Tangente umkehren. Inverse trigonometrische Funktionen und ihre Graphen

Inverse trigonometrische Funktionen- Dies sind Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens.

Lassen Sie uns zunächst einige Definitionen geben.

Arkussinus Oder wir können sagen, dass dies ein Winkel ist, der zu einem Segment gehört, dessen Sinus ist gleich der Zahl A.

Arkuskosinus Zahl a heißt eine solche Zahl

Arcustangens Zahl a heißt eine solche Zahl

Arckotangens Zahl a heißt eine solche Zahl

Lassen Sie uns ausführlich über diese vier neuen Funktionen für uns sprechen – inverse trigonometrische Funktionen.

Denken Sie daran, wir haben uns bereits getroffen.

Zum Beispiel Rechnen Quadratwurzel aus einer Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist eine Zahl c, so dass

Dabei

Wir verstehen, warum Mathematiker neue Funktionen „erfinden“ mussten. Beispielsweise lauten die Lösungen einer Gleichung: „Ohne das spezielle arithmetische Quadratwurzelsymbol könnten wir sie nicht aufschreiben.“

Das Konzept eines Logarithmus erwies sich als notwendig, um beispielsweise Lösungen für eine solche Gleichung aufzuschreiben: Die Lösung für diese Gleichung ist irrationale Zahl Dies ist der Exponent, auf den 2 erhöht werden muss, um 7 zu erhalten.

Dasselbe gilt auch für trigonometrische Gleichungen. Wir wollen zum Beispiel die Gleichung lösen

Es ist klar, dass seine Lösungen Punkten auf dem trigonometrischen Kreis entsprechen, deren Ordinate gleich ist. Und es ist klar, dass dies nicht der Tabellenwert des Sinus ist. Wie schreibe ich Lösungen auf?

Hier können wir nicht auf eine neue Funktion verzichten, die den Winkel angibt, dessen Sinus gleich ist angegebene Nummer A. Ja, jeder hat es schon erraten. Das ist Arkussinus.

Der Winkel, der zu dem Segment gehört, dessen Sinus gleich ist, ist der Arkussinus von einem Viertel. Und das bedeutet, dass die Lösungsreihe unserer Gleichung dem rechten Punkt auf dem trigonometrischen Kreis entspricht

Und die zweite Lösungsreihe unserer Gleichung lautet

Mehr zur Lösung trigonometrische Gleichungen - .

Es bleibt noch herauszufinden: Warum weist die Definition des Arkussinus darauf hin, dass es sich um einen Winkel handelt, der zum Segment gehört?

Tatsache ist, dass es unendlich viele Winkel gibt, deren Sinus beispielsweise gleich ist. Wir müssen einen von ihnen auswählen. Wir wählen denjenigen aus, der auf dem Segment liegt.

Schauen Sie sich den trigonometrischen Kreis an. Sie werden sehen, dass auf dem Segment jeder Winkel einem bestimmten Sinuswert entspricht, und zwar nur einem. Und umgekehrt entspricht jeder Sinuswert dem Segment eine einzige Bedeutung Winkel auf einem Segment. Das bedeutet, dass Sie für ein Segment eine Funktion definieren können, die Werte von bis annimmt

Wiederholen wir die Definition noch einmal:

Der Arkussinus einer Zahl ist die Zahl , so dass

Bezeichnung: Der Arkussinus-Definitionsbereich ist ein Segment. Der Wertebereich ist ein Segment.

Sie können sich an den Satz „Der Arkussinus lebt auf der rechten Seite“ erinnern. Vergessen Sie jedoch nicht, dass es sich nicht nur um die rechte Seite handelt, sondern auch um das Segment.

Wir sind bereit, die Funktion grafisch darzustellen

Wie üblich tragen wir auf der horizontalen Achse die x-Werte und auf der vertikalen Achse die y-Werte ein.

Denn x liegt also im Bereich von -1 bis 1.

Dies bedeutet, dass der Definitionsbereich der Funktion y = arcsin x das Segment ist

Wir sagten, dass y zum Segment gehört. Dies bedeutet, dass der Wertebereich der Funktion y = arcsin x das Segment ist.

Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arcsinx vollständig in den durch die Linien und begrenzten Bereich passt

Wie immer beim Zeichnen eines Diagramms einer unbekannten Funktion beginnen wir mit einer Tabelle.

Per Definition ist der Arkussinus von Null eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich Null ist. Was ist das für eine Nummer? - Es ist klar, dass dies Null ist.

Ebenso ist der Arkussinus von Eins eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich Eins ist. Offensichtlich das

Wir fahren fort: - Dies ist eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich ist. Ja diese

			0
			0

Einen Graphen einer Funktion erstellen

Funktionseigenschaften

1. Umfang der Definition

2. Wertebereich

3. Das heißt, diese Funktion ist ungerade. Sein Graph ist symmetrisch zum Ursprung.

4. Die Funktion wächst monoton. Ihr kleinster Wert, gleich - , wird bei erreicht, und der größte Wert, gleich , bei

5. Was bedeuten die Graphen der Funktionen und ? Denken Sie nicht, dass sie „nach demselben Muster erstellt“ sind – genau wie der rechte Zweig einer Funktion und der Graph einer Funktion oder wie die Graphen von Exponential- und Logarithmusfunktionen?

Stellen Sie sich vor, wir schneiden aus einer gewöhnlichen Sinuswelle ein kleines Fragment von bis zu aus und drehen es dann vertikal – und wir erhalten ein Arkussinusdiagramm.

Was für eine Funktion in diesem Intervall die Werte des Arguments sind, dann gibt es für den Arkussinus die Werte der Funktion. So soll es sein! Schließlich sind Sinus und Arkussinus zueinander inverse Funktionen. Weitere Beispiele für Paare gegenseitig inverser Funktionen sind at und sowie exponentielle und logarithmische Funktionen.

Denken Sie daran, dass die Graphen gegenseitig inverser Funktionen symmetrisch bezüglich der Geraden sind

Ebenso definieren wir die Funktion. Wir benötigen nur ein Segment, auf dem jeder Winkelwert seinem eigenen Kosinuswert entspricht, und wenn wir den Kosinus kennen, können wir den Winkel eindeutig ermitteln. Ein Segment wird zu uns passen

Der Arkuskosinus einer Zahl ist die Zahl , so dass

Es ist leicht zu merken: „Bogenkosinus lebt von oben“, und zwar nicht nur von oben, sondern vom Segment

Bezeichnung: Der Arcus-Cosinus-Definitionsbereich ist ein Segment. Der Wertebereich ist ein Segment.

Offensichtlich wurde das Segment gewählt, weil auf ihm jeder Kosinuswert nur einmal genommen wird. Mit anderen Worten: Jeder Kosinuswert von -1 bis 1 entspricht einem einzelnen Winkelwert aus dem Intervall

Der Arkuskosinus ist weder gerade noch komische Funktion. Aber wir können die folgende offensichtliche Beziehung verwenden:

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen

Wir benötigen einen Abschnitt der Funktion, in dem sie monoton ist, das heißt, sie nimmt jeden Wert genau einmal an.

Wählen wir ein Segment aus. Auf diesem Segment nimmt die Funktion monoton ab, d. h. die Entsprechung zwischen den Mengen ist eins zu eins. Jeder x-Wert hat einen entsprechenden y-Wert. Auf diesem Segment gibt es eine zum Kosinus inverse Funktion, also die Funktion y = arccosx.

Füllen wir die Tabelle mit der Definition des Arkuskosinus aus.

Der Arkuskosinus einer Zahl x, die zum Intervall gehört, ist eine Zahl y, die zum Intervall gehört, so dass

Das bedeutet, da ;

Als ;

Als ,

			0
					0

Hier ist das Arcus-Cosinus-Diagramm:

Funktionseigenschaften

1. Umfang der Definition

2. Wertebereich

Diese Funktion Gesamtansicht- es ist weder gerade noch ungerade.

4. Die Funktion ist streng fallend. Höchster Wert, gleich , nimmt die Funktion y = arccosx at an, und der kleinste Wert, gleich Null, nimmt at an

5. Die Funktionen und sind zueinander invers.

Die nächsten sind Arkustangens und Arkuskotangens.

Der Arkustangens einer Zahl ist die Zahl , so dass

Bezeichnung: . Der Definitionsbereich des Arkustangens ist das Intervall. Der Wertebereich ist das Intervall.

Warum werden die Intervallenden – Punkte – in der Definition des Arkustangens ausgeschlossen? Natürlich, weil die Tangente an diesen Punkten nicht definiert ist. Es gibt keine Zahl a, die dem Tangens eines dieser Winkel entspricht.

Lassen Sie uns einen Graphen des Arkustangens erstellen. Der Definition zufolge ist der Arkustangens einer Zahl x eine Zahl y, die zum Intervall gehört, so dass

Wie man ein Diagramm erstellt, ist bereits klar. Da der Arkustangens die Umkehrfunktion des Tangens ist, gehen wir wie folgt vor:

Wir wählen einen Abschnitt des Funktionsgraphen aus, in dem die Entsprechung zwischen x und y eineindeutig ist. Dies ist das Intervall C. In diesem Abschnitt nimmt die Funktion Werte von bis an

Dann hat die Umkehrfunktion, also die Funktion, einen Definitionsbereich, der die gesamte Zahlenlinie von bis ist, und der Wertebereich ist das Intervall

Bedeutet,

Aber was passiert für unendlich große Werte von x? Mit anderen Worten: Wie verhält sich diese Funktion, wenn x gegen Unendlich strebt?

Wir können uns die Frage stellen: Für welche Zahl im Intervall strebt die Tangente gegen Unendlich? - Offensichtlich das

Dies bedeutet, dass sich der Arkustangensgraph für unendlich große Werte von x der horizontalen Asymptote nähert

Wenn sich x minus unendlich nähert, nähert sich der Arcustangens-Graph in ähnlicher Weise der horizontalen Asymptote an

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion

Funktionseigenschaften

1. Umfang der Definition

2. Wertebereich

3. Die Funktion ist ungerade.

4. Die Funktion ist streng steigend.

6. Die Funktionen und sind zueinander invers – natürlich, wenn die Funktion im Intervall betrachtet wird

In ähnlicher Weise definieren wir die Umkehrtangensfunktion und zeichnen ihren Graphen.

Der Arkuskotangens einer Zahl ist die Zahl , so dass

Funktionsgraph:

Funktionseigenschaften

1. Umfang der Definition

2. Wertebereich

3. Die Funktion hat eine allgemeine Form, also weder gerade noch ungerade.

4. Die Funktion ist streng fallend.

5. Direkte und horizontale Asymptoten dieser Funktion.

6. Die Funktionen und sind gegenseitig invers, wenn sie im Intervall betrachtet werden

Inverse trigonometrische Funktionen(Kreisfunktionen, Bogenfunktionen) – mathematische Funktionen, die zu trigonometrischen Funktionen invers sind.

Diese umfassen in der Regel 6 Funktionen:

Arkussinus(Bezeichnung: arcsin x; arcsin x- Das ist der Winkel Sünde was gleich ist X),
Arkuskosinus(Bezeichnung: arccos x; arccos x ist der Winkel, dessen Kosinus gleich ist X usw),
Arkustangens(Bezeichnung: arctan x oder arctan x),
Arkuskotangens(Bezeichnung: arcctg x oder arccot x oder arccotan x),
Bogensekant(Bezeichnung: Bogensekunden x),
Arkuskosekant(Bezeichnung: arccosec x oder arccsc x).

Arkussinus (y = arcsin x) - Umkehrfunktion zu Sünde (x = Sünde y . Mit anderen Worten: Gibt den Winkel anhand seines Werts zurück Sünde.

Arkuskosinus (y = arccos x) - Umkehrfunktion zu cos (x = cos y cos.

Arcustangens (y = arctan x) - Umkehrfunktion zu tg (x = tan y), das einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat . Mit anderen Worten: Gibt den Winkel anhand seines Werts zurück tg.

Arckotangens (y = arcctg x) - Umkehrfunktion zu ctg (x = cotg y), das über einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten verfügt. Mit anderen Worten: Gibt den Winkel anhand seines Werts zurück ctg.

Bogensekunden- Arcsecant, gibt den Winkel entsprechend dem Wert seines Sekants zurück.

arccosec- Arkuskosekans, gibt einen Winkel basierend auf dem Wert seines Kosekans zurück.

Wenn die inverse trigonometrische Funktion an einem bestimmten Punkt nicht definiert ist, erscheint ihr Wert nicht in der endgültigen Tabelle. Funktionen Bogensekunden Und arccosec werden nicht auf dem Segment (-1,1) bestimmt, aber Arcsin Und arccos werden nur im Intervall [-1,1] bestimmt.

Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „arc-“ (von lat. Bogen uns- Bogen). Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass der Wert der umgekehrten trigonometrischen Funktion geometrisch mit der Länge des Bogens des Einheitskreises (oder dem Winkel, der diesen Bogen bildet) verbunden ist, der dem einen oder anderen Segment entspricht.

Manchmal in ausländische Literatur Verwenden Sie wie in wissenschaftlichen/technischen Taschenrechnern Notationen wie Sünde −1, cos −1 für Arkussinus, Arkuskosinus und dergleichen gilt dies als nicht ganz genau, weil Es kann zu Verwechslungen mit der Potenzierung einer Funktion kommen −1 (« −1 » (minus der ersten Potenz) definiert die Funktion x = f -1 (y), Umkehrfunktion y = f(x)).

Grundbeziehungen inverser trigonometrischer Funktionen.

Dabei ist darauf zu achten, für welche Intervalle die Formeln gelten.

Formeln, die inverse trigonometrische Funktionen in Beziehung setzen.

Bezeichnen wir einen der Werte der inversen trigonometrischen Funktionen mit Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x und behalten Sie die Notation bei: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x für ihre Hauptwerte, dann wird die Verbindung zwischen ihnen durch solche Beziehungen ausgedrückt.

Probleme im Zusammenhang mit inversen trigonometrischen Funktionen werden häufig in Schulabschlussprüfungen und in Aufnahmeprüfungen an einigen Universitäten angeboten. Eine vertiefte Auseinandersetzung mit diesem Thema kann nur in Wahlpflichtveranstaltungen oder erreicht werden Wahlfächer. Der vorgeschlagene Kurs zielt darauf ab, die Fähigkeiten jedes Studenten so umfassend wie möglich zu entwickeln und seine mathematische Vorbereitung zu verbessern.

Der Kurs dauert 10 Stunden:

1.Funktionen arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 Stunden).

2. Operationen an inversen trigonometrischen Funktionen (4 Stunden).

3. Inverse trigonometrische Operationen an trigonometrischen Funktionen (2 Stunden).

Lektion 1 (2 Stunden) Thema: Funktionen y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Ziel: vollständige Abdeckung dieses Themas.

1.Funktion y = arcsin x.

a) Für die Funktion y = sin x auf dem Segment gibt es eine inverse (einwertige) Funktion, die wir Arkussinus nennen und wie folgt bezeichnen: y = arcsin x. Der Graph der Umkehrfunktion ist symmetrisch zum Graphen der Hauptfunktion in Bezug auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel I - III.

Eigenschaften der Funktion y = arcsin x.

1) Definitionsbereich: Segment [-1; 1];

2)Änderungsbereich: Segment;

3)Funktion y = arcsin x ungerade: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Die Funktion y = arcsin x ist monoton wachsend;

5) Der Graph schneidet die Ox- und Oy-Achsen im Ursprung.

Beispiel 1. Finden Sie a = arcsin. Dieses Beispiel lässt sich im Einzelnen wie folgt formulieren: Finden Sie ein Argument a, das im Bereich von bis liegt und dessen Sinus gleich ist.

Lösung. Es gibt unzählige Argumente, deren Sinus gleich ist, zum Beispiel: usw. Aber uns interessiert nur das Argument, das in diesem Segment vorkommt. Das wäre das Argument. Also, .

Beispiel 2. Finden .Lösung. Wenn wir auf die gleiche Weise wie in Beispiel 1 argumentieren, erhalten wir .

b) mündliche Übungen. Finden Sie: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Beispielantwort: , Weil . Ergeben die Ausdrücke einen Sinn: ; Arcsin 1,5; ?

c) Ordnen Sie in aufsteigender Reihenfolge an: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funktionen y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (ähnlich).

Lektion 2 (2 Stunden) Thema: Inverse trigonometrische Funktionen, ihre Graphen.

Ziel: weiter diese Lektion Es ist notwendig, Fähigkeiten zur Bestimmung der Werte trigonometrischer Funktionen und zur Erstellung von Diagrammen inverser trigonometrischer Funktionen unter Verwendung von D (y), E (y) und den erforderlichen Transformationen zu entwickeln.

In dieser Lektion werden Übungen durchgeführt, die das Finden des Definitionsbereichs und des Wertebereichs von Funktionen des Typs y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos umfassen.

Sie sollten Diagramme der Funktionen erstellen: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Beispiel. Zeichnen wir y = arccos

Sie können die folgenden Übungen in Ihre Hausaufgaben einbauen: Erstellen Sie Funktionsgraphen: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Graphen von Umkehrfunktionen

Lektion Nr. 3 (2 Stunden) Thema:
Operationen auf inversen trigonometrischen Funktionen.

Ziel: Erweiterung der mathematischen Kenntnisse (dies ist wichtig für Studienanfänger mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Ausbildung) durch Einführung grundlegender Beziehungen für inverse trigonometrische Funktionen.

Material für den Unterricht.

Einige einfache trigonometrische Operationen an inversen trigonometrischen Funktionen: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Übungen.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Sei arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Hinweis: Wir nehmen das „+“-Zeichen vor der Wurzel, weil a = arcsin x erfüllt.

c) sin (1,5 + arcsin).

d) ctg (+ arctg 3).

e) tg ( – arcctg 4).

e) cos (0,5 + arccos). Antwort: .

Berechnung:

a) Sünde (2 arctan 5) .

Sei arctan 5 = a, dann sin 2 a = oder sin (2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8).

c) arctg + arctg.

Sei a = Arctan, b = Arctan,

dann tg(a + b) = .

d) sin(Arcsin + Arcsin).

e) Beweisen Sie, dass für alle x I [-1; 1] wahrer Arcsin x + arccos x = .

Nachweisen:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Um es selbst zu lösen: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Für Heimlösung: 1) sin (Arcsin 0,6 + Arctan 0); 2) Arcsin + Arcsin; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) Sünde (1,5 – Arkussinus 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lektion Nr. 4 (2 Stunden) Thema: Operationen mit inversen trigonometrischen Funktionen.

Ziel: Demonstrieren Sie in dieser Lektion die Verwendung von Verhältnissen bei der Transformation komplexerer Ausdrücke.

Material für den Unterricht.

ORAL:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

SCHRIFTLICH:

1) cos (Arcsin + Arcsin + Arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

Unabhängige Arbeit hilft dabei, den Grad der Beherrschung des Materials zu ermitteln.

1) tg (arctg 2 – arctg)

2) cos( - arctan2)

3) Arcsin + Arccos

1) cos (Arcsin + Arcsin)

2) Sünde (1,5 - Arctan 3)

3) arcctg3 – arctg 2

Für Hausaufgaben Wir können vorschlagen:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) Sünde(2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Lektion Nr. 5 (2 Stunden) Thema: Inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen.

Ziel: Vermittlung des Verständnisses der Studierenden für inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen, wobei der Schwerpunkt auf der Verbesserung des Verständnisses der untersuchten Theorie liegt.

Beim Studium dieses Themas wird davon ausgegangen, dass der Umfang des auswendig zu lernenden theoretischen Materials begrenzt ist.

Unterrichtsmaterial:

Sie können mit dem Erlernen neuen Materials beginnen, indem Sie die Funktion y = arcsin (sin x) studieren und ihren Graphen zeichnen.

3. Jedes x I R ist mit y I verbunden, d.h.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Die Funktion ist ungerade: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Diagramm y = arcsin (sin x) auf:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

B)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Also,

Nachdem wir y = arcsin (sin x) on konstruiert haben, fahren wir symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung auf [- ; 0], angesichts der Seltsamkeit dieser Funktion. Mit der Periodizität fahren wir auf dem gesamten Zahlenstrahl fort.

Schreiben Sie dann einige Beziehungen auf: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos A ) = a wenn 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Und machen Sie die folgenden Übungen:a) arccos(sin 2).Antwort: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6). Antwort: - 0,1; c) arctg (tg 2). Antwort: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Antwort: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)). Antwort: 2 - ; e) Arcussin (sin ( - 0,6)). Antwort: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Antwort: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Antwort: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, sind ihre Umkehrfunktionen nicht eindeutig. Also ist die Gleichung y = Sünde x, für ein gegebenes , hat unendlich viele Wurzeln. Aufgrund der Periodizität des Sinus ist es tatsächlich so, dass x eine solche Wurzel ist x + 2πn(wobei n eine ganze Zahl ist) ist auch die Wurzel der Gleichung. Auf diese Weise, Inverse trigonometrische Funktionen sind mehrwertig. Um die Arbeit mit ihnen zu erleichtern, wird das Konzept ihrer Hauptbedeutungen eingeführt. Betrachten Sie zum Beispiel Sinus: y = Sünde x. Wenn wir das Argument x auf das Intervall beschränken, dann ist darauf die Funktion y = Sünde x steigt monoton an. Daher hat es eine einzigartige Umkehrfunktion, die Arkussinus genannt wird: x = arcsin y.

Sofern nicht anders angegeben, verstehen wir unter inversen trigonometrischen Funktionen deren Hauptwerte, die durch die folgenden Definitionen bestimmt werden.

Arkussinus ( y = arcsin x) ist die Umkehrfunktion des Sinus ( x = siny
Arkuskosinus ( y = arccos x) ist die Umkehrfunktion des Kosinus ( x = gemütlich), mit einem Definitionsbereich und einer Reihe von Werten.
Arcustangens ( y = arctan x) ist die Umkehrfunktion des Tangens ( x = tg y), mit einem Definitionsbereich und einer Reihe von Werten.
Arkuskotangens ( y = arcctg x) ist die Umkehrfunktion des Kotangens ( x = ctg y), mit einem Definitionsbereich und einer Reihe von Werten.

Diagramme inverser trigonometrischer Funktionen

Graphen inverser trigonometrischer Funktionen werden aus Graphen trigonometrischer Funktionen durch Spiegelreflexion bezüglich der Geraden y = x erhalten. Siehe Abschnitte Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Grundformeln

Dabei sollte besonders darauf geachtet werden, für welche Intervalle die Formeln gelten.

arcsin(sin x) = x bei
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x bei
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x bei
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x bei
ctg(arcctg x) = x

Formeln, die inverse trigonometrische Funktionen in Beziehung setzen

Siehe auch: Ableitung von Formeln für inverse trigonometrische Funktionen

Summen- und Differenzformeln

bei oder

bei und

bei und

bei

bei

bei

bei

bei

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Lektionen 32-33. Inverse trigonometrische Funktionen

09.07.2015 8936 0

Ziel: Betrachten Sie inverse trigonometrische Funktionen und ihre Verwendung zum Schreiben von Lösungen trigonometrischer Gleichungen.

I. Vermittlung des Themas und Zwecks des Unterrichts

II. Neues Material lernen

1. Inverse trigonometrische Funktionen

Beginnen wir unsere Diskussion zu diesem Thema mit dem folgenden Beispiel.

Beispiel 1

Lösen wir die Gleichung: a) Sünde x = 1/2; b) Sünde x = a.

a) Auf der Ordinatenachse tragen wir den Wert 1/2 ein und konstruieren die Winkel x 1 und x2, wofür Sünde x = 1/2. In diesem Fall x1 + x2 = π, daher x2 = π – x 1 . Mithilfe der Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen ermitteln wir dann den Wert x1 = π/6Berücksichtigen wir die Periodizität der Sinusfunktion und schreiben wir die Lösungen dieser Gleichung auf:wobei k ∈ Z.

b) Offensichtlich der Algorithmus zur Lösung der Gleichung Sünde x = a ist dasselbe wie im vorherigen Absatz. Natürlich wird nun der Wert a auf der Ordinatenachse aufgetragen. Es besteht die Notwendigkeit, den Winkel x1 irgendwie zu bezeichnen. Wir haben vereinbart, diesen Winkel mit dem Symbol zu kennzeichnen Arcsin A. Dann können die Lösungen dieser Gleichung in der Form geschrieben werdenDiese beiden Formeln können zu einer kombiniert werden: dabei

Die übrigen inversen trigonometrischen Funktionen werden auf ähnliche Weise eingeführt.

Sehr oft ist es notwendig, die Größe eines Winkels aus einem bekannten Wert seiner trigonometrischen Funktion zu bestimmen. Ein solches Problem ist mehrwertig – es gibt unzählige Winkel, deren trigonometrische Funktionen den gleichen Wert haben. Basierend auf der Monotonie trigonometrischer Funktionen werden daher die folgenden inversen trigonometrischen Funktionen eingeführt, um Winkel eindeutig zu bestimmen.

Arcussinus der Zahl a (Arcsinus , dessen Sinus gleich a ist, d.h.

Arkuskosinus einer Zahl a(arccos a) ist ein Winkel a aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich a ist, d.h.

Arkustangens einer Zahl a(arctg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervalldessen Tangens gleich a ist, d.h.tg a = a.

Arckotangens einer Zahl a(arcctg a) ist ein Winkel a aus dem Intervall (0; π), dessen Kotangens gleich a ist, d.h. ctg a = a.

Beispiel 2

Lass uns finden:

Unter Berücksichtigung der Definitionen inverser trigonometrischer Funktionen erhalten wir:

Beispiel 3

Rechnen wir

Sei der Winkel a = arcsin 3/5, dann per Definition sin a = 3/5 und . Deshalb müssen wir finden cos A. Unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität erhalten wir:Es wird berücksichtigt, dass cos a ≥ 0. Also,

Funktionseigenschaften	Funktion
Funktionseigenschaften	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Domain	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Wertebereich	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
Parität	Seltsam	Weder gerade noch ungerade	Seltsam	Weder gerade noch ungerade
Funktionsnullstellen (y = 0)	Bei x = 0	Bei x = 1	Bei x = 0	y ≠ 0
Intervalle der Vorzeichenkonstanz	y > 0 für x ∈ (0; 1], bei< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 für x ∈ [-1; 1)	y > 0 für x ∈ (0; +∞), bei< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 für x ∈ (-∞; +∞)
Monoton	Zunehmend	Absteigend	Zunehmend	Absteigend
Beziehung zur trigonometrischen Funktion	Sünde y = x	weil y = x	tg y = x	ctg y = x
Zeitplan

Lassen Sie uns eine Reihe typischerer Beispiele im Zusammenhang mit den Definitionen und grundlegenden Eigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen geben.

Beispiel 4

Finden wir den Definitionsbereich der Funktion

Damit die Funktion y definiert werden kann, muss die Ungleichung erfüllt seinwas dem System der Ungleichungen entsprichtDie Lösung der ersten Ungleichung ist das Intervall x∈ (-∞; +∞), Sekunde - Dieses Intervall und ist eine Lösung des Ungleichungssystems und damit des Definitionsbereichs der Funktion

Beispiel 5

Finden wir den Änderungsbereich der Funktion

Betrachten wir das Verhalten der Funktion z = 2x - x2 (siehe Bild).

Es ist klar, dass z ∈ (-∞; 1]. In Anbetracht dessen, dass das Argument z Die Arkuskotangensfunktion variiert innerhalb der angegebenen Grenzen. Aus den Tabellendaten erhalten wir diesAlso der Bereich der Veränderung

Beispiel 6

Beweisen wir, dass die Funktion y = arctg x ungerade. LassenDann ist tg a = -x oder x = - tg a = tg (- a), und Daher ist - a = arctg x oder a = - arctg X. So sehen wir dasd.h. y(x) ist eine ungerade Funktion.

Beispiel 7

Lassen Sie uns durch alle inversen trigonometrischen Funktionen ausdrücken

Lassen Es ist klar, dass Dann seitdem

Lassen Sie uns den Winkel vorstellen Als Das

Ebenso also Und

Also,

Beispiel 8

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = erstellen cos(arcsin x).

Bezeichnen wir also a = arcsin x Berücksichtigen wir, dass x = sin a und y = cos a, also x 2 + y2 = 1 und Einschränkungen für x (x∈ [-1; 1]) und y (y ≥ 0). Dann ist der Graph der Funktion y = cos(arcsin x) ist ein Halbkreis.

Beispiel 9

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = erstellen arccos (cos x ).

Da die cos-Funktion x ändert sich im Intervall [-1; 1], dann ist die Funktion y auf der gesamten numerischen Achse definiert und variiert auf dem Segment . Denken wir daran, dass y = arccos(cosx) = x auf dem Segment; Die Funktion y ist gerade und periodisch mit der Periode 2π. In Anbetracht dessen, dass die Funktion diese Eigenschaften hat weil x Jetzt ist es ganz einfach, ein Diagramm zu erstellen.

Beachten wir einige nützliche Gleichheiten:

Beispiel 10

Finden wir den kleinsten und größten Wert der Funktion Bezeichnen wir Dann Holen wir uns die Funktion Diese Funktion hat an diesem Punkt ein Minimum z = π/4, und es ist gleich An dieser Stelle wird der größte Wert der Funktion erreicht z = -π/2, und es ist gleich So und

Beispiel 11

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Berücksichtigen wir das Dann sieht die Gleichung so aus:oder Wo Per Definition des Arkustangens erhalten wir:

2. Einfache trigonometrische Gleichungen lösen

Ähnlich wie in Beispiel 1 können Sie Lösungen für die einfachsten trigonometrischen Gleichungen erhalten.

Die gleichung	Lösung


tgx = a
ctg x = a

Beispiel 12

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Da die Sinusfunktion ungerade ist, schreiben wir die Gleichung in die FormLösungen für diese Gleichung:Woher finden wir es?

Beispiel 13

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Mit der angegebenen Formel schreiben wir die Lösungen der Gleichung auf:und wir werden es finden

Beachten Sie, dass in Sonderfällen (a = 0; ±1) beim Lösen der Gleichungen gilt sin x = a und cos x = und es ist einfacher und bequemer, keine allgemeinen Formeln zu verwenden, sondern Lösungen basierend auf dem Einheitskreis aufzuschreiben:

für die Gleichung sin x = 1 Lösung

für die Gleichung sin x = 0 Lösungen x = π k;

für die Gleichung sin x = -1 Lösung

für die cos-Gleichung x = 1 Lösung x = 2π k ;

für die Gleichung cos x = 0 Lösung

für die Gleichung cos x = -1 Lösung

Beispiel 14

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

Da es sich in diesem Beispiel um einen Sonderfall der Gleichung handelt, schreiben wir die Lösung mit der entsprechenden Formel:Woher können wir es finden?