Betrachten Sie axiale und zentrale Symmetrien als Eigenschaften einiger geometrische Formen; Betrachten Sie axiale und zentrale Symmetrien als Eigenschaften einiger geometrischer Figuren; In der Lage sein, symmetrische Punkte zu konstruieren und Figuren zu erkennen, die in Bezug auf einen Punkt oder eine Linie symmetrisch sind; In der Lage sein, symmetrische Punkte zu konstruieren und Figuren zu erkennen, die in Bezug auf einen Punkt oder eine Linie symmetrisch sind; Verbesserung der Fähigkeiten zur Problemlösung; Verbesserung der Fähigkeiten zur Problemlösung; Arbeiten Sie weiterhin an der genauen Aufzeichnung und Vervollständigung geometrischer Zeichnungen. Arbeiten Sie weiterhin an der genauen Aufzeichnung und Vervollständigung geometrischer Zeichnungen.

Mündliche Arbeit „Sanftes Fragen“ Mündliche Arbeit „Sanftes Fragen“ Welcher Punkt wird als Mitte des Segments bezeichnet? Welches Dreieck heißt gleichschenklig? Welche Eigenschaften haben die Diagonalen einer Raute? Geben Sie die Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks an. Welche Geraden heißen Senkrechte? Welches Dreieck heißt gleichseitig? Welche Eigenschaften haben die Diagonalen eines Quadrats? Welche Zahlen werden als gleich bezeichnet?

Welche neuen Konzepte haben Sie im Unterricht gelernt? Welche neuen Konzepte haben Sie im Unterricht gelernt? Was haben Sie Neues über geometrische Formen gelernt? Was haben Sie Neues über geometrische Formen gelernt? Nennen Sie Beispiele für geometrische Figuren, die Folgendes haben axiale Symmetrie. Nennen Sie Beispiele für geometrische Formen mit Achsensymmetrie. Geben Sie ein Beispiel für Figuren mit zentraler Symmetrie. Geben Sie ein Beispiel für Figuren mit zentraler Symmetrie. Nennen Sie Beispiele für Objekte aus dem umgebenden Leben, die eine oder zwei Arten von Symmetrie aufweisen. Nennen Sie Beispiele für Objekte aus dem umgebenden Leben, die eine oder zwei Arten von Symmetrie aufweisen.

Symmetrie ist seit Jahrhunderten ein Thema, das Philosophen, Astronomen, Mathematiker, Künstler, Architekten und Physiker fasziniert. Die alten Griechen waren davon völlig besessen – und auch heute noch begegnen wir Symmetrie in allem, von der Möbelanordnung bis zum Haarschnitt.

Bedenken Sie jedoch, dass Sie, sobald Sie dies erkennen, wahrscheinlich den überwältigenden Drang verspüren werden, in allem, was Sie sehen, nach Symmetrie zu suchen.

(Insgesamt 10 Fotos)

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1. Brokkoli Romanesco

Vielleicht haben Sie Romanesco-Brokkoli im Laden gesehen und dachten, es sei ein weiteres Beispiel für ein gentechnisch verändertes Produkt. Tatsächlich ist dies jedoch ein weiteres Beispiel für die fraktale Symmetrie der Natur. Jedes Brokkoliröschen hat ein logarithmisches Spiralmuster. Romanesco ähnelt im Aussehen Brokkoli, aber im Geschmack und in der Konsistenz - Blumenkohl. Es ist reich an Carotinoiden sowie den Vitaminen C und K, was es nicht nur zu einem schönen, sondern auch zu einem gesunden Lebensmittel macht.

Seit Jahrtausenden staunen Menschen über die perfekte sechseckige Form von Waben und fragen sich, wie Bienen instinktiv eine Form erschaffen können, die der Mensch nur mit Zirkel und Lineal reproduzieren kann. Wie und warum haben Bienen eine Leidenschaft für die Schaffung von Sechsecken? Mathematiker glauben, dass dies der Fall ist Perfekte Form Dadurch können sie mit möglichst wenig Wachs die größtmögliche Menge Honig lagern. Wie auch immer, es ist alles ein Produkt der Natur und es ist verdammt beeindruckend.

3. Sonnenblumen

Sonnenblumen zeichnen sich durch Radialsymmetrie und eine interessante Art von Symmetrie aus, die als Fibonacci-Folge bekannt ist. Fibonacci-Folge: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 usw. (Jede Zahl wird durch die Summe der beiden vorherigen Zahlen bestimmt.) Wenn wir uns die Zeit nehmen und die Anzahl der Samen einer Sonnenblume zählen würden, würden wir feststellen, dass die Anzahl der Spiralen nach den Prinzipien der Fibonacci-Folge wächst. In der Natur gibt es viele Pflanzen (einschließlich Romanesco-Brokkoli), deren Blütenblätter, Samen und Blätter dieser Reihenfolge entsprechen, weshalb es so schwierig ist, einen Klee mit vier Blättern zu finden.

Aber warum folgen Sonnenblumen und andere Pflanzen mathematischen Regeln? Wie bei den Sechsecken in einem Bienenstock ist alles eine Frage der Effizienz.

4. Nautilusmuschel

Neben Pflanzen folgen auch einige Tiere, wie zum Beispiel die Nautilus, der Fibonacci-Folge. Die Hülle der Nautilus verdreht sich zu einer Fibonacci-Spirale. Der Panzer versucht, die gleiche proportionale Form beizubehalten, was es ihm ermöglicht, diese ein Leben lang beizubehalten (im Gegensatz zu Menschen, die im Laufe ihres Lebens ihre Proportionen ändern). Nicht alle Nautilusse haben eine Fibonacci-Muschel, aber sie folgen alle einer logarithmischen Spirale.

Bevor Sie die Mathe-Muscheln beneiden, denken Sie daran, dass sie dies nicht mit Absicht tun, sondern nur, dass diese Form für sie am rationalsten ist.

5. Tiere

Die meisten Tiere haben eine bilaterale Symmetrie, was bedeutet, dass sie in zwei identische Hälften geteilt werden können. Sogar Menschen haben eine bilaterale Symmetrie, und einige Wissenschaftler glauben, dass die Symmetrie eines Menschen der wichtigste Faktor ist, der die Wahrnehmung unserer Schönheit beeinflusst. Mit anderen Worten: Wenn Sie ein einseitiges Gesicht haben, können Sie nur hoffen, dass dies durch andere gute Eigenschaften ausgeglichen wird.

Manche streben nach vollständiger Symmetrie, um einen Partner anzulocken, wie zum Beispiel den Pfau. Darwin ärgerte sich regelrecht über den Vogel und schrieb in einem Brief: „Der Anblick der Schwanzfedern eines Pfaus, wann immer ich ihn ansehe, macht mich krank!“ Für Darwin erschien der Schwanz umständlich und ergab keinen evolutionären Sinn, da er nicht zu seiner Theorie des „Überlebens des Stärkeren“ passte. Er war wütend, bis er die Theorie der sexuellen Selektion entwickelte, die besagt, dass Tiere bestimmte Merkmale entwickeln, um ihre Paarungschancen zu erhöhen. Deshalb haben Pfauen verschiedene Geräte einen Partner gewinnen.

Es gibt etwa 5.000 Spinnenarten, und alle bilden ein nahezu perfektes kreisförmiges Netz mit radialen Stützfäden in nahezu gleichen Abständen und spiralförmigen Netzen zum Beutefang. Wissenschaftler sind sich nicht sicher, warum Spinnen Geometrie so sehr mögen, da Tests gezeigt haben, dass ein rundes Netz Nahrung nicht besser anlockt als ein unregelmäßig geformtes Netz. Wissenschaftler gehen davon aus, dass die Radialsymmetrie die Aufprallkraft gleichmäßig verteilt, wenn Beute im Netz gefangen wird, was zu weniger Brüchen führt.

Geben Sie ein paar Betrügern ein Brett, Rasenmäher und die Sicherheit der Dunkelheit, und Sie werden sehen, dass auch Menschen symmetrische Formen schaffen. Aufgrund der Komplexität des Designs und der unglaublichen Symmetrie der Kornkreise glauben viele Menschen immer noch, dass sie von Außerirdischen hergestellt wurden, selbst nachdem die Schöpfer der Kreise ihre Fähigkeiten gestanden und unter Beweis gestellt hatten.

Je komplexer die Kreise werden, desto deutlicher wird ihr künstlicher Ursprung. Es ist unlogisch anzunehmen, dass Außerirdische ihre Botschaften immer schwieriger machen, wenn wir nicht einmal die ersten entschlüsseln konnten.

Unabhängig davon, wie sie entstanden sind, sind Kornkreise eine Freude anzusehen, vor allem weil ihre Geometrie beeindruckend ist.

Sogar winzige Gebilde wie Schneeflocken unterliegen den Gesetzen der Symmetrie, da die meisten Schneeflocken eine sechseckige Symmetrie haben. Dies liegt zum Teil an der Art und Weise, wie sich Wassermoleküle beim Erstarren (Kristallisieren) ausrichten. Wassermoleküle werden durch die Bildung schwacher Wasserstoffbrückenbindungen fest. Sie richten sich in einer geordneten Anordnung aus, die die Anziehungs- und Abstoßungskräfte ausgleicht, und bilden so die sechseckige Form einer Schneeflocke. Gleichzeitig ist jede Schneeflocke symmetrisch, aber keine Schneeflocke gleicht der anderen. Dies liegt daran, dass jede Schneeflocke, die vom Himmel fällt, einzigartige atmosphärische Bedingungen erfährt, die dazu führen, dass sich ihre Kristalle auf eine bestimmte Weise anordnen.

9. Milchstraße

Wie wir bereits gesehen haben, gibt es Symmetrie und mathematische Modelle fast überall, aber sind diese Naturgesetze auf unseren Planeten beschränkt? Offensichtlich nicht. Kürzlich wurde ein neuer Bereich bei Galaxy's Edge eröffnet Milchstraße, und Astronomen glauben, dass die Galaxie eine nahezu perfekte Galaxie darstellt Spiegelreflexion ich selbst.

10. Sonne-Mond-Symmetrie

Wenn man bedenkt, dass die Sonne einen Durchmesser von 1,4 Millionen km und der Mond 3474 km hat, scheint es fast unmöglich, dass der Mond ihn blockieren könnte Sonnenlicht und bescheren uns alle zwei Jahre etwa fünf Sonnenfinsternisse. Wie funktioniert das? Zufälligerweise ist die Sonne zwar etwa 400-mal breiter als der Mond, aber auch 400-mal weiter entfernt. Durch die Symmetrie wird sichergestellt, dass Sonne und Mond von der Erde aus gesehen gleich groß sind, sodass der Mond die Sonne verdecken kann. Natürlich kann der Abstand von der Erde zur Sonne zunehmen, weshalb wir manchmal ringförmige und partielle Finsternisse sehen. Aber alle ein oder zwei Jahre kommt es zu einer Feinabstimmung, und wir werden Zeuge eines spektakulären Ereignisses, das als abgeschlossen bezeichnet wird Sonnenfinsternis. Astronomen wissen nicht, wie häufig diese Symmetrie bei anderen Planeten vorkommt, sie halten sie jedoch für recht selten. Wir sollten jedoch nicht davon ausgehen, dass wir etwas Besonderes sind, da alles eine Frage des Zufalls ist. Beispielsweise entfernt sich der Mond jedes Jahr etwa 4 cm von der Erde, was bedeutet, dass vor Milliarden von Jahren jede Sonnenfinsternis eine totale Sonnenfinsternis gewesen wäre. Wenn es so weitergeht, werden die totalen Finsternisse irgendwann verschwinden, und damit einhergehend wird auch das Verschwinden der ringförmigen Finsternisse einhergehen. Es stellt sich heraus, dass wir einfach dabei sind am richtigen Platz V richtige Zeit um dieses Phänomen zu sehen.

Axiale Symmetrie. Bei der Achsensymmetrie geht jeder Punkt der Figur zu einem Punkt, der relativ zu einer festen Geraden symmetrisch zu ihm ist.

Bild 35 aus der Präsentation „Ornament“ für den Geometrieunterricht zum Thema „Symmetrie“

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Symmetrie

"Symmetriepunkt" - Zentrale Symmetrie. Ein A1. Axiale und zentrale Symmetrie. Punkt C wird Symmetriezentrum genannt. Symmetrie im Alltag. Ein Kreiskegel hat Achsensymmetrie; Die Symmetrieachse ist die Kegelachse. Figuren, die mehr als zwei Symmetrieachsen haben. Ein Parallelogramm hat nur zentrale Symmetrie.

„Mathematische Symmetrie“ – Was ist Symmetrie? Physikalische Symmetrie. Symmetrie in der Biologie. Geschichte der Symmetrie. Allerdings fehlt es komplexen Molekülen im Allgemeinen an Symmetrie. Palindrome. Symmetrie. In x und m und i. HAT VIEL MIT DER PROGRESSALEN SYMMETRIE IN DER MATHEMATIK GEMEINSAM. Aber wie würden wir eigentlich ohne Symmetrie leben? Axiale Symmetrie.

„Ornament“ – b) Auf dem Streifen. Parallele Translation Zentrale Symmetrie Axiale Symmetrie Rotation. Linear (Anordnungsoptionen): Erstellen eines Musters mit zentraler Symmetrie und paralleler Verschiebung. Planar. Eine der Arten von Ornamenten ist ein Netzornament. Transformationen zum Erstellen eines Ornaments:

„Symmetrie in der Natur“ – Eine der Haupteigenschaften geometrischer Formen ist Symmetrie. Das Thema wurde nicht zufällig gewählt, denn in nächstes Jahr Wir müssen anfangen, ein neues Fach zu studieren – Geometrie. Das Phänomen der Symmetrie in der belebten Natur wurde schon damals beobachtet Antikes Griechenland. Wir studieren in der Schulwissenschaftlichen Gesellschaft, weil wir es lieben, etwas Neues und Unbekanntes zu lernen.

„Bewegung in der Geometrie“ – Mathematik ist schön und harmonisch! Nennen Sie Bewegungsbeispiele. Bewegung in der Geometrie. Was ist Bewegung? Für welche Wissenschaften gilt Bewegung? Wie Bewegung eingesetzt wird verschiedene Gebiete Menschliche Aktivität? Eine Gruppe von Theoretikern. Bewegungskonzept Achsensymmetrie Zentralsymmetrie. Können wir Bewegung in der Natur sehen?

„Symmetrie in der Kunst“ – Levitan. RAPHAEL. II.1. Proportionen in der Architektur. Rhythmus ist eines der Hauptelemente der Ausdruckskraft einer Melodie. R. Descartes. Schiffshain. A. V. Woloschinow. Velazquez „Kapitulation von Breda“ Äußerlich kann sich Harmonie in Melodie, Rhythmus, Symmetrie und Proportionalität manifestieren. II.4.Proportionen in der Literatur.

Insgesamt gibt es 32 Vorträge zum Thema

In dieser Lektion werden wir uns ein weiteres Merkmal einiger Figuren ansehen – die axiale und zentrale Symmetrie. Die Achsensymmetrie begegnet uns täglich, wenn wir in den Spiegel schauen. Zentralsymmetrie kommt in der belebten Natur sehr häufig vor. Gleichzeitig haben symmetrische Figuren eine Reihe von Eigenschaften. Darüber hinaus erfahren wir später, dass Achsen- und Zentralsymmetrien Bewegungsarten sind, mit deren Hilfe eine ganze Klasse von Problemen gelöst wird.

Diese Lektion gewidmet der axialen und zentralen Symmetrie.

Definition

Die beiden Punkte werden aufgerufen symmetrisch relativ gerade, wenn:

In Abb. 1 zeigt Beispiele für Punkte, die bezüglich einer Geraden symmetrisch sind und , und .

Reis. 1

Beachten wir auch die Tatsache, dass jeder Punkt auf einer Linie relativ zu dieser Linie zu sich selbst symmetrisch ist.

Figuren können auch symmetrisch zu einer Geraden sein.

Lassen Sie uns eine strenge Definition formulieren.

Definition

Die Figur heißt symmetrisch relativ zur Geraden, wenn zu jedem Punkt der Figur auch der zu dieser Geraden symmetrische Punkt zur Figur gehört. In diesem Fall wird die Leitung aufgerufen Symmetrieachse. Die Figur hat axiale Symmetrie.

Schauen wir uns einige Beispiele für Figuren mit Achsensymmetrie und deren Symmetrieachsen an.

Beispiel 1

Der Winkel ist axialsymmetrisch. Die Symmetrieachse des Winkels ist die Winkelhalbierende. In der Tat: Lassen Sie uns von jedem Punkt des Winkels aus eine Senkrechte zur Winkelhalbierenden absenken und verlängern, bis sie die andere Seite des Winkels schneidet (siehe Abb. 2).

Reis. 2

(da - die gemeinsame Seite, (Eigenschaft einer Winkelhalbierenden) und Dreiecke sind rechtwinklig). Bedeutet, . Daher sind die Punkte symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden.

Daraus folgt das gleichschenkligen Dreiecks weist axiale Symmetrie relativ zur Winkelhalbierenden (Höhe, Median) zur Basis auf.

Beispiel 2

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen (Halbierende/Mittellinie/Höhe jedes der drei Winkel (siehe Abb. 3).

Reis. 3

Beispiel 3

Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen, die jeweils durch die Mittelpunkte seiner beiden gegenüberliegenden Seiten verlaufen (siehe Abb. 4).

Reis. 4

Beispiel 4

Auch eine Raute hat zwei Symmetrieachsen: Geraden, die ihre Diagonalen enthalten (siehe Abb. 5).

Reis. 5

Beispiel 5

Ein Quadrat, das sowohl eine Raute als auch ein Rechteck ist, hat 4 Symmetrieachsen (siehe Abb. 6).

Reis. 6

Beispiel 6

Bei einem Kreis ist die Symmetrieachse jede gerade Linie, die durch seinen Mittelpunkt verläuft (d. h. sie enthält den Durchmesser des Kreises). Daher hat ein Kreis unendlich viele Symmetrieachsen (siehe Abb. 7).

Reis. 7

Betrachten wir nun das Konzept zentrale Symmetrie.

Definition

Die Punkte werden aufgerufen symmetrisch relativ zum Punkt, wenn: - die Mitte des Segments.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an: In Abb. In Abb. 8 zeigt die Punkte und sowie und, die symmetrisch zum Punkt sind, und die Punkte und, die nicht symmetrisch zu diesem Punkt sind.

Reis. 8

Manche Figuren sind zu einem bestimmten Punkt symmetrisch. Lassen Sie uns eine strenge Definition formulieren.

Definition

Die Figur heißt symmetrisch zum Punkt, wenn zu irgendeinem Punkt der Figur der dazu symmetrische Punkt auch zu dieser Figur gehört. Der Punkt heißt Zentrum der Symmetrie, und die Figur hat zentrale Symmetrie.

Schauen wir uns Beispiele für Figuren mit zentraler Symmetrie an.

Beispiel 7

Bei einem Kreis ist das Symmetriezentrum der Mittelpunkt des Kreises (dies lässt sich leicht beweisen, indem man sich die Eigenschaften des Durchmessers und des Radius eines Kreises ins Gedächtnis ruft) (siehe Abb. 9).

Reis. 9

Beispiel 8

Bei einem Parallelogramm ist das Symmetriezentrum der Schnittpunkt der Diagonalen (siehe Abb. 10).

Reis. 10

Lassen Sie uns mehrere Probleme zur Achsen- und Zentralsymmetrie lösen.

Aufgabe 1.

Wie viele Symmetrieachsen hat das Segment?

Ein Segment hat zwei Symmetrieachsen. Die erste davon ist eine Linie, die ein Segment enthält (da jeder Punkt auf einer Linie relativ zu dieser Linie zu sich selbst symmetrisch ist). Die zweite ist die Mittelsenkrechte des Segments, also eine Gerade, die senkrecht zum Segment steht und durch dessen Mitte verläuft.

Antwort: 2 Symmetrieachsen.

Aufgabe 2.

Wie viele Symmetrieachsen hat eine Gerade?

Eine Gerade hat unendlich viele Symmetrieachsen. Eine davon ist die Linie selbst (da jeder Punkt auf der Linie relativ zu dieser Linie symmetrisch zu sich selbst ist). Und auch die Symmetrieachsen sind alle Linien, die senkrecht zu einer bestimmten Linie stehen.

Antwort: Es gibt unendlich viele Symmetrieachsen.

Aufgabe 3.

Wie viele Symmetrieachsen hat der Balken?

Der Strahl hat eine Symmetrieachse, die mit der Linie zusammenfällt, die den Strahl enthält (da jeder Punkt auf der Linie relativ zu dieser Linie zu sich selbst symmetrisch ist).

Antwort: eine Symmetrieachse.

Aufgabe 4.

Beweisen Sie, dass die Linien, die die Diagonalen einer Raute enthalten, ihre Symmetrieachsen sind.

Nachweisen:

Betrachten Sie eine Raute. Beweisen wir zum Beispiel, dass die Gerade ihre Symmetrieachse ist. Es ist offensichtlich, dass die Punkte symmetrisch zu sich selbst sind, da sie auf dieser Linie liegen. Außerdem sind die Punkte und bezüglich dieser Linie symmetrisch, da . Wählen wir nun einen beliebigen Punkt und beweisen, dass der dazu symmetrische Punkt ebenfalls zur Raute gehört (siehe Abb. 11).

Reis. elf

Zeichnen Sie eine Senkrechte zur Linie durch den Punkt und verlängern Sie sie, bis sie schneidet. Betrachten Sie Dreiecke und . Diese Dreiecke sind (konstruktionsbedingt) rechtwinklig, außerdem haben sie: - ein gemeinsames Bein und (da die Diagonalen einer Raute ihre Winkelhalbierenden sind). Diese Dreiecke sind also gleich: . Das bedeutet, dass alle ihre entsprechenden Elemente gleich sind, also: . Aus der Gleichheit dieser Segmente folgt, dass die Punkte und symmetrisch zur Geraden sind. Dies bedeutet, dass es sich um die Symmetrieachse der Raute handelt. Dieser Sachverhalt lässt sich analog für die zweite Diagonale beweisen.

Bewährt.

Aufgabe 5.

Beweisen Sie, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms sein Symmetriezentrum ist.

Nachweisen:

Betrachten Sie ein Parallelogramm. Beweisen wir, dass der Punkt sein Symmetriezentrum ist. Es ist offensichtlich, dass die Punkte und , und paarweise symmetrisch zum Punkt sind, da die Diagonalen eines Parallelogramms durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden. Wählen wir nun einen beliebigen Punkt und beweisen, dass der dazu symmetrische Punkt ebenfalls zum Parallelogramm gehört (siehe Abb. 12).

Wissenschaftliche und praktische Konferenz

Städtische Bildungseinrichtung „Sekundarstufe“ allgemein bildende Schule Nr. 23"

Stadt Wologda

Abschnitt: Naturwissenschaften

Design- und Forschungsarbeiten

ARTEN DER SYMMETRIE

Die Arbeit wurde von einem Schüler der 8. Klasse abgeschlossen

Kreneva Margarita

Leiter: Höherer Mathematiklehrer

Jahr 2014

Projektstruktur:

1. Einleitung.

2. Ziele und Zielsetzungen des Projekts.

3. Arten der Symmetrie:

3.1. Zentrale Symmetrie;

3.2. Axiale Symmetrie;

3.3. Spiegelsymmetrie(Symmetrie relativ zur Ebene);

3.4. Rotationssymmetrie;

3.5. Tragbare Symmetrie.

4. Schlussfolgerung.

Symmetrie ist die Idee, mit der der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen.

G. Weil

Einführung.

Das Thema meiner Arbeit wurde nach dem Studium des Abschnitts „Axiale und zentrale Symmetrie“ im Kurs „Geometrie der 8. Klasse“ ausgewählt. Dieses Thema hat mich sehr interessiert. Ich wollte wissen: Welche Arten von Symmetrie gibt es, wie unterscheiden sie sich voneinander, welche Prinzipien gelten für die Konstruktion symmetrischer Figuren in jeder Art?

Ziel der Arbeit : Einführung in verschiedene Arten der Symmetrie.

Aufgaben:

Studieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

Fassen Sie das untersuchte Material zusammen und systematisieren Sie es.

Bereiten Sie eine Präsentation vor.

In der Antike bedeutete das Wort „SYMMETRIE“ „Harmonie“, „Schönheit“. Aus dem Griechischen übersetzt bedeutet dieses Wort „Verhältnismäßigkeit, Verhältnismäßigkeit, Gleichmäßigkeit in der Anordnung von Teilen von etwas“. gegenüberliegende Seiten von einem Punkt, einer Linie oder einer Ebene.

Es gibt zwei Gruppen von Symmetrien.

Die erste Gruppe umfasst die Symmetrie von Positionen, Formen und Strukturen. Dies ist die Symmetrie, die direkt erkennbar ist. Man kann es geometrische Symmetrie nennen.

Die zweite Gruppe charakterisiert die Symmetrie physikalische Phänomene und die Gesetze der Natur. Diese Symmetrie liegt dem naturwissenschaftlichen Weltbild zugrunde: Man kann sie physikalische Symmetrie nennen.

Ich werde mit dem Lernen aufhörengeometrische Symmetrie .

Im Gegenzug gibt es auch verschiedene Arten geometrischer Symmetrie: zentrale, axiale, Spiegelsymmetrie (Symmetrie relativ zur Ebene), radiale (oder rotierende), tragbare und andere. Heute werde ich mir 5 Arten von Symmetrie ansehen.

Zentrale Symmetrie

Zwei Punkte A und A 1 heißen symmetrisch zum Punkt O, wenn sie auf einer Geraden liegen, die durch den Punkt O geht und entlang dieser liegen verschiedene Seiten im gleichen Abstand davon. Punkt O wird Symmetriezentrum genannt.

Die Figur soll symmetrisch zum Punkt seinUM , wenn es für jeden Punkt der Figur einen Punkt gibt, der relativ zum Punkt symmetrisch dazu istUM gehört ebenfalls zu dieser Figur. PunktUM Man nennt es das Symmetriezentrum einer Figur; man sagt, dass die Figur eine zentrale Symmetrie hat.

Beispiele für Figuren mit zentraler Symmetrie sind ein Kreis und ein Parallelogramm.

Die auf der Folie gezeigten Figuren sind relativ zu einem bestimmten Punkt symmetrisch

2. Axiale Symmetrie

Zwei PunkteX Und Y heißen symmetrisch um eine GeradeT , wenn diese Linie durch die Mitte des Segments XY verläuft und senkrecht dazu steht. Es sollte auch gesagt werden, dass jeder Punkt eine gerade Linie istT gilt als symmetrisch zu sich selbst.

GeradeT - Symmetrieachse.

Die Figur soll symmetrisch zu einer geraden Linie seinT, wenn es für jeden Punkt der Figur einen Punkt gibt, der relativ zur Geraden symmetrisch dazu istT gehört ebenfalls zu dieser Figur.

GeradeTMan bezeichnet sie als Symmetrieachse einer Figur. Man sagt, dass die Figur axialsymmetrisch ist.

Ein unentwickelter Winkel, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, ein Rechteck und eine Raute haben Achsensymmetrie.Briefe (siehe Präsentation).

Spiegelsymmetrie (Symmetrie um eine Ebene)

Zwei Punkte P 1 Und P heißen symmetrisch zur Ebene a, wenn sie auf einer Geraden senkrecht zur Ebene a liegen und von dieser den gleichen Abstand haben

Spiegelsymmetrie jedem wohlbekannt. Es verbindet jedes Objekt und seine Reflexion in einem flachen Spiegel. Man sagt, dass eine Figur spiegelsymmetrisch zur anderen ist.

Auf einer Ebene war eine Figur mit unzähligen Symmetrieachsen ein Kreis. Im Weltraum hat eine Kugel unzählige Symmetrieebenen.

Wenn aber ein Kreis einzigartig ist, dann gibt es in der dreidimensionalen Welt eine ganze Reihe von Körpern mit unendlich vielen Symmetrieebenen: einen geraden Zylinder mit einem Kreis an der Grundfläche, einen Kegel mit kreisförmiger Grundfläche, ein Ball.

Es lässt sich leicht feststellen, dass jede symmetrische ebene Figur mithilfe eines Spiegels auf sich selbst ausgerichtet werden kann. Es ist überraschend, dass solch komplexe Figuren wie fünfzackiger Stern oder ein gleichseitiges Fünfeck, sind ebenfalls symmetrisch. Da sich dies aus der Anzahl der Achsen ergibt, zeichnen sie sich durch eine hohe Symmetrie aus. Und umgekehrt: Es ist nicht so leicht zu verstehen, warum eine so scheinbar regelmäßige Figur wie ein schiefes Parallelogramm asymmetrisch ist.

4. P Rotationssymmetrie (oder Radialsymmetrie)

Rotationssymmetrie - das ist Symmetrie, die Erhaltung der Form eines Objektsbei Drehung um eine bestimmte Achse um einen Winkel von 360°/N(oder ein Vielfaches dieses Wertes), woN= 2, 3, 4, … Die angegebene Achse wird als Rundachse bezeichnetN-te Ordnung.

Bein=2 alle Punkte der Figur werden um einen Winkel von 180 gedreht 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) um die Achse, während die Form der Figur erhalten bleibt, d.h. Jeder Punkt der Figur geht zu einem Punkt derselben Figur (die Figur verwandelt sich in sich selbst). Die Achse wird als Achse zweiter Ordnung bezeichnet.

Abbildung 2 zeigt eine Achse dritter Ordnung, Abbildung 3 – 4. Ordnung, Abbildung 4 – 5. Ordnung.

Ein Objekt kann mehr als eine Rotationsachse haben: Abb. 1 - 3 Rotationsachsen, Abb. 2 - 4 Achsen, Abb. 3 - 5 Achsen, Abb. 4 – nur 1 Achse

Die bekannten Buchstaben „I“ und „F“ haben Rotationssymmetrie. Wenn Sie den Buchstaben „I“ um 180° um eine Achse drehen, die senkrecht zur Buchstabenebene verläuft und durch seine Mitte verläuft, richtet sich der Buchstabe an sich selbst aus. Mit anderen Worten, der Buchstabe „I“ ist symmetrisch bezüglich einer Drehung um 180°, 180°= 360°: 2,N=2, was bedeutet, dass es Symmetrie zweiter Ordnung hat.

Beachten Sie, dass der Buchstabe „F“ auch eine Rotationssymmetrie zweiter Ordnung aufweist.

Darüber hinaus hat der Buchstabe ein Symmetriezentrum und der Buchstabe F eine Symmetrieachse

Kehren wir zu Beispielen aus dem Leben zurück: einem Glas, einem kegelförmigen Pfund Eis, einem Stück Draht, einer Pfeife.

Wenn wir uns diese Körper genauer ansehen, werden wir feststellen, dass sie alle auf die eine oder andere Weise aus einem Kreis bestehen, durch unendlich viele Symmetrieachsen gibt es unzählige Symmetrieebenen. Die meisten dieser Körper (man nennt sie Rotationskörper) haben natürlich auch ein Symmetriezentrum (das Zentrum eines Kreises), durch das mindestens eine Rotationssymmetrieachse verläuft.

So ist zum Beispiel die Achse der Eistüte deutlich zu erkennen. Es verläuft von der Mitte des Kreises (ragt aus dem Eis heraus!) bis scharfes Ende Kegel-Pfund. Die Gesamtheit der Symmetrieelemente eines Körpers nehmen wir als eine Art Symmetriemaß wahr. Der Ball ist in puncto Symmetrie zweifellos eine unübertroffene Verkörperung der Perfektion, eines Ideals. Die alten Griechen betrachteten ihn als den vollkommensten Körper und den Kreis natürlich als die vollkommenste flache Figur.

Um die Symmetrie eines bestimmten Objekts zu beschreiben, ist es notwendig, alle Rotationsachsen und deren Reihenfolge sowie alle Symmetrieebenen anzugeben.

Stellen Sie sich zum Beispiel einen geometrischen Körper vor, der aus zwei identischen regelmäßigen viereckigen Pyramiden besteht.

Es verfügt über eine Drehachse 4. Ordnung (Achse AB), vier Drehachsen 2. Ordnung (Achsen CE,DF, Abgeordneter, NQ), fünf Symmetrieebenen (EbenenCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Tragbare Symmetrie

Eine andere Art von Symmetrie isttragbar Mit Symmetrie.

Von einer solchen Symmetrie spricht man, wenn eine Figur, wenn sie entlang einer geraden Linie um einen Abstand „a“ oder einen Abstand, der ein Vielfaches dieses Wertes ist, bewegt wird, mit sich selbst übereinstimmt Die gerade Linie, entlang der die Übertragung erfolgt, wird Übertragungsachse genannt, und der Abstand „a“ wird Elementarübertragung, Periode oder Symmetrieschritt genannt.

A

Ein sich periodisch wiederholendes Muster auf einem langen Streifen wird als Rand bezeichnet. In der Praxis gibt es Bordsteine ​​in verschiedenen Ausführungen ( Wandgemälde, Eisenguss, Flachreliefs aus Gips oder Keramik). Bordüren werden von Malern und Künstlern bei der Dekoration eines Raumes verwendet. Zur Herstellung dieser Ornamente wird eine Schablone angefertigt. Wir bewegen die Schablone, drehen sie um oder nicht, zeichnen den Umriss nach, wiederholen das Muster und erhalten ein Ornament (visuelle Demonstration).

Der Rand lässt sich ganz einfach mit einer Schablone (dem Ausgangselement) erstellen, indem man sie verschiebt oder umdreht und das Muster wiederholt. Die Abbildung zeigt fünf Arten von Schablonen:A ) asymmetrisch;b, c ) mit einer Symmetrieachse: horizontal oder vertikal;G ) zentralsymmetrisch;D ) mit zwei Symmetrieachsen: vertikal und horizontal.

Um Grenzen zu konstruieren, werden die folgenden Transformationen verwendet:

A ) parallele Übertragung;B ) Symmetrie um die vertikale Achse;V ) zentrale Symmetrie;G ) Symmetrie um die horizontale Achse.

Auf die gleiche Weise können Sie auch Sockets bauen. Dazu wird der Kreis geteiltN Gleiche Sektoren, in einem von ihnen wird ein Mustermuster erstellt und dieses dann nacheinander in den übrigen Teilen des Kreises wiederholt, wobei das Muster jedes Mal um einen Winkel von 360° gedreht wird.N .

Ein klares Beispiel Der auf dem Foto gezeigte Zaun kann als Anwendung der axialen und tragbaren Symmetrie dienen.

Fazit: Es gibt sie also Verschiedene Arten Symmetrie, symmetrische Punkte in jeder dieser Symmetriearten werden entsprechend konstruiert bestimmte Gesetze. Im Leben begegnen wir überall einer Art von Symmetrie, und oft können bei den Objekten, die uns umgeben, mehrere Arten von Symmetrie gleichzeitig festgestellt werden. Dies schafft Ordnung, Schönheit und Perfektion in der Welt um uns herum.

LITERATUR:

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Visuelle Geometrie 5. – 6. Klasse. WENN. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Verlag „Drofa“, Moskau 2005. – 189 Seiten

Enzyklopädie für Kinder. Biologie. S. Ismailova. – Avanta+ Verlag. – Moskau 1997 – 704 Seiten.

Urmantsev Yu.A. Symmetrie der Natur und die Natur der Symmetrie - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/