Po obrazovanju sam teoretski fizičar, ali imam dobro matematičko iskustvo. Na magistraturi je jedan od predmeta bila filozofija, bilo je potrebno izabrati temu i o njoj podnijeti rad. Budući da se o većini opcija više puta nagađalo, odlučio sam izabrati nešto egzotičnije. Ne pretvaram se da sam nov, samo sam uspio prikupiti svu / gotovo svu dostupnu literaturu o ovoj temi. Filozofi i matematičari mogu me gađati kamenom, bit ću zahvalan samo na konstruktivnoj kritici.

P.S. Vrlo suh jezik, ali prilično čitljiv nakon univerzitetskog programa. Uglavnom su definicije paradoksa preuzete iz Wikipedije (pojednostavljena formulacija i gotove TeX oznake).

Uvod

I sama teorija skupova i paradoksi koji su joj svojstveni pojavili su se ne tako davno, prije nešto više od stotinu godina. Međutim, dug je put prošao u ovom razdoblju, teorija skupova je na ovaj ili onaj način zapravo postala osnova većine grana matematike. Njegovi paradoksi, povezani s Kantorovom beskonačnošću, uspješno su objašnjeni doslovno za pola stoljeća.

Trebali biste početi s definicijom.

Šta je komplet? Pitanje je vrlo jednostavno, odgovor na njega je prilično intuitivan. Skup je skup elemenata predstavljenih jednim objektom. Cantor u svom djelu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre daje definiciju: pod „pluralitetom“ mislimo na povezivanje u određenu cjelinu M određenih jasno uočljivih objekata m našeg promišljanja ili našeg mišljenja (koji će se zvati „elementi“ skup M). Kao što vidite, suština se nije promijenila, razlika je samo u dijelu koji ovisi o definirajućem svjetonazoru. Istorija teorije skupova, i u logici i u matematici, vrlo je kontradiktorna. Zapravo, započeo ga je Kantor u 19. stoljeću, a zatim su Russell i ostali nastavili raditi.

Paradoksi (logika i teorija skupova) - (grčki - neočekivano) - formalno -logičke kontradikcije koje nastaju u smislenim skupovima teorije i formalne logike uz održavanje logičke ispravnosti zaključivanja. Paradoksi nastaju kada su dvije međusobno isključive (kontradiktorne) presude podjednako dokazive. Paradoksi se mogu pojaviti i u granicama naučne teorije i u uobičajenom zaključivanju (na primjer, Russellova parafraza paradoksa o skupu svih normalnih skupova koje je dao Russell: „Seoski frizer brije sve one i samo one stanovnike svog sela koji to rade ne brijaju se. Treba li se on obrijati? "). Budući da formalno-logička kontradikcija uništava rasuđivanje kao sredstvo otkrivanja i dokazivanja istine (u teoriji u kojoj se pojavljuje paradoks, svaka tvrdnja, istinita i lažna, dokaziva), javlja se problem identificiranja izvora takvih kontradikcija i pronalaženja načine za njihovo uklanjanje. Problem filozofskog razumijevanja specifičnih rješenja paradoksa jedan je od važnih metodoloških problema formalne logike i logičkih temelja matematike.

Cilj ovog rada je proučavanje paradoksa teorije skupova kao nasljednika antičkih antinomija i sasvim logičnih posljedica prelaska na novi nivo apstrakcije - beskonačnost. Zadatak je razmotriti glavne paradokse, njihovu filozofsku interpretaciju.

Osnovni paradoksi teorije skupova

Brijač brije samo one ljude koji se ne brijaju. Brije li se?

Nastavimo sa kratkim izletom u istoriju.

Neki od logičkih paradoksa poznati su od davnina, ali zbog činjenice da je matematička teorija bila ograničena samo na aritmetiku i geometriju, bilo ih je nemoguće povezati s teorijom skupova. U 19. stoljeću situacija se radikalno promijenila: Kantor je u svojim djelima dostigao novi nivo apstrakcije. Uveo je koncept beskonačnosti, čime je stvorio novu granu matematike i na taj način omogućio upoređivanje različitih beskonačnosti koristeći koncept "kardinalnosti skupa". Međutim, time je izazvao mnoge paradokse. Prvi je tzv Paradoks Burali-Fortija... U matematičkoj literaturi postoje različite formulacije zasnovane na različitoj terminologiji i pretpostavljenom skupu poznatih teorema. Evo jedne od formalnih definicija.

Može se dokazati da ako je x proizvoljan skup rednih brojeva, tada je zbir zbroja veći ili jednak svakom od elemenata x... Pretpostavimo da je to sada skup svih rednih brojeva. Zatim - redni broj veći ili jednak bilo kojem od brojeva u. Ali tada je i redni broj, i već je strogo veći, pa prema tome nije jednak nijednom od brojeva u. Ali to je u suprotnosti s uvjetom da - skup svih rednih brojeva.

Suština paradoksa je u tome što se prilikom formiranja skupa svih rednih brojeva formira novi redni tip koji još nije postojao među "svim" transfinitnim rednim brojevima koji su postojali prije formiranja skupa svih rednih brojeva. Ovaj paradoks otkrio je sam Cantor, nezavisno otkrio i objavio talijanski matematičar Burali-Forti, a greške potonjeg ispravio je Russell, nakon čega je formulacija poprimila svoj konačni oblik.

Među svim pokušajima da se izbjegnu takvi paradoksi i donekle pokušaju objasniti, najveću pažnju zaslužuje ideja već spomenutog Rasela. Predložio je da se iz matematike i logike isključe impresivne rečenice u kojima definicija elementa skupa ovisi o potonjem, što uzrokuje paradokse. Pravilo je sljedeće: "nijedan skup C ne može sadržavati elemente m, definirane samo u smislu skupa C, kao i elemente n, koji pretpostavljaju ovaj skup u svojoj definiciji." Takvo ograničenje definicije skupa izbjegava paradokse, ali istovremeno značajno sužava opseg njegove primjene u matematici. Osim toga, to nije dovoljno da se objasni njihova priroda i razlozi njihovog pojavljivanja, ukorijenjeni u podvojenosti mišljenja i jezika, u obilježjima formalne logike. U određenoj mjeri, ovo ograničenje može se pratiti do analogije sa onim što su kognitivni psiholozi i lingvisti u kasnijem periodu počeli nazivati ​​"kategorizacijom na osnovnom nivou": definicija se svodi na najjednostavniji za razumijevanje i proučavanje koncept.

Pretpostavimo da skup svih skupova postoji. U ovom slučaju je istina, to jest, svaki skup t je podskup od V. Ali iz toga proizlazi da kardinalnost bilo kojeg skupa ne prelazi kardinalnost V. Ali na osnovu aksioma skupa svih podskupova, za V, kao i svaki skup, postoji skup svih podskupova, a prema Kantorovoj teoremi, što je u suprotnosti sa prethodnom tvrdnjom. Posljedično, V ne može postojati, što je u suprotnosti s "naivnom" hipotezom da bilo koji sintaksički ispravan logički uvjet definira skup, odnosno da je za bilo koju formulu A koja ne sadrži y slobodna. Potter pruža izvanredan dokaz o odsustvu takvih kontradikcija na temelju aksiomatizirane Zermelo-Fraenkelove teorije skupova.

Oba gore navedena paradoksa s logičkog gledišta identična su "Lažovu" ili "Bradobrauu": izraženi sud nije usmjeren samo na nešto objektivno u odnosu na njega, već i na samoga sebe. Međutim, treba obratiti pažnju ne samo na logičku stranu, već i na koncept beskonačnosti, koji je ovdje prisutan. Literatura se poziva na Poincaréovo djelo u kojem on piše: "vjera u postojanje stvarne beskonačnosti ... čini te nepredikativne definicije neophodnima" ".
Općenito, glavne točke su:

• ovi paradoksi krše pravilo da se jasno razdvoje „sfere“ predikata i subjekta; stepen zabune je blizu zamjene jednog pojma drugim;
• obično se logički pretpostavlja da u procesu zaključivanja subjekt i predikat zadržavaju svoj volumen i sadržaj, u ovom slučaju postoji
  prelazak iz jedne kategorije u drugu, što rezultira nedosljednošću;
• prisutnost riječi "sve" ima smisla za konačan broj elemenata, ali u slučaju beskonačnog broja njih može postojati jedan koji
  definiranje sebe zahtijeva definiranje skupa;
• kršeni su osnovni logički zakoni:
  • zakon identiteta je povrijeđen kada se otkrije neidentičnost subjekta i predikata;
  • zakon kontradiktornosti - kada su izvedene dvije oprečne presude sa istim pravom;
  • zakon isključene trećine - kada se ta trećina mora priznati, a ne isključiti, jer se ni prva ni druga ne mogu priznati jedna bez druge, jer ispostavljaju se jednako važećim.

Treći paradoks nosi ime Russella... Jedna od opcija definicije data je u nastavku.
Neka je K skup svih skupova koji sami po sebi ne sadrže svoj element. Da li K sadrži sebe kao element? Ako je odgovor da, onda, prema definiciji K, ne bi trebao biti element K - kontradikcija. Ako ne, onda bi, prema definiciji K, trebao biti element K - opet kontradikcija. Ova izjava logički je izvedena iz Kantorovog paradoksa, koji pokazuje njihovu vezu. Međutim, filozofska suština se očituje jasnije, budući da se "samokretanje" "pojmova događa upravo" pred našim očima ".

Paradoks Tristram Shandy:
U Sternovom romanu Život i mišljenja Tristrama Shandyja, džentlmena, junak otkriva da mu je trebala cijela godina da ispriča događaje prvog dana svog života, a trebalo je još godinu dana da opiše drugi dan. U tom smislu, junak se žali da će se materijal njegove biografije skupljati brže nego što ga može obraditi, i nikada ga neće moći dovršiti. “Sada potvrđujem,” Russell se tome protivi, “da ako je živio vječno i da mu njegov rad ne bi postao teret, čak i ako mu je život nastavio biti ispunjen događajima kao na početku, tada nijedan dio njegove biografije ne bi ostale nenapisane. "
Zaista, događaje n-og dana koje je Shandy mogao opisati u n-oj godini i tako bi u njegovoj autobiografiji svaki dan bio utisnut.

Drugim riječima, ako bi život trajao beskonačno, onda bi brojao čak godina kao dana.

Russell pravi analogiju između ovog romana i Zenona sa svojom kornjačom. Po njegovom mišljenju, rješenje leži u činjenici da je cjelina ekvivalentna svom dijelu u beskonačnosti. One. samo "aksiom zdravog razuma" dovodi do kontradikcije. Međutim, rješenje problema leži u području čiste matematike. Očigledno, postoje dva seta - godine i dani, među elementima kojih se uspostavlja korespondencija jedan na jedan - bijekcija. Zatim, pod uvjetom beskonačnog života glavnog junaka, postoje dva beskonačna jednako snažna skupa, koji, ako kardinalnost posmatramo kao generalizaciju koncepta broja elemenata u skupu, rješavaju paradoks.

Banach-Tarski paradoks (teorema) ili paradoks udvostručavanja lopte- teorema u teoriji skupova, koja tvrdi da je trodimenzionalna kugla ekvivalentna njenim dvjema kopijama.
Dva podskupa euklidskog prostora nazivaju se škare kongruentna, ako se mogu podijeliti na konačan broj dijelova, pomaknuti ih i od njih sačiniti drugi.
Preciznije, dva skupa A i B su makazasto kongruentna ako se mogu predstaviti kao konačna unija disjunktnih podskupova tako da je za svaki i podskup kongruentan.

Ako koristimo teoremu odabira, definicija zvuči ovako:
Aksiom izbora implicira da postoji podjela površine jedinične sfere na konačan broj dijelova, koji se mogu prikupiti u dvije sfere jediničnog radijusa transformacijom trodimenzionalnog euklidskog prostora, koji ne mijenjaju oblik ove komponente.

Očigledno, s obzirom na zahtjev da ovi dijelovi budu mjerljivi, to nije izvedivo. Čuveni fizičar Richard Feynman u svojoj je biografiji ispričao kako je svojedobno uspio pobijediti u sporu oko lomljenja naranče na konačan broj dijelova i njezine prerade.

U nekim se trenucima ovaj paradoks koristi za pobijanje aksioma izbora, ali problem je u tome što je ono što smatramo elementarnom geometrijom irelevantno. Koncepte koje smatramo intuitivnima treba proširiti na nivo svojstava transcendentalnih funkcija.

Da bismo dodatno oslabili povjerenje onih koji smatraju da je aksiom izbora netočan, trebamo spomenuti teoremu Mazurkiewicza i Sierpinskog, koja kaže da postoji neprazan podskup E euklidske ravni, koji ima dva različita podskupa, od kojih svaki mogu se podijeliti na konačan broj dijelova, tako da se izometrijama mogu pretvoriti u presvlaku skupa E.
Štaviše, za dokaz nije potrebna upotreba aksioma izbora.
Daljnje konstrukcije zasnovane na aksiomu izvjesnosti daju rješenje za Banach-Tarski paradoks, ali nisu od takvog interesa.

• Richardov paradoks: Potrebno je imenovati "najmanji broj koji nije naveden u ovoj knjizi". Kontradiktornost je u tome što se s jedne strane to može učiniti, budući da je najmanji broj naveden u ovoj knjizi. Na temelju toga može se imenovati najmanji neimenovani. Ali ovdje nastaje problem: kontinuum je nebrojiv, između bilo koja dva broja možete umetnuti beskonačan skup međubrojeva. S druge strane, ako bismo mogli nazvati ovaj broj, on bi automatski prešao iz klase koja nije spomenuta u knjizi u klasu koja se spominje.
• Grelling-Nielsonov paradoks: riječi ili znakovi mogu označavati svojstvo, a imati ga ili ne. Najtrivijalnija formulacija glasi: je li riječ "heterologna" (što znači "neprimjenjiva na sebe") heterologna? .. Vrlo slično Russell -ovom paradoksu u vezi s prisutnošću dijalektičke kontradikcije: krši se dualitet oblika i sadržaja. U slučaju riječi s visokim stupnjem apstrakcije, nemoguće je odlučiti jesu li te riječi heterologne.
• Skolemov paradoks: koristeći Gödelovu teoremu o potpunosti i Löwenheim-Skolemovu teoremu, dobivamo da aksiomatska teorija skupova ostaje istinita čak i onda kada se za svoju interpretaciju pretpostavlja (dostupna) samo brojiva zbirka skupova. U isto vrijeme
  aksiomatska teorija uključuje već spomenutu Kantorovu teoremu koja nas vodi do nebrojivih beskonačnih skupova.

Rješavanje paradoksa

Stvaranje teorije skupova dovelo je do onoga što se smatra trećom krizom matematike, koja još nije na zadovoljavajući način riješena za sve.
Istorijski gledano, prvi pristup je bio teoretski skup. Zasnovana je na upotrebi stvarne beskonačnosti, kada se vjerovalo da je svaki beskonačni niz potpun u beskonačnosti. Ideja je bila da je u teoriji skupova često potrebno operirati skupovima koji bi mogli biti dio drugih, opsežnijih skupova. Uspješne radnje u ovom slučaju bile su moguće samo u jednom slučaju: zadani skupovi (konačni i beskonačni) su dovršeni. Određeni uspjeh bio je očit: Zermelo-Fraenkelova aksiomatska teorija skupova, čitava matematička škola Nicolasa Bourbakija, koja postoji više od pola stoljeća i još uvijek izaziva mnogo kritika.

Logika je bio pokušaj da se sva poznata matematika svede na aritmetičke izraze, a zatim da se termini aritmetike svedu na koncepte matematičke logike. Frege je bio blisko uključen u to, ali je nakon završetka rada na poslu bio prisiljen ukazati na svoju nedosljednost, nakon što je Russell ukazao na kontradiktornosti u teoriji. Isti je Russell, kao što je ranije spomenuto, pokušao isključiti upotrebu implicitnih definicija uz pomoć "teorije tipa". Međutim, njegovi koncepti skupa i beskonačnosti, kao i aksiom reducibilnosti, pokazali su se nelogičnim. Glavni problem bio je u tome što nisu uzete u obzir kvalitativne razlike između formalne i matematičke logike, kao ni prisutnost nepotrebnih koncepata, uključujući i one intuitivne prirode.
Kao rezultat toga, teorija logizma nije uspjela ukloniti dijalektičke kontradikcije paradoksa povezanih s beskonačnošću. Postojali su samo principi i metode koji su omogućili da se riješe barem nepredvidivih definicija. Prema vlastitom rezonovanju, Russell je bio nasljednik Cantora

Krajem XIX - početkom XX veka. proširenje formalističkog gledišta na matematiku bilo je povezano s razvojem aksiomatske metode i programa za potkrepljivanje matematike, koji je iznio D. Hilbert. O važnosti ove činjenice govori činjenica da je prvi problem od dvadeset troje koji je postavio matematičkoj zajednici bio problem beskonačnosti. Formalizacija je bila neophodna da bi se dokazala dosljednost klasične matematike, "isključujući iz nje svu metafiziku". S obzirom na sredstva i metode koje je koristio Hilbert, njegov cilj je bio u osnovi neizvodljiv, ali je njegov program imao veliki utjecaj na sav kasniji razvoj temelja matematike. Hilbert je dugo radio na ovom problemu, u početku konstruirajući aksiomatiku geometrije. Budući da se rješenje problema pokazalo prilično uspješnim, odlučio je primijeniti aksiomatsku metodu u teoriji prirodnih brojeva. Evo što je napisao u tom smislu: "Ja težim važnom cilju: ja bih želio baviti se pitanjima temelja matematike kao takve, pretvarajući svaku matematičku izjavu u strogo izvodljivu formulu." U isto vrijeme, planirano je riješiti se beskonačnosti smanjivanjem na određeni konačan broj operacija. Zbog toga se okrenuo fizici s njenim atomizmom kako bi pokazao potpunu nedosljednost beskonačnih veličina. U stvari, Hilbert je postavio pitanje odnosa između teorije i objektivne stvarnosti.

Manje -više potpunu sliku konačnih metoda daje Hilbertov učenik J. Herbrand. Konačnim zaključivanjem razumijeva takvo zaključivanje koje zadovoljava sljedeće uvjete: logički paradoksi "- uvijek se razmatra samo konačan i određen broj objekata i funkcija;

Funkcije su precizno definirane i ta nam definicija omogućuje izračunavanje njihovog značenja;

Nikada se ne navodi "Ovaj objekt postoji" ako nije poznat način njegove izgradnje;

Skup svih objekata X bilo koje beskonačne zbirke nikada se ne razmatra;

Ako je poznato da je bilo koje zaključivanje ili teorema istinita za sve ove X, to znači da se ovo opće zaključivanje može ponoviti za svaki specifični X, a samo ovo opće zaključivanje treba smatrati samo modelom za provođenje takvog specifičnog zaključivanja. "

Međutim, u vrijeme posljednje objave na ovom području, Gödel je već dobio svoje rezultate, zapravo je ponovno otkrio i potvrdio prisutnost dijalektike u procesu spoznaje. U suštini, dalji razvoj matematike pokazao je nedosljednost Hilbertovog programa.

Šta je tačno Gödel dokazao? Mogu se razlikovati tri glavna rezultata:

1. Gödel je pokazao nemogućnost matematičkog dokaza dosljednosti bilo kojeg sistema koji je dovoljno opsežan da uključi svu aritmetiku, dokaz koji ne bi koristio bilo koja druga pravila zaključivanja osim onih u samom sistemu. Takav dokaz, koji koristi moćnije pravilo zaključivanja, mogao bi biti od pomoći. Ali ako su ova pravila zaključivanja jača od logičkih sredstava aritmetičkog računa, tada neće biti povjerenja u dosljednost pretpostavki korištenih u dokazu. U svakom slučaju, ako korištene metode nisu konačne, tada će Hilbertov program biti neizvediv. Gödel samo pokazuje nedosljednost proračuna za pronalaženje konačnog dokaza o dosljednosti aritmetike.
2. Gödel je ukazao na fundamentalno ograničenje mogućnosti aksiomatske metode: sistem Principia Mathematica, kao i svaki drugi sistem uz pomoć kojeg se gradi aritmetika, u biti je nepotpun, odnosno za svaki dosljedan sistem aritmetičkih aksioma postoje prave aritmetičke rečenice koje nisu izvedene iz aksioma ovog sistema.
3. Gödelov teorem pokazuje da ga nikakvo proširenje aritmetičkog sistema ne može učiniti potpunim, pa čak i ako ga ispunimo beskonačnim skupom aksioma, tada će u novom sistemu uvijek biti istinito, ali ne može se izvesti pomoću ovog sistema, pozicije. Aksiomatski pristup aritmetici prirodnih brojeva nije u stanju pokriti cijelo područje istinitih aritmetičkih prosudbi, a ono što podrazumijevamo pod procesom matematičkog dokazivanja ne svodi se na upotrebu aksiomatske metode. Nakon Gödelove teoreme, postalo je besmisleno očekivati ​​da se koncept uvjerljivog matematičkog dokaza može dati jednom zauvijek zacrtanim oblicima.

Intuicionizam je bio posljednji u ovom nizu pokušaja objašnjenja teorije skupova.

On je prošao kroz brojne faze svoje evolucije-polu-intuicionizam, pravi intuicionizam, ultra-intuicionizam. U različitim fazama matematičari su bili zabrinuti zbog različitih problema, ali jedan od glavnih problema matematike je problem beskonačnosti. Matematički koncepti beskonačnosti i kontinuiteta bili su predmet filozofske analize od njihovog početka (ideje atomista, aporije Zenona iz Eleje, beskonačno male metode u antici, račun beskonačno malog u moderno doba itd.). Najveće kontroverze izazvala je upotreba različitih vrsta beskonačnosti (potencijalnih, stvarnih) kao matematičkih objekata i njihova interpretacija. Svi su ti problemi, po našem mišljenju, nastali dubljim problemom - o ulozi subjekta u naučnom saznanju. Suština je u tome da je krizno stanje u matematici generirano epistemološkom nesigurnošću poređenja svijeta objekta (beskonačnosti) i svijeta subjekta. Matematičar kao subjekt ima mogućnost odabira sredstava znanja - bilo potencijalnih, bilo stvarnih beskonačnih. Korištenje potencijalne beskonačnosti kao postajanja, daje joj mogućnost implementacije, izgradnje beskonačnog skupa konstrukcija koje se mogu izgraditi na vrhu konačnih, bez završnog koraka, bez dovršetka konstrukcije, jedino je moguće. Upotreba stvarne beskonačnosti daje mu priliku da radi s beskonačnošću koliko je već izvodljivo, potpunom u njenoj konstrukciji, kako je zapravo dato u isto vrijeme.

U fazi poluintuicionizma, problem beskonačnosti još nije bio nezavisan, već je utkan u problem konstrukcije matematičkih objekata i metoda njegovog opravdanja. Poluintuicionizam A. Poincaréa i predstavnika pariške škole teorije Baireovih, Lebesgueovih i Borelovih funkcija bio je usmjeren protiv usvajanja aksioma slobodnog izbora, uz pomoć kojeg se dokazuje Zermelov teorem, koji tvrdi da svaki skup može biti potpuno uređen, ali bez navođenja teorijske metode za određivanje elemenata bilo kojeg podskupa potrebnih skupova. Ne postoji način da se izgradi matematički objekt, a nema ni samog matematičkog objekta. Matematičari su vjerovali da prisutnost ili odsustvo teorijske metode za konstruiranje niza predmeta proučavanja može poslužiti kao osnova za potkrepljivanje ili opovrgavanje ovog aksioma. U ruskoj verziji, poluintucionistički koncept u filozofskim osnovama matematike razvijen je u takvom smjeru kao što je efektivizam, koji je razvio N.N. Luzin. Efektivizam je suprotstavljanje osnovnim apstrakcijama doktrine kantora o beskonačnosti - stvarnost, izbor, transfinitna indukcija itd.

Za efektivizam, epistemološki vrednije apstrakcije su apstrakcija potencijalne izvodljivosti od apstrakcije stvarne beskonačnosti. To omogućava uvođenje koncepta transfinitetnih ordinala (beskonačni redni brojevi) na osnovu djelotvornog koncepta rasta funkcija. Epistemološka postavka efikasnosti prikaza kontinuiteta (kontinuuma) zasnovana je na diskretnim sredinama (aritmetika) i deskriptivnoj teoriji skupova (funkcija) koju je stvorio N.N. Luzin. Intuicionizam Holanđanina L.E.Ya. Brouwera, G. Weila, A. Heytinga smatra da slobodni nizovi različitih vrsta postaju tradicionalni predmet istraživanja. U ovoj fazi, rješavajući matematičke probleme per se, uključujući restrukturiranje sve matematike na novoj osnovi, intuicionisti su postavili filozofsko pitanje uloge matematičara kao subjekta koji spoznaje. Kakav je njegov položaj, gdje je slobodniji i aktivniji u izboru sredstava znanja? Intuicionisti su prvi (i u fazi poluintuicionizma) kritizirali koncept stvarne beskonačnosti, Cantorovu teoriju skupova, u njoj vide povredu sposobnosti subjekta da utječe na proces znanstvene potrage za rješenjem konstruktivnog problema . U slučaju korištenja potencijalne beskonačnosti, subjekt ne zavarava samog sebe, jer je za njega ideja potencijalne beskonačnosti intuitivno mnogo jasnija od ideje stvarne beskonačnosti. Za intuicionistu, smatra se da objekt postoji ako je dan izravno matematičaru ili je poznata metoda njegove konstrukcije i dizajna. U svakom slučaju, subjekt može započeti proces dovršavanja niza elemenata svog skupa. Neizgrađeni objekt ne postoji za intuicioniste. U isto vrijeme, subjekt koji radi sa stvarnom beskonačnošću bit će lišen ove mogućnosti i osjetit će dvostruku ranjivost usvojene pozicije:

1) ova beskrajna konstrukcija nikada se ne može ostvariti;
2) odluči djelovati sa stvarnom beskonačnošću kao sa konačnim objektom i u tom slučaju gubi specifičnost koncepta beskonačnosti. Intuicionizam namjerno ograničava mogućnosti matematičara činjenicom da konstrukciju matematičkih objekata može izvesti isključivo pomoću takvih sredstava koja su, iako su dobivena apstraktnim pojmovima, djelotvorna, uvjerljiva, dokaziva, funkcionalno konstruktivna u praksi i sami po sebi intuitivno jasni kao konstrukcije, konstrukcije u čiju pouzdanost u praksi nema sumnje. Intuicionizam, oslanjajući se na koncept potencijalne beskonačnosti i konstruktivne metode istraživanja, bavi se matematikom postajanja, teorija skupova se odnosi na matematiku bića.

Za intuicionistu Brouwera, kao predstavnika matematičkog empirizma, logika je sekundarna, kritizira je i zakon isključene sredine.

U svojim djelomično mističnim djelima ne negira prisutnost beskonačnosti, ali ne dopušta ni njeno aktualiziranje, samo potencijalizaciju. Za njega je najvažnije tumačenje i opravdanje praktično korištenih logičkih sredstava i matematičko zaključivanje. Ograničenje koje su prihvatili intuicionisti prevladava neizvjesnost upotrebe koncepta beskonačnosti u matematici i izražava želju za prevladavanjem krize u osnovi matematike.

Ultra-intuicionizam (AN Kolmogorov, AA Markov, itd.) Posljednja je faza razvoja intuicionizma, u kojoj se njegove glavne ideje moderniziraju, bitno nadopunjuju i transformiraju, ne mijenjajući svoju bit, ali prevladavajući nedostatke i jačajući pozitivne aspekte , vođen kriterijima matematičke strogosti. Slabost pristupa intuicionista bilo je usko razumijevanje uloge intuicije kao jedinog izvora opravdanja za ispravnost i efikasnost matematičkih metoda. Uzimajući "intuitivnu jasnoću" kao kriterij istine u matematici, intuicionisti su metodološki osiromašili sposobnosti matematičara kao subjekta spoznaje, sveli njegovu aktivnost samo na mentalne operacije zasnovane na intuiciji i nisu uključili praksu u proces matematičke spoznaje. Ultra-intuicionistički program za potkrepljivanje matematike je ruski prioritet. Stoga su domaći matematičari, prevladavajući ograničenja intuicionizma, prihvatili efikasnu metodologiju materijalističke dijalektike, koja ljudsku praksu prepoznaje kao izvor formiranja i matematičkih pojmova i matematičkih metoda (zaključivanja, konstrukcije). Ultraintucionisti su riješili problem postojanja matematičkih objekata, ne oslanjajući se na nedefinirani subjektivni koncept intuicije, već na matematičku praksu i specifičan mehanizam za konstrukciju matematičkog objekta - algoritam izražen izračunatom, rekurzivnom funkcijom.

Ultra-intuicionizam pojačava prednosti intuicionizma, koji se sastoje u mogućnosti naručivanja i generaliziranja metoda rješavanja konstruktivnih problema koje koriste matematičari bilo kojeg smjera. Stoga je intuicionizam posljednje etape (ultraintuicionizam) blizak konstruktivizmu u matematici. U epistemološkom aspektu, glavne ideje i principi ultra-intuicionizma su sljedeći: kritika klasične aksiomatike logike; korištenje i značajno jačanje (po izričitom nalogu AA Markova) uloge apstrakcije identifikacije (mentalna apstrakcija od različitih svojstava objekata i istovremena izolacija zajedničkih svojstava objekata) kao način konstruiranja i konstruktivnog razumijevanja apstrakcije pojmovi, matematički sudovi; dokaz doslednosti konzistentnih teorija. U formalnom aspektu, primjena apstrakcije identifikacije opravdana je s njena tri svojstva (aksioma) jednakosti - refleksivnosti, tranzitivnosti i simetrije.

Riješiti glavnu kontradikciju u matematici o problemu beskonačnosti, koja je dovela do krize njenih temelja, u fazi ultra-intuicionizma u djelima A.N. Kolmogorov je predložio izlaze iz krize rješavajući problem odnosa klasične i intuicionističke logike, klasične i intuicionističke matematike. Browerov intuicionizam u cjelini nijekao je logiku, ali budući da svaki matematičar ne može bez logike, intuicionizam je i dalje zadržao praksu logičkog zaključivanja, neki principi klasične logike su dopušteni, a aksiomi su im osnova. S.K. Kleene, R. Wesley čak primjećuju da se intuicionistička matematika može opisati u obliku neke vrste računa, a račun je način organiziranja matematičkog znanja na temelju logike, formalizacije i njenog oblika - algoritmizacije. Nova verzija odnosa logike i matematike u okviru intuicionističkih zahtjeva za intuitivnom jasnoćom sudova, posebno onih koji su uključivali negaciju, A.N. Kolmogorov je to predložio na sljedeći način: predstavio je intuicionističku logiku, blisko povezanu s intuicionističkom matematikom, u obliku aksiomatskog implikativnog minimalnog računa propozicija i predikata. Tako je naučnik predstavio novi model matematičkog znanja koji prevazilazi ograničenja intuicionizma u prepoznavanju samo intuicije kao sredstva spoznaje i ograničenja logizma, koji apsolutizuje mogućnosti logike u matematici. Ova pozicija omogućila je da se u matematičkom obliku demonstrira sinteza intuitivnog i logičkog kao osnova fleksibilne racionalnosti i njene konstruktivne efikasnosti.

Zaključci. Dakle, epistemološki aspekt matematičkog znanja omogućuje procjenu revolucionarnih promjena u fazi krize temelja matematike na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće. s novih pozicija u razumijevanju procesa spoznaje, prirode i uloge subjekta u njemu. Epistemološki subjekt tradicionalne teorije znanja, koji odgovara razdoblju dominacije teorijsko-skupovnog pristupa u matematici, apstraktan je, nepotpun, "parcijalni" subjekt, predstavljen u odnosima subjekt-objekt, otrgnut od stvarnosti apstrakcijama, logika, formalizam, racionalno, teoretski spoznavajući svoj objekt i shvaćen kao ogledalo koje tačno odražava i kopira stvarnost. U stvari, subjekt je isključen iz spoznaje kao stvaran proces i rezultat interakcije s objektom. Pojava intuicionizma na poprištu borbe između filozofskih trendova u matematici dovela je do novog shvaćanja matematičara kao subjekta spoznaje - osobe koja zna, čija se filozofska apstrakcija, takoreći, mora iznova izgraditi. Matematičar se pojavio kao empirijski subjekt, već shvaćen kao integralna stvarna osoba, uključujući sva ona svojstva od kojih su bili odvraćeni u epistemološkom subjektu - empirijska konkretnost, varijabilnost, historičnost; to je gluma i spoznaja stvarnog znanja, kreativan, intuitivan, inventivan predmet. Filozofija intuicionističke matematike postala je osnova, temelj moderne epistemološke paradigme, izgrađene na konceptu fleksibilne racionalnosti, u kojoj je osoba integralni (integralni) subjekt spoznaje, posjedujući nove kognitivne kvalitete, metode, postupke; on sintetizira i svoju apstraktno-epistemološku i logičko-metodološku prirodu i formu, a istovremeno prima egzistencijalno-antropološko i "povijesno-metafizičko" razumijevanje.

Važna točka je i intuicija u spoznaji, a posebno u formiranju matematičkih pojmova. Opet se vodi borba s filozofijom, pokušaji da se zakon isključene sredine isključi, jer nema značenje u matematici i ulazi u nju iz filozofije. Međutim, prisutnost pretjeranog naglaska na intuiciji i nedostatak jasnog matematičkog opravdanja nisu dozvolili prijenos matematike na čvrste temelje.

Međutim, nakon pojave strogog koncepta algoritma 1930 -ih, matematički konstruktivizam preuzeo je intuicionizam, čiji su predstavnici dali značajan doprinos modernoj teoriji računanja. Osim toga, 1970 -ih i 1980 -ih otkrivene su značajne veze između nekih ideja intuicionista (čak i onih koje su se prije činile apsurdnima) i matematičke teorije toposa. Matematika pronađena u nekim toposima vrlo je slična onoj koju su intuicionisti pokušali stvoriti.

Zaključak je da većina gore navedenih paradoksa jednostavno ne postoji u teoriji samopouzdanja. Pitanje je da li je takav pristup konačan, pokazati će dalji rad u ovoj oblasti.

Zaključak

Dijalektičko-materijalistička analiza pokazuje da su paradoksi posljedica dihotomije jezika i mišljenja, izraz duboke dijalektike (Gödelova teorema omogućila je da se dijalektika očituje u procesu spoznaje) i epistemoloških poteškoća povezanih s pojmovima objekta i predmetna oblast u formalnoj logici, skup (klasa) u logici i teoriji skupova, uz upotrebu principa apstrakcije, koji omogućava uvođenje u razmatranje novih (apstraktnih) objekata (beskonačnost), s metodama za definiranje apstraktnih objekata u nauci itd. Stoga se ne može dati univerzalni način uklanjanja svih paradoksa.

Je li treća kriza matematike završena (jer je bila u uzročno -posljedičnoj vezi s paradoksima; sada su paradoksi sastavni dio) - mišljenja se ovdje razlikuju, iako su formalno poznati paradoksi eliminirani do 1907. Međutim, sada u matematici postoje druge okolnosti koje se mogu smatrati ili krizom ili nagovještavanjem krize (na primjer), nepostojanje stroge osnove za integral puta).

Što se tiče paradoksa, vrlo važnu ulogu u matematici odigrao je poznati paradoks lažljivca, kao i čitav niz paradoksa u takozvanoj naivnoj (prethodnoj aksiomatskoj) teoriji skupova, koja je izazvala krizu temelja ( jedan od ovih paradoksa odigrao je kobnu ulogu u životu G. Fregea) ... Ali možda jedan od fenomena koji se u modernoj matematici najviše zanemaruje, a koji se može nazvati i paradoksalnim i kriznim, rješenje je Paul Cohena iz 1963. za prvi Hilbertov problem. Tačnije, ne sama činjenica odluke, već priroda ove odluke.

Književnost

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46: 481-512, 1895.
2. I.N. Burov. Paradoksi teorije skupova i dijalektike. Nauka, 1976.
3. M.D. Potter. Teorija skupova i njena filozofija: kritički uvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Zhukov N.I. Filozofski temelji matematike. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Vi se, naravno, šalite, gospodine Feynman!: Avanture nevjerojatnog čovjeka, koje je ispričao R. Leightonu. CoLibri, 2008.
6. O. M. Mizhevich. Dva načina prevladavanja paradoksa u teoriji skupova G. Cantora. Logičke i filozofske studije, (3): 279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. FILOZOFIJA INTUICIONALNE MATEMATIKE. Bilten DSTU -a, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teorija skupova sa vlastitim vlasništvom (temelji i neke aplikacije). Perm država un-t. - Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Kratke bilješke sa predavanja o disciplini "Filozofija matematike" ". Kazanj, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Istraživanje teorije skupova i neklasične logike. Nauka, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ovaj beskrajni vijenac. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelssohn E. Uvod u matematičku logiku. Izdavačka kuća "Science", 1976.
13. DA. Bochvar. Po pitanju paradoksa matematičke logike i teorije skupova. Matematička zbirka, 57 (3): 369-384, 1944.

Urednik, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen udahne, mit erlä uternden anmerkungen sowie mit ergä nzungen aus dem briefwechsel Cantor- Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Razdoblje razvoja (1845-1871)

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, tvorac teorije skupova, jednog od najvećih novih fenomena u svijetu nauke, rođen je u Sankt Peterburgu 19. februara, čl. stil (novi stil 3. marta) 1845. Njegov otac Georg Voldemar Kantor, poreklom iz Kopenhagena, stigao je u Sankt Peterburg u mladosti; tamo je imao brokersku kancelariju pod svojim imenom, ponekad pod imenom "Cantor i K." Vredan i uspešan biznismen, postigao je veliki uspeh i nakon smrti (1863.) ostavio veoma značajno bogatstvo; očigledno, bio je veoma cijenjen i u Sankt Peterburgu i kasnije u Njemačkoj. Zbog plućne bolesti preselio se sa porodicom u Njemačku 1856. godine; tamo je ubrzo odabrao Frankfurt na Majni za svoju rezidenciju, gdje je živio kao rentijer. Cantorova majka, Maria, rođena Boehm, potjecala je iz porodice od kojih su mnogi bili nadareni za različita područja umjetnosti; njen utjecaj očitovao se, bez sumnje, u bogatoj mašti njenog sina. Njegov djed, Ludwig Boehm, bio je kapetan; dedin brat Josip, koji je živio u Beču, bio je učitelj poznatog virtuoznog violončeliste Joachima; Marijin brat Kantor je takođe bio muzičar, a njena sestra Annette imala je kćerku umjetnicu koja je predavala na Minhenskoj školi za umjetnost i obrt. Umetnička vena primetna je i kod brata Georga Cantora, Konstantina, koji je bio talentovani pijanista, i kod njegove sestre Sofije, koja je posebno sklona crtanju.

Daroviti dječak koji je pohađao osnovnu školu u Sankt Peterburgu vrlo je rano pokazao strastvenu želju da počne studirati matematiku. Njegov se otac, međutim, nije složio s tim, smatrajući zanimanje inženjera obećavajućim u smislu zarade. Sin je u početku poslušao; pohađao je neko vrijeme gimnaziju u Wiesbadenu, kao i privatne škole u Frankfurtu na Majni; zatim je u proljeće 1859. godine ušao u provincijsku realnu školu Velikog vojvodstva Hessen u Darmstadtu, gdje se također učio latinski; odatle je 1860. prešao na opšti smjer Više zanatske škole (kasnije Više tehničke škole). Njegov otac usmjerio je svoje obrazovanje s neobično visokim zahtjevima; posebnu važnost pridavao je odgoju energije, čvrstini karaktera i religioznosti koja prožima cijeli život; posebno je naglasio važnost potpunog savladavanja glavnih savremenih jezika. Otac ga je uputio (u pismu o potvrdi 1860.) da se čvrsto drži, uprkos svom neprijateljstvu, i da uvijek teži za svojim; Ovaj je poziv više puta podsjećao svog sina u satima teških iskušenja i, možda, odgoju ovog oca dugujemo činjenicu da njegov stvaralački duh nije prerano slomljen i da njegovi plodovi nisu izgubljeni za potomstvo.

Vremenom, duboka privlačnost njegovog sina prema matematici nije mogla uticati na njegovog oca, čija pisma takođe svjedoče o njegovom poštovanju prema nauci. U pismu iz Darmstadta od 25. maja 1862. godine, koje predstavlja prvo sačuvano pismo od Cantora, sin je već mogao izraziti zahvalnost ocu na odobravajućem stavu prema njegovim planovima: „Dragi tata! Možete zamisliti kako me vaše pismo usrećilo; određuje moju budućnost. Zadnje sam dane proveo u sumnji i neizvjesnosti; i nije mogao donijeti nikakvu odluku. Dužnost i privlačnost stalno su se borili. Sada sam sretan što vidim da vas neću žaliti slijedeći svoju sklonost prema svom izboru. Nadam se, dragi oče, da vam i dalje mogu donijeti radost, jer moja duša, cijelo moje biće živi u mom pozivu; osoba radi ono što želi i može i prema čemu privlači njegov nepoznati, misteriozni glas! .. "

U jesen 1862. Kantor je započeo studije u Zürichu, odakle je ipak otišao nakon prvog semestra zbog smrti oca. Od jeseni 1863. studirao je matematiku, fiziku i filozofiju u Berlinu, gdje je triumvirat Kummer, Weierstrass i Kronecker privukao najbolje talente, uzbuđujući umove (tada još prilično uskog) kruga slušatelja u različitim smjerovima. Samo je proljetni semestar 1866. proveo u Göttingenu. Nema sumnje da je Weierstrass imao najjači utjecaj na njegov naučni razvoj. Izvanredan je i karakterističan po širini Weierstrassovih stavova, po njegovom otvorenom i pronicljivom prosuđivanju, s kakvim razumijevanjem i sa koliko je rano cijenio nekonvencionalne ideje svojih učenika, odgovarajući na ovo duboko poštovanje koje mu je uvijek ispoljavao njegov život, uprkos prolaznim svađama. Tokom berlinskih godina, Kantor je bio član ne samo Društva matematičara, već i užeg kruga mladih kolega koji su se sastajali nedeljno u Remelovoj kafani; u ovaj krug su, osim povremenih gostiju, ulazili Genoch (budući izdavač Fortschritte (Uspjeh)), Lampe, Mertens, Max Simon, Tome; od kojih je potonji bio posebno blizak Kantoru. G A. Schwartz, koji je bio dvije godine stariji; kasnije se, međutim, susreo s Cantorovim idejama s najvećim nepovjerenjem, za razliku od svog učitelja Weierstrassa, pa je do samog kraja svog života posebno upozoravao svoje učenike protiv njih, poput Kroneckera. Dvadesetdvogodišnji student odbranio je svoju tezu na Univerzitetu u Berlinu, koja je proizašla iz dubinskog proučavanja Disquisitiones arithmeticae ("Istraživanje u aritmetici") i "Teorije brojeva" od strane Legendrea, a fakultet ga je ocijenio kao " dissertatio docta et ingeniosa "(" Naučno i duhovito zaključivanje ") * Ovaj rad se nadovezuje na Gaussovu formulu za rješavanje Diofantove jednadžbe sjekira 2 + a "x" 2 + a "x" 2 = 0; u njemu se uspostavlja određeni odnos koji Gaus nije eksplicitno dao. Detaljna rasprava o Cantorovom radu sadržana je u detaljnoj biografiji koju sam o njemu napisao, objavljenoj u Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, vol. 39 (1930), str. 189-266, kao i u zasebnoj knjizi: Georg Cantor, Leipzig i Berlin, 1930; posvetio ga je svojim starateljima (i starateljima njegovog brata i sestre). Na usmenom ispitu dobio je ocjenu „magna cum laude“ („s posebnim odlikovanjem“). Od tri teze koje je predložio da odbrani, treća je posebno karakteristična: "In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solutionndi" (U matematici je umjetnost postavljanja pitanja važnija od umjetnosti njihovog rješavanja. "Možda čak rezultati koje je postigao u teoriji skupova inferiorni su po važnosti prema pitanjima revolucionarnih izjava koje su do sada imale utjecaj izvan granica njegovih vlastitih spisa.

Čini se da je Kantor kratko predavao u Berlinu u ženskoj školi; u svakom slučaju, 1868. godine, nakon što je položio državni ispit, upisao se u čuveno Bogosloviju u Shelbachu, koje je školovalo učitelje matematike.

Doktorska disertacija, koja je Kantoru dala priliku da postane privatni docent na Univerzitetu u Halleu u proljeće 1869. godine, pripada, zajedno s nekoliko malih bilješki objavljenih 1868-72, prvom, aritmetičkom krugu njegovih interesa, koju je kasnije rijetko vraćao. Te teorije brojeva pod vodstvom i uz odobrenje Kroneckera za Cantora nisu bile samo slučajna epizoda. Naprotiv, doživio je duboki unutarnji utjecaj ove discipline, s njenom izvanrednom čistoćom i gracioznošću. O tome svjedoči, uz prvu, i treća teza koju je iznio u odbranu: „Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere“ “). Uspostavljanje veza između različitih teorijsko-brojevnih funkcija i Riemannove zeta funkcije (uz Riemannovo djelo o prostim brojevima) također pripada ranom vremenu, vjerovatno već ovom razdoblju; ovo djelo je Cantor objavio tek 1880. godine, pod utjecajem bilješke Lipschitza u Paris Comptes Rendus ("Izvještaji"). Kantorovi daljnji teoretski interesi su naznačeni, pored njegove tablice brojeva, koja je također opstala do 1884., ali nije provedena, plan objavljivanja u Acta Mathematica, djela o kvadratnim oblicima.

E. Heine, koji je bio običan profesor u Halleu u vrijeme dok je Kantor tamo branio svoju disertaciju, odmah je shvatio da je u njegovom mladom kolegi izuzetna oštrina uma sretno spojena s bogatom maštom. Od odlučujućeg značaja bila je činjenica da ga je ubrzo nakon Cantorova preseljenja u Halle, Heine potaknuo da prouči teoriju trigonometrijskih nizova. Revnosni radovi na ovu temu nisu samo kulminirali brojnim značajnim postignućima, već su Cantora i naveli na put do teorije skupova tačaka i beskonačnih rednih brojeva. Radovi ,, i posvećeni su usavršavanju jedne od Riemannovih tvrdnji o trigonometrijskim nizovima (i pratećoj kontroverzi s Appelom, u kojoj je koncept uniformne konvergencije detaljno razmotren); u svom radu Kantor dokazuje teoremu o jedinstvenosti trigonometrijskog prikaza * Iznenađujuće je da Kronecker, koji je u početku pozitivno reagirao na Cantorovu teoremu o jedinstvenosti (usp.), Kasnije potpuno zanemaruje ovaj rezultat; na primjer, u Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale (Predavanja o teoriji jednostavnih i višestrukih integrala) (1894) postavlja pitanje jedinstvenosti kao još uvijek otvoreno!... On nastoji generalizirati ovaj rezultat, napuštajući sve pretpostavke o ponašanju serije na nekom izuzetnom skupu; to ga prisiljava da u svom radu predstavi kratku skicu ideja koje „mogu biti korisne za razjašnjavanje odnosa koji nastaju u svim slučajevima kada su numeričke vrijednosti date u konačnom ili beskonačnom broju. Ovdje, granične točke i derivati ​​(konačnih red) uvode se za skupove tačaka. U tu svrhu, Cantor, s jedne strane, razvija svoju teoriju iracionalnih brojeva * ... U Heineovom djelu "Elementi teorije funkcija" (J. Math., 74, str. 172-188, 1872), iracionalni brojevi su uvedeni na način koji slijedi Kantorove ideje; Sre uvod u Heineov članak, kao i u Cantorovo djelo "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("Do doktrine o transfinitetu"), nakon čega slijedi teorija skupova ovjekovječenih njegovim imenom, gdje se iracionalni brojevi smatraju temeljnim nizom. S druge strane, za prijelaz na geometriju, on uvodi poseban aksiom (Cantorov aksiom), koji se istovremeno i neovisno pojavio u nešto drugačijoj formulaciji u Dedekindovoj knjizi "Kontinuitet i iracionalni brojevi".

Smatra se jednim od najvažnijih prekretnica u povijesti ljudskog mišljenja. Teorija skupova koje je on stvorio kamen je temeljac moderne matematike.

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor rođen je 3. marta 1845. u Sankt Peterburgu, gdje je njegov otac, bogati danski biznismen, emigrirao neposredno prije svog rođenja. Zbog plućne bolesti, njegov je otac morao ponovno emigrirati 1856. godine, ovaj put u Frankfurt. Tamo je Georg studirao u nekoliko privatnih škola. Sa 15 godina primljen je u školu u Wiesbadenu.

Cantor se rano pokazao vrućim interesovanje za matematiku... Godine 1862. počeo je studirati matematiku zajedno s filozofijom i fizikom na Univerzitetu u Berlinu.

Tamo su mu bili učitelji Leopold Kronecker (1823-1891), Ernst Kummer(1810-1893) i Karl Weierstrass(1815-1897). Potonji je imao najveći utjecaj na njega, a Kronecker, koji ga je naučio osnovama teorije brojeva, kasnije je postao najoštriji kritičar Cantorovih ideja. 1867. Kantor je doktorirao, a dvije godine kasnije - poziciju na Univerzitetu u Halleu, prilično važnom obrazovnom centru u zemlji, koji još uvijek nije bio među najprestižnijima u Njemačkoj. Započeo je kao gostujući profesor, što znači da je njegova plaća ovisila o broju učenika u njegovim odjeljenjima. Tek 1879. dobio je mjesto redovnog profesora.

Sa 29 godina Kantor se oženio Wally Guttman i objavio svoju prvu rad na teoriji skupova u Journal of Pure and Applied Mathematics, koji je osnovao August Krell. U ovom je poslu dokazao nevjerojatnu činjenicu: unatoč činjenici da je skup racionalnih brojeva gust na liniji, on se može prebrojiti, odnosno broj elemenata u njemu ne prelazi broj prirodnih brojeva. On je također dokazao (konačno dovršivši dokaz 1891.) da su u tom pogledu stvarni brojevi posebni, budući da je nemoguće uspostaviti međusobnu podudarnost između skupa realnih brojeva i skupa prirodnih brojeva. Ovo je bio prvi pokušaj juriša na tvrđavu zvanu "beskonačnost".

Godina 1877. također je postala vrlo važna za Cantora: tada je dokazao da je, suprotno uvriježenom mišljenju, moguće ustanoviti prepiska jedan na jedan... Kao i 1874. godine, Cantor je i ovaj članak dostavio Krell's Journal.

Članak je naišao na nemilosrdno protivljenje Kroneckera, jednog od urednika časopisa, koji je uspio odgoditi objavljivanje do sljedeće godine. Kronecker je bio uporni protivnik beskonačnosti i prepoznao ga je samo kao stenografiju ponovljenih procesa. Cantor je, s druge strane, proučavao svijet pun istinskih beskonačnosti i svaki put je razmatrao beskonačnosti sve složenije strukture, na primjer, transfinitetni brojevi, na kojem je kontinuirano radio u zrelim godinama.

Sve ukazuje na to da je Kantor bolovao od bolesti koja se danas naziva manično -depresivni sindrom - endogena bolest u kojoj se faze euforije zamjenjuju depresijom.

Posljednjih 20 godina svog života, Kantor se povremeno liječio u psihijatrijskim klinikama, gdje se obraćao na vlastiti zahtjev. To ga nije spriječilo da nastavi raditi i objavljuje svoje teorije između tretmana. Zadnji put je primljen na kliniku 1917. - jedini put protiv svoje volje. U svojim pismima Kantor se žalio na hladnoću, usamljenost i lošu hranu. Unatoč činjenici da su do tada njegove teorije već bile široko rasprostranjene priznanje naučne zajednice 6. januara 1918. umro je sam i u zaista depresivnim uslovima.

Uključujući beskonačno, prema njihovoj "moći" (generalizacija koncepta količine) kroz koncept međusobne korespondencije između skupova. Razvrstao je skupove prema njihovoj kardinalnosti, definirao koncepte kardinalnih i rednih brojeva, aritmetiku za kardinalne i redne brojeve.

Georg je bio prvorođeni, najstariji od šestero djece. Majstorski je svirao violinu, naslijedivši značajne umjetničke i muzičke talente od roditelja. Otac porodice je 1851. o svom sinu napisao: "". Kad se njegov otac razbolio, porodica se, računajući na blažu klimu, preselila u Njemačku 1856. godine: prvo u Wiesbaden, a zatim u Frankfurt.

Priroda mu je obdarila želju za redom, koja prevladava nad svim ostalim.

Godine 1860. Georg je sa odličnom diplomom završio pravu školu u Darmstadtu; nastavnici su primijetili njegove izuzetne sposobnosti u matematici, posebno u trigonometriji. Godine 1862. stupio je u. Godinu dana kasnije, otac mu je umro; nakon što je dobio značajno nasljedstvo, Georg se prebacio na Humboldtov univerzitet u Berlinu, gdje je počeo pohađati predavanja poznatih naučnika kao što su Leopold Kronecker, Karl Weierstrass i Ernst Kummer. Leto 1866. proveo je na Univerzitetu u Getingenu, najvećem centru matematičke misli u to vreme. 1867. Univerzitet u Berlinu dodijelio mu je doktorat za rad na teoriji brojeva "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

Nakon kraćeg rada kao nastavnik u Berlinskoj ženskoj školi, Kantor je zauzeo mjesto na Univerzitetu Martin Luther u Galiji, gdje je proveo cijelu svoju karijeru. Dobio je potrebnu habilitaciju za nastavu za svoju disertaciju iz teorije brojeva. 1872. Kantor je upoznao Richarda Dedekinda, koji mu je postao blizak prijatelj i istomišljenik. Mnoge Cantorove ideje raspravljane su u prepisci s Dedekindom.

U članku iz 1872. Cantor je dao verziju potkrepljivanja teorije realnih brojeva. U njegovom modelu stvaran broj je definiran kao klasa osnovnih nizova racionalnih brojeva. Za razliku od prethodno općenito prihvaćene Newtonove definicije iz Univerzalne aritmetike, Cantorov pristup bio je isključivo matematički, bez pozivanja na geometriju ili druge mjerne postupke. Još jedna verzija, takođe čisto matematička, objavljena je iste godine u izdanju Dedekinda (zasnovana je na "Dedekind odjeljcima", vidi).

1874. Cantor se oženio Wally Gutman ( Vally guttmann). Imali su 6 djece, od kojih je posljednje rođeno 1886. godine (4 kćeri i dva sina). Uprkos skromnoj akademskoj plati, Kantor je mogao da svojoj porodici obezbedi ugodan život zahvaljujući nasledstvu koje je dobio od svog oca. Biografi napominju da je čak i tokom medenog mjeseca u planinama Harz, Kantor provodio dosta vremena u matematičkim razgovorima sa svojim prijateljem Dedekindom. Iste 1874. Kantor je objavio članak u časopisu Krelle Journal u kojem je predstavio koncept kardinalnosti i pokazao da postoji isto toliko racionalnih brojeva koliko i prirodnih brojeva, a realnih je mnogo više (po savjetu Weierstrassa, ovaj revolucionar zaključak je ublažen u članku).

Kantor je promoviran u gostujućeg profesora 1872. godine, a redovni profesor postao je 1879. godine. Dobiti ovu titulu sa 34 godine bilo je veliko postignuće, ali Kantor je sanjao o poziciji na prestižnijem univerzitetu, na primjer, Berlinu - u to vrijeme vodećem univerzitetu u Njemačkoj, ali njegove su teorije naišle na ozbiljne kritike i prelazak na drugi mesto nije bilo moguće.

1877. Cantor je postigao zapanjujući rezultat koji je napisao u pismu Dedekindu: skupovi tačaka segmenta i tačke kvadrata imaju istu kardinalnost (kontinuum), bez obzira na dužinu segmenta i širinu kvadrat. U isto vrijeme, formulirao je i neuspješno pokušao dokazati "hipotezu o kontinuumu". Cantor -ov prvi rad koji opisuje ove ključne rezultate pojavio se 1878. godine i nazvan je „ Ka doktrini različitosti"(Termin mnogostrukost Cantor se kasnije promijenio u mnogo). Objavljivanje članka u više je navrata odgađano na zahtjev ogorčenog Kroneckera, koji je vodio odjel za matematiku na Univerzitetu u Berlinu. Kronecker, koji se smatra pretečom konstruktivne matematike, nije volio Cantorovu teoriju skupova, jer su njeni dokazi često nekonstruktivni, bez konstruiranja konkretnih primjera; Kronecker je koncept stvarne beskonačnosti smatrao apsurdnim.

Kantor je shvatio da mu Kroneckerov položaj neće dopustiti ni da napusti Univerzitet u Galiji. I sam Cantor je bio istog mišljenja kao i većina savremenih matematičara: svaki dosljedan matematički objekt treba smatrati valjanim i postojećim.

Cantorova teorija skupova naišla je na oštre kritike brojnih poznatih savremenih matematičara - Henri Poincaré; kasnije - Hermann Weil i Leutzen Brouwer (vidi). Podsjetili su da su prije Cantora sva svjetla matematike, od Aristotela do Gaussa, smatrala stvarnu beskonačnost neprihvatljivim naučnim konceptom. Situaciju je pogoršalo otkriće fatalnih kontradikcija u prvoj verziji teorije skupova. Kritika je ponekad bila vrlo agresivna: na primjer, Poincaré je nazvao "kantorizam" ozbiljnom bolešću koja je pogodila matematičku nauku i izrazio nadu da će se buduće generacije izliječiti od nje; a u javnim izjavama i ličnim napadima Kroneckera protiv Cantora ponekad su bljesnuli epiteti poput "naučni šarlatan", "otpadnik" i "pokvarivač mladosti".

Oštrim kritikama nekih istaknutih matematičara suprotstavila se svjetska slava i odobravanje drugih. Kraljevsko društvo u Londonu je 1904. godine dodijelilo Cantoru najveću matematičku nagradu, medalju Sylvester. I sam Cantor je vjerovao da mu je teorija o beskonačnim brojevima prenesena odozgo. Bertrand Russell pohvalio je teoriju skupova kao "jedan od glavnih uspjeha naše ere", a David Hilbert nazvao je Cantora "matematičkim genijem" i izjavio: "Niko nas ne može protjerati iz raja koji je stvorio Cantor."

Godine 1881. umro je Kantorov kolega Eduard Heine, ostavljajući za sobom upražnjeno mjesto. Univerzitetska uprava prihvatila je Kantorovu ponudu da na to mjesto pozove Richarda Dedekinda, Heinricha Webera ili Franza Mertensa (tim redoslijedom), ali su, na veliku Kantorovu žalost, svi to odbili. Kao rezultat toga, on je preuzeo dužnost. Godine 1882., Cantorova komunikacija s Dedekindom je prekinuta - vjerovatno zbog ogorčenosti što je ovaj odbio njegovo mjesto u Halleu.

1883. Kantor je objavio ključni članak u svom djelu "Temelji opće doktrine različitosti". U isto vrijeme započeo je aktivnu prepisku s istaknutim matematičarem tog doba - Göstom Mittag -Leffler, koji je živio u Švedskoj, a uskoro je počeo objavljivati ​​u svom časopisu "Acta mathematica"... Međutim, 1885. godine, Mittag-Leffler je postao uznemiren filozofskim implikacijama i novom terminologijom u jednom članku koji mu je poslao Cantor na objavljivanje, i zatražio od Cantora da povuče svoj članak dok je još bio na lektiri, napisavši da je ovaj članak "Unaprijed za stotinjak godina"... Kantor je pristao povući članak, ali nikad više Acta Mathematica nije objavljen i naglo je prekinuo odnose i prepisku s Mittag-Leffler. Kantor je započeo prvo razdoblje depresije i više od pet godina Kantor nije ništa objavljivao, osim nekoliko članaka filozofske prirode, ograničavajući se na poučavanje.

Ubrzo nakon restauracije (1889), Cantor je odmah napravio nekoliko važnih dodataka svojoj teoriji, posebno je dijagonalnom metodom dokazao da je skup svih podskupova prirodnih brojeva nebrojiv, ali nikada nije dostigao isti visoki nivo produktivnosti kao imao je 1874-1884. ... Na kraju se s prijedlogom mira obratio Kroneckeru, što je on pozitivno prihvatio. Ipak, filozofske razlike i poteškoće koje su ih razdvajale ostale su. U međuvremenu su neki matematičari, posebno mladi, prihvatili teoriju skupova, počeli je razvijati i primjenjivati ​​u rješavanju različitih problema. Među njima su Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein 1891. godine; u to je vrijeme njegova reputacija bila vrlo stabilna čak i unatoč protivljenju Kroneckera, pa je kao rezultat toga Kantor izabran za prvog predsjednika društva. Kantor je pozvao Kroneckera da napravi prezentaciju, ali nije mogao prihvatiti ponudu zbog tragične smrti njegove supruge.

Epizode depresije, koje su se periodično ponavljale od 1884. do kraja Cantorovih dana, neko su vrijeme krivile svoje suvremenike za zauzimanje pretjerano agresivnog stava, no sada se vjeruje da su ti napadi najvjerojatnije razvoj mentalnih bolesti.

Čuvena Cantorova dijagonalna metoda prvi put se pojavila u članku 1892. Posljednji rad, svojevrsni testament naučnika, bio je članak "O potkrepljivanju doktrine o transfinitnim skupovima" (u dva dijela, 1895-1897). Ovo je jedno od najpoznatijih Cantorovih djela, u kojem se, pored dosadašnjih rezultata teorije skupova, gradi hijerarhija Alefa.

Godine 1897. započela je intenzivna prepiska između Cantora i Hilberta o prvoj kontradikciji pronađenoj u teoriji skupova - paradoksu Burali -Forti, koji je silno uznemirio Hilberta. Kantor je izrazio mišljenje da u teoriji skupova treba razlikovati dvije vrste pojmova - transfinitetne i apsolutne („ nedostupan”, Kako je rekao), od njih samo prvi popuštaju ljudskom umu, a u odnosu na drugi moguć je samo pristup njihovom razumijevanju. Hilberta ova metafizika nije uvjerila; po njegovom mišljenju nema nerješivih matematičkih problema niti ih može biti. Rasprava je trajala dvije godine i nije dovela ni do čega. Rješenje paradoksa (koji, međutim, nije postao općeprihvaćen) pronađeno je tek 30 godina kasnije, nakon što je Cantorovu „naivnu teoriju skupova“ zamijenio aksiomatskom, koja je iz nedostupnosti pravnih pojmova isključila „nedostupne“ skupove.

U decembru 1899. umro je 13-godišnji Kantorin sin. Cantorova mentalna bolest se pogoršala, gotovo završen treći dio članka "O potkrepljivanju doktrine o beskonačnim skupovima" nikada nije dovršen. Do 1913. Kantor je nastavio predavati na univerzitetu (s vremena na vrijeme uzimajući velike pauze radi liječenja), a zatim je otišao u penziju. Njegova interesovanja nakon 1899. uglavnom su se ticala Lajbnizove filozofije i pitanja autorstva Šekspirovih drama, koje je Kantor volio dugi niz godina.

Georg Cantor umro je 6. januara 1918. od srčanog udara u psihijatrijskoj bolnici u Halleu.

Cantor George Cantor Karijera: Matematičar
Rođenje: Rusija "Sankt Peterburg, 3.3.1845 - 6.1
Georg Cantor veliki je njemački naučnik i matematičar. Rođen 3. marta 1845. u Rusiji Georg Cantor je poznat kao tvorac "teorije skupova", autor Kantorove teoreme. Osim toga, Georg Cantor je definirao koncepte kardinalnih i rednih brojeva i njihovu aritmetiku, uveo koncept međusobne korespondencije između elemenata skupova, dao definicije beskonačnog i dobro uređenog skupa i dokazao da postoji više stvarnih brojeva nego prirodni brojevi itd.

Porodica Georga Cantora (1845-1918) preselila se iz Rusije u Njemačku dok je bio još dijete. Tamo je počeo studirati matematiku. Odbranivši disertaciju iz teorije brojeva 1868. godine, doktorirao je na Univerzitetu u Berlinu. U dobi od 27 godina, Kantor je objavio članak koji sadrži opći zaključak izuzetno složenog matematičkog problema - i ideje koje su kasnije prerasle u njegovu poznatu teoriju - teoriju skupova. 1878. predstavio je i formulisao važan sistem novih koncepata, dao definiciju skupa i prvu definiciju kontinuuma i razvio principe upoređivanja skupova. On je sistematski prikazao principe svoje doktrine o beskonačnosti 1879-1884.

Cantor -ov uporni poriv da raščlanjuje beskonačnost kao nešto što je zapravo dato bila je velika vijest za to vrijeme. Kantor je svoju teoriju shvatio kao potpuno novi račun beskonačne, "transfinitetne" (to jest, "superfinitetne") matematike. Prema njegovoj zamisli, stvaranje takvog računa trebalo je napraviti revoluciju ne samo u matematici, već i u metafizici i teologiji, koja je Cantora zanimala ne više od samih naučnih istraživanja. On je bio jedini matematičar i filozof, onaj koji je vjerovao da stvarna beskonačnost ne samo da postoji, već je razumljiva čovjeku u punom smislu te će to shvaćanje obuzeti matematičare, a u potrazi za njima i teolozima, sve više i bliže Bogu. Posvetio je svoje postojanje ovom zadatku. Naučnik je snažno vjerovao da ga je Bog izabrao da napravi veliku revoluciju u nauci, a to njegovo uvjerenje bilo je potkrijepljeno mističnim vizijama. Titanički pokušaj Georga Cantora, iako se zapravo završio, završio se na čudan način: u teoriji su otkriveni teško savladani paradoksi, stavljajući pod oklijevanje i značaj Cantorove omiljene ideje - "ljestve Alefa", uzastopni niz beskonačnih brojeva. (Ovi brojevi su nadaleko poznati u nazivu koji je usvojio: u obliku slova Aleph, prvog slova hebrejskog alfabeta.)

Neočekivanost i originalnost njegovog gledišta, unatoč svim prednostima pristupa, dovelo je do oštrog odbacivanja njegovog rada od strane većine znanstvenika. Decenijama je vodio tvrdoglavu borbu sa gotovo svim svojim savremenicima, filozofima i matematičarima, koji su negirali legitimnost izgradnje matematike na temeljima zapravo beskonačnog. Neki su ovo shvatili kao izazov, jer je Cantor pretpostavio postojanje skupova ili nizova brojeva s beskonačnom masom elemenata. Čuveni matematičar Poincaré nazvao je teoriju transfinitnih brojeva "bolešću" od koje se matematika jednog dana mora izliječiti. L. Kronecker - Kantorov učitelj i jedini od najmjerodavnijih matematičara u Njemačkoj - štaviše, napao je Kantora nazivajući ga "šarlatanom", "otpadnikom" i "zlostavljačem djece"! Tek do 1890. godine, kada su dobijene primjene teorije skupova u analizi i geometriji, Cantorov koncept stekao je priznanje kao nezavisna grana matematike.

Važno je napomenuti da je Kantor doprinio stvaranju profesionalnog udruženja - Njemačkog matematičkog društva, koje je doprinijelo razvoju matematike u Njemačkoj. Vjerovao je da je njegova naučna karijera patila od predrasuda prema njegovom radu i nadao se da će nezavisna organizacija omogućiti mladim matematičarima da samostalno prosuđuju nove ideje i počnu ih razvijati. Bio je i inicijator sazivanja prvog Međunarodnog matematičkog kongresa u Cirihu.

Kantor je teško doživljavao kontradiktornosti svoje teorije i poteškoće u prihvaćanju iste. Od 1884. patio je od duboke depresije i nakon nekoliko godina se povukao iz naučne aktivnosti. Kantor je umro od zatajenja srca u psihijatrijskoj bolnici u Galleu.

Kantor je dokazao postojanje hijerarhije beskonačnosti, od kojih je svaka "veća" od prethodne. Njegov koncept beskonačnih skupova, koji je preživio godine sumnji i napada, na kraju je prerastao u ogromnu revolucionarnu silu u matematici 20. stoljeća. i postao njen kamen temeljac.