Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim ćemo razmatrati slučajeve kako se njihova složenost povećava. Na kraju dajemo izraz koji sadrži slovne oznake, zagrade, korijene, posebne matematičke znakove, stupnjeve, funkcije itd. Cijela teorija će, prema tradiciji, biti opskrbljena obiljem i detaljnim primjerima.

Kako pronaći vrijednost numeričkog izraza?

Numerički izrazi, između ostalog, pomažu da se matematičkim jezikom opiše stanje problema. Općenito, matematički izrazi mogu biti ili vrlo jednostavni, koji se sastoje od para brojeva i aritmetičkih znakova, ili vrlo složeni, koji sadrže funkcije, stupnjeve, korijene, zagrade itd. Kao dio zadatka, često je potrebno pronaći vrijednost izraza. Kako to učiniti bit će riječi u nastavku.

Najjednostavniji slučajevi

To su slučajevi u kojima izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetike. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam poznavanje redoslijeda u kojem se aritmetičke operacije izvode bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.

Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tada se operacije izvode s lijeva na desno sljedećim redoslijedom: prvo množenje i dijeljenje, zatim sabiranje i oduzimanje. Navedimo primjere.

Primjer 1. Vrijednost numeričkog izraza

Neka je potrebno pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Uradimo prvo množenje i dijeljenje. Dobijamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Sada oduzimamo i dobijamo konačni rezultat:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Primjer 2. Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Prvo vršimo konverziju razlomaka, dijeljenje i množenje:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Sada uradimo sabiranje i oduzimanje. Hajde da grupišemo razlomke i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Željena vrijednost je pronađena.

Izrazi sa zagradama

Ako izraz sadrži zagrade, onda oni određuju redoslijed akcija u ovom izrazu. Prvo se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to na primjeru.

Primjer 3. Vrijednost numeričkog izraza

Pronađite vrijednost izraza 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

U izrazu postoje zagrade, pa prvo izvršimo operaciju oduzimanja u zagradama, pa tek onda množenje.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Vrijednost izraza koji sadrže zagrade u zagradama nalazi se po istom principu.

Primjer 4. Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Radnje ćemo izvoditi počevši od najnutarnjih zagrada, prelazeći na vanjske.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

U pronalaženju vrijednosti izraza sa zagradama, glavna stvar je pratiti slijed radnji.

Izrazi s korijenima

Matematički izrazi čije vrijednosti trebamo pronaći mogu sadržavati znakove korijena. Štaviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Kako biti u tom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izdvojiti korijen iz rezultirajućeg broja. Ako je moguće, bolje je da se riješite korijena u numeričkim izrazima, zamjenjujući from numeričkim vrijednostima.

Primjer 5. Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Prvo izračunavamo radikalne izraze.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Sada možemo izračunati vrijednost cijelog izraza.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Često, da bi se pronašla vrijednost izraza s korijenima, često je potrebno prvo transformirati originalni izraz. Objasnimo ovo drugim primjerom.

Primjer 6. Vrijednost numeričkog izraza

Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1

Kao što vidite, nemamo mogućnost zamjene korijena točnom vrijednošću, što komplikuje proces brojanja. Međutim, u ovom slučaju možete primijeniti skraćenu formulu množenja.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Na ovaj način:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Izrazi sa potencijama

Ako izraz sadrži ovlasti, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nego što se nastavi sa svim drugim radnjama. Dešava se da sam eksponent ili baza stepena budu izrazi. U ovom slučaju se prvo izračunava vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stepena.

Primjer 7. Vrijednost numeričkog izraza

Pronađite vrijednost izraza 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Počinjemo računati po redu.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Ostaje samo izvršiti operaciju sabiranja i saznati vrijednost izraza:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Takođe je često preporučljivo pojednostaviti izraz koristeći svojstva stepena.

Primjer 8. Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponenti su opet takvi da se ne mogu dobiti njihove točne numeričke vrijednosti. Pojednostavite originalni izraz da pronađete njegovu vrijednost.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Izrazi sa razlomcima

Ako izraz sadrži razlomke, tada se prilikom izračunavanja takvog izraza svi razlomci u njemu moraju predstaviti kao obični razlomci i njihove vrijednosti ​​​izračunati.

Ako postoje izrazi u brojniku i nazivniku razlomka, tada se prvo izračunavaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka se bilježi. Aritmetičke operacije se izvode standardnim redoslijedom. Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer 9. Vrijednost numeričkog izraza

Nađimo vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Kao što vidite, u originalnom izrazu postoje tri razlomka. Izračunajmo prvo njihove vrijednosti.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Često je pri pronalaženju vrijednosti izraza zgodno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije pronalaženja njegove vrijednosti, svaki izraz je najbolje pojednostaviti do maksimuma, svodeći sve proračune na najjednostavnije slučajeve.

Primjer 10. Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Ne možemo u potpunosti izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostaviti originalni izraz kroz transformacije.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Originalni izraz ima oblik:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Izračunajmo vrijednost ovog izraza:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Izrazi sa logaritmima

Kada su logaritmi prisutni u izrazu, njihova vrijednost se, ako je moguće, računa od samog početka. Na primjer, u izraz log 2 4 + 2 4, možete odmah upisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobijamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Numerički izrazi se također mogu naći pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi. U ovom slučaju, prvi korak je pronaći njihove vrijednosti. Uzmimo izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Imamo:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ako je nemoguće izračunati tačnu vrijednost logaritma, pojednostavljivanje izraza pomaže da se pronađe njegova vrijednost.

Primjer 11. Vrijednost numeričkog izraza

Pronađite vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Prema svojstvu logaritama:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Ponovo primjenjujući svojstva logaritama, za posljednji razlomak u izrazu dobijamo:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Sada možete nastaviti s izračunavanjem vrijednosti originalnog izraza.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Izrazi s trigonometrijskim funkcijama

Dešava se da u izrazu postoje trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, kao i funkcije koje su njima inverzne. Iz vrijednosti se izračunavaju prije izvođenja svih ostalih aritmetičkih operacija. U suprotnom, izraz je pojednostavljen.

Primjer 12. Vrijednost numeričkog izraza

Pronađite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija uključenih u izraz.

grijeh - 5 π 2 \u003d - 1

Zamijenite vrijednosti u izrazu i izračunajte njegovu vrijednost:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Vrijednost izraza je pronađena.

Često, da bi se pronašla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, mora se prvo pretvoriti. Objasnimo na primjeru.

Primjer 13. Vrijednost numeričkog izraza

Potrebno je pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Za transformaciju ćemo koristiti trigonometrijske formule za kosinus dvostrukog ugla i kosinus zbira.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Opšti slučaj numeričkog izraza

U opštem slučaju, trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore opisane elemente: zagrade, stupnjeve, korijene, logaritme, funkcije. Formulirajmo opće pravilo za pronalaženje vrijednosti takvih izraza.

Kako pronaći vrijednost izraza

1. Korijeni, potenci, logaritmi, itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima.
2. Radnje u zagradama se izvode.
3. Preostali koraci se izvode redom s lijeva na desno. Prvo - množenje i dijeljenje, zatim - sabiranje i oduzimanje.

Uzmimo primjer.

Primjer 14. Vrijednost numeričkog izraza

Izračunajmo kolika je vrijednost izraza - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Izraz je prilično složen i glomazan. Nije slučajno da smo odabrali upravo takav primjer, pokušavajući u njega uklopiti sve gore opisane slučajeve. Kako pronaći vrijednost takvog izraza?

Poznato je da se prilikom izračunavanja vrijednosti složenog oblika razlomka prvo odvojeno pronađu vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka. Sukcesivno ćemo transformisati i pojednostaviti ovaj izraz.

Prije svega izračunavamo vrijednost radikalnog izraza 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Sada možete saznati vrijednost sinusa:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Sa nazivnikom razlomka sve je lakše:

Sada možemo zapisati vrijednost cijelog razlomka:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Imajući to na umu, pišemo cijeli izraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konačan rezultat:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

U ovom slučaju, uspjeli smo izračunati tačne vrijednosti za korijene, logaritme, sinuse i tako dalje. Ako to nije moguće, možete pokušati da ih se riješite matematičkim transformacijama.

Računanje izraza na racionalne načine

Numeričke vrijednosti moraju se izračunavati dosljedno i precizno. Ovaj proces se može racionalizirati i ubrzati korištenjem različitih svojstava operacija s brojevima. Na primjer, poznato je da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. S obzirom na ovo svojstvo, odmah možemo reći da je izraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 jednak nuli. U ovom slučaju uopće nije potrebno izvoditi korake redoslijedom opisanim u gornjem članku.

Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva. Bez izvođenja bilo kakvih radnji, moguće je odrediti da je vrijednost izraza 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 također jednaka nuli.

Druga tehnika koja vam omogućava da ubrzate proces je upotreba identičnih transformacija kao što je grupisanje pojmova i faktora i vađenje zajedničkog faktora iz zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza sa razlomcima je smanjenje istih izraza u brojniku i nazivniku.

Na primjer, uzmimo izraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Bez izvođenja radnji u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3 .

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene zadane vrijednosti slova i varijabli.

Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama

Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate zamijeniti date vrijednosti slova i varijabli u originalni izraz, a zatim izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza.

Primjer 15. Vrijednost izraza sa varijablama

Izračunajte vrijednost izraza 0, 5 x - y s obzirom na x = 2, 4 i y = 5.

Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8 .

Ponekad je moguće transformirati izraz na takav način da se dobije njegova vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, potrebno je riješiti se slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći identične transformacije, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.

Na primjer, izraz x + 3 - x očigledno ima vrijednost 3 i nije potrebno znati vrijednost x da bi se izračunala ova vrijednost. Vrijednost ovog izraza je jednaka tri za sve vrijednosti varijable x iz njenog raspona važećih vrijednosti.

Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedinici za sve pozitivne x.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Na predmetu algebra 7. razreda bavili smo se transformacijom celobrojnih izraza, odnosno izraza sastavljenih od brojeva i promenljivih operacijama sabiranja, oduzimanja i množenja, kao i deljenjem brojem koji nije nula. Dakle, izrazi su cijeli brojevi

Nasuprot tome, izrazi

pored radnje sabiranja, oduzimanja i množenja, sadrže dijeljenje izrazom sa varijablama. Takvi izrazi se nazivaju frakcijskim izrazima.

Cjelobrojni i frakcijski izrazi nazivaju se racionalni izrazi.

Cjelobrojni izraz ima smisla za sve vrijednosti varijabli koje su u njemu, jer da biste pronašli vrijednost cijelog izraza, morate izvršiti radnje koje su uvijek moguće.

Frakcijski izraz za neke vrijednosti varijabli možda neće imati smisla. Na primjer, izraz - nema smisla za a = 0. Za sve ostale vrijednosti a, ovaj izraz ima smisla. Izraz ima smisla za one vrijednosti x i y kada je x ≠ y.

Vrijednosti varijable za koje izraz ima smisla nazivaju se valjane vrijednosti varijabli.

Izraz oblika se zove, kao što znate, razlomak.

Razlomak čiji su brojilac i nazivnik polinomi naziva se racionalnim razlomak.

Razlomci su primjeri racionalnih razlomaka.

U racionalnom razlomku su prihvatljive one vrijednosti varijabli za koje nazivnik razlomka ne nestaje.

Primjer 1 Nađimo važeće vrijednosti varijable u razlomku

Rješenje Da biste pronašli pri kojim vrijednostima a nazivnik razlomka nestaje, morate riješiti jednadžbu a (a - 9) \u003d 0. Ova jednadžba ima dva korijena: 0 i 9. Dakle, svi brojevi osim 0 i 9 su važeće vrijednosti za varijablu a.

Primjer 2 Na kojoj je vrijednosti x vrijednost razlomka jednako nuli?

Rješenje Razlomak je nula ako i samo ako je a 0 i b ≠ 0.

Dakle, ako je numerički izraz sastavljen od brojeva i znakova +, −, · i:, onda redom s lijeva na desno prvo morate izvršiti množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željeni vrijednost izraza.

Pogledajmo neke primjere radi pojašnjenja.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza 14−2·15:6−3 .

Rješenje.

Da biste pronašli vrijednost izraza, morate izvršiti sve radnje navedene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja ovih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobijamo 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sada, redom s lijeva na desno, izvodimo preostale akcije: 14−5−3=9−3=6 . Tako smo pronašli vrijednost originalnog izraza, jednaka je 6.

odgovor:

14−2 15:6−3=6 .

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza.

Rješenje.

U ovom primjeru prvo trebamo izvršiti množenje 2 (−7) i dijeljenje sa množenjem u izrazu. Sjećajući se kako , nalazimo 2 (−7)=−14 . I prvo da izvršite radnje u izrazu , onda , i izvršite: .

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz: .

Ali šta je kada se ispod predznaka korena nalazi numerički izraz? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost korijenskog izraza, slijedeći prihvaćeni redoslijed operacija. Na primjer, .

U numeričkim izrazima, korijene treba shvatiti kao neke brojeve, te je preporučljivo odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza s korijenima.

Rješenje.

Prvo, pronađite vrijednost korijena . Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost radikalnog izraza, koju imamo −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. I drugo, nalazimo vrijednost korijena.

Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz originalnog izraza: .

Konačno, možemo pronaći vrijednost originalnog izraza zamjenom korijena njihovim vrijednostima: .

odgovor:

Vrlo često, da biste omogućili pronalaženje vrijednosti izraza s korijenima, prvo ga morate pretvoriti. Pokažimo primjer rješenja.

Primjer.

Šta je značenje izraza .

Rješenje.

Nismo u mogućnosti zamijeniti korijen od tri njegovom tačnom vrijednošću, što nam ne dozvoljava da izračunamo vrijednost ovog izraza na gore opisan način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formule razlike kvadrata: . Uzimajući u obzir, dobijamo . Dakle, vrijednost originalnog izraza je 1.

odgovor:

.

Sa diplomama

Ako su baza i eksponent brojevi, onda se njihova vrijednost izračunava prema definiciji stepena, na primjer, 3 2 =3 3=9 ili 8 −1 =1/8 . Postoje i unosi kada su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima potrebno je pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stepena.

Primjer.

Nađi vrijednost izraza sa stepenom forme 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Rješenje.

Originalni izraz ima dva stepena 2 3 4−10 i (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja ostalih koraka.

Počnimo sa stepenom 2 3·4−10 . Njegov indikator sadrži numerički izraz, izračunajmo njegovu vrijednost: 3·4−10=12−10=2 . Sada možete pronaći vrijednost samog stepena: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Postoje izrazi u bazi i eksponent (1−1/2) 3,5−2 1/4, izračunavamo njihove vrijednosti da bismo kasnije pronašli vrijednost stepena. Imamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sada se vraćamo na originalni izraz, zamjenjujemo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koja nam je potrebna: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

odgovor:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Vrijedi napomenuti da su češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminarni pregled pojednostavljenje izraza sa ovlastima na bazi.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza .

Rješenje.

Sudeći po eksponentima u ovom izrazu, ne mogu se dobiti tačne vrijednosti stupnjeva. Pokušajmo pojednostaviti originalni izraz, možda će to pomoći da se pronađe njegova vrijednost. Imamo

odgovor:

.

Potencije u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali ćemo govoriti o pronalaženju vrijednosti izraza s logaritmima u jednom od njih.

Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima

Numerički izrazi u svom unosu mogu sadržavati razlomci. Kada je potrebno pronaći vrijednost takvog izraza, razlomke osim običnih razlomaka treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije izvođenja drugih koraka.

Brojilac i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, potrebno je izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj redoslijed se objašnjava činjenicom da je razlomak a/b, gdje su a i b neki izrazi, u stvari količnik oblika (a):(b) , budući da je .

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza s razlomcima .

Rješenje.

U originalnom numeričkom izrazu, tri razlomka i . Da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, prvo nam trebaju ovi razlomci i zamijeniti ih njihovim vrijednostima. Hajde da to uradimo.

Brojilac i imenilac razlomka su brojevi. Da bismo pronašli vrijednost takvog razlomka, zamjenjujemo razlomak znakom dijeljenja i izvodimo ovu radnju: .

Brojač razlomka sadrži izraz 7−2 3 , njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2 3=7−6=1 . Na ovaj način, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.

Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, stoga prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo .

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u originalni izraz i izvršiti preostale korake: .

odgovor:

.

Često, kada pronađete vrijednosti izraza s razlomcima, morate izvršiti pojednostavljenje frakcijskih izraza, na osnovu izvođenja radnji sa razlomcima i na redukciji razlomaka.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza .

Rješenje.

Korijen od pet nije u potpunosti izvučen, pa da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo osloboditi se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: . Nakon toga, originalni izraz će poprimiti oblik . Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost početno zadanog izraza:.

odgovor:

.

Sa logaritmima

Ako numerički izraz sadrži , i ako ih je moguće riješiti, onda se to radi prije izvođenja drugih radnji. Na primjer, kada se pronađe vrijednost izraza log 2 4+2 3, logaritam log 2 4 zamjenjuje se njegovom vrijednošću 2, nakon čega se ostale operacije izvode uobičajenim redoslijedom, odnosno log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Kada postoje numerički izrazi pod znakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi, tada se prvo pronalaze njihove vrijednosti, nakon čega se izračunava vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika . U osnovi logaritma i pod njegovim znakom su numerički izrazi, nalazimo njihove vrijednosti: . Sada nalazimo logaritam, nakon čega završavamo proračune: .

Ako logaritmi nisu tačno izračunati, onda se njegovo preliminarno pojednostavljivanje pomoću . U tom slučaju morate dobro vladati materijalom članka. transformacija logaritamskih izraza.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza s logaritmima .

Rješenje.

Počnimo s izračunavanjem log 2 (log 2 256) . Pošto je 256=2 8 , onda je log 2 256=8 , dakle log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupisati. Zbir logaritama log 6 2+log 6 3 jednak je logaritmu proizvoda log 6 (2 3) , pa log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Sada se pozabavimo razlomcima. Za početak ćemo prepisati bazu logaritma u nazivniku kao običan razlomak kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritma, što će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka:
.

Ostaje samo zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti:

odgovor:

Kako pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?

Kada numerički izraz sadrži ili itd., tada se njihove vrijednosti izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunavaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronalaze vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza .

Rješenje.

Ako se okrenemo članku, dobijamo i cosπ=−1 . Ove vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz, on poprima oblik . Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a zatim završiti proračune: .

odgovor:

.

Treba napomenuti da se izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahtijeva prethodno trigonometrijske transformacije izraza.

Primjer.

Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza .

Rješenje.

Transformirajmo originalni izraz koristeći , u ovom slučaju trebamo kosinusnu formulu dvostrukog kuta i kosinusnu formulu sume:

Urađene transformacije pomogle su nam da pronađemo vrijednost izraza.

odgovor:

.

Opšti slučaj

U opštem slučaju, numerički izraz može sadržavati korijene, stupnjeve, razlomke i sve funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza sastoji se u izvođenju sljedećih radnji:

• prvi korijeni, stupnjevi, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
• dalje radnje u zagradama,
• a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.

Gore navedene radnje se izvode dok se ne dobije konačni rezultat.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza .

Rješenje.

Forma ovog izraza je prilično komplikovana. U ovom izrazu vidimo razlomak, korijene, stupnjeve, sinus i logaritam. Kako pronaći njegovo značenje?

Krećući se po zapisu s lijeva na desno, nailazimo na djelić forme . Znamo da kada radimo sa razlomcima složenog tipa, moramo posebno izračunati vrijednost brojnika, posebno nazivnika i, konačno, pronaći vrijednost razlomka.

U brojiocu imamo korijen oblika . Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza . Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon što izračunamo vrijednost izraza . Ovo je ono što možemo učiniti: . Onda odakle i .

Sa nazivnikom, sve je jednostavno: .

Na ovaj način, .

Nakon zamjene ovog rezultata u originalni izraz, on će poprimiti oblik . Rezultirajući izraz sadrži stepen. Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate pronaći vrijednost indikatora, imamo .

Dakle, .

odgovor:

.

Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, stupnjeva itd., Tada ih se možete pokušati riješiti pomoću bilo koje transformacije, a zatim se vratiti na izračunavanje vrijednosti prema navedenoj shemi.

Racionalni načini vrednovanja izraza

Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i tačnost. Da, potrebno je pridržavati se redoslijeda radnji zabilježenih u prethodnim paragrafima, ali to ne treba raditi slijepo i mehanički. Pod ovim podrazumijevamo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja vrijednosti izraza. Na primjer, neka svojstva radnji s brojevima omogućuju vam da značajno ubrzate i pojednostavite pronalaženje vrijednosti izraza.

Na primjer, znamo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od faktora u proizvodu nula, tada je vrijednost proizvoda nula. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) je nula. Ako bismo slijedili standardni redoslijed operacija, tada bismo prvo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, a to bi oduzelo dosta vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.

Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako oduzmete jednak broj od broja, onda će rezultat biti nula. Ovo svojstvo se može posmatrati šire: razlika dva identična numerička izraza jednaka je nuli. Na primjer, bez izračunavanja vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), jednak je nuli, jer je originalni izraz razlika identičnih izraza.

Racionalno izračunavanje vrijednosti izraza može biti olakšano identične transformacije. Na primjer, korisno je grupisanje pojmova i faktora, ne rjeđe korišteni uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Dakle, vrijednost izraza 53 5+53 7−53 11+5 je vrlo lako pronaći nakon što se faktor 53 izvuče iz zagrada: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Direktan proračun bi oduzeo mnogo više vremena.

U zaključku ovog paragrafa, obratimo pažnju na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - isti faktori u brojniku i nazivniku razlomka se smanjuju. Na primjer, smanjivanje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka omogućava vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je 1/2.

Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama

Značenje doslovnih i varijabilnih izraza nalazi se za određene date vrijednosti slova i varijabli. Odnosno, govorimo o pronalaženju vrijednosti literalnog izraza za date vrijednosti slova ili pronalaženju vrijednosti izraza s varijablama za odabrane vrijednosti varijabli.

pravilo pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza sa varijablama za date vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: u originalnom izrazu morate zamijeniti date vrijednosti slova ili varijabli, i izračunajte vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza, to je željena vrijednost.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza 0,5 x−y za x=2,4 i y=5.

Rješenje.

Da biste pronašli potrebnu vrijednost izraza, prvo morate zamijeniti ove vrijednosti varijabli u originalni izraz, a zatim izvršiti sljedeće radnje: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

odgovor:

−3,8 .

U zaključku, napominjemo da ponekad transformacija literalnih izraza i izraza s varijablama omogućava da dobijete njihove vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x+3−x može se pojednostaviti da postane 3. Iz ovoga možemo zaključiti da je vrijednost izraza x+3−x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog raspon prihvatljivih vrijednosti (ODZ). Drugi primjer: vrijednost izraza je jednaka 1 za sve pozitivne vrijednosti x , tako da je raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu x u originalnom izrazu skup pozitivnih brojeva, a jednakost se odvija na ovom području .

Bibliografija.

• Matematika: studije. za 5 ćelija. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: udžbenik za 7 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M. : Education, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.