlen gehört. Dazu schreiben wir den Bruch selbst auf und geben dann mit dem Zugehörigkeitszeichen ∈ an, dass der Bruch zur Menge der rationalen Zahlen gehört:

∈ Q

Wir weisen darauf hin, dass der Dezimalbruch 4,5 zur Menge der rationalen Zahlen gehört:

4,5 ∈ Q

Wir weisen darauf hin, dass eine gemischte Zahl zur Menge der rationalen Zahlen gehört:

∈ Q

Die Einführungslektion zu Sets ist abgeschlossen. In Zukunft werden wir Sets viel besser in Betracht ziehen, aber zunächst einmal das, was wir in besprochen haben diese Lektion wird ausreichen.

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Aus einer riesigen Vielfalt aller Art Sätze Von besonderem Interesse sind die sogenannten Zahlensätze, also Mengen, deren Elemente Zahlen sind. Es ist klar, dass man in der Lage sein muss, sie aufzuschreiben, um bequem mit ihnen arbeiten zu können. Wir beginnen diesen Artikel mit der Notation und den Prinzipien zum Schreiben numerischer Mengen. Schauen wir uns als Nächstes an, wie numerische Mengen auf einer Koordinatenlinie dargestellt werden.

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Zahlensätze schreiben

Beginnen wir mit der akzeptierten Notation. Wie Sie wissen, werden Großbuchstaben des lateinischen Alphabets zur Bezeichnung von Mengen verwendet. Als Sonderfall von Mengen werden auch Zahlenmengen bezeichnet. Wir können zum Beispiel über die Zahlenmengen A, H, W usw. sprechen. Von besonderer Bedeutung sind die Mengen natürlicher, ganzzahliger, rationaler, reeller, komplexe Zahlen usw., für sie wurden eigene Bezeichnungen übernommen:

• N – Menge aller natürlichen Zahlen;
• Z – Menge von ganzen Zahlen;
• Q – Menge rationaler Zahlen;
• J – Menge irrationaler Zahlen;
• R – Menge reeller Zahlen;
• C ist die Menge der komplexen Zahlen.

Von hier aus ist klar, dass man eine Menge, die beispielsweise aus zwei Zahlen 5 und −7 besteht, nicht als Q bezeichnen sollte, da diese Bezeichnung irreführend ist, da der Buchstabe Q normalerweise die Menge aller rationalen Zahlen bezeichnet. Um den angegebenen Zahlensatz zu bezeichnen, ist es besser, einen anderen „neutralen“ Buchstaben zu verwenden, zum Beispiel A.

Da es sich um Notation handelt, erinnern wir uns hier auch an die Notation einer leeren Menge, also einer Menge, die keine Elemente enthält. Es wird mit dem Zeichen ∅ bezeichnet.

Erinnern wir uns auch an die Bezeichnung, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht. Verwenden Sie dazu die Zeichen ∈ – gehört und ∉ – gehört nicht. Beispielsweise bedeutet die Notation 5∈N, dass die Zahl 5 zur Menge der natürlichen Zahlen gehört, und 5,7∉Z – der Dezimalbruch 5,7 gehört nicht zur Menge der ganzen Zahlen.

Und erinnern wir uns auch an die Notation, die für die Eingliederung einer Menge in eine andere verwendet wurde. Es ist klar, dass alle Elemente der Menge N in der Menge Z enthalten sind, also ist die Zahlenmenge N in Z enthalten, dies wird als N⊂Z bezeichnet. Sie können auch die Notation Z⊃N verwenden, was bedeutet, dass die Menge aller ganzen Zahlen Z die Menge N enthält. Die nicht enthaltenen und nicht enthaltenen Beziehungen werden durch ⊄ bzw. gekennzeichnet. Es werden auch nicht strikte Inklusionszeichen der Form ⊆ und ⊇ verwendet, was „inklusive“ oder „koinzidiert“ bzw. „einschließt“ oder „koinzidiert“ bedeutet.

Nachdem wir über die Notation gesprochen haben, kommen wir nun zur Beschreibung numerischer Mengen. In diesem Fall gehen wir nur auf die Hauptfälle ein, die in der Praxis am häufigsten verwendet werden.

Beginnen wir mit numerischen Mengen, die eine endliche und kleine Anzahl von Elementen enthalten. Es ist praktisch, numerische Mengen, die aus einer endlichen Anzahl von Elementen bestehen, durch die Auflistung aller ihrer Elemente zu beschreiben. Alle Zahlenelemente werden durch Kommas getrennt geschrieben und in eingeschlossen, was dem Allgemeinen entspricht Regeln zur Beschreibung von Mengen. Beispielsweise kann eine Menge bestehend aus den drei Zahlen 0, −0,25 und 4/7 als (0, −0,25, 4/7) beschrieben werden.

Manchmal, wenn die Anzahl der Elemente einer numerischen Menge recht groß ist, die Elemente jedoch einem bestimmten Muster folgen, werden zur Beschreibung Auslassungspunkte verwendet. Beispielsweise kann die Menge aller ungeraden Zahlen von 3 bis einschließlich 99 als (3, 5, 7, ..., 99) geschrieben werden.

Wir haben uns also reibungslos der Beschreibung numerischer Mengen genähert, deren Anzahl der Elemente unendlich ist. Manchmal können sie mit denselben Ellipsen beschrieben werden. Beschreiben wir zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen: N=(1, 2. 3, …) .

Sie verwenden auch die Beschreibung numerischer Mengen, indem sie die Eigenschaften ihrer Elemente angeben. In diesem Fall wird die Notation (x| Properties) verwendet. Beispielsweise gibt die Notation (n| 8·n+3, n∈N) die Menge der natürlichen Zahlen an, die bei Division durch 8 einen Rest von 3 übrig lassen. Dieselbe Menge kann als (11,19, 27, ...) beschrieben werden.

In besonderen Fällen sind numerische Mengen mit unendlich vielen Elementen die bekannten Mengen N, Z, R usw. oder Zahlenintervalle. Grundsätzlich werden numerische Mengen dargestellt als Union ihre konstituierenden einzelnen numerischen Intervalle und numerischen Mengen mit einer endlichen Anzahl von Elementen (über die wir gerade oben gesprochen haben).

Lassen Sie uns ein Beispiel zeigen. Die Zahlenmenge bestehe aus den Zahlen −10, −9, −8,56, 0, allen Zahlen des Segments [−5, −1,3] und den Zahlen des offenen Zahlenstrahls (7, +∞). Aufgrund der Definition einer Mengenvereinigung kann die angegebene numerische Menge geschrieben werden als {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Diese Notation bedeutet eigentlich eine Menge, die alle Elemente der Mengen (−10, −9, −8,56, 0), [−5, −1,3] und (7, +∞) enthält.

Ebenso kann durch die Kombination verschiedener Zahlenintervalle und Mengen einzelner Zahlen jede beliebige Zahlenmenge (bestehend aus reellen Zahlen) beschrieben werden. Hier wird deutlich, warum solche Arten von Zahlenintervallen wie Intervall, Halbintervall, Segment, offener Zahlenstrahl und Zahlenstrahl eingeführt wurden: Sie alle ermöglichen, gepaart mit Notationen für Mengen einzelner Zahlen, die Beschreibung beliebiger Zahlenmengen durch ihre Gewerkschaft.

Bitte beachten Sie, dass beim Schreiben eines Zahlensatzes die darin enthaltenen Zahlen und Zahlenintervalle in aufsteigender Reihenfolge geordnet werden. Dies ist keine notwendige, aber wünschenswerte Bedingung, da sich eine geordnete Zahlenmenge leichter vorstellen und auf einer Koordinatenlinie darstellen lässt. Beachten Sie auch, dass solche Datensätze keine numerischen Intervalle verwenden gemeinsame Elemente, da solche Datensätze durch die Kombination numerischer Intervalle ohne gemeinsame Elemente ersetzt werden können. Beispielsweise ist die Vereinigung numerischer Mengen mit gemeinsamen Elementen [−10, 0] und (−5, 3) das Halbintervall [−10, 3) . Das Gleiche gilt für die Vereinigung numerischer Intervalle mit gleichen Randzahlen, zum Beispiel ist die Vereinigung (3, 5]∪(5, 7] eine Menge (3, 7] , darauf werden wir gesondert eingehen, wenn wir das lernen Finden Sie den Schnittpunkt und die Vereinigung numerischer Mengen

Darstellung von Zahlenmengen auf einer Koordinatenlinie

In der Praxis ist es zweckmäßig, geometrische Bilder numerischer Mengen zu verwenden – deren Bilder. Zum Beispiel wann Ungleichheiten lösen, in denen ODZ berücksichtigt werden muss, ist es notwendig, Zahlenmengen darzustellen, um deren Schnittpunkt und/oder Vereinigung zu finden. Daher ist es hilfreich, alle Nuancen der Darstellung numerischer Mengen auf einer Koordinatenlinie gut zu verstehen.

Es ist bekannt, dass zwischen den Punkten der Koordinatenlinie und den reellen Zahlen eine Eins-zu-eins-Entsprechung besteht, was bedeutet, dass die Koordinatenlinie selbst ein geometrisches Modell der Menge aller reellen Zahlen R ist. Um die Menge aller reellen Zahlen darzustellen, müssen Sie also eine Koordinatenlinie mit Schattierung über ihre gesamte Länge zeichnen:

Und oft geben sie nicht einmal den Ursprung und das Einheitensegment an:

Lassen Sie uns nun über das Bild numerischer Mengen sprechen, die eine bestimmte endliche Anzahl einzelner Zahlen darstellen. Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlenmenge darstellen (−2, −0,5, 1,2) . Das geometrische Bild dieser Menge, bestehend aus drei Zahlen −2, −0,5 und 1,2, sind drei Punkte der Koordinatenlinie mit den entsprechenden Koordinaten:

Beachten Sie, dass es aus praktischen Gründen in der Regel nicht erforderlich ist, die Zeichnung genau auszuführen. Oft reicht eine schematische Zeichnung aus, was bedeutet, dass in diesem Fall nicht der Maßstab eingehalten werden muss; es ist lediglich wichtig, die relative Position der Punkte relativ zueinander beizubehalten: Jeder Punkt mit einer kleineren Koordinate muss zum links von einem Punkt mit einer größeren Koordinate. Die vorherige Zeichnung sieht schematisch wie folgt aus:

Separat werden von allen Arten von Zahlenmengen Zahlenintervalle (Intervalle, Halbintervalle, Strahlen usw.) unterschieden, die ihre geometrischen Bilder darstellen, die wir im Abschnitt ausführlich untersucht haben. Wir werden uns hier nicht wiederholen.

Und es bleibt nur noch beim Bild der Zahlenmengen zu verweilen, die eine Vereinigung mehrerer Zahlenintervalle und Mengen bestehend aus einzelnen Zahlen darstellen. Hier gibt es nichts Schwieriges: Entsprechend der Bedeutung der Vereinigung müssen in diesen Fällen alle Komponenten der Menge einer gegebenen Zahlenmenge auf der Koordinatenlinie dargestellt werden. Als Beispiel zeigen wir ein Bild einer Zahlenmenge (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Und lassen Sie uns auf ziemlich häufige Fälle eingehen, in denen die abgebildete Zahlenmenge die gesamte Menge der reellen Zahlen darstellt, mit Ausnahme eines oder mehrerer Punkte. Solche Mengen werden oft durch Bedingungen wie x≠5 oder x≠−1, x≠2, x≠3,7 usw. spezifiziert. In diesen Fällen repräsentieren sie geometrisch die gesamte Koordinatenlinie mit Ausnahme der entsprechenden Punkte. Mit anderen Worten: Diese Punkte müssen aus der Koordinatenlinie „herausgezupft“ werden. Sie werden als Kreise mit leerem Zentrum dargestellt. Zur Verdeutlichung lassen Sie uns einen numerischen Satz darstellen, der den Bedingungen entspricht (Diese Menge existiert im Wesentlichen):

Zusammenfassen. Idealerweise sollten die Informationen aus den vorherigen Absätzen die gleiche Sicht auf die Aufnahme und Darstellung von Zahlenmengen bilden wie die Sicht auf einzelne Zahlenintervalle: Die Aufnahme einer Zahlenmenge sollte sofort ihr Abbild auf der Koordinatenlinie und vom Bild an geben Mit der Koordinatenlinie sollten wir in der Lage sein, die entsprechende Zahlenmenge durch die Vereinigung einzelner Intervalle und aus einzelnen Zahlen bestehender Mengen leicht zu beschreiben.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.

Zahlen zu verstehen, insbesondere natürliche Zahlen, ist eine der ältesten mathematischen „Fähigkeiten“. Viele Zivilisationen, auch moderne, haben Zahlen aufgrund ihrer enormen Bedeutung für die Beschreibung der Natur bestimmte mystische Eigenschaften zugeschrieben. Obwohl moderne Wissenschaft Obwohl die Mathematik diese „magischen“ Eigenschaften nicht bestätigt, ist die Bedeutung der Zahlentheorie unbestreitbar.

Historisch gesehen tauchten zuerst verschiedene natürliche Zahlen auf, dann wurden ihnen relativ schnell Brüche und positive irrationale Zahlen hinzugefügt. Nach diesen Teilmengen der Menge der reellen Zahlen wurden Null und negative Zahlen eingeführt. Die letzte Menge, die Menge der komplexen Zahlen, erschien erst mit der Entwicklung der modernen Wissenschaft.

In der modernen Mathematik werden Zahlen nicht in historischer Reihenfolge eingeführt, obwohl sie dieser recht nahe kommen.

Natürliche Zahlen $\mathbb(N)$

Die Menge der natürlichen Zahlen wird oft als $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ bezeichnet und oft mit Nullen aufgefüllt, um $\mathbb(N)_0$ zu bezeichnen.

$\mathbb(N)$ definiert die Operationen der Addition (+) und Multiplikation ($\cdot$) mit den folgenden Eigenschaften für jedes $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ die Menge $\mathbb(N)$ wird unter den Operationen der Addition und Multiplikation abgeschlossen
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ Kommutativität
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ Assoziativität
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ Distributivität
5. $a\cdot 1=a$ ist ein neutrales Element für die Multiplikation

Da die Menge $\mathbb(N)$ ein neutrales Element für die Multiplikation, aber nicht für die Addition enthält, stellt das Hinzufügen einer Null zu dieser Menge sicher, dass sie ein neutrales Element für die Addition enthält.

Zusätzlich zu diesen beiden Operationen gibt es auch die „Kleiner-als“-Beziehungen ($

1. $a b$ Trichotomie
2. wenn $a\leq b$ und $b\leq a$, dann $a=b$ Antisymmetrie
3. Wenn $a\leq b$ und $b\leq c$, dann ist $a\leq c$ transitiv
4. Wenn $a\leq b$, dann $a+c\leq b+c$
5. Wenn $a\leq b$, dann $a\cdot c\leq b\cdot c$

Ganze Zahlen $\mathbb(Z)$

Beispiele für ganze Zahlen:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Die Lösung der Gleichung $a+x=b$, wobei $a$ und $b$ bekannte natürliche Zahlen und $x$ eine unbekannte natürliche Zahl ist, erfordert die Einführung neuer Betrieb- Subtraktion(-). Wenn es eine natürliche Zahl $x$ gibt, die diese Gleichung erfüllt, dann ist $x=b-a$. Diese spezielle Gleichung hat jedoch nicht unbedingt eine Lösung auf der Menge $\mathbb(N)$, daher erfordern praktische Überlegungen eine Erweiterung der Menge natürlicher Zahlen, um Lösungen für eine solche Gleichung einzubeziehen. Dies führt zur Einführung einer Menge von ganzen Zahlen: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Da $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ ist, ist es logisch anzunehmen, dass die zuvor eingeführten Operationen $+$ und $\cdot$ und die Beziehungen $ 1. $0+a=a+0=a$ sind es gibt ein neutrales Element zur Ergänzung
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ es gibt eine Gegenzahl $-a$ für $a$

Eigenschaft 5.:
5. Wenn $0\leq a$ und $0\leq b$, dann $0\leq a\cdot b$

Die Menge $\mathbb(Z)$ wird auch unter der Subtraktionsoperation abgeschlossen, also $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rationale Zahlen $\mathbb(Q)$

Beispiele für rationale Zahlen:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Betrachten Sie nun Gleichungen der Form $a\cdot x=b$, wobei $a$ und $b$ bekannte ganze Zahlen sind und $x$ eine Unbekannte ist. Damit die Lösung möglich ist, muss die Divisionsoperation ($:$) eingeführt werden, und die Lösung hat die Form $x=b:a$, also $x=\frac(b)(a)$ . Auch hier tritt das Problem auf, dass $x$ nicht immer zu $\mathbb(Z)$ gehört, sodass die Menge der ganzen Zahlen erweitert werden muss. Dies führt die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb(Q)$ mit den Elementen $\frac(p)(q)$ ein, wobei $p\in \mathbb(Z)$ und $q\in \mathbb(N)$. Die Menge $\mathbb(Z)$ ist eine Teilmenge, in der jedes Element $q=1$ ist, daher erstrecken sich $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ und die Operationen der Addition und Multiplikation gemäß auf diese Menge Regeln befolgen, die alle oben genannten Eigenschaften auf der Menge $\mathbb(Q)$ bewahren:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Die Einteilung wird wie folgt eingeleitet:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Auf der Menge $\mathbb(Q)$ hat die Gleichung $a\cdot x=b$ eine eindeutige Lösung für jedes $a\neq 0$ (Division durch Null ist undefiniert). Das bedeutet, dass es ein inverses Element $\frac(1)(a)$ oder $a^(-1)$ gibt:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Die Ordnung der Menge $\mathbb(Q)$ kann wie folgt erweitert werden:
$\frac(p_1)(q_1)

Die Menge $\mathbb(Q)$ hat eine wichtige Eigenschaft: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele andere rationale Zahlen, daher gibt es im Gegensatz zu den Mengen natürlicher Zahlen und ganzer Zahlen keine zwei benachbarten rationalen Zahlen.

Irrationale Zahlen $\mathbb(I)$

Beispiele für irrationale Zahlen:
$\sqrt(2) \ca. 1,41422135...$
$\pi\ungefähr 3,1415926535...$

Da es zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen unendlich viele andere rationale Zahlen gibt, kann man leicht fälschlicherweise schlussfolgern, dass die Menge der rationalen Zahlen so dicht ist, dass keine Notwendigkeit besteht, sie weiter zu erweitern. Sogar Pythagoras machte seinerzeit einen solchen Fehler. Allerdings widerlegten seine Zeitgenossen diese Schlussfolgerung bereits, als sie Lösungen der Gleichung $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) auf der Menge der rationalen Zahlen untersuchten. Um eine solche Gleichung zu lösen, muss das Konzept einer Quadratwurzel eingeführt werden, und dann hat die Lösung dieser Gleichung die Form $x=\sqrt(2)$. Eine Gleichung wie $x^2=a$, bei der $a$ eine bekannte rationale Zahl und $x$ eine unbekannte ist, hat nicht immer eine Lösung für die Menge der rationalen Zahlen, und es besteht erneut die Notwendigkeit, sie zu erweitern Satz. Es entsteht eine Menge irrationaler Zahlen, zu der Zahlen wie $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gehören.

Reelle Zahlen $\mathbb(R)$

Die Vereinigung der Mengen rationaler und irrationaler Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen. Da $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ ist es wiederum logisch anzunehmen, dass die eingeführten arithmetischen Operationen und Beziehungen ihre Eigenschaften auf der neuen Menge behalten. Der formale Beweis hierfür ist sehr schwierig, daher werden die oben genannten Eigenschaften arithmetischer Operationen und Beziehungen auf der Menge der reellen Zahlen als Axiome eingeführt. In der Algebra wird ein solches Objekt als Körper bezeichnet, daher wird die Menge der reellen Zahlen als geordneter Körper bezeichnet.

Damit die Definition der Menge der reellen Zahlen vollständig ist, muss ein zusätzliches Axiom eingeführt werden, das die Mengen $\mathbb(Q)$ und $\mathbb(R)$ unterscheidet. Angenommen, $S$ ist eine nicht leere Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. Ein Element $b\in \mathbb(R)$ heißt Obergrenze einer Menge $S$, wenn $\forall x\in S$ $x\leq b$ enthält. Dann sagen wir, dass die Menge $S$ nach oben beschränkt ist. Die kleinste Obergrenze der Menge $S$ wird Supremum genannt und mit $\sup S$ bezeichnet. Die Konzepte der Untergrenze, der nach unten beschränkten Menge und des Infinums $\inf S$ werden auf ähnliche Weise eingeführt. Nun wird das fehlende Axiom wie folgt formuliert:

Jede nicht leere und nach oben beschränkte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen hat ein Supremum.
Es lässt sich auch beweisen, dass der so definierte Körper der reellen Zahlen eindeutig ist.

Komplexe Zahlen$\mathbb(C)$

Beispiele für komplexe Zahlen:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ wobei $i = \sqrt(-1)$ oder $i^2 = -1$

Die Menge der komplexen Zahlen stellt alle geordneten Paare reeller Zahlen dar, d. h. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, auf denen die Operationen von Addition und Multiplikation werden wie folgt definiert:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Es gibt verschiedene Formen, komplexe Zahlen zu schreiben, von denen die gebräuchlichste $z=a+ib$ ist, wobei $(a,b)$ ein Paar reeller Zahlen ist und die Zahl $i=(0,1)$ ist heißt die imaginäre Einheit.

Es ist leicht zu zeigen, dass $i^2=-1$. Die Erweiterung der Menge $\mathbb(R)$ auf die Menge $\mathbb(C)$ ermöglicht uns die Definition Quadratwurzel der negativen Zahlen, was der Grund für die Einführung der Menge der komplexen Zahlen war. Es ist auch leicht zu zeigen, dass eine Teilmenge der Menge $\mathbb(C)$, gegeben durch $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, erfüllt alle Axiome für reelle Zahlen, daher $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, oder $R\subset\mathbb(C)$.

Die algebraische Struktur der Menge $\mathbb(C)$ bezüglich der Operationen der Addition und Multiplikation hat die folgenden Eigenschaften:
1. Kommutativität der Addition und Multiplikation
2. Assoziativität von Addition und Multiplikation
3. $0+i0$ – neutrales Element für die Addition
4. $1+i0$ – neutrales Element für die Multiplikation
5. Die Multiplikation ist in Bezug auf die Addition distributiv
6. Es gibt eine einzige Umkehrung sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.

Zustand Bildungseinrichtung

Durchschnitt Berufsausbildung

Tula-Region

„Aleksinsky Mechanical Engineering College“

Numerisch

Sätze

Entworfen von

Lehrer

Mathematiker

Christoforova M.Yu.

Nummer - Basiskonzept , benutzt für Merkmale, Vergleiche, und ihre Teile. Geschriebene Zeichen zur Bezeichnung von Zahlen sind , und auch mathematisch .

Der Zahlenbegriff entstand in der Antike aus den praktischen Bedürfnissen der Menschen und entwickelte sich im Prozess der menschlichen Entwicklung. Region Menschliche Aktivität erweitert und dementsprechend stieg der Bedarf an quantitativer Beschreibung und Forschung. Der Zahlbegriff wurde zunächst durch die in der menschlichen Praxis immer komplexer werdenden Bedürfnisse des Zählens und Messens bestimmt. Später wird die Zahl zum Grundbegriff der Mathematik und die Bedürfnisse dieser Wissenschaft bestimmen weitere Entwicklung dieses Konzept.

Mengen, deren Elemente Zahlen sind, heißen numerisch.

Beispiele für Zahlenmengen sind:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) – Menge natürlicher Zahlen;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) – Menge nicht negativer Ganzzahlen;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) – Menge von ganzen Zahlen;

Q=(m/n: m Z,n N) ist die Menge der rationalen Zahlen.

R-Menge reeller Zahlen.

Zwischen diesen Mengen besteht eine Beziehung

N Zo Z Q R.

Nummern des FormularsN = (1, 2, 3, ....) werden genanntnatürlich . Natürliche Zahlen entstanden im Zusammenhang mit der Notwendigkeit, Gegenstände zu zählen.

Beliebig , größer als die Einheit, kann als Produkt von Kräften dargestellt werden Primzahlen, Und der einzige Weg bis hin zur Reihenfolge der Faktoren. Beispiel: 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

Wennm, n, k - natürliche Zahlen, dann wannm - n = k Sie sagen, dassm – Minuend, n – Subtrahend, k – Differenz; beim: n = k Sie sagen, dassm - Dividende, n - Divisor, k - Quotient, NummerM auch genanntVielfache ZahlenN, und die Nummern - Teiler ZahlenM, Wenn die NummerM- Vielfaches einer ZahlN, dann gibt es eine natürliche Zahlk, so dassm = kn.

Aus Zahlen unter Verwendung von Rechenzeichen und Klammern werden sie zusammengesetztnumerische Ausdrücke. Wenn Sie die angegebenen Aktionen in numerischer Form ausführen und dabei die akzeptierte Reihenfolge einhalten, erhalten Sie eine aufgerufene Nummerder Wert des Ausdrucks .

Die Reihenfolge der arithmetischen Operationen: die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt; Innerhalb etwaiger Klammern werden zuerst Multiplikation und Division durchgeführt, dann Addition und Subtraktion.

Wenn eine natürliche ZahlM ist nicht durch eine natürliche Zahl teilbarN, diese. Es gibt keine solche Sachenatürliche Zahl k, Wasm =kn, dann überlegen sieDivision mit Rest: m = np + r, Wom – Dividende, n – Divisor (m>n), p – Quotient, r - Rest .

Wenn eine Zahl nur zwei Teiler hat (die Zahl selbst und eins), dann heißt sieeinfach : Wenn eine Zahl mehr als zwei Teiler hat, heißt siezusammengesetzt.

Jede zusammengesetzte natürliche Zahl kann seinfaktorisieren , und zwar nur in eine Richtung. Wenn Sie Zahlen in Primfaktoren zerlegen, verwenden SieZeichen der Teilbarkeit .

A UndB kann gefunden werdengrößter gemeinsamer Teiler. Es ist ausgewiesenTupfen). Wenn die ZahlenA UndB sind soD(a,b) = 1, dann die ZahlenA UndB werden genanntgegenseitig einfach.

Für beliebige gegebene natürliche ZahlenA UndB kann gefunden werdenkleinstes gemeinsames Vielfaches. Es ist ausgewiesenK(a,b). Jedes gemeinsame Vielfache von ZahlenA UndB geteilt durchK(a,b).

Wenn die ZahlenA Undb relativ prim , d.h.D(a,b) = 1, DasK(a,b) = ab .

Nummern des Formulars:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) werden genannt ganze Zahlen , diese. Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen, das Gegenteil der natürlichen Zahlen und die Zahl 0.

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5... werden auch positive ganze Zahlen genannt. Die Zahlen -1, -2, -3, -4, -5, ..., das Gegenteil der natürlichen Zahlen, werden negative ganze Zahlen genannt.

Bedeutende Zahlen Eine Zahl besteht aus allen Ziffern mit Ausnahme der führenden Nullen.

Eine sich sequentiell wiederholende Gruppe von Ziffern nach dem Komma in der Dezimalschreibweise einer Zahl wird aufgerufenZeitraum, und ein unendlicher Dezimalbruch mit einem solchen Punkt in seiner Notation heißtperiodisch . Beginnt der Punkt unmittelbar nach dem Dezimalpunkt, wird der Bruch genanntrein periodisch ; liegen zwischen dem Dezimalpunkt und dem Punkt weitere Nachkommastellen, so heißt der Bruchgemischt periodisch .

Es werden Zahlen aufgerufen, die keine ganzen Zahlen oder Brüche sindirrational .

Jede irrationale Zahl wird als nichtperiodischer unendlicher Dezimalbruch dargestellt.

Die Menge alles Endlichen und Unendlichen Dezimalstellen angerufenviele reale Nummern : rational und irrational.

Die Menge R der reellen Zahlen hat die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist geordnet: Für zwei beliebige verschiedene Zahlen α und b gilt eine von zwei Beziehungen: a

2. Die Menge R ist dicht: zwischen zwei beliebigen verschiedene Zahlen a und b enthalten eine unendliche Menge reeller Zahlen x, also Zahlen, die die Ungleichung a erfüllen<х

Also, wenn a

(A 2a< A+bA+b<2b  2 A A<(a+b)/2

Reelle Zahlen können als Punkte auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Um eine Zahlenlinie zu definieren, müssen Sie einen Punkt auf der Linie markieren, der der Zahl 0 entspricht – dem Ursprung – und dann ein Einheitssegment auswählen und die positive Richtung angeben.

Jeder Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht einer Zahl, die als Länge des Segments vom Ursprung zum betreffenden Punkt definiert ist, wobei als Maßeinheit ein Einheitssegment verwendet wird. Diese Zahl ist die Koordinate des Punktes. Liegt ein Punkt rechts vom Ursprung, ist seine Koordinate positiv, liegt er links, ist er negativ. Beispielsweise haben die Punkte O und A die Koordinaten 0 bzw. 2, die wie folgt geschrieben werden können: 0(0), A(2).