Aber rationale Ungleichheiten können heute nicht alles lösen. Genauer gesagt kann nicht nur jeder entscheiden. Das können nur wenige Menschen.
Klitschko

Diese Lektion wird hart sein. So hart, dass nur die Auserwählten das Ende erreichen werden. Daher empfehle ich, vor dem Lesen Frauen, Katzen, schwangere Kinder und ... von Bildschirmen zu entfernen.

Komm schon, es ist eigentlich ganz einfach. Nehmen wir an, Sie beherrschen die Intervallmethode (wenn Sie sie noch nicht beherrschen, empfehle ich Ihnen, sie noch einmal zu lesen) und haben gelernt, wie Sie Ungleichungen der Form $P\left(x \right) \gt 0$ lösen, wobei $ P\left(x \right)$ ist ein Polynom oder Produkt von Polynomen.

Ich glaube, dass es Ihnen nicht schwer fallen wird, zum Beispiel so etwas zu lösen (probieren Sie es übrigens zum Aufwärmen):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Jetzt komplizieren wir das Problem ein wenig und betrachten nicht nur Polynome, sondern sogenannte rationale Brüche der Form:

wobei $P\left(x \right)$ und $Q\left(x \right)$ dieselben Polynome der Form $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, oder das Produkt solcher Polynome.

Dies wird eine rationale Ungleichheit sein. Der grundlegende Punkt ist das Vorhandensein der Variablen $x$ im Nenner. Dies sind beispielsweise rationale Ungleichungen:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Und das ist keine rationale Ungleichung, sondern die häufigste Ungleichung, die mit der Intervallmethode gelöst werden kann:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Mit Blick auf die Zukunft sage ich gleich: Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, rationale Ungleichungen zu lösen, aber alle laufen auf die eine oder andere Weise auf die uns bereits bekannte Intervallmethode hinaus. Bevor wir diese Methoden analysieren, erinnern wir uns daher an die alten Fakten, sonst ergibt das neue Material keinen Sinn.

Was Sie bereits wissen müssen

Es gibt nie zu viele wichtige Fakten. Wir brauchen wirklich nur vier.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Ja, ja: Sie werden uns die ganze Zeit verfolgen Lehrplan Mathematik. Und auch an der Universität. Es gibt eine ganze Reihe dieser Formeln, aber wir brauchen nur Folgendes:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\richtig). \\ \end(align)\]

Achten Sie auf die letzten beiden Formeln – das sind die Summe und Differenz von Würfeln (und nicht der Würfel der Summe oder Differenz!). Sie sind leicht zu merken, wenn Sie bemerken, dass das Vorzeichen in der ersten Klammer mit dem Vorzeichen im Originalausdruck übereinstimmt und in der zweiten Klammer dem Vorzeichen im Originalausdruck entgegengesetzt ist.

Lineare Gleichungen

Das sind die meisten einfache Gleichungen der Form $ax+b=0$, wobei $a$ und $b$ gewöhnliche Zahlen sind und $a\ne 0$. Diese Gleichung lässt sich einfach lösen:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Ich möchte anmerken, dass wir das Recht haben, durch den Koeffizienten $a$ zu dividieren, da $a\ne 0$ ist. Diese Anforderung ist ziemlich logisch, da wir für $a=0$ Folgendes erhalten:

Erstens gibt es in dieser Gleichung keine Variable $x$. Dies sollte uns im Allgemeinen nicht verwirren (das kommt beispielsweise in der Geometrie häufig vor), aber es handelt sich dennoch nicht mehr um eine lineare Gleichung.

Zweitens hängt die Lösung dieser Gleichung ausschließlich vom Koeffizienten $b$ ab. Wenn $b$ ebenfalls Null ist, dann hat unsere Gleichung die Form $0=0$. Diese Gleichheit gilt immer; das bedeutet, dass $x$ eine beliebige Zahl ist (normalerweise so geschrieben: $x\in \mathbb(R)$). Wenn der Koeffizient $b$ ungleich Null ist, dann ist die Gleichheit $b=0$ nie erfüllt, d.h. Es gibt keine Antworten (schreiben Sie $x\in \varnothing $ und lesen Sie „die Lösungsmenge ist leer“).

Um all diese Schwierigkeiten zu vermeiden, nehmen wir einfach $a\ne 0$ an, was uns in unserem weiteren Denken keineswegs einschränkt.

Quadratische Gleichungen

Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine quadratische Gleichung so heißt:

Hier links ist ein Polynom zweiten Grades und wieder $a\ne 0$ (sonst statt quadratische Gleichung wir erhalten linear). Die folgenden Gleichungen werden durch die Diskriminante gelöst:

1. Wenn $D \gt 0$, erhalten wir zwei verschiedene Wurzeln;
2. Wenn $D=0$, dann ist die Wurzel dieselbe, aber von der zweiten Multiplizität (was für eine Multiplizität ist das und wie wird sie berücksichtigt – dazu später mehr). Oder wir können sagen, dass die Gleichung zwei identische Wurzeln hat;
3. Für $D \lt 0$ gibt es überhaupt keine Wurzeln und das Vorzeichen des Polynoms $a((x)^(2))+bx+c$ für jedes $x$ stimmt mit dem Vorzeichen des Koeffizienten $a überein $. Das ist übrigens sehr nützliche Tatsache, worüber sie im Algebraunterricht aus irgendeinem Grund vergessen, darüber zu sprechen.

Die Wurzeln selbst werden nach der bekannten Formel berechnet:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Daher übrigens auch die Einschränkungen der Diskriminante. Schließlich Quadratwurzel einer negativen Zahl existiert nicht. Viele Studenten haben ein schreckliches Durcheinander in ihren Köpfen, was die Wurzeln angeht, deshalb habe ich es ausdrücklich aufgeschrieben ganze Lektion: Was ist eine Wurzel in der Algebra und wie berechnet man sie? Ich empfehle dringend, sie zu lesen :).

Operationen mit rationalen Brüchen

Sie wissen bereits alles, was oben geschrieben wurde, wenn Sie die Intervallmethode studiert haben. Aber was wir jetzt analysieren werden, hat keine Analogien in der Vergangenheit – das ist eine völlig neue Tatsache.

Definition. Ein rationaler Bruch ist ein Ausdruck der Form

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

wobei $P\left(x \right)$ und $Q\left(x \right)$ Polynome sind.

Offensichtlich ist es einfach, aus einem solchen Bruch eine Ungleichung zu erhalten – Sie müssen nur das Zeichen „größer als“ oder „kleiner als“ rechts hinzufügen. Und etwas weiter werden wir feststellen, dass das Lösen solcher Probleme ein Vergnügen ist, alles ist sehr einfach.

Probleme beginnen, wenn in einem Ausdruck mehrere solcher Brüche vorkommen. Sie müssen auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden – und das ist in diesem Moment erlaubt große Menge beleidigende Fehler.

Um rationale Gleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie daher zwei Fähigkeiten beherrschen:

1. Faktorisieren des Polynoms $P\left(x \right)$;
2. Eigentlich geht es darum, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Wie faktorisiert man ein Polynom? Sehr einfach. Lassen Sie uns ein Polynom der Form haben

Wir setzen es mit Null gleich. Wir erhalten eine Gleichung $n$ten Grades:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Nehmen wir an, wir haben diese Gleichung gelöst und die Wurzeln $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ erhalten (seien Sie nicht beunruhigt: In den meisten Fällen wird dies der Fall sein nicht mehr als zwei dieser Wurzeln). In diesem Fall kann unser ursprüngliches Polynom wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Das ist alles! Bitte beachten Sie: Der führende Koeffizient $((a)_(n))$ ist nirgendwo verschwunden – er wird als separater Multiplikator vor den Klammern stehen und kann bei Bedarf in jede dieser Klammern eingefügt werden (Übung zeigt). dass es bei $((a)_ (n))\ne \pm 1$ fast immer Brüche zwischen den Wurzeln gibt).

Aufgabe. Den Ausdruck vereinfachen:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Lösung. Schauen wir uns zunächst die Nenner an: Sie sind alle lineare Binome, und hier gibt es nichts zu faktorisieren. Lassen Sie uns also die Zähler faktorisieren:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(align)\]

Bitte beachten Sie: Im zweiten Polynom erschien der führende Koeffizient „2“ in voller Übereinstimmung mit unserem Schema zuerst vor der Klammer und wurde dann in die erste Klammer aufgenommen, da dort der Bruch erschien.

Das Gleiche geschah im dritten Polynom, nur dass dort auch die Reihenfolge der Terme umgekehrt ist. Der Koeffizient „−5“ wurde jedoch letztendlich in die zweite Klammer aufgenommen (denken Sie daran: Sie können den Faktor in nur einer Klammer eingeben!), was uns die Unannehmlichkeiten erspart hat, die mit gebrochenen Wurzeln verbunden sind.

Was das erste Polynom betrifft, ist alles einfach: Seine Wurzeln werden entweder standardmäßig durch die Diskriminante oder mithilfe des Satzes von Vieta gesucht.

Kehren wir zum ursprünglichen Ausdruck zurück und schreiben ihn mit faktorisierten Zählern neu:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Antwort: 5x+4$.

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes. Ein bisschen Mathematik für die 7. bis 8. Klasse und das war’s. Der Sinn aller Transformationen besteht darin, aus einem komplexen und beängstigenden Ausdruck etwas Einfaches und Leicht zu bearbeitendes zu machen.

Dies wird jedoch nicht immer der Fall sein. Nun werden wir uns einem ernsteren Problem zuwenden.

Aber zuerst wollen wir herausfinden, wie man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Der Algorithmus ist äußerst einfach:

1. Faktorisieren Sie beide Nenner;
2. Betrachten Sie den ersten Nenner und addieren Sie dazu die Faktoren, die im zweiten Nenner vorhanden sind, im ersten jedoch nicht. Das resultierende Produkt wird der gemeinsame Nenner sein;
3. Finden Sie heraus, welche Faktoren jedem der ursprünglichen Brüche fehlen, damit die Nenner dem gemeinsamen Nenner entsprechen.

Für Sie mag dieser Algorithmus wie ein Text mit „vielen Buchstaben“ erscheinen. Schauen wir uns daher alles anhand eines konkreten Beispiels an.

Aufgabe. Den Ausdruck vereinfachen:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Lösung. Es ist besser, solch große Probleme in Teilen zu lösen. Schreiben wir auf, was in der ersten Klammer steht:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Im Gegensatz zum vorherigen Problem sind die Nenner hier nicht so einfach. Lassen Sie uns jeden von ihnen berücksichtigen.

Das quadratische Trinom $((x)^(2))+2x+4$ kann nicht faktorisiert werden, da die Gleichung $((x)^(2))+2x+4=0$ keine Wurzeln hat (die Diskriminante ist negativ). ). Wir lassen es unverändert.

Der zweite Nenner – das kubische Polynom $((x)^(3))-8$ – ist bei sorgfältiger Betrachtung die Differenz von Würfeln und lässt sich leicht mit den abgekürzten Multiplikationsformeln erweitern:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

Nichts anderes kann faktorisiert werden, da in der ersten Klammer ein lineares Binomial steht und in der zweiten eine uns bereits bekannte Konstruktion, die keine wirklichen Wurzeln hat.

Der dritte Nenner schließlich ist ein lineares Binomial, das nicht erweitert werden kann. Somit wird unsere Gleichung die Form annehmen:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Es ist ganz offensichtlich, dass der gemeinsame Nenner genau $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ sein wird, und alle Brüche darauf zu reduzieren Es ist notwendig, den ersten Bruch mit $\left(x-2 \right)$ und den letzten mit $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ zu multiplizieren. Dann bleibt nur noch, ähnliche zu geben:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ rechts))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Achten Sie auf die zweite Zeile: wenn der Nenner bereits gemeinsam ist, d.h. Anstelle von drei separaten Brüchen haben wir einen großen geschrieben; Sie sollten die Klammern nicht sofort entfernen. Es ist besser, eine zusätzliche Zeile zu schreiben und zu beachten, dass beispielsweise vor dem dritten Bruch ein Minus stand – und es nirgendwo hingeht, sondern im Zähler vor der Klammer „hängt“. Das erspart Ihnen viele Fehler.

Nun, in der letzten Zeile ist es nützlich, den Zähler zu faktorisieren. Darüber hinaus handelt es sich um ein exaktes Quadrat, und auch hier kommen uns abgekürzte Multiplikationsformeln zu Hilfe. Wir haben:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Gehen wir nun genauso mit der zweiten Klammer um. Hier schreibe ich einfach eine Kette von Gleichheiten:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Kehren wir zum ursprünglichen Problem zurück und schauen uns das Produkt an:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Antwort: \[\frac(1)(x+2)\].

Der Sinn dieser Aufgabe ist derselbe wie bei der vorherigen: zu zeigen, wie rationale Ausdrücke vereinfacht werden können, wenn man ihre Transformation mit Bedacht angeht.

Und jetzt, da Sie das alles wissen, kommen wir zum Hauptthema der heutigen Lektion – der Lösung gebrochener rationaler Ungleichungen. Darüber hinaus werden Sie nach einer solchen Vorbereitung die Ungleichheiten selbst wie Nüsse auflösen :)

Der wichtigste Weg, rationale Ungleichheiten zu lösen

Es gibt mindestens zwei Ansätze zur Lösung rationaler Ungleichungen. Nun schauen wir uns eine davon an – diejenige, die im Mathematikunterricht der Schule allgemein akzeptiert wird.

Aber zuerst merken wir es uns wichtiges Detail. Alle Ungleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Streng: $f\left(x \right) \gt 0$ oder $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ oder $f\left(x \right)\le 0$.

Ungleichungen der zweiten Art lassen sich leicht auf die erste reduzieren, ebenso wie die Gleichung:

Diese kleine „Addition“ $f\left(x \right)=0$ führt zu so etwas Unangenehmem wie gefüllten Punkten – wir haben sie in der Intervallmethode kennengelernt. Ansonsten gibt es keine Unterschiede zwischen strengen und nicht strengen Ungleichungen. Schauen wir uns also den universellen Algorithmus an:

1. Sammeln Sie alle Nicht-Null-Elemente auf einer Seite des Ungleichheitszeichens. Zum Beispiel links;
2. Reduzieren Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (wenn es mehrere solcher Brüche gibt), bringen Sie ähnliche Brüche mit. Faktorisieren Sie dann, wenn möglich, Zähler und Nenner. Auf die eine oder andere Weise erhalten wir eine Ungleichung der Form $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, wobei das „Häkchen“ das Ungleichheitszeichen ist .
3. Wir setzen den Zähler mit Null gleich: $P\left(x \right)=0$. Wir lösen diese Gleichung und erhalten die Wurzeln $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Dann benötigen wir dass der Nenner ungleich Null war: $Q\left(x \right)\ne 0$. Natürlich müssen wir im Wesentlichen die Gleichung $Q\left(x \right)=0$ lösen und erhalten die Wurzeln $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (in realen Problemen wird es kaum mehr als drei solcher Wurzeln geben).
4. Wir markieren alle diese Wurzeln (sowohl mit als auch ohne Sternchen) auf einem einzigen Zahlenstrahl, und die Wurzeln ohne Sterne werden übermalt, und diejenigen mit Sternen werden durchstochen.
5. Wir platzieren die „Plus“- und „Minus“-Zeichen und wählen die Intervalle aus, die wir benötigen. Wenn die Ungleichung die Form $f\left(x \right) \gt 0$ hat, dann sind die mit einem „Plus“ gekennzeichneten Intervalle die Antwort. Wenn $f\left(x \right) \lt 0$, dann betrachten wir die Intervalle mit „Minuspunkten“.

Die Praxis zeigt, dass die Punkte 2 und 4 die größten Schwierigkeiten bereiten – kompetente Transformationen und die richtige Anordnung der Zahlen in aufsteigender Reihenfolge. Nun, weiter letzter Schritt Seien Sie äußerst vorsichtig: Wir platzieren Schilder immer anhand von die allerletzte Ungleichung, die geschrieben wurde, bevor mit den Gleichungen fortgefahren wird. Dies ist eine universelle Regel, die von der Intervallmethode geerbt wurde.

Es gibt also ein Schema. Lass uns üben.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Lösung. Wir haben eine strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right) \lt 0$. Offensichtlich sind die Punkte 1 und 2 aus unserem Schema bereits erfüllt: Alle Elemente der Ungleichheit sind auf der linken Seite gesammelt, es besteht keine Notwendigkeit, etwas auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Kommen wir daher gleich zum dritten Punkt.

Wir setzen den Zähler mit Null gleich:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

Und der Nenner:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Hier stecken viele Leute fest, denn theoretisch muss man $x+7\ne 0$ schreiben, wie es die ODZ verlangt (man kann nicht durch Null dividieren, das ist alles). Aber in Zukunft werden wir die Punkte, die sich aus dem Nenner ergeben, herausstreichen, damit Sie Ihre Berechnungen nicht noch einmal komplizieren müssen – schreiben Sie überall ein Gleichheitszeichen und machen Sie sich keine Sorgen. Dafür wird niemand Punkte abziehen :)

Vierter Punkt. Wir markieren die resultierenden Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Alle Punkte sind festgehalten, da die Ungleichung streng ist

Beachten Sie: Alle Punkte sind festgelegt, da die ursprüngliche Ungleichung streng ist. Dabei spielt es keine Rolle, ob diese Punkte vom Zähler oder vom Nenner stammen.

Schauen wir uns die Zeichen an. Nehmen wir eine beliebige Zahl $((x)_(0)) \gt 3$. Zum Beispiel $((x)_(0))=100$ (aber mit dem gleichen Erfolg könnte man $((x)_(0))=3,1$ oder $((x)_(0)) = nehmen 1\ 000\ 000$). Wir bekommen:

Rechts von allen Wurzeln haben wir also einen positiven Bereich. Und beim Durchlaufen jeder Wurzel ändert sich das Vorzeichen (das wird nicht immer der Fall sein, aber dazu später mehr). Kommen wir also zum fünften Punkt: Ordnen Sie die Schilder an und wählen Sie das gewünschte aus:

Kehren wir zur letzten Ungleichung zurück, die vor der Lösung der Gleichungen bestand. Tatsächlich stimmt es mit dem Original überein, da wir in dieser Aufgabe keine Transformationen durchgeführt haben.

Da wir eine Ungleichung der Form $f\left(x \right) \lt 0$ lösen müssen, habe ich das Intervall $x\in \left(-7;3 \right)$ schattiert – es ist das einzige markierte mit einem Minuszeichen. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-7;3 \right)$

Das ist alles! Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Es stimmt, die Aufgabe war einfach. Lassen Sie uns die Mission nun etwas verkomplizieren und eine „ausgefeiltere“ Ungleichung betrachten. Bei der Lösung werde ich nicht mehr so ​​detaillierte Berechnungen anstellen, sondern lediglich die wichtigsten Punkte skizzieren. Im Allgemeinen formatieren wir es so, wie wir es formatieren würden unabhängige Arbeit oder Prüfung :)

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Lösung. Dies ist eine nicht strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\ge 0$. Alle von Null verschiedenen Elemente werden auf der linken Seite gesammelt, es gibt keine unterschiedlichen Nenner. Kommen wir zu den Gleichungen.

Zähler:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Nenner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Ich weiß nicht, was für ein Perverser dieses Problem verursacht hat, aber die Wurzeln sind nicht besonders gut geworden: Es wäre schwierig, sie auf der Zahlengeraden zu platzieren. Und wenn mit der Wurzel $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ alles mehr oder weniger klar ist (das ist das einzige positive Zahl- es wird auf der rechten Seite sein), dann $((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ und $((x)_(2))=-(2)/( 11)\ ;$ erfordert weitere Forschung: Welches ist größer?

Das können Sie zum Beispiel so herausfinden:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Ich hoffe, es besteht keine Notwendigkeit zu erklären, warum der numerische Bruch $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Bei Bedarf empfehle ich, sich daran zu erinnern, wie man Operationen mit Brüchen durchführt.

Und wir markieren alle drei Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Die Punkte des Zählers werden ausgefüllt, die Punkte des Nenners werden punktiert

Wir stellen Schilder auf. Sie können beispielsweise $((x)_(0))=1$ nehmen und das Vorzeichen an dieser Stelle herausfinden:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Die letzte Ungleichung vor den Gleichungen war $f\left(x \right)\ge 0$, daher interessiert uns das Pluszeichen.

Wir haben zwei Mengen: eine ist ein gewöhnliches Segment und die andere ist ein offener Strahl auf der Zahlengeraden.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ein wichtiger Hinweis zu den Zahlen, die wir ersetzen, um das Vorzeichen im ganz rechten Intervall herauszufinden. Es ist absolut nicht notwendig, die Zahl zu ersetzen, die der Wurzel ganz rechts am nächsten liegt. Sie können Milliarden oder sogar „plus-unendlich“ nehmen – in diesem Fall wird das Vorzeichen des Polynoms in der Klammer, Zähler oder Nenner, allein durch das Vorzeichen des führenden Koeffizienten bestimmt.

Schauen wir uns noch einmal die Funktion $f\left(x \right)$ aus der letzten Ungleichung an:

Seine Notation enthält drei Polynome:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(align)\]

Alle von ihnen sind lineare Binome und alle ihre führenden Koeffizienten (Zahlen 7, 11 und 13) sind positiv. Daher sind beim Ersetzen sehr großer Zahlen auch die Polynome selbst positiv :).

Diese Regel mag übermäßig kompliziert erscheinen, aber nur auf den ersten Blick, wenn wir sehr einfache Probleme analysieren. Bei schwerwiegenden Ungleichungen können wir durch das Ersetzen von „plus-unendlich“ die Vorzeichen viel schneller herausfinden als mit dem Standardwert $((x)_(0))=100$.

Mit solchen Herausforderungen werden wir sehr bald konfrontiert sein. Aber schauen wir uns zunächst einen alternativen Weg zur Lösung gebrochener rationaler Ungleichungen an.

Alternativer Weg

Diese Technik wurde mir von einem meiner Schüler vorgeschlagen. Ich selbst habe es nie benutzt, aber die Praxis hat gezeigt, dass es für viele Studenten wirklich bequemer ist, Ungleichungen auf diese Weise zu lösen.

Die Ausgangsdaten sind also dieselben. Wir müssen die gebrochene rationale Ungleichung lösen:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Überlegen wir: Warum ist das Polynom $Q\left(x \right)$ „schlechter“ als das Polynom $P\left(x \right)$? Warum müssen wir separate Gruppen von Wurzeln (mit und ohne Sternchen) betrachten, über punktierte Punkte nachdenken usw.? Es ist ganz einfach: Ein Bruch hat einen Definitionsbereich, nach dem der Bruch nur dann Sinn macht, wenn sein Nenner von Null verschieden ist.

Ansonsten gibt es keine Unterschiede zwischen Zähler und Nenner: Wir setzen es auch mit Null gleich, suchen die Wurzeln und markieren sie dann auf dem Zahlenstrahl. Warum also nicht den Bruchstrich (eigentlich das Divisionszeichen) durch die gewöhnliche Multiplikation ersetzen und alle Anforderungen der ODZ in Form einer separaten Ungleichung aufschreiben? Zum Beispiel so:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Bitte beachten Sie: Dieser Ansatz reduziert das Problem auf die Intervallmethode, erschwert die Lösung jedoch überhaupt nicht. Schließlich werden wir das Polynom $Q\left(x \right)$ immer noch mit Null gleichsetzen.

Mal sehen, wie das bei echten Problemen funktioniert.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Lösung. Kommen wir also zur Intervallmethode:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Die erste Ungleichung lässt sich auf elementare Weise lösen. Wir setzen einfach jede Klammer mit Null gleich:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Die zweite Ungleichung ist ebenfalls einfach:

Markieren Sie die Punkte $((x)_(1))$ und $((x)_(2))$ auf dem Zahlenstrahl. Alle scheiden aus, da die Ungleichung streng ist:

Der richtige Punkt wurde zweimal ausgestochen. Es ist in Ordnung.

Achten Sie auf den Punkt $x=11$. Es stellt sich heraus, dass es „doppelt punktiert“ ist: Einerseits stechen wir es wegen der Schwere der Ungleichheit heraus, andererseits wegen der zusätzlichen Anforderung von DL.

In jedem Fall handelt es sich lediglich um eine punktierte Stelle. Deshalb ordnen wir die Vorzeichen für die Ungleichung $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ – das letzte, das wir gesehen haben, bevor wir mit der Lösung der Gleichungen begonnen haben:

Uns interessieren positive Regionen, da wir eine Ungleichung der Form $f\left(x \right) \gt 0$ lösen – wir werden sie schattieren. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.

Antwort. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Am Beispiel dieser Lösung möchte ich Sie vor einem häufigen Fehler unter Studienanfängern warnen. Nämlich: Öffnen Sie niemals Klammern in Ungleichungen! Versuchen Sie im Gegenteil, alles zu berücksichtigen – das vereinfacht die Lösung und erspart Ihnen viele Probleme.

Versuchen wir nun etwas Komplizierteres.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Lösung. Dies ist eine nicht strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\le 0$, daher müssen Sie hier genau auf die schattierten Punkte achten.

Kommen wir zur Intervallmethode:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Kommen wir zur Gleichung:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(align)\]

Wir berücksichtigen die zusätzliche Anforderung:

Wir markieren alle resultierenden Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Wenn ein Punkt sowohl punktiert als auch ausgefüllt ist, gilt er als punktiert

Auch hier „überlappen“ sich zwei Punkte – das ist normal, das wird immer so sein. Es ist nur wichtig zu verstehen, dass es sich bei einem Punkt, der sowohl als durchstochen als auch als übermalt markiert ist, tatsächlich um eine durchstochene Stelle handelt. Diese. „Stechen“ ist eine stärkere Handlung als „Malen“.

Das ist absolut logisch, denn durch das Kneifen markieren wir Punkte, die das Vorzeichen der Funktion beeinflussen, selbst aber nicht an der Antwort beteiligt sind. Und wenn uns die Nummer irgendwann nicht mehr passt (zum Beispiel nicht in die ODZ), streichen wir sie bis zum Ende der Aufgabe aus der Betrachtung.

Hören Sie im Allgemeinen auf zu philosophieren. Wir platzieren Zeichen und übermalen die mit einem Minuszeichen gekennzeichneten Intervalle:

Antwort. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Und noch einmal wollte ich Sie auf diese Gleichung aufmerksam machen:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Nochmals: Öffnen Sie in solchen Gleichungen niemals die Klammern! Sie werden es sich dadurch nur noch schwerer machen. Denken Sie daran: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Folglich „zerfällt“ diese Gleichung einfach in mehrere kleinere, die wir im vorherigen Problem gelöst haben.

Unter Berücksichtigung der Vielfalt der Wurzeln

Anhand der vorherigen Probleme ist leicht zu erkennen, dass die nichtstrikten Ungleichungen am schwierigsten sind, da man bei ihnen die schattierten Punkte im Auge behalten muss.

Aber es gibt noch ein noch größeres Übel auf der Welt: Ungleichheiten haben ihre vielfältigen Ursachen. Hier müssen Sie einigen schattierten Punkten nicht mehr folgen – hier darf sich das Ungleichheitszeichen beim Durchlaufen dieser Punkte nicht plötzlich ändern.

So etwas haben wir in dieser Lektion noch nicht betrachtet (obwohl bei der Intervallmethode häufig ein ähnliches Problem aufgetreten ist). Deshalb führen wir eine neue Definition ein:

Definition. Die Wurzel der Gleichung $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ist gleich $x=a$ und wird Wurzel der $n$-ten Multiplizität genannt.

Eigentlich interessiert uns der genaue Wert der Multiplizität nicht besonders. Das Einzige, was zählt, ist, ob dieselbe Zahl $n$ gerade oder ungerade ist. Weil:

1. Wenn $x=a$ eine Wurzel einer geraden Multiplizität ist, ändert sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchlaufen nicht;
2. Und umgekehrt, wenn $x=a$ eine Wurzel ungerader Multiplizität ist, dann ändert sich das Vorzeichen der Funktion.

Alle vorherigen Probleme, die in dieser Lektion behandelt werden, sind ein Sonderfall einer Wurzel einer ungeraden Multiplizität: Überall ist die Multiplizität gleich eins.

Und weiter. Bevor wir mit der Lösung von Problemen beginnen, möchte ich Sie auf eine Feinheit aufmerksam machen, die für einen erfahrenen Schüler offensichtlich erscheint, viele Anfänger jedoch in Erstaunen versetzt. Nämlich:

Die Wurzel der Multiplizität $n$ entsteht nur dann, wenn der gesamte Ausdruck mit dieser Potenz erhöht wird: $((\left(x-a \right))^(n))$ und nicht $\left(((x) ^( n))-a \right)$.

Noch einmal: Die Klammer $((\left(x-a \right))^(n))$ gibt uns die Wurzel $x=a$ der Multiplizität $n$, aber die Klammer $\left(((x)^( n)) -a \right)$ oder, wie es oft vorkommt, $(a-((x)^(n)))$ gibt uns eine Wurzel (oder zwei Wurzeln, wenn $n$ gerade ist) der ersten Multiplizität , unabhängig davon, was gleich $n$ ist.

Vergleichen:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Hier ist alles klar: Die gesamte Klammer wurde auf die fünfte Potenz angehoben, sodass die Ausgabe, die wir erhielten, die Wurzel der fünften Potenz war. Und jetzt:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Wir haben zwei Wurzeln, aber beide haben eine erste Multiplizität. Oder hier ist noch eines:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Und lassen Sie sich vom zehnten Grad nicht aus der Ruhe bringen. Die Hauptsache ist, dass 10 eine gerade Zahl ist, also haben wir am Ausgang zwei Wurzeln, und beide haben wiederum das erste Vielfache.

Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig: Multiplizität tritt nur auf, wenn Der Grad bezieht sich auf die gesamte Klammer, nicht nur auf die Variable.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Lösung. Versuchen wir es zu lösen alternativer Weg- durch den Übergang vom Besonderen zum Produkt:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Rechts.\]

Behandeln wir die erste Ungleichung mit der Intervallmethode:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Zusätzlich lösen wir die zweite Ungleichung. Tatsächlich haben wir es bereits gelöst, aber damit die Rezensenten nichts an der Lösung bemängeln, ist es besser, es noch einmal zu lösen:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Bitte beachten Sie: In der letzten Ungleichung gibt es keine Multiplizitäten. Tatsächlich: Welchen Unterschied macht es, wie oft man den Punkt $x=-7$ auf dem Zahlenstrahl streicht? Mindestens einmal, mindestens fünf Mal wird das Ergebnis das gleiche sein: eine punktierte Stelle.

Markieren wir alles, was wir auf dem Zahlenstrahl haben:

Wie gesagt, der Punkt $x=-7$ wird irgendwann durchbrochen. Die Anordnung der Multiplizitäten basiert auf der Lösung der Ungleichung mithilfe der Intervallmethode.

Jetzt müssen nur noch die Schilder angebracht werden:

Da der Punkt $x=0$ eine Wurzel einer geraden Multiplizität ist, ändert sich das Vorzeichen beim Durchgang durch ihn nicht. Die übrigen Punkte haben eine ungerade Vielfachheit, und bei ihnen ist alles einfach.

Antwort. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Achten Sie noch einmal auf $x=0$. Aufgrund der geraden Vielheit entsteht es interessanter Effekt: Alles links davon wird übermalt, alles rechts davon wird ebenfalls übermalt und der Punkt selbst wird komplett übermalt.

Daher muss es beim Aufzeichnen der Antwort nicht isoliert werden. Diese. Es besteht keine Notwendigkeit, so etwas wie $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ zu schreiben (obwohl formal eine solche Antwort auch richtig wäre). Stattdessen schreiben wir sofort $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Solche Effekte sind nur mit Wurzeln gerader Multiplizität möglich. Und im nächsten Problem werden wir auf die umgekehrte „Manifestation“ dieses Effekts stoßen. Bereit?

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Lösung. Diesmal folgen wir dem Standardschema. Wir setzen den Zähler mit Null gleich:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Und der Nenner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Da wir eine nicht strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\ge 0$ lösen, werden die Wurzeln aus dem Nenner (die mit Sternchen versehen sind) herausgezogen und diejenigen aus dem Zähler schattiert.

Wir platzieren Schilder und schattieren die mit einem „Plus“ gekennzeichneten Bereiche:

Punkt $x=3$ ist isoliert. Dies ist ein Teil der Antwort

Bevor wir die endgültige Antwort niederschreiben, schauen wir uns das Bild genau an:

1. Der Punkt $x=1$ hat eine gerade Multiplizität, ist aber selbst punktiert. Folglich muss es in der Antwort isoliert werden: Sie müssen $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ schreiben und nicht $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Der Punkt $x=3$ hat ebenfalls eine gerade Multiplizität und ist schattiert. Die Anordnung der Schilder deutet darauf hin, dass der Punkt selbst zu uns passt, aber ein Schritt nach links oder rechts – und wir befinden uns in einem Bereich, der definitiv nicht zu uns passt. Solche Punkte heißen isoliert und werden in der Form $x\in \left\( 3 \right\)$ geschrieben.

Wir kombinieren alle erhaltenen Teile zu einem gemeinsamen Satz und schreiben die Antwort auf.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definition. Ungleichheit lösen bedeutet Finden Sie die Menge aller seiner Lösungen, oder beweisen Sie, dass diese Menge leer ist.

Es scheint: Was könnte hier unverständlich sein? Ja, Tatsache ist, dass Mengen auf unterschiedliche Weise definiert werden können. Schreiben wir noch einmal die Antwort auf die letzte Aufgabe auf:

Wir lesen buchstäblich, was geschrieben steht. Die Variable „x“ gehört zu einer bestimmten Menge, die durch Kombination (das „U“-Zeichen) von vier separaten Mengen erhalten wird:

• Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, was wörtlich „alle Zahlen kleiner als eins, aber nicht die Einheit selbst“ bedeutet;
• Intervall $\left(1;2 \right)$, d.h. „alle Zahlen im Bereich von 1 bis 2, aber nicht die Zahlen 1 und 2 selbst“;
• Die Menge $\left\( 3 \right\)$, bestehend aus einer einzigen Zahl – drei;
• Das Intervall $\left[ 4;5 \right)$ enthält alle Zahlen im Bereich von 4 bis 5 sowie die Vier selbst, aber nicht die Fünf.

Der dritte Punkt ist hier von Interesse. Im Gegensatz zu Intervallen, die unendliche Mengen von Zahlen definieren und nur die Grenzen dieser Mengen angeben, gibt die Menge $\left\( 3 \right\)$ durch Aufzählung genau eine Zahl an.

Um zu verstehen, dass wir bestimmte im Satz enthaltene Zahlen auflisten (und keine Grenzen oder sonstiges festlegen), werden geschweifte Klammern verwendet. Beispielsweise bedeutet die Notation $\left\( 1;2 \right\)$ genau „eine Menge bestehend aus zwei Zahlen: 1 und 2“, aber kein Segment von 1 bis 2. Verwechseln Sie diese Konzepte auf keinen Fall .

Regel zum Addieren von Vielfachen

Nun, zum Abschluss der heutigen Lektion noch eine kleine Dose von Pavel Berdov :)

Aufmerksame Studierende haben sich wahrscheinlich schon gefragt: Was passiert, wenn Zähler und Nenner die gleichen Wurzeln haben? Die folgende Regel funktioniert also:

Die Multiplizitäten identischer Wurzeln werden addiert. Stets. Auch wenn diese Wurzel sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

Manchmal ist es besser zu entscheiden als zu reden. Deshalb lösen wir das folgende Problem:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Noch nichts Besonderes. Wir setzen den Nenner mit Null gleich:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Es wurden zwei identische Wurzeln entdeckt: $((x)_(1))=-2$ und $x_(4)^(*)=-2$. Beide haben die erste Multiplizität. Deshalb ersetzen wir sie durch eine Wurzel $x_(4)^(*)=-2$, aber mit einer Multiplizität von 1+1=2.

Darüber hinaus gibt es auch identische Wurzeln: $((x)_(2))=-4$ und $x_(2)^(*)=-4$. Sie sind auch von der ersten Multiplizität, sodass nur $x_(2)^(*)=-4$ der Multiplizität 1+1=2 übrig bleiben.

Bitte beachten Sie: In beiden Fällen haben wir genau die „punktierte“ Wurzel belassen und die „bemalte“ Wurzel aus der Betrachtung ausgeschlossen. Denn zu Beginn der Lektion waren wir uns einig: Wenn ein Punkt sowohl durchstochen als auch übermalt ist, dann betrachten wir ihn immer noch als durchstochen.

Als Ergebnis haben wir vier Wurzeln, die alle herausgeschnitten wurden:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Wir markieren sie auf dem Zahlenstrahl unter Berücksichtigung der Multiplizität:

Wir platzieren Schilder und übermalen die für uns interessanten Bereiche:

Alle. Keine isolierten Punkte oder andere Perversionen. Sie können die Antwort aufschreiben.

Antwort. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Regel zum Multiplizieren von Vielfachen

Manchmal kommt es sogar noch häufiger vor unangenehme Situation: Eine Gleichung mit mehreren Wurzeln wird selbst potenziert. In diesem Fall ändern sich die Multiplizitäten aller ursprünglichen Wurzeln.

Dies kommt selten vor, daher haben die meisten Studierenden keine Erfahrung mit der Lösung solcher Probleme. Und hier gilt die Regel:

Wenn eine Gleichung auf die n-fache Potenz erhoben wird, erhöhen sich auch die Multiplizitäten aller ihrer Wurzeln um das n-fache.

Mit anderen Worten führt die Potenzierung dazu, dass die Vielfachen mit derselben Potenz multipliziert werden. Schauen wir uns diese Regel anhand eines Beispiels an:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Lösung. Wir setzen den Zähler mit Null gleich:

Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Mit dem ersten Faktor ist alles klar: $x=0$. Doch dann beginnen die Probleme:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Wie wir sehen, hat die Gleichung $((x)^(2))-6x+9=0$ eine einzelne Wurzel der zweiten Multiplizität: $x=3$. Diese gesamte Gleichung wird dann quadriert. Daher beträgt die Multiplizität der Wurzel $2\cdot 2=4$, was wir schließlich aufgeschrieben haben.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Auch mit dem Nenner gibt es keine Probleme:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Insgesamt haben wir fünf Punkte bekommen: zwei durchstochen und drei bemalt. Es gibt keine übereinstimmenden Wurzeln im Zähler und Nenner, daher markieren wir sie einfach auf dem Zahlenstrahl:

Wir ordnen die Zeichen unter Berücksichtigung der Vielfältigkeit und übermalen die Intervalle, die uns interessieren:

Wieder ein isolierter Punkt und einer mit einer Reifenpanne

Aufgrund der Wurzeln der geraden Multiplizität haben wir wieder ein paar „nicht standardmäßige“ Elemente erhalten. Dies ist $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ und nicht $x\in \left[ 0;2 \right)$ und außerdem ein isolierter Punkt $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Antwort. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Wie Sie sehen, ist alles nicht so kompliziert. Die Hauptsache ist Aufmerksamkeit. Der letzte Abschnitt dieser Lektion ist den Transformationen gewidmet – denselben Transformationen, die wir ganz am Anfang besprochen haben.

Vorkonvertierungen

Die Ungleichungen, die wir in diesem Abschnitt untersuchen, können nicht als komplex bezeichnet werden. Im Gegensatz zu den vorherigen Aufgaben müssen Sie hier jedoch Fähigkeiten aus der Theorie der rationalen Brüche anwenden – Faktorisierung und Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Wir haben dieses Thema gleich zu Beginn der heutigen Lektion ausführlich besprochen. Wenn Sie nicht sicher sind, ob Sie verstehen, wovon ich spreche, empfehle ich dringend, zurückzugehen und es zu wiederholen. Weil es keinen Sinn macht, Methoden zur Lösung von Ungleichungen vollzustopfen, wenn man bei der Umrechnung von Brüchen „schwebt“.

IN HausaufgabenÜbrigens wird es auch viele ähnliche Aufgaben geben. Sie werden in einem separaten Unterabschnitt platziert. Und dort finden Sie sehr nicht triviale Beispiele. Aber das wird eine Hausaufgabe sein, und jetzt schauen wir uns ein paar solcher Ungleichheiten an.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Lösung. Alles nach links verschieben:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Wir reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner, öffnen die Klammern und bringen ähnliche Terme in den Zähler:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ rechts))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Jetzt haben wir eine klassische fraktional-rationale Ungleichung vor uns, deren Lösung nicht mehr schwierig ist. Ich schlage vor, es mit einer alternativen Methode zu lösen – durch die Intervallmethode:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Vergessen Sie nicht die Einschränkung, die sich aus dem Nenner ergibt:

Wir markieren alle Zahlen und Einschränkungen auf dem Zahlenstrahl:

Alle Wurzeln haben erste Multiplizität. Kein Problem. Wir platzieren einfach Schilder und übermalen die Bereiche, die wir benötigen:

Das ist alles. Sie können die Antwort aufschreiben.

Antwort. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Natürlich war das ein sehr einfaches Beispiel. Schauen wir uns das Problem nun genauer an. Übrigens entspricht das Niveau dieser Aufgabe durchaus dem unabhängigen und Tests zu diesem Thema in der 8. Klasse.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Lösung. Alles nach links verschieben:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bevor wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, faktorisieren wir diese Nenner. Was ist, wenn die gleichen Klammern herauskommen? Mit dem ersten Nenner ist es einfach:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Der zweite ist etwas schwieriger. Fühlen Sie sich frei, einen konstanten Faktor in die Klammer einzufügen, in der der Bruch erscheint. Denken Sie daran: Das ursprüngliche Polynom hatte ganzzahlige Koeffizienten, daher besteht eine gute Chance, dass die Faktorisierung ganzzahlige Koeffizienten hat (tatsächlich wird dies immer der Fall sein, es sei denn, die Diskriminante ist irrational).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Wie Sie sehen, gibt es eine gemeinsame Klammer: $\left(x-1 \right)$. Wir kehren zur Ungleichung zurück und bringen beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Wir setzen den Nenner mit Null gleich:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ausrichten)\]

Keine Vielfachen oder übereinstimmenden Wurzeln. Wir markieren vier Zahlen auf der Linie:

Wir platzieren Schilder:

Wir schreiben die Antwort auf.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

So lösen Sie Ungleichungen mit der Intervallmethode (Algorithmus mit Beispielen)

Beispiel . (Aufgabe der OGE) Lösen Sie die Ungleichung mit der Intervallmethode \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Lösung:

Antwort : \((7;7+\sqrt(11))\)

Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung mit der Intervallmethode \(≥0\)
Lösung:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Hier erscheint auf den ersten Blick alles normal und die Ungleichheit reduziert sich zunächst auf der richtige Typ. Dies ist jedoch nicht der Fall – schließlich steht in der ersten und dritten Klammer des Zählers das x mit einem Minuszeichen. Wir transformieren die Klammern unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der vierte Grad gerade ist (d. h. das Minuszeichen wird entfernt) und der dritte Grad ungerade ist (d. h. er wird nicht entfernt). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) So. Jetzt geben wir die bereits transformierten Klammern „an Ort und Stelle“ zurück.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Jetzt sehen alle Klammern so aus, wie sie sollten (der vorzeichenlose Name kommt zuerst und dann die Nummer). Aber vor dem Zähler erschien ein Minus. Wir entfernen es, indem wir die Ungleichung mit \(-1\) multiplizieren und dabei nicht vergessen, das Vergleichszeichen umzukehren
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≤0\)		Bereit. Jetzt sieht die Ungleichheit so aus, wie sie sollte. Sie können die Intervallmethode verwenden.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Platzieren wir Punkte auf der Achse, Zeichen und übermalen wir die notwendigen Intervalle.
		Im Intervall von \(4\) bis \(6\) muss das Vorzeichen nicht geändert werden, da die Klammer \((x-6)\) gerade hoch ist (siehe Punkt 4 des Algorithmus) . Die Flagge soll daran erinnern, dass sechs auch eine Lösung für Ungleichheit ist. Schreiben wir die Antwort auf.

Antwort : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\left\(6\right\)\)

Beispiel.(Aufgabe der OGE) Lösen Sie die Ungleichung mit der Intervallmethode \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Lösung:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Es gibt links und rechts identische – das ist eindeutig kein Zufall. Der erste Wunsch besteht darin, durch \(-x^2-64\) zu dividieren, aber das ist ein Fehler, weil Es besteht die Möglichkeit, dass die Wurzel verloren geht. Verschieben Sie stattdessen \(64(-x^2-64)\) nach links
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Entfernen wir das Minus in der ersten Klammer und faktorisieren wir die zweite
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Beachten Sie, dass \(x^2\) entweder gleich Null oder größer als Null ist. Das bedeutet, dass \(x^2+64\) für jeden Wert von x eindeutig positiv ist, das heißt, dieser Ausdruck beeinflusst das Vorzeichen der linken Seite in keiner Weise. Daher können wir beide Seiten der Ungleichung sicher durch diesen Ausdruck teilen. Teilen wir die Ungleichung auch durch \(-1\), um das Minus loszuwerden.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Jetzt können Sie die Intervallmethode verwenden
\(x=8;\) \(x=-8\)		Schreiben wir die Antwort auf

Antwort : \((-∞;-8]∪}