Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, wobei jeder Wert von x korrespondiert einzige Bedeutung y heißt Funktion. Zur Bezeichnung verwenden Sie die Notation y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften, wie etwa Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Schauen Sie sich die Paritätseigenschaft genauer an.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Definitionsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x muss die folgende Gleichheit aus dem Definitionsbereich der Funktion erfüllt sein: f(x) = f(-x).

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion zeichnen, ist dieser symmetrisch zur Oy-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Schauen wir es uns an. Der Definitionsbereich ist die gesamte numerische Achse, was bedeutet, dass sie symmetrisch zum Punkt O ist.

Nehmen wir ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher ist f(x) = f(-x). Somit sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur Oy-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion muss in Bezug auf Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich gehören der gegebenen Funktion.

2. Für jeden Punkt x muss die folgende Gleichheit aus dem Definitionsbereich der Funktion erfüllt sein: f(x) = -f(x).

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch in Bezug auf Punkt O – den Koordinatenursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Schauen wir es uns an. Der Definitionsbereich ist die gesamte numerische Achse, was bedeutet, dass sie symmetrisch zum Punkt O ist.

Nehmen wir ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Daher ist f(x) = -f(x). Somit sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 symmetrisch zum Ursprung ist.

Funktion ist eines der wichtigsten mathematischen Konzepte. Funktion - Variablenabhängigkeit bei aus Variable X, wenn jeder Wert X entspricht einem einzelnen Wert bei. Variable X wird als unabhängige Variable oder Argument bezeichnet. Variable bei wird als abhängige Variable bezeichnet. Alle Werte der unabhängigen Variablen (Variable X) bilden den Definitionsbereich der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt (variable j), bilden den Wertebereich der Funktion.

Funktionsgraph Nennen Sie die Menge aller Punkte der Koordinatenebene, deren Abszissen gleich den Werten des Arguments sind und deren Ordinaten gleich den entsprechenden Werten der Funktion sind, also den Werten der Entlang der Abszissenachse sind die Variablen aufgetragen X, und die Werte der Variablen werden entlang der Ordinatenachse aufgetragen j. Um eine Funktion grafisch darzustellen, müssen Sie die Eigenschaften der Funktion kennen. Die Haupteigenschaften der Funktion werden weiter unten besprochen!

Um einen Graphen einer Funktion zu erstellen, empfehlen wir die Verwendung unseres Programms „Funktionen online grafisch darstellen“. Wenn Sie beim Studium des Materials auf dieser Seite Fragen haben, können Sie diese jederzeit in unserem Forum stellen. Auch im Forum helfen sie Ihnen bei der Lösung von Problemen in Mathematik, Chemie, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und vielen anderen Fächern!

Grundlegende Eigenschaften von Funktionen.

1) Funktionsbereich und Funktionsumfang.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller gültigen Argumentwerte X(Variable X), für die die Funktion y = f(x) bestimmt.
Der Bereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Werte j, was die Funktion akzeptiert.

In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.

2) Funktionsnullstellen.

Werte X, bei welchem y=0, angerufen Funktionsnullstellen. Dies sind die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Ox-Achse.

3) Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion.

Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion sind solche Werteintervalle X, auf dem die Funktionswerte liegen j entweder nur positiv oder nur negativ genannt werden Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

4) Monotonie der Funktion.

Eine steigende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Eine abnehmende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

5) Gerade (ungerade) Funktion.

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X f(-x) = f(x). Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate.

Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X Aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit wahr f(-x) = - f(x). Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Gleiche Funktion
1) Der Definitionsbereich ist symmetrisch in Bezug auf den Punkt (0; 0), das heißt, wenn der Punkt A gehört zum Definitionsbereich, dann der Punkt -A gehört ebenfalls zum Bereich der Definition.
2) Für jeden Wert X f(-x)=f(x)
3) Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die Oy-Achse.

Komische Funktion hat die folgenden Eigenschaften:
1) Der Definitionsbereich ist symmetrisch um den Punkt (0; 0).
2) für jeden Wert X, zum Definitionsbereich gehörend, die Gleichheit f(-x)=-f(x)
3) Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs (0; 0).

Nicht jede Funktion ist gerade oder ungerade. Funktionen Gesamtansicht sind weder gerade noch ungerade.

6) Begrenzte und unbegrenzte Funktionen.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine solche gibt positive Zahl M mit |f(x)| ≤ M für alle Werte von x. Existiert eine solche Zahl nicht, ist die Funktion unbegrenzt.

7) Periodizität der Funktion.

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn es eine Zahl T ungleich Null gibt, so dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(x+T) = f(x). Das kleinste Zahl heißt die Periode der Funktion. Alle trigonometrische Funktionen sind periodisch. (Trigonometrische Formeln).

Funktion F heißt periodisch, wenn es für jede eine solche Zahl gibt X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ist die Periode der Funktion.

Jede periodische Funktion hat unendlich viele Perioden. In der Praxis wird üblicherweise die kleinste positive Periode berücksichtigt.

Die Werte einer periodischen Funktion wiederholen sich nach einem Intervall, das der Periode entspricht. Dies wird beim Erstellen von Diagrammen verwendet.

Geradeheit und Ungeradeheit einer Funktion sind eine ihrer Haupteigenschaften, und Parität nimmt einen beeindruckenden Teil des schulischen Mathematikunterrichts ein. Es bestimmt weitgehend das Verhalten der Funktion und erleichtert die Konstruktion des entsprechenden Diagramms erheblich.

Bestimmen wir die Parität der Funktion. Im Allgemeinen wird die untersuchte Funktion auch dann berücksichtigt, wenn für entgegengesetzte Werte der unabhängigen Variablen (x), die sich in ihrem Definitionsbereich befindet, die entsprechenden Werte von y (Funktion) gleich sind.

Lassen Sie uns eine strengere Definition geben. Betrachten Sie eine Funktion f (x), die im Definitionsbereich D definiert ist. Sie ist gerade, wenn für jeden Punkt x im Definitionsbereich gilt:

• -x (entgegengesetzter Punkt) liegt ebenfalls in diesem Bereich,

• f(-x) = f(x).

Aus der obigen Definition folgt die für den Definitionsbereich einer solchen Funktion notwendige Bedingung, nämlich Symmetrie in Bezug auf den Punkt O, der den Koordinatenursprung darstellt, da ein Punkt b im Definitionsbereich einer Geraden enthalten ist Funktion, dann liegt auch der entsprechende Punkt b in diesem Bereich. Aus dem oben Gesagten folgt daher die Schlussfolgerung: Die gerade Funktion hat eine bezüglich der Ordinatenachse (Oy) symmetrische Form.

Wie kann man die Parität einer Funktion in der Praxis bestimmen?

Lassen Sie es mit der Formel h(x)=11^x+11^(-x) spezifizieren. Wir folgen dem Algorithmus, der direkt aus der Definition folgt, und untersuchen zunächst seinen Definitionsbereich. Offensichtlich ist es für alle Werte des Arguments definiert, d. h. die erste Bedingung ist erfüllt.

Der nächste Schritt besteht darin, das Argument (x) durch den entgegengesetzten Wert (-x) zu ersetzen.
Wir bekommen:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Da die Addition das kommutative (kommutative) Gesetz erfüllt, ist offensichtlich, dass h(-x) = h(x) und die gegebene funktionale Abhängigkeit gerade ist.

Überprüfen wir die Parität der Funktion h(x)=11^x-11^(-x). Wenn wir dem gleichen Algorithmus folgen, erhalten wir h(-x) = 11^(-x) -11^x. Wenn wir das Minus herausnehmen, haben wir am Ende
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Daher ist h(x) ungerade.

Übrigens sei daran erinnert, dass es Funktionen gibt, die nach diesen Kriterien nicht klassifiziert werden können; sie werden weder als gerade noch als ungerade bezeichnet.

Sogar Funktionen haben eine Reihe interessanter Eigenschaften:

• durch das Hinzufügen ähnlicher Funktionen erhalten sie eine gerade;
• als Ergebnis der Subtraktion solcher Funktionen erhält man eine gerade;
• gerade, auch gerade;
• als Ergebnis der Multiplikation zweier solcher Funktionen erhält man eine gerade Funktion;
• als Ergebnis der Multiplikation ungerader und gerader Funktionen erhält man eine ungerade;
• als Ergebnis der Division ungerader und gerader Funktionen erhält man eine ungerade;
• die Ableitung einer solchen Funktion ist ungerade;
• Wenn Sie eine ungerade Funktion quadrieren, erhalten Sie eine gerade Funktion.

Die Parität einer Funktion kann zur Lösung von Gleichungen verwendet werden.

Um eine Gleichung wie g(x) = 0 zu lösen, bei der die linke Seite der Gleichung eine gerade Funktion ist, reicht es völlig aus, ihre Lösungen für nichtnegative Werte der Variablen zu finden. Die resultierenden Wurzeln der Gleichung müssen mit den entgegengesetzten Zahlen kombiniert werden. Einer davon unterliegt der Überprüfung.

Dies wird auch erfolgreich zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme mit einem Parameter eingesetzt.

Gibt es beispielsweise einen Wert des Parameters a, für den die Gleichung 2x^6-x^4-ax^2=1 drei Wurzeln hat?

Wenn wir berücksichtigen, dass die Variable in geraden Potenzen in die Gleichung eingeht, ist es klar, dass das Ersetzen von x durch - x die gegebene Gleichung nicht ändert. Daraus folgt: Wenn eine bestimmte Zahl ihre Wurzel ist, dann ist die entgegengesetzte Zahl auch die Wurzel. Die Schlussfolgerung liegt auf der Hand: Die von Null verschiedenen Wurzeln einer Gleichung sind „paarweise“ in der Menge ihrer Lösungen enthalten.

Es ist klar, dass die Zahl selbst nicht 0 ist, das heißt, die Anzahl der Wurzeln einer solchen Gleichung kann nur gerade sein und natürlich kann sie für keinen Wert des Parameters drei Wurzeln haben.

Aber die Anzahl der Wurzeln der Gleichung 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kann ungerade sein, und zwar für jeden Wert des Parameters. Tatsächlich lässt sich leicht überprüfen, dass die Wurzelmenge dieser Gleichung „paarweise“ Lösungen enthält. Lassen Sie uns prüfen, ob 0 eine Wurzel ist. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir 2=2. Somit ist 0 neben „gepaarten“ auch eine Wurzel, was deren ungerade Zahl beweist.

Eine Funktion heißt gerade (ungerade), wenn irgendetwas und die Gleichheit vorliegen

.

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Achse
.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 6.2. Untersuchen Sie, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist

1)
; 2)
; 3)
.

Lösung.

1) Die Funktion wird definiert, wenn
. Wir werden finden
.

Diese.
. Dies bedeutet, dass diese Funktion gerade ist.

2) Die Funktion wird definiert, wenn

Diese.
. Daher ist diese Funktion ungerade.

3) Die Funktion ist für definiert, d.h. Für

,
. Daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Nennen wir es eine Funktion allgemeiner Form.

3. Untersuchung der Funktion für Monotonie.

Funktion
heißt in einem bestimmten Intervall steigend (abfallend), wenn in diesem Intervall jedem größeren Wert des Arguments ein größerer (kleinerer) Wert der Funktion entspricht.

Funktionen, die über ein bestimmtes Intervall ansteigen (abfallen), werden als monoton bezeichnet.

Wenn die Funktion
differenzierbar auf dem Intervall
und hat eine positive (negative) Ableitung
, dann die Funktion
nimmt in diesem Intervall zu (ab).

Beispiel 6.3. Finden Sie Intervalle der Monotonie von Funktionen

1)
; 3)
.

Lösung.

1) Diese Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert. Finden wir die Ableitung.

Die Ableitung ist gleich Null, wenn
Und
. Der Definitionsbereich ist die Zahlenachse, geteilt durch Punkte
,
in Intervallen. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall.

In der Pause
Ist die Ableitung negativ, nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

In der Pause
Die Ableitung ist positiv, daher nimmt die Funktion über dieses Intervall zu.

2) Diese Funktion ist definiert, wenn
oder

.

Wir bestimmen das Vorzeichen des quadratischen Trinoms in jedem Intervall.

Somit ist der Definitionsbereich der Funktion

Finden wir die Ableitung
,
, Wenn
, d.h.
, Aber
. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen
.

In der Pause
Die Ableitung ist negativ, daher nimmt die Funktion im Intervall ab
. In der Pause
die Ableitung ist positiv, die Funktion nimmt über das Intervall zu
.

4. Untersuchung der Funktion am Extremum.

Punkt
wird als maximaler (minimaler) Punkt der Funktion bezeichnet
, wenn es eine solche Umgebung des Punktes gibt das ist für jeden etwas
Von dieser Umgebung aus gilt die Ungleichung

.

Die Maximal- und Minimalpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte bezeichnet.

Wenn die Funktion
am Punkt ein Extremum hat, dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null oder existiert nicht (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Punkte, an denen die Ableitung Null ist oder nicht existiert, werden als kritisch bezeichnet.

5. Ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums.

Regel 1. Wenn während des Übergangs (von links nach rechts) durch den kritischen Punkt Derivat
ändert das Vorzeichen von „+“ zu „–“, dann am Punkt Funktion
hat ein Maximum; wenn von „–“ bis „+“, dann das Minimum; Wenn
ändert das Vorzeichen nicht, dann gibt es kein Extremum.

Regel 2. Lassen Sie es auf den Punkt kommen
erste Ableitung einer Funktion
gleich Null
, und die zweite Ableitung existiert und ist von Null verschieden. Wenn
, Das – Höchstpunktzahl, wenn
, Das – Minimalpunkt der Funktion.

Beispiel 6.4 . Entdecken Sie die Maximal- und Minimalfunktionen:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lösung.

1) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
.

Finden wir die Ableitung
und löse die Gleichung
, d.h.
.Von hier
- kritische Punkte.

Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen,
.

Beim Durchfahren von Punkten
Und
Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „–“ zu „+“, also gemäß Regel 1
– Mindestpunktzahl.

Beim Passieren eines Punktes
Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ zu „–“, also
– Höchstpunktzahl.

,
.

2) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
. Finden wir die Ableitung
.

Nachdem ich die Gleichung gelöst habe
, wir werden finden
Und
- kritische Punkte. Wenn der Nenner
, d.h.
, dann existiert die Ableitung nicht. Also,
– dritter kritischer Punkt. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in Intervallen.

Daher hat die Funktion an diesem Punkt ein Minimum
, Maximum in Punkten
Und
.

3) Eine Funktion ist definiert und stetig, wenn
, d.h. bei
.

Finden wir die Ableitung

.

Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Nachbarschaften von Punkten
gehören nicht zum Definitionsbereich und sind daher keine Extrema. Schauen wir uns also die kritischen Punkte an
Und
.

4) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
. Verwenden wir Regel 2. Finden Sie die Ableitung
.

Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Finden wir die zweite Ableitung
und bestimmen Sie sein Vorzeichen an den Punkten

An Punkten
Funktion hat ein Minimum.

An Punkten
Die Funktion hat ein Maximum.

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Methoden zur Angabe einer Funktion

Die Funktion sei durch die Formel gegeben: y=2x^(2)-3. Indem Sie der unabhängigen Variablen x beliebige Werte zuweisen, können Sie mit dieser Formel die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y berechnen. Wenn beispielsweise x=-0,5 ist, finden wir mithilfe der Formel, dass der entsprechende Wert von y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 ist.

Wenn Sie einen beliebigen Wert des Arguments x in der Formel y=2x^(2)-3 nehmen, können Sie nur einen Wert der entsprechenden Funktion berechnen. Die Funktion kann als Tabelle dargestellt werden:

X	−2	−1	0	1	2	3
j	−4	−3	−2	−1	0	1

Anhand dieser Tabelle können Sie sehen, dass für den Argumentwert −1 der Funktionswert −3 entspricht; und der Wert x=2 entspricht y=0 usw. Es ist auch wichtig zu wissen, dass jeder Argumentwert in der Tabelle nur einem Funktionswert entspricht.

Mithilfe von Diagrammen können weitere Funktionen spezifiziert werden. Anhand eines Diagramms wird ermittelt, welcher Wert der Funktion mit einem bestimmten Wert x korreliert. In den meisten Fällen handelt es sich dabei um einen Näherungswert der Funktion.

Gerade und ungerade Funktion

Die Funktion ist gleiche Funktion, wenn f(-x)=f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch zur Oy-Achse.

Die Funktion ist komische Funktion, wenn f(-x)=-f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch zum Ursprung O (0;0) .

Die Funktion ist nicht mal, weder seltsam und heißt allgemeine Funktion, wenn es keine Symmetrie um die Achse oder den Ursprung aufweist.

Untersuchen wir die folgende Funktion auf Parität:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) mit einem symmetrischen Definitionsbereich relativ zum Ursprung. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Das bedeutet, dass die Funktion f(x)=3x^(3)-7x^(7) ungerade ist.

Periodische Funktion

Es wird die Funktion y=f(x) aufgerufen, in deren Definitionsbereich für jedes x die Gleichheit f(x+T)=f(x-T)=f(x) gilt periodische Funktion mit Periode T \neq 0 .

Wiederholen des Graphen einer Funktion auf einem beliebigen Segment der x-Achse mit der Länge T.

Die Intervalle, in denen die Funktion positiv ist, also f(x) > 0, sind Segmente der Abszissenachse, die den Punkten des Funktionsgraphen entsprechen, die über der Abszissenachse liegen.

f(x) > 0 auf (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalle, in denen die Funktion negativ ist, d. h. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Eingeschränkte Funktion

Von unten begrenzt Es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X aufzurufen, wenn es eine Zahl A gibt, für die die Ungleichung f(x) \geq A für jedes x \in X gilt.

Ein Beispiel für eine von unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1+x^(2)) da y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 für jedes x .

Von oben begrenzt Eine Funktion y=f(x), x \in X wird aufgerufen, wenn es eine Zahl B gibt, für die für jedes x \in X die Ungleichung f(x) \neq B gilt.

Ein Beispiel für eine unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] da y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 für jedes x \in [-1;1] .

Begrenzt Es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X aufzurufen, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, für die die Ungleichung \left | gilt f(x)\right | \neq K für jedes x \in X .

Ein Beispiel für eine eingeschränkte Funktion: y=\sin x ist auf der gesamten Zahlenachse begrenzt, da \left | \sin x \right | \neq 1.

Zunehmende und abnehmende Funktion

Es ist üblich, von einer Funktion zu sprechen, die im betrachteten Intervall zunimmt als zunehmende Funktion dann, wenn ein größerer Wert von x einem größeren Wert der Funktion y=f(x) entspricht. Daraus folgt, dass bei zwei beliebigen Werten des Arguments x_(1) und x_(2) aus dem betrachteten Intervall mit x_(1) > x_(2) das Ergebnis y(x_(1)) > ist y(x_(2)).

Eine Funktion, die im betrachteten Intervall abnimmt, wird aufgerufen abnehmende Funktion wenn ein größerer Wert von x einem kleineren Wert der Funktion y(x) entspricht. Daraus folgt, dass, wenn man aus dem betrachteten Intervall zwei beliebige Werte des Arguments x_(1) und x_(2) und x_(1) > x_(2) nimmt, das Ergebnis y(x_(1)) sein wird.< y(x_{2}) .

Funktionswurzeln Es ist üblich, die Punkte, an denen die Funktion F=y(x) schneidet, mit der Abszissenachse zu bezeichnen (sie werden durch Lösen der Gleichung y(x)=0 erhalten).

a) Wenn für x > 0 eine gerade Funktion zunimmt, dann nimmt sie für x ab< 0

b) Wenn eine gerade Funktion bei x > 0 abnimmt, nimmt sie bei x zu< 0

c) Wenn eine ungerade Funktion bei x > 0 zunimmt, dann nimmt sie auch bei x zu< 0

d) Wenn eine ungerade Funktion für x > 0 abnimmt, dann nimmt sie auch für x ab< 0

Extrema der Funktion

Minimaler Punkt der Funktion y=f(x) wird normalerweise ein Punkt x=x_(0) genannt, in dessen Umgebung es andere Punkte gibt (außer dem Punkt x=x_(0)), und für diese gilt dann die Ungleichung f(x) > f erfüllt (x_(0)) . y_(min) – Bezeichnung der Funktion am Min-Punkt.

Maximaler Punkt der Funktion y=f(x) wird üblicherweise als Punkt x=x_(0) bezeichnet, in dessen Umgebung es andere Punkte gibt (außer dem Punkt x=x_(0)), für die dann die Ungleichung f(x) erfüllt ist< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Notwendige Bedingung

Nach dem Satz von Fermat gilt: f"(x)=0, wenn die Funktion f(x), die am Punkt x_(0) differenzierbar ist, an diesem Punkt ein Extremum hat.

Ausreichender Zustand

1. Wenn die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist x_(0) der Minimalpunkt;
2. x_(0) – ist nur dann ein Maximalpunkt, wenn die Ableitung beim Durchgang durch den stationären Punkt x_(0) das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem Intervall

Berechnungsschritte:

1. Gesucht wird die Ableitung f"(x);
2. Es werden stationäre und kritische Punkte der Funktion gefunden und diejenigen ausgewählt, die zum Segment gehören;
3. Die Werte der Funktion f(x) liegen an stationären und kritischen Punkten und Enden des Segments. Das kleinere der erzielten Ergebnisse wird ausfallen niedrigster Wert Funktionen, und mehr - das größte.