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Trigonometrische Gleichungen- Das Thema ist nicht das einfachste. Sie sind zu vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und dergleichen...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Es werden alle Ausdrücke mit x gefunden innerhalb derselben Funktionen. Und nur dort! Wenn X irgendwo auftaucht draußen, Zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Solche Gleichungen erfordern individueller Ansatz. Wir werden sie hier nicht berücksichtigen.

Wir werden in dieser Lektion auch keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Warum? Ja, weil die Lösung beliebig trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Phasen. Im ersten Schritt wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Im zweiten Schritt wird diese einfachste Gleichung gelöst. Kein anderer Weg.

Wenn Sie also auf der zweiten Stufe Probleme haben, macht die erste Stufe wenig Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hier A steht für eine beliebige Zahl. Beliebig.

Übrigens gibt es innerhalb einer Funktion möglicherweise kein reines X, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies erschwert das Leben, hat jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: die Verwendung von Logik und dem trigonometrischen Kreis. Wir werden uns diesen Weg hier ansehen. Der zweite Weg – die Verwendung von Gedächtnis und Formeln – wird in der nächsten Lektion besprochen.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, Ungleichungen und aller möglichen kniffligen, nicht standardmäßigen Beispiele. Logik ist stärker als Gedächtnis!)

Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis lösen.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, den trigonometrischen Kreis zu verwenden. Weißt du nicht wie? Allerdings... Sie werden es in der Trigonometrie schwer haben...) Aber das spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen „Trigonometrischer Kreis...... Was ist das?“ an. und „Messen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.“ Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern...)

Oh du weißt!? Und sogar „Praktisches Arbeiten mit dem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwunsch. Dieses Thema wird für Sie nah und verständlich sein.) Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens – bei ihm ist alles gleich. Es gibt nur ein Lösungsprinzip.

Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das hier:

cosx = 0,5

Wir müssen X finden. Sie müssen in menschlicher Sprache sprechen Finden Sie den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 beträgt.

Wie haben wir den Kreis bisher genutzt? Wir haben einen Winkel darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und zwar sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Machen wir jetzt das Gegenteil. Zeichnen wir auf dem Kreis einen Kosinus von 0,5 und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Zeichnen Sie einen Kreis und markieren Sie den Kosinus mit 0,5. Natürlich auf der Kosinusachse. So:

Zeichnen wir nun den Winkel, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet) und du wirst sehen genau diese Ecke X.

Der Kosinus welchen Winkels beträgt 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche Leute werden skeptisch lachen, ja... Hat es sich gelohnt, einen Kreis zu bilden, wenn schon alles klar ist... Man kann natürlich kichern...) Aber Tatsache ist, dass dies eine falsche Antwort ist. Oder besser: unzureichend. Kreiskenner wissen, dass es hier eine ganze Reihe anderer Winkel gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen Volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. Der Winkel wird sich ändern um 360° oder 2π Bogenmaß, und Kosinus - nein. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, weil

Es können unendlich viele solcher vollständigen Umdrehungen gemacht werden ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen für unsere trigonometrische Gleichung sein. Und sie alle müssen als Antwort irgendwie niedergeschrieben werden. Alle. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...)

Die Mathematik kann dies einfach und elegant tun. Schreiben Sie eine kurze Antwort auf unendliche Menge Entscheidungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde es entziffern. Schreibe immer noch sinnvoll Das ist doch angenehmer, als dummerweise ein paar geheimnisvolle Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 - Das ist die gleiche Ecke wie wir gesehen auf dem Kreis und bestimmt nach der Kosinustabelle.

2π ist eine komplette Umdrehung im Bogenmaß.

N - das ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz U/min Es ist klar, dass N kann gleich 0, ±1, ±2, ±3 usw. sein. Wie aus dem kurzen Eintrag hervorgeht:

n ∈ Z

N gehört ( ∈ ) Menge von ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens statt des Briefes N Es können durchaus Buchstaben verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl annehmen können N . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was immer du willst. Wenn Sie diese Zahl in die Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Winkel, der definitiv die Lösung unserer harten Gleichung sein wird.)

Oder mit anderen Worten: x = π /3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Wurzeln zu erhalten, reicht es aus, eine beliebige Anzahl voller Umdrehungen zu π /3 zu addieren ( N ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.

Alle? Nein. Ich verlängere das Vergnügen bewusst. Zur besseren Erinnerung.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung folgendermaßen schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht nur eine Wurzel, sondern eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform niedergeschrieben.

Es gibt aber auch Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, von dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:

Bewegen Sie die Maus über das Bild und wir sehen ein anderer Blickwinkel ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was ist Ihrer Meinung nach gleichwertig? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung verzögert. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x bereits berechnet. π /3 oder 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 = - π /3

Nun, natürlich addieren wir alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) Auf dem trigonometrischen Kreis wir gesehen(Wer versteht das natürlich)) Alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und wir haben diese Winkel in einer kurzen mathematischen Form aufgeschrieben. Die Antwort ergab zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Die Verwendung eines Kreises ist klar. Wir markieren den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) aus der gegebenen Gleichung auf einem Kreis, zeichnen die dazugehörigen Winkel ein und schreiben die Antwort auf. Natürlich müssen wir herausfinden, in welchen Ecken wir uns befinden gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun ja, ich habe gesagt, dass hier Logik gefragt ist.)

Schauen wir uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung an:

Bitte bedenken Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in Gleichungen ist!) Es ist für mich einfach bequemer, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis und markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen alle diesem Sinus entsprechenden Winkel auf einmal ein. Wir erhalten dieses Bild:

Befassen wir uns zunächst mit dem Winkel X im ersten Viertel. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Es ist eine einfache Sache:

x = π /6

Wir erinnern uns an volle Runden und schreiben guten Gewissens die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Aber jetzt müssen wir feststellen zweite Ecke... Es ist schwieriger als die Verwendung von Kosinuswerten, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja, einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich und die rote Ecke X gleich Winkel X . Nur wird vom Winkel π aus in negativer Richtung gezählt. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort benötigen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen alles. Die erste Ecke habe ich entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der Winkel, der uns interessiert (grün dargestellt), ist gleich:

π - x

X wir wissen das π /6 . Daher wird der zweite Winkel sein:

π - π /6 = 5π /6

Erinnern wir uns noch einmal an das Hinzufügen vollständiger Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangenten- und Kotangensgleichungen lassen sich leicht lösen, indem man dasselbe allgemeine Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet. Wenn Sie natürlich wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Erweitern wir nun unsere Fähigkeiten auf alle anderen Werte. Entscheide, also entscheide!)

Nehmen wir also an, wir müssen diese trigonometrische Gleichung lösen:

Ein solcher Kosinuswert in kurze Tabellen Nein. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache eiskalt. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen Sie die entsprechenden Winkel ein. Wir bekommen dieses Bild.

Schauen wir uns zunächst den Blickwinkel im ersten Viertel an. Wenn wir nur wüssten, was x ist, würden wir die Antwort sofort aufschreiben! Wir wissen es nicht... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik bringt ihre eigenen Leute nicht in Schwierigkeiten! Sie hat sich für diesen Fall Arkuskosinusse ausgedacht. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus. Es ist viel einfacher als Sie denken. In diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch zum Thema „inverse trigonometrische Funktionen“ ... Das ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie sich auskennen, sagen Sie sich einfach: „X ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 2/3 ist.“ Und sofort können wir, rein durch die Definition des Arkuskosinus, schreiben:

Wir erinnern uns an die zusätzlichen Umdrehungen und schreiben in aller Ruhe die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Wurzelreihe für den zweiten Winkel wird fast automatisch notiert. Alles ist gleich, nur X (arccos 2/3) wird mit einem Minus versehen:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und das ist es! Das ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Es ist nicht nötig, sich etwas zu merken.) Den aufmerksamsten wird übrigens auffallen, dass dieses Bild die Lösung durch den Arkuskosinus zeigt Im Wesentlichen unterscheidet es sich nicht vom Bild für die Gleichung cosx = 0,5.

Genau so! Das allgemeine Prinzip ist genau das! Ich habe bewusst zwei nahezu identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Ob es sich um einen Tafelkosinus handelt oder nicht, ist jedem unbekannt. Was das für ein Winkel ist, π /3, oder was der Arkuskosinus ist – das müssen wir entscheiden.

Gleiches Lied mit Sinus. Zum Beispiel:

Zeichnen Sie erneut einen Kreis, markieren Sie den Sinus gleich 1/3 und zeichnen Sie die Winkel. Dies ist das Bild, das wir bekommen:

Und wieder ist das Bild fast das gleiche wie bei der Gleichung sinx = 0,5. Wieder beginnen wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist X gleich, wenn sein Sinus 1/3 beträgt? Kein Problem!

Nun ist die erste Packung Wurzeln fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Befassen wir uns mit dem zweiten Blickwinkel. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Auch hier wird es genau so sein! Nur x ist unterschiedlich, Arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher aufschreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr bekannt vorkommt. Aber es ist klar, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mithilfe eines Kreises gelöst. Dieser Weg ist klar und verständlich. Er ist es, der in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall spart, in trigonometrischen Ungleichungen – sie werden im Allgemeinen fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas schwieriger sind als Standardaufgaben.

Lassen Sie uns das Wissen in der Praxis anwenden?)

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Erstens einfacher, direkt aus dieser Lektion.

Jetzt ist es komplizierter.

Hinweis: Hier müssen Sie über den Kreis nachdenken. Persönlich.)

Und jetzt sind sie äußerlich einfach... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hinweis: Hier müssen Sie im Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen und wo eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen schreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus einer unendlichen Zahl verloren geht!)

Na ja, ganz einfach):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus und Arkuskosinus sind? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens? Die einfachsten Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)

Die Antworten sind natürlich ein Durcheinander):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Es klappt nicht alles? Das passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(Es gibt so ein veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne sie ist die Trigonometrie so, als würde man mit verbundenen Augen über die Straße gehen. Manchmal funktioniert es.)

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Beim Lösen vieler mathematische Probleme Insbesondere bei solchen, die vor der 10. Klasse stattfinden, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Zu solchen Problemen zählen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, gebrochene Gleichungen und Gleichungen, die auf quadratische Ungleichungen reduziert werden. Das Prinzip für die erfolgreiche Lösung jedes der genannten Probleme lautet wie folgt: Es ist notwendig, festzustellen, welche Art von Problem gelöst wird, und sich die erforderliche Abfolge von Maßnahmen zu merken, die dazu führen werden das gewünschte Ergebnis, d.h. Antworten Sie und befolgen Sie diese Schritte.

Es ist offensichtlich, dass Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon abhängt, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird und wie korrekt die Reihenfolge aller Phasen ihrer Lösung reproduziert wird. Natürlich ist in diesem Fall die Fähigkeit erforderlich, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Anders verhält es sich mit trigonometrische Gleichungen. Es ist überhaupt nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Es treten Schwierigkeiten auf, die Reihenfolge der Aktionen zu bestimmen, die zur richtigen Antwort führen würden.

Von Aussehen Bei einer Gleichung ist es manchmal schwierig, ihren Typ zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen Sie Folgendes versuchen:

1. Alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf „die gleichen Winkel“ bringen;
2. Bringen Sie die Gleichung auf „identische Funktionen“;
3. Faktorisieren Sie die linke Seite der Gleichung usw.

Lassen Sie uns überlegen grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1.Äußern Trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten.

Schritt 2. Finden Sie das Funktionsargument mithilfe der Formeln:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

Sünde x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3. Finden Sie die unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variablenersatz

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie die Gleichung in algebraischer Form in Bezug auf eine der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2. Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie ggf. Einschränkungen für t ein).

Schritt 3. Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4. Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Schritt 5. Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2, erfüllt nicht die Bedingung |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwort: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare und verwenden Sie dabei die Formel zur Reduzierung des Grades:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung auf die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Schritt 3. Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Dann sei tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, was bedeutet

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode zur Transformation einer Gleichung mit trigonometrischen Formeln

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Mit allen möglichen trigonometrische Formeln Reduzieren Sie diese Gleichung auf eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wird.

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

Sünde x + Sünde 2x + Sünde 3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis ist x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Die Fähigkeit und Fertigkeit, trigonometrische Gleichungen zu lösen, ist sehr groß wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl seitens des Schülers als auch seitens des Lehrers.

Viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. sind mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen verbunden. Der Prozess der Lösung solcher Probleme verkörpert viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die durch das Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen wichtiger Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen.

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Beim Lösen vieler mathematische Probleme Insbesondere bei solchen, die vor der 10. Klasse stattfinden, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Zu solchen Problemen gehören beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, gebrochene Gleichungen und Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden. Das Prinzip für die erfolgreiche Lösung jedes der genannten Probleme lautet wie folgt: Sie müssen feststellen, welche Art von Problem Sie lösen, sich die notwendige Abfolge von Aktionen merken, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. h. Antworten Sie und befolgen Sie diese Schritte.

Es ist offensichtlich, dass Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon abhängt, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird und wie korrekt die Reihenfolge aller Phasen ihrer Lösung reproduziert wird. Natürlich ist in diesem Fall die Fähigkeit erforderlich, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Anders verhält es sich mit trigonometrische Gleichungen. Es ist überhaupt nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Es treten Schwierigkeiten auf, die Reihenfolge der Aktionen zu bestimmen, die zur richtigen Antwort führen würden.

Es ist manchmal schwierig, den Typ anhand des Aussehens einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen Sie Folgendes versuchen:

1. Alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf „die gleichen Winkel“ bringen;
2. Bringen Sie die Gleichung auf „identische Funktionen“;
3. Faktorisieren Sie die linke Seite der Gleichung usw.

Lassen Sie uns überlegen grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Drücken Sie eine trigonometrische Funktion anhand bekannter Komponenten aus.

Schritt 2. Finden Sie das Funktionsargument mithilfe der Formeln:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

Sünde x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3. Finden Sie die unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variablenersatz

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie die Gleichung in algebraischer Form in Bezug auf eine der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2. Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie ggf. Einschränkungen für t ein).

Schritt 3. Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4. Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Schritt 5. Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2, erfüllt nicht die Bedingung |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwort: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare und verwenden Sie dabei die Formel zur Reduzierung des Grades:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung auf die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Schritt 3. Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Dann sei tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, was bedeutet

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode zur Transformation einer Gleichung mit trigonometrischen Formeln

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung unter Verwendung aller möglichen trigonometrischen Formeln auf eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wird.

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

Sünde x + Sünde 2x + Sünde 3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis ist x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Die Fähigkeit und Fertigkeit, trigonometrische Gleichungen zu lösen, ist sehr groß wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl seitens des Schülers als auch seitens des Lehrers.

Viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. sind mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen verbunden. Der Prozess der Lösung solcher Probleme verkörpert viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die durch das Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematiklernens und der persönlichen Entwicklung im Allgemeinen ein.

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Einfache trigonometrische Gleichungen lösen.

Bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen jeglicher Komplexität kommt es letztlich darauf an, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen. Und dabei bester Helfer Es stellt sich wiederum heraus, dass es sich um einen trigonometrischen Kreis handelt.

Erinnern wir uns an die Definitionen von Kosinus und Sinus.

Der Kosinus eines Winkels ist die Abszisse (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen bestimmten Winkel entspricht.

Der Sinus eines Winkels ist die Ordinate (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen bestimmten Winkel entspricht.

Die positive Bewegungsrichtung auf dem trigonometrischen Kreis ist gegen den Uhrzeigersinn. Eine Drehung um 0 Grad (oder 0 Bogenmaß) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten (1;0)

Wir verwenden diese Definitionen, um einfache trigonometrische Gleichungen zu lösen.

1. Lösen Sie die Gleichung

Diese Gleichung wird von allen Werten des Drehwinkels erfüllt, die Punkten auf dem Kreis entsprechen, deren Ordinate gleich ist.

Markieren wir einen Punkt mit der Ordinate auf der Ordinatenachse:

Zeichnen Sie eine horizontale Linie parallel zur x-Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf dem Kreis liegen und eine Ordinate haben. Diese Punkte entsprechen den Drehwinkeln im Bogenmaß:

Wenn wir den Punkt, der dem Drehwinkel pro Bogenmaß entspricht, verlassen und einen Vollkreis umrunden, gelangen wir zu einem Punkt, der dem Drehwinkel pro Bogenmaß entspricht und die gleiche Ordinate hat. Das heißt, dieser Drehwinkel erfüllt auch unsere Gleichung. Wir können so viele „Leerlauf“-Umdrehungen machen, wie wir möchten, und zum selben Punkt zurückkehren, und alle diese Winkelwerte werden unsere Gleichung erfüllen. Die Anzahl der „Leerlauf“-Umdrehungen wird mit dem Buchstaben (oder) angegeben. Da wir diese Umdrehungen sowohl in positiver als auch in negativer Richtung durchführen können (oder) können wir beliebige ganzzahlige Werte annehmen.

Das heißt, die erste Lösungsreihe der ursprünglichen Gleichung hat die Form:

, , - Menge von ganzen Zahlen (1)

Ebenso hat die zweite Lösungsreihe die Form:

, Wo , . (2)

Wie Sie vielleicht schon vermutet haben, basiert diese Lösungsreihe auf dem Punkt auf dem Kreis, der dem Drehwinkel von entspricht.

Diese beiden Lösungsreihen können in einem Eintrag zusammengefasst werden:

Wenn wir diesen Eintrag nehmen (also gerade), dann erhalten wir die erste Reihe von Lösungen.

Wenn wir in diesem Eintrag (das heißt ungerade) nehmen, erhalten wir die zweite Reihe von Lösungen.

2. Jetzt lösen wir die Gleichung

Da dies die Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis ist, der durch Drehung um einen Winkel entsteht, markieren wir den Punkt mit der Abszisse auf der Achse:

Zeichnen Sie eine vertikale Linie parallel zur Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf dem Kreis liegen und eine Abszisse haben. Diese Punkte entsprechen Drehwinkeln im Bogenmaß. Denken Sie daran, dass wir bei einer Bewegung im Uhrzeigersinn einen negativen Drehwinkel erhalten:

Schreiben wir zwei Lösungsreihen auf:

,

,

(Wir gelangen zum gewünschten Punkt, indem wir vom Hauptvollkreis ausgehen.

Fassen wir diese beiden Serien zu einem Eintrag zusammen:

3. Lösen Sie die Gleichung

Die Tangente verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten (1,0) des Einheitskreises parallel zur OY-Achse

Markieren wir darauf einen Punkt mit einer Ordinate gleich 1 (wir suchen den Tangens, dessen Winkel gleich 1 ist):

Verbinden wir diesen Punkt mit einer Geraden mit dem Koordinatenursprung und markieren wir die Schnittpunkte der Geraden mit dem Einheitskreis. Die Schnittpunkte der Geraden und des Kreises entsprechen den Drehwinkeln auf und:

Da die Punkte, die den Rotationswinkeln entsprechen, die unsere Gleichung erfüllen, im Bogenmaß voneinander entfernt liegen, können wir die Lösung folgendermaßen schreiben:

4. Lösen Sie die Gleichung

Die Kotangenslinie verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten des Einheitskreises parallel zur Achse.

Markieren wir einen Punkt mit der Abszisse -1 auf der Kotangensgeraden:

Verbinden wir diesen Punkt mit dem Ursprung der Geraden und setzen wir ihn fort, bis er den Kreis schneidet. Diese gerade Linie schneidet den Kreis an Punkten, die den Drehwinkeln in und Bogenmaß entsprechen:

Da diese Punkte einen Abstand voneinander haben, der gleich ist, dann gemeinsame Entscheidung Wir können diese Gleichung so schreiben:

In den angegebenen Beispielen, die die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen veranschaulichen, wurden Tabellenwerte trigonometrischer Funktionen verwendet.

Wenn die rechte Seite der Gleichung jedoch einen nicht tabellarischen Wert enthält, ersetzen wir den Wert in der allgemeinen Lösung der Gleichung:

SPEZIELLE LÖSUNGEN:

Markieren wir die Punkte auf dem Kreis, deren Ordinate 0 ist:

Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate 1 ist:

Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate gleich -1 ist:

Da es üblich ist, Werte anzugeben, die am nächsten bei Null liegen, schreiben wir die Lösung wie folgt:

Markieren wir die Punkte auf dem Kreis, deren Abszisse gleich 0 ist:

5.
Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich 1 ist:

Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich -1 ist:

Und etwas komplexere Beispiele:

1.

Der Sinus ist gleich eins, wenn das Argument gleich ist

Das Argument unseres Sinus ist gleich, also erhalten wir:

Teilen wir beide Seiten der Gleichheit durch 3:

Antwort:

2.

Der Kosinus ist Null, wenn das Argument des Kosinus ist

Das Argument unseres Kosinus ist gleich, also erhalten wir:

Drücken wir aus, dazu bewegen wir uns zunächst mit dem umgekehrten Vorzeichen nach rechts:

Vereinfachen wir die rechte Seite:

Teilen Sie beide Seiten durch -2:

Beachten Sie, dass sich das Vorzeichen vor dem Term nicht ändert, da k einen beliebigen ganzzahligen Wert annehmen kann.

Antwort:

Und zum Schluss sehen Sie sich die Videolektion „Wurzeln in einer trigonometrischen Gleichung mithilfe eines trigonometrischen Kreises auswählen“ an.

Damit ist unser Gespräch über das Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen abgeschlossen. Das nächste Mal werden wir darüber sprechen, wie wir uns entscheiden sollen.