Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Lösung, Beispiele.

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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Arten quadratischer Gleichungen

Was quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In der Bezeichnung quadratische Gleichung Das Schlüsselwort ist "Quadrat". Das bedeutet das in der Gleichung Notwendig Es muss ein x im Quadrat geben. Darüber hinaus kann die Gleichung nur X (in der ersten Potenz) und nur eine Zahl enthalten (oder auch nicht!). (Freies Mitglied). Und es sollte kein X für eine Potenz größer als zwei geben.

Mathematisch gesehen ist eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:

Hier a, b und c- einige Zahlen. b und c- absolut alles, aber A– alles andere als Null. Zum Beispiel:

Hier A =1; B = 3; C = -4

Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2

Hier A =-3; B = 6; C = -18

Nun ja, du verstehst...

In diesen quadratischen Gleichungen links gibt es vollständiger Satz Mitglieder. X im Quadrat mit einem Koeffizienten A, x zur ersten Potenz mit Koeffizient B Und kostenlose Mitglieder s.

Solche quadratischen Gleichungen heißen voll.

Und wenn B= 0, was bekommen wir? Wir haben X geht an die erste Potenz verloren. Dies geschieht, wenn man mit Null multipliziert.) Es stellt sich zum Beispiel heraus:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Usw. Und wenn beide Koeffizienten B Und C gleich Null sind, dann ist es noch einfacher:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Solche Gleichungen, bei denen etwas fehlt, nennt man unvollständige quadratische Gleichungen. Was ziemlich logisch ist.) Bitte beachten Sie, dass in allen Gleichungen das Quadrat x vorhanden ist.

Übrigens, warum A kann nicht gleich Null sein? Und Sie ersetzen stattdessen A Null.) Unser X-Quadrat wird verschwinden! Die Gleichung wird linear. Und die Lösung ist eine ganz andere...

Das sind alle Haupttypen quadratischer Gleichungen. Vollständig und unvollständig.

Quadratische Gleichungen lösen.

Komplette quadratische Gleichungen lösen.

Quadratische Gleichungen sind leicht zu lösen. Nach Formeln und klaren, einfachen Regeln. Im ersten Schritt ist es notwendig, die gegebene Gleichung auf zu reduzieren Standard Ansicht, d.h. zum Formular:

Wenn Ihnen die Gleichung bereits in dieser Form vorliegt, müssen Sie den ersten Schritt nicht durchführen.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten richtig zu bestimmen, A, B Und C.

Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt diskriminierend. Aber mehr über ihn weiter unten. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um X zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus einer quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c Wir rechnen nach dieser Formel. Lasst uns ersetzen mit Ihren eigenen Schildern! Zum Beispiel in der Gleichung:

A =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir es auf:

Das Beispiel ist fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Alles ist sehr einfach. Und was, Sie denken, dass es unmöglich ist, einen Fehler zu machen? Nun ja, wie...

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo kann man es verwechseln?), sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Zahlen. Wenn es Probleme mit Berechnungen gibt, TU das!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier A = -6; B = -5; C = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie selten beim ersten Mal Antworten erhalten.

Nun, seien Sie nicht faul. Das Schreiben einer zusätzlichen Zeile dauert etwa 30 Sekunden und die Anzahl der Fehler wird stark abnehmen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig aufzuschreiben. Aber es scheint nur so. Versuche es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile wird es nicht mehr nötig sein, alles so sorgfältig aufzuschreiben. Es wird schon von alleine klappen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten lässt sich einfach und fehlerfrei lösen!

Quadratische Gleichungen sehen jedoch oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Hast du es erkannt?) Ja! Das unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen.

Sie können auch mit einer allgemeinen Formel gelöst werden. Sie müssen nur richtig verstehen, was sie hier bedeuten. a, b und c.

Hast du es herausgefunden? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; A C? Es ist überhaupt nicht da! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet das das c = 0 ! Das ist alles. Ersetzen Sie stattdessen Null in der Formel C, und wir werden Erfolg haben. Das Gleiche gilt für das zweite Beispiel. Nur haben wir hier keine Null Mit, A B !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ganz ohne Formeln. Betrachten wir das erste unvollständige Gleichung. Was können Sie auf der linken Seite tun? Sie können X aus Klammern entfernen! Nehmen wir es raus.

Und was daraus? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist! Glauben Sie mir nicht? Okay, dann überlegen Sie sich zwei Zahlen ungleich Null, deren Multiplikation Null ergibt!
Klappt nicht? Das ist es...
Daher können wir getrost schreiben: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alle. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide sind geeignet. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen, ist die Lösung viel einfacher als die Verwendung der allgemeinen Formel. Lassen Sie mich übrigens anmerken, welches X das erste und welches das zweite sein wird – völlig gleichgültig. Es ist bequem, in der richtigen Reihenfolge zu schreiben, x 1- was ist kleiner und x 2- das, was größer ist.

Auch die zweite Gleichung lässt sich einfach lösen. Bewegen Sie 9 nach rechts. Wir bekommen:

Jetzt muss nur noch die Wurzel aus 9 gezogen werden, und das war’s. Es wird sich herausstellen:

Auch zwei Wurzeln . x 1 = -3, x 2 = 3.

Auf diese Weise werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder indem man X aus Klammern setzt oder indem man einfach die Zahl nach rechts verschiebt und dann die Wurzel zieht.
Es ist äußerst schwierig, diese Techniken zu verwechseln. Ganz einfach, weil man im ersten Fall die Wurzel von

Diskriminant. Diskriminanzformel.

magisches Wort diskriminierend ! Selten hat ein Gymnasiast dieses Wort nicht gehört! Der Satz „Wir lösen eine Lösung durch eine Diskriminante“ weckt Vertrauen und Sicherheit. Denn vom Diskriminanten sind keine Tricks zu erwarten! Es ist einfach und problemlos zu verwenden.) Ich erinnere Sie am meisten allgemeine Formel für Lösungen beliebig quadratische Gleichungen:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird Diskriminante genannt. Typischerweise wird die Diskriminante durch den Buchstaben bezeichnet D. Diskriminanzformel:

D = b 2 - 4ac

Und was ist an diesem Ausdruck so bemerkenswert? Warum hat es einen besonderen Namen verdient? Worin die Bedeutung der Diskriminante? Schließlich -B, oder 2a In dieser Formel nennen sie es nicht ausdrücklich irgendetwas... Buchstaben und Buchstaben.

Hier ist das Ding. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel ist dies möglich nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Das bedeutet, dass die Wurzel daraus gezogen werden kann. Ob die Wurzel gut oder schlecht extrahiert wird, ist eine andere Frage. Wichtig ist, was grundsätzlich extrahiert wird. Dann hat Ihre quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Denn das Addieren oder Subtrahieren von Null im Zähler ändert nichts. Streng genommen ist dies nicht eine Wurzel, sondern zwei identisch. In einer vereinfachten Version ist es jedoch üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.

3. Die Diskriminante ist negativ. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Ehrlich gesagt, wann einfache Lösung Für quadratische Gleichungen ist das Konzept einer Diskriminante nicht besonders erforderlich. Wir setzen die Werte der Koeffizienten in die Formel ein und zählen. Dort passiert alles von selbst, zwei Wurzeln, eine und keine. Allerdings bei der Lösung komplexerer Aufgaben ohne Wissen Bedeutung und Formel der Diskriminante nicht genug. Besonders in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind Kunstflug für das Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen!)

Also, wie man quadratische Gleichungen löst durch die Diskriminante, an die du dich erinnert hast. Oder Sie haben gelernt, was auch nicht schlecht ist.) Sie wissen, wie man richtig bestimmt a, b und c. Weißt du wie? aufmerksam setze sie in die Wurzelformel ein und aufmerksam Zähle das Ergebnis. Sie verstehen, dass hier das Schlüsselwort lautet aufmerksam?

Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Die gleichen, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind... Was später schmerzhaft und beleidigend wird...

Erster Termin . Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen und sie in die Standardform bringen. Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:

Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So:

Und noch einmal: Beeilen Sie sich nicht! Ein Minus vor einem X im Quadrat kann Sie wirklich verärgern. Es ist leicht zu vergessen... Beseitigen Sie das Minus. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen. Entscheide dich selbst.

Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben. Zweiter Empfang. Überprüfen Sie die Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Hab keine Angst, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Grundformel aufgeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1 , ist die Überprüfung der Wurzeln einfach. Es reicht aus, sie zu vervielfachen. Das Ergebnis sollte ein kostenloses Mitglied sein, d.h. in unserem Fall -2. Bitte beachten Sie, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit Deinem Schild

. Wenn es nicht klappt, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo einen Fehler gemacht haben. Suchen Sie nach dem Fehler. B Wenn es funktioniert, müssen Sie die Wurzeln hinzufügen. Letzte und letzte Kontrolle. Der Koeffizient sollte sein Mit Gegenteil B vertraut. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient
, das vor dem X steht, ist gleich -1. Also alles richtig! Schade, dass dies nur für Beispiele so einfach ist, bei denen x im Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1.

Aber überprüfen Sie zumindest solche Gleichungen! Es wird immer weniger Fehler geben. Rezeption Dritter

. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren Sie die Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner, wie in der Lektion „Wie löst man Gleichungen? Identitätstransformationen“ beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen schleichen sich aus irgendeinem Grund immer wieder Fehler ein ...

Übrigens habe ich versprochen, das böse Beispiel durch ein paar Minuspunkte zu vereinfachen. Bitte! Da ist er.

Um uns nicht durch die Minuspunkte verwirren zu lassen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Das Lösen macht Freude!

Fassen wir also das Thema zusammen.:

Praktische Ratschläge 1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf.

Rechts

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta verifiziert werden. Tu es!

Jetzt können wir entscheiden.)

Gleichungen lösen:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Antworten (in Unordnung):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x – eine beliebige Zahl

x 1 = -3
x 2 = 3

keine Lösungen

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passt alles? Großartig! Quadratische Gleichungen sind nicht Ihr Ding Kopfschmerzen. Die ersten drei haben funktioniert, der Rest jedoch nicht? Dann liegt das Problem nicht bei quadratischen Gleichungen. Das Problem liegt in identischen Transformationen von Gleichungen. Schauen Sie sich den Link an, er ist hilfreich.

Klappt das nicht ganz? Oder klappt es überhaupt nicht? Dann hilft Ihnen Abschnitt 555 weiter. Alle diese Beispiele sind dort aufgeschlüsselt. Gezeigt hauptsächlich Fehler in der Lösung. Natürlich sprechen wir auch über die Verwendung identischer Transformationen bei der Lösung verschiedener Gleichungen. Hilft sehr!

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit der Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Aber lassen Sie uns zunächst wiederholen, was Gleichungen als quadratisch bezeichnet werden. Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei x eine Variable ist und die Koeffizienten a, b und c einige Zahlen sind und a ≠ 0, heißt Quadrat. Wie wir sehen, ist der Koeffizient für x 2 ungleich Null, und daher können die Koeffizienten für x oder der freie Term gleich Null sein, wobei wir in diesem Fall eine unvollständige quadratische Gleichung erhalten.

Es gibt drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:

1) Wenn b = 0, c ≠ 0, dann ax 2 + c = 0;

2) Wenn b ≠ 0, c = 0, dann ax 2 + bx = 0;

3) Wenn b = 0, c = 0, dann ax 2 = 0.

• Lassen Sie uns herausfinden, wie wir das Problem lösen können Gleichungen der Form ax 2 + c = 0.

Um die Gleichung zu lösen, verschieben wir den freien Term c auf die rechte Seite der Gleichung, wir erhalten

Axt 2 = ‒s. Da a ≠ 0, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch a, dann ist x 2 = ‒c/a.

Wenn ‒с/а > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln

x = ±√(–c/a) .

Wenn ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Versuchen wir anhand von Beispielen zu verstehen, wie man solche Gleichungen löst.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 ‒ 32 = 0.

Antwort: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 + 8 = 0.

Antwort: Die Gleichung hat keine Lösungen.

• Lassen Sie uns herausfinden, wie wir es lösen können Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0.

Um die Gleichung ax 2 + bx = 0 zu lösen, faktorisieren wir sie, das heißt, wir nehmen x aus Klammern, wir erhalten x(ax + b) = 0. Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich ist bis Null. Dann ist entweder x = 0 oder ax + b = 0. Wenn wir die Gleichung ax + b = 0 lösen, erhalten wir ax = - b, woraus x = - b/a. Eine Gleichung der Form ax 2 + bx = 0 hat immer zwei Wurzeln x 1 = 0 und x 2 = ‒ b/a. Sehen Sie im Diagramm, wie die Lösung solcher Gleichungen aussieht.

Lassen Sie uns unser Wissen anhand eines konkreten Beispiels festigen.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 oder 3x – 12 = 0

Antwort: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Gleichungen des dritten Typs ax 2 = 0 werden ganz einfach gelöst.

Wenn ax 2 = 0, dann x 2 = 0. Die Gleichung hat zwei gleiche Wurzeln x 1 = 0, x 2 = 0.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung das Diagramm an.

Achten wir bei der Lösung von Beispiel 4 darauf, dass Gleichungen dieser Art sehr einfach gelöst werden können.

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung 7x 2 = 0.

Antwort: x 1, 2 = 0.

Es ist nicht immer sofort klar, welche Art unvollständiger quadratischer Gleichung wir lösen müssen. Betrachten Sie das folgende Beispiel.

Beispiel 5. Löse die Gleichung

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner, also mit 30

Lass es uns reduzieren

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Öffnen wir die Klammern

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Lassen Sie uns etwas Ähnliches geben

Bewegen wir 99 von der linken Seite der Gleichung nach rechts und ändern dabei das Vorzeichen in das Gegenteil

Antwort: keine Wurzeln.

Wir haben uns angeschaut, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Ich hoffe, dass Sie mit solchen Aufgaben jetzt keine Schwierigkeiten haben werden. Seien Sie vorsichtig bei der Bestimmung der Art der unvollständigen quadratischen Gleichung, dann wird Ihnen das gelingen.

Wenn Sie Fragen zu diesem Thema haben, melden Sie sich für meinen Unterricht an, wir lösen gemeinsam die auftretenden Probleme.

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Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form Axt 2 +bx +c = 0, wo X– variabel, A,B Und C– einige Zahlen, und A ≠ 0.

Beispiel einer quadratischen Gleichung:

3X 2 + 2X – 5 = 0.

Hier A = 3, B = 2, C = –5.

Zahlen A,B Und C– Chancen quadratische Gleichung.

Nummer A angerufen erster Koeffizient, Nummer B – zweiter Koeffizient, und die Zahl C – Freies Mitglied.

Reduzierte quadratische Gleichung.

Eine quadratische Gleichung, in der der erste Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen gegebene quadratische Gleichung.

Beispiele für eine gegebene quadratische Gleichung:

X 2 + 10X – 11 = 0

X 2 – X – 12 = 0

X 2 – 6X + 5 = 0

hier ist der Koeffizient bei X 2 ist gleich 1 (die 1 wird in allen drei Gleichungen einfach weggelassen).

Unvollständige quadratische Gleichung.

Wenn in einer quadratischen Gleichung Axt 2 +bx +c = 0 mindestens einer der Koeffizienten B oder C gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische Gleichung.

Beispiele für unvollständige quadratische Gleichungen:

2X 2 + 18 = 0

Hier gibt es einen Koeffizienten A, der gleich -2 ist, ist der Koeffizient C, gleich 18, und der Koeffizient B nein – es ist gleich Null.

X 2 – 5X = 0

Hier A = 1, B = -5, C= 0 (also der Koeffizient C fehlt in der Gleichung).

So lösen Sie quadratische Gleichungen.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie nur zwei Schritte ausführen:

1) Finden Sie die Diskriminante D mithilfe der Formel:

D=B 2 – 4 ac.

Wenn die Diskriminante eine negative Zahl ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung und die Berechnungen werden abgebrochen. Wenn D ≥ 0, dann

2) Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung mit der Formel:

– B ± √ D
X 1,2 = -----.
2A

Beispiel: Lösen Sie die quadratische Gleichung 3 X 2 – 5X – 2 = 0.

Lösung :

Bestimmen wir zunächst die Koeffizienten unserer Gleichung:

A = 3, B = –5, C = –2.

Wir berechnen die Diskriminante:

D= B 2 – 4ac= (–5) 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, was bedeutet, dass die Gleichung sinnvoll ist und wir fortfahren können.

Finden der Wurzeln der quadratischen Gleichung:

–B+ √D 5 + 7 12
X 1 = ----- = ---- = -- = 2
2A 6 6

–B– √D 5 – 7 2 1
X 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2A 6 6 3

1
Antwort : X 1 = 2, X 2 = – --.

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, daher gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unbedingt erforderlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Beachten Sie vor dem Studium spezifischer Lösungsmethoden, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

1. Habe keine Wurzeln;
2. Habe genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei verschiedene Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es etwas Wunderbares - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac.

Sie müssen diese Formel auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Anhand des Vorzeichens der Diskriminante kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn D< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Wurzeln.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und nicht überhaupt ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund glauben. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Schreiben wir die Koeffizienten für die erste Gleichung auf und ermitteln die Diskriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, die Gleichung hat also zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf ähnliche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Die letzte verbleibende Gleichung lautet:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist Null – die Wurzel ist Eins.

Bitte beachten Sie, dass für jede Gleichung Koeffizienten notiert sind. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam, aber Sie werden die Chancen nicht verwechseln und dumme Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens: Wenn Sie den Dreh raus haben, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten aufschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen damit irgendwann nach 50–70 gelösten Gleichungen an – im Allgemeinen nicht so oft.

Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung selbst. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mithilfe der Formeln ermittelt werden:

Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0, können Sie jede dieser Formeln verwenden – Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort ist. Wenn schließlich D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lasst uns sie finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Zum Schluss noch die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Es kann jede beliebige Formel verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, wird es keine Probleme geben. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft die oben beschriebene Technik: Betrachten Sie die Formel wörtlich, schreiben Sie jeden Schritt auf – und schon bald werden Sie Fehler los.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass eine quadratische Gleichung geringfügig von der Definition abweicht. Zum Beispiel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass diesen Gleichungen einer der Terme fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie erfordern nicht einmal die Berechnung der Diskriminante. Lassen Sie uns also ein neues Konzept vorstellen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d. h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b = c = 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 = 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x = 0.

Betrachten wir die verbleibenden Fälle. Sei b = 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0. Lassen Sie uns sie ein wenig umwandeln:

Da Arithmetik Quadratwurzel existiert nur aus einer nichtnegativen Zahl, die letzte Gleichheit macht nur für (−c /a) ≥ 0 Sinn. Fazit:

1. Wenn in einer unvollständigen quadratischen Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c /a) ≥ 0 erfüllt ist, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c /a)< 0, корней нет.

Wie Sie sehen, war keine Diskriminante erforderlich – in unvollständigen quadratischen Gleichungen gibt es überhaupt keine komplexen Berechnungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c /a) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn da positive Zahl- Es wird zwei Wurzeln geben. Wenn es negativ ist, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Schauen wir uns nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0 an, in denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es reicht aus, das Polynom zu faktorisieren:

Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen

Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Hierher kommen die Wurzeln. Schauen wir uns abschließend einige dieser Gleichungen an:

Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Es gibt keine Wurzeln, weil Ein Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

", also Gleichungen ersten Grades. In dieser Lektion werden wir uns das ansehen was man eine quadratische Gleichung nennt und wie man es löst.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Wichtig!

Der Grad einer Gleichung wird durch den höchsten Grad bestimmt, in dem das Unbekannte steht.

Wenn die maximale Potenz der Unbekannten „2“ ist, dann haben Sie eine quadratische Gleichung.

Beispiele für quadratische Gleichungen

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Wichtig! Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

A x 2 + b x + c = 0

„a“, „b“ und „c“ sind mit Zahlen versehen.

• „a“ ist der erste oder höchste Koeffizient;
• „b“ ist der zweite Koeffizient;
• „c“ ist ein kostenloses Mitglied.

Um „a“, „b“ und „c“ zu finden, müssen Sie Ihre Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung „ax 2 + bx + c = 0“ vergleichen.

Üben wir die Bestimmung der Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ in quadratischen Gleichungen.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Die gleichung	Chancen
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

So lösen Sie quadratische Gleichungen

Im Gegensatz zu lineare Gleichungen um quadratische Gleichungen zu lösen, ein besonderes Formel zum Finden von Wurzeln.

Erinnern!

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

• Reduzieren Sie die quadratische Gleichung auf Gesamterscheinung„ax 2 + bx + c = 0“. Das heißt, auf der rechten Seite sollte nur „0“ verbleiben;
• Verwenden Sie die Formel für Wurzeln:

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie man die Formel verwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung lösen.

X 2 − 3x − 4 = 0

Die Gleichung „x 2 − 3x − 4 = 0“ wurde bereits auf die allgemeine Form „ax 2 + bx + c = 0“ reduziert und bedarf keiner weiteren Vereinfachungen. Um es zu lösen, müssen wir uns nur bewerben Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Bestimmen wir die Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ für diese Gleichung.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Es kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

In der Formel „x 1;2 =“ wird oft der Wurzelausdruck ersetzt
„b 2 − 4ac“ für den Buchstaben „D“ und heißt Diskriminante. Das Konzept einer Diskriminante wird in der Lektion „Was ist eine Diskriminante“ ausführlicher besprochen.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel einer quadratischen Gleichung an.

x 2 + 9 + x = 7x

In dieser Form ist es recht schwierig, die Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ zu bestimmen. Reduzieren wir zunächst die Gleichung auf die allgemeine Form „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln verwenden.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Antwort: x = 3

Es gibt Zeiten, in denen quadratische Gleichungen keine Wurzeln haben. Diese Situation tritt auf, wenn die Formel unter der Wurzel eine negative Zahl enthält.