Geometrie ist überall um uns herum. Wir haben Dreiecke gelernt! Geometrie (die Wissenschaft, die geometrische Figuren untersucht) Stereometrie (die Wissenschaft, die die Eigenschaften von Figuren im Raum untersucht) Planimetrie

Viele Objekte um uns herum haben eine ähnliche Form geometrische Figuren. Das Albumblatt hat die Form eines Rechtecks. Wenn Sie ein rundes Glas auf ein Blatt Papier stellen und es mit einem Bleistift nachzeichnen, erhalten Sie eine Linie, die einen Kreis darstellt. Ein Ring oder Reifen ähnelt in seiner Form einem Kreis, während eine Zirkusarena, der Boden eines Glases oder eines Tellers die Form eines Kreises hat. Orange, Fußball, Wassermelone sieht aus wie eine Kugel. Sechskantstift, ägyptische Pyramiden– das sind auch geometrische Formen.

Geometrie ist die Wissenschaft von den Eigenschaften geometrischer Figuren: Dreieck, Quadrat, Kreis, Pyramide, Kugel usw.

Das Wort „Geometrie“ ist griechisch und bedeutet ins Russische übersetzt „Landvermessung“. Es wird allgemein angenommen, dass die Geometrie ihren Ursprung hat Antikes Griechenland. Doch die Griechen übernahmen die Grundlagen der Landvermessung von den Ägyptern und machten sie durch die Aufstellung allgemeiner Gesetze zu einer wissenschaftlichen Disziplin. Das Hauptwerk zur Geometrie sind die „Elemente“ des antiken griechischen Wissenschaftlers Euklid, zusammengestellt um 300 v. Chr. Diese Arbeit lange Zeit galt als vorbildlich. Die euklidische Geometrie untersucht die einfachsten geometrischen Formen: Punkte, Geraden, Segmente, Polygone, Kugeln, Pyramiden usw. Dieser Abschnitt der Geometrie wird in der Schule studiert.

Im Jahr 1877 schlug der deutsche Mathematiker Felix Klein in seinem Erlanger-Programm eine Klassifikation verschiedener Zweige der Geometrie vor, die noch heute verwendet wird: Euklidische Geometrie, projektive, affine, beschreibende, mehrdimensionale, Riemannsche, nichteuklidische Geometrie, Geometrie der Mannigfaltigkeiten , Topologie.

Die euklidische Geometrie besteht aus zwei Teilen: Planimetrie und Stereometrie.

Planimetrie ist ein Zweig der Geometrie, in dem geometrische Figuren auf einer Ebene untersucht werden.

Stereometrie ist ein Zweig der Geometrie, der Figuren im Raum untersucht.

Die projektive Geometrie untersucht die Eigenschaften von Figuren, die erhalten bleiben, wenn sie projiziert werden (durch ähnliche Figuren anderer Größe ersetzt werden).

Die affine Geometrie untersucht die konstanten Eigenschaften von Figuren bei verschiedenen Änderungen in Ebene und Raum.

Die Ingenieurdisziplin – beschreibende Geometrie – verwendet mehrere Projektionen zur Darstellung eines Objekts, wodurch Sie ein dreidimensionales Bild des Objekts erstellen können.

Die mehrdimensionale Geometrie erforscht die alternative Existenz der vierten Dimension.

Es gibt separate instrumentelle Unterabschnitte: analytische Geometrie, die algebraische Methoden zur Beschreibung geometrischer Figuren verwendet, und Differentialgeometrie, die die Graphen verschiedener Funktionen untersucht.

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Während des Unterrichts an der Junior Academy wurde ich gebeten, herauszufinden, welche Geometrie wie oft darin studiert wird Alltagsleben Wir gehen mit ihr aus.

Ich las ein Lehrbuch über Geometrie, eine Enzyklopädie, machte mich mit den Definitionen geometrischer Figuren vertraut, schaute mir die Objekte um mich herum genauer an und erkannte, dass wir der Geometrie auf Schritt und Tritt begegnen, manchmal ohne überhaupt darüber nachzudenken. Ich fand diese Beobachtung sehr interessant und begann, mich eingehender mit diesem Thema zu befassen.

Ich habe mir ein Ziel gesetzt: herauszufinden, wie oft ein Mensch in der Welt um uns herum auf Geometrie trifft und welche geometrischen Figuren häufiger vorkommen als andere.

Forschungsphasen:

Der erste Studienabschnitt ist die Geometrie in meiner Wohnung.

Die zweite Forschungsstufe ist Geometrie auf dem Weg von zu Hause zum Lyzeum.

Der dritte Studienabschnitt ist Geometrie am Lyzeum.

Die vierte Stufe ist die Geometrie in der Makro-Mikrowelt.

Was studiert Geometrie?

Die Geometrie entstand vor langer Zeit; sie ist eine der ältesten Wissenschaften. Aus dem Griechischen übersetzt bedeutet das Wort „Geometrie“ „Landvermessung“ („geo“ bedeutet auf Griechisch Erde und „metrio“ bedeutet messen).

Dieser Name erklärt sich aus der Tatsache, dass der Ursprung der Geometrie mit verschiedenen verbunden war Messarbeiten, die beim Markieren durchgeführt werden musste Grundstücke, Straßenbau, Bau von Gebäuden und anderen Bauwerken. Als Ergebnis dieser Aktivität entstanden und häuften sich allmählich an unterschiedliche Regeln im Zusammenhang mit geometrischen Maßen und Konstruktionen.

Die Geometrie entstand auf der Grundlage praktischer menschlicher Tätigkeit und diente praktischen Zwecken. Anschließend entstand die Geometrie als eigenständige Wissenschaft, die sich mit dem Studium geometrischer Figuren befasst.

Geometrische Formen sind sehr vielfältig. Wir wissen, was ein Punkt, eine Gerade, ein Segment, ein Strahl, ein Winkel ist.

Wir kennen Dreieck, Rechteck, Kreis und andere Formen.

Die Geometrie, die in der Schule studiert wird, heißt Euklidisch, benannt nach dem antiken griechischen Wissenschaftler Euklid, der ein Handbuch zur Mathematik mit dem Titel „DER ANFANG“ verfasste. Mit diesem Buch wurde lange Zeit die Geometrie studiert.

Die Geometrie kann in zwei Teile unterteilt werden: Planimetrie und Stereometrie.

Die Planimetrie beschäftigt sich mit Figuren auf einer Ebene. Beispiele für solche Formen sind Segmente, Dreiecke und Rechtecke.

In der Stereometrie werden die Eigenschaften von Figuren im Raum, beispielsweise einer Kugel und einem Zylinder, untersucht.

Geometrie zu Hause.

Alle Gegenstände in unserem Haus ähneln verschiedenen geometrischen Formen. Betrachten und beschreiben wir einige davon.

Zum Beispiel ein Globus – er ähnelt einer Kugel. Wissenschaftliche Definition Eine Kugel ist wie folgt: Eine Kugel ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die in einem Abstand von nicht mehr als einem gegebenen Punkt von einem gegebenen Punkt liegen. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des Balls genannt und dieser Abstand ist der Radius des Balls.

Wie Sie wissen, ist der Globus ein Modell des Globus. Und genau wie die Erde kann sich ein Globus um seine Achse drehen.

Eine Kugel ist wie ein Zylinder und ein Kegel ein Rotationskörper. Man erhält ihn, indem man einen Halbkreis um seinen Durchmesser als Achse dreht.

Ein dickes Buch sieht aus wie ein Parallelepiped. Denn wie bei einem Parallelepiped sind alle gegenüberliegenden Flächen und Seiten parallel. Die Konservendose in der Küche hat die Form eines Zylinders. Und tatsächlich hat es zwei Kreise, die in parallelen Ebenen liegen, und eine Wand, die als eine Reihe von Segmenten dargestellt werden kann, die die entsprechenden Punkte auf diesen Kreisen verbinden. Schränke, Regale und Nachttische sind die gleichen Parallelepipede. Die Türen haben die Form von Rechtecken. Auch die Wände, die Decke und die Fenster ähneln Rechtecken.

Einige Artikel haben die Form komplexerer Formen – zum Beispiel ähnelt ein halbrunder Eck-Nachttisch einem Kreissektor. Wenn wir es von oben betrachten, sehen wir zwei Segmente, die Radien sind, und einen Kreisbogen, der die Enden dieser Radien verbindet.

Der Blumentopf am Fenster ähnelt einem Kegelstumpf, weil man ihn sich als einen Kreis vorstellen kann, der durch viele Segmente mit einem Punkt verbunden ist, der nicht in diesem Kreis liegt, und er ist abgeschnitten, weil die Spitze des Kegels scheinbar fehlt von einem Flugzeug abgeschnitten werden. Ein anderer Blumentopf hat die Form einer Halbkugel. Setzt man zwei dieser Töpfe zusammen, erhält man eine Kugel (die Oberfläche einer Kugel).

Wenn wir uns die Biegung des Vorhangs am Fenster ansehen, werden wir erkennen, dass sie eine gekrümmte Linie beschreibt, die Sinuswelle genannt wird.

Unter der Vielzahl von Objekten, die beliebigen geometrischen Formen ähneln, überwiegen in unserem Zuhause rechteckige Segmente und Figuren.

Geometrie auf dem Weg von zu Hause zum Lyzeum.

Auf der Straße sehen wir von Menschenhand geschaffene Gegenstände und Gegenstände natürlichen Ursprungs. Zum Beispiel: ein von einer Person gebautes Wohngebäude. Dies ist ein Parallelepiped.

Die Laternenpfähle entlang der Straße ähneln geraden Linien.

Dach Umspannwerk Dies ist ein dreieckiges Prisma. Es hat zwei dreieckige Seiten, die in parallelen Ebenen liegen und Seitenflächen, die ein Prisma bilden.

Und Straßenbahnschienen kann man sich als parallele gerade Linien vorstellen. Trolleybusdrähte sind ebenfalls parallele gerade Linien.

Ein Objekt natürlichen Ursprungs ist ein Flussbett. Man kann es sich als eine geschwungene Linie vorstellen.

Geometrie am Lyzeum.

Im Lyzeum finden wir überwiegend rechteckige Figuren, verschiedene Segmente und Flächen.

Der Lyzeumturm mit einer Wendeltreppe im Inneren ähnelt einem Zylinder. Die Spitze des Turms ähnelt einem Kegel.

Das Formular selbst Wendeltreppe Dabei handelt es sich um eine Helix, eine dreidimensionale Spirale mit konstantem Radius.

Auch die Säulen am Eingang des Lyzeums sind Zylinder. Die Stufen in der Halle sind trapezförmig. Sie haben zwei Seiten, die parallel sind und die Basis des Trapezes bilden, und die anderen beiden sind die Seiten des Trapezes.

Schritte auf der Treppe, Türen Die Wände der Flure und Klassenzimmer ähneln Rechtecken.

Im Lyzeum überwiegen bei aller Objektvielfalt geradlinige und rechteckige Formen.

Geometrie unter dem Mikroskop.

Da die Objekte, die uns umgeben, sehr klein sein können, schauen wir uns mit einem Mikroskop die Kristalle aus Speisesalz und Zucker an.

Bei der Vergrößerung stellte sich heraus, dass ein Salzkorn die Form eines Würfels hatte. Ein Zuckerkorn hat die Form eines Rechtecks, und diese Rechtecke sind manchmal zu einer unregelmäßig geformten Figur verschmolzen.

Geometrie im Raum.

Die Suche nach geometrischen Figuren in den uns umgebenden Objekten wäre nicht vollständig, wenn wir uns nicht den Weltraumobjekten zuwenden und bestimmen würden, welche Formen sie haben. Betrachten wir die Form von Planeten, Sternen, Galaxien und die Flugbahnen ihrer Bewegung im Weltraum.

Sie haben eine Kugelform. Es ist erwiesen, dass alle Planeten Sonnensystem ihre Form ähnelt einer Kugel.

Als kosmische Objekte haben Sterne wie Planeten die Form einer Kugel. Die Sonne ähnelt einer riesigen Kugel.

Galaxien:

Wissenschaftler haben herausgefunden, dass Galaxien sehr oft die Form einer geometrischen Figur haben, die Spirale genannt wird.

Planetenbahnen:

Die Planeten bewegen sich auf ellipsenförmigen Bahnen um die Sonne. Es ist bekannt, dass der Wechsel der Jahreszeiten auf der Erde genau deshalb stattfindet, weil die Erdumlaufbahn eine Ellipse ist.

Fazit: in Weltraum Es gibt nur Objekte mit runden oder anderen gekrümmten Formen und keine geradlinigen Objekte.

Um uns herum ist große Menge Objekte, die die Form verschiedener geometrischer Formen haben. Gleichzeitig sind Figuren mit geradlinigen Elementen, Winkeln, Segmenten und Flächen Objekte künstlichen Ursprungs, die von Menschenhand geschaffen wurden. Objekte natürlichen Ursprungs haben abgerundete Formen, wie zum Beispiel eine Kugel, eine Ellipse oder einen Bogen. Die Ausnahme bilden Kristalle mit rechteckiger Form.

„Grundbegriffe und Axiome der Stereometrie. Parallelität von Linien und Ebenen“

Stereometrie ist ein Zweig der Geometrie, in dem die Eigenschaften von Figuren im Raum untersucht werden.

Das Wort „Stereometrie“ kommt von den griechischen Wörtern „στερεοσ“ – volumetrisch, räumlich und „μετρεο“ – messen.

Die einfachsten Figuren im Weltraum: Punkt, Gerade, Ebene.

Flugzeug. Die Idee eines Flugzeugs gibt glatte Oberfläche Tisch oder Wand. Man muss sich die Ebene als geometrische Figur vorstellen, die sich in alle Richtungen unbegrenzt erstreckt.

In den Zeichnungen werden Ebenen als Parallelogramm oder als beliebige Fläche dargestellt und mit den griechischen Buchstaben α, β, γ usw. bezeichnet. Die Punkte A und B liegen in der β-Ebene (die β-Ebene verläuft durch diese Punkte), aber die Punkte M, N, P liegen nicht in dieser Ebene. Dies lässt sich kurz wie folgt schreiben: A ∈ β, B ∈ β,

Axiome der Stereometrie und ihre Konsequenzen

Axiom 1. Durch drei beliebige Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, verläuft eine Ebene, und zwar nur eine.

Axiom 2. Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, dann liegen alle Punkte der Geraden in dieser Ebene. (Eine Gerade liegt auf einer Ebene oder eine Ebene geht durch eine Gerade).

Aus Axiom 2 folgt, dass eine Gerade, wenn sie nicht in einer gegebenen Ebene liegt, höchstens einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat. Wenn eine Gerade und eine Ebene einen gemeinsamen Punkt haben, spricht man von einem Schnittpunkt.

Axiom 3.

In diesem Fall sagt man, dass sich die Ebenen in einer geraden Linie schneiden.

Beispiel: der Schnittpunkt zweier benachbarter Wände, der Wand und der Decke eines Raumes.

Einige Folgerungen aus den Axiomen

Satz 1. Per Direkt A und ein Punkt, der nicht darauf liegt A Ein Flugzeug fliegt durch, und zwar nur eines.

Satz 2. Durch zwei sich kreuzende Linien A Und B Ein Flugzeug fliegt durch, und zwar nur eines.

Parallele Linien im Raum

Es werden zwei Linien im Raum aufgerufen parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden.

Satz über parallele Geraden.

Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine Gerade parallel zu dieser, und zwar nur eine.

Lemma über den Schnittpunkt einer Ebene mit parallelen Geraden. Wenn eine von zwei parallelen Geraden eine gegebene Ebene schneidet, dann schneidet auch die andere Gerade diese Ebene.

Satz über drei Linien im Raum. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel (wenn A∥C Und B∥C, Das A∥B).

Parallelität einer Linie und einer Ebene

Eine Linie und eine Ebene heißen parallel, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Zeichen der Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene

Satz. Wenn eine Linie, die nicht in einer bestimmten Ebene liegt, parallel zu einer Linie ist, die in dieser Ebene liegt, dann ist sie parallel zu dieser Ebene.

Satz. Wenn eine Ebene eine gegebene Gerade parallel zu einer anderen Ebene durchläuft und diese Ebene schneidet, dann ist die Schnittlinie der Ebenen parallel zu dieser Geraden.

Satz. Wenn eine von zwei parallelen Geraden parallel zu einer gegebenen Ebene ist, dann ist die andere Gerade entweder ebenfalls parallel zu dieser Ebene oder liegt in dieser Ebene.

Die relative Position von Linien im Raum

Schnittlinien: liegen in derselben Ebene und haben einen gemeinsamen Punkt.

Parallele Linien: liegen in derselben Ebene, haben keine gemeinsamen Punkte (schneiden sich nicht)

Grenzen überschreiten: liegen nicht in derselben Ebene, haben keine gemeinsamen Punkte (schneiden sich nicht)

Stereometrie

Stereometrie(aus dem Altgriechischen στερεός, „stereos“ – „fest, volumetrisch, räumlich“ und μετρέω, „metreo“ – „ich messe“) – ein Abschnitt der Geometrie, in dem die Eigenschaften von Figuren im Raum untersucht werden. Die wichtigsten (einfachsten) Figuren im Raum sind Punkte, Linien und Ebenen. Erscheint in der Stereometrie die neue Art relative Positionen von Linien: Schnittlinien. Dies ist einer der wenigen wesentlichen Unterschiede zwischen Stereometrie und Planimetrie, da in vielen Fällen Probleme in der Stereometrie durch die Betrachtung verschiedener Ebenen gelöst werden, in denen die Planimetriegesetze erfüllt sind.

Dieser Abschnitt sollte nicht mit Planimetrie verwechselt werden, da in der Planimetrie die Eigenschaften von Figuren auf einer Ebene (Eigenschaften von ebenen Figuren) und in der Stereometrie die Eigenschaften von Figuren im Raum (Eigenschaften von räumlichen Figuren) untersucht werden.

Axiome der Stereometrie

  • Auf jeder Geraden und in jeder Ebene gibt es mindestens zwei Punkte.
  • Es gibt Flugzeuge im Weltraum. In jeder Raumebene sind alle Axiome der Planimetrie erfüllt.
  • Durch drei beliebige Punkte, die nicht zur gleichen Linie gehören, kann eine Ebene gezeichnet werden, und zwar nur eine.
  • Unabhängig von der Ebene gibt es Punkte, die zu dieser Ebene gehören, und Punkte, die nicht dazu gehören.
  • Wenn zwei Punkte auf einer Geraden auf derselben Ebene liegen, dann liegen alle Punkte auf dieser Geraden auf dieser Ebene.
  • Wenn zwei verschiedene Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Linie, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.
  • Jede Ebene α teilt die Menge der Punkte im Raum, die nicht zu ihr gehören, in zwei nichtleere Mengen auf, sodass:
    1. Zwei beliebige Punkte, die zu unterschiedlichen Mengen gehören, werden durch die Ebene α getrennt.
    2. Zwei beliebige Punkte, die zur gleichen Menge gehören, sind nicht durch die Ebene α getrennt.
  • Der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten im Raum ist auf jeder Ebene, die diese Punkte enthält, gleich.

Polyeder

Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht. Diese Polygone werden als Flächen des Polyeders bezeichnet, und die Seiten und Scheitelpunkte der Polygone werden als Kanten bzw. Scheitelpunkte des Polyeders bezeichnet. Polyeder können konvex oder nicht konvex sein. Ein konvexes Polyeder befindet sich auf einer Seite relativ zu einer Ebene, die durch eine seiner Flächen verläuft.

Literatur

  • V. V. Prasolov, I. F. Sharygin. Probleme in der Stereometrie. - M.: Nauka, 1989.
  • I. F. Sharygin. Geometrieprobleme (Stereometrie). M.: Nauka, 1984. - 160 S. (Bibliothek „Quantum“, Ausgabe 31).
Abschnitte der Mathematik Analyse Klassische Analyse Funktionstheorie Differential- und
Integralgleichungen Geometrie und Topologie Geometrie Topologie Diskrete Mathematik
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Was sind die Grundkonzepte und Axiome der Stereometrie?

Traurige Welt

A1. Durch drei beliebige Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, verläuft eine Ebene und es gibt nur eine Strömung.
A2 Liegen 2 Punkte einer Geraden in einer Ebene, dann alle Punkte. dieser Linie liegen in der Ebene.
A3 Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Gerade, auf der alle gemeinsamen Punkte liegen.

Folgen:
1. Eine Ebene geht durch eine Gerade und einen nicht darauf liegenden Punkt.
2. Eine Ebene verläuft durch zwei sich schneidende Linien und außerdem gibt es nur eine Strömung.

Juri Malikhov

Hier müssen wir klären. Jede dieser drei Aussagen kann zunächst als Axiom aufgefasst werden. Dann werden die verbleibenden zwei Theoreme auf der Grundlage des genommenen Axioms bewiesen:
1. Durch drei beliebige Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, verläuft eine Ebene und außerdem nur eine Strömung.
2. Eine Ebene geht durch eine Gerade und einen nicht darauf liegenden Punkt.
3. Eine Ebene verläuft durch zwei sich schneidende Linien und außerdem gibt es nur eine Strömung.

Alexey Ryabchikov

In der Planimetrie waren die Hauptfiguren Punkte und Geraden. In der Stereometrie wird neben ihnen noch eine weitere Grundfigur betrachtet – die Ebene. Die Idee einer Ebene entsteht durch die glatte Oberfläche eines Tisches oder einer Wand. Man muss sich die Ebene als geometrische Figur vorstellen, die sich in alle Richtungen unbegrenzt erstreckt.
Wie zuvor werden wir Punkte in Großbuchstaben bezeichnen mit lateinischen Buchstaben A, B, C usw. und gerade Linien - lateinische Kleinbuchstaben a, b, c usw. oder zwei lateinische Großbuchstaben AB, CD usw. Wir bezeichnen Flugzeuge mit griechischen Buchstaben a, P, Y usw. In In den Zeichnungen werden Ebenen in Form eines Parallelogramms oder in Form einer beliebigen Fläche dargestellt.
Die grundlegenden Eigenschaften von Punkten, Linien und Ebenen hinsichtlich ihrer relativen Lage werden in Axiomen ausgedrückt. Das gesamte Axiomensystem der Stereometrie besteht aus einer Reihe von Axiomen, von denen uns die meisten aus dem Planimetriekurs bekannt sind. Wir werden nur drei Axiome über die relative Lage von Punkten, Linien und Ebenen im Raum formulieren. Nachfolgend sind sie mit A:, A1, A2 bezeichnet. A3.
A1: Durch drei beliebige Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, verläuft eine Ebene, und zwar nur eine.
Eine Ebene, die durch die Punkte A, B und C verläuft, die nicht auf derselben Linie liegen, wird manchmal ABC-Ebene genannt. Beachten Sie, dass, wenn wir nicht drei, sondern vier beliebige Punkte nehmen, keine einzige Ebene durch sie hindurchgehen darf. Mit anderen Worten: Die vier Punkte liegen möglicherweise nicht in derselben Ebene. Jeder kennt eine so klare Bestätigung dieser Tatsache: Wenn die Beine eines Stuhls nicht gleich lang sind, dann steht der Stuhl auf drei Beinen, das heißt, er ruht auf drei „Punkten“ und am Ende auf dem vierten Das Bein (der vierte „Punkt“) liegt nicht in der Bodenebene, sondern hängt in der Luft.
A2: Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, dann liegen alle Punkte der Geraden in dieser Ebene.
In diesem Fall sagt man, dass die Linie in der Ebene liegt oder die Ebene durch die Linie geht.
Die in Axiom A2 ausgedrückte Eigenschaft wird verwendet, um die „Ebenheit“ des Zeichenlineals zu überprüfen. Hierzu wird die Kante des Lineals auf die ebene Fläche des Tisches aufgelegt. Wenn die Kante des Lineals glatt (gerade) ist, liegen alle seine Punkte neben der Tischoberfläche. Wenn die Kante uneben ist, entsteht an manchen Stellen ein Spalt zwischen ihr und der Tischoberfläche.“
Aus Axiom A2 folgt, dass eine Gerade, wenn sie nicht in einer gegebenen Ebene liegt, höchstens einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat. Wenn eine Gerade und eine Ebene nur einen gemeinsamen Punkt haben, spricht man von einem Schnittpunkt.
A3: Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Linie, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.
In diesem Fall sagt man, dass sich die Ebenen auf einer geraden Linie schneiden. Eine klare Illustration Axiom A3 ist der Schnittpunkt zweier benachbarter Wände, der Wand und der Decke des Klassenzimmers.

Ziel: Die Fähigkeit erreichen, seine Gedanken richtig, konsequent und rational auszudrücken, den Horizont der Schüler zu erweitern, das Niveau ihrer mathematischen Kultur zu erhöhen, logisches Denken, persönliche Qualitäten der Schüler und die Fähigkeit zu entwickeln, Schlussfolgerungen und Verallgemeinerungen zu ziehen.

Ausrüstung:

  • Computerpräsentation Anhang 1 .
  • Spielfeld (2 Stück) – Handzettel . Anlage 2.

Epigraph: „Mathematik ist nur ein Spiel, das entsprechend gespielt wird einfache Regeln und bedeutungslose Bezeichnungen verwenden.“ Gilbert)

Fortschritt der Veranstaltung

1. Einführungsteil – 3 Min.

Moderator I.„Mathematik ist nur ein Spiel, das nach einfachen Regeln und mit bedeutungslosen Symbolen gespielt wird.“ Das sind die Worte des großen deutschen Mathematikers David Hilbert... Heute spielen wir „Seeschlacht“! ( Anschließend erfolgt die Vorstellung der Teams, der Jurymitglieder und die Begrüßung der Teams.)

2. Erklärung der Spielregeln – 2 Min.

Moderator II. Hören Sie sich die Spielregeln an. Das Hauptziel besteht darin, feindliche Schiffe zu „versenken“. Direkter Treffer Triff das Ziel und sammle gleichzeitig so viele Punkte wie möglich. Jedes Team hat sein eigenes Spielfeld. (Folie) Die Koordinaten jeder Feldzelle sind mit Zahlen und russischen Buchstaben gekennzeichnet. Es ist zu beachten, dass auf den Tischen der Teams die gleichen Bilder von zwei Feldern liegen. Jedes der Teams positionierte zuvor seine Schiffe so, wie sie es wollten, aber der Standort der feindlichen Schiffe ist ihnen unbekannt. Auf jedem Spielfeld gibt es „Schiffe“: Vierdecker, Dreidecker, Zweidecker und Eindecker. Die Teams rufen abwechselnd die Koordinaten einer beliebigen Zelle in der Tabelle auf. Liegt darunter eines der Schiffsdecks, erhält das Team die Möglichkeit, die dieser Zelle entsprechende Frage zu beantworten und erhält einen Punkt.

Moderator I. Nach Beantwortung der Frage erhält das Team das Recht zum nächsten Schuss. Wenn ein Team das Ziel verfehlt oder eine Frage falsch beantwortet, wird der nächste Schuss dem anderen Team zugesprochen. Wenn der Schuss in einer Zelle landet, die nicht von einem feindlichen Schiff besetzt ist, erhält das Team die Antwort „Vorbei!“ und die Schützen haben an dieser Stelle einen Punkt auf das Feld eines anderen gesetzt.

Moderator II. Das Spiel gilt als beendet, wenn auf dem Spielfeld einer der Mannschaften kein einziges Schiff mehr verborgen ist, d. h. Alle 10 Schiffsdecks werden getroffen und das Team mit den meisten Punkten gewinnt.

Ich möchte darauf hinweisen, dass verschiedene Schiffe unterschiedliche Aufgaben haben. Um also Punkte für ein Schiff mit 4 Decks zu erhalten, müssen Sie die richtige Antwort erraten, indem Sie eine von vier vorgeschlagenen Optionen auswählen. Ein Schiff mit drei Decks enthält Fragen zur Geschichte der Mathematik, ein Schiff mit zwei Decks enthält logische Probleme , und durch das Lösen eines Beispiels können Sie Punkte für ein Eindeckerschiff sammeln. ( Anhang 3)

3. Verlosung des ersten Schießrechts – 5 Min.

Moderator I. Bevor wir mit dem Spiel beginnen, spielen wir die rechte Seite des ersten Schusses aus. Jedes Team muss 1 Minute nachgeben größte Zahl korrekte Antworten. Für jede richtige Antwort wird 1 Punkt vergeben. Das Team mit den meisten Punkten darf das Spiel zuerst beginnen. Wenn Sie die Antwort auf eine Frage nicht wissen, antworten Sie: „Weiter!“

Fragen an die erste Mannschaft.

  1. Wie heißt eine Funktion, für die die Gleichheit f(-х)= – f(х) gilt? (seltsam)
  2. Dies kann über zwei Punkte erfolgen. Dies ist eine Grafik lineare Funktion. (Gerade)
  3. Wem gehört die Aussage „Mathematik bringt den Geist in Ordnung“? (Lomonossow)
  4. In welchen Vierteln liegt Cos? positiv? (I, IV)
  5. Kubikwurzel von 64. (4)
  6. Zwei spielten 2 Stunden lang Schach. Wie lange hat jede Person gespielt? (2 Stunden)
  7. Wie nennt man ein Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5? (Ägyptisch)
  8. Durch welche Zahl muss man 2 dividieren, um 4 zu erhalten? (1/2)
  9. Hundertstelteil einer Zahl. (%)
  10. Welchen Winkel wird es beschreiben? Stunden Zeiger in 2 Stunden? (60°)
  11. Was bedeutet „Trapez“ im Altgriechischen? (Tisch)
  12. Die Wissenschaft, die die Eigenschaften von Figuren im Raum untersucht. (Stereometrie)
  13. Der Name der ersten Koordinate des Punktes. (Abszisse)
  14. Wie oft ist ein Kilometer länger als ein Millimeter? (1 Million)
  15. Ein Bruchteil weniger als eins. (richtig)

Fragen an die zweite Mannschaft.

  1. Wie heißt eine Funktion, für die die Gleichung f(-x) = f(x) gilt? (sogar)
  2. Welcher antike Mathematiker war der erste Olympiasieger im Faustkampf? (Pythagoras)
  3. Wie heißt ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten? (gleichschenklig)
  4. Ein auf einem Bein stehender Hahn wiegt 5 kg. Wie viel wird er auf zwei Beinen wiegen? (5 kg)
  5. Stehen die Diagonalen eines Rechtecks ​​senkrecht zueinander? (Nein)
  6. 2 zum Quadrat 4, 3 zum Quadrat 9. Wie groß ist der Winkel in einem Quadrat? (90°)
  7. Die Wissenschaft, die die Eigenschaften von Figuren auf einer Ebene untersucht. (Planimetrie)
  8. Eine Aussage, die ohne Beweise akzeptiert wird. (Axiom)
  9. Wie viele Zehner erhält man, wenn man 2 Zehner mit 3 Zehner multipliziert? (60 Zehner)
  10. Was haben Sie gemeinsam? gleichschenkligen Dreiecks und Abschlüsse?. (Base)
  11. Nennen Sie eine Zahl, die durch eine beliebige Zahl ohne Rest teilbar ist. (0)
  12. Ein Segment, das zwei beliebige Punkte auf einem Kreis verbindet. (Akkord)
  13. Was bedeutet „Hypotenuse“ im Altgriechischen? (Zeichenfolge)
  14. Inverses Proportionalitätsdiagramm. (Hyperbel)
  15. Wie viele ungerade Zahlen gibt es zwischen 16 und 28? (6)

4. Seeschlacht – 26–35 Min.

Die Teams schießen abwechselnd, wenn sie eines der Decks des Schiffes treffen, erscheint eine Folie mit der entsprechenden Aufgabe. Die Referenten geben die notwendigen Kommentare ab.

Fragen zum Erraten der richtigen Antwort: (8 Stk.) (8 Minuten)

Moderator I. Um Punkte für ein Vierdeckerschiff zu erhalten, müssen Sie vier knifflige Fragen beantworten und eine der vier angebotenen Antworten auswählen. Sie können nur von jemandem beantwortet werden, der sich zumindest ein wenig mit der Geschichte der Mathematik oder der Anwendung von Logik auskennt. Sie haben eine Minute Zeit, über Ihre Antwort nachzudenken. (Folien)

1. Dieses hier mathematischer Begriff aus dem Griechischen übersetzt bedeutet „String“.

Ein Akkord.
B) Direkt.
C) Segment.
D) Strahl.

2. Was bedeutet das Wort „Kegel“ auf Griechisch?

A) Runde Pyramide.
B) Dach.
C) Tannenzapfen.
D) Hohe Obergrenze.

3. Wo ist der Mathematiker S.V. Kovalevskaya erhielt eine höhere Ausbildung?

Aber in Russland.
B) In der Schweiz.
C) In Deutschland.
D) In ​​England.

4. Der Zehnte ist ein Maß:

A) Gewichte.
B) Bereiche.
C) Längen.
D) Lautstärke.

5. Diagramm der direkten Proportionalität.

A) Parabel.
B) Übertreibung.
C) Direkt.
D) Kurve.

6. Wer war der Erfinder des ersten Computers?

A) B. Pascal.
B) R. Descartes.
C) Pythagoras.
D) K. Gauß.

7. Französischer Wissenschaftler, der die Koordinatenmethode erfunden hat.

A) R. Descartes.
B) L. Euler.
C) B. Pascal.
D) Thales.

8. Dieser Name kommt von den beiden lateinischen Wörtern „twice“ und „secu“. Worum geht es?

A) Über ein gleichschenkliges Dreieck.
B) Über ein Rechteck.
C) Über parallele Linien.
D) Über die Winkelhalbierende.

Fragen zur Geschichte der Mathematik: (6 Teile) (6 Minuten)

Moderator I. Um ein Dreideckerschiff abzuschießen, müssen Sie Fragen zur Geschichte der Mathematik beantworten alte Wissenschaften. Seine Geschichte ist reich an Namen, Ideen und Ereignissen, wunderbaren und manchmal großen Entdeckungen. Die Geschichte der Mathematik hilft uns, ein tieferes Verständnis der Ideen zu erlangen, die der Mathematik selbst innewohnen. Aus diesem Grund haben wir uns entschieden, das Spiel zu nutzen, um an diejenigen zu erinnern, die an den Ursprüngen der Mathematik standen. Bei diesem Wettbewerb müssen Sie anhand einer verbalen Beschreibung den Namen des Mathematikers nennen. (Folien)

Frage 1: Er gilt als einer der ersten Geometer. Politiker, Physiker, führender Astronom seiner Zeit. Er war verantwortlich für die Entdeckung der Länge des Jahres und seiner Einteilung in 365 Tage. Er war der erste, der den Ursa Minor und den Polarstern entdeckte, mit denen Seeleute durch das Meer navigierten, und bewies die Gleichheit der vertikalen Winkel, das zweite Zeichen der Gleichheit von Dreiecken, den Satz über die Gleichheit der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks . Wer ist dieser Mathematiker?

Antwort: Dies ist einer der antiken griechischen Mathematiker des 6.–7. Jahrhunderts. Chr e. Thales von Milet.

Frage 2. Einmal gelang es den Franzosen, die Befehle der spanischen Regierung an ihre Truppen abzufangen, die in einer sehr komplexen Geheimschrift verfasst waren. Dem angerufenen Mathematiker gelang es, den Schlüssel zu dieser Chiffre zu finden. Seitdem kannten die Franzosen die Pläne der Spanier und verhinderten erfolgreich deren Vormarsch. Die Inquisition beschuldigte den Mathematiker, die Hilfe des Teufels in Anspruch genommen zu haben, und verurteilte ihn zur Verbrennung auf dem Scheiterhaufen. Er wurde nicht der Inquisition übergeben.

Antwort: Französischer Mathematiker François Viète, 16. Jahrhundert.

Frage 3. Dieser bedeutende Mathematiker des 19. Jahrhunderts entwickelte schon früh mathematische Talente. Es heißt, er habe im Alter von drei Jahren einen Fehler in den Berechnungen seines Vaters bemerkt. In der ersten Klasse forderte der Mathematiklehrer die Schüler auf, Zahlen von 1 bis einschließlich 100 zu addieren. Fast sofort fand dieser Mathematiker das Ergebnis – die Zahl 5050. Die Zahl wurde mit einer kurzen Additionsmethode berechnet, während der Rest die Zahlen hintereinander addierte.

Antwort: K. Gauss, deutscher Mathematiker.

Frage 4. In seinen 13 Büchern mit dem Titel „Prinzipien“ systematisierte er das geometrische Grundwissen seiner Zeit. Als König Ptalomey ihn fragte, ob es einen kürzeren Weg gäbe, Geometrie zu studieren, antwortete der Mathematiker stolz: „Es gibt keinen Königsweg in der Geometrie.“

Antwort: Euklid, altgriechisch. Geometer, 3. Jahrhundert v. Chr e.

Frage 5. In seiner Schule hieß es: „Zahlen regieren die Welt.“ Auf ihnen basiert die Harmonie des Universums. Er stellte eine detaillierte Tabuliste für die Mitglieder seines Ordens zusammen. Hier sind einige davon:

  • auf den Verzehr von Bohnen verzichten;
  • Hebe nicht auf, was heruntergefallen ist;
  • Fass den weißen Hahn nicht an;
  • Beißen Sie nicht das ganze Brot ab;
  • Gehen Sie nicht auf der Hauptstraße usw.“

Antwort: antiker griechischer Philosoph Pythagoras, 6. Jahrhundert – frühes 5. Jahrhundert. Chr.

Frage 6. Dieser antike Mathematiker starb durch das Schwert eines römischen Soldaten und rief stolz aus: „Geh weg, fass meine Zeichnungen nicht an!“ Er war der erste, der Herons Formel bewies.

Antwort: Antiker griechischer Wissenschaftler, Mathematiker Archimedes.

Fragen zur mathematischen Logik: (4 Stk.) (8 Min.)

Moderator II. „Die Fähigkeit, logisch zu denken, ist eine der edelsten Fähigkeiten des Menschen.“ Dies sind die Worte des englischen Schriftstellers Bernard Shaw. Aber diese Fähigkeit ist nicht leicht zu erwerben. Daher ist es möglicherweise schwieriger als bei jedem anderen, ein Doppeldeckerschiff außer Gefecht zu setzen. Denn dazu müssen logische Probleme gelöst werden. (Folien)

Frage 1. Schreiben Sie die Zahl 28 in fünf Zweiergruppen (22 + 2 + 2 + 2 = 28).

Frage 2. Der Raum hat die Form eines Quadrats. Sie müssen 7 Stühle entlang der Wände platzieren, sodass die Anzahl der Stühle an jeder Wand gleich ist. Zeichnen Sie, wie das geht. (Ein Stuhl sollte in der Ecke stehen)

Frage 3. Ein Bauer muss einen Wolf, eine Ziege und Kohl über den Fluss transportieren. In ein Boot passt ein Mann und mit ihm entweder ein Wolf, eine Ziege oder ein Kohlkopf. Aber wenn Sie einen Wolf mit einer Ziege zurücklassen, ohne einen Menschen, dann wird der Wolf die Ziege fressen, wenn Sie die Ziege und den Kohl zurücklassen, dann wird die Ziege den Kohl fressen. Niemand wird jemanden in Gegenwart einer Person essen. Wie transportiert man Fracht?

1) eine Ziege transportieren;
2) zurückkommen;
3) nimm den Wolf (Kohl);
4) die Ziege zurücktransportieren;
5) Transportkohl (Wolf);
6) zurückkommen;
7) Transportieren Sie die Ziege.

Frage 4. Drei Freundinnen – Drozdova, Chizhova und Skvortsova – leben mit einer Drossel, einem Zeisig und einem Star zusammen. Allerdings hat keiner von ihnen einen Vogel, der mit dem Nachnamen des Besitzers übereinstimmt. „Wie gut deine Drossel singt!“ – sagte Skvortsova zu ihrer Freundin. Welche Freundin hat welchen Vogel?

Skvortsova Drozdova Chizhova
Star – + –
Soor – – +
Zeisig + – –

„Berechnen!“-Aufgaben (2 Stk.) (8 Min.)

Moderator II. Um ein Schiff mit einem Deck außer Gefecht zu setzen, müssen Sie einige einfache Berechnungen durchführen. Aber zuerst müssen Sie das Beispiel in einer modernen Form niederschreiben.

Frage 1. „Nicht jeder weiß, dass das Symbol „“, mit dem wir Wurzeln ziehen, eine Modifikation des lateinischen Buchstabens ist R, das am Anfang des lateinischen Wortes radix steht, was Wurzel bedeutet. Es gab eine Zeit (16. Jahrhundert), in der ein Großbuchstabe anstelle eines Kleinbuchstabens als Wurzelzeichen diente R, und daneben stand der erste Buchstabe des lateinischen Wortes „Quadrat“ ( Q) oder „kubisch“ ( Mit), um anzugeben, welche Wurzel extrahiert werden muss.“ Sie haben zum Beispiel geschrieben R.q.16 anstatt . „Wenn wir noch hinzufügen, dass zu dieser Zeit die heutigen Plus- und Minuszeichen noch nicht allgemein gebräuchlich waren und stattdessen die Buchstaben r geschrieben wurden. und m., und dass unsere Klammern durch Zeichen ersetzt wurden, dann wird deutlich, welch ungewöhnliche Form die algebraischen Ausdrücke damals für das moderne Auge gehabt haben sollten.“ Berechnen Sie anhand der Tabelle zur Umrechnung alter Symbole in moderne sowie Ihrer Mathematikkenntnisse das an der Tafel geschriebene Beispiel. (Gleiten)

Antwort: = 5 (Folie)

Frage 2. „Moderne Längenmaße – Meter, Zentimeter und andere – gab es nicht immer. Vor der Einführung des metrischen Maßsystems und des internationalen Einheitensystems im Jahr 1925 galten in Russland andere Längenmaße, die in Werken der russischen Literatur ständig zu finden sind. Das Maß eines Zolls beträgt beispielsweise etwa 4,45 cm.

Die ersten Längeneinheiten wurden sowohl in Russland als auch in anderen Ländern mit der Größe von Teilen des menschlichen Körpers in Verbindung gebracht. Dies sind „Span“, „Fathom“ und „Elbow“.

Die Spannweite entsprach dem Abstand zwischen den Enden der gestreckten großen und Zeigefinger. Eine Spannweite wurde mit 4 Zoll angenommen. Ein sehr verbreitetes Längenmaß war der Arschin, der 16 Werschoks oder etwa 71 cm entsprach. Dieses Wort stammt von östlichen Kaufleuten und wird aus dem Tatarischen mit „Ellenbogen“ übersetzt. Heutzutage wird Stoff in Geschäften mit einem Meterlineal gemessen, früher jedoch mit einem Lineal von einer Arshin-Länge. Ein solcher Herrscher wurde auch Arschin genannt. Das Wort „fathom“ kommt in der Literatur häufig vor. Es entspricht 3 Arshin oder etwa 2,13 m. Zur Messung großer Entfernungen wurde ein Werst verwendet – dies ist das größte russische Längenmaß. Ein Werst beträgt 500 Klafter oder etwa 1,06 km.“ (Gleiten).

Sie müssen nun ein Problem lösen. In einem Zitat aus einem literarischen Werk, das alte Längenmaße angibt, müssen Sie in moderne Maßeinheiten umrechnen und die Problemfrage beantworten.

Zeit für die Erledigung der Aufgabe – 2 Minuten. Die Antwort kann auf die nächste Einheit gerundet werden. ( Das Team erhält einen Zettel mit einer Aufgabe.)

Jede Minute stieg das Wasser
An die armen Tiere: Da ist schon was unter ihnen übrig...
Weniger als ein Arschin Land breit,
Weniger als einen Klafter lang.
(Nekrasov, „Großvater Mazai und die Hasen“)

Frage: Bestimmen Sie die Fläche und den Umfang der Insel, indem Sie zuvor die Werte in Metern angeben.

Antwort: 0,71 x 2,1 m, also S 1,5 m 2, P 5,6 m.

5. Zusammenfassend, belohnend – 2 Min. .

Zur Zusammenfassung der Ergebnisse bietet es sich an, Tabellen zu verwenden, die während des Spiels von jedem Jurymitglied ausgefüllt werden. Anhang 4.

Literatur Vlasova T.G.. Fachwoche Mathematik in der Schule: Buch. Für den Lehrer, - Rostov n/D.: Phoenix, 2007.

  • Rybnikov K.A. Die Entstehung und Entwicklung der mathematischen Wissenschaft: Buch. für den Lehrer, - M.: Bildung, 1987.
  • Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Handbuch für Lehrer, - M.: „Bildung“, 1982.
  • Perelman Ya.I. Unterhaltsame Algebra. JSC „CENTURY“, 1994.
  • Beilage zur Zeitung 1. September „Mathematik“, 2005–2011.