Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt richtig , wenn seine Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Man nennt eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind Tetraeder .

Seitliche Rippe einer Pyramide ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Grundfläche gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleich gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema . Diagonaler Abschnitt heißt ein Abschnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Gesamtfläche heißt die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Grundfläche.

Theoreme

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleichmäßig zur Grundebene geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in der Nähe der Grundfläche umschriebenen Kreises projiziert.

2. Wenn alle Seitenkanten einer Pyramide gleich lang sind, wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines Kreises projiziert, der nahe der Basis umschrieben wird.

3. Wenn alle Flächen einer Pyramide gleichmäßig zur Ebene der Grundfläche geneigt sind, wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, lautet die richtige Formel:

Wo V- Lautstärke;

S-Basis- Grundfläche;

H– Höhe der Pyramide.

Für eine regelmäßige Pyramide sind die folgenden Formeln korrekt:

Wo P– Basisumfang;

h a– Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S-Basis- Grundfläche;

V– Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil der Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Regelmäßiger Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil einer regelmäßigen Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Gründe Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen – Trapeze. Höhe eines Pyramidenstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Spitzen verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen. Diagonaler Abschnitt ist ein Schnitt durch einen Pyramidenstumpf durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten folgende Formeln:

(4)

Wo S 1 , S 2 – Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll– Gesamtfläche;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

V– Volumen eines Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf ist die Formel korrekt:

Wo P 1 , P 2 – Umfang der Sockel;

h a– Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60°. Finden Sie den Tangens des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, das heißt, an der Basis befindet sich ein gleichseitiges Dreieck und alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Der Diederwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel A zwischen zwei Senkrechten: usw. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des Umkreises und des eingeschriebenen Kreises des Dreiecks). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenkante (z.B S.B.) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Ebene der Basis. Für die Rippe S.B. Dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Beine kennen ALSO Und O.B.. Sei die Länge des Segments BD gleich 3 A. Punkt UM Liniensegment BD ist in Teile unterteilt: und Von wir finden ALSO: Daraus finden wir:

Antwort:

Beispiel 2. Ermitteln Sie das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn die Diagonalen ihrer Grundflächen gleich cm und cm sind und ihre Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu ermitteln, verwenden wir Formel (4). Um die Fläche der Grundflächen zu ermitteln, müssen Sie die Seiten der Grundquadrate ermitteln und dabei deren Diagonalen kennen. Die Seiten der Grundflächen betragen 2 cm bzw. 8 cm. Das bedeutet, dass die Flächen der Grundflächen und unter Einsetzen aller Daten in die Formel das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

Antwort: 112cm3.

Beispiel 3. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Grundseiten 10 cm und 4 cm betragen und dessen Höhe 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Grundfläche und Höhe kennen. Die Sockel sind dem Zustand entsprechend angegeben, lediglich die Höhe bleibt unbekannt. Wir werden sie von wo aus finden A 1 E senkrecht von einem Punkt A 1 auf der Ebene der unteren Basis, A 1 D– senkrecht von A 1 pro Wechselstrom. A 1 E= 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Finden DE Lassen Sie uns eine zusätzliche Zeichnung erstellen, die die Draufsicht zeigt (Abb. 20). Punkt UM– Projektion der Mittelpunkte der oberen und unteren Basis. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK– Radius eingeschrieben in den Kreis und OM– In einen Kreis eingeschriebener Radius:

MK = DE.

Nach dem Satz des Pythagoras von

Seitenfläche:

Antwort:

Beispiel 4. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Grundflächen A Und B (A> B). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel, der der Ebene der Pyramidenbasis entspricht J. Finden Sie die Gesamtoberfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtoberfläche der Pyramide SABCD gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleichermaßen zur Ebene der Grundfläche geneigt sind, der Scheitelpunkt in die Mitte des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt UM– Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Ebene der Basis. Nach dem Flächensatz orthogonale Projektion flache Zahl erhalten wir:

Ebenso bedeutet es Somit reduzierte sich das Problem darauf, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichnen wir ein Trapez A B C D separat (Abb. 22). Punkt UM– der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, dann oder Aus dem Satz des Pythagoras haben wir

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ist ein Polyeder, das aus der Basis der Pyramide und einem dazu parallelen Abschnitt besteht. Wir können sagen, dass ein Pyramidenstumpf eine Pyramide ist, deren Spitze abgeschnitten ist. Diese Figur hat viele einzigartige Eigenschaften:

• Die Seitenflächen der Pyramide sind Trapeze;
• Die Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich lang und im gleichen Winkel zur Grundfläche geneigt;
• Die Basen sind ähnliche Polygone;
• Bei einem regelmäßigen Pyramidenstumpf sind die Flächen identische gleichschenklige Trapeze, deren Fläche gleich ist. Außerdem sind sie in einem Winkel zur Basis geneigt.

Die Formel für die Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes ist die Summe seiner Seitenflächen:

Da die Seiten eines Pyramidenstumpfes Trapeze sind, müssen Sie zur Berechnung der Parameter die Formel verwenden Trapezfläche. Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf können Sie eine andere Formel zur Berechnung der Fläche anwenden. Da alle Seiten, Flächen und Winkel an der Basis gleich sind, können wir die Umfänge der Basis und des Apothems anwenden und auch die Fläche durch den Winkel an der Basis ableiten.

Wenn gemäß den Bedingungen in einem regelmäßigen Pyramidenstumpf das Apothem (Höhe der Seite) und die Längen der Seiten der Grundfläche gegeben sind, kann die Fläche durch das Halbprodukt der Summe der Umfänge von berechnet werden die Basen und das Apothem:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes an.
Gegeben sei eine regelmäßige fünfeckige Pyramide. Apothema l= 5 cm, die Länge der Kante in der großen Basis beträgt A= 6 cm, und der Rand liegt an der kleineren Basis B= 4 cm. Berechnen Sie die Fläche des Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zunächst die Umfänge der Basen ermitteln. Da wir eine fünfeckige Pyramide erhalten, verstehen wir, dass die Grundflächen Fünfecke sind. Das bedeutet, dass an der Basis eine Figur mit einer Fünf steht identische Seiten. Lassen Sie uns den Umfang der größeren Basis ermitteln:

Auf die gleiche Weise ermitteln wir den Umfang der kleineren Basis:

Jetzt können wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes berechnen. Setzen Sie die Daten in die Formel ein:

Daher haben wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes durch die Umfänge und das Apothem berechnet.

Eine andere Möglichkeit, die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel durch die Winkel an der Basis und die Fläche dieser Basen.

Schauen wir uns eine Beispielrechnung an. Daran erinnern wir uns diese Formel gilt nur für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf.

Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Kante der unteren Basis beträgt a = 6 cm und die Kante der oberen Basis beträgt b = 4 cm. Der Diederwinkel an der Basis beträgt β = 60°. Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Berechnen wir zunächst die Fläche der Basen. Da die Pyramide regelmäßig ist, sind alle Kanten der Grundflächen einander gleich. Wenn man bedenkt, dass die Basis ein Viereck ist, verstehen wir, dass eine Berechnung erforderlich ist Fläche des Platzes. Es ist das Produkt aus Breite und Länge, aber quadriert sind diese Werte gleich. Finden wir die Fläche der größeren Basis:


Aus den gefundenen Werten berechnen wir nun die Mantelfläche.

Mit ein paar einfachen Formeln konnten wir die Fläche des seitlichen Trapezes eines Pyramidenstumpfes anhand verschiedener Werte leicht berechnen.

An diese Lektion Wir werden uns einen Pyramidenstumpf ansehen, uns mit einem regelmäßigen Pyramidenstumpf vertraut machen und seine Eigenschaften untersuchen.

Erinnern wir uns am Beispiel einer dreieckigen Pyramide an das Konzept einer n-eckigen Pyramide. Das Dreieck ABC ist gegeben. Außerhalb der Dreiecksebene wird ein Punkt P genommen, der mit den Eckpunkten des Dreiecks verbunden ist. Die resultierende polyedrische Oberfläche wird Pyramide genannt (Abb. 1).

Reis. 1. Dreieckige Pyramide

Schneiden wir die Pyramide mit einer Ebene parallel zur Ebene der Pyramidenbasis. Die zwischen diesen Ebenen erhaltene Figur wird Pyramidenstumpf genannt (Abb. 2).

Reis. 2. Pyramidenstumpf

Wesentliche Elemente:

Obere Basis;

ABC untere Basis;

Seitenansicht; Seitenfläche;

Wenn PH die Höhe der ursprünglichen Pyramide ist, dann ist es die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Die Eigenschaften eines Pyramidenstumpfes ergeben sich aus der Bauweise, nämlich aus der Parallelität der Grundflächenebenen:

Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze. Betrachten Sie zum Beispiel die Kante. Es hat die Eigenschaft paralleler Ebenen (da die Ebenen parallel sind, schneiden sie die Seitenfläche der ursprünglichen AVR-Pyramide entlang paralleler gerader Linien), aber gleichzeitig sind sie nicht parallel. Offensichtlich ist das Viereck ein Trapez, wie alle Seitenflächen des Pyramidenstumpfes.

Das Verhältnis der Basen ist bei allen Trapezen gleich:

Wir haben mehrere Paare ähnlicher Dreiecke mit demselben Ähnlichkeitskoeffizienten. Beispielsweise sind Dreiecke und RAB aufgrund der Parallelität der Ebenen und des Ähnlichkeitskoeffizienten ähnlich:

Gleichzeitig sind Dreiecke und RVS ähnlich mit dem Ähnlichkeitskoeffizienten:

Offensichtlich sind die Ähnlichkeitskoeffizienten für alle drei Paare ähnlicher Dreiecke gleich, sodass das Verhältnis der Basen für alle Trapeze gleich ist.

Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf ist ein Pyramidenstumpf, der durch Schneiden einer regelmäßigen Pyramide mit einer Ebene parallel zur Basis entsteht (Abb. 3).

Reis. 3. Regelmäßiger Pyramidenstumpf

Definition.

Eine Pyramide heißt regulär, wenn ihre Basis ein regelmäßiges N-Eck ist und ihre Spitze in die Mitte dieses N-Ecks (den Mittelpunkt des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises) projiziert wird.

IN in diesem Fall An der Basis der Pyramide liegt ein Quadrat, und die Spitze wird auf den Schnittpunkt seiner Diagonalen projiziert. Der resultierende regelmäßige viereckige Pyramidenstumpf hat ABCD - untere Basis, - obere Basis. Die Höhe der ursprünglichen Pyramide beträgt RO, die des Pyramidenstumpfes beträgt (Abb. 4).

Reis. 4. Regelmäßiger viereckiger Pyramidenstumpf

Definition.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene der zweiten Basis gezogen wird.

Das Apothem der ursprünglichen Pyramide ist RM (M ist die Mitte von AB), das Apothem des Pyramidenstumpfes ist (Abb. 4).

Definition.

Das Apothem eines Pyramidenstumpfes ist die Höhe einer beliebigen Seitenfläche.

Es ist klar, dass alle Seitenkanten des Pyramidenstumpfes einander gleich sind, das heißt, die Seitenflächen sind gleichschenklige Trapeze.

Die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundumfänge und des Apothems.

Beweis (für einen regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpf – Abb. 4):

Wir müssen also beweisen:

Die Fläche der Seitenfläche besteht hier aus der Summe der Flächen der Seitenflächen – Trapeze. Da die Trapeze gleich sind, gilt:

Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes ist das Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe des Apothems. Wir haben:

Q.E.D.

Für eine n-eckige Pyramide:

Dabei ist n die Anzahl der Seitenflächen der Pyramide, a und b die Grundflächen des Trapezes und das Apothem.

Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide gleich 3 cm und 9 cm, Höhe - 4 cm. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche.

Reis. 5. Illustration für Problem 1

Lösung. Lassen Sie uns den Zustand veranschaulichen:

Gefragt von: , ,

Durch den Punkt O ziehen wir eine gerade Linie MN parallel zu den beiden Seiten der unteren Basis und auf ähnliche Weise zeichnen wir durch den Punkt eine gerade Linie (Abb. 6). Da die Quadrate und Konstruktionen an den Grundflächen des Pyramidenstumpfes parallel sind, erhalten wir ein Trapez gleich den Seitenflächen. Darüber hinaus verläuft seine Seite durch die Mittelpunkte der Ober- und Unterkante der Seitenflächen und bildet das Apothem des Pyramidenstumpfes.

Reis. 6. Zusätzliche Konstruktionen

Betrachten wir das resultierende Trapez (Abb. 6). Bei diesem Trapez sind die obere Basis, die untere Basis und die Höhe bekannt. Sie müssen die Seite finden, die das Apothem eines bestimmten Pyramidenstumpfes ist. Zeichnen wir senkrecht zu MN. Von diesem Punkt aus senken wir die Senkrechte NQ. Wir stellen fest, dass die größere Basis in Segmente von drei Zentimetern unterteilt ist (). Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Beine bekannt sind Ägyptisches Dreieck Mit dem Satz des Pythagoras bestimmen wir die Länge der Hypotenuse: 5 cm.

Nun sind noch alle Elemente vorhanden, um die Fläche der Mantelfläche der Pyramide zu bestimmen:

Die Pyramide wird von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten. Beweisen Sie am Beispiel einer dreieckigen Pyramide, dass die Seitenkanten und die Höhe der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt werden.

Nachweisen. Lassen Sie uns Folgendes veranschaulichen:

Reis. 7. Illustration für Problem 2

Die RABC-Pyramide ist gegeben. PO – Höhe der Pyramide. Die Pyramide wird durch eine Ebene geschnitten, man erhält einen Pyramidenstumpf und. Punkt - der Schnittpunkt der Höhe des RO mit der Ebene der Basis des Pyramidenstumpfes. Es ist nachzuweisen:

Der Schlüssel zur Lösung ist die Eigenschaft paralleler Ebenen. Zwei parallele Ebenen schneiden jede dritte Ebene, sodass die Schnittlinien parallel sind. Von hier: . Die Parallelität der entsprechenden Linien impliziert das Vorhandensein von vier Paaren ähnlicher Dreiecke:

Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken folgt die Proportionalität der entsprechenden Seiten. Wichtiges Merkmal ist, dass die Ähnlichkeitskoeffizienten dieser Dreiecke gleich sind:

Q.E.D.

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide RABC mit einer Höhe und einer Seite der Basis wird durch eine Ebene zerlegt, die durch die Mitte der Höhe PH parallel zur Basis ABC verläuft. Finden Sie die Mantelfläche des resultierenden Pyramidenstumpfes.

Lösung. Lassen Sie uns Folgendes veranschaulichen:

Reis. 8. Illustration für Problem 3

ACB ist ein regelmäßiges Dreieck, H ist der Mittelpunkt dieses Dreiecks (der Mittelpunkt der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise). RM ist das Apothem einer bestimmten Pyramide. - Apothem eines Pyramidenstumpfes. Aufgrund der Eigenschaft paralleler Ebenen (zwei parallele Ebenen schneiden jede dritte Ebene so, dass die Schnittlinien parallel sind) haben wir mehrere Paare ähnlicher Dreiecke mit gleichem Ähnlichkeitskoeffizienten. Insbesondere interessiert uns die Beziehung:

Finden wir NM. Dies ist der Radius eines in die Basis eingeschriebenen Kreises. Wir kennen die entsprechende Formel:

Jetzt ab rechtwinkliges Dreieck RNM unter Verwendung des Satzes des Pythagoras finden wir RM – Apothem der ursprünglichen Pyramide:

Aus dem Ausgangsverhältnis:

Jetzt kennen wir alle Elemente, um die Fläche der Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes zu ermitteln:

Also machten wir uns mit den Konzepten eines Pyramidenstumpfes und eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes vertraut, gaben grundlegende Definitionen, untersuchten die Eigenschaften und bewiesen den Satz über die Fläche der Mantelfläche. Die nächste Lektion konzentriert sich auf die Problemlösung.

Referenzliste

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Profilebenen) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb.
2. Sharygin I.F. Geometrie. 10.-11. Klasse: Lehrbuch für Allgemeinbildung Bildungsinstitutionen/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 S.: Abb.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrie. Klasse 10: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Aufl., Stereotyp. - M.: Bustard, 2008. - 233 S.: Abb.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

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