Dies ist das letzte und wichtigste Hauptlektion, notwendig, um Probleme B11 zu lösen. Wir wissen bereits, wie man Winkel von einem Bogenmaß in ein Gradmaß umrechnet (siehe Lektion „Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels“), und wir wissen auch, wie man das Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion bestimmt, wobei wir uns auf die Viertelkoordinaten konzentrieren ( siehe Lektion „Zeichen trigonometrischer Funktionen“).

Jetzt müssen Sie nur noch den Wert der Funktion selbst berechnen – genau die Zahl, die in der Antwort steht. Hier hilft die grundlegende trigonometrische Identität.

Grundlegende trigonometrische Identität. Für jeden Winkel α gilt die folgende Aussage:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Diese Formel setzt den Sinus und Cosinus eines Winkels in Beziehung. Wenn wir nun den Sinus kennen, können wir leicht den Kosinus ermitteln – und umgekehrt. Es genügt, die Quadratwurzel zu ziehen:

Beachten Sie das „±“-Zeichen vor den Wurzeln. Tatsache ist, dass aus der grundlegenden trigonometrischen Identität nicht klar hervorgeht, was der ursprüngliche Sinus und Kosinus war: positiv oder negativ. Schließlich ist die Quadrierung eine gerade Funktion, die alle Minuspunkte (falls vorhanden) „verbrennt“.

Deshalb muss es in allen Aufgaben B11, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik vorkommen, vorhanden sein zusätzliche Bedingungen, die helfen, Unsicherheit mit Zeichen loszuwerden. Normalerweise ist dies eine Angabe des Koordinatenviertels, anhand dessen das Vorzeichen bestimmt werden kann.

Ein aufmerksamer Leser wird sich wahrscheinlich fragen: „Was ist mit Tangens und Kotangens?“ Es ist unmöglich, diese Funktionen direkt aus den obigen Formeln zu berechnen. Es gibt jedoch wichtige Konsequenzen aus der grundlegenden trigonometrischen Identität, die bereits Tangenten und Kotangenten enthält. Nämlich:

Eine wichtige Folgerung: Für jeden Winkel α kann die grundlegende trigonometrische Identität wie folgt umgeschrieben werden:

Diese Gleichungen lassen sich leicht aus der Hauptidentität ableiten – es reicht aus, beide Seiten durch cos 2 α (um den Tangens zu erhalten) oder durch sin 2 α (um den Kotangens zu erhalten) zu dividieren.

Schauen wir uns das alles an konkrete Beispiele. Nachfolgend sind die echten B11-Probleme aufgeführt, die den Scheinproblemen entnommen sind Optionen für das einheitliche Staatsexamen in Mathematik 2012.

Wir kennen den Kosinus, aber wir kennen den Sinus nicht. Die trigonometrische Hauptidentität (in ihrer „reinen“ Form) verbindet genau diese Funktionen, daher werden wir damit arbeiten. Wir haben:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Um das Problem zu lösen, muss noch das Vorzeichen des Sinus ermittelt werden. Da der Winkel α ∈ (π /2; π ) ist, wird er im Gradmaß wie folgt geschrieben: α ∈ (90°; 180°).

Folglich liegt der Winkel α im II. Koordinatenviertel – alle Sinuswerte dort sind positiv. Daher ist sin α = 0,1.

Wir kennen also den Sinus, müssen aber den Kosinus finden. Beide Funktionen liegen in der grundlegenden trigonometrischen Identität vor. Ersetzen wir:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Es bleibt noch, sich mit dem Vorzeichen vor dem Bruch zu befassen. Was soll man wählen: Plus oder Minus? Gemäß der Bedingung gehört der Winkel α zum Intervall (π 3π /2). Lassen Sie uns die Winkel vom Bogenmaß in Grad umrechnen – wir erhalten: α ∈ (180°; 270°).

Offensichtlich ist dies das III. Koordinatenviertel, in dem alle Kosinuswerte negativ sind. Daher ist cos α = −0,5.

Aufgabe. Finden Sie tan α, wenn Folgendes bekannt ist:

Tangens und Kosinus hängen durch die Gleichung zusammen, die sich aus der grundlegenden trigonometrischen Identität ergibt:

Wir erhalten: tan α = ±3. Das Vorzeichen der Tangente wird durch den Winkel α bestimmt. Es ist bekannt, dass α ∈ (3π /2; 2π ). Lassen Sie uns die Winkel vom Bogenmaß in Grad umrechnen – wir erhalten α ∈ (270°; 360°).

Offensichtlich ist dies das IV-Koordinatenviertel, in dem alle Tangenten negativ sind. Daher ist tan α = −3.

Aufgabe. Finden Sie cos α, wenn Folgendes bekannt ist:

Auch hier ist der Sinus bekannt und der Kosinus unbekannt. Schreiben wir die wichtigste trigonometrische Identität auf:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Das Vorzeichen wird durch den Winkel bestimmt. Es gilt: α ∈ (3π /2; 2π ). Lassen Sie uns die Winkel von Grad in Bogenmaß umrechnen: α ∈ (270°; 360°) ist das IV-Koordinatenviertel, die Kosinuswerte dort sind positiv. Daher ist cos α = 0,6.

Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn Folgendes bekannt ist:

Schreiben wir eine Formel auf, die aus der trigonometrischen Grundidentität folgt und Sinus und Kotangens direkt verbindet:

Von hier aus erhalten wir sin 2 α = 1/25, d.h. sin α = ±1/5 = ±0,2. Es ist bekannt, dass der Winkel α ∈ (0; π /2) ist. Im Gradmaß wird dies wie folgt geschrieben: α ∈ (0°; 90°) - I-Koordinatenviertel.

Der Winkel liegt also im I-Koordinatenquadranten – alle trigonometrischen Funktionen dort sind positiv, also ist sin α = 0,2.

Referenzdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt im Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge des benachbarten Beins |AB| .

Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .

Tangente

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tan x

Kotangens

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.

Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).

	y = tg x	y = ctg x
Umfang und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zunehmend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	-

Formeln

Ausdrücke mit Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten

Produkt von Tangenten

Formel für Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Serienerweiterungen

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung in einer Potenzreihe für die Funktionen verwenden Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . Dadurch ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel:

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen an Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arcustangens, arctg

, Wo N- ganz.

Arkuskotangens, arcctg

, Wo N- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Trigonometrische Identitäten- Dies sind Gleichheiten, die eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen, die es Ihnen ermöglicht, jede dieser Funktionen zu finden, sofern eine andere bekannt ist.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Diese Identität besagt, dass die Summe des Quadrats des Sinus eines Winkels und des Quadrats des Kosinus eines Winkels gleich eins ist, was es in der Praxis ermöglicht, den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn sein Kosinus bekannt ist, und umgekehrt .

Bei der Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke wird diese Identität sehr häufig verwendet, wodurch Sie die Summe der Quadrate von Kosinus und Sinus eines Winkels durch eins ersetzen und den Ersetzungsvorgang auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen können.

Tangens und Kotangens mithilfe von Sinus und Cosinus ermitteln

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Diese Identitäten werden aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens gebildet. Wenn man es sich genau ansieht, dann ist die Ordinate y per Definition ein Sinus und die Abszisse x ein Kosinus. Dann ist der Tangens gleich dem Verhältnis \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) und das Verhältnis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- wird ein Kotangens sein.

Fügen wir hinzu, dass die Identitäten nur für solche Winkel \alpha gelten, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen einen Sinn ergeben, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Zum Beispiel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gilt für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Für einen anderen Winkel \alpha als \pi z ist z eine ganze Zahl.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Diese Identität gilt nur für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2) z. Andernfalls wird weder Kotangens noch Tangens bestimmt.

Basierend auf den oben genannten Punkten erhalten wir das tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Es folgt dem tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Daher sind Tangens und Kotangens desselben Winkels, bei dem sie sinnvoll sind, zueinander inverse Zahlen.

Beziehungen zwischen Tangens und Cosinus, Kotangens und Sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- Die Summe des Quadrats des Tangens des Winkels \alpha und 1 ist gleich dem Umkehrquadrat des Kosinus dieses Winkels. Diese Identität gilt für alle \alpha außer \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- Die Summe aus 1 und dem Quadrat des Kotangens des Winkels \alpha ist gleich dem Umkehrquadrat des Sinus des gegebenen Winkels. Diese Identität gilt für jedes \alpha, das sich von \pi z unterscheidet.

Beispiele mit Lösungen für Probleme unter Verwendung trigonometrischer Identitäten

Beispiel 1

Finden Sie \sin \alpha und tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Lösung anzeigen

Lösung

Die Funktionen \sin\alpha und \cos\alpha hängen durch die Formel zusammen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Einsetzen in diese Formel \cos \alpha = -\frac12, wir bekommen:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Diese Gleichung hat zwei Lösungen:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Sinus also positiv \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Um tan \alpha zu finden, verwenden wir die Formel tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Beispiel 2

Finden Sie \cos \alpha und ctg \alpha, wenn und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Lösung anzeigen

Lösung

Einsetzen in die Formel \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 angegebene Nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), wir bekommen \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Diese Gleichung hat zwei Lösungen \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Kosinus also negativ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Um ctg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Wir kennen die entsprechenden Werte.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Ganz am Anfang dieses Artikels haben wir das Konzept der trigonometrischen Funktionen untersucht. Ihr Hauptzweck besteht darin, die Grundlagen der Trigonometrie zu erlernen und periodische Prozesse zu studieren. Und nicht umsonst haben wir den trigonometrischen Kreis gezeichnet, denn in den meisten Fällen werden trigonometrische Funktionen als das Verhältnis der Seiten eines Dreiecks oder seiner bestimmten Segmente in einem Einheitskreis definiert. Ich habe auch die unbestreitbar enorme Bedeutung der Trigonometrie erwähnt modernes Leben. Aber die Wissenschaft steht nicht still, dadurch können wir den Anwendungsbereich der Trigonometrie erheblich erweitern und ihre Bestimmungen auf die Realität übertragen, und manchmal auch auf die Realität komplexe Zahlen.

Trigonometrieformeln Es gibt verschiedene Arten. Schauen wir sie uns der Reihe nach an.

1. Verhältnisse trigonometrischer Funktionen gleichen Winkels

Hier betrachten wir ein Konzept wie grundlegende trigonometrische Identitäten.

Eine trigonometrische Identität ist eine Gleichheit, die aus trigonometrischen Beziehungen besteht und für alle darin enthaltenen Winkelwerte erfüllt ist.

Schauen wir uns die wichtigsten trigonometrischen Identitäten und ihre Beweise an:

Die erste Identität ergibt sich aus der Definition der Tangente.

Lass uns nehmen rechtwinkliges Dreieck, in dem sich am Scheitelpunkt A ein spitzer Winkel x befindet.



Um die Identitäten zu beweisen, müssen Sie den Satz des Pythagoras verwenden:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Nun dividieren wir beide Seiten der Gleichheit durch (AB) 2 und erinnern uns an die Definitionen von Sinus- und Kosinuswinkel, erhalten wir die zweite Identität:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Um die dritte und vierte Identität zu beweisen, verwenden wir den vorherigen Beweis.

Teilen Sie dazu beide Seiten der zweiten Identität durch cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Basierend auf der ersten Identität tg x = sin x /cos x ​​erhalten wir die dritte:

1 + tan 2 x = 1/cos 2 x

Teilen wir nun die zweite Identität durch sin 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x ist nichts anderes als 1/tg 2 x, also erhalten wir die vierte Identität:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Es ist Zeit, sich an den Summensatz zu erinnern Innenecken Dreieck, das besagt, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks = 180 0 ist. Es stellt sich heraus, dass es am Scheitelpunkt B des Dreiecks einen Winkel gibt, dessen Wert 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x beträgt.



Erinnern wir uns noch einmal an die Definitionen für Sünde und Cos und erhalten wir die fünfte und sechste Identität:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Jetzt machen wir Folgendes:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Wie Sie sehen, ist hier alles elementar.

Es gibt andere Identitäten, die zur Lösung mathematischer Identitäten verwendet werden. Ich werde sie einfach in der Form angeben Referenzinformationen, weil sie alle aus dem oben Gesagten stammen.



2. Trigonometrische Funktionen durcheinander ausdrücken

   (Die Wahl des Zeichens vor der Wurzel hängt davon ab, in welchem ​​Viertel des Kreises sich die Ecke befindet?)







3. Im Folgenden finden Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Winkeln:



4. Formeln für Doppel-, Dreifach- und Halbwinkel.

   Ich stelle fest, dass sie alle aus den vorherigen Formeln stammen.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Formeln zur Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke: