Was ist ein Zahlensystem in der Informatik? Das Konzept eines Zahlensystems

1.3.1.KONZEPT EINES NUMERISCHEN SYSTEMS.

Alle fantastischen Möglichkeiten der Computertechnologie (CT) werden durch die Erzeugung verschiedener Kombinationen von Signalen mit hohem und niedrigem Pegel realisiert, die gemeinhin als „Einsen“ und „Nullen“ bezeichnet werden.

Notation (CC) ist ein System zur Aufzeichnung von Zahlen, das einen bestimmten Satz von Ziffern verwendet positionell, wenn dieselbe Ziffer eine andere Bedeutung hat, die durch ihre Position in der Zahl bestimmt wird. Die dezimale SS ist positionell: 999. Die römische SS ist nicht positionell. Der Wert der Ziffer X in der Zahl XXI bleibt unverändert, wenn ihre Position in der Zahl variiert die Basis der SS.

Erweiterte Form Zahlen sind ein Datensatz, der die Summe der Produkte aus den Ziffern einer Zahl und dem Wert der Positionen darstellt.

Zum Beispiel: 8527=8*10 3 +5*10 2 +2*10 1 +7*10 0

Die erweiterte Schreibweise von Zahlen eines beliebigen Zahlensystems hat die Form

X - Zahl;
a ist die Basis des Zahlensystems;
ich - Index;
m - Anzahl der Ziffern des Bruchteils;
n – die Anzahl der Ziffern des ganzzahligen Teils.

Zum Beispiel: 327,46 n=3, m=2, q=10

Wenn die Basis des verwendeten SS größer als zehn ist, geben Sie die Zahlen ein Symbol mit einer Klammer oben oder einer Buchstabenbezeichnung.

Zum Beispiel: Wenn 10=A und 11=B, dann kann die Zahl 7A.5B 12 wie folgt geschrieben werden:

7A.5B 12 = B 12 -2 + 5 2 -1 +A 12 0 + 7 12 1.

IN hexadezimal SS-Basis sind die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 mit den entsprechenden Bezeichnungen 0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Beispielnummern: 17D.ECH, F12AH.

BinärSS- ist ein System, in dem zwei Ziffern 0 und 1 zum Schreiben von Zahlen verwendet werden. Die Basis des binären Zahlensystems ist die Zahl 2.

Binärcode Zahlen - Aufzeichnung dieser Zahl im binären Zahlensystem. Zum Beispiel,

0=0 2
1=1 2
2=10 2
3=11 2 …
7=111 2
120=1111000 2 .

In der VT werden Positions-SSs mit nichtdezimaler Basis verwendet: binär, oktal, hexadezimal. Um die verwendete SS anzuzeigen, wird die Nummer mit einem hoch- oder tiefgestellten Index versehen, in dem die Basis-SS geschrieben wird. Eine andere Möglichkeit besteht darin, nach dem Schreiben der Zahl lateinische Buchstaben zu verwenden:

D – Dezimal-SS
B – binäre SS
O – oktale SS
H – hexadezimale SS.

Trotz der Tatsache, dass 10-stellige SS weit verbreitet sind, basieren digitale Computer auf binären Elementen, weil Es ist schwierig, Elemente mit 10 klar unterscheidbaren Zuständen zu implementieren. Historische Entwicklung VT hat sich so entwickelt, dass Computer auf der Basis binärer digitaler Geräte aufgebaut sind: Flip-Flops, Register, Zähler, Logikelemente usw.

Hexadezimale und oktale SS werden beim Verfassen von Programmen in Maschinencodesprache verwendet, um Binärcodes – Befehle, Daten, Adressen und Operanden – kürzer und bequemer aufzuzeichnen.

Die Aufgabe, von einem System auf ein anderes zu übertragen, begegnet häufig in der Programmierung, insbesondere in der Assemblersprache. Beispielsweise bei der Ermittlung der Adresse einer Speicherzelle. Bestimmte Standardprozeduren der Programmiersprachen Pascal, BASIC, C, HTML erfordern das Setzen von Parametern in hexadezimaler SS. Zum direkten Bearbeiten der aufgezeichneten Daten Festplatte, benötigen Sie außerdem die Fähigkeit, mit Hexadezimalzahlen zu arbeiten. Es ist unmöglich, einen Fehler in einem Computer zu finden, ohne das Binärsystem zu verstehen.

Die Tabelle zeigt einige der in verschiedenen CCs dargestellten Zahlen.

Binär Zahlen	Oktal Zahlen	Dezimal Zahlen	Hexadezimal Zahlen

1.3.2. ÜBERSETZUNG VON ZAHLEN VON WILLKÜRLICHER ZAHLEN IN DEZIMAL UND ZURÜCK.

Konvertieren von Zahlen aus einem willkürlichen System in ein Dezimalsystem. Um eine Zahl von einer beliebigen Positions-SS in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie die erweiterte Form der Zahl verwenden und gegebenenfalls ersetzen Buchstabenbezeichnungen die entsprechenden Zahlen. Zum Beispiel:

1101 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =13 10

17D.ECH=12·16 -2 + 14·16 -1 +13·16 0 + 7·16 1 + 1·16 2 =381,921875

Konvertieren von Zahlen von dezimalen SS in gegebene Zahlen.

1) Zur Umrechnung ganze Zahlen Teilen Sie das Dezimalzahlensystem in eine Zahl eines beliebigen Zahlensystems nacheinander gleichmäßig durch die Basis SS, bis Sie Null erhalten. Zahlen, die als Rest der Division durch die Basis SS entstehen, stellen eine sequentielle Aufzeichnung der Ziffern einer Zahl im ausgewählten SS dar, von der niedrigstwertigen zur höchstwertigen. Um die Zahl selbst zu schreiben, werden daher die Divisionsreste in umgekehrter Reihenfolge geschrieben.

Zum Beispiel:

Wenn wir die Divisionsreste von unten nach oben lesen, erhalten wir 111011011.

Untersuchung:

1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = 1+2+8+16+64+128+256=475 10 .

2) Zur Konvertierung Dezimalstellen Dezimal-SS auf die Zahl eines beliebigen SS, die Multiplikation wird sequentiell mit der Basis des Zahlensystems durchgeführt, bis der Bruchteil des Produkts gleich Null wird. Die resultierenden ganzzahligen Teile sind die Ziffern der Zahl im neuen System und müssen durch die Ziffern dieser Zahl dargestellt werden neues System Abrechnung. Ganze Teile werden anschließend verworfen.

Zum Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 0,375 10 in die binäre SS um.

Das erhaltene Ergebnis beträgt 0,011 2.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Zahl im neuen Zahlensystem genau ausgedrückt werden kann, sodass manchmal nur die erforderliche Anzahl von Nachkommastellen berechnet und die letzte Ziffer gerundet wird.

1.3.3. ÜBERSETZUNG ZWISCHEN DEN GRUNDLAGEN DES GRADES 2.

Um von oktal Zahlensystem Zahl umwandeln in binär Code muss jede Ziffer dieser Zahl als Triade binärer Zeichen dargestellt werden. Überschüssige Nullen in den höchstwertigen Ziffern werden verworfen.

Zum Beispiel:

1234.777 8 = 001 010 011 100.111 111 111 2 = 1 010 011 100.111 111 111 2

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 1 010 011 100 101 110 111 2

Umgekehrte Übersetzung: Jeder Dreiklang binärer Ziffern wird durch eine oktale Ziffer ersetzt, und bei Bedarf wird die Zahl durch Hinzufügen von Nullen vor dem ganzzahligen Teil oder nach dem Bruchteil ausgerichtet.

Zum Beispiel:

1100111 2 = 001 100 111 2 = 147 8

11.1001 2 = 011.100 100 2 = 3.44 8

110.0111 2 = 110.011 100 2 = 6.34 8

Beim Übertragen zwischen binär Und hexadezimal SS verwendet vier Ziffern. Bei Bedarf erfolgt die Ausrichtung auf eine binäre Zahlenlänge, die ein Vielfaches von vier ist.

Zum Beispiel:

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2

0,1234AA 16 = 0,0001 0010 0011 0100 1010 1010 2

1100111 2 = 0110 0111 2 = 67 16

11.1001 2 = 0011.1001 2 = 3.9 16

110.0111001 2 = 0110.0111 0010 2 = 65.72 16

Beim Umzug von oktal einrechnen hexadezimal Zum Zählen und zurück wird der Hilfs-Binärzahlencode verwendet.

Zum Beispiel:

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 0101 0011 1001 0111 0111 2 = 53977 16

0.12034 8 = 0.001 010 000 011 100 2 = 0.0010 1000 0011 1000 2 = 0.2838 16

120.34 8 = 001 010 000. 011 100 2 = 0101 0000.0111 0000 2 = 50.7 16

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =

001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100 2 = 11064.526734 8

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2 = 110 011 100 100 010 101 100 111 2 = 63442547 8

0,1234AA 16 =0,0001 0010 0011 0100 1010 1010 2 =0,000 100 100 011 010 010 101 010 2 =0,04432252 8

Zahlen mit geschriebenen Symbolen darstellen.

Notation:

gibt Darstellungen einer Reihe von Zahlen (Ganzzahlen und/oder reelle Zahlen) an;
gibt jeder Zahl eine eindeutige Darstellung (oder, durch mindestens, Standarddarstellung);
spiegelt die algebraische und arithmetische Struktur von Zahlen wider.

Zahlensysteme sind unterteilt in positionell, nicht positionell Und gemischt.

Positionszahlensysteme

In Positionszahlensystemen hat die Notation einer Zahl das gleiche numerische Vorzeichen (Ziffer). unterschiedliche Bedeutungen abhängig vom Ort (Kategorie), an dem es sich befindet. Die Erfindung der Positionsnummerierung, basierend auf der Ortsbedeutung von Ziffern, wird den Sumerern und Babyloniern zugeschrieben; Eine solche Nummerierung wurde von den Hindus entwickelt und hatte unschätzbare Konsequenzen für die Geschichte der menschlichen Zivilisation. Zu diesen Systemen gehört das moderne Dezimalzahlensystem, dessen Entstehung mit dem Zählen an den Fingern verbunden ist. Es erschien im mittelalterlichen Europa durch italienische Kaufleute, die es wiederum von Muslimen entlehnten.

Das Positionszahlensystem bezieht sich normalerweise auf das -reiche Zahlensystem, das durch eine ganze Zahl namens bestimmt wird Basis Zahlensysteme. Eine ganze Zahl ohne Vorzeichen im -ären Zahlensystem wird als endliche lineare Kombination von Potenzen einer Zahl dargestellt:

, wobei ganze Zahlen aufgerufen werden in Zahlen, wodurch die Ungleichung erfüllt wird.

Jeder Grad in einer solchen Notation wird als Ranggewicht bezeichnet. Der Rang der Ziffern und ihrer entsprechenden Ziffern wird durch den Wert des Indikators (Ziffernnummer) bestimmt. Normalerweise werden bei Zahlen ungleich Null die linken Nullen weggelassen.

Wenn es keine Abweichungen gibt (z. B. wenn alle Zahlen in Form eindeutiger geschriebener Zeichen dargestellt werden), wird die Zahl als Folge ihrer alphanumerischen Ziffern geschrieben, die in absteigender Reihenfolge der Ziffernpriorität von links nach rechts aufgeführt sind:

Zum Beispiel Zahl einhundertunddrei im Dezimalzahlensystem dargestellt als:

Die derzeit am häufigsten verwendeten Positionssysteme sind:

In Positionssystemen gilt: Je größer die Basis des Systems, desto weniger Ziffern (d. h. geschriebene Ziffern) sind zum Schreiben einer Zahl erforderlich.

Gemischte Zahlensysteme

Gemischtes Zahlensystem ist eine Verallgemeinerung des -reichen Zahlensystems und bezieht sich häufig auch auf Positionszahlensysteme. Die Grundlage des gemischten Zahlensystems ist eine aufsteigende Zahlenfolge, und jede Zahl darin wird als Linearkombination dargestellt:

, wobei die Koeffizienten wie zuvor aufgerufen werden in Zahlen Es gelten einige Einschränkungen.

Beim Schreiben einer Zahl in einem gemischten Zahlensystem werden ihre Ziffern in absteigender Indexreihenfolge aufgelistet, beginnend mit der ersten Zahl ungleich Null.

Abhängig von der Art und Weise können gemischte Zahlensysteme Potenz-, Exponential- usw. sein. Für manche stimmt das gemischte Zahlensystem mit dem exponentiellen Zahlensystem überein.

Das bekannteste Beispiel eines gemischten Zahlensystems ist die Darstellung der Zeit als Anzahl von Tagen, Stunden, Minuten und Sekunden. In diesem Fall entspricht der Wert „Tage, Stunden, Minuten, Sekunden“ dem Wert von Sekunden.

Faktorielles Zahlensystem

IN faktorielles Zahlensystem Die Basen sind eine Folge von Fakultäten, und jede natürliche Zahl wird dargestellt als:

, Wo .

Das Fakultätszahlensystem wird verwendet, wenn Dekodierung von Permutationen anhand von Inversionslisten: Wenn Sie die Nummer der Permutation haben, können Sie sie wie folgt reproduzieren: Eine Zahl, die um eins kleiner ist als die Zahl (Nummerierung beginnt bei Null), wird in das faktorielle Zahlensystem geschrieben, und der Koeffizient der Zahl i! bezeichnet die Anzahl der Inversionen für das Element i+1 in der Menge, in der die Permutationen vorgenommen werden (die Anzahl der Elemente, die kleiner als i+1 sind, sich aber in der gewünschten Permutation rechts davon befinden).

Beispiel: Betrachten Sie eine Reihe von Permutationen aus 5 Elementen, es gibt insgesamt 5! = 120 (von Permutation Nummer 0 - (1,2,3,4,5) bis Permutation Nummer 119 - (5,4,3,2,1)), finden wir die 101. Permutation: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; Sei ti der Koeffizient für die Zahl i!, dann ist t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, dann: Die Anzahl der Elemente, die kleiner als 5 sind, sich aber rechts befinden, beträgt 4; die Anzahl der Elemente kleiner als 4, die sich aber rechts befinden, ist 0; die Anzahl der Elemente, die kleiner als 3 sind, sich aber rechts befinden, beträgt 2; die Anzahl der Elemente kleiner als 2, die sich aber rechts befinden, ist 0 (das letzte Element in der Permutation wird an der einzigen verbleibenden Stelle „eingefügt“) – daher sieht die 101. Permutation wie folgt aus: (5,3,1,2 ,4) Überprüfen diese Methode kann durch direktes Zählen der Inversionen für jedes Element der Permutation erfolgen.

Fibonacci-Zahlensystem basierend auf Fibonacci-Zahlen. Jede natürliche Zahl wird in der Form dargestellt:

, wobei die Fibonacci-Zahlen stehen und die Koeffizienten endlich viele Einsen haben und es keine zwei Einsen hintereinander gibt.

Nichtpositionelle Zahlensysteme

In nicht-positionalen Zahlensystemen hängt der Wert, den eine Ziffer bezeichnet, nicht von ihrer Position in der Zahl ab. In diesem Fall kann das System beispielsweise Beschränkungen hinsichtlich der Position der Zahlen vorsehen, sodass diese in absteigender Reihenfolge angeordnet werden.

Binomiales Zahlensystem

Darstellung mit Binomialkoeffizienten

, Wo .

Restklassensystem (RSS)

Die Darstellung der Zahl im Residuenklassensystem basiert auf dem Residuenkonzept und dem chinesischen Restsatz. RNS wird durch eine Menge relativer Primzahlen bestimmt Module mit dem Produkt so, dass jeder ganzen Zahl aus dem Segment eine Menge von Resten zugeordnet ist, wobei

…

Gleichzeitig garantiert der chinesische Restsatz die Eindeutigkeit der Darstellung für Zahlen aus dem Intervall.

In RNS werden arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) komponentenweise ausgeführt, wenn bekannt ist, dass das Ergebnis eine ganze Zahl ist und auch in liegt.

Die Nachteile von RNS sind die Möglichkeit, nur eine begrenzte Anzahl von Zahlen darzustellen, sowie das Fehlen effektiver Algorithmen zum Vergleich der in RNS dargestellten Zahlen. Der Vergleich erfolgt normalerweise durch Übersetzung von Argumenten von RNS nach gemischtes System Basisberechnungen.

Stern-Brocot-Zahlensystem- eine Möglichkeit, Positives festzuhalten Rationale Zahlen, basierend auf dem Stern-Brocot-Baum.

Zahlensysteme verschiedener Nationen

Einheitennummernsystem

Anscheinend chronologisch gesehen das erste Zahlensystem jeder Nation, die das Zählen beherrschte. Natürliche Zahl dargestellt durch die Wiederholung des gleichen Zeichens (Strich oder Punkt). Um beispielsweise die Zahl 26 darzustellen, müssen Sie 26 Linien zeichnen (oder 26 Kerben in einen Knochen, Stein usw. machen). Anschließend der besseren Wahrnehmung halber große Zahlen Diese Zeichen sind in Dreier- oder Fünfergruppen gruppiert. Dann beginnen gleich große Zeichengruppen durch neue Zeichen ersetzt zu werden – so entstehen Prototypen zukünftiger Zahlen.

Altägyptisches Zahlensystem

Babylonisches Zahlensystem

Alphabetische Zahlensysteme

Alphabetische Zahlensysteme wurden von den alten Armeniern, Georgiern, Griechen (ionisches Zahlensystem), Arabern (Abjadia), Juden (siehe Gematria) und anderen Völkern des Nahen Ostens verwendet. In slawischen liturgischen Büchern wurde das griechische Alphabetsystem in kyrillische Buchstaben übersetzt.

Jüdisches Zahlensystem

Griechisches Zahlensystem

Römisches Zahlensystem

Das kanonische Beispiel für ein nahezu nicht-positionelles Zahlensystem ist das römische, das lateinische Buchstaben als Zahlen verwendet:
I steht für 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Zum Beispiel II = 1 + 1 = 2
hier steht das Symbol I für 1, unabhängig von seiner Stelle in der Zahl.

Tatsächlich ist das römische System nicht völlig nichtpositional, da die kleinere Ziffer, die vor der größeren steht, von dieser subtrahiert wird, zum Beispiel:

IV = 4, während:
VI = 6

Maya-Zahlensystem

siehe auch

Anmerkungen

Links

Gashkov S. B. Zahlensysteme und ihre Anwendungen. - M.: MTsNMO, 2004. - (Bibliothek „Mathematische Bildung“).
Fomin S.V. Zahlensysteme. - M.: Nauka, 1987. - 48 S. - (Beliebte Vorlesungen über Mathematik).
Jaglom I. Zahlensysteme // Quantum. - 1970. - Nr. 6. - S. 2-10.
Zahlen und Zahlensysteme. Online-Enzyklopädie rund um die Welt.
Stakhov A. Die Rolle von Zahlensystemen in der Geschichte der Computer.
Mikushin A.V. Zahlensysteme. Vorlesung " Digitale Geräte und Mikroprozessoren"
Butler J. T., Sasao T. Redundante mehrwertige Zahlensysteme Der Artikel behandelt Zahlensysteme, die Ziffern größer als eins verwenden und Redundanz bei der Darstellung von Zahlen ermöglichen

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Das Zahlensystem ist ein sehr komplexes Konzept.

Zahlensystem - Dabei handelt es sich um eine Darstellungsweise von Zahlen und die entsprechenden Regeln für die Bedienung von Zahlen. Zahlensystem - ist ein Zeichensystem, nach dem Zahlen geschrieben werden bestimmte Regeln Verwendung von Zeichen aus einem Alphabet namens Zahlen.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen darzustellen. In jedem Fall wird eine Zahl durch ein Symbol oder eine Gruppe von Symbolen (ein Wort) eines Alphabets dargestellt. Wir werden solche Symbole Zahlen nennen. Wird zur Darstellung von Zahlen verwendet nicht positionell Und positionell Zahlensysteme.

IN nicht positionell Systeme hat jede Ziffer ihr eigenes Gewicht und ihre Bedeutung hängt nicht von ihrer Position in der Zahl ab – von der Position. Ein Beispiel ist das römische System. Nehmen wir an, die Zahl 76 in diesem System sieht so aus:

LXXVI, wobei L=50, X=10, V=5, I=1.

Wie Sie sehen, handelt es sich bei den Zahlen hier um lateinische Zeichen.

IN positionell Systeme hängen die Bedeutungen von Zahlen von ihrer Position (Position) in der Zahl ab.

Beispielsweise ist eine Person daran gewöhnt, das Dezimalstellensystem zu verwenden – Zahlen werden mit 10 Ziffern geschrieben. Die Ziffer ganz rechts steht für Einheiten, die Ziffer ganz links für Zehner, noch weiter links für Hunderter usw.

In jedem Positionssystem kann eine Zahl als Polynom dargestellt werden.

Lassen Sie uns zeigen, wie man eine Dezimalzahl als Polynom darstellt.

Das Zahlensystem ist ein sehr komplexes Konzept. Es umfasst alle Gesetze, nach denen Zahlen geschrieben und gelesen werden, sowie diejenigen, nach denen Operationen an ihnen ausgeführt werden.

Das Wichtigste, was Sie über das Zahlensystem wissen müssen, ist seine Art: Zusatzstoff oder multiplikativ. Beim ersten Typ hat jede Ziffer ihre eigene Bedeutung, und um die Zahl zu lesen, müssen Sie alle Werte der verwendeten Ziffern addieren:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Beim zweiten Typ kann jede Ziffer haben unterschiedliche Bedeutungen abhängig von seiner Position in der Nummer:

(Hieroglyphen in der Reihenfolge: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Hier wird die Hieroglyphe „2“ zweimal verwendet und hat jeweils unterschiedliche Bedeutungen „2000“ und „20“.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Für ein additives („zusätzliches“) System müssen Sie alle Zahlen und Symbole mit ihrer Bedeutung (es gibt bis zu 4-5 Dutzend davon) und die Reihenfolge der Aufzeichnung kennen. Wenn beispielsweise in der lateinischen Notation eine kleinere Ziffer vor einer größeren geschrieben wird, wird eine Subtraktion durchgeführt, und wenn danach, dann eine Addition (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Für ein multiplikatives System müssen Sie das Bild der Zahlen und ihre Bedeutung kennen Wurzel.

Systembasis Unter Notation versteht man die Anzahl der Ziffern und Symbole, die zur Darstellung einer Zahl verwendet werden. Zum Beispiel p=10.

Die Bestimmung der Basis ist sehr einfach, Sie müssen lediglich die Menge neu berechnen bedeutende Zahlen im System. Vereinfacht ausgedrückt ist dies die Zahl, mit der die zweite Ziffer der Zahl beginnt. Wir verwenden zum Beispiel die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Es gibt genau 10 davon, also ist die Basis unseres Zahlensystems auch 10, und das Zahlensystem ist es angerufen " Dezimal" Im obigen Beispiel werden die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 verwendet (Hilfszahlen 10, 100, 1000, 10000 usw. zählen nicht). Auch hier gibt es 10 Hauptzahlen und das Zahlensystem ist dezimal.

Systembasis ist eine Ziffernfolge, die zum Schreiben einer Zahl verwendet wird. Es gibt in keinem System Zahlen, gleich der Basis Systeme.

Wie Sie sich vorstellen können, kann es genauso viele Zahlensystembasen geben, wie es viele Zahlen gibt. Es werden jedoch nur die bequemsten Grundlagen von Zahlensystemen verwendet. Warum ist Ihrer Meinung nach die Basis die am häufigsten verwendete? menschliches System Nummer 10? Ja, gerade weil wir 10 Finger an unseren Händen haben. „Aber eine Hand hat nur fünf Finger“, werden manche sagen und damit Recht haben. Die Geschichte der Menschheit kennt Beispiele für fünfzählige Zahlensysteme. „Und bei den Beinen sind es zwanzig Zehen“, werden andere sagen, und sie werden auch völlig recht haben. Genau das glaubten die Mayas. Das lässt sich sogar an ihrer Zahl ablesen.

Zahlensysteme. Das Konzept der Zahlensysteme. Typen und Gruppen von Zahlensystemen

Das Zahlensystem (SS) ist eine Regel zum Aufzeichnen einer Zahl unter Verwendung eines bestimmten Satzes von Sonderzeichen – Zahlen. Es gibt mehrere Gruppen von Aufnahmezahlen: Unär. Dies ist ein SS, bei dem ein Zeichen zum Schreiben von Zahlen verwendet wird – (Stab). Die nächste Zahl wird aus der vorherigen durch Hinzufügen einer neuen Zahl erhalten – eine, deren Zahl gleich der Zahl selbst ist. Um eine Zahl im Unärsystem zu schreiben, verwenden Sie die Notation Z1. Nicht positionelle SS (am häufigsten ist die römische). Darin werden einige Grundzahlen in Großbuchstaben dargestellt mit lateinischen Buchstaben: 1-I 5-V, 10-X, 50-L, 100-C, 500-D, 1000-M, Wenn die Ziffer des kleineren Werts rechts von der größeren Ziffer steht, dann sind ihre Werte werden summiert, wenn links der kleinere Wert vom größeren subtrahiert wird. Die Zahlen I, X, C, M dürfen höchstens dreimal hintereinander vorkommen. Die Zahlen V, L, D dürfen beim Schreiben einer Zahl höchstens einmal verwendet werden. Positions-SS – SS, bei dem der Wert jeder Ziffer im Bild einer Zahl durch ihre Position (Position) in einer Reihe anderer Ziffern bestimmt wird. Was die unäre und römische SS gemeinsam haben, ist, dass der Wert einer Zahl durch die Operationen der Addition und Subtraktion der Basisziffern, aus denen die Zahl besteht, unabhängig von ihrer Position in der Zahl bestimmt wird. Solche Systeme werden additiv genannt. Im Gegensatz dazu gelten Positions-SS als additiv-multiplikativ, weil Der Wert einer Zahl wird durch die Operationen Multiplikation und Addition bestimmt.

Konvertieren ganzer und gebrochener Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Da dieselbe Zahl in verschiedenen SS geschrieben werden kann, ist es möglich, eine Zahl von einem System in ein anderes umzuwandeln. Weil Da das gebräuchlichste SS das Dezimalsystem ist, müssen Algorithmen zur Konvertierung von einem Dezimalsystem in ein anderes und zurück berücksichtigt werden. Algorithmus zur Konvertierung von einer dezimalen SS in eine andere. 1). Teilen Sie die ursprüngliche Ganzzahl Z(10) durch die Basis des neuen Systems (p) und ermitteln Sie den Rest der Trennung – dies ist die Ziffer ab der 0. Ziffer der Zahl Z. 2). Teilen Sie den Quotienten der Division erneut durch P und isolieren Sie den Rest. Fahren Sie mit dem Verfahren fort, bis der Quotient kleiner als P ist. 3). Die resultierenden Divisionsreste, in umgekehrter Reihenfolge ihres Empfangs angeordnet, stellen Z(p) dar. Algorithmus zur Konvertierung von Z(p) in Z(10). Für diese Transformation wird Formel (1) verwendet: Z P =a k-1 *p k-1 +a k-2 *p k-2 + … +a 1 *p 1 +a 0 *p 0 ; (1) Wo p die Basis von SS ist, ist k Gesamtzahl Ziffern von Zahlen. Zum Beispiel: 443 (5)=4*5 2 + 4*5 1 + 3*5 0 = 100+20+3 = 123. Algorithmus zum Umwandeln einer Bruchzahl vom Dezimal-SS in ein anderes System. Multiplizieren Sie den ursprünglichen Bruch im 10er-System mit der Basis P, wählen Sie den ganzen Teil aus – es wird die erste Ziffer des neuen Bruchs sein, verwerfen Sie den ganzen Teil. Wiederholen Sie für den verbleibenden Bruchteil den Multiplikationsvorgang und trennen Sie dabei die Ganzzahl- und Bruchteile, bis der Bruchteil 0 enthält oder die gewünschte Genauigkeit der endgültigen Zahl erreicht ist. Schreiben Sie den Bruch als Zahlenfolge nach dem durch Trennzeichen getrennten Feld in der Reihenfolge, in der sie erscheinen. Beispiel: 0,375 (10) bei 0, Y(2). 0,375*2 = |0.|750 0,75*2 = |1.|50 0,5*2 = |1.|0 0,375 10 = 0,011 2 4. Der Algorithmus zur Konvertierung von 0.Y(P) in 0.Y(10 ) wird reduziert, um den Wert der Formel (1) zu berechnen. Beispiel: 0,011 2 = 0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3 = 0,25+0,125 = 0,375 10.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen darzustellen. In jedem Fall wird eine Zahl durch ein Symbol oder eine Gruppe von Symbolen (ein Wort) eines Alphabets dargestellt. Solche Symbole werden Zahlen genannt.

Zahlensysteme

Zur Darstellung von Zahlen werden nichtpositionelle und positionelle Zahlensysteme verwendet.

Nichtpositionelle Zahlensysteme

Sobald die Menschen mit dem Zählen begannen, mussten sie Zahlen aufschreiben. Funde von Archäologen an Stätten von Naturvölkern weisen darauf hin, dass die Anzahl der Objekte zunächst durch eine gleiche Anzahl von Symbolen (Tags) angezeigt wurde: Kerben, Striche, Punkte. Um das Zählen zu erleichtern, wurden diese Symbole später in Dreier- oder Fünfergruppen gruppiert. Dieses System zum Schreiben von Zahlen heißt Einheit (unär), da jede Zahl darin durch die Wiederholung eines Zeichens gebildet wird, das eins symbolisiert. Noch heute finden sich Anklänge an das Einheitenzahlensystem. Um also herauszufinden, welchen Kurs ein Kadett einer Militärschule studiert, müssen Sie zählen, wie viele Streifen auf seinem Ärmel aufgenäht sind. Ohne es zu merken, verwenden Kinder das Einheitszahlensystem, zeigen ihr Alter an ihren Fingern an, und Zählstäbe werden verwendet, um Erstklässlern das Zählen beizubringen. Lassen Sie uns überlegen verschiedene Systeme Abrechnung.

Ein einzelnes System ist nicht das Beste bequeme Weise Zahlen aufzeichnen. Das Aufzeichnen großer Mengen auf diese Weise ist mühsam und die Aufzeichnungen selbst sind sehr lang. Im Laufe der Zeit entstanden andere, bequemere Zahlensysteme.

Altägyptisches dezimales nicht-positionelles Zahlensystem. Etwa im dritten Jahrtausend v. Chr. entwickelten die alten Ägypter ihr eigenes Zahlensystem, dessen Schlüsselzahlen 1, 10, 100 usw. waren. Es wurden spezielle Symbole verwendet - Hieroglyphen. Alle anderen Zahlen wurden aus diesen Schlüsselzahlen durch Addition zusammengesetzt. Notation Antikes Ägypten ist dezimal, aber nicht positionell. In nicht-positionalen Zahlensystemen hängt das quantitative Äquivalent jeder Ziffer nicht von ihrer Position (Ort, Position) im Zahlendatensatz ab. Um beispielsweise 3252 darzustellen, wurden drei Lotusblüten (dreitausend), zwei gerollte Palmblätter (zwei Hunderter), fünf Bögen (fünf Zehner) und zwei Stangen (zwei Einheiten) gezeichnet. Die Größe der Zahl hing nicht von der Reihenfolge ab, in der sich die einzelnen Zeichen befanden: Sie konnten von oben nach unten, von rechts nach links oder dazwischen geschrieben werden.

Römisches Zahlensystem. Ein Beispiel für ein bis heute erhaltenes nichtpositionelles System ist das Zahlensystem, das vor mehr als zweieinhalbtausend Jahren verwendet wurde Antikes Rom. Das römische Zahlensystem basierte auf den Zeichen I (ein Finger) für die Zahl 1, V (offene Handfläche) für die Zahl 5, X (zwei gefaltete Handflächen) für 10, und es wurden die Anfangsbuchstaben der entsprechenden Zahlen verwendet um die Zahlen 100, 500 und 1000 zu bezeichnen Lateinische Wörter(Centum – einhundert, Demillille – ein halbes Tausend, Mille – eintausend). Um eine Zahl aufzuschreiben, zerlegten die Römer sie in die Summe Tausender, Halbtausend, Hunderter, Fünfzig, Zehner, Zehner, Einheiten. Die Dezimalzahl 28 wird beispielsweise wie folgt dargestellt:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (zwei Zehner, Fünfer, drei Einer).

Um Zwischenzahlen aufzuzeichnen, verwendeten die Römer nicht nur die Addition, sondern auch die Subtraktion. In diesem Fall wurde es verwendet nächste Regel: Jedes kleinere Zeichen, das rechts von einem größeren platziert wird, wird zu seinem Wert addiert, und jedes kleinere Zeichen, das links von einem größeren platziert wird, wird von diesem subtrahiert. Beispielsweise steht IX für 9, XI für 11.

Die Dezimalzahl 99 hat die folgende Darstellung:

XCIХ = –10+100–1+10.

Römische Ziffern werden schon sehr lange verwendet. Schon vor 200 Jahren mussten in Geschäftspapieren Zahlen mit römischen Ziffern bezeichnet werden (man glaubte, dass gewöhnliche arabische Ziffern leicht zu fälschen seien). Das römische Zahlensystem wird heute hauptsächlich zur Namensgebung verwendet bedeutende Daten, Bände, Abschnitte und Kapitel in Büchern.

Alphabetische Zahlensysteme. Alphabetische Systeme waren fortgeschrittenere nichtpositionale Zahlensysteme. Zu diesen Zahlensystemen gehörten griechische, slawische, phönizische und andere. Darin wurden Zahlen von 1 bis 9, ganze Zehnerzahlen (von 10 bis 90) und ganze Hunderterzahlen (von 100 bis 900) durch Buchstaben des Alphabets bezeichnet. Im alphabetischen Zahlensystem Antikes Griechenland die Zahlen 1, 2, ..., 9 wurden durch die ersten neun Buchstaben des griechischen Alphabets usw. bezeichnet. Die folgenden 9 Buchstaben wurden verwendet, um die Zahlen 10, 20, ..., 90 zu bezeichnen, und die letzten 9 Buchstaben wurden verwendet, um die Zahlen 100, 200, ..., 900 zu bezeichnen.

U Slawische Völker Die Zahlenwerte der Buchstaben wurden in der Reihenfolge des slawischen Alphabets festgelegt, das zunächst das glagolitische Alphabet und dann das kyrillische Alphabet verwendete.

In Russland blieb die slawische Nummerierung bis zum Ende des 17. Jahrhunderts erhalten. Unter Peter I. setzte sich die sogenannte arabische Nummerierung durch, die wir noch heute verwenden. Die slawische Nummerierung blieb nur in liturgischen Büchern erhalten.

Nichtpositionelle Zahlensysteme haben eine Reihe erheblicher Nachteile:

Es besteht ein ständiger Bedarf, neue Symbole zur Aufzeichnung großer Zahlen einzuführen.

Es ist unmöglich, gebrochene und negative Zahlen darzustellen.

Es ist schwierig, arithmetische Operationen durchzuführen, da es keine Algorithmen für deren Ausführung gibt.

Positionszahlensysteme

In Positionszahlensystemen hängt das quantitative Äquivalent jeder Ziffer von ihrer Position (Position) im Code (Datensatz) der Zahl ab. Heutzutage sind wir es gewohnt, das dezimale Stellensystem zu verwenden – Zahlen werden mit 10 Ziffern geschrieben. Die Ziffer ganz rechts steht für Einheiten, die Ziffer ganz links für Zehner, noch weiter links für Hunderter usw.

Zum Beispiel: 1) Sexagesimal (Altes Babylon) – das erste Positionszahlensystem. Bisher wird bei der Zeitmessung eine Basis von 60 verwendet (1min = 60s, 1h = 60min); 2) Duodezimales Zahlensystem (die Zahl 12 – „Dutzend“ – war im 19. Jahrhundert weit verbreitet: Ein Tag hat zwei Dutzend Stunden). Zählen nicht mit den Fingern, sondern mit den Fingerknöcheln. Jeder Finger, mit Ausnahme des Daumens, hat 3 Gelenke – insgesamt 12; 3) Derzeit sind die gebräuchlichsten Positionszahlensysteme dezimal, binär, oktal und hexadezimal (weit verbreitet in der Low-Level-Programmierung und allgemein in der Computerdokumentation, da in modernen Computern die minimale Speichereinheit ein 8-Bit-Byte ist, die Werte). davon werden praktischerweise in zwei hexadezimalen Ziffern geschrieben).

In jedem Positionssystem kann eine Zahl als Polynom dargestellt werden.

Lassen Sie uns zeigen, wie man eine Dezimalzahl als Polynom darstellt:

Arten von Zahlensystemen

Das Wichtigste, was Sie über das Zahlensystem wissen müssen, ist seine Art: additiv oder multiplikativ. Beim ersten Typ hat jede Ziffer ihre eigene Bedeutung, und um die Zahl zu lesen, müssen Sie alle Werte der verwendeten Ziffern addieren:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Beim zweiten Typ kann jede Ziffer abhängig von ihrer Position in der Zahl unterschiedliche Bedeutungen haben:

(Hieroglyphen in der Reihenfolge: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Hier wird die Hieroglyphe „2“ zweimal verwendet und hat jeweils unterschiedliche Bedeutungen „2000“ und „20“.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Für ein multiplikatives System müssen Sie das Bild der Zahlen und ihre Bedeutung sowie die Basis des Zahlensystems kennen. Die Bestimmung der Basis ist sehr einfach; Sie müssen lediglich die Anzahl der signifikanten Ziffern im System neu berechnen. Vereinfacht ausgedrückt ist dies die Zahl, mit der die zweite Ziffer der Zahl beginnt. Wir verwenden zum Beispiel die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Es gibt genau 10 davon, also ist die Basis unseres Zahlensystems auch 10, und das Zahlensystem ist es „Dezimalzahl“ genannt. Im obigen Beispiel werden die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 verwendet (Hilfszahlen 10, 100, 1000, 10000 usw. zählen nicht). Auch hier gibt es 10 Hauptzahlen und das Zahlensystem ist dezimal.

Wie Sie sich vorstellen können, kann es genauso viele Zahlensystembasen geben, wie es viele Zahlen gibt. Es werden jedoch nur die bequemsten Grundlagen von Zahlensystemen verwendet. Warum ist Ihrer Meinung nach die Basis des am häufigsten verwendeten menschlichen Zahlensystems die 10? Ja, gerade weil wir 10 Finger an unseren Händen haben. „Aber eine Hand hat nur fünf Finger“, werden manche sagen und damit Recht haben. Die Geschichte der Menschheit kennt Beispiele für fünfzählige Zahlensysteme. „Und bei den Beinen sind es zwanzig Zehen“, werden andere sagen, und sie werden auch völlig recht haben. Genau das glaubten die Mayas. Das lässt sich sogar an ihrer Zahl ablesen.

Das Konzept des „Dutzends“ ist sehr interessant. Jeder weiß, dass dies 12 ist, aber nur wenige wissen, woher diese Zahl kommt. Schauen Sie sich Ihre Hände an, oder besser gesagt, eine Hand. Wie viele Fingerglieder gibt es an allen Fingern einer Hand, den Daumen nicht mitgerechnet? Genau, zwölf. A Daumen soll die gezählten Fingerglieder markieren.

Und wenn wir andererseits die Zahl der vollen Dutzende mit unseren Fingern markieren, erhalten wir das bekannte sexagesimale babylonische System.

Verschiedene Zivilisationen zählten unterschiedlich, aber auch heute noch findet man in der Sprache, in den Namen und Zahlenbildern Reste völlig unterschiedlicher Zahlensysteme, die einst von diesen Menschen verwendet wurden.

Die Franzosen hatten also einst ein Zahlensystem zur Basis 20, da 80 auf Französisch wie „vier mal zwanzig“ klingt.

Die Römer oder ihre Vorgänger verwendeten einst das Fünffachsystem, da V nichts anderes als das Bild einer Handfläche mit ausgestrecktem Daumen ist und X zwei gleiche Hände darstellt.