Gleich der Fermi-Energie der Natriumtemperatur. In Metall durch Energie
Bei Absoluter Nullpunkt in jedem der Zustände, deren Energie nicht übersteigt, gibt es ein Elektron; in Zuständen mit Elektronen fehlen. Folglich hat die Verteilungsfunktion von Elektronen über Zustände mit unterschiedlichen Energien am absoluten Nullpunkt die in Abb. 52.1.
Lassen Sie uns die Verteilungsfunktion bei einer anderen Temperatur als dem absoluten Nullpunkt finden.
Betrachten wir in Anlehnung an Kittel inelastische Stöße eines im Gleichgewicht befindlichen Elektronengases mit einem im Kristallgitter eines Metalls eingebetteten Fremdatom. Nehmen wir an, ein Fremdatom kann sich nur in zwei Zuständen befinden, deren Energie wir gleich 0 und setzen wollen.
Betrachten Sie aus der Menge der Kollisionsprozesse denjenigen, bei dem das Elektron vom Zustand k mit der Energie E in den Zustand k mit der Energie übergeht. Das Verunreinigungsatom geht in diesem Fall von einem Niveau mit einer Energie auf ein Niveau mit einer Energie gleich Null über. Die Übergangswahrscheinlichkeit zu ist proportional zu: 1) der Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand von einem Elektron besetzt ist, 2) der Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand frei ist, 3) der Wahrscheinlichkeit, dass sich das Fremdatom in einem Zustand mit der Energie e befindet.
Die Wahrscheinlichkeit des umgekehrten Prozesses ist proportional zum Ausdruck
wo ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Fremdatom in einem Zustand mit einer Energie gleich Null befindet.
Aufgrund des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts ist der Proportionalitätskoeffizient in den Ausdrücken (52.1) und (52.2) derselbe.
Im Gleichgewichtszustand sollten die Übergangswahrscheinlichkeiten gleich sein. Folglich,
(Wir haben berücksichtigt, dass die Wahrscheinlichkeiten, ein Verunreinigungsatom auf Niveaus zu finden, dem Boltzmann-Verteilungsgesetz gehorchen).
Die Funktionsgleichung (52.3) muss bei jeder Temperatur T erfüllt sein. Dies geschieht, wenn wir setzen
wobei ein Wert ist, der nicht von E abhängt. Dementsprechend ist
Das Produkt dieser beiden Ausdrücke bei jeder Temperatur ist
Nach Lösung der Gleichung (52.4) erhalten wir für die Verteilungsfunktion der Elektronen über Zustände mit unterschiedlichen Energien den Ausdruck
Dieser Ausdruck wird als Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion bezeichnet. Der Parameter wird als chemisches Potential bezeichnet.
Gemäß der Bedeutung der Funktion (52.5) ist der Wert die durchschnittliche Anzahl von Elektronen in einem Zustand mit der Energie E. Daher kann der Formel (52.5) die Form gegeben werden
(vgl. (49.4)). Im Gegensatz zu (49.4) hat der Parameter in der Verteilung (52.6). positive Werte(in dieser Fall es führt nicht zu negativen Zahlen). Die Verteilung (52.6) liegt der Fermi-Dirac-Statistik zugrunde.
Teilchen, die dieser Statistik gehorchen, werden Fermionen genannt. Dazu gehören alle Teilchen mit halbzahligem Spin.
Fermionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie niemals einen Zustand einnehmen, in dem sich bereits ein Teilchen befindet. Fermionen sind also „Individualisten“. Wir erinnern daran, dass Bosonen andererseits „Kollektivisten“ sind (siehe das Ende von § 49).
Der energiedimensionale Parameter wird oft mit bezeichnet und als Fermi-Niveau oder Fermi-Energie bezeichnet. In dieser Notation hat die Funktion (52.5) die Form
Betrachten wir die Eigenschaften der Funktion (52.7). Am absoluten Nullpunkt
Bei 0 K fällt also das Fermi-Niveau EP mit dem oberen, mit Elektronen gefüllten Niveau zusammen (siehe voriger Absatz).
Unabhängig vom Temperaturwert, bei , ist die Funktion gleich Daher stimmt das Fermi-Niveau mit dem Energieniveau überein, die Füllwahrscheinlichkeit ist gleich der Hälfte.
Der Wert von EP kann aus der Bedingung ermittelt werden, dass die Gesamtzahl der Elektronen, die die Ebenen füllen, gleich der Anzahl freier Elektronen im Kristall sein muss ( ist die Elektronendichte, V ist das Volumen des Kristalls). Die Anzahl der Zustände pro Energieintervall ist dabei die Zustandsdichte. Die durchschnittliche Anzahl der Elektronen, die sich im thermischen Gleichgewichtszustand in diesen Zuständen befinden, wird durch den Ausdruck bestimmt. Das Integral dieses Ausdrucks ergibt die Gesamtzahl der freien Elektronen im Kristall:
Diese Beziehung ist im Wesentlichen die Normierungsbedingung für die Funktion
Einsetzen in (52.8) Ausdrücke (51.9) und (52.7) ergibt
Diese Beziehung erlaubt im Prinzip, als Funktion von zu finden. Das Integral in Ausdruck (52.9) wird nicht genommen. Vorausgesetzt, es ist möglich, einen ungefähren Wert des Integrals zu finden. Als Ergebnis lautet der Ausdruck für das Fermi-Niveau
(erinnern Sie sich daran, dass ) davon abhängt; siehe (51.10)).
Aus (52.10) folgt wann niedrige Temperaturen(für die dieser Ausdruck nur gültig ist) ist das Fermi-Niveau, obwohl es von der Temperatur abhängt, sehr schwach. Daher kann in vielen Fällen davon ausgegangen werden, aber für das Verständnis zB thermoelektrischer Phänomene (siehe § 63) ist die Abhängigkeit von T von grundlegender Bedeutung.
Bei anderen Temperaturen als dem absoluten Nullpunkt hat der Graph der Funktion (52.7) die in Abb. 52.2. Bei hohen Energien (also bei dem, was im Bereich des "Schwanzes" der Verteilungskurve durchgeführt wird) kann die Einheit im Nenner der Funktion vernachlässigt werden. Dann nimmt die Verteilung der Elektronen über Zustände mit unterschiedlichen Energien Gestalt an
dh geht in die Boltzmann-Verteilungsfunktion ein.
Beachten Sie, dass der deutliche Unterschied zwischen der Kurve in Abb. 52.2 aus dem Diagramm in Abb. 52,1, wird nur im Ordnungsbereich beobachtet Je höher die Temperatur, desto sanfter verläuft der abfallende Teil der Kurve.
Das Verhalten des Elektronengases hängt stark von der Beziehung zwischen der Kristalltemperatur und der Fermitemperatur ab, die gleich zwei Grenzfällen ist.
Daher ist das Elektronengas in vielen Halbleitern selbst bei Raumtemperatur nicht entartet und gehorcht der klassischen Statistik.
3.1. Statistische Beschreibung des Teilchenkollektivs.
Verteilungsfunktion von Teilchen nach Zuständen. Fermionen und Bosonen
Nach den Ergebnissen der Bandtheorie Feststoffe Es ist zweckmäßig, Elektronen in Kristallen als freie Teilchen zu betrachten, deren effektive Masse sich von der Masse eines freien Elektrons unterscheidet. In Halbleitern sind Ladungsträger neben Elektronen auch positiv geladene Teilchen - Löcher. Bei Phänomenen, bei denen diese Teilchen die Hauptrolle spielen (elektrische Leitfähigkeit, Wärmeleitfähigkeit, Wechselwirkung mit Licht usw.), kann ein Festkörper daher als Gas aus Elektronen und Löchern betrachtet werden.
Systeme bestehend aus eine große Anzahl identische Teilchen sind Gegenstand des Studiums der statistischen Physik. Das Hauptmerkmal statistischer Muster ist ihre probabilistische Natur. Die Methode der statistischen Beschreibung einer Gruppe idealer Gasmoleküle ist bekannt. Trotz der Tatsache, dass die Geschwindigkeit eines einzelnen Gasmoleküls eine zufällige Größe in einem Gas ist, das aus besteht eine große Anzahl identischer Moleküle, gibt es eine gewisse Regelmäßigkeit in ihrer Verteilung über Geschwindigkeiten. Mit den Methoden der statistischen Physik ist es immer möglich anzugeben, welcher Anteil von Molekülen eine Geschwindigkeit hat, die in einem bestimmten Wertebereich enthalten ist.
Die Hauptaufgabe der Statistik besteht darin, die Anzahl der Teilchen zu bestimmen, deren Energie in einem bestimmten Intervall liegt. Das Ergebnis der Lösung dieses statistischen Problems ist zu finden Energieverteilungsfunktionen von Teilchen, was normalerweise bezeichnet wird f(E). Wenn dZ ist die Anzahl der möglichen Zustände eines Ensembles von Teilchen mit Energie, die im Intervall von enthalten ist E Vor E+dE, a dN ist die Anzahl der Teilchen in diesen Zuständen, dann per Definition
(3.1)
Die Energieverteilungsfunktion von Teilchen ist also die Fülldichte dieser Zustände mit Teilchen.
Für ideale Gasmoleküle f(E) ist bekannt als Maxwell-Boltzmann-Verteilungsfunktion:
(3.2)
wo VON ist ein Parameter, der nicht von der Energie abhängt; k- Boltzmann-Konstante; T ist die absolute Temperatur.
Formel (3.2) wird auch oft aufgerufen kanonische Verteilung oder Gibbs-Verteilung. Aus dieser Distribution kann man leicht das Bekannte entnehmen Molekulare Physik Maxwell-Verteilung Moleküle eines idealen Gases entsprechend den Geschwindigkeiten der thermischen Bewegung. Die Statistik idealer Gasmoleküle ergibt sich aus folgenden Grundbestimmungen:
1. Gasmoleküle gehorchen den Gesetzen der klassischen Mechanik.
2. Gasmoleküle haben eine Individualität, die es erlaubt, sie voneinander zu unterscheiden. Wenn also zwei Moleküle in verschiedene Staaten vertauscht werden, führt dies zu einer neuen Verteilung von ihnen über Zustände (ein neuer Mikrozustand).
3. Es wird angenommen, dass alle Verteilungsmethoden gleich wahrscheinlich sind.
Die Annahme, dass das Elektronengas in Metallen der Maxwell-Boltzmann-Statistik gehorcht, wird durch eine Reihe experimenteller Ergebnisse widerlegt. Aus dieser Annahme folgt zum Beispiel, dass Elektronen zur Wärmekapazität von Metallen beitragen sollten, die ungefähr zwei Größenordnungen größer ist als der experimentell beobachtete Wert. Der Widerspruch wird aufgehoben, wenn man die Quanteneigenschaften von Teilchen in Kristallen berücksichtigt.
Im Gegensatz zur klassischen Statistik von Maxwell-Boltzmann basiert die Quantenstatistik auf der Sichtweise grundsätzliche Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen. Das Vertauschen zweier Quantenteilchen führt also nicht zu einem neuen Mikrozustand. Bei Elektronen und allen Teilchen mit halbzahligem Spin muss man das auch berücksichtigen Pauli-Prinzip. Nach diesem Prinzip kann sich nur ein Teilchen in einem Quantenzustand befinden. Solche Teilchen werden genannt Fermionen und gehorchen Fermi-Dirac-Quantenstatistik. Verschiedene Quantenstatistiken beschreiben Teilchen mit null und ganzzahligem Spin. Diese Teilchen gehorchen nicht dem Pauli-Prinzip und in einem Zustand können beliebig viele sein. Solche Teilchen werden genannt Bosonen, Quantenstatistiken, die ihre Energieverteilung beschreiben, - Bose-Einstein-Statistik. Ein Vergleich dieser drei Statistiken ist in Abb. 1 dargestellt. 3.1 am Beispiel der Verteilung zweier Teilchen auf drei Zustände. Die unterschiedlichen Zustände der Teilchen sind in dieser Figur durch Zellen dargestellt.
Alle mögliche Wege die Verteilungen zweier Teilchen, die der klassischen Maxwell-Boltzmann-Statistik gehorchen, über drei Zustände sind in Abb. 1 gezeigt. 3.1a. Da die Partikel in dieser Statistik unterscheidbar sind, sind sie mit unterschiedlichen Farben gekennzeichnet. Insgesamt sind neun Mikrozustände möglich, deren mathematische Wahrscheinlichkeit jeweils 1/9 beträgt. In der Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Quantenstatistik sind die Mikrozustände 1 und 2, 3 und 4, 5 und 6 grundsätzlich nicht zu unterscheiden, und jedes Paar solcher Zustände sollte als ein Mikrozustand betrachtet werden. Für Bosonen beträgt die Anzahl möglicher Mikrozustände 6 (Abb. 3.1b), und die Wahrscheinlichkeit für jeden von ihnen beträgt 1/6. Für Fermionen sind Mikrozustände, in denen sich jeweils zwei Teilchen befinden, nicht realisierbar. In der Fermi-Dirac-Statistik verbleiben nur drei mögliche Mikrozustände, wie in Abb. 3.1, c. Die Wahrscheinlichkeit für jeden von ihnen beträgt 1/3.
Die Bose-Einstein-Statistik unterliegt Photonen und Phononen, die eine wichtige Rolle bei den physikalischen Eigenschaften von Festkörpern spielen. Die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion hat die Form
(3.3)
Hier E B ist das chemische Potential des Bosonensystems.
Wenn die Gesamtzahl der Teilchen nicht festgelegt ist, sondern aus dem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts bestimmt werden muss, wie es bei Photonen in der Strahlung eines schwarzen Körpers oder Phononen in einem Kristall der Fall ist, ist das chemische Potential Null. In diesem Fall stimmt Formel (3.3) mit der Planckschen Formel überein, die die durchschnittliche Anzahl von Photonen in bestimmt dieser Typ Schwankungen der Wärmestrahlung eines vollständig schwarzen Körpers.
3.2. Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion. Fermi-Niveau.
Fermi-Energie. Der Einfluss der Temperatur auf die Fermi-Dirac-Verteilung
Die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion, die die Verteilung von Fermionen über Zustände beschreibt, hat folgende Form:
, (3.4)
hier E F ist das chemische Potential des Fermionensystems, d.h. die Arbeit, die erforderlich ist, um die Anzahl der Teilchen im System um eins zu ändern. Bei Elektronen die Menge E F namens Fermi-Energie.
Betrachten Sie die Form der Fermi-Dirac-Funktion bei einer Temperatur, die zum absoluten Nullpunkt tendiert. Wie aus Formel (3.4) leicht ersichtlich ist, strebt für jede Teilchenenergie, die größer als die Fermi-Energie ist, die Exponentialfunktion im Nenner gegen unendlich bei , Folglich f(E) tendiert gegen null. Das bedeutet, dass alle Energiezustände mit E > E F völlig frei am absoluten Nullpunkt. Wenn E< E F bei , f(E) neigt zur Einigkeit. Das bedeutet, dass alle Quantenzustände mit Energien kleiner als die Fermi-Energie vollständig mit Elektronen besetzt sind. Damit ist die physikalische Bedeutung der Fermi-Energie als Parameter der Verteilung von Elektronen über Zustände klar: Die Fermi-Energie ist die maximal mögliche Energie von Elektronen in einem Metall bei absoluter Nulltemperatur. Das der Fermi-Energie entsprechende Energieniveau wird genannt Fermi-Niveau.
Die Form der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion at T = 0K in Abb. gezeigt. 3.2a. Auf Abb. 3.2b zeigt die Verteilung von Elektronen über Energieniveaus im Leitungsband eines Metalls bei gleicher Temperatur.
Wenn T ¹ 0K, dann bei der Energie des Teilchens, gleiche Energie Fermi ist die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion 1/2 . Dies bedeutet, dass das Fermi-Niveau bei jeder anderen Temperatur als dem absoluten Nullpunkt halb voll ist. Die Form der Fermi-Dirac-Funktion für zwei unterschiedliche Temperaturen schematisch in Abb. 3.3. Die Änderung in der Art der Verteilung von Elektronen über Zustände ist mit der thermischen Anregung von Elektronen verbunden. In diesem Fall gehen einige der Elektronen in Zustände mit Energien über der Fermi-Energie über. Dementsprechend erweisen sich einige der Zustände unterhalb des Fermi-Niveaus als frei. Dadurch wird die Funktion f(E) in der Nähe der Fermi-Energie "verwischt". Ein unbedeutender Teil der Elektronen, die sich in der Nähe des Fermi-Niveaus befinden, wird thermisch angeregt. Die Fermi-Dirac-Funktion weicht nur bei deutlich von der Form ab, die sie am absoluten Nullpunkt hatte . Das Ausmaß der „Verwischung“ ist proportional zur Temperatur (Abb. 3.3). Je höher die Temperatur, desto stärker ändert sich die Verteilungsfunktion.
Angesichts dessen
(3.5)
der Exponent im Nenner wird viel größer als Eins in Formel (3.4). In diesem Fall kann die Einheit vernachlässigt werden und die Fermi-Dirac-Verteilung wird in die Form transformiert
(3.6)
Ausdruck (3.6) stimmt formal mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilungsfunktion überein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewisses Energieniveau mit Energie verbunden ist E frei, d.h. von einem Loch besetzt
(3.7)
Somit ist die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion für Löcher ähnlich der Verteilungsfunktion für Elektronen, wenn darin die Vorzeichen der Exponenten geändert werden. Dies stimmt gut mit der Vorstellung überein, dass Löcher positive Ladungsträger sind.
Man nennt ein Ladungsträgergas, das der Fermi-Dirac-Statistik gehorcht degenerieren. Wenn Ladungsträger der Maxwell-Boltzmann-Statistik gehorchen, werden sie aufgerufen nicht entartet.
3.3. Funktion der Zustandsdichte von Elektronen und Löchern
Um die Anzahl der Teilchen mit Energie in einem bestimmten Intervall zu bestimmen, ist dies zusätzlich zur Verteilungsfunktion erforderlich , kennen die Zustandsdichtefunktion . Diese Funktion beschreibt die Verteilung der Pegel in den entsprechenden Zonen und bestimmt die Anzahl der Pegel pro Energieintervalleinheit. A-Priorat
(3.8)
Hier nach wie vor dZ- die Anzahl der möglichen Zustände des Teilchenensembles (Anzahl der Ebenen) mit der im Intervall enthaltenen Energie E Vor E+dE. Funktion g(E) Berechnen Sie für einen kubischen Kristall mit einer Seite L. Die Elektronenenergie am unteren Rand des Leitungsbandes kann ungefähr dargestellt werden als
(3.9)
hier die Energie der Unterseite des Leitungsbandes, ist die effektive Elektronenmasse am unteren Rand des Leitungsbands, k ist der Quasi-Impuls des Elektrons, - seine Bestandteile. Gemäß den Randbedingungen können die Quasi-Impulskomponenten nur die folgenden diskreten Energiewerte annehmen:
Jede Reihe von Zahlen n x, n ja, z entspricht einem Quantenzustand (Quantenebene). Im Raum der Wellenvektoren entspricht jeder Quantenzustand einem Volumen , wo v ist das Volumen des Kristalls. Diese elementaren kubischen Zellen werden im Raum der Wellenzahlen das Volumen einer Kugel mit einem Radius einnehmen k entspricht dem Maximum möglicher Wert Modul des Wellenvektors. Wählen Sie eine kugelförmige Schicht aus, die zwischen zwei Oberflächen eingeschlossen ist k = konst und k+dk= konst. Das Volumen dieser Schicht ist . Dividiert man dieses Volumen durch das Volumen der Elementarzelle und multipliziert mit 2, da jeder Zustand zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin enthalten kann, erhält man die Anzahl der Zustände im Volumen der Kugelschicht:
. (3.10)
Nach (3.9)
Werte ersetzen k 2 und dk in Formel (3.10) erhalten wir
Unter Berücksichtigung von (3.8) erhalten wir den endgültigen Ausdruck für die Dichte der Quantenzustände von Elektronen am unteren Rand des Leitungsbandes:
(3.11)
Die Energie von Löchern am oberen Rand des Valenzbandes kann auch als Parabelgesetz geschrieben werden:
(3.12)
wo E v ist die Energie der Spitze des Valenzbandes, ist die effektive Masse des Lochs. Berechnungen ähnlich den oben für Elektronen durchgeführten führen zu folgendem Ausdruck für die Funktion der Zustandsdichte von Löchern nahe der Spitze des Valenzbandes:
(3.13)
Es sollte betont werden, dass die Formeln (3.11) und (3.13) nur für Zustände in der Nähe von Energieextremen gelten, d.h. am Boden oder an der Decke der Energiezone. Im mittleren Teil der Zone die genaue Form der Funktion g (E) ist unbekannt. Auf Abb. 3.4 zeigt schematisch die Abhängigkeiten der Dichte von Quantenniveaus nahe der Unterkante des Leitungsbandes und der Oberkante des Valenzbandes.
3.4. Dichte von Elektronen und Löchern in einem Halbleiter.
Das Gesetz der aktiven Masse. Nicht entartetes Gas aus Elektronen und Löchern
Berechnen wir die Elektronenkonzentration im Leitungsband des Halbleiters. Anzahl der Elektronen dN gelegen in dZ Zustände des Energiebandes gemäß Gleichung (3.1) wird durch den Ausdruck bestimmt
Angesichts dessen dZ = g(E) dE, wir bekommen
. (3.14)
Die Gesamtzahl der Elektronen im Leitungsband kann durch Integrieren des Ausdrucks (3.14) innerhalb des Bandes ermittelt werden
, (3.15)
hier E p ist die Energie der Leitungsbanddecke. Da die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion mit zunehmender Energie sehr schnell abnimmt, kann die obere Integrationsgrenze gleich unendlich gesetzt werden. Wenn der Besetzungsgrad von Energiezuständen durch Elektronen im Leitungsband klein ist ( f(E) << 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы (3.4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функций f(E) und g(E) in Gleichung (3.15) führt zu folgendem Ausdruck für die Elektronenkonzentration im Leitungsband:
. (3.16)
Transformieren wir nun den Ausdruck (3.16) in die Form
Lassen Sie uns die Variablen im Integranden ändern
Als Ergebnis erhalten wir
Das Integral in diesem Ausdruck ist. Folglich
(3.17)
wo
. (3.18)
der Wert Nc namens Effektive Zustandsdichte im Leitungsband. Dieser Name rührt daher, dass die Gesamtkonzentration der tatsächlich in einem bestimmten Energieintervall im Leitungsband verteilten Elektronen die gleiche ist, als wenn das Band besetzt wäre Nc Ebenen mit gleicher Energie E c.
Ebenso kann man die Konzentration von Löchern im Valenzband berechnen. Da der freie Zustand im Valenzband durch den Übergang eines Elektrons aus diesem Zustand in das Leitungsband entsteht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand mit der Energie E im Valenzband nicht besetzt ist, ist gleich .
Dann die Lochkonzentration
hier E v ist die Obergrenze des Valenzbandes.
Vorausgesetzt, dass das Gas der Löcher nicht entartet ist, erhalten wir
(3.19)
wo Effektive Zustandsdichte im Valenzband
. (3.20)
Durch Multiplizieren der Ausdrücke (3.17) und (3.19) erhalten wir
(3.21)
wo n ich ist die Konzentration der intrinsischen Ladungsträger im Halbleiter, Z.B= Ec - E v ist die Bandlücke.
Beziehung (3.21) wird aufgerufen Gesetz der wirkenden Massen. Bei der Ableitung dieses Gesetzes haben wir die Annahme verwendet, dass der Füllgrad der Energieniveaus mit Ladungsträgern viel kleiner als Eins ist. Dieses Trägergas heißt nicht entartet, und Halbleiter - nicht entartet.
Im Allgemeinen ist ein entartetes Gas in der Physik ein Gas, dessen Eigenschaften sich aufgrund der quantenmechanischen Eigenschaften von Gasteilchen von denen eines klassischen idealen Gases unterscheiden. Ein entartetes Gas gehorcht der quantenmechanischen Fermi-Dirac- oder Bose-Einstein-Statistik, ein nicht entartetes Gas der Makwell-Boltzmann-Statistik. Bedingung für den Übergang des Gases in einen nicht entarteten Zustand ist die Erfüllung der Ungleichung f(E) << 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению:
(3.22)
Eine ähnliche Beziehung gilt auch für Löcher mit der Substitution n an p und an .
Die Frage, ob das Gas von Ladungsträgern in einem Kristall entartet oder nicht entartet ist, wird nur durch seine Konzentration und Temperatur bestimmt. Die Substitution der Zahlenwerte der in Ungleichung (3.22) enthaltenen Größen führt zu dem Schluss, dass bei Raumtemperatur ( T~ 300 K) ist das Trägergas nicht entartet, wenn seine Konzentration viel weniger als 10 25 m -3 beträgt. Diese Bedingung ist für fast alle Halbleiter erfüllt. Da die Elektronenkonzentration im Leitungsband von Metallen 10 28 m -3 übersteigt, ist das Elektronengas von Metallen immer entartet.
Somit gilt das Massenwirkungsgesetz für jeden nicht entarteten Halbleiter, unabhängig von der Rolle von Verunreinigungen, d.h. In jedem nicht entarteten Halbleiter führt eine Erhöhung der Konzentration von Trägern mit einem Vorzeichen zu einer Verringerung der Konzentration von Trägern mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Zu beachten ist auch, dass das Produkt aus Elektronen- und Lochkonzentration nicht von der Lage des Fermi-Niveaus abhängt.
3.5. Ferminiveau in Halbleitern
Die Konzepte der Fermi-Energie und des Fermi-Niveaus wurden früher für Metalle eingeführt. Da in Halbleitern die Verteilungsfunktion von Elektronen über Zustände die gleiche Form hat wie in Metallen, hat die Fermi-Energie in Halbleitern die gleiche physikalische Bedeutung: Die Fermi-Energie ist die maximal zulässige Energie, unterhalb derer bei absoluter Nulltemperatur alle Energieniveaus besetzt sind [ f(E)= 1], und darüber sind alle Ebenen leer [ f (E) = 0]. Bei Halbleitern, bei denen am absoluten Nullpunkt das Valenzband vollständig ausgefüllt und das Leitungsband vollständig frei ist, weist die Verteilungsfunktion eine Unstetigkeit auf. Folglich muss das Fermi-Niveau in einem Halbleiter in der Bandlücke am absoluten Nullpunkt liegen.
Für einen intrinsischen Halbleiter sind die Konzentrationen von Elektronen und Löchern gleich ( n = p), da Jedes Elektron, das das Valenzband verlässt, erzeugt ein Loch. Durch Gleichsetzen der Gleichungen (3.17) und (3.19) erhalten wir
Auflösen der letzten Gleichheit bzgl E F, wir bekommen
(3.23)
Wenn die effektiven Massen von Elektronen und Löchern gleich [ = , = 0] liegt das Fermi-Niveau eines intrinsischen Halbleiters bei jeder Temperatur in der Mitte der Bandlücke.
Temperaturabhängigkeit die Lage des Ferminiveaus im intrinsischen Halbleiter wird durch den dritten Term in Gleichung (3.23) bestimmt. Wenn die effektive Masse eines Lochs im Valenzband größer ist als die effektive Masse eines Elektrons im Leitungsband, dann verschiebt sich das Fermi-Niveau mit zunehmender Temperatur näher an den unteren Rand des Leitungsbands. Im umgekehrten Fall verschiebt sich das Fermi-Niveau nach oben im Valenzband. Die Lage des Fermi-Niveaus in einem intrinsischen Halbleiter bei Temperaturänderung ist schematisch in Abb. 3.5.
Bei den meisten Halbleitern ist die effektive Masse eines Lochs nicht viel größer als die effektive Masse eines Elektrons, und die Verschiebung des Fermi-Niveaus mit der Temperatur ist vernachlässigbar. Indiumantimonid (InSb) , und die Bandlücke ist klein (E g = 0,17 eV), so dass bei T > 450 K das Fermi-Niveau in das Leitungsband eintritt. Bei dieser Temperatur geht der Halbleiter in einen entarteten Zustand über.
Die Lage des Fermi-Niveaus in Fremdhalbleitern kann aus der Bedingung der elektrischen Neutralität des Kristalls ermittelt werden. Für einen Donor-Halbleiter wird diese Bedingung geschrieben als
, (3.24)
hier Nd- Konzentration der Spenderspiegel, n d- Elektronenkonzentration auf Donorniveau. Die Elektronenkonzentration im Leitungsband ist gleich der Summe der Lochkonzentrationen im Valenzband und der Konzentration positiv geladener Donorionen (letztere ist offensichtlich gleich N d - n d).
Die Elektronenkonzentration auf Donatorniveaus kann berechnet werden, indem die Konzentration dieser Niveaus multipliziert wird Nd auf der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion:
, (3.25)
wo E d ist die Aktivierungsenergie der Donorniveaus.
Setzt man in die Elektroneutralitätsbedingung (3.24) die Elektronendichte (3.17) und Lochdichte (3.19) sowie die Elektronendichte an Donatorniveaus (3.25) ein, so erhält man folgende Gleichung für die Lage des Ferminiveaus E F :
. (3.26)
Beim Einsetzen der Elektronenkonzentration auf Donatorniveau in Gleichung (3.24) wurde angenommen, dass das Elektronengas der Fremdatome nicht entartet ist, was es ermöglichte, im Nenner der Formel (3.25) die Eins zu vernachlässigen.
Gleichung (3.26) wird aufgrund ihrer Komplexität meist nicht in allgemeiner Form gelöst, sondern auf die Betrachtung von Sonderfällen beschränkt. Wenn zum Beispiel bei niedrigen Temperaturen Elektronen hauptsächlich aufgrund von Übergängen von Verunreinigungsniveaus im Leitungsband erscheinen und die Lochkonzentration nahe Null ist, hat die Lösung von Gleichung (3.26) die Form
. (3.27)
Gleichung (3.27) impliziert, dass die Fermi-Energie eines Donator-Halbleiters bei absoluter Nulltemperatur genau in der Mitte zwischen der Unterseite des Leitungsbandes und den Donor-Niveaus liegt. Die Temperaturabhängigkeit der Lage des Ferminiveaus wird durch den dritten Term in Gleichung (3.27) bestimmt, der mit der Temperatur das Vorzeichen wechselt. Daher verschiebt sich das Fermi-Niveau mit zunehmender Temperatur zuerst in das Leitungsband und dann in das Valenzband (Abb. 3.6, a).
In ähnlicher Weise kann man einen Ausdruck für die Temperaturabhängigkeit des Fermi-Niveaus in einem Akzeptor-Halbleiter erhalten. Der Graph dieser Abhängigkeit ist schematisch in Abb. 3.6b.
3.6. Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtsladungsträger. Quasi-Fermi-Niveaus
Die Position des Fermi-Niveaus in intrinsischen Halbleitern und Störstellen-Halbleitern hängt mit der Konzentration von Ladungsträgern zusammen, die sich bei einer gegebenen Temperatur in einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts einstellt. Die Übertragung von Elektronen in das Leitungsband aufgrund thermischer Anregung und das Auftreten von Löchern im Valenzband als Folge dieses Prozesses wird als bezeichnet thermische Erzeugung freier Ladungsträger. Gleichzeitig findet auch der umgekehrte Vorgang statt: Die Elektronen kehren in das Valenzband zurück, wodurch Elektron und Loch verschwinden. Dieser Vorgang wird aufgerufen Rekombination von Ladungsträgern. Zur quantitativen Beschreibung der Prozesse der Erzeugung und Rekombination von Ladungsträgern in Halbleitern dienen die Konzepte Generationsrate, Rekombinationsraten und Lebensdauer Ladungsträger.
Die Ladungsträgererzeugungsrate ist die Anzahl von Ladungsträgern, die in einer Volumeneinheit eines Halbleiters pro Zeiteinheit angeregt werden.
Die Trägerrekombinationsrate ist die Anzahl von Trägern, die pro Volumeneinheit eines Halbleiters pro Zeiteinheit rekombinieren.
Lebensdauer der Medien tist die durchschnittliche Zeit von der Trägererzeugung bis zur Trägerrekombination.
Die folgenden Beziehungen zwischen den Elektronenrekombinationsraten folgen direkt aus den obigen Definitionen R n und Löcher Rp und ihre Lebenszeitentn und tpbzw:
(3.28)
Dabei wird berücksichtigt, dass 1/ t ist die Wahrscheinlichkeit der Trägerrekombination pro Zeiteinheit.
Bei einer festen Temperatur stellt sich ein thermodynamisches Gleichgewicht ein, in dem sich die Prozesse der Erzeugung und Rekombination gegenseitig ausbalancieren. Solche Träger, die im thermischen Gleichgewicht mit dem Kristallgitter stehen, werden genannt ausgewogen.
Die elektrische Leitfähigkeit eines Halbleiters kann auch auf andere Weise angeregt werden, beispielsweise durch Bestrahlung mit Licht, durch Einwirkung ionisierender Teilchen, durch ein elektrisches Feld, durch Injektion von Ladungsträgern durch einen Kontakt usw. In all diesen Fällen wird in Neben Gleichgewichtsträgern entstehen im Halbleiter Ladungsträger, die nicht im thermischen Gleichgewicht mit dem Kristall stehen. Solche Träger werden genannt Nichtgleichgewicht.
Die Gesamtkonzentration der Elektronen im Leitungsband n im Fall von Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtsträgern können dargestellt werden als
, (3.29)
wo n 0 die Konzentration der Gleichgewichtselektronen ist;Dnist die Konzentration von Nichtgleichgewichtselektronen.
Gesamtlochkonzentration
, (3.30)
wo p0 und Dpsind die Gleichgewichts- bzw. Nivon Löchern.
Da die Fermi-Dirac-Verteilung nur für den Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts gültig ist, ist klar, dass die Statistik von Nichtgleichgewichtsträgern anders sein sollte. In Ermangelung eines thermodynamischen Gleichgewichts ist es üblich, zwei neue Verteilungsparameter einzuführen E Fn für Elektronen u E Fp für Löcher. Diese Parameter werden so gewählt, dass für die Konzentrationen von Elektronen und Löchern in Gegenwart von Nichtgleichgewichtsladungsträgern die Gleichungen (3.17) bzw. (3.19) unter der Bedingung des Austauschs erfüllt sind E F an E Fn für Elektronen u E Fp für Löcher. Mengen E Fn und E Fp namens Quasi-Fermi-Niveaus Elektronen bzw. Löcher. Somit sind in nicht entarteten Halbleitern die Gleichungen
, (3.31)
Im Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts fallen die Quasi-Fermi-Niveaus mit dem Gleichgewichts-Fermi-Niveau zusammen E F. Je höher die Konzentration an Nichtgleichgewichtsladungsträgern ist, desto weiter sind die Quasi-Fermi-Niveaus vom Fermi-Niveau entfernt. Die Gleichungen (3.31), (3.32), (3.17) und (3.19) implizieren
. (3.33)
Diese Beziehung drückt die Beziehung zwischen den Konzentrationen von Elektronen und Löchern im Nichtgleichgewichtszustand aus. Energieunterschied charakterisiert die Abweichung vom Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts. Wenn np > n 0· p0, dann . Dieser Zustand entspricht Injektion(werfen) überschüssige Träger. Wenn np < n 0 p 0, dann reden sie darüber Extraktion(Erschöpfung) von Trägern.
Nichtgleichgewichtsträger spielen eine wichtige Rolle beim Betrieb von Halbleitervorrichtungen.
Fermi-Energie. Der Einfluss der Temperatur auf die Fermi-Dirac-Verteilung
Die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion, die die Verteilung von Fermionen über Zustände beschreibt, hat folgende Form:
hier E F ist das chemische Potential des Fermionensystems, d.h. die Arbeit, die erforderlich ist, um die Anzahl der Teilchen im System um eins zu ändern. Bei Elektronen die Menge E F namens Fermi-Energie.
Betrachten Sie die Form der Fermi-Dirac-Funktion bei einer Temperatur, die zum absoluten Nullpunkt tendiert. Wie aus Formel (3.4) leicht ersichtlich ist, strebt daher für jede Teilchenenergie, die größer als die Fermi-Energie ist, die Exponentialfunktion im Nenner bei gegen unendlich f(E) tendiert gegen null. Das bedeutet, dass alle Energiezustände mit E > E F völlig frei am absoluten Nullpunkt. Wenn E< E F bei , f(E) neigt zur Einigkeit. Das bedeutet, dass alle Quantenzustände mit Energien kleiner als die Fermi-Energie vollständig mit Elektronen besetzt sind. Damit ist die physikalische Bedeutung der Fermi-Energie als Parameter der Verteilung von Elektronen über Zustände klar: Die Fermi-Energie ist die maximal mögliche Energie von Elektronen in einem Metall bei absoluter Nulltemperatur. Das der Fermi-Energie entsprechende Energieniveau wird genannt Fermi-Niveau.
Die Form der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion at T = 0K in Abb. gezeigt. 3.2a. Auf Abb. 3.2b zeigt die Verteilung von Elektronen über Energieniveaus im Leitungsband eines Metalls bei gleicher Temperatur.
Wenn T 0K, dann ist, wenn die Energie des Teilchens gleich der Fermi-Energie ist, die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion gleich 1/2 . Dies bedeutet, dass das Fermi-Niveau bei jeder anderen Temperatur als dem absoluten Nullpunkt halb voll ist. Die Form der Fermi-Dirac-Funktion für zwei verschiedene Temperaturen ist schematisch in Abb. 1 dargestellt. 3.3. Die Änderung in der Art der Verteilung von Elektronen über Zustände ist mit der thermischen Anregung von Elektronen verbunden. In diesem Fall gehen einige der Elektronen in Zustände mit Energien über der Fermi-Energie über. Dementsprechend erweisen sich einige der Zustände unterhalb des Fermi-Niveaus als frei. Dadurch wird die Funktion f(E) in der Nähe der Fermi-Energie "verwischt". Ein unbedeutender Teil der Elektronen, die sich in der Nähe des Fermi-Niveaus befinden, wird thermisch angeregt. Die Fermi-Dirac-Funktion unterscheidet sich nur bei merklich von der Form, die sie am absoluten Nullpunkt hatte. Das Ausmaß der „Verwischung“ ist proportional zur Temperatur (Abb. 3.3). Je höher die Temperatur, desto stärker ändert sich die Verteilungsfunktion.
Angesichts dessen
(3.5)
der Exponent im Nenner wird viel größer als Eins in Formel (3.4). In diesem Fall kann die Einheit vernachlässigt werden und die Fermi-Dirac-Verteilung wird in die Form transformiert
Ausdruck (3.6) stimmt formal mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilungsfunktion überein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewisses Energieniveau mit Energie verbunden ist E frei, d.h. von einem Loch besetzt
Fermi-Niveau. Trotz der enormen Anzahl freier Elektronen im Metall sind diese in einer strengen Ordnung nach den Energieniveaus des Potentialtopfes angeordnet. Jedes der Elektronen besetzt eine Leerstelle auf dem niedrigstmöglichen Niveau. Und das ist ganz natürlich, da jedes System sich selbst überlassen bleibt, dh in Abwesenheit von Äußerer Einfluss, tendiert immer dazu, in den Zustand mit der niedrigsten Energie zu gehen. Die Verteilung der Elektronen nach Niveaus unterliegt dem Pauli-Prinzip, wonach sich zwei Teilchen nicht im exakt gleichen Zustand befinden können. Aus diesem Grund können sich auf jedem Energieniveau nicht mehr als zwei Elektronen befinden, und selbst dann haben sie unterschiedliche Spinrichtungen. Wenn die unteren Ebenen abgeschlossen sind, werden immer mehr höhere Ebenen bevölkert. Wenn in der betrachteten Metallprobe N freie Elektronen vorhanden sind, befinden sich ohne thermische Anregung, dh bei absoluter Nulltemperatur (T \u003d 0), alle freien Elektronen paarweise auf N / 2 niedrigeren Ebenen ( Abb. 47). Das höchste Energieniveau des mit Elektronen besetzten Potentialtopfs eines Metalls bei T = 0 wird als Fermi-Niveau * bezeichnet und mit dem Buchstaben μ oder W F bezeichnet. Die Energie eines Elektrons in diesem Niveau wird als Fermi-Energie bezeichnet. Alle oberhalb des Ferminiveaus bei T = 0 liegenden Energieniveaus sind absolut leer.
* (Diese Ebene erhielt ihren Namen zu Ehren des herausragenden italienischen Physikers E. Fermi, der zusammen mit dem berühmten englischen Physiker P. Dirac die Theorie des Verhaltens von Teilchengruppen entwickelte, die sich wie Elektronen in einem Metall verhalten.)
Es liegt auf der Hand, dass für den Austritt von Elektronen, die sich auf dem Fermi-Niveau außerhalb des Metalls befinden, Arbeit verrichtet werden muss
Die Größe A, gleich dem Energieabstand zwischen dem Niveau des entfernten Elektrons BB und dem Fermi-Niveau, wird genannt Thermodynamische Arbeit Ausfahrt oder nur die Ausfahrt arbeiten. Dieser Wert bestimmt das Verhalten verschiedene Metalle B. beim Herstellen eines Kontakts zwischen ihnen oder beim Herstellen eines Metall-Halbleiter-Kontakts.
Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion. Die Art der Verteilung der Partikel über verschiedene Level oder Zustände unter bestimmten Bedingungen wird durch die sogenannte Verteilungsfunktion bestimmt. Im allgemeinen Fall beschreibt die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit, dass die eine oder andere Ebene von Teilchen besetzt ist. Wenn zuverlässig bekannt ist, dass ein bestimmtes Niveau von einem Teilchen bewohnt wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen auf diesem Niveau zu entdecken, 1. Wenn jedoch mit voller Sicherheit gesagt werden kann, dass es auf dem Niveau keine Teilchen gibt betrachtet, so wird die Wahrscheinlichkeit, Partikel im betrachteten Zustand zu detektieren, mit 0 bezeichnet. In vielen Fällen kann jedoch nicht zuverlässig gesagt werden, ob der Füllstand voll oder leer ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen auf der betrachteten Ebene zu finden, von Null verschieden, aber kleiner als Eins. Je größer dabei die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen auf der betrachteten Ebene zu detektieren, desto näher an Eins liegt der Wert der Verteilungsfunktion für den entsprechenden Zustand.
Wenn wir die Energiewerte, die verschiedenen Niveaus vom Boden des Potentialtopfs bis zu seiner Decke entsprechen, entlang der Abszissenachse und die Wahrscheinlichkeit, die entsprechenden Niveaus mit Elektronen zu füllen, entlang der Ordinatenachse auftragen, erhalten wir ein Diagramm der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion Bei T = 0 sieht es wie in Abb. 48 aus. Oft wird dieser Graph als Fermi-Schritt bezeichnet. Daraus ist ersichtlich, dass bei T = 0 alle Niveaus bis zum Fermi-Niveau mit Elektronen besetzt sind. An der Stelle W = μ springt die Verteilungsfunktion auf Null; das bedeutet, dass alle Ebenen oberhalb des Fermi-Niveaus leer sind.
Temperatureinfluss. Bei anderen Temperaturen als Null die Form des Abhängigkeitsgraphen 
unterscheidet sich von der in Abbildung 48 gezeigten. Eine Temperaturerhöhung führt zum Auftreten einer thermischen Anregung von Elektronen, die sie durch thermische Schwingungen erhalten Kristallgitter. Aufgrund dieser Anregung gelangen einige der Elektronen, die sich auf den höchsten gefüllten Ebenen befinden, auf leere Ebenen, die über dem Fermi-Niveau liegen (Abb. 49). Die Wahrscheinlichkeit, Elektronen auf diesen Niveaus zu entdecken, wird bereits ungleich Null. Gleichzeitig ist die Wahrscheinlichkeit, sie zu füllen, aufgrund des Austritts einiger Elektronen aus einigen Ebenen, die sich direkt unter der Fermi-Ebene befinden, geringer als Eins. So führt eine Temperaturerhöhung zu einer gewissen "Verschmierung" der Grenze der Fermi-Stufe: Statt eines abrupten Wechsels von 1 auf 0 macht die Verteilungsfunktion einen fließenden Übergang. In Fig. 50 zeigt die gepunktete Linie die Form des Graphen der Verteilungsfunktion von Elektronen über Niveaus bei T = 0, und die durchgezogenen Linien geben die Verteilungen von Elektronen bei anderen Temperaturen als Null wieder. Fläche eines gekrümmten Dreiecks, das sich unter der Verteilungskurve befindet rechts neben dem Wert W F (Stelle 2) ist proportional zur Anzahl der Elektronen, die die angeregten Niveaus erreicht haben, und die Fläche desselben Dreiecks, das sich links vom W F -Wert über der Verteilungskurve (Stelle 1) befindet, ist proportional zur Anzahl Anzahl der Elektronen, die zuvor gefüllte Niveaus verlassen haben, also die Zahl der Plätze, die unter dem Fermi-Niveau frei geworden sind. Es ist klar, dass die Flächen dieser beiden Dreiecke gleich sind, da sie von verschiedenen Positionen aus die gleiche Anzahl von Elektronen ausdrücken.
Zu beachten ist, dass im Betriebstemperaturbereich der Grad der Unschärfe der Elektronenverteilungskurve im Metall sehr gering ist. Dies erklärt sich dadurch, dass nur diejenigen Elektronen thermisch angeregt werden, die sich auf den Energieniveaus direkt neben dem Fermi-Niveau befinden. Es ist möglich, die Energietiefe der angeregten Niveaus qualitativ abzuschätzen. Aus der Molekularphysik ist bekannt, dass die kinetische Energie von Teilchen aufgrund thermischer Bewegung wie folgt ausgedrückt wird:
Folglich ist der Wert der Energie, die von Atomen des Kristallgitters, die thermischen Schwingungen ausgesetzt sind, auf Elektronen übertragen werden können, in der Größenordnung gleich kT. Bei Raumtemperatur 
während die Fermi-Energie für Metalle bei dieser Temperatur im Bereich von 3 bis 10 eV liegt. Daher stellt sich heraus, dass in normale Bedingungen nicht mehr als 1 % aller freien Elektronen können an Übergängen zu höheren Energieniveaus teilnehmen. Außerdem sind dies genau jene Elektronen, deren Energie nahe der Fermi-Energie liegt. Die Elektronen, die die Energieniveaus bevölkern, die sich tief im Potentialtopf und mehr als kT vom Fermi-Niveau entfernt befinden, nehmen nicht an der thermischen Anregung teil, wodurch die Verteilung dieser Elektronen dieselbe bleibt wie am absoluten Nullpunkt.
Die physikalische Bedeutung des Fermi-Niveaus. Diskussion in §6 über die Fähigkeit von Festkörpern zu leiten elektrischer Strom, kamen wir zu dem Schluss, dass die Leitfähigkeit mit der Möglichkeit verbunden ist, dass Elektronen sich auf höhere Energieniveaus bewegen, das heißt, sie wird durch die Möglichkeit bestimmt, dass Elektronen eine Beschleunigung im Äußeren erfahren elektrisches Feld. Bei Metallen bei T > 0 besteht diese Möglichkeit nur für Elektronen, die sich im Bereich der Spreizung der Verteilungsfunktion befinden, da echte elektrische Felder nicht in der Lage sind, Elektronen aus der Tiefe des Potentialtopfes herauszuziehen und frei zu transportieren Niveaus, deren Energie höher als W F ist (zu benachbarten , höheren Niveaus (tiefe Elektronen) nicht gelangen können, da alle diese Niveaus besetzt sind). Folglich hat die Fermi-Energie bei T > 0 die Bedeutung der wahrscheinlichsten oder durchschnittlichen Energie von Metallelektronen, die bei einer gegebenen Temperatur an der Leitung teilnehmen können. Diese Elektronen sind nicht nur für die elektrische Leitfähigkeit verantwortlich. Sie bestimmen den Beitrag der elektronischen Wärmekapazität zur Gesamtwärmekapazität des Kristalls und bestimmen weitgehend die Wärmeleitfähigkeit des Kristalls.
Das Fermi-Niveau in Metallen ändert seine Lage praktisch nicht mit steigender Temperatur. Mit steigender Temperatur nimmt der Anregungsgrad der Elektronen zu und sie bewegen sich auf höhere Niveaus. Gleichzeitig werden immer tiefer liegende Ebenen mit geringerer Energie angeregt. Die Verteilungskurve bei T 2 > T 1 (siehe Abb. 50) ist stärker "verschmiert" als bei T 1, aber gleich nach rechts und nach links. Daher bleibt die mittlere Energie der an der Leitung beteiligten Elektronen praktisch unverändert. Dies gilt umso mehr, als zwischen den angeregten Niveaus ein ständiger Elektronenaustausch stattfindet.
Fermienergie und Entartungstemperatur
Die durchschnittliche Energie eines klassischen (nicht entarteten) Gases liegt in der Größenordnung von ~ kT. Bei Raumtemperatur ( T≈300 K) kT≈ 0,025 eV. Das zeigt ein Vergleich dieser Größe mit der Fermi-Energie kT << E F . Das bedeutet es Elektronengas in Metallen ist immer entartet, das heißt, weist reine Quanteneigenschaften auf.
Eines der Entartungskriterien ist Entartungstemperatur gleicht
Bei T < T F das System ist entartet und gehorcht der Quantenstatistik. Bei T > T F das System ist nicht entartet, und sein Verhalten gehorcht der klassischen Statistik von Maxwell-Boltzmann.
Tabelle 3.1 listet auch die Elektronengas-Entartungstemperaturen auf. Sie liegen in der Größenordnung von Zehn- und Hunderttausend Grad. Das bedeutet, dass das Elektronengas bei allen Temperaturen entartet ist, bei denen sich das Metall im festen Zustand befindet. Die Entartung des Gases wird durch den kleinen Wert der Elektronenmasse begünstigt m und ihre hohe Konzentration n.
Betrachten Sie das Verhalten der Verteilungsfunktion f F bei Т>0
.(3.2.8)
Wenn die Temperatur ansteigt, nehmen die Elektronen an Wärmeenergie Reihenfolge kT und bewegen sich zu höheren Energieniveaus (oberhalb des Fermi-Niveaus), wodurch sich die Art ihrer Verteilung über Energiezustände ändert (Abb. 3.3, b). Im Vergleich zur Nulltemperatur die Steigung der Kurve f F (E) springt nicht auf null an E= E F, tritt aber glatt in einem Streifen mit einer Breite in der Größenordnung von ~ auf 2 kT. Da die Energie der thermischen Bewegung kT viel weniger als die Fermi-Energie, dann nur Elektronen eines schmalen Energiebandes der Größenordnung kT, direkt neben dem Fermi-Niveau (Abb. 3.5).
Die auf den tieferen Energieniveaus befindlichen Elektronen bleiben praktisch unbeeinflusst, da die Energien der thermischen Bewegung kT unzureichend für ihre Anregung (um über das Fermi-Niveau hinaus zu übertragen). Energie E=
E F, entspricht dem Wert der Verteilungsfunktion 
. Daher wann T > 0Das Fermi-Niveau ist ein Energieniveau, dessen Wahrscheinlichkeit, gefüllt zu werden, ist
.
In Abb. 3.3b sind die schraffierten Flächen proportional zur Anzahl der Elektronen, die den Zustand mit der Energie verlassen 
, (ADW-Gebiet) und Übergang zu Niveaus oberhalb des Fermi-Niveaus 
(Website der Marine). Diese Bereiche sind gleich groß. Der Anteil der Elektronen, die in den Zustand der thermischen Anregung eintreten, ist gleich
, (3.2.9)
Bei Raumtemperatur ist dieser Anteil unbedeutend und beträgt weniger als 1 % Gesamtzahl Leitungselektronen.
Dieser Umstand erklärt die Tatsache, dass die Wärmekapazität des Elektronengases extrem klein ist im Vergleich zur Wärmekapazität des Gitters. Seine molare Wärmekapazität 
, und nach der klassischen Theorie 
. (Hier ist R die universelle Gaskonstante). Dieses Ergebnis stimmt gut mit dem Experiment überein und beseitigt eine der Schwierigkeiten der klassischen elektronischen Theorie der Metalle.
3.3. Das Konzept der Quantentheorie der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen
Die auf der Grundlage der Quantenmechanik und der Quanten-Fermi-Dirac-Statistik aufgebaute Theorie der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen wird als Quantentheorie der elektrischen Leitfähigkeit eines Metalls bezeichnet.
Berechnung der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen in Quantentheorie wurde von Sommerfeld produziert. Das Ohmsche Gesetz wurde in differentieller Form abgeleitet
, (3.3.1)
wo
- spezifische Leitfähigkeit; 
- Stromdichte an einem bestimmten Punkt; 
- elektrische Feldstärke.
Für die spezifische Leitfähigkeit ergibt sich folgender Ausdruck:
;
(3.3.2)
wo 
- durchschnittliche Länge freie Weglänge eines Elektrons mit Fermienergie, 
ist die Geschwindigkeit eines solchen Elektrons, m
- seine Masse.
Vergleichen wir (3.12) mit dem aus der klassischen elektronischen Metalltheorie erhaltenen Ausdruck
. (3.3.3)
In diesem Ausdruck <
λ
>
ist die mittlere freie Weglänge eines Elektrons, 
- Durchschnittsgeschwindigkeit seine thermische Bewegung.
Trotz der Tatsache, dass die Ausdrücke (3.12) und (3.13) ähnlich aussehen, ist ihr Inhalt unterschiedlich. Durchschnittliche Geschwindigkeit der thermischen Bewegung 
hängt von der Temperatur ab 
, a 
hängt praktisch nicht von der Temperatur ab, da bei einer Temperaturänderung die Fermi-Energie und damit die Geschwindigkeit praktisch unverändert bleiben.
Der bedeutendste Unterschied zwischen den Formeln (3.3.2) und (3.3.3) ist die Bedeutung, die dem Konzept der freien Weglänge eines Elektrons gegeben wird < λ > in der klassischen und Quantentheorie der Metalle.
Die klassische elektronische Theorie betrachtet Elektronen als gewöhnliche Teilchen und sieht Kollisionen von Elektronen mit den Knoten des Kristallgitters als Ursache für den elektrischen Widerstand von Metallen an. Unter der Annahme, dass die Elektronen mit fast allen Gitterplätzen kollidieren, die sie auf ihrem Weg treffen, klassische Theorie akzeptiert < λ > gleich dem Gitterparameter d(d 10 -10 m).
Die Quantentheorie betrachtet ein Elektron als Teilchen mit Welleneigenschaften und einen elektrischen Strom in einem Metall als Fortpflanzungsprozess von Elektronenwellen, deren Wellenlänge durch die De-Broglie-Formel bestimmt wird
. (3.3.4)
Solche Darstellungen ermöglichen es, die experimentell beobachtete Temperaturabhängigkeit der spezifischen Leitfähigkeit zu erklären
und Widerstand 
. Betrachten Sie das ideale Kristallgitter eines Metalls, in dessen Knoten sich unbewegliche Ionen befinden und keine Verunreinigungen und Defekte vorhanden sind. Ein solches ideales Gitter streut keine Elektronenwellen, und der elektrische Widerstand eines solchen Metalls sollte Null sein.
In echten Kristallen an T > 0 Ionen führen thermische Schwingungen um die Gleichgewichtsposition herum aus und verletzen die strenge Periodizität des Gitters. Außerdem enthalten solche Gitter normalerweise strukturelle Defekte: Verunreinigungen, Leerstellen, Versetzungen und so weiter. Alle diese Inhomogenitäten spielen die Rolle von Streuzentren für Elektronenwellen und sind die Ursache für elektrischen Widerstand. Die Berechnung zeigt, dass die mittlere freie Weglänge < λ F > ist laut Gesetz von der Temperatur abhängig
, (3.3.5)
wo 
- Elastizitätsmodul; d
- Gitterparameter.
Unter Berücksichtigung von (3.15) die spezifische Leitfähigkeit , definiert durch Formel (3.12), die Form haben
, (3.3.6)
also 
und 
, was gut mit den Erfahrungen im Bereich nicht zu niedriger Temperaturen übereinstimmt.
P 
Bei sehr tiefen Temperaturen gilt Formel (3.3.5) nicht. In diesem Fall stellt sich heraus, dass die mittlere freie Weglänge umgekehrt proportional nicht zum ersten, sondern zum fünften Temperaturgrad und damit zum spezifischen Widerstand ist ρ
proportional zur fünften Potenz der absoluten Temperatur.
Abbildung 3.7 zeigt die Abhängigkeit des elektrischen Widerstands des Metalls von der Temperatur. Bei T=0 der spezifische Widerstand des Metalls ist nicht gleich Null, sondern gleich dem Restwiderstand Ost , aufgrund der Streuung von Elektronenwellen an strukturellen Defekten des Metallgitters.