Деление чисел. Видеоурок «Деление натуральных чисел и его свойства
Тема: Деление натуральных чисел (5 класс) учитель Голикова Татьяна
Георгиевна
Цель : повторить методику решения примеров на деление, таблицу
умножения, свойства деления, правила деления на разрядную единицу,
виды углов, «что значит решить уравнение», нахождение неизвестных
элементов уравнения;
развивать математическую речь, внимательность, кругозор,
познавательную активность, умение анализировать, делать
предположения, обосновывать их, классифицировать;
привитие умений и навыков практического применения математики,
чертёжных навыков;
развитие логического мышления, умения анализировать зависимость
между величинами, позитивного восприятия украинского
сохранение здоровья, умения оценить свои знания создание ситуации
успеха, ощущения «Я МОГУ», «У МЕНЯ ВСЁ ПОЛУЧИТСЯ»,
повышение самооценки, развитие внутренней активности через
эмоции и осмысление материала, осознания значимости знаний в жизни
человека.
Тип урока : отработка навыков и умений
Методы: объяснительно - иллюстративные, игровые, интерактивные
Формы : эвристическая беседа, работа в паре, взаимоконтроль, работа в малых группах, «я сам- все вместе», ролевая игра
Оборудование : интерактивная доска, карточки разных видов, маркер,
7 листов А4с маркировкой по цвету, скотч.
План урока
1. Духовно – эстетический 2мин
2. Мотивационный 3мин
3. Проверка домашнего задания 5мин
5. Физкультминутка 3мин
7. Домашнее задание2мин
8. Рефлексия 4мин
9.Оценочный 4мин
1 Духовно – эстетический
Всі рівненько діти встали.
Добрий день, прошу сідати
Для того, тобі настроиться на работу я предлагаю повторить таблицу умножения
Возьмите в руки карандаш, карточку и за 1,5 минуты решите предложенные примеры, а затем прочитайте слова в порядке возрастания чисел.
Найдите, какое число «сбежало» из ряда натуральных чисел?
Проверяем хором. Учитель называет число, а ученики слово.
6:3=2 27:9=3 16:4=4
Чтоб водить корабли,
30:6=5 42:6=7 72:9=8 36:4=9
Чтобы в небо взлетать
30:3=10 44:4=11 36:3=12
Нужно много уметь,
26:2=13 42:3=14 150:10=15
Нужно многое знать.
Пусть это четверостишье будет девизом сегодняшнего урока
2. Мотивационный
Предлагаю решить ребус на украинском языке
ЛЕДІНЕ, НИЛЬДІК, КАСЧАТ, ТОКБУДО
На сколько смысловых групп можно разделить эти понятия?
(Должны получить два варианта ответа, обосновать их)
Тема сегодняшнего урока ДЕЛЕНИЕ
Открыли тетради записали число, классная работа
3. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний
Поменялись тетрадками и проверяем «уважаемые коллеги»
Есть ли не выполнившие д/з?
Кто обнаружил более двух ошибок?
Спасибо проверяющим, верните тетради соседям.
Какое правило встретилось при выполнении д/з?
Какие свойства вы ещё можете назвать?
4.1 задание 1
Я предлагаю отправиться в путешествие «В мире животных»
Возьмите карточки с примерами и решите их в тетрадках. Обратите внимание, что не все примеры решаются письменно, встречается деление на разрядную единицу.
На работу дается 4-5 мин. После выполнения учитель принимает ответы, сверяя их с соответствующей группой и пишет маркером на листах. Группы отвечают в любом порядке. Затее учитель предлагает упорядочить листы в нужном порядке, чтобы получить рассказ (Листы упорядочиваются как РАДУГА)
Красный Оранжевый Жёлтый Зелёный
1) 13000:1000; 1)120000:1000; 1) 300000:10000; 1) 35000:100;
2) 432:24; 2) 476:28; 2) 960:64; 2) 4485:23;
3) 11092:47 3) 6765:123. 3) 7956:234 3) 2790:62.
Голубой Синий Фиолетовый
1) 43000:1000; 1) 11000:100; 1) 1400000:100000;
2) 1856:64 ; 2) 1734:34; 2) 5166:63;
3) 9126:234. 3) 3608:164. 3) 3210:214.
Горилла спит 13000:1000= 13 часов в сутки, ежи по 432:24=18 часов в сутки, А в состоянии спячки без еды еж может обходиться 11092:47=236 суток
Оранжевый
Скорость рыбы – меч
120000:1000
120км/ч, а скорость окуня
476:28=17 км/ч, а скорость акулы
6765: 12355 км/ч
Лошади живут до 300000:10000=30 лет, а собаки до 960:64=15лет, а рекорд жизни собаки составляет 7956:234=34 года
Вес белого медведя достигает 35000:100=350кг, голубого кита до 4485:23=195 т, а вес восточноевропейской овчарки 2790:62=45кг
У человека нормальная температура тела 36,6 0 , самая высокая из всех теплокровных у голубей и уток, до 43000:1000=43 0 , а самая низкая у муравьеда 1856:64=29 0 , температура тела собаки 9126:234= 39 0 .
Виноградная улитка выдерживает 11000:100=110 0 мороза, но погибает при 1734:34= 51 0 тепла. Комфортная для человека температура воздуха 3608:164=22 0
Фиолетовый
Длина большой анаконды, встречающейся в Южной Америке, может достигать 1400000:100000=14м, а в диаметре 5166:63= 82см. А постройки африканских термитов воинов достигают в высоту 3210:214=15м
4.2 задание 2.
Нет ничего страшного, если мы не знает ответ на какой-нибудь вопрос. Главное хотеть найти ответ. Мы с вами уже говорили, что если вы проболели или пропустили урок по какой-либо причине, или у вас что-то не получается- у нас есть замечательный помощник УЧЕБНИК! Мы с вами сейчас будем решать уравнения, если кто – то подзабыл, как найти неизвестный элемент уравнения, то не поленитесь прочитать стр124 учебника
Решите уравнения №470(3,4,6)
У окна №470(3)
Средний №470(4)
У двери №470(6)
По представителю с ряда решают уравнения. Дополнительное задание, для тех, кто быстро справился уравнение «Я МОЛОДЕЦ! »
«Я МОЛОДЕЦ! » (10х-4х)∙21=2268 .
№470(3) №470(4) №470(6)
Я молодец!
11х+6х=408; 33 m - m =1024 ; 476:х=14 (10х-4х)∙21=2268 .
х=24 m =32 х=34 х=18
Ключи к уравнениям
Х=204,Р=32, М=304, !=18; Ю=302, А=34, У=24, К=3.
Верные ответы «УРА!»
5. Физкультминутка
Щось втомились ми сидіти,
Треба трохи відпочити.
Руки вгору, руки вниз,
На сусіда подивись!
Руки вгору, руки в боки,
І зробить чотири скоки.
В потяг швидко усі сіли.
Ніжками затупотіли.
Плесніть у долоні раз.
За роботу. Все гаразд!
Выпрямили спины, положили руки на парту.
Для организации внимания игра «УГЛЫ»
Покажите острый угол, прямой, тупой, развёрнутый, 30 0 , 70 0 , 97 0 , 150 0 и тд., румб?
Задача №487
Читаем, составляем схему, анализируем, находим решение, записываем.
Просматриваем происходящее на слайде
Инсценируем с учениками.
Составляем таблицу
| На 24 км меньше |
|||
1) 58∙4=232(км) проехал первый поезд
2) 232+24=256(км) проехал второй поезд
3) 256:4=64(км/ч)
Ответ: второй поезд ехал со скоростью 64 км/ч
7. Домашнее задание
С такой задачей дома справитесь? Давайте запишем д/з.
№ 488, №471(ІІй столбик), повторить правила решения уравнений, творческое задание (румб)
8. Рефлексия
Игра в Знайку и Незнайку
Знайка спрашивает Незнайку о свойствах деления, правилах нахождения элементов уравнения, как изменится частное, если…
И Незнайка отвечает!
У нас на столе остались неиспользованные листочки. На них изображены точки. На какой вид работы это похоже? (графический диктант)
Сколько точек на листочке? Сколько будет вопросов? Ответы напоминаю
«да» ; «нет» ; не уверен
· · · · · · · ·
1. Числа при делении называются делимое, делитель, частное
2. Я понял, что деление это совсем не сложно
3. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное
4. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
5. Сегодня на уроке мне было интересно.
6. Я на уроке добросовестно работал.
7. Я горжусь собой.
По ряду помощники собирают карточки, а учитель объявляет отметки.
| 1) 13000:1000; 2) 432:24; 3) 11092:47. | 1) 13000:1000; 2) 432:24; 3) 11092:47. | 1) 13000:1000; 2) 432:24; 3) 11092:47. | 1) 13000:1000; 2) 432:24; 3) 11092:47. |
| 1)120000:1000; 2) 476:28; 3) 6765:123. | 1)120000:1000; 2) 476:28; 3) 6765:123. | 1)120000:1000; 2) 476:28; 3) 6765:123. | 1)120000:1000; 2) 476:28; 3) 6765:123. |
| 1) 300000:10000; 2) 960:64; 3) 7956:234. | 1) 300000:10000; 2) 960:64; 3) 7956:234. | 1) 300000:10000; 2) 960:64; 3) 7956:234. | 1) 300000:10000; 2) 960:64; 3) 7956:234. |
| 1) 35000:100; 2) 4485:23; 3) 2790:62. | 1) 35000:100; 2) 4485:23; 3) 2790:62. | 1) 35000:100; 2) 4485:23; 3) 2790:62. | 1) 35000:100; 2) 4485:23; 3) 2790:62. |
| 1) 43000:1000; 2) 1856:64; 3) 9126:234. | 1) 43000:1000; 2) 1856:64; 3) 9126:234. | 1) 43000:1000; 2) 1856:64; 3) 9126:234. | 1) 43000:1000; 2) 1856:64; 3) 9126:234. |
| 1) 11000:100; 2) 1734:34; .3) 3608:164. | 1) 11000:100; 2) 1734:34; .3) 3608:164. | 1) 11000:100; 2) 1734:34; .3) 3608:164. | 1) 11000:100; 2) 1734:34; .3) 3608:164. |
| 1) 1400000:100000; 2) 5166:63; 3) 3210:214. | 1) 1400000:100000; 2) 5166:63; 3) 3210:214. | 1) 1400000:100000; 2) 5166:63; 3) 3210:214. | 1) 1400000:100000; 2) 5166:63; 3) 3210:214. |
| 1) 13000:1000; 2) 432:24; 3) 11092:47. | 1)120000:1000; 2) 476:28; 3) 6765:123. | 1) 300000:10000; 2) 960:64; 3) 7956:234. | 1) 35000:100; 2) 4485:23; 3) 2790:62. |
| 1) 1400000:100000; 2) 5166:63; 3) 3210:214. | 1) 11000:100; 2) 1734:34; .3) 3608:164. | 1) 43000:1000; 2) 1856:64; 3) 9126:234. |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
| · · · · · · · · | · · · · · · · · | · · · · · · · · |
В этой статье мы разберемся с правилами, по которым проводится деление натуральных чисел . Здесь мы будем рассматривать лишь деление натуральных чисел без остатка , или, как его еще называют, деление нацело (то есть, только те случаи, в которых сохраняется ). Деление натуральных чисел с остатком > заслуживает отдельной статьи.
Правила деления натуральных чисел невозможно сформулировать, если не проследить связь деления с умножением, что и сделано в самом начале этой статьи. Далее разобраны самые простые правила деления, напрямую следующие из свойств этого действия - это деление равных натуральных чисел и деление натурального числа на единицу. После этого подробно на примерах рассмотрено деление с использованием таблицы умножения. Дальше показано, как выполняется деление на десять, сто, тысячу и т.д., деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , и все остальные случаи. Весь материал снабжен примерами с детальным описанием решений. В конце статьи показано, как выполняется проверка результата деления при помощи умножения. В итоге Вы будете владеть всеми навыками, необходимыми для деления произвольных натуральных чисел.
Навигация по странице.
Связь деления с умножением
Давайте проследим связь между делением и умножением. Для этого вспомним, что деление связано с представлением множества, которое мы делим, в виде объединения нескольких одинаковых множеств, на которые мы делим исходное множество (об этом мы говорили в разделе общее представление о делении). В свою очередь умножение связано с объединением некоторого количества одинаковых множеств в одно (при необходимости обращайтесь к разделу теории общее представление об умножении). Таким образом, деление является действием, обратным к умножению .
Поясним, что же означает последняя фраза.
Для этого рассмотрим следующую ситуацию. Пусть мы имеем b множеств по c предметов в каждом, и мы объединяем их в одно множество, в котором получается a предметов. На основании смысла умножения натуральных чисел можно утверждать, что описанному действию отвечает равенство c·b=a . Теперь полученное множество вновь разделим на b одинаковых множеств. Понятно, что при этом в каждом полученном множестве будет c предметов. Тогда, вспомнив смысл деления натуральных чисел , можно записать равенство a:b=c .
Приходим к следующему утверждению: если произведение натуральных чисел c и b равно a , то частное от деления a на b равно c .
Итак, если c·b=a , то a:b=c . Однако в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел мы можем равенство c·b=a переписать в виде b·c=a , откуда следует, что a:c=b . Таким образом, если мы знаем, что произведение двух натуральных чисел с и b равно a , то есть, c·b=a , то мы можем сказать, что частные a:b и a:c равны c и b соответственно .
На основании всей приведенной информации можно дать определение деления натуральных чисел на основе умножения.
Определение.
Деление – это действие, с помощью которого находится один множитель, когда известно произведение и другой множитель.
На базе этого определения мы и будем строить правила деления натуральных чисел.
Деление натуральных чисел как последовательное вычитание
В принципе знание того, что деление является действием, обратным к умножению, достаточно для того, чтобы научиться проводить это действие. Однако хочется рассказать еще об одном подходе к проведению деления натуральных чисел, в котором деление рассматривается как последовательное вычитание. Связано это с его простотой и очевидностью.
Чтобы все было максимально понятно, давайте рассмотрим пример.
Пример.
Чему равен результат деления 12 на 4 ?
Решение.
Отталкиваясь от смысла деления натуральных чисел, поставленную задачу можно смоделировать так: имеется 12 предметов, их нужно разделить на равные кучки по 4 предмета в каждой, количество полученных кучек даст нам ответ на вопрос, чему равно частное 12:4 .
Давайте последовательно шаг за шагом будем из исходных предметов забирать по 4 предмета и формировать из них требуемые кучки до того момента, пока не закончатся исходные предметы. Количество шагов, которые нам потребуется сделать, укажет нам количество получившихся кучек, а значит и ответ на поставленный вопрос.
Итак, из исходных 12 предметов откладываем 4 в сторону, они образуют первую кучку. После этого действия в исходной куче остается 12−4=8 предметов (при необходимости вспомните смысл вычитания натуральных чисел). Из этих 8 предметов забираем еще 4 предмета, и формируем из них вторую кучку. После этого действия в исходной куче предметов остается 8−4=4 предмета. Очевидно, что из оставшихся предметов можно сформировать еще одну, третью по счету, кучку, после чего у нас не останется ни одного предмета в исходной куче (то есть, у нас будет 4−4=0 предметов в исходной куче). Таким образом, мы получили 3 кучки, и можно сказать, что мы выполнили деление натурального числа 12 на натуральное число 4 , при этом получили 3 .
Ответ:
12:4=3 .
Теперь давайте отойдем от предметов и посмотрим, что же мы делали с натуральными числами 12 и 4 ? Мы проводили последовательное вычитание делителя 4 до того момента, пока не получили нуль, при этом считали количество требуемых действий, которое и дало нам результат деления.
Вывод: деление одного натурального числа на другое можно провести, выполняя последовательное вычитание .
Для закрепления материала этого пункта статьи рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Вычислим частное 108:27 , проводя последовательное вычитание.
Решение.
Второе действие: 81−27=54 .
Третье действие: 54−27=27 .
Четвертое действие 27−27=0 (это свойство вычитания равных натуральных чисел).
Итак, мы получили нуль, последовательно проведя вычитание 4 раза, следовательно, 108:27=4 .
Ответ:
108:27=4 .
Стоит заметить, что деление натуральных чисел таким способом удобно применять лишь тогда, когда требуется небольшое количество последовательных вычитаний для получения результата. В остальных случаях используются правила деления натуральных чисел, которые мы подробно разберем ниже.
Деление равных натуральных чисел
Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице . Это утверждение является свойством деления равных натуральных чисел .
К примеру, 1:1=1 , 143:143=1 , результатом деления натуральных чисел 10 555 и 10 555 также является единица.
Деление натурального числа на единицу
По таблице умножения можно также отыскать один из двух однозначных множителей, если известно произведение и другой множитель. А мы в первом пункте данной статьи выяснили, что деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Таким образом, с помощью таблицы умножения можно проводить деление любого из натуральных чисел, расположенных в таблице умножения на розовом фоне, на однозначное натуральное число.
Для примера, разделим 48 на 6 . С помощью таблицы умножения это можно сделать одним из двух способов. Приведем сначала графическую иллюстрацию, после чего дадим описание.
Первый способ (соответствует рисунку выше слева). Находим делимое (в нашем примере это натуральное число 48 ) в том столбце, в верхней ячейке которого находится делитель (для нашего примера число 6 ). Результат деления находится в крайней левой ячейке той строки, в которой расположено найденное делимое. Для нашего примера это число 8 , которое обведено окружностью синего цвета.
Второй способ (соответствует рисунку выше справа). Находим делимое 48 в той строке, в левой ячейке которого расположен делитель 6 . Искомое частное в этом случае находится в верхней ячейке того столбца, в котором расположено найденное делимое 48 . Результат обведен синей окружностью.
Итак, мы с помощью таблицы умножения разделили 48 на 6 и получили 8 .
Для закрепления материала приведем чертеж, показывающий процесс деления натурального числа 7 на 1 .
Деление на 10 , 100 , 1 000 и т.д.
Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10 , 100 , 1 000 , … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.
Результатом деления натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр 0 , сколько их содержится в записи делимого).
Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру 0 ), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры 0 ).
Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить правила умножения натурального числа на десять, сто, тысячу и т.д. Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100 . Так как 102·100=10 200 , то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102 .
Представление делимого в виде произведения
Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число .
Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.
Пример.
Разделим 30 на 3 .
Решение.
Очевидно, что делимое 30 можно представить в виде произведения натуральных чисел 3 и 10 . Имеем 30:3=(3·10):3 . Воспользоваться свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10 . Итак, частное от деления 30 на 3 равно 10 .
Ответ:
30:3=10 .
Приведем решения еще пары аналогичных примеров.
Пример.
Разделите 7 200 на 72 .
Решение.
В этом случае делимое 7 200 можно рассматривать как произведение чисел 72 и 100 . При этом получаем следующий результат: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100 .
Ответ:
7 200:72=100 .
Пример.
Разделим 1 600 000 на 160 .
Решение.
Очевидно, что 1 600 000 – это произведение 160 и 10 000 , поэтому 1 600 000:160=(160·10 000):160= (160:160)·10 000=1·10 000=10 000 .
Ответ:
1 600 000:160=10 000 .
В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.
Пример.
Выполните деление натурального числа 5 400 на 9 .
Решение.
По таблице умножения мы можем разделить 54 на 9 , поэтому делимое 5 400 логично представить в виде произведения 54·100 и закончить деление: 5 400:9=(54·100):9= (54:9)·100=6·100=600 .
Ответ:
5 400:9=600 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Вычислим частное 120:4 .
Решение.
Для этого делимое 120 представим в виде произведения 12 и 10 , после чего воспользуемся свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30 .
Ответ:
120:4=30 .
Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0
Здесь нам потребуется вспомнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел . Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.
Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.
Пример.
Разделим 490 на 70 .
Решение.
Так как 70=10·7 , то 490:70=490:(10·7) . Последнее выражение в силу свойства деления натурального числа на произведение равно (490:10):7 . Делить на 10 мы научились в одном из предыдущих пунктов, получаем (490:10):7=49:7 . Полученное частное находим по таблице умножения, в итоге получаем 490:70=7 .
Ответ:
490:70=7 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.
Пример.
Вычислим частное 54 000:5 400 .
Решение.
Представляем 5 400 в виде произведения 100·54 и выполняем деление натурального числа на произведение: 54 000:5 400=54 000:(100·54)= (54 000:100):54=540:54 . Здесь осталось представить 540 как 54·10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту) и закончить вычисления: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Итак, 54 000:5 400=10 .
Ответ:
54 000:5 400=10 .
Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры 0 , то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел . Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры 0 .
Подбор частного
Пусть натуральные числа a и b таковы, что a делится на b , причем если b умножить на 10 , то получится число, которое больше, чем a . В этом случае частное a:b является однозначным натуральным числом, то есть, числом от 1 до 9 , и его проще всего подобрать. Для этого делитель последовательно умножается на 1 , 2 , 3 и так далее до того момента, пока произведение не будет равно делимому. Как только такое равенство будет получено, то будет найдено частное a:b .
Рассмотрим пример.
Пример.
Найдем частное 108:27 .
Решение.
Очевидно, что делитель 108 меньше, чем 27·10=270 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Подберем частное. Для этого последовательно будем умножать делитель 27 на 1 , 2 , 3 , …, пока не получим делимое 108 . Поехали: 27·1=27 , 27·2=54 , 27·3=81 , 27·4=108 (при необходимости смотрите статью умножение натуральных чисел). Следовательно, 108:27=4 .
Ответ:
108:27=4 .
В заключении этого пункта отметим, что частное в таких случаях можно не подбирать, а находить его с помощью .
Представление делимого в виде суммы натуральных чисел
Если все способы, рассмотренные выше, не позволяют выполнить деление натуральных чисел, то нужно делимое представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых легко делится на делитель. Далее придется использовать свойство деления суммы натуральных чисел на данное число , и закончить вычисления. Остается главный вопрос: «В виде каких слагаемых представлять делимое"?
Опишем алгоритм получения слагаемых, дающих в сумме делимое. Для большей доступности будем одновременно рассматривать пример, в котором делимое равно 8 551 , а делитель равен 17 .
Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.
Например, если делимым является натуральное число 8 551 , а делителем – число 17 , то запись делимого содержит на 2 знака больше (8 551 – четырехзначное число, 17 – двухзначное, таким образом, разница в количестве знаков определяется разностью 4−2=2 ). То есть, запоминаем число 2 .
Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .
Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 17 дописываем справа две цифры 0 , при этом получаем число 1 700 . Это число меньше, чем делимое 8 551 , поэтому запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 2 .
После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.
В нашем примере к цифре 1 приписываем 2 ноля, имеем число 100 , то есть, мы будем работать с разрядом сотен.
Теперь последовательно умножаем делитель на 1 , 2 , 3 , … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее чем делимое.
В нашем примере рабочим разрядом является разряд сотен. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда сотен, то есть, умножаем 17 на 100 , получаем 17·100=1 700 . Полученное число 1 700 меньше делимого 8 551 , поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда сотен, то есть 17 умножаем на 200 . Имеем 17·200=3 400<8 551 , поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300 , имеем 17·300=5 100<8 551 ; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551 ; дальше 17·500=8 500<8 551 ; наконец 17·600=10 200>8 551 .
Число, полученное на предпоследнем шаге при умножении, является первым из искомых слагаемых.
В разбираемом примере искомым слагаемым является число 8 500 (это число равно произведению 17·500 , откуда видно, что 8 500:17=500 , это равенство мы используем дальше).
После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число не равно нулю, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, отличное от нуля, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет равно нулю. Как только здесь получаем 0, то все слагаемые найдены, и можно переходить к финальной части вычисления исходного частного.
Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 8 551−8 500=51 . Так как 51 не равно 0 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все шаги алгоритма.
Количество знаков в записях чисел 51 и делителя 17 одинаковое, поэтому запоминаем число 0.
В записи делителя не нужно дописывать справа ни одной цифры 0 , так как мы запоминали число 0 . То есть, число 17 остается как есть. Это число меньше, чем 51 , поэтому из запомненного числа 0 вычитать единицу не нужно. Таким образом, у нас в памяти остается число 0 .
К цифре 1 мы не будем справа приписывать ни одной цифры 0 , так как в памяти у нас находится число 0 . То есть, мы будем работать с разрядом единиц.
Теперь последовательно умножаем делитель 17 на 1 , 2 , 3 и так далее, пока не получим число, превосходящее 51 . Имеем 17·1=17<51 , 17·2=34<51 , 17·3=51 , 17·4=68>51 . На предпоследнем шаге мы получили число 51 (это число равно произведению 17·3 , и это мы используем дальше). Поэтому, вторым слагаемым является число 51 .
Находим разность между числом 51 и числом 51 , полученным в предыдущем пункте. Имеем 51−51=0 . Следовательно, останавливаем поиск слагаемых.
Теперь мы знаем, что делимое 8 551 нужно представить в виде суммы двух слагаемых 8 500 и 51 .
Закончим нахождение частного. Имеем 8 551:17=(8 500+51):17 . Теперь вспоминаем свойство деления суммы двух чисел на натуральное число, которое нас приводит к равенству (8 500+51):17=8 500:17+51:17 . Выше мы выяснили, что 8 500:17=500 и 51:17=3 . Таким образом, 8 500:17+51:17=500+3=503 . Итак, 8 551:17=503 .
Для закрепления навыков представления делимого в виде суммы слагаемых, рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Разделим 64 на 2 .
Решение.
1) В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя, поэтому запоминаем число 1 .
2) Если в записи делителя справа дописать одну цифру 0 , то мы получим число 20 , которое меньше, чем делимое 64 . Поэтому запомненное число 1 уменьшать на единицу не нужно.
3) Теперь к 1 приписываем справа одну (так как у нас в памяти число 1 ) цифру 0 , получаем число 10 , то есть, будем работать с десятками.
4) Начинаем делитель 2 последовательно умножать на 10 , 20 , 30 и т.д. Имеем: 2·10=20<64 ; 2·20=40<64 ; 2·30=60<64 ; 2·40=80>64 . Таким образом, первым слагаемым является число 60 (так как 2·30=60 , то 60:2=30 , это равенство нам пригодится дальше).
5) Вычисляем разность 64−60 , которая равна 4 . Это число мы легко можем разделить на делитель 2 , поэтому примем это число в качестве второго (и последнего) слагаемого. (Несомненно, можно было принять это число в качестве делимого, и пройти все шаги алгоритма еще раз, они нас приведут к тому, что вторым слагаемым является число 4 .)
Итак, делимое 64 мы представили в виде суммы двух слагаемых 60 и 4 . Остается закончить вычисления: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .
Ответ:
64:2=32 .
Решим еще один пример.
Пример.
Вычислим частное 1 178:31 .
Решение.
1) В записи делимого на 2 знака больше, чем в записи делителя. Поэтому запоминаем число 2 .
2) Если к записи делителя справа добавить две цифры 0 , то мы получим число 3 100 , которое больше делимого. Следовательно, запомненное в предыдущем пункте число 2 нужно уменьшить на единицу: 2−1=1 , запоминаем это число.
3) Теперь к цифре 1 добавляем справа одну цифру 0 , получаем число 10 и дальше работаем с десятками.
4) Последовательно умножаем делитель на 10 , 20 , 30 и т.д. Получаем 31·10=310<1 178 ; 31·20=620<1 178 ; 31·30=930<1 178 ; 31·40=1 240>1 178 . Так мы нашли первое слагаемое. Оно равно 930 (дальше нам пригодится равенство 930:31=30 , которое следует из равенства 31·30=930 ).
5) Вычисляем разность: 1 178−930=248 . Так как получили число, не равное нулю, то принимаем его в качестве делимого, и начинаем поиск второго слагаемого по тому же алгоритму.
1) В записи числа 248 на 1 знак больше, чем в записи делителя 31 . Поэтому запоминаем число 1 .
2) Добавляем в записи делителя справа одну цифру 0 , получаем число 310 , которое больше, чем число 248 . Поэтому, из запомненного числа 1 нужно вычесть 1 , при этом получим число 0 и запомним его.
3) Так как у нас в памяти число 0 , то к цифре 1 справа дописывать нулей не нужно. Таким образом, мы работаем с единицами.
4) Последовательно умножаем делитель 31 на 1 , 2 , 3 и так далее. Имеем 31·1=31<248 , 31·2=62<248 , 31·3=93<248 , 31·4=124<248 , 31·5=155<248 , 31·6=186<248 , 31·7=217<248 , 31·8=248 , 31·9=279>248 . Второе слагаемое равно 248 (из равенства 248=31·8 следует, что 248:31=8 , это нам потребуется дальше).
5) Вычисляем разность между числом 248 и полученным числом 248 , имеем 248−248=0 . Следовательно, на этом поиск слагаемых прекращается.
Таким образом, 1 178 представляем в виде суммы 930+248 . Осталось лишь закончить вычисления: 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (на результаты 930:31=30 и 248:31=8 мы обращали внимание выше).
Ответ:
1 178:31=38 .
Пример.
Разделите натуральное число 13 984 на 32 , представив делимое в виде суммы нескольких слагаемых.
Решение.
В этом примере делимое будет представлено в виде трех слагаемых, так как алгоритм придется применять три раза. При этом получится, что первое слагаемое будет равно 12 800 (при этом 12 800=32·400 , следовательно, 12 800:32=400 ), второе – 960 (при этом 960=32·30 , следовательно, 960:32=30 ), а третье – 224 (при этом 224=32·7 , следовательно, 224:32=7 ).
Тогда 13 984:32=(12 800+960+224):32= 12 800:32+960:32+224:32= 400+30+7=437 .
Ответ:
13 984:32=437 .
На этом основные правила деления натуральных чисел можно считать изученными, и этих правил достаточно, чтобы провести деление произвольных натуральных чисел (если это действие вообще возможно выполнить). Но следует обратить внимание еще на одно правило, которое в некоторых случаях позволяет выполнить деление натуральных чисел рациональнее, быстрее и проще.
Легко делятся на
483:7=69 .
Проверка результата деления натуральных чисел умножением
После того, как деление натуральных чисел закончено, не лишним будет сделать проверку полученного результата. Проверка результата деления осуществляется при помощи умножения: чтобы проверить правильность результата деления нужно частное умножить на делитель, при этом должно получиться делимое . Если при умножении получилось число, которое отлично от делимого, то в процессе деления где-то была допущена ошибка.
Немного поясним, откуда взялось это правило для проверки результата деления натуральных чисел. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, при этом в каждой кучке оказалось c предметов. По смыслу деления натуральных чисел мы можем записать равенство вида a:b=c , которое отвечает проведенному нами действию. Теперь, если обратно объединить все b кучек, в каждой из которых по c предметов, то понятно, что мы получим исходное множество предметов, в котором их будет a штук. То есть, по смыслу умножения натуральных чисел имеем b·c=a . Таким образом, если a:b=c , то также должно быть справедливо равенство b·c=a . На этом и основано правило проверки результата деления натуральных чисел при помощи умножения.
Рассмотрим решения примеров, в которых осуществляется проверка результата деления с помощью умножения.
Пример.
Натуральное число 475 было разделено на натуральное число 19 , при этом получилось частное 25 . Правильно ли выполнено деление?
960+64 (это мы сделали по алгоритму, описанному в одном из предыдущих пунктах этой статьи). Тогда 1 024:32=(960+64):32= 960:32+64:32=30+2=32 .
Осталось выполнить проверку полученного результата. Для этого умножим полученное частное 32 на делитель 32 , имеем 32·32=1 024 . Полученное число совпадает с делимым, поэтому частное вычислено правильно.
Ответ:
1 024:32=32 .
Проверка результата деления натуральных чисел делением
Проверить результат деления натуральных чисел можно не только при помощи умножения, но и при помощи деления. Сформулируем правило, позволяющее проводить проверку результата деления делением.
Чтобы проверить, правильно ли найдено частное от деления двух натуральных чисел, нужно делимое разделить на полученное частное . При этом, если получается число, равное делителю, то деление выполнено верно, в противном случае, где-то в вычислениях была допущена ошибка.
Это правило основано на достаточно очевидной связи делимого, делителя и частного. Проследить эту связь нам помогут следующие рассуждения. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, после чего в каждой кучке оказалось c предметов в каждой. Понятно, что если эти a предметов разложить в кучки по c предметов в каждой, то таких кучек получится b штук. Таким образом, если a:b=c , то a:c=b , аналогично, если a:c=b , то a:b=c . Об этом же мы упоминали выше в пункте .
Осталось рассмотреть несколько примеров проверки результата деления натуральных чисел при помощи деления.
Пример.
При делении натурального числа 104
на 13
МАТЕМАТИКА
5 КЛАСС
ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
План - конспект урока «Деление натуральных чисел».
Предмет: математика
Класс : 5
Тема урока : Деление натуральных чисел.
Номер урока в теме : 4 урок из 7
Базовый учебник : Математика. 5 класс: учебник для
общеобразовательных учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 25-еизд., стер. – М. : Мнемозина,2009
Цель урока: создать условия для воспроизведения и корректировки необходимых знаний и умений, анализа заданий и способов их выполнения; самостоятельного выполнения заданий; внешнего и внутреннего контроля.
В результате чего учащиеся должны:
уметь выполнять деление натуральных чисел;
уметь решать уравнения и текстовые задачи;
уметь делать выводы;
уметь разрабатывать алгоритм действий;
использовать математически грамотную речь;
отображать в речи содержание совершаемых действий;
оценивать себя и товарищей.
Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, учебники по математике, раздаточный материал (для устного счета, для работы на уроке, для домашнего задания), электронная презентация, выполненная в программе Power Point .
Технологическая карта урока.
| Этап урока | Задачи | Время | Показатели выполнения задач |
|
| учителя | ученика |
|||
| 1 этап . Организационный. | Проверка готовности класса. | Кратковременность момента. |
||
| 2 этап. Проверка домашнего задания. | Учитель собирает тетради с домашним заданием. | Учащиеся сдают тетради. | До урока. | Домашнее задание будет проверено у каждого ученика. |
| 3 этап. Актуализация знаний. | Вступительное слово учителя. Устный счет. Игра «Математическое лото». Историческая справка. | Решают примеры устного счета. Отвечают на поставленный учителем вопрос. Работают в парах. | Развитие навыков работы в группе. Проверены опорные знания учащихся. |
|
| 4 этап . | Вместе с учениками определяет цель урока. | Определяют цель урока. | Поставлена цель урока. |
|
| 5 этап. | Направляет работу учащихся. | Решают задания на вычисление значений числовых выражений, уравнений, задач. Выполняют самопроверку, делают выводы. | Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление осмысления и коррекция выявленных пробелов. |
|
| 6 этап . Физминутка. | Управляет презентацией. | Смена деятельности обеспечила эмоциональную разгрузку учащихся. |
||
| 7 этап. | Направляет работу учащихся. | Самостоятельно выполняют тестовые задания. | Устанавливается правильность и осознанность изученной темы. |
|
| 8 этап. | Самооценка деятельности. |
|||
| 9 этап . | Учащиеся записывают задание в дневник. | Учащиеся поняли цели, содержание и способы выполнения домашнего задания. |
||
Описание процессуальной части урока.
| Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика |
| 1 этап . Организационный. | Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку. | Приветствуют учителя и садятся. |
| 2 этап. Проверка домашнего задания. | Учитель проверяет наличие сданных тетрадей с домашним заданием. | Все учащиеся сдали тетради на проверку. |
| 3 этап. Актуализация знаний. | Любую тему по математике трудно осваивать без умения быстро и верно считать, поэтому, как всегда, урок начинаем с устного счета. (Работа в парах). Возьмитесь за руки, покажите, что вы пара. У вас на столах лежат конверты для устного счета. Устно решаете примеры и закрываете карточкой с ответом. Используя ключ (слайд №1), замените полученные числа соответствующими буквами. Прочитайте полученное слово. | Решают одно из 3 заданий. 42-д; 22-е; 10-л; 15-и; 37-м; 19-о; 39-е; 9-т; 700-л; 20-ч; 16-а; 1-с; 36-н; 110о; 22-е. Получили слова: делимое, делитель, частное. |
| 4 этап . Постановка целей, задач урока, мотивационная деятельность учащихся. | К какому действию относятся все эти понятия? Да, сегодня мы продолжать заниматься делением натуральных чисел. Это не первый урок темы. Какую цель можно поставить перед собой на данный урок? А пока немного дополнительной информации. Учащиеся приготовили сообщения по теме. (Слайды №2, №3, №4). №2 . Владимир Иванович Даль - автор «Толкового словаря живого великорусского языка» в своем словаре пишет: Делить – разлагать на части, дробить,раздроблять, делать раздел. Делить одно число на другое – узнавать, сколько раз одно содержится в другом. №3. Сначала знака для этого действия не было. Писали словом, индийские математики - первой буквой названия действия. Знак двоеточия для обозначения деления вошел в употребление в конце XVII века (в 1684 году) благодаря знаменитому немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. №4. Каким еще знаком обозначают деление? / (косая черточка). Этот знак первым стал использовать итальянский ученый XIII века Фибоначчи. | Ответ: к делению. Ответ: Укрепить свои знания по теме. Слушают сообщения учащихся. |
| 5 этап. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий. | Откройте тетради, запишите число, тему урока. (Слайд №5) Направляет работу учащихся на данном этапе. Задание №1 . Откройте учебник на стр.76, №481 (а,б,). Решать самостоятельно, 2 ученика выполняют задание на индивидуальных досках. На карточке – дополнительное задание. Задание №2 . Решить уравнение и выбрать правильное решение из 2 предложенных. Объяснить верное решение и указать ошибку в другом.(слайд №7) | Записывают число и тему урока. а) 7585: 37 + 95 = 300 1) 7585:37=205 2) 205+95=300 б)(6738 – 834) : 123= 48 1) 6738-834=5904 2) 5904:123=48 Самопроверка, делают выводы. Индивидуальная рефлексия. Дополнительно: 1440:12:24=5 1)1440:12=120 2) 120:24=5 Решают уравнение (х-15)*7=70 1 решение. х-15=70:7 х=25 Ответ: 25 2 решение. х-15=70:7 |
| 6 этап . Физминутка. | Слайд №8. | Выполняют упражнения для рук и для глаз. |
| Продолжение 5 этапа. | Задание №3 . Решить задачу: Одина бригада завода изготовила 636 деталей, что в 3 раза больше, чем 2 бригада и в 4 раза больше, чем 3 бригада. Сколько деталей изготовили все бригады вместе? Решает ученик на доске, остальные в тетради. Дополнительное задание: Поезд прошел 450 км за х часов. Найдите скорость поезда. Составьте выражение и вычислите, если х= 9; х=15. Задание №4 (Слайд №10). Привезли 100кг яблок по х кг в каждом ящике и 120кг груш по у кг в каждом ящике. Что означает выражение: а) 100:х б) 120:у в) 100:х+120:у г) 120:у-100:х | №3. Читают задачу, составляют краткую запись, алгоритм решения, оформляют решение задачи в тетради. Решение. 1) 636:3=212(д) изготовила 2 бригада 2) 636:4=159(д) изготовила 3 бригада 3) 636+212+159=1007(д) изготовили 3 бригады вместе Ответ: 1007 деталей. Дополнительное задание. 450:х (км/ч)- скорость поезда. Если х=9, то 450:9=50 (км/ч) Если х=15, то 450:15=30 (км/ч) Ответ: 50 (км/ч), 30 (км/ч) Дают устные ответы. а) количество ящиков с яблоками в) общее количество ящиков г) на сколько ящиков с грушами больше, чем с яблоками |
| 7 этап. Самостоятельное выполнение учащимися заданий. | Направляет работу учащихся. | Самостоятельно выполняют тестовые задания. Листочки сдают на проверку. А1. Как называются компоненты деления? 1)множители 2) частное 3)делимое и делитель 4)слагаемые А2. В одном доме 240 квартир, а во втором квартир в 2 раза меньше. Сколько квартир во втором доме? 480 2) 138 3) 120 4) 242 А3 . В 1 день туристы прошли 15км, что в 3 раза больше, чем во 2 день. Сколько километров прошли туристы во 2 день? 1) 5км 2) 45км 3)12км 4)18км А4 . Укажите число, которое не делится на 7. 1) 56 2) 48 3) 35 4) 21 В1 . Какое число больше 36 в 2 раза? Запишите это число. В2. Во сколько раз 890 больше 178? Запишите это число. С1 . Сколько четных трехзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6? (Цифры могут повторяться) |
| 8 этап. Подведение итогов урока. Рефлексия. | Подводит итоги работы учащихся, выставляет оценки. | Анализируют свою работу на уроке. Отвечают на поставленные вопросы. |
| 9 этап . Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. | Задает дифференцированное домашнее задание. | Учащиеся записывают задание в дневник. Берут карточки с заданием домой. Обязательное задание: №1. Вычислить: 2001:69 + 58884:84 №2. Решить уравнение: а) х:17=34 б) (х – 8) *12=132 Дополнительное задание: В воскресенье музей посетили m человек, в понедельник в 4 раза меньше, чем в воскресенье, а во вторник – на33 человека меньше, чем в воскресенье. Сколько человек посетили музей за эти три дня? Составьте выражение и вычислите при m =48, m = 100. |
Литература:
Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 25-еизд., стер. – М. : Мнемозина,2009;
Контрольно-измерительные материалы. Математика: 5класс/ Составитель Л.В.Попова.-М.: ВАКО,2011;
Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса.М.:Классикс Стиль, 2007.
1. Свойство деления двух равных натуральных чисел:
если натуральное число разделить на равное ему число, то в результате получится единица.
Осталось привести пару примеров. Частное от деления натурального числа 405 на равное ему число 405 равно 1; результат деления 73 на 73 также равен 1.
2. Свойство деления натурального числа на единицу:
результатом деления данного натурального числа на единицу является это натуральное число.
Запишем сформулированное свойство деления в буквенном виде: a: 1 = a.
Приведем примеры. Частным от деления натурального числа 23 на 1 является число 23, а результатом деления натурального числа 10 388 на единицу является число 10 388.
3. Деление натуральных чисел не обладает переместительным свойством.
Если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в силу свойства деления равных натуральных чисел, рассмотренного в первом пункте этой статьи, мы можем поменять их местами. При этом результатом деления будет все то же натуральное число 1.
Иными словами, если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в этом случае деление обладает переместительным свойством. 5: 5 = 1 и 5 : 5 = 1
В остальных случаях, когда делимое и делитель не являются равными натуральными числами, переместительное свойство деления не имеет места.
Итак, в общем случае деление натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством .
С помощью букв последнее утверждение записывается как a: b ≠ b: a
, где a и b – некоторые натуральные числа, причем a ≠ b
.
4. Свойство деления суммы двух натуральных чисел на натуральное число :
разделить сумму двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что сложить частные от деления каждого слагаемого на данное натуральное число.
Запишем это свойство деления с помощью букв. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что a можно разделить на c и b можно разделить на c, тогда (a + b) : c = a: c + b: c.
В правой части записанного равенства в первую очередь выполняется деление, после чего – сложение.
Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18 + 36 = 54, то (18 + 36) : 6 = 54: 6. Из таблицы умножения натуральных чисел находим 54: 6 = 9. Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6. Из таблицы умножения имеем 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6, поэтому 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. Следовательно, равенство (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 верное.
5. Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число:
разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа.
С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a - b) : c = a: c - b: c , где a, b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b, а также и a и b можно разделить на c.
В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45 - 25) :5 = 45: 5 - 25: 5. Так как 45 - 25 = 20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45 - 25) : 5 = 20: 5. По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4. Теперь вычислим значение выражения 45: 5 - 25: 5, стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45: 5 = 9 и 25: 5 = 5, тогда 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. Следовательно, равенство (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 верно.
6. Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число:
результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю.
Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a · b) : a = b или (a · b) : b = a , где a и b – некоторые натуральные числа.
Делимость чисел. Простые и составные числа.
Делимость натуральных чисел..................................................................................................................... | |
Основная теорема арифметики................................................................................................................... | |
Признаки делимости.................................................................................................................................... | |
Утверждения, связанные с делимостью чисел........................................................................................... | |
Устные задачи............................................................................................................................................... | |
«Полуустные» задачи.................................................................................................................................. | |
Когда до полного числа десятков…............................................................................................................. | |
Задачи на делимость сумм:.......................................................................................................................... | |
Нестандартные задачи............................................................................................................................... | |
Некоторые задачи из учебников................................................................................................................ | |
Сравнения.................................................................................................................................................... | |
Малая теорема Ферма................................................................................................................................ | |
Решение уравнений в целых числах.......................................................................................................... | |
Список литературы:..................................................................................................................................... |
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся.
Тема «Делимость чисел. Простые и составные числа» – одна из таких тем, которые, начиная с 5 класса, позволяют в большей степени развивать математические способности детей. Работая в школе с углубленным изучением математики, физики и информатики, где обучение ведется с 7 класса, кафедра математики нашей школы заинтересована в том, чтобы ученики уже в 5-7 классах более подробно знакомились с данной темой. Мы стараемся это реализовать на занятиях в школе юных математиков (ШЮМ), а также в региональном летнем математическом лагере, где вместе с учителями нашей школы преподаю и я. Я постаралась подобрать такие задачи, которые интересны учащимся с 5 по 11 класс. Ведь ученики нашей школы изучают данную тему по программе. А выпускники школы последние 2 года встречаются с задачами по этой теме на ЕГЭ (в задачах типа С6). Теоретический материал в различных случаях рассматриваю в разном объеме.
Делимость натуральных чисел.
Некоторые определения:
Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. При этом пишут: a b . В этом
случае b называют делителем числа a, а a- кратным числа b. Натуральное число называется простым , если у него нет делителей,
отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Число называетсясоставным , если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.
Число n делится на простое число p в том и только в том случае, если p встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.
Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a;b) или D (a;b).
Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a;b) или K (a;b).
Числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен единице.
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
Основная теорема арифметики
Всякое натуральное число n единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение степеней простых сомножителей:
n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m
здесь p1, p2 ,…pm - различные простыеделители числа n, а k1 , k2 , …km - степени вхождения (степени кратности) этих делителей.
Признаки делимости
∙ Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2 (то есть четная).
∙ Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
∙ Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.
∙ Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
∙ Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», а с четными номерами - со знаком «плюс». Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).
∙ Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, составленное из трех последних цифр, делится на 8.
∙ Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.
∙ Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра - ноль.
∙ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.
Утверждения, связанные с делимостью чисел.
∙ Еслиa b иb c , тоa c .
∙ Если a m , то и ab m.
∙ Если a m и b m, то a+b m
∙ Если a+.b m и a m, то и b m
∙ Если a m и a k, причем m и kвзаимно просты, то a mk
∙ Если ab m и a взаимно просто с m, то b m
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
∙ На занятиях по данной теме в зависимости от возраста учеников, места и времени проведения занятий, я рассматриваю различные задачи. Подбираю эти задачи, в основном, из источников, которые указаны в конце работы, в том числе и из материалов Пермского регионального турнира юных математиков прошлых лет и материалов II и III этапов Российской олимпиады школьников по математике прошлых лет.
Следующие задачи использую для проведения занятий в 5, 6, 7 классах в ШЮМ1 е при прохождении темы «Делимость чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости».
Устные задачи.
1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15.
Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.
2. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.
Ответ: 4104.
3. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?
Ответ: нет, например, 12.
4. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.
Ответ: 9876543120.
5. Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало кратно 3. Ответ: 1, 4, 7.
6. Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало кратно 45. Ответ: 72630, 72135.
«Полуустные» задачи.
1. Сколько воскресений может быть в году?
2. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 7 числа этого месяца?
3. Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?
1 ШЮМ – Школа Юных Математиков – субботняя школа при ФМШ №146
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
При каких n число1111...111 делится на 7?
При каких n число1111...111 делится на 999 999 999?
6. Дробь b a – сократима. Будет ли сократима дробьa a + − b b ?
7. В стране Анчурии в обращении имеются купюры достоинством 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать 1 000 000 анчуров с помощью 500 000 купюр?
8. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
1. В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52× 7+1 или 366=52× 7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.
2. Эти 3 воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа. Значит, 7 число этого месяца будет пятницей.
3. Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.
нацело на 7, а 111111=7× 15873. Отсюда следует, что если в записи данного числа больше 6 единиц, то после каждой 6 единицы очередной остаток равен 0. Т.о.,
число вида 1111...111 делится на 7 тогда и только тогда, когда количество его
цифр делится на 6 , т.е. n=7× t, где tÎ Z.
одновременно. В данном числе количество единиц кратно 9. Однако первое и второе такие числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не делятся на 999 999 999. А число, в котором 18 единиц, делится на 999 999 999. При этом, начиная с 18-го, каждое 18-ое число делится на 999 999 999, т.е. n=18× t, где tÎ N.
6. Дробь | a – сократима, т.е. a=bn, где nÎ Z. Тогда перепишем дробь | a − b | ||||||
a + b | ||||||||
bn − b | b (n − 1) | n − 1 | Очевидно, что дробь a a + − b b | сократима. | ||||
bn + b | b (n + 1) | n + 1 | ||||||
7. Пусть было a купюр достоинством в 1 анчур, b – достоинством в 10 анчуров, c достоинством в 100 анчуров и d достоинством в 1000 анчуров. Получим