Kako iscrtati funkciju y = sin x? Prvo, pogledajmo sinusni graf u intervalu.

Uzimamo jedan segment duljine 2 ćelije bilježnice. Označite jedan na osi Oy.

Radi praktičnosti, broj π / 2 zaokružujemo na 1,5 (a ne na 1,6, kako zahtijevaju pravila zaokruživanja). U ovom slučaju segment duljine π / 2 odgovara 3 ćelije.

Na osi Ox ne označavamo jedinične segmente, već segmente dužine π / 2 (svake 3 ćelije). Prema tome, segment duljine π odgovara 6 ćelija, segment duljine π / 6 - 1 ćelija.

Ovim izborom jediničnog segmenta, grafikon prikazan na listu bilježnice u kutiji odgovara što je više moguće grafikonu funkcije y = sin x.

Sastavimo tablicu vrijednosti sinusa u intervalu:

Dobivene točke označavamo na koordinatnoj ravnini:

Pošto je y = sin x neparna funkcija, sinusni graf je simetričan u odnosu na ishodište - tačku O (0; 0). Uzimajući u obzir ovu činjenicu, nastavit ćemo s iscrtavanjem grafikona lijevo, zatim tačke -π:

Funkcija y = sin x je periodična s periodom T = 2π. Stoga se grafikon funkcije, uzet na intervalu [-π; π], ponavlja beskonačan broj puta udesno i ulijevo.

U ovoj lekciji ćemo pobliže pogledati funkciju y = sin x, njena glavna svojstva i grafikon. Na početku lekcije dat ćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnom krugu i razmotriti graf funkcije na krugu i pravoj liniji. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafikonu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih zadataka pomoću grafikona funkcije i njenih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y = sinx, njena osnovna svojstva i grafikon

Prilikom razmatranja funkcije, važno je dodijeliti svaku vrijednost argumenta jednoj vrijednosti funkcije. Ovo zakon o usaglašenosti i naziva se funkcija.

Definirajmo zakon korespondencije za.

Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnoj kružnici, tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta pridružena je jednoj vrijednosti funkcije.

Očigledna svojstva slijede iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje od ovo je ordinata tačke jedinične kružnice.

Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijskog tumačenja argumenta. Argument je središnji kut, mjereno u radijanima. Na osi ćemo iscrtati stvarne brojeve ili kutove u radijanima, na osi odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Na primjer, kut na jediničnoj kružnici odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafikon funkcije na web mjestu. Ali poznavajući period sinusa, možemo prikazati grafikon funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti na cijelo područje definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Opseg:

2) Raspon vrijednosti:

3) Funkcija je neparna:

4) Najmanji pozitivan period:

5) Koordinate tačaka preseka grafa sa osi apscise:

6) Koordinate tačke preseka grafikona sa osom y:

7) Intervali u kojima funkcija uzima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija uzima negativne vrijednosti:

9) Uzlazni intervali:

10) Silazni intervali:

11) Minimalni broj bodova:

12) Minimalna funkcija:

13) Maksimalni broj bodova:

14) Maksimalna funkcija:

Ispitivali smo svojstva funkcije i njen grafikon. Svojstva će se više puta koristiti pri rješavanju problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, ocjena 10 (u dva dijela). Udžbenik za obrazovne institucije (profilni nivo), ur. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra i početak analize, ocjena 10 (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007. (monografija).

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa naprednim studijem matematike).- M.: Obrazovanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinsko proučavanje algebre i matematička analiza.-M.: Prosvjetljenje, 1997.

5. Zbirka matematičkih zadataka za kandidate na visokoškolskim ustanovama (pod uredništvom MI Skanavija).- M .: Visoka škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky VB, Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zadaci iz algebre i principi analize (vodič za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova).- M.: Obrazovanje, 2003.

8. Karp A.P. Zbirka problema iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred sa produbljivanjem studija Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, ocjena 10 (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007. (monografija).

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web izvori

3. Obrazovni portal za pripremu ispita ().

, Konkurs "Prezentacija za lekciju"

Prezentacija lekcije

Nazad naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova su samo u informativne svrhe i ne moraju predstavljati sve mogućnosti prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Željezo hrđa, ne nalazeći sebi nikakvu upotrebu,
stajaća voda trune ili se smrzava na hladnoći,
a ljudski um, ne nalazeći sebi nikakvu upotrebu, vene.
Leonardo da Vinci

Korišćene tehnologije: problematično učenje, kritičko mišljenje, komunikativna komunikacija.

Ciljevi:

• Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
• Proučavanje svojstava funkcije y = sin x.
• Formiranje praktičnih vještina za konstruiranje grafa funkcije y = sin x na osnovu proučenog teorijskog materijala.

Zadaci:

1. Iskoristite postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcije y = sin x u posebnim situacijama.

2. Primijeniti svjesno uspostavljanje veza između analitičkih i geometrijskih modela funkcije y = sin x.

Razviti inicijativu, određenu spremnost i interes za pronalaženje rješenja; sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljajte se tu, branite svoje gledište.

Negovati kod učenika kognitivne aktivnosti, osećaj odgovornosti, međusobnog poštovanja, međusobnog razumevanja, međusobne podrške, samopouzdanja; kultura komunikacije.

Tokom nastave

Faza 1. Aktualizacija osnovnih znanja, motivacija za proučavanje novog gradiva

"Ulazak u lekciju".

Na tabli su napisane 3 izjave:

1. Trigonometrijska jednadžba sin t = a uvijek ima rješenje.
2. Neparna funkcija može se iscrtati transformacijom simetrije oko osi y.
3. Trigonometrijska funkcija može se iscrtati pomoću jednog glavnog polutalasa.

Učenici raspravljaju u parovima: Da li su tvrdnje tačne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) tada se unose u tablicu u kolonu "Prije".

Nastavnik postavlja ciljeve i zadatke za čas.

2. Ažuriranje znanja (frontalno na modelu trigonometrijskog kruga).

Već smo upoznali funkciju s = sin t.

1) Koje vrijednosti varijabla t može uzeti. Koji je opseg ove funkcije?

2) U kom intervalu su vrijednosti izraza sin t. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije s = sin t.

3) Riješite jednadžbu sin t = 0.

4) Šta se dešava sa ordinatom tačke kada se kreće duž prve četvrtine? (ordinata se povećava). Šta se dešava sa ordinatom tačke kada se kreće duž druge četvrtine? (ordinata se postupno smanjuje). Kako se to odnosi na monotonost funkcije? (funkcija s = sin t raste na segmentu, a opada na segmentu).

5) Zapišimo funkciju s = sin t u uobičajenom obliku za nas y = sin x (konstruirat ćemo u uobičajenom koordinatnom sistemu xOy) i sastaviti tablicu vrijednosti ove funkcije.

NS	0
at	0			1			0

Faza 2. Opažanje, razumijevanje, primarna konsolidacija, nenamjerno pamćenje

Faza 4. Primarna sistematizacija znanja i metoda djelovanja, njihov prijenos i primjena u novim situacijama

6. br. 10.18 (b, c)

Faza 5. Završna kontrola, ispravka, procjena i samoprocjena

7. Vraćajući se na naredbe (početak lekcije), razgovarajte o korištenju svojstava trigonometrijske funkcije y = sin x i popunite stupac "Nakon" u tablici.

8. D / z: klauzula 10, br. 10,7 (a), 10,8 (b), 10,11 (b), 10,16 (a)

FUNKCIONA GRAFIKA

Funkcija sinusa

- mnogo R svi realni brojevi.

Skup vrijednosti funkcija- segment [-1; 1], tj sinusna funkcija - ograničeno.

Funkcija je čudna: sin (−x) = - sin x za sve h ∈ R.

Periodična funkcija

sin (x + 2π k) = sin x, gdje je k ∈ Z za sve h ∈ R.

sin x = 0 za x = π k, k ∈ Z.

sin x> 0(pozitivno) za sve x ∈ (2π k, π + 2π k), k ∈ Z.

sin x< 0 (negativno) za sve x ∈ (π + 2π k, 2π + 2π k), k ∈ Z.

Kosinusna funkcija

Opseg funkcije- mnogo R svi realni brojevi.

Skup vrijednosti funkcija- segment [-1; 1], tj kosinusna funkcija - ograničeno.

Funkcija je čak: cos (−x) = cos x za sve h ∈ R.

Periodična funkcija sa najmanjim pozitivnim periodom 2π:

cos (x + 2π k) = cos x, gdje k ∈ Z za sve h ∈ R.

cos x = 0 at
cos x> 0 za sve
cos x< 0 za sve
Funkcija se povećava od −1 do 1 u intervalima:
Funkcija se smanjuje od −1 do 1 u intervalima:
Najveća vrijednost funkcije sin x = 1 na tačkama:
Najmanja vrijednost funkcije sin x = −1 na tačkama:

Tangentna funkcija

Skup vrijednosti funkcija- cijeli brojčani red, tj. tangent - funkcija neograničeno.

Funkcija je čudna: tg (−x) = - tg x
Graf funkcija je simetričan oko OY osi.

Periodična funkcija sa najmanjim pozitivnim periodom π, tj. tg (x + π k) = tg x, k ∈ Z za sve x iz domene.

Kotangensna funkcija

Skup vrijednosti funkcija- cijela brojevna linija, tj. kotangens - funkcija neograničeno.

Funkcija je čudna: ctg (−x) = - ctg x za sve x iz domene.
Graf funkcija je simetričan oko OY osi.

Periodična funkcija sa najmanjim pozitivnim periodom π, tj. ctg (x + π k) = ctg x, k ∈ Z za sve x iz domene.

Arcsine funkcija

Opseg funkcije- segment [-1; 1]

Skup vrijednosti funkcija- segment -π / 2 luka x π / 2, tj. arcsine funkcija ograničeno.

Funkcija je čudna: arcsin (−x) = - arcsin x za sve h ∈ R.
Graf funkcija je simetričan u odnosu na ishodište.

U čitavom području definicije.

Kosinusna funkcija luka

Opseg funkcije- segment [-1; 1]

Skup vrijednosti funkcija- segment 0 arccos x π, tj. inverzni kosinus - funkcija ograničeno.

Funkcija je rastuća u čitavom domenu definicije.

Arktagentna funkcija

Opseg funkcije- mnogo R svi realni brojevi.

Skup vrijednosti funkcija- segment 0 π, tj. arctangent - funkcija ograničeno.

Funkcija je čudna: arctan (−x) = - arctan x za sve h ∈ R.
Graf funkcija je simetričan u odnosu na ishodište.

Funkcija je rastuća u čitavom domenu definicije.

Kotangensna funkcija luka

Opseg funkcije- mnogo R svi realni brojevi.

Skup vrijednosti funkcija- segment 0 π, tj. lučni kotangens - funkcija ograničeno.

Funkcija nije ni parna ni neparna.
Grafikon funkcije nije asimetričan niti oko ishodišta niti oko Oy osi.

Funkcija se smanjuje u čitavom domenu definicije.

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y = sin (x). Definicije i svojstva"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, kritike, želje! Sve materijale je provjerio antivirusni program.

Priručnici i simulatori u Integral internetskoj trgovini za razred 10 od 1C
Rješavamo probleme u geometriji. Interaktivni građevinski zadaci za razrede 7-10
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:

• Svojstva funkcije Y = sin (X).
• Graf funkcija.
• Kako izgraditi grafikon i njegovu razmjeru.
• Primjeri.

Sinusna svojstva. Y = sin (X)

Ljudi, već smo se upoznali s trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta. Sjećate li ih se?

Pogledajmo pobliže funkciju Y = sin (X)

Zapišimo neka svojstva ove funkcije:
1) Domen definicije - skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna. Sjetimo se definicije neparne funkcije. Funkcija se naziva neparnom ako vrijedi jednakost: y (-x) = - y (x). Kao što se sjećamo iz formula duhova: sin (-x) = - sin (x). Definicija je ispunjena, pa je Y = sin (X) neparna funkcija.
3) Funkcija Y = sin (X) raste na segmentu, a opada na segmentu [π / 2; π]. Kad se krećemo uz prvu četvrtinu (suprotno od kazaljke na satu), ordinata se povećava, a kada se krećemo duž druge četvrtine, ona se smanjuje.

4) Funkcija Y = sin (X) ograničena je iznad i ispod. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Najmanja vrijednost funkcije je -1 (pri x = - π / 2 + πk). Najveća vrijednost funkcije je 1 (pri x = π / 2 + πk).

Upotrijebimo svojstva 1-5 za iscrtavanje funkcije Y = sin (X). Naš graf ćemo graditi uzastopno koristeći naša svojstva. Počnimo graditi graf na segmentu.

Posebnu pažnju treba posvetiti ljestvici. Na osi ordinata prikladnije je uzeti jedinični segment jednak 2 ćelije, a na osi apscise - uzeti jedinični segment (dvije ćelije) jednake π / 3 (vidi sliku).

Nacrtajte sinusnu funkciju x, y = sin (x)

Izračunajmo vrijednosti funkcije na našem segmentu:

Izgradimo graf na osnovu naših tačaka, uzimajući u obzir treće svojstvo.

Tablica konverzije za formule duhova

Upotrijebimo drugo svojstvo, koje kaže da je naša funkcija neparna, što znači da se može simetrično odraziti o ishodištu:

Znamo da je sin (x + 2π) = sin (x). To znači da na segmentu [- π; π] grafikon izgleda isto kao i na segmentu [π; 3π] ili ili -3π; - π] i tako dalje. Ostaje nam da pažljivo precrtamo graf na prethodnoj slici na cijeloj osi apscise.

Grafikon funkcije Y = sin (X) naziva se sinusoida.

Napišemo još nekoliko svojstava prema izgrađenom grafikonu:
6) Funkcija Y = sin (X) raste na bilo kojem segmentu oblika: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k je cijeli broj i smanjuje se na bilo kojem intervalu oblika: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k je cijeli broj.
7) Funkcija Y = sin (X) je kontinuirana funkcija. Pogledajmo grafikon funkcije i uvjerimo se da naša funkcija nema diskontinuitete, što znači kontinuitet.
8) Raspon vrijednosti: segment [- 1; 1]. To se također jasno vidi iz grafikona funkcije.
9) Funkcija Y = sin (X) je periodična funkcija. Pogledajmo ponovo grafikon i vidimo da funkcija uzima iste vrijednosti u nekim intervalima.

Primjeri sinusnih problema

1. Riješite jednadžbu sin (x) = x-π

Rješenje: Izgradimo 2 grafikona funkcije: y = sin (x) i y = x-π (vidi sliku).
Naši grafikoni se sijeku u jednoj točki A (π; 0), ovo je odgovor: x = π

2. Nacrtajte funkciju y = sin (π / 6 + x) -1

Rješenje: Do željenog grafikona dolazi pomicanjem grafa funkcije y = sin (x) za π / 6 jedinica ulijevo i 1 jedinicu prema dolje.

Rješenje: Izgradimo graf funkcije i razmotrimo naš segment [π / 2; 5π / 4].
Grafikon funkcije pokazuje da se najveća i najmanja vrijednost postižu na krajevima segmenta, u točkama π / 2 odnosno 5π / 4, respektivno.
Odgovor: sin (π / 2) = 1 je najveća vrijednost, sin (5π / 4) = najmanja vrijednost.

Sinusni problemi za neovisno rješenje

• Riješite jednadžbu: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
• Nacrt funkcije y = sin (π / 3 + x) -2
• Nacrt funkcije y = sin (-2π / 3 + x) +1
• Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y = sin (x) na intervalu
• Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y = sin (x) na segmentu [- π / 3; 5π / 6]