Paradoxe formaler Logik und logische Fehler. Logik: Logische Paradoxien

Planen:

ICH. Einführung

II. Aporien des Zeno

Achilles und die Schildkröte

Dichotomie

III . Das Lügnerparadoxon

IV . Russells Paradoxon

ICH . Einführung.

Ein Paradoxon sind zwei gegensätzliche, unvereinbare Aussagen, für die es scheinbar überzeugende Argumente gibt. Die extremste Form des Paradoxons ist Antinomie, Argumentation, die die Äquivalenz zweier Aussagen beweist, von denen eine die Negation der anderen ist.

Paradoxien sind besonders in den strengsten und genauesten Wissenschaften bekannt – Mathematik und Logik. Und das ist kein Zufall.

Logik ist eine abstrakte Wissenschaft. Es gibt darin keine Experimente, es gibt nicht einmal Fakten im üblichen Sinne des Wortes. Bei der Konstruktion ihrer Systeme geht die Logik letztlich von der Analyse des realen Denkens aus. Die Ergebnisse dieser Analyse sind jedoch synthetisch. Sie sind keine Aussagen über einzelne Prozesse oder Ereignisse, die die Theorie erklären soll. Eine solche Analyse kann natürlich nicht als Beobachtung bezeichnet werden: Es wird immer ein bestimmtes Phänomen beobachtet.

Wenn ein Wissenschaftler eine neue Theorie aufstellt, geht er normalerweise von Fakten aus, von dem, was in der Erfahrung beobachtet werden kann. So frei seine schöpferische Vorstellungskraft auch sein mag, sie muss einen unabdingbaren Umstand berücksichtigen: Eine Theorie macht nur dann Sinn, wenn sie mit den sie betreffenden Fakten übereinstimmt. Eine Theorie, die von Fakten und Beobachtungen abweicht, ist weit hergeholt und hat keinen Wert.

Aber wenn es in der Logik keine Experimente, keine Fakten und keine Beobachtung selbst gibt, was hält dann die logische Fantasie zurück? Welche Faktoren, wenn nicht Fakten, werden bei der Erstellung neuer logischer Theorien berücksichtigt?

Die Diskrepanz zwischen logischer Theorie und der Praxis des tatsächlichen Denkens offenbart sich oft in Form eines mehr oder weniger akuten logischen Paradoxons, manchmal sogar in Form einer logischen Antinomie, die von der inneren Widersprüchlichkeit der Theorie spricht. Dies erklärt genau die Bedeutung, die Paradoxien in der Logik beigemessen werden, und die große Aufmerksamkeit, die sie dort genießen.

Eines der ersten und vielleicht besten Paradoxe wurde von Eubulides aufgezeichnet, einem griechischen Dichter und Philosophen, der im 6. Jahrhundert v. Chr. auf Kreta lebte. e. In diesem Paradoxon behauptet der Kreter Epimenides, dass alle Kreter Lügner seien. Wenn er die Wahrheit sagt, dann lügt er. Wenn er lügt, dann sagt er die Wahrheit. Wer ist also Epimenides – ein Lügner oder nicht?

Ein anderer griechischer Philosoph, Zenon von Elea, stellte eine Reihe von Paradoxien über die Unendlichkeit zusammen – die sogenannte „Aporie“ von Zenon.

Was Platon gesagt hat, ist eine Lüge.
Sokrates

Sokrates spricht nur die Wahrheit.
Plato

II. Aporien des Zeno.

Die Eleaten (Bewohner der Stadt Elea in Süditalien) leisteten einen großen Beitrag zur Entwicklung der Raum- und Zeittheorie und zur Erforschung von Bewegungsproblemen. Die Philosophie der Eleaten basierte auf der Idee von Parmenides (Zenos Lehrer) über die Unmöglichkeit der Nichtexistenz. Jeder Gedanke, argumentierte Parmenides, sei immer ein Gedanke über das, was existiert. Daher gibt es kein Nichtexistierendes. Es gibt auch keine Bewegung, da der Weltraum vollständig ausgefüllt ist, was bedeutet, dass die Welt eins ist und es keine Teile darin gibt. Jede Menge ist eine Täuschung der Sinne. Daraus folgt die Schlussfolgerung über die Unmöglichkeit von Entstehung und Zerstörung. Laut Parmenides wird nichts geschaffen oder zerstört. Dieser Philosoph war der erste, der begann, die von Denkern vertretenen Positionen zu beweisen

Die Eleatiker bewiesen ihre Annahmen, indem sie das Gegenteil der Annahme negierten. Zeno ging weiter als sein Lehrer, was Aristoteles Anlass gab, in Zeno den Begründer der „Dialektik“ zu sehen – dieser Begriff bezeichnete damals die Kunst, im Streit zur Wahrheit zu gelangen, indem man die Widersprüche im Urteil des Gegners klärt und diese Widersprüche zerstört.

Achilles und die Schildkröte. Beginnen wir unsere Betrachtung von Zenos Schwierigkeiten mit der Aporie über die Bewegung.“ Achilles und die Schildkröte“. Achilles ist ein Held und, wie wir jetzt sagen würden, ein herausragender Athlet. Die Schildkröte gilt als eines der langsamsten Tiere. Zeno argumentierte jedoch, dass Achilles ein Rennen gegen eine Schildkröte verlieren würde. Akzeptieren wir folgenden Bedingungen. Lassen Sie Achilles vom Ziel einen Abstand von 1 und die Schildkröte einen Abstand von ½ haben. Achilles und die Schildkröte beginnen sich gleichzeitig zu bewegen. Der Sicherheit halber lassen Sie Achilles zweimal schneller laufen als eine Schildkröte (d. h. sehr langsam gehen). Nachdem er dann eine halbe Distanz zurückgelegt hat, stellt Achilles fest, dass die Schildkröte in der gleichen Zeit eine Distanz von einem Viertel zurückgelegt hat und immer noch vor dem Helden liegt. Dann wiederholt sich das Bild: Nachdem er ein Viertel des Weges gelaufen ist, sieht Achilles eine Schildkröte, die ein Achtel des Weges vor sich hat usw. Folglich gelingt es Achilles, immer dann, wenn er die Distanz zwischen ihm und der Schildkröte überwindet, davonzukriechen ihn und bleibt immer noch vorne. Daher wird Achilles die Schildkröte niemals einholen. Sobald Achilles eine Bewegung beginnt, wird er sie nie mehr zu Ende bringen können.

Diejenigen, die sich mit mathematischen Analysen auskennen, weisen normalerweise darauf hin, dass die Reihe gegen 1 konvergiert. Daher sagen sie, dass Achilles den gesamten Weg in einer endlichen Zeitspanne zurücklegen und natürlich die Schildkröte überholen wird. Aber hier ist, was D. Gilbert und P. Bernays dazu schreiben:

„Normalerweise versuchen sie, dieses Paradoxon zu umgehen, indem sie argumentieren, dass die Summe einer unendlichen Anzahl dieser Zeitintervalle immer noch konvergiert und somit eine endliche Zeitspanne ergibt. Allerdings berührt diese Argumentation überhaupt nicht einen grundsätzlich paradoxen Punkt, nämlich das Paradoxon, das darin liegt, dass eine bestimmte unendliche Abfolge aufeinander folgender Ereignisse, eine Abfolge, deren Vollendung wir uns nicht einmal vorstellen können (nicht nur physisch, sondern zumindest in Prinzip) sollte eigentlich noch abgeschlossen werden.“

Die grundlegende Unvollständigkeit dieser Sequenz liegt darin, dass ihr das letzte Element fehlt. Immer wenn wir das nächste Glied der Folge angeben, können wir auch das nächste darauffolgende Glied angeben. Eine interessante Bemerkung, die auch auf die Paradoxität der Situation hinweist, findet sich bei G. Weil:

„Stellen wir uns einen Computer vor, der die erste Operation in ½ Minute, die zweite in ¼ Minute, die dritte in ⅛ Minute usw. ausführt. Eine solche Maschine könnte am Ende der ersten Minute die gesamte natürliche Reihe „neu berechnen“ ( schreiben Sie zum Beispiel zählbare Anzahl von Einheiten). Es ist klar, dass die Arbeit an der Konstruktion einer solchen Maschine zum Scheitern verurteilt ist. Warum erreicht ein Körper, der Punkt A verlässt, das Ende von Segment B und „zählt“ dabei eine abzählbare Menge von Punkten A 1, A 2, ..., A n, ... aus?“

Dichotomie . Die Begründung ist sehr einfach. Um den gesamten Weg zurückzulegen, muss ein sich bewegender Körper zunächst die Hälfte des Weges zurücklegen, aber um diese Hälfte zu überwinden, muss er die Hälfte der Hälfte zurücklegen, und so weiter bis ins Unendliche. Mit anderen Worten, unter den gleichen Bedingungen wie im vorherigen Fall haben wir es mit einer umgekehrten Reihe von Punkten zu tun: (½) n, ..., (½) 3, (½) 2, (½) 1. Im Falle einer Aporie Achilles und die Schildkröte die entsprechende Serie hatte dann nicht den letzten Punkt Dichotomien Diese Serie hat keinen ersten Punkt. Deshalb, so kommt Zenon, kann die Bewegung nicht beginnen. Und da die Bewegung nicht nur nicht enden, sondern auch nicht beginnen kann, gibt es keine Bewegung. Es gibt eine Legende, an die sich A. S. Puschkin in seinem Gedicht „Bewegung“ erinnert:

Es gibt keine Bewegung, sagte der bärtige Weise.

Der andere verstummte und begann, vor ihm herzugehen.

Er hätte nicht energischer widersprechen können;

Alle lobten die komplizierte Antwort.

Aber, meine Herren, das ist ein komischer Fall

Ein anderes Beispiel fällt mir ein:

Schließlich geht die Sonne jeden Tag vor uns her,

Allerdings hat der hartnäckige Galileo Recht.

Der Legende nach „erhob“ einer der Philosophen tatsächlich „Einwände“ gegen Zeno. Zeno befahl, ihn mit Stöcken zu schlagen: Schließlich würde er die sensorische Wahrnehmung von Bewegung nicht leugnen. Er hat über ihn gesprochen undenkbar, dass ein strenges Denken über Bewegung zu unlösbaren Widersprüchen führt. Wenn wir also die Aporie loswerden wollen, in der Hoffnung, dass dies allgemein möglich ist (und Zeno glaubte genau, dass dies unmöglich sei), dann müssen wir auf theoretische Argumente zurückgreifen und dürfen uns nicht auf sensorische Beweise berufen. Betrachten wir einen interessanten theoretischen Einwand, der gegen die Aporie erhoben wurde Achilles und die Schildkröte .

„Stellen wir uns vor, dass sich der leichtfüßige Achilles und zwei Schildkröten in die gleiche Richtung entlang der Straße bewegen, von denen Schildkröte-1 etwas näher an Achilles ist als Schildkröte-2. Um zu zeigen, dass Achilles Schildkröte-1 nicht entkommen kann, gehen wir wie folgt vor. Während Achilles zunächst die Distanz zurücklegt, die sie trennt, wird Schildkröte-1 Zeit haben, etwas vorwärts zu kriechen, während Achilles diesen neuen Abschnitt zurücklegt, wird sie sich erneut weiterbewegen, und diese Situation wird sich endlos wiederholen. Achilles kommt der Schildkröte 1 immer näher, kann sie aber nie überholen. Eine solche Schlussfolgerung widerspricht natürlich unserer Erfahrung, aber wir haben noch keinen logischen Widerspruch.

Lassen Sie jedoch Achilles beginnen, den weiter entfernten Turtle-2 einzuholen, ohne dem näheren zu achten. Die gleiche Argumentation lässt uns sagen, dass Achilles in der Lage sein wird, an Turtle-2 heranzukommen, aber das bedeutet, dass er Turtle-1 überholen wird. Jetzt kommen wir zu einem logischen Widerspruch.“

Es ist schwierig, hier etwas einzuwenden, wenn man von figurativen Ideen gefangen bleibt. Es ist notwendig, den formalen Kern der Angelegenheit zu ermitteln, damit die Diskussion in den Mainstream der strengen Argumentation übergehen kann. Die erste Aporie lässt sich auf die folgenden drei Aussagen reduzieren:

1. Unabhängig vom Segment muss ein Körper, der sich von A nach B bewegt, alle Punkte des Segments besuchen.

2. Jedes Segment kann als unendliche Folge von Segmenten mit abnehmender Länge dargestellt werden....

3. Da die unendliche Folge a i (1 ≤ i< ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.

Diese Schlussfolgerung kann auf unterschiedliche Weise veranschaulicht werden. Das berühmteste Beispiel – „Der Schnellste kann den Langsamsten nie einholen“ – wurde oben besprochen. Aber wir können ein radikaleres Bild anbieten, in dem ein schwitzender Achilles (nachdem er Punkt A verlassen hat) erfolglos versucht, eine Schildkröte zu überholen, sich ruhig in der Sonne sonnt (an Punkt B) und nicht einmal daran denkt, wegzulaufen. Am Wesen der Aporie ändert sich dadurch nichts. Eine Veranschaulichung wird dann eine viel ergreifendere Aussage sein: „Der Schnellste kann den Stationären nie einholen.“ Wenn das erste Beispiel paradox ist, dann ist es das zweite umso paradoxer.

1. Oktober 2014

Seit der Antike haben Wissenschaftler und Denker es geliebt, sich und ihre Kollegen damit zu unterhalten, unlösbare Probleme zu stellen und verschiedene Arten von Paradoxien zu formulieren. Einige dieser Gedankenexperimente bleiben über Jahrtausende hinweg relevant, was auf die Unvollkommenheiten vieler populärwissenschaftlicher Modelle und „Lücken“ in allgemein anerkannten Theorien hinweist, die lange Zeit als grundlegend galten.

Wir laden Sie ein, über die interessantesten und überraschendsten Paradoxien nachzudenken, die, wie man heute sagt, mehr als eine Generation von Logikern, Philosophen und Mathematikern „umgehauen“ haben.

1. Aporia „Achilles und die Schildkröte“

Das Achilles-und-Schildkröten-Paradoxon ist eine der Aporien (logisch korrekte, aber widersprüchliche Aussagen), die der antike griechische Philosoph Zenon von Elea im 5. Jahrhundert v. Chr. formulierte. Sein Kern ist wie folgt: Der legendäre Held Achilles beschloss, an einem Rennen mit einer Schildkröte teilzunehmen. Wie Sie wissen, sind Schildkröten nicht für ihre Beweglichkeit bekannt, daher gab Achilles seinem Gegner einen Vorsprung von 500 m. Wenn die Schildkröte diese Distanz überwindet, macht sich der Held mit einer zehnmal höheren Geschwindigkeit auf die Verfolgung, also während die Schildkröte kriecht 50 m, Achilles schafft es, das ihm zugeteilte 500-m-Handicap zu laufen. Dann überwindet der Läufer die nächsten 50 m, aber zu diesem Zeitpunkt kriecht die Schildkröte weitere 5 m davon, es scheint, als würde Achilles sie einholen, aber der Rivale ist immer noch vorne und während er 5 m läuft, schafft sie es, voranzukommen noch einen halben Meter und so weiter. Der Abstand zwischen ihnen schrumpft immer weiter, aber theoretisch schafft es der Held nie, die langsame Schildkröte einzuholen, sie ist ihr aber immer voraus;

Aus physikalischer Sicht macht das Paradox natürlich keinen Sinn – wenn sich Achilles viel schneller bewegt, kommt er auf jeden Fall weiter, aber Zeno wollte mit seiner Argumentation zunächst zeigen, dass die idealisierten mathematischen Konzepte von „Punkt im Raum“ und „Moment der Zeit“ sind für eine korrekte Anwendung auf reale Bewegungen nicht besonders geeignet. Aporia deckt die Diskrepanz zwischen der mathematisch fundierten Idee auf, dass Raum- und Zeitintervalle ungleich Null unendlich teilbar sind (die Schildkröte muss also immer die Nase vorn haben) und der Realität, in der der Held natürlich das Rennen gewinnt.

2. Zeitschleifenparadoxon

Die neuen Zeitreisenden von David Toomey

Paradoxien im Zusammenhang mit Zeitreisen sind seit langem eine Inspirationsquelle für Science-Fiction-Autoren und Macher von Science-Fiction-Filmen und Fernsehserien. Es gibt mehrere Varianten von Zeitschleifenparadoxien, eine der einfachsten und anschauliche Beispiele ähnliches Problem zitiert in seinem Buch „ Das neue Zeitreisende“ („Neue Zeitreisende“) David Toomey, Professor an der University of Massachusetts.

Stellen Sie sich vor, ein Zeitreisender kaufte in einem Buchladen ein Exemplar von Shakespeares Hamlet. Anschließend reiste er zur Zeit der Jungfrau Königin Elisabeth I. nach England und überreichte ihm das Buch, als er William Shakespeare fand. Er schrieb es um und veröffentlichte es als sein eigenes Werk. Hunderte von Jahren vergehen, Hamlet wird in Dutzende Sprachen übersetzt, endlos neu veröffentlicht, und eines der Exemplare landet in derselben Buchhandlung, wo ein Zeitreisender es kauft und Shakespeare schenkt, der eine Kopie anfertigt, und so weiter. . Wer sollte in diesem Fall als Urheber einer unsterblichen Tragödie gelten?

3. Das Paradoxon eines Mädchens und eines Jungen

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird dieses Paradoxon auch „Mr. Smiths Kinder“ oder „Mrs. Smiths Problem“ genannt. Es wurde erstmals vom amerikanischen Mathematiker Martin Gardner in einer Ausgabe der Zeitschrift Scientific American formuliert. Wissenschaftler streiten seit mehreren Jahrzehnten über das Paradoxon, und es gibt mehrere Möglichkeiten, es zu lösen. Nachdem Sie über das Problem nachgedacht haben, können Sie Ihre eigene Lösung finden.

Die Familie hat zwei Kinder und es ist sicher bekannt, dass eines davon ein Junge ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ebenfalls männlich ist? Auf den ersten Blick liegt die Antwort auf der Hand: 50/50, entweder ist er wirklich ein Junge oder ein Mädchen, die Chancen sollten gleich sein. Das Problem besteht darin, dass es für Familien mit zwei Kindern vier mögliche Kombinationen der Geschlechter der Kinder gibt – zwei Mädchen, zwei Jungen, ein älterer Junge und ein jüngeres Mädchen und umgekehrt – ein älteres Mädchen und ein jüngerer Junge. Ersteres kann ausgeschlossen werden, da es sich bei einem der Kinder definitiv um einen Jungen handelt, in diesem Fall sind es aber noch drei Möglichkeiten, nicht zwei, und die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ebenfalls ein Junge ist, beträgt eins zu drei.

4. Jourdains Kartenparadoxon

Das vom britischen Logiker und Mathematiker Philip Jourdain zu Beginn des 20. Jahrhunderts vorgeschlagene Problem kann als eine der Spielarten des berühmten Lügnerparadoxons angesehen werden.

Philippe Jourdain

Stellen Sie sich vor, Sie halten eine Postkarte in Ihren Händen, auf der steht: „Die Aussage auf der Rückseite der Postkarte ist wahr.“ Beim Umdrehen der Karte kommt der Satz zum Vorschein: „Die Aussage auf der anderen Seite ist falsch.“ Wie Sie wissen, besteht ein Widerspruch: Wenn die erste Aussage wahr ist, dann ist auch die zweite wahr, aber in diesem Fall muss die erste falsch sein. Wenn die erste Seite der Postkarte falsch ist, kann auch der Satz auf der zweiten nicht als wahr angesehen werden, was bedeutet, dass die erste Aussage wieder wahr wird... Noch mehr interessante Option Das Paradoxon des Lügners finden Sie im nächsten Absatz.

5. Sophistik „Krokodil“

Eine Mutter und ein Kind stehen am Flussufer, plötzlich schwimmt ein Krokodil auf sie zu und zerrt das Kind ins Wasser. Die untröstliche Mutter bittet darum, ihr Kind zurückzugeben, worauf das Krokodil antwortet, dass es sich bereit erklärt, es unversehrt zurückzugeben, wenn die Frau seine Frage richtig beantwortet: „Wird er ihr Kind zurückgeben?“ Es ist klar, dass eine Frau zwei Antwortmöglichkeiten hat – ja oder nein. Wenn sie behauptet, dass das Krokodil ihr das Kind geben wird, dann hängt alles vom Tier ab – wenn man die Antwort als wahr ansieht, wird der Entführer das Kind freilassen, aber wenn er sagt, dass die Mutter sich geirrt hat, wird sie das Kind nicht sehen , gemäß allen Vertragsregeln.

Die negative Antwort der Frau verkompliziert alles erheblich – wenn sie sich als richtig erweist, muss der Entführer die Bedingungen des Deals erfüllen und das Kind freilassen, aber die Antwort der Mutter wird somit nicht der Realität entsprechen. Um sicherzustellen, dass eine solche Antwort falsch ist, muss das Krokodil das Kind der Mutter zurückgeben, was jedoch vertragswidrig ist, da ihr Fehler das Kind beim Krokodil zurücklassen sollte.

Es ist erwähnenswert, dass der vom Krokodil vorgeschlagene Deal einen logischen Widerspruch enthält, sodass sein Versprechen unmöglich zu erfüllen ist. Der Autor dieses klassischen Sophismus gilt als Redner, Denker und Politische Figur Corax von Syrakus, der im 5. Jahrhundert v. Chr. lebte.

6. Aporia „Dichotomie“

Ein weiteres Paradoxon von Zenon von Elea, das die Unrichtigkeit des idealisierten mathematischen Bewegungsmodells demonstriert. Das Problem lässt sich wie folgt darstellen: Nehmen wir an, Sie machen sich auf den Weg, eine Straße in Ihrer Stadt vom Anfang bis zum Ende abzulaufen. Dazu müssen Sie die erste Hälfte überwinden, dann die Hälfte der verbleibenden Hälfte, dann die Hälfte des nächsten Segments und so weiter. Mit anderen Worten: Man geht die halbe Strecke zurück, dann ein Viertel, ein Achtel, ein Sechzehntel – die Zahl der abnehmenden Wegabschnitte tendiert gegen Unendlich, da jeder verbleibende Teil in zwei Teile geteilt werden kann, was bedeutet, dass ein Gehen unmöglich ist den gesamten Weg. Mit der Formulierung eines auf den ersten Blick etwas weit hergeholten Paradoxons wollte Zeno zeigen, dass mathematische Gesetze der Realität widersprechen, denn tatsächlich kann man problemlos die gesamte Strecke zurücklegen, ohne Spuren zu hinterlassen.

7. Aporia „Fliegender Pfeil“

Das berühmte Paradoxon des Zenon von Elea berührt die tiefsten Widersprüche in den Vorstellungen der Wissenschaftler über die Natur von Bewegung und Zeit. Die Aporie ist wie folgt formuliert: Ein mit einem Bogen abgefeuerter Pfeil bleibt bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht und sich nicht bewegt. Wenn der Pfeil zu jedem Zeitpunkt ruht, dann befindet er sich immer in einem Ruhezustand und bewegt sich überhaupt nicht, da es keinen Zeitpunkt gibt, zu dem sich der Pfeil im Raum bewegt.

Herausragende Köpfe der Menschheit versuchen seit Jahrhunderten, das Paradoxon des fliegenden Pfeils zu lösen, aber aus logischer Sicht ist es absolut richtig formuliert. Um dies zu widerlegen, muss erklärt werden, wie ein endlicher Zeitraum aus unendlich vielen Zeitmomenten bestehen kann – selbst Aristoteles, der Zenos Aporie überzeugend kritisierte, konnte dies nicht beweisen. Aristoteles wies zu Recht darauf hin, dass ein Zeitraum nicht als Summe bestimmter unteilbarer isolierter Momente betrachtet werden kann, aber viele Wissenschaftler glauben, dass sein Ansatz nicht tiefgreifend ist und die Existenz eines Paradoxons nicht widerlegt. Es ist erwähnenswert, dass Zenon mit der Problemstellung eines fliegenden Pfeils nicht die Möglichkeit der Bewegung als solche widerlegen wollte, sondern Widersprüche in idealistischen mathematischen Konzepten identifizieren wollte.

8. Galileis Paradoxon

Galileo Galilei / © Wikimedia

In seinen Diskursen und mathematischen Beweisen zu zwei neuen Zweigen der Wissenschaft schlug Galileo Galilei ein Paradoxon vor, das die merkwürdigen Eigenschaften unendlicher Mengen demonstriert. Der Wissenschaftler formulierte zwei widersprüchliche Urteile. Erstens gibt es Zahlen, die die Quadrate anderer ganzen Zahlen sind, wie zum Beispiel 1, 9, 16, 25, 36 und so weiter. Es gibt andere Zahlen, die diese Eigenschaft nicht haben – 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 und dergleichen. Auf diese Weise, gesamt Es muss mehr exakte Quadrate und gewöhnliche Zahlen geben als nur die Anzahl der exakten Quadrate. Zweiter Satz: Für jede natürliche Zahl gibt es ihr exaktes Quadrat, und für jedes Quadrat gibt es eine ganzzahlige Quadratwurzel, das heißt, die Anzahl der Quadrate ist gleich der Zahl natürliche Zahlen.

Basierend auf diesem Widerspruch kam Galileo zu dem Schluss, dass Überlegungen zur Anzahl der Elemente nur auf endliche Mengen angewendet wurden, obwohl spätere Mathematiker das Konzept der Potenz einer Menge einführten – mit seiner Hilfe wurde die Gültigkeit von Galileis zweitem Urteil für unendliche Mengen bewiesen.

9. Das Kartoffeltüten-Paradoxon

Nehmen wir an, ein bestimmter Bauer hat einen Sack Kartoffeln mit einem Gewicht von genau 100 kg. Bei der Untersuchung des Inhalts stellt der Landwirt fest, dass der Beutel unter feuchten Bedingungen gelagert wurde – 99 % seiner Masse besteht aus Wasser und 1 % aus anderen in Kartoffeln enthaltenen Substanzen. Er beschließt, die Kartoffeln etwas zu trocknen, sodass ihr Wassergehalt auf 98 % sinkt, und stellt den Beutel an einen trockenen Ort. Am nächsten Tag stellt sich heraus, dass zwar ein Liter (1 kg) Wasser verdunstet ist, das Gewicht des Beutels aber von 100 auf 50 kg abgenommen hat, wie kann das sein? Berechnen wir: 99 % von 100 kg sind 99 kg, was bedeutet, dass das Verhältnis der Masse des Trockenrückstands zur Masse des Wassers zunächst 1/99 betrug. Nach dem Trocknen macht Wasser 98 % der Gesamtmasse des Beutels aus, was bedeutet, dass das Verhältnis der Masse des Trockenrückstands zur Masse des Wassers nun 1/49 beträgt. Da sich die Masse des Rückstandes nicht verändert hat, wiegt das verbleibende Wasser 49 kg.

Natürlich wird ein aufmerksamer Leser sofort einen groben mathematischen Fehler in den Berechnungen entdecken – das imaginäre komische „Sack-Kartoffel-Paradoxon“ kann als hervorragendes Beispiel dafür angesehen werden, wie mit Hilfe scheinbar „logischer“ und „wissenschaftlich fundierter“ Argumentation man kann buchstäblich Freiraum eine Theorie aufstellen, die dem gesunden Menschenverstand widerspricht.

10. Das Rabenparadoxon

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Das Problem ist auch als Hempel-Paradoxon bekannt – seinen zweiten Namen erhielt es zu Ehren des deutschen Mathematikers Carl Gustav Hempel, seinem Autor. klassische Version. Das Problem ist ganz einfach formuliert: Jeder Rabe ist schwarz. Daraus folgt, dass alles, was nicht schwarz ist, kein Rabe sein kann. Dieses Gesetz wird logische Kontraposition genannt, das heißt, wenn eine bestimmte Prämisse „A“ eine Konsequenz „B“ hat, dann ist die Negation von „B“ gleichbedeutend mit der Negation von „A“. Wenn eine Person einen schwarzen Raben sieht, bestärkt dies ihren Glauben, dass alle Raben schwarz sind, was ziemlich logisch ist, aber in Übereinstimmung mit der Kontraposition und dem Prinzip der Induktion ist es logisch zu behaupten, dass die Beobachtung von Objekten, die nicht schwarz sind (z. B. rot). Äpfel) beweist auch, dass alle Krähen schwarz bemalt sind. Mit anderen Worten: Die Tatsache, dass eine Person in St. Petersburg lebt, beweist, dass sie nicht in Moskau lebt.

Aus logischer Sicht sieht das Paradoxon einwandfrei aus, widerspricht jedoch dem wirklichen Leben – rote Äpfel können in keiner Weise die Tatsache bestätigen, dass alle Krähen schwarz sind.

Sie und ich haben bereits eine Auswahl an Paradoxien kennengelernt – und insbesondere auch und Der Originalartikel ist auf der Website InfoGlaz.rf Link zum Artikel, aus dem diese Kopie erstellt wurde -

Es ist notwendig, von der Sophistik zu unterscheiden logische Paradoxien(aus dem Griechischen Paradoxien –„unerwartet, seltsam“) Ein Paradoxon im weitesten Sinne des Wortes ist etwas Ungewöhnliches und Überraschendes, etwas, das von den üblichen Erwartungen, dem gesunden Menschenverstand und der Lebenserfahrung abweicht. Ein logisches Paradoxon ist eine solche ungewöhnliche und überraschende Situation, wenn zwei widersprüchliche Aussagen nicht nur gleichzeitig wahr sind (was aufgrund der logischen Gesetze des Widerspruchs und der ausgeschlossenen Mitte unmöglich ist), sondern auch aufeinander folgen und sich gegenseitig bedingen. Wenn Sophistik immer eine Art Trick ist, ein bewusster logischer Fehler, der erkannt, aufgedeckt und beseitigt werden kann, dann ist ein Paradoxon eine unlösbare Situation, eine Art mentale Sackgasse, ein „Stolperstein“ in der Logik: im Laufe seiner Geschichte viele verschiedene Es wurden Methoden zur Überwindung und Beseitigung von Paradoxien vorgeschlagen, jedoch ist keine davon noch erschöpfend, endgültig und allgemein akzeptiert.

Das bekannteste logische Paradoxon ist das „Lügner“-Paradoxon. Er wird oft als „König der logischen Paradoxien“ bezeichnet. Es wurde wieder geöffnet Antikes Griechenland. Der Legende nach schwor der Philosoph Diodorus Kronos, nichts zu essen, bis er dieses Paradoxon gelöst hatte und verhungerte, ohne etwas erreicht zu haben; und ein anderer Denker, Philetus von Kos, geriet in Verzweiflung, weil er keine Lösung für das „Lügner“-Paradoxon finden konnte, und beging Selbstmord, indem er sich von einer Klippe ins Meer stürzte. Es gibt verschiedene Formulierungen dieses Paradoxons. Am kürzesten und einfachsten wird es in einer Situation formuliert, in der eine Person einen einfachen Satz ausspricht: Ich bin ein Lügner. Die Analyse dieser elementaren und auf den ersten Blick genialen Aussage führt zu einem verblüffenden Ergebnis. Wie Sie wissen, kann jede Aussage (einschließlich der oben genannten) wahr oder falsch sein. Betrachten wir nacheinander beide Fälle, in denen diese Aussage im ersten Fall wahr und im zweiten Fall falsch ist.

Nehmen wir an, dass der Satz ich bin ein Lügner wahr, d.h. die Person, die es geäußert hat, hat die Wahrheit gesagt, aber in diesem Fall ist er wirklich ein Lügner, also, weil er es geäußert hat dieser Satz, er hat gelogen. Nehmen wir nun an, dass der Satz ich bin ein Lügner ist falsch, das heißt, die Person, die es ausgesprochen hat, hat gelogen, aber in diesem Fall ist er kein Lügner, sondern ein Wahrsager, daher hat er mit diesem Satz die Wahrheit gesagt. Es stellt sich etwas Erstaunliches und sogar Unmögliches heraus: Wenn jemand die Wahrheit sagte, dann hat er gelogen; und wenn er gelogen hat, dann hat er die Wahrheit gesagt (zwei widersprüchliche Aussagen sind nicht nur gleichzeitig wahr, sondern folgen auch voneinander).

Ein weiteres berühmtes logisches Paradoxon, das der englische Logiker und Philosoph zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckte

Bertrand Russell ist das Paradoxon des „Dorffriseurs“. Stellen wir uns vor, dass es in einem bestimmten Dorf nur einen Friseur gibt, der diejenigen Bewohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Die Analyse dieser einfachen Situation führt zu einer außergewöhnlichen Schlussfolgerung. Fragen wir uns: Kann sich ein Dorffriseur rasieren? Betrachten wir beide Optionen, bei der ersten rasiert er sich, bei der zweiten nicht.

Nehmen wir an, dass der Dorffriseur sich selbst rasiert, aber dann gehört er zu den Dorfbewohnern, die sich rasieren und die der Friseur nicht rasiert, also rasiert er sich in diesem Fall nicht. Nehmen wir nun an, dass der Dorffriseur sich nicht selbst rasiert, aber dann gehört er zu den Dorfbewohnern, die sich nicht selbst rasieren und die der Friseur sich rasiert, also rasiert er sich in diesem Fall selbst. Wie wir sehen, stellt sich das Unglaubliche heraus: Wenn sich ein Dorffriseur rasiert, dann rasiert er sich nicht; und wenn er sich nicht rasiert, dann rasiert er sich selbst (zwei widersprüchliche Aussagen sind gleichzeitig wahr und bedingen einander).

Die Paradoxien „Lügner“ und „Dorffriseur“ sowie andere ähnliche Paradoxien werden ebenfalls genannt Antinomien(aus dem Griechischen Antinomie„Widerspruch im Gesetz“), d. h. eine Argumentation, bei der nachgewiesen wird, dass zwei Aussagen, die sich gegenseitig leugnen, aufeinander folgen. Antinomien gelten als die extremste Form von Paradoxien. Allerdings werden die Begriffe „logisches Paradoxon“ und „Antinomie“ häufig als Synonyme betrachtet.

Eine weniger überraschende Formulierung, aber nicht weniger berühmt als die Paradoxe vom „Lügner“ und vom „Dorffriseur“, ist das Paradoxon von „Protagoras und Euathlus“, das wie der „Lügner“ im antiken Griechenland auftauchte. Es basiert auf einer scheinbar einfachen Geschichte: Der Sophist Protagoras hatte einen Schüler Euathlus, der bei ihm Unterricht in Logik und Rhetorik nahm

(V in diesem Fall- politische und juristische Beredsamkeit). Lehrer und Schüler waren sich einig, dass Euathlus Protagoras seine Studiengebühren nur zahlen würde, wenn er seinen ersten Prozess gewann. Nach Abschluss der Ausbildung beteiligte sich Evatl jedoch an keinem Prozess und zahlte dem Lehrer natürlich auch kein Geld. Protagoras drohte ihm, dass er ihn verklagen würde und Euathlus dann auf jeden Fall zahlen müsste. „Sie werden entweder zur Zahlung einer Gebühr verurteilt, oder Sie werden nicht verurteilt“, sagte Protagoras zu ihm, „wenn Sie zur Zahlung verurteilt werden, müssen Sie gemäß dem Urteil des Gerichts zahlen; Wenn Sie nicht zur Zahlung verurteilt werden, müssen Sie als Gewinner Ihres ersten Prozesses gemäß unserer Vereinbarung zahlen.“ Darauf antwortete ihm Evatl: „Alles ist richtig: Entweder werde ich zur Zahlung einer Gebühr verurteilt, oder ich werde nicht verurteilt; Sollte ich zur Zahlung verurteilt werden, werde ich als Verlierer meiner ersten Klage nicht gemäß unserer Vereinbarung zahlen; Wenn ich nicht zur Zahlung verurteilt werde, werde ich das Urteil des Gerichts nicht bezahlen.“ Daher ist die Frage, ob Euathlus Protagoras eine Gebühr zahlen sollte oder nicht, unentscheidbar. Die Vereinbarung zwischen Lehrer und Schüler ist, obwohl sie völlig harmlos ist Aussehen ist intern oder logisch widersprüchlich, da es die Durchführung einer unmöglichen Handlung erfordert: Evatl muss sowohl für die Schulung bezahlen als auch nicht gleichzeitig zahlen. Aus diesem Grund stellen die Vereinbarung zwischen Protagoras und Euathlus selbst sowie die Frage ihres Rechtsstreits nichts weiter als ein logisches Paradoxon dar.

Eine separate Gruppe von Paradoxien sind Aporie(aus dem Griechischen Aporie„Schwierigkeit, Verwirrung“) – Argumentation, die die Widersprüche zwischen dem, was wir mit unseren Sinnen wahrnehmen (sehen, hören, berühren usw.) und dem, was geistig analysiert werden kann (mit anderen Worten, den Widersprüchen zwischen dem Sichtbaren und dem Vorstellbaren), aufzeigt. Die berühmteste Aporie vorgebracht antiker griechischer Philosoph Zenon von Elea, der argumentierte, dass die Bewegung, die wir überall beobachten, nicht zum Gegenstand einer mentalen Analyse gemacht werden kann, das heißt, Bewegung kann gesehen, aber nicht gedacht werden. Eine seiner Aporien heißt „Dichotomie“ (griechisch). Dihotomie"Halbierung"). Angenommen, ein bestimmter Körper muss von einem Punkt aus gehen A darauf hinweisen IN. Es besteht kein Zweifel, dass wir sehen können, wie ein Körper, der einen Punkt verlässt, nach einiger Zeit einen anderen erreicht. Vertrauen wir jedoch nicht unseren Augen, die uns sagen, dass sich der Körper bewegt, und versuchen wir, die Bewegung nicht mit unseren Augen, sondern mit unseren Gedanken wahrzunehmen. In diesem Fall erhalten wir Folgendes. Bevor Sie den ganzen Weg vom Punkt aus gehen A darauf hinweisen IN, Der Körper muss die Hälfte dieses Weges zurücklegen, denn wenn er nicht die Hälfte des Weges schafft, wird er natürlich nicht den ganzen Weg zurücklegen. Aber bevor der Körper die halbe Strecke schafft, muss er ein Viertel der Strecke zurücklegen. Bevor es jedoch dieses 1/4 Teil des Weges zurücklegt, muss es 1/8 Teil des Weges zurücklegen; und vorher muss er 1/16 des Weges zurücklegen, und davor - 1/32, und davor - 1/64, und davor - 1/128, und so weiter bis ins Unendliche. Also, um vom Punkt zu kommen A darauf hinweisen IN, Der Körper muss unendlich viele Abschnitte dieses Weges zurücklegen. Ist es möglich, durch die Unendlichkeit zu gehen? Unmöglich! Daher wird der Körper seine Reise nie zu Ende bringen können. So bezeugen die Augen, dass der Weg beschritten wird, das Denken hingegen bestreitet dies (das Sichtbare widerspricht dem Vorstellbaren).

Eine andere berühmte Aporie von Zenon von Elea – „Achilles und die Schildkröte“ – besagt, dass wir durchaus sehen können, wie der leichtfüßige Achilles die langsam vor ihm kriechende Schildkröte einholt und überholt; Die mentale Analyse führt uns jedoch zu dem ungewöhnlichen Schluss, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen kann, obwohl er sich zehnmal schneller bewegt als sie. Wenn er die Distanz zur Schildkröte zurücklegt, dann wird sie in der gleichen Zeit (schließlich bewegt sie sich auch) zehnmal weniger zurücklegen (da sie sich zehnmal langsamer bewegt), nämlich 1/10 des Weges, den Achilles zurückgelegt hat, und das 1/10 wird davor liegen.

Wenn Achilles dieses Zehntel des Weges passiert, wird die Schildkröte dasselbe tun Die Zeit wird vergehen 10-mal weniger Distanz, also 1/100 des Weges und dieser 1/100 Teil liegt vor Achilles. Wenn er 1/100 des Weges zurücklegt, der ihn und die Schildkröte trennt, wird er in der gleichen Zeit 1/1000 des Weges zurücklegen und dabei immer noch vor Achilles bleiben, und so weiter bis ins Unendliche. Wir sind also wieder davon überzeugt, dass die Augen uns etwas über eine Sache verraten und der Gedanke über etwas völlig anderes (das Sichtbare wird durch das Denkbare geleugnet).

Eine weitere Aporie von Zeno – „Pfeil“ – lädt uns ein, gedanklich über den Flug eines Pfeils von einem Punkt im Raum zu einem anderen nachzudenken. Unsere Augen zeigen natürlich an, dass der Pfeil fliegt oder sich bewegt. Was passiert jedoch, wenn wir versuchen, uns, vom visuellen Eindruck abstrahierend, seinen Flug vorzustellen? Stellen wir uns dazu eine einfache Frage: Wo ist der fliegende Pfeil jetzt? Wenn wir als Antwort auf diese Frage beispielsweise sagen: Sie ist jetzt hier oder Sie ist jetzt hier oder Sie ist jetzt da dann bedeuten alle diese Antworten nicht den Flug des Pfeils, sondern gerade seine Unbeweglichkeit, weil Sein Hier, oder Hier, oder Dort - bedeutet, in Ruhe zu sein und sich nicht zu bewegen. Wie können wir die Frage „Wo ist der fliegende Pfeil jetzt“ so beantworten, dass die Antwort seinen Flug und nicht seine Unbeweglichkeit widerspiegelt? Die einzig mögliche Antwort in diesem Fall sollte diese sein: Sie ist jetzt überall und nirgendwo. Aber ist es möglich, gleichzeitig überall und nirgendwo zu sein? Als wir uns also den Flug eines Pfeils vorzustellen versuchten, stießen wir auf einen logischen Widerspruch, eine Absurdität – der Pfeil ist überall und nirgendwo. Es stellt sich heraus, dass die Bewegung des Pfeils zwar sichtbar, aber nicht vorstellbar und daher unmöglich ist, wie jede Bewegung im Allgemeinen. Mit anderen Worten bedeutet Bewegung aus der Sicht des Denkens und nicht aus der Sicht der Sinneswahrnehmungen, dass man sich an einem bestimmten Ort befindet und sich gleichzeitig nicht dort aufhält, was natürlich unmöglich ist.

In seinen Aporien brachte Zenon die Daten der Sinne in einer „Konfrontation“ zusammen (er sprach von der Vielfältigkeit, Teilbarkeit und Bewegung von allem, was existiert, und versicherte uns, dass der leichtfüßige Achilles die langsame Schildkröte und den Pfeil einholen werde das Ziel erreichen wird) und Spekulation (die sich die Bewegung oder Vielfalt der Objekte der Welt nicht vorstellen kann, ohne in Widerspruch zu geraten).

Als Zeno einmal einer Menschenmenge die Unvorstellbarheit und Unmöglichkeit der Bewegung demonstrierte, befand sich unter seinen Zuhörern der ebenso berühmte Philosoph Diogenes von Sinope im antiken Griechenland. Ohne etwas zu sagen, stand er auf und begann herumzulaufen, in der Überzeugung, dass er damit besser als alle Worte die Realität der Bewegung bewies. Zeno war jedoch nicht ratlos und antwortete: „Gehen Sie nicht und winken Sie nicht mit den Händen, sondern versuchen Sie, dieses komplexe Problem mit Ihrem Verstand zu lösen.“ Zu dieser Situation gibt es sogar das folgende Gedicht von A. S. Puschkin:

Es gibt keine Bewegung, sagte der bärtige Weise,

Der andere verstummte und begann, vor ihm herzugehen.

Er hätte nicht energischer widersprechen können;

Alle lobten die komplizierte Antwort.

Aber, meine Herren, das ist ein komischer Fall

Ein anderes Beispiel fällt mir ein:

Schließlich geht die Sonne jeden Tag vor uns her,

Allerdings hat der hartnäckige Galileo Recht.

Und tatsächlich sehen wir ganz deutlich, dass sich die Sonne jeden Tag von Osten nach Westen über den Himmel bewegt, tatsächlich ist sie jedoch bewegungslos (im Verhältnis zur Erde). Warum gehen wir also nicht davon aus, dass andere Objekte, die wir in Bewegung sehen, möglicherweise tatsächlich bewegungslos sind, und behaupten nicht voreilig, dass der eleatische Denker falsch lag?

Wie bereits erwähnt, wurden in der Logik viele Möglichkeiten zur Lösung und Überwindung von Paradoxien geschaffen. Allerdings ist keine davon ohne Einwände und wird nicht allgemein akzeptiert. Die Betrachtung dieser Methoden ist ein langwieriges und mühsames theoretisches Verfahren, das in diesem Fall außerhalb unserer Aufmerksamkeit bleibt. Ein neugieriger Leser kann in weiterführender Literatur verschiedene Ansätze zur Lösung des Problems logischer Paradoxien kennenlernen. Logische Paradoxien beweisen, dass die Logik, wie jede andere Wissenschaft auch, nicht vollständig ist, sondern sich ständig weiterentwickelt. Anscheinend weisen Paradoxien auf einige tiefgreifende Probleme der logischen Theorie hin, lüften den Schleier über etwas, das noch nicht vollständig bekannt und verstanden ist, und zeichnen neue Horizonte in der Entwicklung der Logik auf.

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LOGISCHE PARADOXE

1. Was ist ein Paradoxon

Im weitesten Sinne ist ein Paradoxon eine Position, die stark von allgemein akzeptierten, etablierten, „orthodoxen“ Meinungen abweicht.

Ein Paradoxon im engeren und spezielleren Sinne sind zwei gegensätzliche, unvereinbare Aussagen, für die es scheinbar überzeugende Argumente gibt.

Die extremste Form des Paradoxons ist die Antinomie, eine Argumentation, die die Äquivalenz zweier Aussagen beweist, von denen eine eine Negation der anderen ist.

Paradoxien sind besonders in den strengsten und genauesten Wissenschaften bekannt – Mathematik und Logik. Und das ist kein Zufall.

Logik ist eine abstrakte Wissenschaft. Es gibt darin keine Experimente, es gibt nicht einmal Fakten im üblichen Sinne des Wortes. Bei der Konstruktion ihrer Systeme geht die Logik letztlich von der Analyse des realen Denkens aus. Doch die Ergebnisse dieser Analyse sind synthetisch und undifferenziert. Sie sind keine Aussagen über einzelne Prozesse oder Ereignisse, die die Theorie erklären soll. Eine solche Analyse kann natürlich nicht als Beobachtung bezeichnet werden: Es wird immer ein bestimmtes Phänomen beobachtet.

Die Diskrepanz zwischen logischer Theorie und der Praxis des tatsächlichen Denkens offenbart sich oft in Form eines mehr oder weniger akuten logischen Paradoxons, manchmal sogar in Form einer logischen Antinomie, die von der inneren Widersprüchlichkeit der Theorie spricht. Dies erklärt die Bedeutung, die Paradoxien in der Logik beigemessen werden, und die große Beachtung, die sie darin genießen.

Fachliteratur zum Thema Paradoxien ist nahezu unerschöpflich. Es genügt zu sagen, dass über nur eines davon mehr als tausend Werke geschrieben wurden – das Lügnerparadoxon.

Oberflächlich betrachtet sind logische Paradoxien meist einfach und sogar naiv. Aber in ihrer schlauen Naivität sind sie wie ein alter Brunnen: Er sieht aus wie eine Pfütze, aber man kann nicht bis zum Boden gelangen.

Eine große Gruppe von Paradoxien spricht über den Kreis der Dinge, zu dem sie selbst gehören. Sie lassen sich besonders schwer von Aussagen trennen, die paradox erscheinen, tatsächlich aber nicht zu einem Widerspruch führen.

Nehmen Sie zum Beispiel die Aussage „Es gibt Ausnahmen zu allen Regeln.“ Dies selbst ist offensichtlich eine Regel. Das bedeutet, dass man daraus Folgendes finden kann: mindestens, eine Ausnahme. Das bedeutet aber, dass es eine Regel gibt, die keine einzige Ausnahme hat. Die Aussage enthält einen Verweis auf sich selbst und negiert sich selbst. Liegt hier ein logisches Paradox vor, eine versteckte Bejahung und Ablehnung derselben Sache? Die Antwort auf diese Frage ist jedoch recht einfach.

Man könnte sich auch fragen, ob die Ansicht, dass jede Verallgemeinerung falsch ist, nicht in sich widersprüchlich ist, da die Ansicht selbst eine Verallgemeinerung ist. Oder Rat – nie etwas raten? Oder die Maxime „Glaube nichts!“, die auch für dich selbst gilt? Der antike griechische Dichter Agathon bemerkte einmal: „Es ist sehr plausibel, dass viele unplausible Dinge passieren.“ Erweist sich die plausible Beobachtung des Dichters nicht selbst als unplausibles Ereignis?

2. Das Lügnerparadoxon

Paradoxien lassen sich nicht immer leicht von dem trennen, was ihnen nur ähnelt. Noch schwieriger ist es zu sagen, wo das Paradoxon entstanden ist, da uns die scheinbar natürlichsten Annahmen und wiederholt getesteten Argumentationsmethoden nicht passen.

Dies zeigt sich besonders deutlich an einem der ältesten und vielleicht berühmtesten logischen Paradoxe – dem Lügnerparadoxon. Es bezieht sich auf Ausdrücke, die über sich selbst sprechen. Es wurde von Eubulides von Milet entdeckt, der viele interessante Probleme aufwarf, die noch immer für Kontroversen sorgen. Aber es war das Lügnerparadoxon, das Eubulides wahren Ruhm verschaffte.

In der einfachsten Version dieses Paradoxons äußert eine Person nur einen Satz: „Ich lüge.“ Oder er sagt: „Die Aussage, die ich jetzt mache, ist falsch.“ Oder: „Diese Aussage ist falsch.“

Wenn die Aussage falsch ist, dann hat der Sprecher die Wahrheit gesagt und daher ist das, was er gesagt hat, keine Lüge. Wenn die Aussage nicht falsch ist, der Sprecher aber behauptet, dass sie falsch ist, dann ist seine Aussage falsch. Es stellt sich also heraus, dass der Sprecher die Wahrheit sagt, wenn er lügt, und umgekehrt.

Im Mittelalter war folgende Formulierung üblich: „Was Platon gesagt hat, ist falsch, sagt Sokrates.“ „Was Sokrates sagte, ist die Wahrheit, sagt Platon.“

Es stellt sich die Frage: Wer von ihnen spricht die Wahrheit und wer lügt?

Hier ist eine moderne Umformulierung dieses Paradoxons. Nehmen wir das an Vorderseite Die Karten enthalten nur die Worte: „Auf der anderen Seite dieser Karte steht eine wahre Aussage.“ Offensichtlich handelt es sich bei diesen Worten um eine bedeutungsvolle Aussage. Wenn wir die Karte umdrehen, müssen wir entweder finden, was versprochen wurde, oder nicht. Steht auf der Rückseite eine Aussage, dann ist sie entweder wahr oder falsch. Auf der Rückseite steht jedoch: „Auf der anderen Seite dieser Karte steht eine falsche Aussage“ – und nichts weiter. Nehmen wir an, dass die Aussage auf der Vorderseite wahr ist. Dann muss die Aussage auf der Rückseite wahr sein und daher muss die Aussage auf der Vorderseite falsch sein. Wenn aber die Aussage auf der Vorderseite falsch ist, dann muss auch die Aussage auf der Rückseite falsch sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite wahr sein. Das Ergebnis ist ein Paradoxon.

Das Lügnerparadoxon hinterließ bei den Griechen großen Eindruck. Und es ist leicht zu verstehen, warum. Die Frage, die sich dabei stellt, erscheint auf den ersten Blick ganz einfach: Lügt der, der nur sagt, dass er lügt? Aber die Antwort „Ja“ führt zur Antwort „Nein“ und umgekehrt. Und Reflexion klärt die Situation überhaupt nicht. Hinter der Einfachheit und sogar Routine der Frage verbirgt sich eine dunkle und unermessliche Tiefe.

Es gibt sogar eine Legende, dass ein gewisser Filit Kossky, der an der Lösung dieses Paradoxons verzweifelte, Selbstmord beging. Sie sagen, dass einer der berühmten antiken griechischen Logiker, Diodorus Cronus, bereits in seinen letzten Jahren gelobte, nichts zu essen, bis er die Lösung für den „Lügner“ gefunden hatte, und bald starb, ohne etwas erreicht zu haben.

Im Mittelalter wurde dieses Paradoxon zu den sogenannten unentscheidbaren Sätzen gezählt und zum Gegenstand systematischer Analyse.

In der Neuzeit erregte der „Lügner“ lange Zeit keine Aufmerksamkeit. Sie sahen keinerlei, auch nur geringfügige, Schwierigkeiten beim Sprachgebrauch. Und erst in unserer sogenannten Moderne erreichte die Entwicklung der Logik endlich ein Niveau, auf dem es möglich wurde, die Probleme hinter diesem Paradoxon streng zu formulieren.

Heutzutage wird der „Lügner“ oft als „König der logischen Paradoxien“ bezeichnet. Ihm ist eine umfangreiche wissenschaftliche Literatur gewidmet.

Und doch bleibt, wie bei vielen anderen Paradoxien, nicht ganz klar, welche Probleme sich dahinter verbergen und wie man sie beseitigen kann.

Es gibt also Aussagen, die über ihre eigene Wahrheit oder Falschheit sprechen. Die Vorstellung, dass solche Aussagen keinen Sinn ergeben, ist sehr alt. Es wurde vom antiken griechischen Logiker Chrysippus verteidigt.

Im Mittelalter stellte der englische Philosoph und Logiker W. Ockham fest, dass die Aussage „Jede Aussage ist falsch“ bedeutungslos sei, da sie unter anderem von ihrer eigenen Falschheit spreche. Aus dieser Aussage ergibt sich direkt ein Widerspruch. Wenn jede Aussage falsch ist, dann gilt dies für die gegebene Aussage selbst, aber die Tatsache, dass sie falsch ist, bedeutet, dass nicht jede Aussage falsch ist. Ähnlich verhält es sich mit der Aussage „Jede Aussage ist wahr.“ Es ist ebenfalls als bedeutungslos einzustufen und führt ebenfalls zu einem Widerspruch: Wenn jede Aussage wahr ist, dann ist auch die Negation dieser Aussage selbst wahr, also die Aussage, dass nicht jede Aussage wahr ist.

Warum kann eine Aussage jedoch nicht sinnvoll über ihre eigene Wahrheit oder Falschheit sprechen?

Bereits Occams Zeitgenosse, der französische Philosoph J. Buridan, war mit seiner Entscheidung nicht einverstanden. Aus der Sicht gewöhnlicher Vorstellungen von Sinnlosigkeit sind Ausdrücke wie „Ich lüge“, „Jede Aussage ist wahr (falsch)“ durchaus bedeutungsvoll. Über das, worüber man nachdenken kann, kann man sprechen – das ist der allgemeine Grundsatz von Buridan. Eine Person kann über die Wahrheit der von ihr geäußerten Aussage nachdenken, was bedeutet, dass sie darüber sprechen kann. Nicht alle Selbstgespräche sind unsinnig. Beispielsweise ist die Aussage „Dieser Satz ist auf Russisch geschrieben“ wahr, aber die Aussage „Dieser Satz enthält zehn Wörter“ ist falsch. Und beides macht vollkommen Sinn. Wenn es erlaubt ist, dass eine Aussage über sich selbst sprechen kann, warum ist sie dann nicht in der Lage, sinnvoll über eine Eigenschaft wie die Wahrheit zu sprechen?

Buridan selbst hielt die Aussage „Ich lüge“ nicht für bedeutungslos, sondern für falsch. Er begründete es so. Wenn jemand eine Aussage behauptet, behauptet er damit, dass sie wahr ist. Wenn ein Satz über sich selbst sagt, dass er selbst falsch ist, dann ist er nur eine verkürzte Formulierung eines komplexeren Ausdrucks, der sowohl seine Wahrheit als auch seine Falschheit behauptet. Dieser Ausdruck ist widersprüchlich und daher falsch. ^ Es ist keineswegs bedeutungslos.

Buridans Argumentation wird manchmal immer noch als überzeugend angesehen.

Nach der Idee des polnischen Logikers A. Tarski, geäußert in den 30er Jahren. Im letzten Jahrhundert liegt der Grund für das Lügnerparadoxon darin, dass dieselbe Sprache sowohl über in der Welt existierende Objekte als auch über diese „Objekt“-Sprache selbst spricht. Tarski nannte eine Sprache mit dieser Eigenschaft „semantisch geschlossen“. Natürliche Sprache ist offensichtlich semantisch geschlossen. Daher ist es unvermeidlich, dass darin ein Paradoxon entsteht. Um es zu beseitigen, ist es notwendig, eine Art Leiter oder Hierarchie von Sprachen aufzubauen, von denen jede für einen ganz bestimmten Zweck verwendet wird: Im ersten sprechen sie über die Welt der Objekte, im zweiten über diese erste Sprache. im dritten - über die zweite Sprache usw. Es ist klar, dass in diesem Fall die Aussage, die von ihrer eigenen Falschheit spricht, nicht mehr formuliert werden kann und das Paradoxon verschwinden wird.

Diese Lösung des Paradoxons ist natürlich nicht die einzig mögliche. Früher war es allgemein anerkannt, doch heute besteht die frühere Einstimmigkeit nicht mehr. Die Tradition, Paradoxien dieser Art durch „Schichtung“ der Sprache zu beseitigen, bleibt bestehen, es sind jedoch andere Ansätze entstanden.

Wie wir sehen können, haben sich die mit dem „Lügner“ verbundenen Probleme im Laufe der Jahrhunderte radikal verändert, je nachdem, ob er als Beispiel für Mehrdeutigkeit, als Ausdruck, der oberflächlich betrachtet sinnvoll erscheint, aber im Wesentlichen bedeutungslos ist, oder als Beispiel angesehen wurde einer Verwechslung von Sprache und Metasprache. Und es gibt keine Gewissheit, dass dieses Paradoxon in Zukunft nicht auch andere Probleme mit sich bringen wird.

Der finnische Logiker und Philosoph G. von Wright schreibt über seine Arbeit zum „Lügner“, dass dieses Paradoxon auf keinen Fall als lokales, isoliertes Hindernis verstanden werden sollte, das durch eine erfinderische Denkbewegung beseitigt werden kann. „The Liar“ berührt viele der wichtigsten Themen der Logik und Semantik; Dies ist die Definition von Wahrheit und die Interpretation von Widersprüchen und Beweisen sowie eine ganze Reihe wichtiger Unterschiede: zwischen einem Satz und dem Gedanken, den er ausdrückt, zwischen der Verwendung eines Ausdrucks und seiner Erwähnung, zwischen der Bedeutung eines Namens und dem Objekt, das es bezeichnet.

3. Drei unlösbare Streitigkeiten

Ein weiteres berühmtes Paradoxon basiert auf einem kleinen Vorfall, der sich vor mehr als zweitausend Jahren ereignete und bis heute nicht vergessen ist.

Der berühmte Sophist Protagoras, der im 5. Jahrhundert lebte. Vor neue Ära Es gab einen Studenten namens Euathlus, der Jura studierte. Gemäß der zwischen ihnen geschlossenen Vereinbarung musste Evatl die Ausbildung nur dann bezahlen, wenn er seinen ersten Prozess gewann. Verliert er diesen Prozess, ist er überhaupt nicht zur Zahlung verpflichtet. Nach Abschluss seines Studiums beteiligte sich Evatl jedoch nicht an den Prozessen. Dies dauerte ziemlich lange, die Geduld des Lehrers war erschöpft und er verklagte seinen Schüler. Für Euathlus war dies also der erste Prozess; Er würde ihm nicht mehr entkommen können. Protagoras begründete seine Forderung wie folgt: „Wie auch immer das Gericht entscheiden wird, Euathlus muss mich bezahlen.“ Entweder wird er diesen ersten Versuch gewinnen oder verlieren. Wenn er gewinnt, wird er gemäß unserer Vereinbarung zahlen. Wenn er verliert, wird er gemäß der Gerichtsentscheidung zahlen.“

Euathlus scheint ein fähiger Schüler gewesen zu sein, denn er antwortete Protagoras: „In der Tat werde ich den Prozess entweder gewinnen oder verlieren.“ Wenn ich gewinne, entbindet mich die Entscheidung des Gerichts von der Zahlungspflicht. Wenn die Entscheidung des Gerichts nicht zu meinen Gunsten ausfällt, bedeutet das, dass ich meinen ersten Fall verloren habe und aufgrund unserer Vereinbarung nicht zahlen werde.“

Verwundert über diese Wendung der Ereignisse widmete Protagoras diesem Streit mit Euathlus einen speziellen Aufsatz: „The Litigation for Payment“. Leider hat es uns, wie das meiste, was Protagoras schrieb, nicht erreicht. Dennoch müssen wir Protagoras Tribut zollen, der hinter einem einfachen Gerichtsvorfall, der eine besondere Untersuchung verdiente, sofort ein Problem erkannte.

Auch der deutsche Philosoph G. W. Leibniz, ein ausgebildeter Jurist, nahm diesen Streit ernst. In seiner Doktorarbeit „A Study on Confused Cases in Law“ versuchte er zu zeigen, dass alle Fälle, selbst die kompliziertesten, wie der Rechtsstreit von Protagoras und Euathlus, auf der Grundlage des gesunden Menschenverstandes die richtige Lösung finden müssen. Laut Leibniz sollte das Gericht Protagoras wegen verspäteter Klageerhebung ablehnen, sich jedoch das Recht vorbehalten, von Euathlus später, nämlich nach dem ersten gewonnenen Prozess, die Zahlung von Geld zu verlangen.

Es wurden viele andere Lösungen für dieses Paradoxon vorgeschlagen.

Sie verwiesen insbesondere darauf, dass eine gerichtliche Entscheidung größere Wirkung haben sollte als eine private Vereinbarung zwischen zwei Personen. Darauf können wir antworten, dass es ohne diese Vereinbarung, so unbedeutend sie auch erscheinen mag, kein Gericht und keine Entscheidung gäbe. Schließlich muss das Gericht seine Entscheidung genau darüber und auf dieser Grundlage treffen.

Sie wandten sich auch dem allgemeinen Grundsatz zu, dass alle Arbeit und damit die Arbeit von Protagoras bezahlt werden muss. Es ist jedoch bekannt, dass es von diesem Prinzip immer Ausnahmen gab, insbesondere in einer Sklavenhaltergesellschaft. Darüber hinaus ist es einfach nicht auf die konkrete Situation des Streits anwendbar: schließlich garantiert Protagoras hohes Niveau Während seiner Ausbildung weigerte er sich selbst, die Zahlung im Falle eines Scheiterns im ersten Prozess seines Schülers anzunehmen.

Manchmal streiten sie so. Sowohl Protagoras als auch Euathlus haben teilweise Recht, und keiner von beiden hat im Allgemeinen Recht. Jeder von ihnen berücksichtigt nur die Hälfte der Möglichkeiten, die für ihn von Vorteil sind. Eine vollständige oder umfassende Betrachtung eröffnet vier Möglichkeiten, von denen jedoch nur die Hälfte für einen der Streitparteien von Vorteil ist. Welche dieser Möglichkeiten verwirklicht wird, wird nicht die Logik, sondern das Leben entscheiden. Wenn das Urteil des Richters stärker ist als der Vertrag, muss Evatl nur dann zahlen, wenn er den Fall verliert, also aufgrund einer Gerichtsentscheidung. Wenn eine private Vereinbarung über der Entscheidung der Richter steht, erhält Protagoras die Zahlung nur, wenn Euathlus den Fall verliert, also aufgrund einer Vereinbarung mit Protagoras.

Dieser Appell an das „Leben“ bringt alles völlig durcheinander. Woran, wenn nicht an der Logik, können sich Richter orientieren, wenn alle relevanten Umstände völlig klar sind? Und was für eine „Führung“ wird es sein, wenn Protagoras, der die Zahlung vor Gericht einfordert, diese nur dadurch erreicht, dass er den Prozess verliert?

Die auf den ersten Blick überzeugende Entscheidung von Leibniz ist jedoch nur ein geringfügig besserer Ratschlag für das Gericht als der unklare Gegensatz von „Logik“ und „Leben“. Im Wesentlichen schlägt Leibniz vor, den Vertragstext rückwirkend zu ändern und festzulegen, dass der erste Prozess gegen Euathlus, dessen Ausgang über die Frage der Zahlung entscheidet, nicht der Prozess gegen Protagoras sein soll. Der Gedanke ist tiefgründig, aber nicht auf ein bestimmtes Gericht bezogen. Hätte es eine solche Klausel in der ursprünglichen Vereinbarung gegeben, wäre die Notwendigkeit eines Rechtsstreits überhaupt nicht entstanden.

Wenn wir mit der Lösung dieser Schwierigkeit die Antwort auf die Frage meinen, ob Euathlus Protagoras bezahlen soll oder nicht, dann sind alle diese, wie alle anderen denkbaren Lösungen, natürlich unhaltbar. Sie stellen nichts anderes dar als eine Abweichung vom Kern des Streits; sie sind sozusagen Tricks und Tricks in einer aussichtslosen und unlösbaren Situation, da weder der gesunde Menschenverstand noch allgemeine Prinzipien der sozialen Beziehungen in der Lage sind, den Streit zu lösen.

Es ist unmöglich, einen Vertrag in seiner ursprünglichen Form und eine gerichtliche Entscheidung, wie auch immer diese ausfallen mag, gleichzeitig auszuführen. Um dies zu beweisen, genügen einfache Mittel der Logik. Mit denselben Mitteln lässt sich auch zeigen, dass der Vertrag trotz seines völlig harmlosen Aussehens in sich widersprüchlich ist. Es erfordert die Umsetzung eines logisch unmöglichen Satzes: Evatl muss gleichzeitig für die Ausbildung bezahlen und gleichzeitig nicht bezahlen.

Im antiken Griechenland war die Geschichte vom Krokodil und seiner Mutter sehr beliebt.

„Das Krokodil schnappte einer Frau, die am Flussufer stand, ein Kind. Auf ihre Bitte, das Kind zurückzugeben, antwortete das Krokodil, wie immer eine Krokodilsträne vergießend:

Ihr Unglück hat mich berührt und ich werde Ihnen eine Chance geben, Ihr Kind zurückzubekommen. Rate mal, ob ich es dir gebe oder nicht. Wenn Sie richtig antworten, werde ich das Kind zurückgeben. Wenn Sie es nicht erraten, werde ich es nicht verraten.

Nachdem sie nachgedacht hatte, antwortete die Mutter:

Du wirst mir das Kind nicht geben.

Du wirst es nicht bekommen“, schloss das Krokodil. - Du hast entweder die Wahrheit gesagt oder gelogen. Wenn es wahr ist, dass ich das Kind nicht hergeben werde, werde ich es nicht hergeben, denn sonst wäre das Gesagte nicht wahr. Wenn das Gesagte nicht stimmt, dann haben Sie nicht richtig geraten, und ich werde das Kind nicht einvernehmlich abgeben.

Die Mutter fand diese Argumentation jedoch nicht überzeugend.

Aber wenn ich die Wahrheit sage, dann gibst du mir das Kind, wie wir es vereinbart haben. Wenn ich nicht geahnt hätte, dass du das Kind weggeben würdest, dann musst du es mir geben, sonst wäre das, was ich gesagt habe, nicht unwahr.“

Wer hat Recht: die Mutter oder das Krokodil? Wozu verpflichtet sein Versprechen das Krokodil? Das Kind weggeben oder im Gegenteil nicht weggeben?

Und zwar zu beidem gleichzeitig. Dieses Versprechen ist in sich widersprüchlich und daher aufgrund der Gesetze der Logik unmöglich zu erfüllen.

Dieses Paradoxon spielt sich in „Don Quijote“ von M. Cervantes ab. Sancho Panza wurde Gouverneur der Insel Barataria und verwaltete den Hof. Der erste, der zu ihm kommt, ist ein Besucher und sagt: „Herr, ein bestimmtes Anwesen wird durch einen Hochwasserfluss in zwei Hälften geteilt... Über diesen Fluss wird eine Brücke geworfen, und genau dort am Rand steht ein Galgen und es gibt so etwas wie ein Gericht, in dem normalerweise vier Richter sitzen und nach dem Gesetz urteilen, das der Eigentümer des Flusses, der Brücke und des gesamten Anwesens erlassen hat. Das Gesetz ist wie folgt formuliert: „Jeder, der eine Flussbrücke überquert, muss unter Eid erklären, wohin und warum er geht.“ Wer die Wahrheit sagt, wird durchgelassen, und wer lügt, wird an den Galgen geschickt und gnadenlos hingerichtet.“ Seit der Verkündung dieses Gesetzes gelang es vielen Menschen, die Brücke zu überqueren, und sobald die Richter sicher waren, dass die Passanten die Wahrheit sagten, ließen sie sie durch. Doch eines Tages schwor ein gewisser Mann, der einen Eid abgelegt hatte, und sagte, er sei gekommen, um an diesem Galgen gehängt zu werden, und zwar für nichts anderes. Dieser Eid verwirrte die Richter und sie sagten: „Wenn dieser Mann ungehindert weitermachen darf, bedeutet das, dass er seinen Eid gebrochen hat und nach dem Gesetz des Todes schuldig ist; Wenn er gehängt wird, dann hat er geschworen, dass er nur gekommen ist, um an den Galgen gehängt zu werden. Daher ist sein Eid nicht falsch und auf der Grundlage desselben Gesetzes sollte er durchgelassen werden.“ Ich frage Sie, Señor Gouverneur, was die Richter mit diesem Mann machen sollen, denn sie sind immer noch ratlos und zögernd.

Sancho schlug vielleicht nicht ohne List vor: Lassen Sie die Hälfte der Person, die die Wahrheit gesagt hat, durchlassen, und die Hälfte, die gelogen hat, sollte gehängt werden, damit die Regeln für das Überqueren der Brücke in vollem Umfang eingehalten werden.“

Diese Passage ist in mehrfacher Hinsicht interessant. Erstens ist er es klare Darstellung dass die im Paradox beschriebene hoffnungslose Situation durchaus eintreten kann – und zwar nicht in der reinen Theorie, sondern in der Praxis – wenn nicht ein echter Mann, dann zumindest ein literarischer Held.

Die von Sancho Panza vorgeschlagene Lösung war natürlich keine Lösung des Paradoxons. Aber genau diese Lösung blieb ihm in seiner Situation als einziger übrig.

Es war einmal, als Alexander der Große den kniffligen Gordischen Knoten einfach durchtrennte, anstatt ihn zu lösen, was noch niemandem gelungen war. Sancho tat dasselbe. Der Versuch, das Rätsel auf eigene Faust zu lösen, war vergeblich – es war einfach unlösbar. Es blieb nur noch, diese Bedingungen zu verwerfen und unsere eigenen einzuführen.

Mit dieser Episode verurteilt Cervantes eindeutig das übermäßig formalisierte Ausmaß der mittelalterlichen Gerechtigkeit, das vom Geist der scholastischen Logik durchdrungen ist. Aber wie weit verbreitet waren zu seiner Zeit – und das war vor etwa vierhundert Jahren – Informationen aus dem Bereich der Logik! Nicht nur Cervantes selbst ist sich dieses Paradoxons bewusst. Der Autor findet es möglich, seinem Helden, einem ungebildeten Bauern, die Fähigkeit zuzuschreiben, zu verstehen, dass er vor einer unlösbaren Aufgabe steht!

Und schließlich eine der modernen Paraphrasen des Streits zwischen Protagoras und Euathlus.

Der Missionar landete bei den Kannibalen und kam gerade rechtzeitig zum Mittagessen an. Sie lassen ihm die Wahl, in welcher Form er gegessen wird. Dazu muss er eine Aussage mit einer Bedingung machen: Wenn sich diese Aussage als wahr herausstellt, werden sie ihn kochen, und wenn sich herausstellt, dass sie falsch ist, werden sie ihn braten. Was sollten Sie dem Missionar sagen?

Natürlich muss er sagen: „Du wirst mich rösten.“ Wenn er wirklich gebraten ist, wird sich herausstellen, dass er die Wahrheit gesagt hat und deshalb muss er gekocht werden. Wenn er gekocht wird, ist seine Aussage falsch und er sollte gebraten werden. Den Kannibalen bleibt keine Wahl: Aus „braten“ kommt „kochen“ und umgekehrt.

4. Einige moderne Paradoxien

Den gravierendsten Einfluss nicht nur auf die Logik, sondern auch auf die Mathematik hatte das vom englischen Logiker und Philosophen des letzten Jahrhunderts B. Russell entdeckte Paradoxon.

Russell entwickelte eine beliebte Version seines Paradoxons – das „Barber-Paradoxon“. Nehmen wir an, dass der Rat eines Dorfes die Pflichten des Dorffriseurs wie folgt definiert hat: alle Männer zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese Männer. Sollte er sich rasieren?

Wenn ja, wird er sich auf diejenigen beziehen, die sich rasieren; aber wer sich rasiert, der soll sich nicht rasieren. Wenn nicht, wird er einer von denen sein, die sich nicht rasieren, und deshalb wird er sich rasieren müssen. Wir kommen daher zu dem Schluss, dass dieser Friseur sich genau dann rasiert, wenn er sich nicht selbst rasiert. Das ist natürlich unmöglich.

In seiner ursprünglichen Version betrifft Russells Paradoxon Mengen, also Sammlungen von Objekten, die einander einigermaßen ähnlich sind. Bezüglich einer beliebigen Menge kann man die Frage stellen: Ist sie ein eigenes Element oder nicht? Somit ist die Menge der Pferde kein Pferd und daher kein eigentliches Element. Aber eine Vielzahl von Ideen ist eine Idee und enthält sich selbst; Ein Verzeichnis von Verzeichnissen ist wieder ein Verzeichnis. Auch die Menge aller Mengen ist ein eigenes Element, da sie eine Menge ist. Nachdem wir alle Mengen in solche unterteilt haben, die echte Elemente sind, und solche, die es nicht sind, können wir fragen: Enthält die Menge aller Mengen, die keine echten Elemente sind, sich selbst als Element oder nicht? Die Antwort erweist sich jedoch als entmutigend: Diese Menge ist nur dann ein eigenes Element, wenn sie kein solches Element ist.

Diese Argumentation basiert auf der Annahme, dass es eine Menge aller Mengen gibt, die keine eigenen Elemente sind. Der aus dieser Annahme resultierende Widerspruch bedeutet, dass eine solche Menge nicht existieren kann. Aber warum ist ein so einfacher und klarer Satz unmöglich? Was ist der Unterschied zwischen möglichen und unmöglichen Mengen?

Forscher beantworten diese Fragen auf unterschiedliche Weise. Entdeckung des Russellschen Paradoxons und anderer Paradoxien mathematische Theorie Sets führten zu einer entscheidenden Überarbeitung seiner Grundlagen. Es diente insbesondere als Anreiz, „zu große Mengen“ ähnlich der Menge aller Mengen von der Betrachtung auszuschließen, die Regeln für den Umgang mit Mengen usw. einzuschränken. Trotz der Vielzahl bisher vorgeschlagener Methoden zur Eliminierung von Paradoxien aus der Mengenlehre, vollständig Über die Ursachen ihres Auftretens besteht noch keine Einigkeit. Dementsprechend gibt es keinen einzigen, unbedenklichen Weg, deren Entstehung zu verhindern.

Die obige Diskussion über den Friseur basiert auf der Annahme, dass es einen solchen Friseur gibt. Der daraus resultierende Widerspruch bedeutet, dass diese Annahme falsch ist und es keinen Bewohner des Dorfes gibt, der alle diejenigen rasieren würde, und nur diejenigen Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren.

Die Aufgaben eines Friseurs scheinen auf den ersten Blick nicht widersprüchlich zu sein, daher klingt die Schlussfolgerung, dass es ihn nicht geben kann, etwas unerwartet. Aber diese Schlussfolgerung ist nicht paradox. Die Bedingung, die der „Dorffriseur“ erfüllen muss, ist in Wirklichkeit widersprüchlich und daher unmöglich zu erfüllen. Einen solchen Friseur kann es im Dorf aus dem gleichen Grund nicht geben, weil es dort keine Person gibt, die älter ist als er selbst oder die vor seiner Geburt geboren wurde.

Den Streit um den Friseur kann man als Pseudoparadoxon bezeichnen. In seinem Verlauf ähnelt es strikt dem Russellschen Paradoxon und ist deshalb interessant. Aber es ist immer noch kein echtes Paradoxon.

Ein weiteres Beispiel für dasselbe Pseudoparadoxon ist das berühmte Argument über den Katalog.

Eine bestimmte Bibliothek beschloss, einen bibliografischen Katalog zu erstellen, der alle und nur diejenigen bibliografischen Kataloge umfassen würde, die keine Links zu sich selbst enthalten. Sollte ein solches Verzeichnis einen Link zu sich selbst enthalten?

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Idee, ein solches Verzeichnis zu erstellen, undurchführbar ist: Es kann einfach nicht existieren, da es gleichzeitig einen Link zu sich selbst enthalten muss und diesen nicht enthalten darf.

Es ist interessant festzustellen, dass die Katalogisierung aller Verzeichnisse, die keinen Verweis auf sich selbst enthalten, als ein endloser, niemals enden wollender Prozess betrachtet werden kann.

Nehmen wir an, dass irgendwann ein Verzeichnis, sagen wir K1, kompiliert wurde, einschließlich aller davon verschiedenen Verzeichnisse, die keine Links zu sich selbst enthalten. Mit der Erstellung von K1 erschien ein weiteres Verzeichnis, das keinen Link zu sich selbst enthielt. Da das Problem darin besteht, einen vollständigen Katalog aller Kataloge zu erstellen, die sich selbst nicht erwähnen, liegt es auf der Hand, dass K1 keine Lösung darstellt. Eines dieser Verzeichnisse erwähnt er nicht – sich selbst. Durch die Aufnahme dieser Erwähnung seiner Person in K1 erhalten wir Katalog K2. Es erwähnt K1, aber nicht K2 selbst. Durch das Hinzufügen einer solchen Erwähnung zu K2 erhalten wir KZ, das wiederum unvollständig ist, da es sich selbst nicht erwähnt. Und so endlos weiter.

Ein interessantes logisches Paradoxon wurde von den deutschen Logikern K. Grelling und L. Nelson entdeckt (Grellings Paradoxon). Dieses Paradox lässt sich sehr einfach formulieren.

Einige Eigenschaftswörter haben genau die Eigenschaft, die sie benennen. Zum Beispiel ist das Adjektiv „Russisch“ selbst russisch, „mehrsilbig“ ist selbst mehrsilbig und „fünfsilbig“ hat selbst fünf Silben. Solche auf sich selbst bezogenen Wörter werden „selbstbedeutend“ oder „autologisch“ genannt. Es gibt nicht viele ähnliche Wörter; die überwiegende Mehrheit der Adjektive hat nicht die Eigenschaft, die sie nennen. „New“ ist natürlich nicht neu, „hot“ ist heiß, „monosyllabic“ besteht aus einer Silbe, „English“ ist Englisch. Wörter, die nicht die Eigenschaft haben, die sie bezeichnen, werden „fremd“ oder „heterologisch“ genannt. Offensichtlich sind alle Adjektive, die Eigenschaften bezeichnen, die nicht auf Wörter angewendet werden können, heterologisch.

Diese Einteilung der Adjektive in zwei Gruppen erscheint klar und unbedenklich. Es kann auf Substantive erweitert werden: „Wort“ ist ein Wort, „Substantiv“ ist ein Substantiv, aber „Uhr“ ist keine Uhr und „Verb“ ist kein Verb.

Ein Paradox entsteht, sobald die Frage gestellt wird: Zu welcher der beiden Gruppen gehört das Adjektiv „heterologisch“ selbst? Wenn es autolog ist, hat es die Eigenschaft, die es bezeichnet, und muss heterolog sein. Wenn es heterologisch ist, hat es nicht die Eigenschaft, die es nennt, und muss daher autologisch sein. Es gibt ein Paradoxon.

Es stellte sich heraus, dass Grellings Paradoxon bereits im Mittelalter als Antinomie eines Ausdrucks bekannt war, der sich selbst nicht benennt.

Eine andere, scheinbar einfache Antinomie wurde gleich zu Beginn des letzten Jahrhunderts von D. Berry aufgezeigt.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Die Menge der Namen dieser Zahlen, die beispielsweise in der russischen Sprache verfasst sind und weniger als beispielsweise hundert Wörter enthalten, ist endlich. Das bedeutet, dass es natürliche Zahlen gibt, für die es im Russischen keine Namen gibt, die aus weniger als hundert Wörtern bestehen. Unter diesen Zahlen gibt es offensichtlich kleinste Zahl. Es kann nicht mit einem russischen Ausdruck benannt werden, der weniger als hundert Wörter enthält. Aber der Ausdruck: „Die kleinste natürliche Zahl, für die es sie im Russischen nicht gibt.“ schwieriger Name„, bestehend aus weniger als hundert Wörtern“, ist genau der Name dieser Zahl! Dieser Name wurde gerade auf Russisch formuliert und enthält nur neunzehn Wörter. Ein offensichtliches Paradoxon: Es stellte sich heraus, dass die genannte Zahl diejenige war, für die es keinen Namen gab!

5. Was sagen Paradoxien?

paradoxes Lügner-Logik-Argument

Die betrachteten Paradoxien sind nur ein Teil aller bisher entdeckten. Es ist wahrscheinlich, dass in Zukunft noch viele weitere und sogar völlig neue Arten entdeckt werden. Der Begriff des Paradoxes selbst ist nicht so definiert, dass es möglich wäre, eine Liste zumindest bereits bekannter Paradoxien zusammenzustellen.

Ein logisches Wörterbuch wird als notwendiges Merkmal logischer Paradoxien angesehen. Als logisch eingestufte Paradoxien müssen logisch formuliert werden. Allerdings gibt es in der Logik keine klaren Kriterien für die Einteilung von Begriffen in logische und außerlogische. Die Logik, die sich mit der Richtigkeit des Denkens beschäftigt, versucht, die Konzepte, von denen die Richtigkeit praktisch angewandter Schlussfolgerungen abhängt, auf ein Minimum zu reduzieren. Dieses Minimum ist jedoch nicht eindeutig vorgegeben. Darüber hinaus können nichtlogische Aussagen logisch formuliert werden. Ob ein bestimmtes Paradoxon nur rein logische Prämissen verwendet, lässt sich nicht immer eindeutig bestimmen.

Logische Paradoxien werden nicht strikt von allen anderen Paradoxien getrennt, ebenso wie letztere nicht klar von allem unterschieden werden, was nicht paradox ist und mit den vorherrschenden Ideen vereinbar ist.

Zu Beginn des Studiums logischer Paradoxien schien es, dass sie durch die Verletzung einer noch nicht untersuchten Regel der Logik identifiziert werden könnten. Das von Russell eingeführte „Prinzip eines Teufelskreises“ beanspruchte besonders aktiv die Rolle einer solchen Regel. Dieses Prinzip besagt, dass eine Sammlung von Objekten keine Mitglieder enthalten kann, die nur durch dieselbe Sammlung definierbar sind.

Alle Paradoxien haben eines allgemeines Eigentum- Selbstanwendbarkeit oder Zirkularität. In jedem von ihnen wird das betreffende Objekt durch eine bestimmte Menge von Objekten charakterisiert, zu der es selbst gehört. Wenn wir beispielsweise eine Person als die Schlaueste einer Klasse herausgreifen, tun wir dies mit Hilfe der Gesamtheit der Personen, zu denen diese Person gehört (unter Verwendung von „seiner Klasse“). Und wenn wir sagen: „Diese Aussage ist falsch“, charakterisieren wir die betreffende Aussage durch Bezugnahme auf die Menge aller falschen Aussagen, die sie enthält.

In allen Paradoxien gibt es eine Selbstanwendbarkeit, das heißt, es gibt sozusagen eine Bewegung im Kreis, die letztlich zum Ausgangspunkt führt. Um ein für uns interessantes Objekt zu charakterisieren, wenden wir uns der Gesamtheit der Objekte zu, die es umfasst. Es stellt sich jedoch heraus, dass es für seine Bestimmtheit selbst den betreffenden Gegenstand benötigt und ohne ihn nicht klar verstanden werden kann. In diesem Kreis liegt vielleicht die Quelle der Paradoxien.

Die Situation wird jedoch dadurch erschwert, dass ein solcher Kreis auch in vielen völlig nichtparadoxen Argumenten auftaucht. Rundschreiben ist eine große Vielfalt der gebräuchlichsten, harmlosesten und zugleich bequemsten Ausdrucksformen. Beispiele wie „die größte aller Städte“, „die kleinste aller natürlichen Zahlen“, „eines der Elektronen des Eisenatoms“ usw. zeigen, dass nicht jeder Fall der Selbstanwendbarkeit zu einem Widerspruch führt und dass dies der Fall ist wird nicht nur in der Alltagssprache, sondern auch in der Wissenschaftssprache häufig verwendet.

Der bloße Verweis auf die Verwendung selbst anwendbarer Konzepte reicht daher nicht aus, um Paradoxien zu diskreditieren. Es bedarf eines zusätzlichen Kriteriums, um die Selbstanwendbarkeit, die zu einem Paradoxon führt, von allen anderen Fällen zu trennen.

Diesbezüglich gab es viele Vorschläge, es konnte jedoch nie eine erfolgreiche Klärung von „circular™“ gefunden werden. Es erwies sich als unmöglich, Zirkularität so zu charakterisieren, dass jede Zirkelschlussfolgerung zu einem Paradoxon führt und jedes Paradoxon das Ergebnis einer Zirkelschlussfolgerung ist.

Der Versuch, ein bestimmtes logisches Prinzip zu finden, dessen Verletzung ein charakteristisches Merkmal aller logischen Paradoxien wäre, führte zu nichts Bestimmtem.

Zweifellos wäre eine gewisse Klassifizierung von Paradoxien nützlich, indem man sie in Typen und Typen unterteilt, einige Paradoxien gruppiert und sie anderen gegenüberstellt. Allerdings wurde auch hier nichts Dauerhaftes erreicht.

Das Paradoxon erscheint nicht immer in einer so transparenten Form wie beispielsweise im Fall des Lügnerparadoxons oder des Russell-Paradoxons. Manchmal erweist sich ein Paradox als eine einzigartige Form der Problemstellung, bei der es schwierig ist, überhaupt zu entscheiden, was genau das Problem ist. Das Nachdenken über solche Probleme führt in der Regel zu keinem konkreten Ergebnis. Aber als logisches Training ist es zweifellos nützlich.

Der antike griechische Philosoph Gorgias schrieb einen Aufsatz mit dem faszinierenden Titel „Über das Nichtexistente oder über die Natur“.

So entfaltet sich Gorgias‘ Argumentation über die Nichtexistenz der Natur. Zunächst wird bewiesen, dass nichts existiert. Sobald der Beweis abgeschlossen ist, wird sozusagen ein Schritt zurück gemacht und angenommen, dass noch etwas existiert. Aus dieser Annahme folgt, dass das, was existiert, für den Menschen unverständlich ist. Wieder einmal wird ein Schritt zurück gemacht und entgegen allem, was bereits bewiesen scheint, davon ausgegangen, dass das, was existiert, noch verständlich ist. Aus der letzten Annahme folgt, dass das Verständliche für einen anderen unaussprechlich und unerklärlich ist.

Was genau waren die Probleme, die Gorgias aufwerfen wollte? Es ist unmöglich, diese Frage eindeutig zu beantworten. Es ist offensichtlich, dass Gorgias' Argumentation uns mit Widersprüchen konfrontiert und uns dazu ermutigt, nach einem Ausweg zu suchen, um sie loszuwerden. Doch auf welche Probleme die Widersprüche genau hinweisen und in welche Richtung ihre Lösung zu suchen ist, ist völlig unklar.

Über den alten chinesischen Philosophen Hui Shi ist bekannt, dass er sehr vielseitig war und seine Schriften fünf Karren füllen konnten. Er argumentierte insbesondere: „Was keine Dicke hat, kann nicht angesammelt werden, und dennoch kann sich seine Masse über tausend Meilen erstrecken.“ - Himmel und Erde sind gleich niedrig; Berge und Sümpfe sind gleichermaßen eben. - Die Sonne hat gerade ihren Zenit erreicht und ist bereits im Sonnenuntergang; etwas, das gerade geboren wurde, stirbt bereits. - Die Südseite der Welt kennt keine Grenzen und hat gleichzeitig eine Grenze. „Ich bin heute erst nach Yue gegangen, aber dort bin ich schon vor langer Zeit angekommen.“

Hui Shi selbst hielt seine Sprüche für großartig und enthüllte die verborgenste Bedeutung der Welt. Kritiker fanden seine Lehre widersprüchlich und verwirrend und erklärten, dass „seine voreingenommenen Worte nie ins Schwarze trafen“. Insbesondere in der alten philosophischen Abhandlung „Zhuang Tzu“ heißt es: „Wie schade, dass Hui Shi sein Talent gedankenlos für unnötige Dinge verschwendete und nicht zu den Quellen der Wahrheit gelangte!“ Er verfolgte die äußere Seite der Dunkelheit der Dinge und konnte nicht zu ihrem innersten Anfang zurückkehren. Es ist, als würde man versuchen, einem Echo zu entkommen, indem man Geräusche macht, oder als würde man versuchen, aus dem eigenen Schatten zu fliehen. Ist es nicht traurig?

Gut gesagt, aber kaum fair.

Der Eindruck von Verwirrung und Widersprüchlichkeit in Hui Shis Aussagen ist auf die äußere Seite der Sache zurückzuführen, auf die Tatsache, dass er seine Probleme in paradoxer Form darstellt. Was man ihm vorwerfen könnte, ist, dass er aus irgendeinem Grund das Aufwerfen eines Problems als dessen Lösung ansieht.

Wie bei vielen anderen Paradoxien ist es schwierig, mit Sicherheit zu sagen, welche spezifischen Fragen sich hinter Hui Shis Aphorismen verbergen.

Welche intellektuelle Schwierigkeit deutet seine Aussage an, dass jemand, der gerade irgendwohin aufgebrochen ist, dort längst angekommen ist? Dies kann so interpretiert werden, dass man sich vor der Abreise zu einem bestimmten Ort diesen Ort vorstellen und ihn sozusagen besuchen muss. Eine Person, die wie Hui Shi nach Yue geht, behält diesen Punkt ständig im Hinterkopf und scheint während der gesamten Zeit, in der sie sich darauf zubewegt, darin zu bleiben. Aber wenn jemand, der gerade zu Yue gegangen ist, schon seit langer Zeit dort ist, warum sollte er dann überhaupt dorthin gehen? Es ist nicht ganz klar, welche Schwierigkeit hinter dieser einfachen Aussage steckt.

Welche Schlussfolgerungen für die Logik ergeben sich aus der Existenz von Paradoxien?

Zunächst einmal die Verfügbarkeit große Zahl Paradoxien spricht von der Stärke der Logik als Wissenschaft und nicht von ihrer Schwäche, wie es scheinen könnte. Es ist kein Zufall, dass die Entdeckung der Paradoxien mit der Zeit der intensivsten Entwicklung der modernen Logik und ihrer größten Erfolge zusammenfiel.

Die ersten Paradoxien wurden bereits vor der Entstehung der Logik als Spezialwissenschaft entdeckt. Im Mittelalter wurden viele Paradoxien entdeckt. Später gerieten sie jedoch in Vergessenheit und wurden im letzten Jahrhundert wiederentdeckt.

Erst die moderne Logik hat das eigentliche Problem der Paradoxien aus der Vergessenheit geholt und die meisten spezifischen logischen Paradoxien entdeckt oder wiederentdeckt. Sie zeigte weiterhin, dass die traditionell von der Logik untersuchten Denkmethoden völlig unzureichend sind, um Paradoxien zu beseitigen, und zeigte grundlegend neue Methoden für den Umgang mit ihnen auf.

Paradoxe werfen eine wichtige Frage auf: Wo versagen uns tatsächlich einige konventionelle Methoden der Konzeptbildung und Argumentationsmethoden? Schließlich wirkten sie völlig natürlich und überzeugend, bis sich herausstellte, dass sie paradox waren.

Paradoxe untergraben die Überzeugung, dass die üblichen Methoden des theoretischen Denkens allein und ohne besondere Kontrolle über sie einen zuverlässigen Fortschritt auf dem Weg zur Wahrheit ermöglichen.

Paradoxien fordern eine radikale Änderung einer allzu leichtgläubigen Herangehensweise an die Theoriebildung und stellen eine scharfe Kritik der Logik in ihrer naiven, intuitiven Form dar. Sie spielen die Rolle eines Faktors, der die Art und Weise der Konstruktion deduktiver Logiksysteme kontrolliert und einschränkt. Und ihre Rolle kann mit der Rolle eines Experiments verglichen werden, das die Richtigkeit von Hypothesen in Wissenschaften wie Physik und Chemie prüft und Änderungen an diesen Hypothesen erzwingt.

Ein Paradoxon in einer Theorie spricht von der Unvereinbarkeit der ihr zugrunde liegenden Annahmen. Es handelt sich um ein rechtzeitig erkanntes Krankheitssymptom, ohne das es hätte übersehen werden können.

Natürlich manifestiert sich die Krankheit auf unterschiedliche Weise und kann am Ende ohne so akute Symptome wie Paradoxien aufgedeckt werden. Nehmen wir an, die Grundlagen der Mengenlehre wären analysiert und geklärt, selbst wenn auf diesem Gebiet keine Paradoxien entdeckt worden wären. Aber es hätte nicht die Schärfe und Dringlichkeit gegeben, mit der die darin entdeckten Paradoxien das Problem einer Revision der Mengenlehre aufgeworfen hätten.

Den Paradoxien ist eine umfangreiche Literatur gewidmet, und es wurden zahlreiche Erklärungen vorgeschlagen. Aber keine dieser Erklärungen wird allgemein akzeptiert, und es besteht keine vollständige Einigkeit über den Ursprung von Paradoxien und Möglichkeiten, sie zu beseitigen.

Es ist ein wichtiger Unterschied zu beachten. Paradoxien zu beseitigen und zu lösen ist nicht dasselbe. Ein Paradox aus einer Theorie zu eliminieren bedeutet, sie so zu rekonstruieren, dass sich die paradoxe Aussage darin als unbeweisbar erweist. Jedes Paradoxon beruht auf einer Vielzahl von Definitionen und Annahmen. Seine theoretische Schlussfolgerung stellt eine bestimmte Argumentationskette dar. Formal gesehen kann man jedes seiner Glieder in Frage stellen, es beseitigen und so die Kette durchbrechen und das Paradoxon beseitigen. In vielen Werken wird dies getan und ist darauf beschränkt.

Aber das ist noch keine Lösung des Paradoxons. Es reicht nicht aus, einen Weg zu finden, dies auszuschließen; man muss die vorgeschlagene Lösung überzeugend begründen. Der Zweifel selbst an einem Schritt, der zu einem Paradoxon führt, muss begründet sein.

Erstens muss die Entscheidung, auf alle logischen Mittel zur Ableitung einer paradoxen Aussage zu verzichten, mit unseren allgemeinen Überlegungen zur Natur logischer Beweise und anderer logischer Intuitionen verknüpft werden. Ist dies nicht der Fall, entbehrt die Beseitigung des Paradoxons jeder soliden und stabilen Grundlage und verkommt zu einer primär technischen Aufgabe.

Darüber hinaus garantiert die Ablehnung einer Annahme, selbst wenn sie die Beseitigung eines bestimmten Paradoxons gewährleistet, nicht automatisch die Beseitigung aller Paradoxien. Dies legt nahe, dass Paradoxien nicht einzeln „gejagt“ werden sollten. Der Ausschluss eines Paradoxes sollte immer so begründet sein, dass eine gewisse Garantie dafür besteht, dass andere Paradoxien durch denselben Schritt beseitigt werden.

Und schließlich kann eine unüberlegte und leichtsinnige Ablehnung zu vieler oder zu starker Annahmen einfach dazu führen, dass das Ergebnis zwar keine Paradoxien enthält, aber eine deutlich schwächere Theorie ist, die nur privates Interesse hat.

G. Frege, einer der Begründer der modernen Logik, hatte einen sehr schlechten Charakter. Darüber hinaus kritisierte er seine Zeitgenossen bedingungslos und sogar grausam. Vielleicht fand sein Beitrag zur Logik und zur Begründung der Mathematik deshalb lange Zeit keine Anerkennung. Und als es zu kommen begann, schrieb ihm der junge englische Logiker Russell, dass in dem System, das im ersten Band seines wichtigsten Buches „The Fundamental Laws of Arithmetic“ veröffentlicht wurde, ein Widerspruch entstanden sei. Der zweite Band dieses Buches war bereits im Druck, aber Frege fügte ihm einen speziellen Anhang hinzu, in dem er diesen Widerspruch (Russells Paradoxon) darlegte und zugab, dass er ihn nicht beseitigen konnte.

Die Folgen waren für Frege tragisch. Er war damals erst fünfundfünfzig Jahre alt, aber nach dem Schock, den er erlebte, veröffentlichte er kein weiteres bedeutendes Werk über Logik, obwohl er mehr als zwanzig Jahre lebte. Er reagierte nicht einmal auf die lebhafte Diskussion, die Russells Paradoxon auslöste, und reagierte in keiner Weise auf die zahlreichen Lösungsvorschläge für dieses Paradoxon.

Welchen Eindruck die neu entdeckten Paradoxien auf Mathematiker und Logiker machten, brachte der herausragende Mathematiker D. Hilbert treffend zum Ausdruck: „... Der Zustand, in dem wir uns jetzt in Bezug auf Paradoxien befinden, ist für lange Zeit unerträglich.“ Denken Sie: In der Mathematik – diesem Beispiel für Zuverlässigkeit und Wahrheit – führt die Bildung von Konzepten und der Verlauf von Schlussfolgerungen, wie sie jeder studiert, lehrt und anwendet, zur Absurdität. Wo soll man nach Verlässlichkeit und Wahrheit suchen, wenn selbst das mathematische Denken selbst scheitert?“

Frege war ein typischer Vertreter der Logik des späten 19. Jahrhunderts, frei von jeglichen Paradoxien, von der Logik überzeugt, von ihren Fähigkeiten überzeugt und erhob den Anspruch, selbst für die Mathematik ein Kriterium der Strenge zu sein. Die Paradoxien zeigten, dass die „absolute Strenge“, die die vermeintliche Logik erreichte, nichts weiter als eine Illusion war. Sie zeigten unbestreitbar, dass die Logik – in der intuitiven Form, die sie damals hatte – einer tiefgreifenden Überarbeitung bedarf.

Ein ganzes Jahrhundert ist vergangen, seit eine lebhafte Diskussion über Paradoxien begann. Die versuchte Revision der Logik führte jedoch nicht zu einer eindeutigen Lösung dieser Probleme.

Und gleichzeitig erscheint ein solcher Zustand mittlerweile kaum noch jemandem unerträglich. Mit der Zeit wurde die Haltung gegenüber Paradoxien ruhiger und sogar toleranter als zur Zeit ihrer Entdeckung.

Der Punkt ist nicht nur, dass Paradoxien zwar unangenehm, aber dennoch vertraut geworden sind. Und natürlich nicht, dass sie sich damit abgefunden hätten. Sie bleiben immer noch im Mittelpunkt der Aufmerksamkeit der Logiker und die Suche nach ihren Lösungen geht aktiv weiter.

Die Situation hat sich vor allem in dem Sinne geändert, dass die Paradoxien sozusagen lokalisiert wurden. Sie haben ihren festen, wenn auch problematischen Platz im breiten Spektrum der logischen Forschung gefunden.

Es wurde deutlich, dass absolute Strenge, wie sie am Ende des letzten Jahrhunderts und manchmal sogar zu Beginn dieses Jahrhunderts dargestellt wurde, grundsätzlich ein unerreichbares Ideal ist.

Es wurde auch erkannt, dass es kein einzelnes, isoliertes Problem von Paradoxien gibt. Die damit verbundenen Probleme beziehen sich auf verschiedene Typen und betreffen im Wesentlichen alle Hauptabschnitte der Logik. Die Entdeckung eines Paradoxons zwingt uns dazu, unsere logischen Intuitionen gründlich zu analysieren und die Grundlagen der Logikwissenschaft systematisch zu überarbeiten. Gleichzeitig ist der Wunsch, Paradoxien zu vermeiden, weder der einzige noch vielleicht sogar der einzige Hauptaufgabe. Obwohl sie wichtig sind, sind sie nur ein Grund zum Nachdenken zentrale Themen Logik. Wenn wir den Vergleich von Paradoxien mit besonders ausgeprägten Symptomen einer Krankheit fortsetzen, können wir sagen, dass der Wunsch, Paradoxien sofort zu beseitigen, dem Wunsch ähnelt, solche Symptome zu beseitigen, ohne sich besonders um die Krankheit selbst zu kümmern. Es geht nicht nur um die Lösung von Paradoxien, sondern auch um deren Erklärung, um unser Verständnis der logischen Gesetze des Denkens zu vertiefen.

Das Nachdenken über Paradoxien ist zweifellos einer der besten Tests unserer logischen Fähigkeiten und eine der effektivsten Methoden, diese zu trainieren.

Paradoxien kennenzulernen und den dahinter stehenden Problemen auf den Grund zu gehen, ist keine leichte Aufgabe. Es erfordert maximale Konzentration und intensives Nachdenken über mehrere scheinbar einfache Aussagen. Nur unter dieser Voraussetzung kann das Paradoxon verstanden werden. Es ist schwer zu behaupten, neue Lösungen für logische Paradoxien zu erfinden, aber sich bereits mit den vorgeschlagenen Lösungen vertraut zu machen, ist eine gute Schule der praktischen Logik.

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