Razmotrit ću pitanje formule za projekcije lica pravokutnog tetraedra. Prvo ću razmotriti ortogonalni dizajn segmenta koji leži u ravni α, naglašavajući dva slučaja položaja ovog segmenta u odnosu na pravu liniju l=α∩π.
Slučaj 1. AB∥l(Sl. 8). Segment A 1 B 1, koji je ortogonalna projekcija segmenta AB, jednak je i paralelan segmentu AB.

Rice. 8

Slučaj 2. CD⊥l(Sl. 8). Po teoremi o tri okomice, prava C 1 D 1, koja je ortogonalna projekcija prave CD, također je okomita na pravu l. Dakle, ∠CEC 1 je ugao između ravni α i ravni projekcije π, tj. C 0 D=C 1 D 1. Stoga |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Sada ću razmotriti pitanje ortogonalnog dizajna trougla.
Površina ortogonalne projekcije trokuta na ravan jednaka je površini projektovanog trokuta pomnoženoj sa kosinusom ugla između ravnine trokuta i ravnine projekcije.

Dokaz. Površina projekcije trougla.
a) Neka je jedna od stranica, na primjer AC, projektovanog trougla ABC paralelna sa pravom l=α∩π (slika 9) ili leži na njoj.

Rice. 9

Tada je njegova visina VN okomita na pravu l, a površina jednaka, tj.

Na osnovu svojstava ortogonalne projekcije segmenta o kojima smo gore govorili, imam:

Prema teoremi o tri okomice, prava B 1 H 1 - ortogonalna projekcija prave BH - je okomita na pravu l, stoga je segment B 1 H 1 visina trougla A 1 B 1 C 1 . Zbog toga . Dakle, .
b) Nijedna stranica projektovanog trougla ABC nije paralelna pravoj l (sl. 10). Povući ću liniju kroz svaki vrh trougla paralelnu pravoj l. Jedna od ovih pravih leži između druge dvije (na slici je to prava m), te stoga trougao ABC dijeli na trouglove ABD i ACD sa visinama BH i CE, povučene na njihovu zajedničku stranicu AD (ili njen nastavak) , što je paralelno l. Prava m 1 - ortogonalna projekcija prave m - takođe deli trougao A 1 B 1 C 1 - ortogonalnu projekciju trougla ABC - na trouglove A 1 B 1 D 1 i A 1 C 1 D 1, gde je. Uzimajući (9) i (10) u obzir, shvatam

Poglavlje IV. Prave linije i ravni u prostoru. Poliedri

§ 55. Površina projekcije poligona.

Podsjetimo da je ugao između prave i ravni ugao između date prave i njene projekcije na ravan (Sl. 164).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla koji formiraju ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute čiji je zbir površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teoremu za trokut.

Neka /\ ABC se projektuje na ravan R. Razmotrimo dva slučaja:
a) jedna od strana /\ ABC je paralelna sa ravninom R;
b) nijedna strana /\ ABC nije paralelan R.

Hajde da razmotrimo prvi slučaj: neka [AB] || R.

Nacrtajmo ravan kroz (AB) R 1 || R i dizajnirati ortogonalno /\ ABC uključen R 1 i dalje R(Sl. 165); dobijamo /\ ABC 1 i /\ A"B"C".
Po svojstvu projekcije imamo /\ ABC 1 /\ A"B"C", i stoga

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Nacrtajmo _|_ i segment D 1 C 1 . Tada je _|_ , a = φ vrijednost ugla između ravnine /\ ABC i avion R 1 . Zbog toga

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

a samim tim i S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Idemo dalje na razmatranje drugi slučaj. Hajde da nacrtamo avion R 1 || R preko tog vrha /\ ABC, udaljenost od koje do ravnine R najmanji (neka je ovo vrh A).
Idemo dizajnirati /\ ABC u avionu R 1 i R(Sl. 166); neka su njegove projekcije respektivno /\ AB 1 C 1 i /\ A"B"C".

neka (sunce) str 1 = D. Onda

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Zadatak. Kroz osnovnu stranu pravilne trouglaste prizme povučena je ravan pod uglom φ = 30° u odnosu na ravan njene osnove. Nađite površinu rezultirajućeg poprečnog presjeka ako je stranica osnove prizme A= 6 cm.

Oslikajmo poprečni presjek ove prizme (sl. 167). Pošto je prizma pravilna, njene bočne ivice su okomite na ravan osnove. znači, /\ ABC je projekcija /\ ADC, dakle

GEOMETRIJA
Planovi časova za 10. razred

Lekcija 56

Predmet. Područje ortogonalne projekcije poligona

Svrha časa: proučavanje teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona, razvijanje sposobnosti učenika u primjeni naučene teoreme u rješavanju zadataka.

Oprema: stereometrijski set, model kocke.

Tokom nastave

I. Provjera domaćeg zadatka

1. Dva učenika reproduciraju rješenja zadataka br. 42, 45 na tabli.

2. Frontalno ispitivanje.

1) Definišite ugao između dve ravni koje se seku.

2) Koliki je ugao između:

a) paralelne ravni;

b) okomite ravni?

3) U kojim granicama se može promijeniti ugao između dvije ravni?

4) Da li je tačno da ravan koja seče paralelne ravni ih seče pod istim uglovima?

5) Da li je tačno da ravan koja siječe okomite ravnine siječe ih pod jednakim uglovima?

3. Provjera ispravnosti rješenja zadataka br. 42, 45 koje su učenici ponovo kreirali na tabli.

II. Percepcija i svijest o novom materijalu

Zadatak za studente

1. Dokazati da je površina projekcije trokuta, čija je jedna strana u ravni projekcije, jednaka umnošku njegove površine i kosinusa ugla između ravni poligona i ravni projekcije.

2. Dokazati teoremu za slučaj kada je trougao rešetke onaj u kojem je jedna strana paralelna s ravninom projekcije.

3. Dokažite teoremu za slučaj kada je trougao rešetke onaj u kojem nijedna strana nije paralelna s ravninom projekcije.

4. Dokazati teoremu za bilo koji poligon.

Rješavanje problema

1. Nađite površinu ortogonalne projekcije poligona čija je površina 50 cm2, a ugao između ravnine poligona i njegove projekcije je 60°.

2. Nađite površinu poligona ako je površina ortogonalne projekcije ovog poligona 50 cm2, a ugao između ravnine poligona i njegove projekcije 45°.

3. Površina poligona je 64 cm2, a površina ortogonalne projekcije je 32 cm2. Pronađite ugao između ravnina poligona i njegove projekcije.

4. Ili je možda površina ortogonalne projekcije poligona jednaka površini ovog poligona?

5. Ivica kocke je jednaka a. Nađite površinu poprečnog presjeka kocke ravninom koja prolazi kroz vrh baze pod uglom od 30° prema ovoj osnovici i siječe sve bočne rubove. (Odgovor.)

6. Zadatak br. 48 (1, 3) iz udžbenika (str. 58).

7. Zadatak br. 49 (2) iz udžbenika (str. 58).

8. Stranice pravougaonika su 20 i 25 cm. Njegova projekcija na ravan je slična njemu. Pronađite obim projekcije. (Odgovor: 72 cm ili 90 cm.)

III. Zadaća

§4, stav 34; test pitanje br. 17; zadaci br. 48 (2), 49 (1) (str. 58).

IV. Sumiranje lekcije

Pitanje za razred

1) Navedite teoremu o površini ortogonalne projekcije poligona.

2) Može li površina ortogonalne projekcije poligona biti veća od površine poligona?

3) Kroz hipotenuzu AB pravouglog trougla ABC povučena je ravan α pod uglom od 45° u odnosu na ravan trougla i okomita CO na ravan α. AC = 3 cm, BC = 4 cm Navedite koje su od sljedećih tvrdnji tačne, a koje netačne:

a) ugao između ravni ABC i α jednak je uglu SMO, gde je tačka H osnova visine CM trougla ABC;

b) CO = 2,4 cm;

c) trougao AOC je ortogonalna projekcija trougla ABC na ravan α;

d) površina trougla AOB je 3 cm2.

(Odgovor: a) Tačno; b) pogrešno; c) netačno; d) tačno.)

Razmislite o avionu str i prava linija koja ga seče . Neka A - proizvoljna tačka u prostoru. Hajde da povučemo pravu liniju kroz ovu tačku , paralelno sa linijom . Neka . Dot zove se projekcija tačke A u avion str sa paralelnim dizajnom duž date prave linije . Avion str , na koje se projektuju tačke prostora naziva se projekcijska ravan.

p - ravan projekcije;

- direktno projektovanje; ;

; ; ;

Ortogonalni dizajn je poseban slučaj paralelnog dizajna. Ortogonalni dizajn je paralelni dizajn u kojem je projektna linija okomita na ravan projekcije. Ortogonalni dizajn se široko koristi u tehničkom crtanju, gdje se figura projektuje na tri ravnine - horizontalnu i dvije vertikalne.

Definicija: Ortogonalna projekcija tačke M u avion str zove baza M 1 okomito MM 1, pao sa tačke M u avion str.

Oznaka: , , .

Definicija: Ortogonalna projekcija figure F u avion str je skup svih tačaka ravni koje su ortogonalne projekcije skupa tačaka figure F u avion str.

Ortogonalni dizajn, kao poseban slučaj paralelnog dizajna, ima ista svojstva:

p - ravan projekcije;

- direktno projektovanje; ;

1) ;

2) , .

1. Projekcije paralelnih pravih su paralelne.

PROJEKCIJSKA POVRŠINA RAVNE FIGURE

Teorema: Površina projekcije ravnog poligona na određenu ravan jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla između ravnine poligona i ravnine projekcije.

Faza 1: Projektovana figura je trougao ABC, čija stranica AC leži u ravni projekcije a (paralelno sa ravninom projekcije a).

Dato:

Dokazati:

Dokaz:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Po teoremi o tri okomice;

VD – visina; B 1 D – visina;

5. – linearni ugao diedarskog ugla;

6. ; ; ; ;

Faza 2: Projektovana figura je trougao ABC, čija nijedna stranica ne leži u ravni projekcije a i nije joj paralelna.

Dato:

Dokazati:

Dokaz:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(faza 1);

5. ; ; ;

(faza 1);

Faza: Dizajnirana figura je proizvoljan poligon.

Dokaz:

Poligon je podijeljen dijagonalama povučenim iz jednog vrha u konačan broj trouglova, za svaki od kojih je tačna teorema. Stoga će teorema vrijediti i za zbir površina svih trouglova čije ravni tvore isti ugao sa ravninom projekcije.

Komentar: Dokazana teorema vrijedi za svaku ravnu figuru ograničenu zatvorenom krivom.

Vježbe:

1. Nađite površinu trokuta čija je ravan nagnuta na ravan projekcije pod uglom , ako je njegova projekcija pravilan trokut sa stranicom a.

2. Nađi površinu trokuta čija je ravan nagnuta na ravan projekcije pod uglom, ako je njegova projekcija jednakokraki trokut sa stranicom 10 cm i osnovom 12 cm.

3. Nađi površinu trokuta čija je ravan nagnuta prema ravni projekcije pod uglom, ako je njegova projekcija trokut sa stranicama 9, 10 i 17 cm.

4. Izračunaj površinu trapeza čija je ravan nagnuta na ravan projekcije pod uglom, ako je njegova projekcija jednakokraki trapez, čija je veća osnova 44 cm, stranica 17 cm, a dijagonala je 39 cm.

5. Izračunajte površinu projekcije pravilnog šestougla sa stranicom od 8 cm, čija je ravan nagnuta prema ravni projekcije pod uglom.

6. Romb sa stranicom od 12 cm i oštrim uglom formira ugao sa datom ravninom. Izračunajte površinu projekcije romba na ovu ravan.

7. Romb sa stranicom od 20 cm i dijagonalom od 32 cm formira ugao sa datom ravninom. Izračunajte površinu projekcije romba na ovu ravan.

8. Projekcija nadstrešnice na horizontalnu ravninu je pravougaonik sa stranicama i . Nađite površinu nadstrešnice ako su bočne strane jednaki pravokutnici nagnuti prema horizontalnoj ravni pod kutom, a srednji dio nadstrešnice je kvadrat paralelan s ravninom projekcije.

11. Vježbe na temu "Pravije i ravni u prostoru":

Stranice trokuta su jednake 20 cm, 65 cm, 75 cm Iz vrha većeg ugla trokuta povučena je okomica jednaka 60 cm na njegovu ravan veća stranica trougla.

2. Iz tačke koja se nalazi na udaljenosti od cm od ravni, povučena su dva nagnuta, koja tvore uglove s ravninom jednakim , i pravi ugao između njih. Pronađite rastojanje između tačaka preseka nagnutih ravni.

3. Stranica pravilnog trougla je 12 cm. Tačka M je odabrana tako da segmenti koji spajaju tačku M sa svim vrhovima trougla čine uglove sa njegovom ravninom. Pronađite udaljenost od tačke M do vrhova i stranica trougla.

4. Ravan je povučena kroz stranu kvadrata pod uglom u odnosu na dijagonalu kvadrata. Pronađite uglove pod kojim su dvije strane kvadrata nagnute prema ravni.

5. Krak jednakokračnog pravokutnog trokuta je nagnut na ravan a koja prolazi kroz hipotenuzu pod uglom . Dokazati da je ugao između ravnine a i ravni trokuta jednak .

6. Diedral kut između ravnina trouglova ABC i DBC je jednak . Pronađite AD ako je AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Test pitanja na temu "Pravije i ravni u prostoru"

1. Navedite osnovne koncepte stereometrije. Formulirajte aksiome stereometrije.

2. Dokazati posljedice iz aksioma.

3. Koliki je relativni položaj dvije prave u prostoru? Dajte definicije linija koje se seku, paralelnih i kosih linija.

4. Dokazati znak kosih linija.

5. Kakav je relativni položaj prave i ravni? Dajte definicije linija koje se seku, paralelnih i ravni.

6. Dokazati znak paralelizma između prave i ravni.

7. Koji je relativni položaj dvije ravni?

8. Definirajte paralelne ravni. Dokazati znak da su dvije ravni paralelne. Teoreme stanja o paralelnim ravnima.

9. Definirajte ugao između pravih linija.

10. Dokazati znak okomitosti prave i ravni.

11. Definirajte osnovu okomice, osnovu nagnute, projekciju nagnute na ravan. Formulirajte svojstva okomite i kosih linija spuštenih na ravan iz jedne tačke.

12. Definirajte ugao između prave i ravni.

13. Dokazati teoremu o tri okomice.

14. Dajte definicije diedarskog ugla, linearnog ugla diedarskog ugla.

15. Dokazati znak okomitosti dvije ravni.

16. Definirajte udaljenost između dvije različite točke.

17. Definirajte udaljenost od tačke do prave.

18. Definirajte udaljenost od tačke do ravni.

19. Definirajte rastojanje između prave i ravni koja joj je paralelna.

20. Definirajte razmak između paralelnih ravnina.

21. Definirajte razmak između linija koje se seku.

22. Definirajte ortogonalnu projekciju tačke na ravan.

23. Definirajte ortogonalnu projekciju figure na ravan.

24. Formulirajte svojstva projekcija na ravan.

25. Formulirajte i dokažite teoremu o površini projekcije ravnog poligona.

Podsjetimo da je ugao između prave i ravni ugao između date prave i njene projekcije na ravan (Sl. 164).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla koji formiraju ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute čiji je zbir površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teoremu za trokut.

Neka se \(\Delta\)ABC projektuje na ravan R. Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica \(\Delta\)ABC je paralelna sa ravninom R;

b) nijedna od stranica \(\Delta\)ABC nije paralelna R.

Hajde da razmotrimo prvi slučaj: neka [AB] || R.

Nacrtajmo ravan kroz (AB) R 1 || R i projektovati ortogonalno \(\Delta\)ABC na R 1 i dalje R(Sl. 165); dobijamo \(\Delta\)ABC 1 i \(\Delta\)ABC.

Po svojstvu projekcije imamo \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC, pa prema tome

S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC

Nacrtajmo ⊥ i segment D 1 C 1 . Tada ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ je vrijednost ugla između ravni \(\Delta\) ABC i ravni R 1 . Zbog toga

S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |AB| |CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

i, prema tome, S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.

Idemo dalje na razmatranje drugi slučaj. Hajde da nacrtamo avion R 1 || R kroz taj vrh \(\Delta\)ABC, udaljenost od koje do ravni R najmanji (neka je ovo vrh A).

Dizajnirajmo \(\Delta\)ABC na ravni R 1 i R(Sl. 166); neka su njegove projekcije \(\Delta\)AB 1 C 1 i \(\Delta\)ABC, respektivno.

Neka (BC)\(\cap\) str 1 = D. Onda

S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

Zadatak. Kroz osnovnu stranu pravilne trouglaste prizme povučena je ravan pod uglom φ = 30° u odnosu na ravan njene osnove. Nađite površinu rezultirajućeg poprečnog presjeka ako je stranica osnove prizme A= 6 cm.

Oslikajmo poprečni presjek ove prizme (sl. 167). Pošto je prizma pravilna, njene bočne ivice su okomite na ravan osnove. To znači da je \(\Delta\)ABC projekcija \(\Delta\)ADC, dakle
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
ili
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$